八年级下学期定理证明

•1、两点确定一条直线；
•2、两点之间线段最短；
•3、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
•4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
•5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
•6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；（SAS）
•7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；（ASA）
•8、三边分别相等的两个三角形全等；
等式的基本性质
•1、等式两边分别加上（或减去）同一个整式，等式依然成立；
•2、等式两边分别乘以（或除以）同一个不为0的整式，等式依然成立；
不等式的基本性质
•1、不等式两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；
•2、不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
•3、不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
证明一
•一、角和边
•1、同角（等角）的补角相等；
•2、同角（等角）的余角相等；
•3、三角形的任意两边之和大于第三边；
•4、对顶角相等；
•
•二、平行线的判定
•1、内错角相等，两直线平行；
•2、同旁内角互补，两直线平行；
•三、平行线的性质
•1、两直线平行，同位角相等；
•2、两直线平行，内错角相等；
•3、两直线平行，同旁内角互补；
•
•四、三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800.
•五、三角形的外角和定理：
1、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
• 一、等腰三角形的定义：两条边相等的三角形是等腰三角形； • 二、等腰三角形的性质：
• 1、等腰三角形的两条边相等；（定义） • 2、等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）几何语言： • 如图所示，在△ABC 中 • ∵AB ＝AC
• ∴∠B ＝∠C （等边对等角）
3、等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线及顶角的平分线重合。

（等腰三角形的“三线合一”）几何语言：
如图所示，在△ABC 中 ①∵AB ＝AC ，BD ＝DC ∴∠1＝∠2，AD ⊥BC ②∵AB ＝AC ，∠1＝∠2 ∴AD ⊥BC ，BD ＝DC ③∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ∴∠1＝∠2，BD ＝DC
D
C
B
C
B
三、等腰三角形的判定：
1、两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形；（等角对等边） ①在△ABC 中 ∵∠B ＝∠C
∴AB ＝AC （等角对等边） ② ∵∠B ＝∠C
∴ △ABC 是等腰三角形（等角对等边） ③ ∵AB ＝AC
∴ △ABC 是等腰三角形（等腰三角形的定义）
• 四、等边三角形的定义：三条边相等的三角形是等边三角形；(定义） • 五、等边三角形的性质：
• 1、等边三角形的三条边相等；（定义）
• 2、等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°； • ∵△ABC 是等边三角形 • ∴AB=BC=AC ， •
∠A=∠B=∠C=60°
C
B
• 1、三边相等的三角形是等边三角形（定义） • ∵ AB=BC=AC
• ∴ △ABC 是等边三角形
• 2、三个角都相等的三角形是等边三角形； • ∵∠A=∠B=∠C
• ∴△ABC 是等边三角形
• 3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； • ∵ △ABC 是等腰三角形，∠A=60° • ∴△ABC 是等边三角形
• 六、直角三角形的性质：
• 1、直角三角形的两个锐角互余；
• ∵△ABC 是直角三角形，∠C=90°； • ∴∠A+∠B=90°
• 2、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

•
几何语言：如图所示
∵在RT △ABC 中，∠B=30° • ∴AC=1／2AB （或AB=2AC ） • 3、勾股定理：直角三角形两条 • 直角边的平方和等于斜边的平方；
A
C
• 1、有两个角互余的三角形是直角三角形； • ∵在△ABC 中， ∠A+∠B=90° • ∴ △ABC 是直角三角形；
• 2、如果两边的平方和等于第三边的平方时，那么这个三角形是直角三角形。

• 几何语言：
• 如图所示，在△ABC 中 • ∵AC2+BC2=AB2
• ∴△ABC 是直角三角形
• 八、两个直角三角形除了可以使用常规的SSS 、SAS 、ASA 、AAS 来证明全等外，
还可以使用 • HL 来证明；
• 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等； • 几何语言：如图所示
• 在RT △ABC 和RT △DEF 中 • ∵｛AB=DE ，
• BC=EF （AB=DE ，AC=DF ） • ∴RT △ABC ≌RT △DEF （HL ）
E
F
A
B C
A C
• 九、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点在这条线段两个端点的距离相
等；
• 几何语言： • 如图所示
• ∵MN 是线段AB 的垂直平 分线（或MN ⊥AB 于D ，AD ＝BD ） • ∴CA=CB
• 十、线段垂直平分线定理逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

• （推论）几何语言： • 如图所示 • ∵CA=CB
•
∴点C 在线段AB 的垂直平分线MN 上
N
M A
B
C
D N
M A
B
C
D
• 十一、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

• 几何语言： • 如图所示
• ∵ PF 平分∠APB （或∠APF=∠BPF ），EC ⊥PA 于C ，ED ⊥PB 于D • ∴EC=ED
• 十二、角平分线的推论：在一个的角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

• （推论）几何语言： • 如图所示
• ∵EC ⊥PA 于C ，ED ⊥PB 于D ，EC=ED •
∴点E 在∠APB 的平分线上
E F
P
A B
C
D
E F
P
A B
C
D。