《三维设计》 高三数学 第8章 第3节 课时限时检测 新人教A版
《三维设计》高三数学 第2章 第8节 课时限时检测 新人教A版
《三维设计》高三数学 第2章 第8节 课时限时检测 新人教A 版《三维设计》2012届高三数学 第2章 第8节 课时限时检测(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )A.14 B ．4 C.22D. 2解析：设f (x )＝x a，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入解析式得：a ＝－12，∴f (2)＝212-＝22.答案：C2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( ) A ．2 B.34 C.23D ．0解析：由题意得：x ＝1－2y ≥0，∴0≤y ≤12，∴2x ＋3y 2＝3y 2＋2(1－2y )＝3y 2－4y ＋2 ＝3(y －23)2－43＋2∴当y ＝12时2x ＋3y 2有最小值34.答案：B3．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，0)解析：∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7， ∴0.71.3＜1.30.7，∴m ＞0. 答案：A4．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关解析：法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0，法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 答案：B5．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋4，若f (x ＋1)是偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由题意f (x ＋1)＝(x ＋1)2－a (x ＋1)＋4＝x 2＋(2－a )x ＋5－a 为偶函数，所以2－a ＝0，a ＝2.答案：D6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象 如图．知f (x )在R 上为增函数． ∵f (2－a 2)＞f (a )， 即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n，则n ＝__________.解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解． 答案：－1或28．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．解析：由题意知f (bx )＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2⇒a ＝2，b ＝－3.所以f (ax ＋b )＝f (2x －3)＝4x 2－8x ＋5，令f (2x －3)＝0，由Δ＜0，得解集为∅. 答案：∅9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是__________． 解析：法一：∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数，∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5.法二：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5.答案：(－∞，－5]三、解答题(共3小题，满分35分) 10．已知函数f (x )＝2x －x m，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．11．(2010·浏阳模拟)已知二次函数f (x )的图象过A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，∴a ＝2， 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0.(3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ＞0，－x ＋12，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x－x 且b ≥－1x－x 在x ∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x－x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.。
《三维设计》高三数学 第8章 第5节 课时限时检测 新人教A版
第8章 第5节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12 B.32C ．1D. 3 解析：右焦点F (1,0)，∴d ＝32. 答案：B2．(2011·福州质检)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A3．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点， 且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：A4．(2011·金华十校)方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF ＝DA ＋22DF ，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15解析：设点D (0，b )，则1DF ＝(－c ，－b )，DA ＝(－a ，－b )，1DF ＝(c ，－b )，由31DF ＝DA ＋22DF 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：D5．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析：根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.答案：C6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且1MF ·2MF ＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设M (x ，y )，则1MF ·2MF ＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点(4,0)和(0,2)，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，并且a ＝4，b ＝2故c ＝a 2－b 2＝23，所以其离心率e ＝c a ＝32. 答案：328．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是____________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴方程是y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝19．(2011·海淀二月模拟)已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝x －1消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A (0，－1)、B (43，13)．又点F 1(－1,0)，因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋－2＋732＋132＝823. 答案：823三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP ―→|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP ＝(x －m ，y )，所以|MP |2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12·(1－x 216)＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP |2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，所以－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是[1,4]．11．(2010·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标； (2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．解：(1)由b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在， 则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0， k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.12．(2010·皖南八校)如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，AB 的中点为O ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝1，以A ，B 为焦点的椭圆经过点C .(1)求椭圆的标准方程；(2)若点E (0,1)，问是否存在直线l 与椭圆交于M ，N 两点且|ME |＝|NE |，若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)连接AC ，依题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝5.∴CA ＋CB ＝5＋3＝2a ，a ＝4.又2c ＝4，∴c ＝2，从而b ＝a 2－c 2＝23， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)由题意知，当l 与x 轴垂直时，不满足|ME |＝|NE |，当l 与x 轴平行时，|ME |＝|NE |显然成立，此时k ＝0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 216＋y 212＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0， ∵Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0， ∴16k 2＋12>m 2，①令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为F (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k2， ∵|ME |＝|NE |，∴EF ⊥MN ，∴k EF ×k ＝－1，即3m3＋4k 2－1－4km3＋4k 2×k ＝－1，化简得m ＝－(4k 2＋3)，结合①得16k 2＋12>(4k 2＋3)2，即16k 4＋8k 2－3<0， 解之得－12<k <12(k ≠0)．综上所述，存在满足条件的直线l ，且其斜率k 的取值范围为(－12，12)．。
《三维设计》高三数学 第9章 第4节 课时限时检测 新人教A版
第9章第4节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A．20 B．30C．40 D．50解析：按照程序框图依次执行为S＝7，i＝3，T＝3；S＝13，i＝6，T＝3＋6＝9；S＝19，i＝9，T＝9＋9＝18；S＝25，i＝12，T＝18＋12＝30.故最后输出T＝30.答案：B2．在如图的程序框图中，输入n＝60，按程序运行后输出的结果是( )A．0 B．3C．4 D．5解析：根据程序框图可知，输出的结果是循环的次数．经过执行5次循环后n＝1，所以输出的结果i＝5.答案：D3．在如图所示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x3，则h(2)的值为( )A．9 B．8C ．6D ．4解析：当x ＝2时，f (x )＝4，g (x )＝8，此时f (x )<g (x )，于是h (x )＝g (x )＝g (2)＝8. 答案：B4．有编号为1,2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验．下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是( )解析：选项A 、C 中的程序框图会输出0，故排除A 、C ；选项D 中的程序框图不能输出700，故排除D.答案：B5．(2011·江南十校)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |xC ．f (x )＝e x－e－xe x ＋e －xD ．f (x )＝1＋sin x ＋cos x1＋sin x －cos x解析：根据流程图可知输出的函数为奇函数，并且存在零点．经验证：选项A ，f (x )＝x2为偶函数；选项B ，f (x )＝|x |x 不存在零点；选项C ，f (x )的定义域为全体实数，f (－x )＝e －x－exe －x ＋e x＝－f (x )，因此为奇函数，并且由f (x )＝e x－e－xe x ＋e －x ＝0可得x ＝0，存在零点；选项D ，f (x )＝1＋sin x ＋cos x1＋sin x －cos x不具有奇偶性．答案：C6．(2011·合肥模拟)如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值是( )A ．2010B ．－1 C.12D ．2解析：依题意，执行如图所示的程序框图可知S ＝－1，12，2，－1，12，2，…，所以当k＝2009时S ＝2，当k ＝2010时输出S ，所以输出的值是2.答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为18，则输入的实数x 的值为________．解析：依题意，当x >0时，令2x 2－1＝18，由此解得x ＝34；当x ≤0时，令(12)x ＝18，由此解得x ＝3>0，与x ≤0矛盾．因此，输入的实数x 的值为34. 答案：348．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W ＝________. 解析：第一次：T ＝1，S ＝12－0＝1； 第二次：T ＝3，S ＝32－1＝8； 第三次：T ＝5，S ＝52－8＝17. 此时满足S ≥10.所以W ＝S ＋T ＝17＋5＝22. 答案：229．某学校的组织结构图如下：则保卫科的直接领导是________．解析：由结构图可知，保卫科的直接领导为副校长乙．答案：副校长乙三、解答题(共3个小题，满分35分)10．画出计算S＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的程序框图．解：如图所示：11．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.观测次数i 12345678观测数据a i4041434344464748 在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数)，求输出的S的值．解：根据题中数据可得a＝44，由程序框图得S＝42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋428＝7.12．(2011·佛山模拟)“世界睡眠日”定在每年的3月21日.2009年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识．为此某网站2009年3月13日到3月20日持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．(1)画出频率分布直方图；(2)睡眠时间小于8的频率是多少？(3)为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算．分析中一部分计算见算法流程图，求输出的S的值，并说明S的统计意义.序号(i)分组睡眠时间组中值(m i) 频数(人数) 频率(f i)1[4,5) 4.580.042[5,6) 5.5520.263[6,7) 6.5600.304[7,8)7.5560.285[8,9)8.5200.106[9,10)9.540.02 解：(2)睡眠时间小于8小时的频率是p＝0.04＋0.26＋0.30＋0.28＝0.88.(3)首先要理解题中程序框图的含义，输入m i，f i的值后，由赋值语句：S＝S＋m i·f i可知，流程图进入一个求和状态．令a i＝m i·f i(i＝1,2，…，6)，数列{a i}的前i项和为T i，即T6＝4.5×0.04＋5.5×0.26＋6.5×0.30＋7.5×0.28＋8.5×0.10＋9.5×0.02＝6.70 则输出的S为6.70.S的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时间．。
三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库8.3圆的方程(含答案详析)
高考真题备选题库第8章 平面解析几何第3节 圆的方程考点 圆的方程1．（2010福建，5分）以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ； 选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D2．(2009·辽宁，5分)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2， 解得a ＝1，r ＝ 2.∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：B3．（2010新课标全国，5分）圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析：由题意可知，原点到直线x ＋y －2＝0的距离为圆的半径，即r ＝|0＋0－2|2＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝24．（2010广东，5分）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a<0)，则|a|2＝2，解得a＝－2，故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2. 答案：(x＋2)2＋y2＝2。
《三维设计》高三数学 第6章 第3节 课时限时检测 新人教A版
第6章 第3节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C. 答案：C2．设D 是由⎩⎪⎨⎪⎧x －yx ＋y ≥0，y ≥0所确定的平面区域，记D 被夹在直线x ＝－1和x ＝t (t ∈[－1,1])间的部分的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )解析：如图，由不等式组画出平面区域．根据题意，由函数S ＝f (t )的单调递增情况易选出答案B.答案：B3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当该直线经过该平面区域内的点(3,0)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是z ＝2x ＋y ＝2×3＋0＝6.答案：C4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )A ．a <5B ．a ≥8C ．5≤a ＜8D ．a ＜5或a ≥8解析：如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a ＜8.答案：C5．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13B ．a ≥13C ．a ＞13D ．0＜a ＜12解析：画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目标函数z ＝x＋ay 得y ＝－1a x ＋za，则由题意得－3＝k AC ＜－1a＜0，故a ＞13.综上所述，a ＞13.答案：C6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a >1时才能够使函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，由图可知当函数y ＝a x的图象经过点A 时a 取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，解得x ＝2，y ＝9，即点A (2,9)，代入函数解析式得9＝a 2， 即a ＝3，故1<a ≤3. 答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0上，点M 的坐标为(3,0)，那么|PM |的最小值是________．解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，点M 到A (1,1)，B (2，2)的距离分别为5，5，又点M (3,0)到直线x －y ＝0的距离为322，故|PM |的最小值为322.答案：3228．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ＋2≥0，x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为________；z 的最大值为________．解析：图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为252，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y 得，x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5.答案：2525 9．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B (－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3. 答案：－3三、解答题(共3个小题，满分35分)10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知 ⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．某班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？解：设可购买大球x 个，小球y 个．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＜100x ≥10y ≥20x ∈N *y ∈N*，其整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝20，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝30，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30y ＝30，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35y ＝29，…，都符合题目要求(满足2x ＋y －100＜0即可)．12．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， 由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。
2020年高考数学《三维设计》第八章 立体几何第三节 空间点、线、面之间的位置关系
三点不一定能确定一个平面)． 推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 不重合的平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过该点的公共直线．
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
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5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面 把空间分成_____7___部分． 解析：通过举例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两 相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分成 7 部分．
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考点——在细解中明规律
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2．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系 (1)两条异面直线不能确定一 个平面．
共面直线平相行交
(2) 不 能 把 异 面 直 线 误 解 为 分 别在不同平面内的两条直线.
异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作
题目千变总有根,梳干理枝究其本
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考点一 平面的基本性质及应用 [师生共研过关]
[典例精析]
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如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分
别是 AB 和 AA1 的中点．求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面；
(2)CE，D1F，DA 三线共点．
[证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B. ∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点，∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE 与 D1F 必 相交，设交点为 P，如图所示．则由 P∈CE， CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA，∴CE，D1F，DA 三线共点．
《三维设计》高三数学 第2章 第3节 课时限时检测 新人教A版
《三维设计》高三数学 第2章 第3节 课时限时检测 新人教A 版第2章 第3节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2010·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 0.5(1－x ) B ．y ＝x 0.5C ．y ＝0.51－xD ．y ＝12(1－x 2)解析：y ＝log 0.5(1－x )在(0,1)上为增函数；y ＝x 0.5在(0,1)上是增函数； y ＝0.51－x 在(0,1)上为增函数；函数y ＝12(1－x 2)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，∴函数y ＝12(1－x 2)在(0,1)上是减函数．答案：D2．函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．－1解析：依题意可得对称轴x ＝a －14＝1，∴a ＝5.答案：C3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )为R 上的减函数，且f (|x |)<f (1)， ∴|x |>1，∴x <－1或x >1. 答案：D4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域上都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：C5．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，实际上等价于函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，故f (3)<f (2)<f (1)，由于函数是偶函数，故f (3)<f (－2)<f (1)．答案：A6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在区间[3,5]上单调递增，则函数f (x )在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f (1)，最小值是f (3)B ．最大值是f (3)，最小值是f (1)C ．最大值是f (1)，最小值是f (2)D ．最大值是f (2)，最小值是f (3)解析：依题意得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x ＋1)＝－f (x －1)，f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．由f (x )在[3,5]上是增函数与f (x )的图象关于直线x ＝1对称得，f (x )在[－3，－1]上是减函数．又函数f (x )是以4为周期的函数，因此f (x )在[1,3]上是减函数，f (x )在[1,3]上的最大值是f (1)，最小值是f (3)．答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x >0，x 2－3xx ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]8．设x 1、x 2为方程4x 2－4mx ＋m ＋2＝0的两个实根，当m ＝________时，x 21＋x 22有最小值________．解析：由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m ＋24，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142－1716.又x 1，x 2为实根，∴Δ≥0，∴m ≤－1或m ≥2，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142－1716在区间(－∞，－1]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，又抛物线y 开口向上且以m ＝14为对称轴，故m ＝－1时，y min ＝12.答案：－1129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x x ＞1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a >1，log a 1≥a －2·1－1，解得2<a ≤3.答案：(2,3]三、解答题(共3小题，满分35分)10．求函数f (x )＝x ＋a 2x(a >0)的单调区间．解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时，x1－x2<0，0<x1·x2<a2，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数．11．已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－1x ，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0.f(x1)－f(x2)＝(a－1x1)－(a－1x2)＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2<0.∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a－1x＜2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋1x，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围为(－∞，3]．12．定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)不恒为0.(1)求f(1)和f(－1)的值；(2)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明；(3)若x≥0时f(x)为增函数，求满足不等式f(x＋1)－f(2－x)≤0的x的取值集合．解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)．∴f(1)＝0.令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)．∴f(－1)＝0.(2)令y＝－1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(－x)＝f(x)＋f(－1)．又f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，又f(x)不恒为0，∴f(x)为偶函数．(3)由f(x＋1)－f(2－x)≤0，知f(x＋1)≤f(2－x)．又由(2)知f (x )＝f (|x |)， ∴f (|x ＋1|)≤f (|2－x |)．又∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|x ＋1|≤|2－x |.故x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12.。
《三维设计》 高三数学 第5章 第3节 课时限时检测 新人教A版
第5章 第3节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2010·北京高考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11.答案：C2．等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：当a 1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方． 答案：D3．(2010·浙江高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( ) A ．11 B ．5 C ．－8D ．－11解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意知8a 1q ＋a 1q 4＝0，a 1≠0，则q 3＝－8，故q ＝－2， 所以S 5S 2＝1－q 51－q 2＝－11.答案：D4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q 1，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1－q 51－q＝31.答案：C5．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于( )A．2 B．4C．8 D．16解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案：D6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A．13项B．12项C．11项D．10项解析：设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n－2，a1q n－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4.所以两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21q n－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1q n－1＝64，a n1q n n －2＝64，即(a21q n－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．(2010·福建高考)在等比数列{a n}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n＝________.解析：∵在等比数列{a n}中，前3项之和等于21，∴a 1－431－4＝21，∴a1＝1，∴a n＝4n－1.答案：4n－18．等比数列{a n}的公比q＞0.已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝________. 解析：∵{a n}是等比数列，∴a n＋2＋a n＋1＝6a n可化为a1q n＋1＋a1q n＝6a1q n－1，∴q2＋q－6＝0.∵q＞0，∴q＝2.a2＝a1q＝1，∴a1＝12 .∴S4＝a 1－q 41－q＝12－241－2＝152.答案：15 29．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析：由题意知，{a n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，－24,36，－54,81四项成等比数列，公比为q ＝－32，6q ＝－9.答案：－9三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝13＋2log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的最大值．解：(1)∵a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n ， ∴数列{a n }是以2为公比的等比数列．∵a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2＋a 4＝2a 3＋4， ∴2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，∴a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n.(2)由(1)及b n ＝13＋2log 12a n ，得b n ＝13－2n ，令13－2n ≥0，则n ≤6.5， ∴当1≤n ≤6时，b n ＞0， 当n ≥7时，b n ＜0，∴当n ＝6时，S n 有最大值，S 6＝36.11．有n 2(n ≥4)个正数a ij (i ＝1,2，…n ，j ＝1,2，…n )，排成n ×n 矩阵(n 行n 列的数表)：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12… a 1na 21a 22… a 2n… … … …a n 1 a n 2 … a nn，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316.(1)求公比q ； (2)用k 表示a 4k .解：(1)因为每一行的数成等差数列，所以a 42，a 43，a 44成等差数列，所以a 44＝2a 43－a 42＝14.又每一列的数成等比数列，故a 44＝a 24·q 2⇒q 2＝a 44a 24＝14. 又因为a ij >0，所以q >0，故q ＝12.(2)由已知，第四行的数成等差数列，且d ＝a 43－a 42＝116， a 4k 为此行中第k 个数，所以a 4k ＝a 42＋(k －2)d ＝18＋(k －2)·116＝k16.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)若{a n }是等差数列，求其首项a 1和公差d ； (2)证明{a n }不可能是等比数列；(3)若a 1＝－1，求{a n }的通项公式以及前n 项和公式．解：(1)因为{a n }是等差数列，设其首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，于是有a 1＋nd ＝2[a 1＋(n －1)d ]＋n ＋1，整理得a 1＋nd ＝(2a 1－2d ＋1)＋(2d ＋1)n ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－2d ＋1d ＝2d ＋1，解得a 1＝－3，d ＝－1.(2)证明：假设{a n }是等比数列，设其首项为a 1， 则a 2＝2a 1＋2，a 3＝2a 2＋3＝4a 1＋7， 于是有(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋7)，解得a 1＝－4， 于是公比q ＝a 2a 1＝－6－4＝32，这时a 4＝a 1q 3＝(－4)·(32)3＝－272.但事实上，a 4＝2a 3＋4＝8a 1＋18＝－14，二者矛盾，所以{a n }不是等比数列． (3)由a n ＋1＝2a n ＋n ＋1可得a n ＋1＋(n ＋1)＋2＝2(a n ＋n ＋2)，所以数列{a n ＋n ＋2}是一个公比为2的等比数列，其首项为(a 1＋1＋2)＝－1＋1＋2＝2， 于是a n ＋n ＋2＝2·2n －1＝2n.故a n ＝2n－n －2，于是{a n }的前n 项和公式 S n ＝21－2n1－2－n n ＋12－2n ＝2n ＋1－2－n n ＋12－2n .。
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 第八章 解析几何(含解析)
第八章 解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P115基础盘查一 直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 基础盘查二 直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋y n＝1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0对应学生用书P115考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1. [提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m.∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋y b＝1. 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程． 解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意； 当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k ),所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.对应A 本课时跟踪检测四十五一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 10．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为______________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.故|MA |·|MB |＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号， 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.第二节两直线的位置关系对应学生用书P117基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交( )(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． (二)小题查验 1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0y ＝5或5x －12y ＋60＝0对应学生用书P117考点一 两直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0.2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解．[题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析： 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A y 1－y 2＝B x 1－x 2，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．对应B 本课时跟踪检测四十六一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1， 解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)． 答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >k A 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④ 联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ， 解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )， 因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×a ＋＋1]2a ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1a ＋1＋2＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程对应学生用书P120基础盘查一 圆的定义及标准方程(一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题．(二)小题查验1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 基础盘查二 点与圆的位置关系(一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)．(二)小题查验1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( )(2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( )答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4.即a 2<1，故－1<a <1.答案：(－1,1)对应学生用书P120考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．2．圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径． [提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧ B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( ) A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12 D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，而|FA |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B. 3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12. ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3. ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二 与圆有关的最值、范围问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．2．与圆上点(x ，y )有关的最值 (1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等；(5)建立目标函数求最值问题.角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最。
2022届《三维设计》高考一轮复习化学(人教版)精美word书稿 第八章 水溶液中的离子平衡
第八章水溶液中的离子平衡考点一| 弱电解质的电离平衡[教材学问层面]1．电离平衡的建立在确定条件下(如温度、压强等)，当弱电解质电离的速率和离子结合成分子的速率相等时，电离过程达到了平衡。
2．电离平衡的特征3．外界条件对电离平衡的影响(1)内因：弱电解质本身的性质。
(2)外因：①温度：上升温度，电离平衡向右移动，电离程度增大。
②浓度：稀释溶液，电离平衡向右移动，电离程度增大。
③相同离子：加入与弱电解质具有相同离子的强电解质，电离平衡向左移动，电离程度减小。
④加入能与离子反应的物质：电离平衡向右移动，电离程度增大。
[高考考查层面]命题点1电离平衡的特点1．下列有关电离平衡的叙述正确的是()A．电离平衡是相对的、临时的，外界条件转变时，平衡就可能发生移动B．电离平衡时，由于分子和离子的浓度不断发生变化，所以说电离平衡是动态平衡C．电解质在溶液里达到电离平衡时，分子的浓度和离子的浓度相等D．电解质达到电离平衡后，各种离子的浓度相等解析：选A电离平衡是化学平衡的一种，平衡时，电离过程和离子结合成分子的过程仍在进行，分子电离成离子的速率和离子结合成分子的速率相等，各分子和离子的浓度不再变化，与分子和离子浓度是否相等没有关系，所以只有A正确。
2．在醋酸溶液中，CH3COOH的电离达到平衡的标志是()A．溶液显电中性B．溶液中无CH3COOH分子C．氢离子浓度恒定不变D．c(H＋)＝c(CH3COO－)解析：选C溶液中存在的电离平衡有：CH3COOH CH3COO－＋H＋，H2O H＋＋OH－，阴离子所带负电荷总数与阳离子所带正电荷总数永久相等，与是否达到电离平衡无关，A错；CH3COOH是弱电解质，溶液中确定存在CH3COOH分子，B错；依据电离方程式，不管是否达到平衡，都有c(H＋)＞c(CH3COO－)，所以D错；氢离子浓度恒定不变，电离达到平衡，所以C对。
命题点2外界条件对电离平衡移动的影响电离过程是可逆过程，可直接用化学平衡移动原理去分析电离平衡。
《三维设计》高三数学 第9章 第2节 课时限时检测 新人教A版
《三维设计》高三数学 第9章 第2节 课时限时检测 新人教A 版第9章 第2节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．已知下表是某班学生的一次数学考试成绩的分布表 分数段 [0,90) [90,100)[100,110) [110,120) [120,130) [130,150]人数7681266A ．0.38,1B ．0.18,1C ．0.47,0.18D ．0.18,0.47解析：分数在区间[100,110)内的学生共有8人，该班的总人数为7＋6＋8＋12＋6＋6＝45，则分数在区间[100,110)内的频率为845≈0.18，分数不满110分的共有7＋6＋8＝21人，则分数不满110分的频率是2145≈0.47. 答案：D2.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为( )A ．20B ．30C ．40D ．50 解析：前3组的频率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×21＋2＋3＝0.25，设样本容量为n ，则10n＝0.25，即 n ＝40.答案：C3．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手五次射击的成绩的方差是( )A ．0.127B ．0.016C ．0.08D ．0.216解析：x ＝15×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，∴s 2＝15×[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.答案：B4．(2010·龙岩质检)一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是( )甲乙9 1 0 4 0 4 3 1 0 2 6 412373 044667A ．44B ．54C ．50D ．52解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19,20,21,23,24,31,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,10,14,24,26,30,44,46,46,47，则甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数26＋302＝28，因此24＋28＝52.答案：D5．某地居民的月收入调查所得数据的频率分布直方图如图，居民的月收入的中位数大约是( )A ．2100B ．2400C ．2500D ．2600解析：从频率分布直方图，可以知道要使得两边的面积相等，平分面积的直线应该在2000～2500之间，设该直线的方程为x ＝a ，则500×(0.0002＋0.0004)＋0.0005×(a －2000)＝0.0005×(2500－a )＋500×(0.0005＋0.0003＋0.0001)，解得a ＝2400，即居民的月收入的中位数大约是2400.答案：B6.(2010·东北三校联考)甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )甲乙 872 7 8 6 8 8 8291A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定解析：由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x 乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.又由方差公式可得s 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2×2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因为s 2乙<s 2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定．答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．(2010·江苏高考)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm 的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm 的有0.3×100＝30(根)．答案：308．(2010·辽宁高考)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.解析：依题意可知平均数x ＝980×1＋1020×2＋1032×11＋2＋1＝1013.答案：10139．(2010·潍坊五校联考)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(1500,2000)(元)月收入段应抽出的人数为________．解析：∵(1500,2000)(元)月收入段的频率是0.0004×500＝0.2， ∴从该月收入段中应抽取100×0.2＝20人． 答案：20三、解答题(共3个小题，满分35分)10．(2010·东北三校第一次联考)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 名同学进行调查．下表是这n 名同学的日睡眠时间的频率分布表.序号(i ) 分组(睡眠时间)频数(人数)频率 1 [4,5) 60.12 2 [5,6) 0.20 3 [6,7) a 4 [7,8) b 5[8,9)0.08(1)求n 的值；若a ＝20，将表中数据补全，并画出频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a ，b 的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．解：(1)由频率分布表可知n ＝60.12＝50.补全数据如下表：序号(i ) 分组(睡眠时间)频数(人数)频率 1 [4,5) 6 0.12 2 [5,6) 10 0.20 3 [6,7) 20 0.40 4 [7,8) 10 0.20 5[8,9)40.08频率分布直方图如下：(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧1506×4.5＋10×5.5＋a ×6.5＋b ×7.5＋4×8.5＝6.52，6＋10＋a ＋b ＋4＝50，解得a ＝15，b ＝15.设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A ，则P (A )＝P (x ≥7)＝15＋450＝0.38.答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.11．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位 mm)：甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．解：(1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100 mm ，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100 mm ，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73mm 2.s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1 mm 2.(2)因为s 2甲＞s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求． 12．(2010·济南诊断)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155 cm 到195 cm 之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195)，如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列．频率分布直方图：(1)求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图； 频率分布表：分组 频数 频率 频率/组距… ………[180,185) x y z [185,190)mnp…………(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x ，y ，求满足：|x －y |≤5的事件的概率．解：(1)由频率分布直方图可得前5组的频率是 (0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第8组的频率是0.04，所以第6、7组的频率是1－0.86＝0.14，所以样本中第6、7组的总人数为7人．由已知得：x＋m＝7.①∵x，m,2成等差数列，∴x＝2m－2，②由①②得：m＝3，x＝4，所以y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012.频率分布直方图如图所示．(2)由(1)知，身高在[180,185)内的有4人，设为a，b，c，d，身高在[190,195]内的有2人，设为A，B.若x，y∈[180,185)，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195]，则有AB共1种情况；若x∈[190,195]，y∈[180,185)或x∈[180,185)，y∈[190,195]，则有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．所以基本事件总数为6＋1＋8＝15种．又事件“|x－y|≤5”所包含的基本事件总数为6＋1＝7种，所以，P(|x－y|≤5)＝7 15.。
《三维设计》高三数学 第8章 第2节 课时限时检测 新人教A版
《三维设计》高三数学 第8章 第2节 课时限时检测 新人教A 版第8章 第2节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2010·青岛二中检测)“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝2，直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1显然平行，若直线ax ＋2y ＝0与直线x＋y ＝1平行，由a 1＝21≠01，易得a ＝2.答案：C2．(2010·温州十校模拟)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：线段AB 的中点(1＋m2，0)代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.答案：C3．夹在两平行直线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积等于( ) A ．2π B ．4π C ．8πD ．12π解析：圆的最大直径即为两条平行直线间的距离d ＝205＝4，所以r ＝2，故最大面积为π·22＝4π.答案：B4．直线x －2y ＋1＝0关于直线y －x ＝1对称的直线方程是( ) A ．2x －y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x －2y －1＝0解析：设所求直线上任一点的坐标为(x ，y )，则它关于y －x ＝1对称的点为(y －1，x ＋1)，且在直线x －2y ＋1＝0上，∴y －1－2(x ＋1)＋1＝0，化简得2x －y ＋2＝0.答案：A5．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．210解析：x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离，根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.答案：A6．(2010·潍坊五校联考)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y ＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3解析：由两条直线垂直的充要条件可得：－b 2＋1a ·1b 2＝－1，解得a ＝b 2＋1b 2，所以ab ＝b 2＋1b 2·b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .又因为b >0，故b ＋1b≥2 b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取“＝”．答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是__________． 解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2|＝|2sin(α＋π4)－2|，于是当sin(α＋π4)＝－1时，d 取得最大值2＋ 2. 答案：2＋ 28．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________．解析：设(x 0，y 0)是直线2x ＋3y －6＝0上任一点，其关于点(1，－1)的对称点的坐标是(x ，y )，则2x 0＋3y 0－6＝0，(*)又由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x2＝1y 0＋y2＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2－xy 0＝－2－y ，代入(*)式，得2(2－x )＋3(－2－y )－6＝0，即2x ＋3y ＋8＝0.答案：2x ＋3y ＋8＝09．(2010·深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．解析：∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点，∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0. 答案：2x －y ＋8＝0三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为零，l 1显然不平行于l 2. 当sin θ≠0时，k 1＝－1sin θ，k 2＝－2sin θ，欲使l 1∥l 2，只要－1sin θ＝－2sin θ，sin θ＝±22，∴θ＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线截距不相等．∴当θ＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，即2sin 2θ－1＝0，得sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，由B 1C 2－B 2C 1≠0， 即1＋sin θ≠0，即sin θ≠－1， 得θ＝k π±π4，k ∈Z ，∴当θ＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， ∴2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，∴θ＝k π(k ∈Z)， ∴当θ＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 11．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得439,2343.5x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨++⎪⎪⎩′′=(1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 12．(2010·山东烟台)已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是7105.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5；若能，求P 点坐标；若不能，说明理由．解：(1)直线l 2：2x －y －12＝0.所以l 1与l 2的距离d ＝|a －－12|22＋－12＝7510， 所以|a ＋12|5＝7510所以|a ＋12|＝72.因为a >0，所以a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上，且|C －3|5＝12|C ＋12|5，即C ＝132，或C ＝116，所以2x 0－y 0＋132＝0，或2x 0－y 0＋116＝0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，应舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴存在点P (19，3718)同时满足三个条件．。
《三维设计》2012届高三数学 第8章 第1节 课时限时检测 新人教A版
第8章 第1节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：由a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或1. 答案：D2．(2010·某某春招)过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长时直线过(1,0)点，又直线过P (0,1)，∴直线方程为x ＋y －1＝0.答案：C 3．若直线的倾斜角的余弦值为45，则与此直线垂直的直线的斜率为( ) A ．－43B.34C ．－34D.43解析：设直线的倾斜角为θ，由题意知，cos θ＝45，θ∈(0，π2)， ∴sin θ＝35，k ＝tan θ＝sin θcos θ＝34. ∴与此直线垂直的直线的斜率为－43. 答案：A4．(2010·海淀二月模拟)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13. 答案：B5．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且l 2的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )A ．y ＝6x ＋1B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1) 解析：设直线l 1的倾斜角为α，则由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由直线l 2过点(1,0)即可求得其方程． 答案：D6．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：k 1＝3，k 2＝－k ，又l 1⊥l 2，∴3×(－k )＝－1，∴k ＝13， ∴l 2的斜率为－13， ∴l 2：x ＋3y －15＝0.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 解析：设所求直线方程为x a ＋y b ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝08．已知直线l 的斜率为k ，经过点(1，－1)，将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m ，若直线m 不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值X 围是__________．解析：依题意可设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －1)，即y ＝kx －k －1，将直线l 向右平移3个单位，得到直线y ＝k (x －3)－k －1，再向上平移2个单位得到直线m ：y ＝k (x －3)－k －1＋2，即y ＝kx －4k ＋1.由于直线m 不经过第四象限，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥0，－4k ＋1≥0，解得0≤k ≤14. 答案：0≤k ≤149．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，xy 的最大值等于____________． 解析：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1， ∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4时取等号． 答案：3三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)；(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1， k NP ＝0－－2x －5＝2x －5(x ≠5)， ∴1＝2x －5，∴x ＝7， 即P (7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1.k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1， 解得x ＝1或x ＝6，即P (1,0)或(6,0)．11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，某某数a 的取值X 围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，截距相等， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0.若a ≠2，由于截距存在，∴a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.(2)法一：将l 的方程化为 y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知，a 的取值X 围是a ≤－1.法二：将l 的方程化为(x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R)，它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由图象可知l 的斜率－(a ＋1)≥0时，l 不经过第二象限，∴a ≤－1.12．过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．解：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝⎛⎭⎪⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，①⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，②由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2. ∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0. 解得k ＝－14，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )． 又M (0,1)是AB 的中点，由中点坐标公式，得A (－t,2t －6)．∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上，∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4.∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.。
《三维设计》2022届高三数学 第8章 第6节 课时限时检测 新人教A版
第8章第6节时间60分钟，满分80分一、选择题共6个小题，每小题5分，满分30分1．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是＝±4，则该双曲线的离心率是解析：由题意知，错误!＝4，则双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!答案：A2．2022·深圳一模若双曲线过点m，nm>n>0，且渐近线方程为＝±，则双曲线的焦点A．在轴上B．在轴上C．在轴或轴上D．无法判断是否在坐标轴上解析：∵m>n>0，∴点m，n在第一象限且在直线＝的下方，故焦点在轴上．答案：A3．设F1，F2是双曲线2－错误!＝1的两个焦点，1F1F2c1F1F4c4a4c1F1F2M2M2a1F2M1M2c2a4a在双曲线上．1求双曲线方程；2求证：·＝0；3求△F1MF2面积．解：1∵e＝错误!，∴可设双曲线方程为2－2＝λ∵过点4，－错误!，∴16－10＝λ，即λ＝6∴双曲线方程为2－2＝62证明：法一：由1可知，双曲线中a＝b＝错误!，∴c＝2错误!，∴F1－2错误!，0，F22错误!，0，∴MF1＝错误!，MF2＝错误!，MF1·MF2＝错误!＝－错误!∵点3，m在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故MF1·MF2＝－1，∴MF1⊥MF2∴·＝0法二：∵＝－3－2错误!，－m，＝2错误!－3，－m，∴·＝3＋2错误!×3－2错误!＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝03△F1MF2的底|F1F2|＝4错误!，由2知m＝±错误!∴△F1MF2的高h＝|m|＝错误!，∴S△F1MF2＝611．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0，实轴长为2错误!1求双曲线C的方程；2若直线：＝＋错误!与双曲线C左支交于A、B两点，求的取值范围；3在2的条件下，线段AB的垂直平分线0与轴交于M0，m，求m的取值范围．解：1设双曲线C的方程为错误!－错误!＝1a>0，b>0．由已知得：a＝错误!，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线C的方程为错误!－2＝12设A A，A、B B，B，将＝＋错误!代入错误!－2＝1，得：1－322－6错误!－9＝0由题意知错误!解得错误!2其中O为原点，求的取值范围．解：1设双曲线C2的方程为错误!－错误!＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为错误!－2＝12将＝＋错误!代入错误!－2＝1，得1－322－6错误!－9＝0由直线与双曲线C2交于不同的两点，得错误!，∴2≠错误!且22，得12＋12>2，∴错误!>2，即错误!>0，解得错误!<2<3，②由①②得错误!<2<1，故的取值范围为－1，－错误!∪错误!，1．。
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第8章 第3节
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2或a >2
3
B ．－2
3<a <0
C ．－2<a <0
D ．－2<a <2
3
解析：由a 2
＋4a 2
－4(2a 2
＋a －1)>0知－3a 2
－4a ＋4>0即3a 2
＋4a －4<0 ∴－2<a <2
3.
答案：D
2．(2011·深圳调研)若曲线C ：x 2
＋y 2
＋2ax －4ay ＋5a 2
－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
解析：曲线C 的方程可化为：(x ＋a )2
＋(y －2a )2
＝4，其圆心为(－a,2a )，要使得圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到横、纵坐标轴的最短距离为|2a |，|－a |，则有|2a |>2，|－a |>2，故a >2.
答案：D
3．(2011·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和
x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －3)2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －732＝1
B ．(x －2)2＋(y －1)2
＝1
C ．(x －1)2
＋(y －3)2
＝1
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋(y －1)2
＝1 解析：依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|
5
＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2
＋(y －1)2
＝1.
答案：B
4．圆x 2＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )
A ．(－∞，1
4]
B ．(0，1
4)
C ．(－1
4
，0)
D ．(－∞，1
4
)
解析：由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤(a ＋b
2
)
2
＝14
. 答案：A
5．圆心在抛物线y 2
＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2
－x －2y －14＝0
B ．x 2＋y 2
＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2
＋y 2
－x －2y ＋1＝0
D ．x 2＋y 2
－x －2y ＋14
＝0
解析：抛物线y 2
＝2x (y >0)的准线为x ＝－12，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心在
直线y ＝x ＋12(y >0)上，与y 2
＝2x (y >0)联立可得圆心的坐标为(12，1)，半径为1，则方程为(x
－12)2＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2
－x －2y ＋14
＝0 答案：D
6．(2010·西安模拟)已知圆的方程为x 2
＋y 2
－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．20 6
C ．30 6
D ．40 6
解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2
＋(y －4)2
＝25，所以圆
心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝
－
2
＋－
2
＝1<5，所以
点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2
－|MP |2
＝252
－12
＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12
|AC |×|BD |＝1
2
×10×46＝20 6.
答案：B
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．若圆x 2
＋y 2
－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2
＋y 2
＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为________．
解析：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2
＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝x 2
，整理即得y 2
＋4x －4y ＋8＝0.
答案：y 2
＋4x －4y ＋8＝0
8．圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是__________．
解析：根据|AB |＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为(1，1
2)，故所求圆的标
准方程为(x －1)2
＋(y －12
)2＝1.
答案：(x －1)2
＋(y －12
)2＝1
9．若圆的方程为x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________． 解析：方程为x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0 化为标准方程为(x ＋k
2)2
＋(y ＋1)2
＝1－3k
2
4
∵r 2
＝1－3k
2
4
≤1，∴k ＝0时r 最大．
此时圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1)
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知直线l 1：4x ＋y ＝0，直线l 2：x ＋y －1＝0以及l 2上一点P (3，－2)．求圆心C 在l 1上且与直线l 2相切于点P 的圆的方程．
解：设圆心为C (a ，b )，半径为r ，依题意，得b ＝－4a . 又PC ⊥l 2，直线l 2的斜率k 2＝－1， ∴过P ，C 两点的直线的斜率k PC ＝
－2－－4a
3－a
＝1，
解得a ＝1，b ＝－4，r ＝|PC |＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
11.如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2
＋y 2
＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．
解：设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心．
由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式：
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋1＋x 0－
3，
y ＝2y 0
3，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝3x ＋1
2，y 0
＝3y
2y
，
代入x 2＋y 2
＝1，整理得
所求轨迹方程为(x ＋13)2＋y 2
＝49
(y ≠0)．
12．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2
＋－1－b 2
＝r
2－1－a 2
＋
－b 2
＝r 2
，
a ＋
b －2＝0
解得a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝4.
(2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋1
2|BM |·|PB |，
又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |， 所以S ＝2|PA |，
而|PA |＝|PM |2
－|AM |2
＝|PM |2
－4， 即S ＝2|PM |2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝
|3×1＋4×1＋8|
32
＋4
2
＝3，
所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2
－4＝232
－4＝2 5.。