函数概念与图象(二)
函数的概念及图像
函数的概念及图象一、知识要点概述(一)函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量．2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量．3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．4、函数的表示方法5、画函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，通常称为描点法．6、函数自变量的取值范围(二)平面直角坐标中点的坐标特征3、平行于坐标轴的直线上的点(1)平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．4、对称点的坐标：(1)点P(a，b)关于x轴的对称点坐标是P(a，－b)即横坐标相同，纵坐标互为相反1数．(－a，b)即横坐标互为相反数，纵坐标相(2)点P(a，b)关于y轴的对称点坐标是P2同．(－a，－b)即横、纵坐标都互为相反数．(3)点P(a，b)关于原点的对称点坐标是P35、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等．(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a，b)与原点的距离是．(2)点P(a，b)与x轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)．(3)点P(a，b)与y轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例1、现有点M(1＋a，2b－1)在第二象限，则点N(a－1，1－2b)在第________象限．分析：本题主要考查各象限内点的坐标符号特征．由于点M在第二象限，，所以N点在第三象限．解：三例2、若m为整数，点P(3m－9，3－3m)是第三象限的点，则P点的坐标是（）A．(－3，－3)B．(－3，－2)C．(－2，－2)D．(－2，－3)分析：根据第三象限点的符号特征，建立不等式组求出字母m的取值范围，再确定m的值，从而可得P点坐标．解：选A．例3、点A(1，m)在函数y=2x图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是(________，________)分析：把A(1，m)代入函数式y=2x中，求m=2，则A(1，2)，再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标．解：(－1，2)例4、已知P点关于x轴的对称点P1的坐标是(2，3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）A．(－3，－2)B．(2，－3)C．(－2，－3)D．(－2，3)分析：(2，3）关于x轴对称，故求P(2，－3)，∴点P(2，－3)关于原点对称由点P与P1的点坐标易求．解：选D．例5、已知两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，若点A的坐标为(1，－1)，则点B的坐标为（）A．(1，1)B．(－1，－1)C．(－1，1)D．无法求出分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称．解：选A．例6、下列各组的两个函数是同一函数吗？为什么？(1)y=x和(2)y=πx2和S=πr2(其中x≥0，r≥0)(3)y=x＋2和分析：判断两个函数是否为同一函数：①要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；②要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同．解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≠0的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≥－2．例7、在函数中自变量x的取值范围是________．分析：求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：①函数解析式中的分母不能为0；②偶次根式的被开方数应为非负数；③零指幂和负整指数幂的底数不能为0．此题中，自变量x应满足解：x≥－1且x≠2．例8、等腰△ABC周长为10cm，底边BC长为y cm，腰长AB为x cm．(1)求出y与x的函数关系式；(2)求x的取值范围；(3)求y的取值范围；(4)画出此函数的图象．分析：要求y与x的函数关系，关键是找出y与x之间的等量关系，确定x的取值范围应从边长为正数和三角形三边关系方面入手．画函数的图象应按列表、描点、连线的步骤进行，同时应注意自变量的取值范围对图象的影响．解：(1)∵△ABC的周长为10，∴2x＋y=10，∴y=10－2x．．(3)由解之得0＜y＜5．(4)函数的图象如图所示．点评：求实际问题中的函数关系式应标明自变量的取值范围，画有自变量取值范围的函数图象时应注意端点处是实心点还是空心圆圈．。
《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】
第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。
3.1.2函数的概念(第二课时)课件高一上学期数学人教A版
80x(0≤x≤5).
其中表示同一函数的是________(填序号).
例题巩固
解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同， 不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与 g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故 是同一函数. 答案 ⑤
函数的概念 （第二课时）
知识回顾
函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它
对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集 合B的子集．
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
课堂小结
1．构成函数的三要素： 定义域，对应关系和值域． 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函
数是同一个函数．
2．求函数定义域的依据 1）分式中分母不为零； 2）偶次根式内的式子不小于零； 3）0的0次方无意义； 若某函数是由多个函数通过加、减、乘运算构成的新函数，则该函数
例题巩固
规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与 值域都相同，也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没 有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.
例题巩固
【训练2】 (1)下列各组函数是同一函数的是( )
函数图象的概念和反函数的图象
函数图象的概念和反函数的图象函数图象是数学中最重要的概念之一，它是指一个平面上的点集，其中的每一对坐标满足一定的函数关系。
函数的图象可以有不同的形状：抛物线，双曲线，圆，椭圆等。
它们代表着函数关系的视觉表现，是理解函数特征的重要方式，也是数学建模和解决数学问题的重要手段。
反函数图象是函数图象的一种。
其本质也是一个平面上的点集，只是其中的每一对坐标是满足反函数关系的，而不是函数关系的。
与函数图象不同的是，反函数图象的每个点都是函数的最大值或最小值，可以反映函数的极值点。
从函数的定义可以看出：函数f的图象是所有符合f(x)=y条件的(x,y)点集，而函数f的反函数的图象是所有满足y=f-1(x)条件的(x,y)点集。
可以看出，反函数图象是以函数图象对称的，原函数在横轴上的最大值在反函数图象上对应的是最小值，原函数在横轴上的最小值在反函数图象上对应的是最大值，反之亦然。
从二元函数到三元函数，都可以生成函数的图象和反函数的图象。
函数的图象可以用来反映函数的某些性质，如极大值、极小值、交汇点、平行线，以及函数的奇偶性等；而函数的反函数的图象可以用来反映函数的极值点和对称性。
在函数图象与反函数图象中，一般来说，函数图象贴近原函数，而反函数图象则会与原函数有很大的差别，给求解反函数带来了挑战。
在计算反函数时，不仅要考虑抽象的概念，还要考虑它的可视化表达。
平时的学习中，有计算反函数的题，要能够准确运用函数图象和反函数图象，从而定位反函数的取值范围，更容易掌握反函数的概念。
从函数图象和反函数图象中，我们可以看出，数学研究中图象的使用和应用非常重要，它不仅能帮助我们更直观理解函数，而且可以帮助我们判断反函数是否存在，以及反函数的取值范围。
因此，学习函数图象和反函数图象在学习数学和解决数学问题中实用性很大。
第二章 第1讲 函数的概念及其表示-2025年高考数学备考
第二章函数第1讲函数的概念及其表示课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.求函数的定义域2022北京T11本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.求函数的解析式分段函数2022浙江T14；2021浙江T12学生用书P0181.函数的概念及表示函数的定义一般地，设A ，B 是①非空的实数集，如果对于集合A 中的②任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有③唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f （x ），x ∈A .三要素④定义域，⑤对应关系，⑥值域.定义域自变量x 的取值范围A .值域函数值的集合{f （x ）｜x ∈A }，是集合B 的⑦子集.相等函数⑧定义域相同，⑨对应关系完全一致.函数的表示法⑩解析法，⑪列表法，⑫图象法.注意（1）与x 轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.常用结论求函数的定义域时常用的结论（1）分式型1（）要满足f （x ）≠0；（2）偶次根式型2（）（n ∈N *）要满足f （x ）≥0；（3）[f （x ）]0要满足f （x ）≠0；（4）对数型log a f （x ）（a ＞0，且a ≠1）要满足f（x）＞0；（5）正切型tan f（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈Z.2.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.注意（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（B）A.f（x）＝2－1与g（x）＝－1·+1B.f（x）＝x与g（x）＝3＋2+1C.f（x）＝x与g（x）＝（）2D.f（x）＝2与g（x）＝332.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（D）A.y＝xB.y＝lg xC.y＝2xD.y3.[教材改编]已知函数f（x 1，≤1，>1，则f（f（－2））＝（B）A.8B.12C.－34D.－109解析因为f（x）1，≤1，>1，所以f（－2）＝（－2）2－1＝3，所以f（f（－2））＝f（3）＝13－1＝12，故选B.4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.学生用书P019命题点1求函数的定义域例1（1）[2022北京高考]函数f（x）＝1＋1－的定义域是（－∞，0）∪（0，1].解析因为f（x）＝1＋1－，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为[－3，3].解析因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].命题拓展若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].解析由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].方法技巧1.求具体函数的定义域的策略根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.2.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.注意无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.训练1（1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝（2r1）r1的定义域是（A）A.[－32，－1）∪（－1，1]B.[－3，－1）∪（－1，7]C.（－1，7]D.[－32，－1）解析因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选A.（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.解析要使函数f（x）＝3－2＋（x－4）0有意义，则有3－2≥0，－4≠0，解得x≥23且x≠4，所以函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.命题点2求函数的解析式例2（1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝4x－5或－4x＋253.解析设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴2=16，B＋＝－25，∴=4，＝－5或＝－4，＝253，∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋253.（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1）＝3x－1，则f（x）＝2x－1－13.解析已知2f（x）＋f（1）＝3x－1①，以1代替①中的x（x≠0），得2f（1）＋f（x）＝3－1②，①×2－②，得3f（x）＝6x－3－1，故f（x）＝2x－1－13.方法技巧求函数解析式的常用方法（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x）.注意求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.训练2（1）已知f（x2＋12）＝x4＋14，则f（x）的解析式为f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.解析因为f （x 2＋12）＝（x 2＋12）2－2，所以f （x ）＝x 2－2，x ∈[2，＋∞）.（2）[2024安徽淮南模拟]已知f （x ）是二次函数，且f （x ＋1）＋f （x －1）＝2x 2－4x ＋4，则f （x ）＝x 2－2x ＋1.解析因为f （x ）是二次函数，所以设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则有a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ＋a （x －1）2＋b （x －1）＋c ＝2x 2－4x ＋4，即2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x＋4，所以2=2，2＝－4，2+2=4，所以=1，＝－2，=1，所以f （x ）＝x 2－2x ＋1.（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f （x ）满足3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x ，则f （x ）的解析式为f （x ）＝4x －85.解析3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x①，用1－x 代替①中的x 可得3f （1－x ）＋2f （x ）＝4（1－x ）②，由3×①－2×②可得f （x ）＝4x －85.命题点3分段函数角度1分段函数的求值（求参）问题例3（1）[山东高考]设f （x ）＝，0<<1，2（－1),≥1.若f （a ）＝f （a ＋1），则f （1）＝（C）A.2B.4C.6D.8解析作出f （x ）的图象，如图所示，因为a ＜a ＋1，所以要使f （a ）＝f （a ＋1），则有＝2（a ＋1－1），0＜a ＜1，所以解得a ＝14，所以f （1）＝f （4）＝6.（2）[2022浙江高考]已知函数f （x ）＝－2+2，≤1，＋1－1，>1，则f （f （12））＝3728；若当x ∈[a ，b ]时，1≤f （x ）≤3，则b －a 的最大值是3＋3.解析由题意知f （12）＝－（12）2＋2＝74，则f （f （12））＝f （74）＝74＋174－1＝74＋47－1＝3728.作出函数f （x ）的大致图象，如图所示，结合图象，令－x 2＋2＝1，解得x ＝±1；令x ＋1－1＝3，解得x ＝2±3，又x ＞1，所以x ＝2＋3.所以（b －a ）max ＝2＋3－（－1）＝3＋3.角度2分段函数的解不等式问题例4[全国卷Ⅰ]设函数f （x ）＝2－，≤0，1，>0，则满足f （x ＋1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（D）A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）C.（－1，0）D.（－∞，0）解析解法一当x ≤0时，函数f （x ）＝2－x 是减函数，则f （x ）≥f （0）＝1.作出f （x ）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f （x ＋1）＜f （2x ），则需+1<0，2<0，2＜+1或+1≥0，2<0，所以x ＜0，故选D.解法二当x ＝－12时，f （x ＋1）＝f （12）＝1，f （2x ）＝f （－1）＝2－（－1）＝2，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除A ，B ；当x ＝－1时，f （x ＋1）＝f （0）＝20＝1，f （2x ）＝f （－2）＝22＝4，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除C.故选D.方法技巧1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f （f （a ））形式时，一般由内向外逐层求值.2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.注意解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.训练3（1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a ＜0，函数f （x ）＝2＋，<1，－－2，≥1，若f （1－a ）＝f （1＋a ），则a 的值为（A ）A.－34B.－32C.－35D.－1解析因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－34.故选A.（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝e－1，≤2，2（－2),>2，则f（7）＝8.解析由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.解析作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝1－，≤0，2，>0.当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.1.[命题点1/2023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟]函数f（x－log3（1－2）的定义域是（A）A.[0，12）B.（－∞，12）C.（－∞，12]D.（－∞，1）解析由题意得1－>0，－log3（1－2）≥0，1－2>0，解得0≤x＜12，所以函数f（x）的定义域是[0，12），故选A.2.[命题点2]定义在（－1，1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.解析当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①.以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②.由①②消去f（－x）得，f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.3.[命题点3角度1]设函数f（x，≤1，>1，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（D）A.（－∞，0]B.[0，2]C.[2，＋∞）D.（－∞，0]∪[2，＋∞）解析作出f（x）的图象（图略），可得f（x）的最小值为12，令t＝f（a），则t≥12，考虑f（t）＝2的解，作出y＝f（t）与y＝2在[12，＋∞）上的图象，如图1中实线所示，由图可知，当t≥1时，f（t）＝2，故t≥1.下面考虑f（a）≥1的解集，作出y＝f（a）与y＝1的图象如图2所示，由图可得a≤0或a≥2.故选D.图1图24.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f（x）＝－2+2B－2，≤，－，＞，若f（a2－4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（B）A.（－1，4）B.（－∞，－1）∪（4，＋∞）C.（－4，1）D.（－∞，－4）∪（1，＋∞）解析由题意知f（x）＝－（－）2，≤，－，＞，易知函数f（x）在（m，＋∞），（－∞，m]上单调递增，且m－m＝－（m－m）2，所以函数f（x）在R上单调递增.则由f（a2－4）＞f（3a），得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选B.学生用书·练习帮P2641.函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）的定义域为（C）A.[13，1）∪（1，＋∞）B.[13，2）C.[13，1）∪（1，2）D.（0，2）解析要使函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）有意义，则3－1≥0，2－>0，2－≠1，解得≥13，<2，≠1，故函数的定义域为[13，1）∪（1，2）.故选C.2.下列各组函数表示相同函数的是（C）A.f（x）＝2和g（x）＝（）2B.f（x）＝1和g（x）＝x0C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝，≥0，－，<0D.f（x）＝e ln x和g（x）＝lg10x解析对于选项A，f（x）＝2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝，≥0，－，＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝e ln x的定义域为（0，＋∞），g（x）＝lg10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.3.[2023重庆模拟]已知函数f（＋1）＝x＋2，则f（x）的解析式为（C）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）解析解法一（配凑法）f（＋1）＝x＋2＝（＋1）2－1，令t＝＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.解法二（换元法）令t＝＋1（t≥1），则＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t －1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.4.已知函数f（x）＝ln，≥1，0，0≤<1，，<0，若f（2a－1）－1≤0，则实数a的取值范围是（D）A.[e+12，＋∞）B.（－∞，－12]∪[0，e+12]C.[0，e+12]D.（－∞，e+12]解析因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤x P＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，r12]，故选D.5.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y 的定义域是（2，5].解析由题意知0≤－1≤4，－2>0，解得2＜x≤5，即y2，5].6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3，≤0，l4，>0，则f（f（116））＝19.解析因为f（x）＝3，≤0，log4，>0，所以f（116）＝log4116＝－2，f（－2）＝3－2＝19，所以f（f（116））＝19.7.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是f（x）＝2x（答案不唯一）.（写出满足条件的一个解析式即可）解析由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取任意实数）满足要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12），∈（－∞，1),log4，∈（1，＋∞),则f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.解析由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝log44＝1，结合对数函数y＝log4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）.所以不等式f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.9.[2023福建漳州联考]已知函数f（x）＝log2，>0，2+4+1，≤0，若实数a满足f（f（a））＝1，则实数a的所有取值的和为（C）A.1B.1716－5C.－1516－5D.－2解析作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得x A＝－4，x B＝0，x C＝2.令f（a）＝－4，则由图可得log2a＝－4，解得a＝2－4＝116；令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或log2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4＝－1516－5，故选C.10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝，0<<1，eln，≥1，若f（a）＝f（e a），则f（1）＝解析根据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以e a＞1.易知y＝e x的图象与y＝x的图象无交点，所以e a≠a，所以要使f（a）＝f（e a），则0＜a＜1＜e a，所以＝e ln e a，变形可得＝e a，解得a＝1e，则f（1）＝f（e）＝e ln e＝e.11.[情境创新]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数f（x）＝1，为有理数，0，为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x），下列说法正确的是（D）A.f（x）的定义域为{0，1}B.f（x）的值域为[0，1]C.∃x∈R，f（f（x））＝0D.对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立解析由题意知f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f（x）＝0或f（x）＝1，所以当f（x）＝0时，f（f（x））＝f（0）＝1，当f（x）＝1时，f（f（x））＝f（1）＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f（x）＝f（x＋T）＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f（x＋T）＝f（x）＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故D正确.故选D.12.[探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在M，使得f（x）≥M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中M为函数f（x）的一个下界，若存在N，使得f（x）≤N对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中N为函数f（x）的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（ABD）A.2是y＝x＋1（x∈（2，＋∞））的一个下界B.y＝ln有上界无下界C.y＝x e x有上界无下界D.y＝cos2+1有界解析对选项A，y＝x＋1在（2，＋∞）上单调递增，故y＞2＋12＝52≥2，A正确；对选项B，y＝ln，则y'＝1－ln2，当x∈（0，e）时，y'＞0，函数单调递增，当x∈（e，＋∞）时，y'＜0，函数单调递减，故函数在x＝e时有最大值为1e，无最小值，即y≤1e恒成立，B正确；对选项C，当x趋近于＋∞时，y＝x e x趋近于＋∞，C错误；对选项D，y＝Hs2+1，则｜y｜＝｜Hs｜2+1≤12+1≤1，即－1≤y≤1恒成立，D正确.故选ABD.。
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
高中数学知识要点重温之(2)函数概念
要点重温之函数概念、图象、性质江苏 郑邦锁1.一条曲线是函数图象的必要条件是：图象与平行于y 轴的直线至多只有一个交点。
一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域须一一对应，反应在图象上平行于X 轴的直线与图象至多有一个交点。
单调函数必存在反函数吗？（是的,任何函数在它的一个单调区间内总有反函数）；[举例]函数f(x)=x 2-tx+2在[1,2]上有反函数，则t 的一切可取值的范围是______解析：对于“连续”函数而言，函数有反函数即单调；f(x)=x 2-tx+2在[1,2]上单调即区间[1,2]在对称轴x=2t 的一侧，∴2t ≥2或2t ≤1，即]t ≤2或t ≥4。
2.求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，即要求出原函数的值域。
求反函数的表达式的过程就是解（关于x 的）方程的过程。
注意：x=f -1(y)一定是唯一的。
[举例] 函数()+∞∈-+=,1,11ln x x x y 的反函数为 （A ）()+∞∈+-=,0,11x e e y x x （B ）()+∞∈-+=,0,11x e e y x x （C ）()0,,11∞-∈+-=x e e y x x （D ）()0,,11∞-∈-+=x e e y x x解析：∵()+∞∈,1x ，∴11-+x x =1+12-x >1（关注分离常数），∴11ln -+=x x y ∈（0，+∞） 又由11ln -+=x x y 得11-+x x =y e ，不难解出11-+=y y e e x ，y x ,互换后得()+∞∈-+=,0,11x e e y x x （互换是“全面”的，表达式上换，定义域、值域也要换）故选B 。
3.原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图象关于y=x 对称；若函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，a ∈A,b ∈C,f [f -1(b)]=b; f -1[f(a)]=a[举例1] 已知函数a x x f -=1)(的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（0，2），则a=____ 解析：原函数ax x f -=1)(是有反比例函数（奇函数）平移而来，其图象关于（a,0）对称，∴它的反函数)(1x f -的图象应关于（0，a ）对称，即a=2[举例2]已知f(x)=x 2+2x+3,(x>-1),则f -1(3)= 。
二次函数基本概念与图象
二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。
一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。
二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。
4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。
三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。
2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。
平移的距离与|b|成正比。
3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。
平移的距离与|c|成正比。
四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。
2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。
五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。
2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。
3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。
总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。
课时2 函数的概念(二)
课时2 函数的概念(二)1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对应关系相同的两个函数一定是同一个函数．( ×)(2)[a ，a －1]表示一个区间．( × )(3)函数的定义域和值域都相同，这两个函数不一定是同一个函数．( √ )(4)函数y ＝k x的值域为R .( × )题型1 区间的概念2．用区间表示数集{x |2<x ≤4}＝__(2,4]__．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .题型2 同一个函数4．下列各组函数是同一个函数的是( C )A ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2xB ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x解析：A.f (x )＝－2x 3＝－x －2x 与g (x )＝x －2x 的对应关系不同，故不是同一个函数．B.f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2的对应关系不同，故不是同一个函数．C.f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一个函数．D.f (x )＝0与g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)的定义域不同，故不是同一个函数．5．若函数f (x )与函数g (x )＝1－x x 是同一个函数，则函数f (x )的定义域是__(－∞，0)∪(0,1]__．解析：要使g (x )与f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 6．下列各对函数中是同一个函数的是__②④__.①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0；②f (x )＝(2x ＋1)2与g (x )＝|2x ＋1|；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.解析：①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，定义域为{x |x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一个函数；②f (x )＝(2x ＋1)2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不同，不是同一个函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一个函数．题型3 函数的值域7．函数y ＝x ＋1x －1在区间[2,5]上的值域是 ⎣⎡⎦⎤32，3 . 解析：由题意y ＝x ＋1x －1＝2x －1＋1，此函数在区间[2,5]上是减函数，所以有32≤y ≤3，故函数的值域是⎣⎡⎦⎤32，3.8．求下列函数的值域：(1)y ＝3－x 2x －1； (2)y ＝－x 2－x ＋1(1≤x ≤2)．解：(1)y ＝－12·x －3x －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52x －12. 因为52x －12≠0，所以y ≠－12， 即函数的值域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)y ＝－x 2－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54.因为1≤x ≤2，所以－5≤－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54≤－1，所以函数y ＝－x 2－x ＋1的值域为[－5，－1]．易错点1 忽略定义域致错9．下列各组函数中，是同一个函数的是( A )A ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1B ．f (x )＝2x ，g (x )＝2(x ＋1)C ．f (x )＝(－x )2，g (x )＝(－x )2D ．f (x )＝x 2＋x x ＋1，g (x )＝x解析：A 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B 中对应关系不同；C 中定义域不同；D 中定义域不同．[误区警示] 两函数为同一个函数只有在定义域、对应关系相同的前提下才成立． 易错点2 忽视所换元的取值范围致错10．求函数y ＝x ＋x ＋1的值域．解：设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54.又因为t ≥0，故f (t )≥－1.所以函数的值域是{y |y ≥－1}．[误区警示] 二次函数求值域要注意自变量的取值范围．(限时30分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋13的定义域为[0,1]，则它的值域为( A ) A ．⎣⎡⎦⎤13，56B ．RC ．⎣⎡⎦⎤13，12D ．[]0，12．下列四个区间能表示数集A ＝{x |0≤x <5或x >10}的是( B )A ．(0,5)∪(10，＋∞)B ．[)0，5∪(10，＋∞)C ．(]0，5∪[10，＋∞)D ．[0,5]∪(10，＋∞)3．已知函数f (x )＝2－2x x ＋1(x >1)，则它的值域为( D ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．(－2,0)解析：f (x )＝2－2x x ＋1＝－2(x ＋1)＋4x ＋1＝－2＋4x ＋1(x >1)，设t ＝x ＋1(t >2)，易知：y ＝4t ∈(0,2)，故f (x )＝－2＋4x ＋1(x >1)的值域为(－2,0)． 4．(多选题)下列各组函数中表示同一个函数的是( BD )A ．y ＝20与y ＝x xB ．y ＝1(x >0)与y ＝|x |x(x >0) C ．y ＝x 2＋x 与y ＝x x ＋1D ．y ＝x ＋1与y ＝3(t ＋1)3解析：A 中y ＝20＝1，定义域为R ，y ＝x x＝1(x ≠0)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；B ．两个函数的对应关系、定义域相同，是同一个函数；C 中由x 2＋x ≥0得x ≥0或x ≤－1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≥－1，得x ≥0， 两个函数的定义域不相同，不是同一个函数．D 中y ＝3(t ＋1)3＝t ＋1，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．5．(多选题)函数f (x )＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，当－12≤x ≤72时，下列函数中，其值域与f (x )的值域相同的函数为( ABD )A ．y ＝x ，x ∈{}－1，0，1，2，3B ．y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32C ．y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14 D ．y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2解析：由题意，可得当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，f (x )＝－1；当x ∈[0,1)时，f (x )＝0；当x ∈[1,2)时，f (x )＝1；当x ∈[2,3)时，f (x )＝2；当x ∈⎣⎡⎦⎤3，72时，f (x )＝3.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，72时，函数f (x )的值域为{－1,0,1,2,3}．对于A 选项，y ＝x ，x ∈{－1,0,1,2,3}，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于B 选项，y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于C 选项，y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14，该函数的值域为{－1,1,2,3,4}；对于D 选项，y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}．故选ABD.二、填空题6．已知区间(4p －1,2p ＋1)，则p 的取值范围为__(－∞，1)__．解析：由题意，得4p －1<2p ＋1，所以p <1.7．函数f (x )＝x 2－2x 的定义域为__(－∞，0]∪[2，＋∞)__，值域为__[0，＋∞)__． 解析：要使函数有意义，则需x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，即定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)．因为f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，结合函数的定义域可得f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)．8．由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y ＝[x ]，例如[1.2]＝1，[－0.3]＝－1，则函数y ＝2[x ]＋1，x ∈[－1,3)的值域为__{－1,1,3,5}__．三、解答题9．若函数f (x )＝x 2＋4x ＋6，求f (x )在[－3,0]上的值域．解：f (x )＝x 2＋4x ＋6＝(x ＋2)2＋2，x ∈[－3,0]，f (x )max ＝f (0)＝6，f (x )min ＝f (－2)＝2，故f (x )在[－3,0]上的值域为[2,6]．10．已知矩形的面积为10，试构建问题情境描述下列变量关系：(1)y ＝10x； (2)y ＝2x ＋20x. 解：(1)设矩形长为x ，宽为y ，那么y ＝10x. 其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的宽10x. (2)设矩形长为x ，周长为y ，那么y ＝2x ＋20x.其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的周长2x ＋20x .。
第六章 函数的概念和图象
第六章函数的概念和图象一、内容综述：1．函数的有关概念：一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。
如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,y叫因变量。
对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。
（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。
（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。
2.函数值与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。
二、例题分析：例1．判断y=x与y=是否是同一函数。
解：∵ y==|x|当x≥0时，y=x,当x<0时, y=-x.∴ y=x与y=不是同一函数。
说明：虽然这两个函数的自变量取值范围都是全体实数，但当x<0时，两个函数的对应关系不同（如当x=-2时，y=x=-2, 而y==2）, 所以它们不是同一个函数。
例2．不画图象，求函数y=-x+的图象上一点P，使点P到x轴，y轴的距离相等。
解：当点P在第一，三象限内，依题意，设P(a,a)∴ a=-a+解得：a=1.当点P在第二，四象限内，设P（b,-b）∴ -b=-b+解得：b=-3,∴点P坐标为（1，1）或（-3，3）。
说明：由点P到x轴、y轴的距离相等知点P在各象限角平分线上，由于第一，三象限角平分线上的点M（x,y）满足x=y的关系，而第二，四象限角平分线上的点N（x,y）满足x=-y的关系，所以可根据点P的位置特点来设点P的坐标，通过此例训练分类讨论思想。
例3.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元. 若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；分析：由一般车辆停放次数x表示变速停放的辆次数，由保管费列出函数关系再化简，但要在函数式后注明自变量x的取值范围。
函数的概念和图象
口琴和弹吉它，那把重音口琴，给我的朋友固定在一个金属架子上，这架子可以套在头上，这架子一旦套在头上，正好能让嘴够着，这样一来两只手就给腾了出来。他就这样一边吹口琴一边弹吉它，是什么曲子，记不清了，是一首一首连着吹下去，是时下的，摇滚的，热烈的，有那么点热烈
的不着边际，是没有内容的热烈，这可能就是中国九十年代摇滚的特征。吉它的声音混着口琴的声音让我再也捕捉不到以往那种感觉。忽然，我的朋友换了花样，节奏一下子大变，是：“鸣哇哇——鸣哇哇——鸣哇哇——”我忽然忍不住乐了，那个渐渐远去的时代，忽然一晃，就像门口那个
一种乐器，但它可以算是喜剧性的。但它又根本无法和锣鼓相比，锣鼓算乐器吗?当然算，锣鼓其实也是一种难以确定性格的乐器，但它出现在喜庆的场面太多了，所以，锣鼓一响起来，人们就兴奋了，这是历史的潜移默化。在中国，死人而敲锣打鼓是没有的事，喜庆的日子又离不开它，它
? 中国的乐器里，最不可思议的是埙，它在你耳边吹响，你却会觉得很远，它在很远的地方吹动，你又会觉得它很近。这是一种以韵取胜的乐器。是一种事不关己高高挂起超然独行的性格，世上的事都和它好像没有一点点关系，它是在梦境里的音韵，眼
到一个抽象的角落里让你去做具象的想象。琵琶也是这样。《十面埋伏》这支曲子里就有马在不停地奔跑，雨也在曲子里下着，云在曲子里黑着，有火在曲子里惨淡地红着。琵琶、古筝都是这样的大角色演员。而古琴和箫却是极孤独而不合群的避世者，别的乐器是声，而箫和古琴却是韵，需
要更大的耐性去领略，需要想象的合作，不是铺排得很满，而是残缺的，像马远的山水，再好，只是那么一个角落，树也是一棵两棵地吝啬在那里半死不活，需要读它的人用想象和它进行一种合作。听箫曲和古琴曲要闭上眼睛，要让自己暂时离开柴米油盐的现实，饿着肚子和有着强烈的肉欲
(5)
高中数学人教A版 精品 第二章 §2-1 函数的概念及其表示
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.
( ×) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( × ) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( × )
(4)函数 f(x)＝xx－ 2，1x，<0x≥0， 的定义域为 R.( √ )
3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义 域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
跟踪训练1 函数f(x)＝lnx1－1＋ 3－x的定义域为
A.(1,3]
√B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3，＋∞)
D.(－∞，3)
x－1>0， 由题意知x－1≠1，
3－x≥0， 所以1<x<2或2<x≤3，
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3].
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
函数的概念和图象(2)_韦余玲
2.1.1函数的概念和图象（2）教学背景：1．面向学生：高中2．学科：数学教材分析:函数一章在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数的思想、方法方面，将会让学生在今后的学习、工作和生活中受益无穷。
本小节介绍了函数概念和图象，我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，第二课时完成函数图象的教学。
这里我仅谈函数概念的教学。
函数的概念部分用三个实际例子设计数学情境，让学生探寻变量和变量的对应关系，结合初中学习的函数理论，在集合论的基础上，促使学生建构出函数的概念，体验结合旧知识，探索新知识，研究新问题的快乐。
教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重、难点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学方法：采用设问、引导、启发、发现的方法，并灵活应用多媒体手段，以学生为主体，创设和谐、愉悦互动的环境，组织学生自主、合作的探究活动，引导学生探索新知识。
教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x→ g(x)⇒ f(x) → f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3求下列函数的值域：①y＝；②y．例4已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①y＝2－x2；②y＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．教学反思：在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，还可以让学生先复习初中学习过的函数概念，并用课件进行模拟实验，画出某一具体函数的图像，在函数的图像上任取一点P，测出点P的坐标，观察点P 的坐标横坐标与纵坐标的变化规律。
八年级数学《函数的图象2》教学设计
《14.1.3 函数的图象2》教学设计(2) xy 6 (x ＞0)列表 x … 1 2 3 4 5 6 …y … 6 3 2 1.2 1.5 1 …描点连线函数的特征：由（1）的图象可以看出，直线从左到右成上升状态，即y 随x 的增大而增大；由（2）的图象可以看出，曲线从左到右成下降状态，即y 随x 的增大而减小。
描点法画函数图象的一般步骤：1、第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；列表时，自变量的取值不能超出自变量的取值范围，把自变量放在表格的第一行，并按从小大到大的顺序排列，相应的函数值放在第二行。
（3）通过前面实例引导学生总结出画函数图象的一般步骤，并利用课件展示。
（1）通过例题的解答及“想一想”的思考，培养学生主动参与和合作交流的意识。
（2）通过归纳用描点法画函数图象的一般步骤，提高学生的观察、分析、概括和抽象的能力。
2、第二步：描点（在直角坐标系中，以表中自变量的值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点）；3、第三步：连线（按横坐标由小到大的顺序把所有描出的各点用平滑的曲线连接起来）。
想一想（1）图14.1-8是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。
用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系（暂不考虑水量变化对压力的影响）？(2) a 是自变量x 取值范围内的任意一个值，过点（a ，0）画y 轴的平行线，与图中曲线相交。
下列哪个图中的曲线表示y 是x 的函数？为什么？（4）引导学生完成“想一想”的内容，根据学生的回答进行纠正并总结，给出正确的答案。
【学生活动】（1）配合教师完成例3，注意观察教师的描点和连线的过程与方法。
（2）在教师的引导下，总结出画函数图象的一般步骤。
（3）思考“想一想”的问题，结合前面学过的知识，尝试回答这个问题，并思考其他同学回答的是否正确。
第二讲 函数的概念及其表示
第二讲 函数的概念及其表示一、知识讲解考点1函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作 )(x f y =，A x ∈．注意：)(x f y =是函数的简写，并不表示“y ＝f 与x 的乘积”； 考点2函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法求函数的定义域的一般原则：分母不为零；偶次根下不为负；零的零次幂没意义等等 求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法． 注意：①构成函数的三要素：定义域、值域和对应法则；②判断两个函数是否相对，只需看函数的三要素是否相同．考点3映射的概念：设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象． 映射f 也可记为 B A f →: )(x f x →其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域．①判断某“对应法则”是否为A→B 的映射，主要看是否为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意；② A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；② B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象． 考点4函数的表示法： 列表法；图象法．如果Ｆ是函数)(x f y =的图象，则图象上任一点的坐标),(y x 都满足函数关系)(x f y =；反之，满足函数关系)(x f y =的点),(y x 都在图象Ｆ上；解析法．如果在函数)(x f y =)∈(A x 中，)(x f 是用代数式（或解析式）来表示的，则这种表示函数的方法叫做解析法．（也称为公式法）．二、例题精析【例题1】判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由．(1)表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数2__5130=t t h 和函数2__5130=x x y )0≥(x ；(2)1=)(x f 和0=)(x x g ．【又例】下列函数中那个与函数x y =相等？⑴ y ＝(x )2；⑵y ＝33x ；⑶y ＝2x ；⑷y ＝23x x ．【例题2】已知函数)(x f ＝3+x ＋21+x ． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 求)3(__f 和)32(f 的值；(3) 当0>a 时，求)(a f ，)1(__a f 的值； (4) 求）－12x (f 及其定义域．【又例】设函数f x ()的定义域为[]01，，（1）求函数f x ()2的定义域；（2）求函数f x ()-2的定义域．【例题3】（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ；（2）已知函数()f x 满足43)()(2+=-+x x f x f ，求)(x f 的解析式．【例题4】求下列函数的定义域：（1）14)(2--=x x f ， （2） =)(x f x11111++，（3）xx x x f -+=0)1()(， （4）373132+++-=x x y ．【例题５】求下列函数的值域． (1)216x y -=； (2)[]3,1x ；]2，2[，2∈-∈+-=x x x y ；（3）x x y 41332-+-=（4）66522-++-=x x x x y （5）11-++=x x y【例题６】以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？⑴集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的的实数对应；⑵集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；⑶集合A ＝{x |x 是三角形},集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；⑷集合A ＝{x |x 是实验中学的班级}，集合B ＝{x |x 是实验中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.【又例】已知(x ，y )的映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )．(1)求(－2，3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象．【例题７】某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元．试用函数的三种方法表示函数y ＝)(x f ．三、课堂运用【基础】 1. 函数1x y x+=的定义域为__________. 2．设)(x f ＝2211xx -+，则)21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝ ( ) A.3512 B ．－3512C ．1D ．03.已知函数)(x f ＝2211x x -+，求证：)1(x f ＋)(x f ＝0．【巩固】1．函数f x ()的定义域是 )1,1[-，则函数)1()1()(2x f x f x F -+-=的定义域是 .2. 已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2【拔高】 1． 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域 ． 2．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5课后作业【基础】1.下列函数中，定义域不是R 的是（ ） A ．y ＝kx ＋b B ．y ＝1+x k C ．y ＝x 2＋bx －c D ．y ＝112++x x 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==3.已知函数①1y x =-；②21y x =-；③21y x =-；④xy 5=，其中定义域和值域相同的函数有（ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ． ②③4.设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ． 1+πB ． 0C ．π D ． 1-6. 函数y ＝|x －1|，x ∈［－1，2］的值域是（ ）.A.［－1，1］B.［0，1］C.［0，2］D.［1，2］7．对于集合A ＝{a ，b ，c }和集合B ＝R ，以下对应关系中，一定是集合A 到集合B 的映射的是（ ）A.对集合A 中的数开平方B. 对集合A 中的数取倒数 C ．对集合A 中的数取算术平方根 D.对集合A 中的数取立方8.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5【巩固】1.已知f 满足)(ab f ＝)(a f ＋)(b f ，且)2(f ＝p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +2.设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x3.设)(x f 的定义域是[－3，2]，求函数)2(-x f 的定义域．4. 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域．5.已知31=)1+1(__2xx f ，求函数()1-x f 的解析式.6.如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成长方形木料，如果截面矩形的一边长为x ，面积为y ，把y 表示为x 的函数．【拔高】1．已知函数()21,01,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式()()22f x f x ->的x 的取值范围是 .2．函数()|2011||2012||2013|()f x x x x x R =-+-+-∈的最小值为 ．3．已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 .4. 已知)(x f ＋2)1(xf ＝3x ，求)(x f 的解析式为 ． 5.已知函数3+=)1+2(x x f ，求)1+2(x f 和)(x f 的定义域．6. 已知函数)(x f ＝()()⎩⎨⎧><-≤≤103101x x x x 或，则使等式)]([x f f ＝1成立的x 值的范围是 .x1 2 3x1 2 3 ()f x131()g x321x 25cm。
函数的概念及其表示(2)
P64-67
• 研究函数时常会用到区间的概念.
• 设, 是两个实数，而且 < ．我们规定：
(1)满足不等式 ≤ ≤ 的实数的集合叫做闭区间，表示为[, ]；
(2)满足不等式 < < 的实数的集合叫做开区间，表示为(, )；
(3)满足不等式 ≤ < 或 < ≤的实数的集合叫做半开半闭区间，分
式．后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间相
依变化的关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限
制．如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究．
• 例如，著名的狄利克雷函数：
0, 为无理数
() = ቊ
1, 为有理数
对这个函数，如果用变量观点来解释，那么会显得十分勉强,也说不出的物理意
义是什么．但用集合与对应的观点来解释，就十分自然．从这个意义上来说，高中的
函数定义更具一般性.实际上，初中的函数定义已经渗透了集合与对应的观点．由于用
变量观点描述函数比较生动、直观，所以初中阶段仍然广泛使用着函数的“变量说”
定义．
本节内容小结
• 1、区间的概念
• 2、函数定义域的求法、函数值的求法
使函数解析式有意义的一切取值范围，我们称之为自然定义域．
若没有特别说明，我们一般求函数的定义域都是函数的自然定义域．
• 例2．已知函数 = + 3 +
•
1
，
+2
2
(2)求(−3)，( )的值；
3
• 解： −3 = −3 + 3 +
•
2
3
2020年高考数学复习 专题11 函数的图像 (2)
I ．题源探究·黄金母题例 1 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
例2．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？ （3）r 取何值时，只有唯一的p值与之对应？【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．例3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当(2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．【解析】3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页习题1.2B 组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。
函数概念及图像(2)
§2.1.1函数的概念与图象（2）例1．求下列函数的定义域：（1）()f x x = （2）)(x f =x x -1（3）1()21f x x=+ （4）)(x f =+-x 5x -21 分析：如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的实数的集合；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合。
★注意定义域的表示可以是集合或区间。
例2．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1-（1）求函数(1)f x +的定义域；（2）求函数=y )41()41(-++x f x f 的定义域。
[课内练习]１．函数()1f x x x =-的定义域是―――――――――――――――――（ ） Ａ．(),0-∞ Ｂ．()0,+∞ Ｃ．[0,)+∞ Ｄ．Ｒ２．函数f(x)的定义域是[12,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ） A ［0,1］ B ［2，52］ C ［0，52］ D (),3-∞ ３．函数()f x =()01x -的定义域是：４．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是5．函数()()1log 143++--=x x x x f 的定义域是[归纳反思]１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值；２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组；[巩固提高]1．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ]A ．[1-，1]B ．（),1[]1,+∞-∞-C ．[0，1]D ．{1,1-}2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------[ ]A ．[2,2-]B ．[]23,21-C ．[]3,1-D ．[,2-]23 3．函数01x y+=------------------------------------[ ]A ．{}0x x >B ．{}0x x <C ．{}0,1x x x <≠-D ．{}0,1x x x ≠≠- 4．函数y =xx 1+的定义域是 5．函数)(x f =1+x 的定义域是 ；值域是 。