专题04 三角函数的应用-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量(解析版)
高考数学之三角函数知识点总结
高考数学之三角函数知识点总结高考数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它在解三角形、解三角方程和求极限等方面都有广泛应用。
下面是对高考数学中三角函数的知识点进行总结：一、基本概念和性质：1.三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的定义。
2.三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的周期性。
3.三角函数的奇偶性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的奇偶性。
4.三角函数的范围：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的范围。
二、基本公式和恒等变换：1.三角函数的和差化积公式。
2.三角函数的倍角公式。
3.三角函数的半角公式。
4.三角函数的和差化积公式的逆运算。
三、极坐标与三角函数：1.极坐标下的坐标转换。
2.极坐标下的两点间距离公式。
四、三角函数的解析式：1.任意角的解析式。
2.一些特殊角的解析式。
五、三角函数的图像与性质：1.正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的图像和性质。
2.三角函数图像的平移、伸缩和翻转。
3.三角函数的性态。
六、三角函数的应用：1.三角函数在测量中的应用：测量高度、测量角度、计算地理位置等。
2.三角函数在力学中的应用：力的合成、平衡条件等。
3.三角函数在电路中的应用：交流电的正弦表达式等。
4.三角函数在几何中的应用：解三角形、求面积等。
5.三角函数在物理中的应用：波动现象、振动现象等。
以上是高考数学中三角函数的主要知识点总结。
掌握这些知识点，对于解答相关题目、理解相关概念都有很大帮助。
在备考高考数学时，应不断强化基础知识，多进行题目练习和真题训练，同时注重理解和巩固基本概念和性质，提高解题的能力和技巧。
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质讲义(含解析)
第三节 三角函数的图象与性质突破点一 三角函数的定义域和值域[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内的最大值为1.( )(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为x ≠－π4.( )(3)函数y ＝cos x 的定义域为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．y ＝2sin x －2的定义域为________________________． 解析：要使函数式有意义，需2sin x －2≥0，即sin x ≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)2．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为________． 解析：∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<1，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<2.∴函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为(－1,2)．答案：(－1,2) 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________． 解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)[全析考法]考法一 三角函数的定义域[例1] (2019·德州月考)x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎦⎥⎤3π2，2π[解析] 法一：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2.故选C.法二：x ＝π时，函数有意义，排除A 、D ；x ＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.[答案] C [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．考法二 三角函数的值域(最值)[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52， ∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1][方法技巧] 三角函数值域或最值的3种求法[集训冲关]1.[考法一]函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________． 解析：根据题意知sin x >0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)． 答案：(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)2.[考法二](2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． 解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x ＋55sin x＝5sin(x ＋α)(其中tan α＝2)， 故函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. 答案： 53.[考法二]求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2， 2 ]，∵对称轴t ＝－13∈[－2， 2 ]，∴y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y max ＝f (2)＝32＋ 2.突破点二 三角函数的性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 答案：2 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)3．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)， 又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 答案：3π2[全析考法]考法一 三角函数的单调性考向一 求三角函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝|tan x |；(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是( k π－π2，k π ]，k ∈Z.(2)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是[ －5π12，π12 ]，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[方法技巧] 求三角函数单调区间的2种方法数自身的定义域．考向二 已知单调性求参数值或范围[例2] (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(2)(2019·绵阳诊断)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点， 所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32.(2)f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4.[答案] (1)B (2)(－∞，－4] [方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法[例3] (2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π4B.π2C ．πD ．2π[解析] 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.[答案] C[方法技巧] 三角函数周期的求解方法[例4] (1)(2018·枣庄一模)函数y ＝1－2sin 2( x －3π4 )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3[解析] (1)y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x＝－sin 2x ，故函数y 是最小正周期为π的奇函数，故选A. (2)因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案] (1)A (2)C [方法技巧]与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．考法四 三角函数的对称性(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.[例5] (1)(2019·南昌十校联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A ．(－π，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0(2)(2019·合肥联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝11π12C ．x ＝－2π3D ．x ＝7π12[解析] (1)令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，0，k ∈Z. 当k ＝－1时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.故选B.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，可得x ＝512π＋k2π(k ∈Z)．令k ＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝1112π. [答案] (1)B (2)B[方法技巧] 三角函数对称性问题的2种求解方法1.[考法一·考向一]已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 解析：选D 依题意，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－2sin ( 2x －π4 )，令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，故－π4＋2k π≤2x ≤3π4＋2k π(k ∈Z)，解得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．故选D. 2.[考法一·考向二]若函数f (x )＝2a sin(2x ＋θ)(0<θ<π)，a 是不为零的常数，f (x )在R 上的值域为[－2,2]，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是单调减函数，则a 和θ的值是( ) A ．a ＝1，θ＝π3B ．a ＝－1，θ＝π3C ．a ＝1，θ＝π6D ．a ＝－1，θ＝π6解析：选B ∵sin(2x ＋θ)∈[－1,1]，且f (x )∈[－2,2]，∴2|a |＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝2sin(2x ＋θ)，其最小正周期T ＝2π2＝π，∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12内单调递减，且π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝π2，为半个周期，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴θ－56π＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋43π(k ∈Z)．又0<θ<π，∴a ＝1不符合题意，舍去．当a ＝－1时，f (x )＝－2sin(2x ＋θ)在[ －512π，π12 ]上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝－1，∴θ－56π＝2k π－π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π3(k ∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k ＝0时，θ＝π3，∴a ＝－1，θ＝π3.故选B. 3.[考法一、二、三]下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 解析：选C y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C. 4.[考法四]已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为( )A.π6 B ．－π6 C.π3 D ．－π3解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.。
高考数学第一轮复习三角函数解析要点
高考数学第一轮复习三角函数解析要点三角函数是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应恣意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，查字典数学网整理了三角函数解析要点，协助广阔高中先生学习数学知识!
这一局部的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。
在教学中，我留意到有些先生依然在遇到三角函数标题的时分画直角三角形协助了解，这是十分风险的，也是我们所不倡议的。
三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，曾经发作了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数——弧度制的角。
有了这样一个思想上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个隶属产品(初中三角函数很多时分依靠于相似三角形)，而是一个具有独立意义的函数表现方式。
既然三角函数作为一种函数意义的了解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联络起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了一切的性质。
关于三角函数，除了图象，单位圆作为辅佐手腕，也是十分有效——就似乎配方在二次函数中运用普遍是一个道理。
三角恒等变形局部，并无太多窍门，从教学中可以看出，先生听懂公式都不难，运用起来比拟熟练的都是那些做题比拟多的同窗。
标题做到一定水平，其实很容易发现，高一调查
的三角恒等只要不多的几种题型，在课程与温习中，我们也会注重给先生总结三角恒等变形的〝一致论〞，掌握住降次，辅佐角和万能公式这些关键方法，普通的三角恒等迎刃而解。
关键是，一定要多做题。
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2021年高考数学第一轮温习三角函数解析要点就为大家分享到这里，更多精彩内容请关注高考数学知识点栏目。
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1讲 弧度制与任意角的三角函
3.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义
y
x
设 P(x，y)是角 α 的终边上任意一点，且|PO|＝r(r>0)，则有 sin α＝___r___，cos α＝___r___，
y
tan α＝__x__，它们都是以角为__自__变__量__，以比值为_函__数__值__的函数.
(4)三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P 作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知，点P的坐 标为_(_c_o_s_α_，__s_i_n_α_)_，其中cos α＝___O_M___，sin α＝__M__P__，单位圆与x轴的正半轴交 于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝__A_T__. 我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的_余__弦__线___、_正__弦__线__、正__切__线___.
(3)特殊角的三角函数值
角α
α弧度数
0°
__0__
π
30°
__6__
π
45°
__4__
π
60°
__3__
π
90°
__2__
sin α
__0__
1 __2__
2 __2__
3 __2__
__1__
cos α
__1__
3 __3__
2 __2__
1 __2__
__0__
tan α __0__
3 __3__ __1__ __3__ _不__存__在__
(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.即：
【精编版】2020年高考数学(理)总复习：三角函数图象与性质三角恒等变换(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：三角函数图象与性质三角恒等变换题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式与图象 【题型要点解析】解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【例1】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图，则S ＝f (1)＋…＋f (2017)等于( )A ．0 B.4 0312C.4 0352D.4 0392【解析】 由题设中提供的图象信息可知⎩⎨⎧A ＋b ＝32，－A ＋b ＝12，解得A ＝12，b ＝1，T ＝4⇒ω＝2π4＝π2，所以f (x )＝12sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπx 2＋1，又f (0)＝12sin ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯ϕπ02＋1＝12sin φ＋1＝1⇒sin φ＝0，可得φ＝k π，所以f (x )＝12sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ππk x 2＋1，由于周期T ＝4，2017＝504×4＋1，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4， 所以S ＝f (1)＋…＋f (2016)＋f (2017)＝2016＋f (2017) ＝2016＋f (1)＝2016＋32＝4 0352，故选C.【答案】 C【例2】．已知函数f (x )＝sin 2ωx －12(ω>0)的周期为π2，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >1)，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为( )A.π4B.3π4C.π2D.π8【解析】 ⇒f (x )＝1－cos 2ωx 2－12＝－12cos 2ωx ，2π2ω＝π2，解得ω＝2，从而f (x )＝－12cos4x .函数f (x )向右平移a 个单位后，得到新函数为g (x )＝－12cos(4x －4a )．⇒cos 4a ＝0,4a ＝π2＋k π，k ⇒Z ，当k ＝0时，a 的最小值为π8.选D.【答案】 D题组训练一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式与图象1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f (α)＝1，α⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα等于( )A.13 B ．±223C.223D ．－223【解析】由题图可知A ＝3，易知ω＝2，φ＝5π6，即f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πx . 因为f (α)＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα＝1，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα＝13，因为α⇒⎪⎭⎫⎝⎛3,0π，所以2α＋5π6⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα， 所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα＝－223，故选D. 【答案】 D2．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+322πx ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为C 1，C 2函数名不同，所以将C 2利用诱导公式转化成与C 1相同的函数名，则C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+322πx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2322ππx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ，则由C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为y ＝cos 2x ，再将曲线向左平移π12个单位得到C 2，故选D.【答案】 D3．设函数y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx (ω>0)的单调递增区间是( )A.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππB.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24737,24737ππππ C.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12737,12737ππππ D.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++242167,24767ππππ 【解析】 方法一 由已知图象知，y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是2×7π12＝7π6，所以2πω＝7π6，解得ω＝127，所以y ＝sin 127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππ 方法二 因为T ＝2πω，所以将y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移14T 后，所对应的解析式为y ＝sin ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωπ2x . 由图象知，ω⎪⎭⎫⎝⎛+ωππ2127＝3π2，所以ω＝127， 所以y ＝sin 127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππ(k ⇒Z )． 【答案】 A题型二 三角函数的性质 【题型要点】(1)奇偶性的三个规律：⇒函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇒φ＝k π(k ⇒Z )，是偶函数⇒φ＝k π＋π2(k ⇒Z )； ⇒函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒φ＝k π＋π2(k ⇒Z )，是偶函数⇒φ＝k π(k ⇒Z )；⇒函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇒φ＝k π(k ⇒Z )．(2)对称性的三个规律⇒函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ⇒Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ⇒Z )解得；⇒函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ⇒Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ⇒Z )解得；⇒函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π2(k ⇒Z )解得．(3)三角函数单调性：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一段思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(4)三角函数周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.【例3】设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间．【解】 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin2ωx －3(1＋cos 2ωx )2＋32＝12sin2ωx －32cos2ωx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πωx ， 设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⇒22⎪⎭⎫⎝⎛T ＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，⇒f (x )max ＝1， ⇒22⎪⎭⎫⎝⎛T ＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π. 又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，⇒ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-3πx ，⇒f (x ＋φ)＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+3πϕx . ⇒y ＝f (x ＋φ)是奇函数，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛-3πϕ＝0， 又0<φ<π2，⇒φ＝π3，⇒g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx . 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ⇒Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ⇒Z ，⇒单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k k ⇒Z . 又⇒x ⇒[0,2π]，⇒当k ＝0时，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ； 当k ＝1时，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,67ππ ⇒函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,67ππ. 【例4】．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期为4π，则( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增【解析】2πω＝4π⇒ω＝12，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 不是奇函数，图象不关于原点对称；x＝π3时f (x )＝32不是最值，图象不关于直线x ＝π3对称； 所有点向右平移π3个单位长度后得y ＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6)3(21ππx ＝sin 12x 为奇函数，图象关于原点对称；因为x ⇒(0，π)⇒12x ＋π6⇒⎪⎭⎫⎝⎛32,6ππ，所以函数f (x )在区间(0，π)上有增有减，综上选C. 【答案】 C【例5】．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,12ππ的图象如图所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)等于( )A ．1 B.2 C. 3D ．2【解析】 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ⇒[－π12，2π3]的图象知，3T 4＝2π3－⎪⎭⎫ ⎝⎛-12π＝3π4，⇒T ＝π，⇒ω＝2πT＝2；又x ＝－π12时，2×⎪⎭⎫⎝⎛-12π＋φ＝0，解得φ＝π12， ⇒f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ； 又f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，不妨令x 1＝0，则x 2＝π3，⇒x 1＋x 2＝π3，⇒f (x 1＋x 2)＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯632ππ＝1.故选A.【答案】 A题组训练二 三角函数的性质1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛≤>>2,0,0πϕωA 图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ⇒R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解析】 观察图象知，A ＝1，T ＝2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)；将点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π代入得⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ32sin ＝0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx .故选A. 【答案】 A2．已知函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12(ω＞0)，x ⇒R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛125,0π B.⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π⇒⎪⎭⎫⎢⎣⎡1211,65 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0π D.⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,65 【解析】 函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx ，可得T ＝2πω≥π，0＜ω≤2，f (x )在区间(π，2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：⎩⎨⎧ωπ＋π6≥02ωπ＋π6≤π或⎩⎨⎧πω＋π6≥π2ωπ＋π6≤2π，解得ω⇒⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π⇒⎪⎭⎫⎢⎣⎡1211,65.故选B. 【答案】 B题型三 三角恒等变换 【题型要点解析】三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．【例6】如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-135,1312，⇒AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________．【解析】由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而⇒OBC 为等边三角形，所以sin⇒AOB ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝513， 又因为3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝513.【答案】513【例7】．已知sin ⎪⎭⎫⎝⎛-8πα＝45，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+83πα等于( ) A ．－45B.45 C ．－35D.35【解析】 ⇒sin ⎪⎭⎫⎝⎛-8πα＝45，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+83πα＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+82παπ＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8πα＝－45，故选A.【答案】 A【例8】．已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0<β<α<π2，那么β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3【解析】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，由已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，0<β<α<π2，可知sin α＝45，sin(α－β)＝210 ，代入上式得cos β＝35×7210＋45×210＝25250＝22，所以β＝π4，故选C.题组训练三 三角恒等变换1．若sin α＋3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2＝0，则cos 2α的值为( ) A ．－35B.35 C ．－45D.45【解析】 由sin α＋3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2＝0， 则sin α＋3cos α＝0，可得：tan α＝sin αcos α＝－3；则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－91＋9＝－45.故选C. 【答案】 C2．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝13，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-352πx ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 3π的值为( ) A ．－19B.19C.53D ．－53【解析】 cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-352πx ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 3π ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝1－2cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＋1－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx＝2－3cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝53.3．已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝－14，α⇒⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ.则sin 2α＝________. 【解析】 cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6·cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3 ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6＝12sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα＝－14，即sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πα＝－12. ⇒α⇒⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ，⇒2α＋π3⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛34,ππ， ⇒cos ⎪⎭⎫⎝⎛+32πα＝－32， ⇒sin 2α＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+332ππα ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32παcos π3－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32παsin π3＝12. 【答案】 12题型四 三角函数性质的综合应用 【题型要点】研究三角函数的性质的两个步骤第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【例9】设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πωx ，其中0<ω<3.已知f ⎪⎭⎫⎝⎛6π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ上的最小值． 【解析】 (1)因为f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛-2πωx ， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ωωcos 23sin 21 ＝3⎪⎭⎫⎝⎛-3sin πωx 由题设知f ⎪⎭⎫⎝⎛6π＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ⇒Z . 故ω＝6k ＋2，k ⇒Z ，又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 所以g (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+34ππx ＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx 因为x ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ，所以x －π12⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【答案】 －32题组训练四 三角函数性质的综合应用已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ⇒R )．(1)求f ⎪⎭⎫⎝⎛32π的值． (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛32π＝223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛－221⎪⎭⎫ ⎝⎛-－23×32×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21得f ⎪⎭⎫⎝⎛32π＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2si ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 所以f (x )的最小正周期是π由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ⇒Z .解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ⇒Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k πk ⇒Z .【专题训练】一、选择题1．已知α满足sin α＝13，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝( )A.718 B.2518 C ．－718D ．－2518【解析】 cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝22()cos α－sin α·22()cos α＋sin α＝12()cos 2α－sin 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-9121＝718，选A.【答案】 A2．若函数f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+42πωx ＋cos2ωx －1(ω>0)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，则ω的取值范围是( )A ．[0,1)B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43C ．[1，＋∞)D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,0【解析】 由题意，因为f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+42πωx ＋cos2ωx －1＝ 4sin ωx ·1－cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π22＋cos2ωx －1＝2sin ωx (1＋sin ωx )＋cos2ωx －1＝2sin ωx 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2表示函数含原点的递增区间，又因为函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⇒⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω，即⎩⎨⎧－π2ω≤－π2π2ω≥2π3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ω≤1ω≤34，又ω>0，所以0<ω≤34，故选D.【答案】 D3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0)在x ＝1和x ＝－1处分别取得最大值和最小值，且对于⇒x 1，x 2⇒[－1,1](x 1≠x 2)都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则函数f (x ＋1)一定是( )A ．周期为2的偶函数B ．周期为2的奇函数C ．周期为4的奇函数D ．周期为4的偶函数【解析】 由题意可得，[－1,1]是f (x )的一个增区间，函数f (x )的周期为2×2＝4，⇒2πω＝4，ω＝π2， ⇒f (x )＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2x .再根据f (1)＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2＝A ，可得sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ2＝cos φ＝1，故φ＝2k π，k ⇒Z ，⇒f (x ＋1)＝A sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππk x 2)1(2 ＝A sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2x ＝A cos π2x ，⇒f (x ＋1)是周期为4的偶函数，故选D. 【答案】D4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称 D ．关于直线x ＝π6对称【解析】 由于函数最小正周期为π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．向左平移π3得到sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛++ϕπ322x 为奇函数，故2π3＋φ＝π，φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+322πx .f ⎪⎭⎫ ⎝⎛12π＝sin π2＝1，故x ＝π12为函数的对称轴，选B.【答案】 B5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图，f ⎪⎭⎫⎝⎛-2413π＝( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1【解析】 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象知，A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，⇒T ＝2πω＝π，解得ω＝2；⇒f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由五点法画图知，ω×π3＋φ＝2π3＋φ＝π，解得φ＝π3，⇒f (x )＝ 2 sin(2x ＋π3)，⇒f ⎪⎭⎫⎝⎛-2413π＝2sin(－13π12＋π3)＝2sin(－3π4)＝－1，故选D.【答案】 D6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,120πϕω，若f (0)＝－3，且函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，则以下结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为π3B ．函数f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,97π对称 C ．函数f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛2411,4ππ上是增函数 D ．由y ＝2cos 2x 的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f (x )的图象【解析】 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,120πϕω，⇒f (0)＝－3，即2sin φ＝－3，⇒－π2<φ<π2，⇒φ＝－π3又⇒函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，⇒－ω×π12－π3＝π2＋k π，k ⇒Z .可得ω＝12k －10，⇒0＜ω＜12.⇒ω＝2.⇒f (x )的解析式为：f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx . 最小正周期T ＝2π2＝π，⇒A 不对．当x ＝7π9时，可得y ≠0，⇒B 不对．令－π2≤2x －π3≤π2，可得－π12≤x ≤5π12，⇒C 不对．函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移5π12个单位，可得2cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-125πx ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-652πx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2652ππx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx . ⇒D 项正确．故选D. 【答案】 D 二、填空题7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<><2,0,0πϕωA 的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)，则f (x )＝________.【解析】 由题意可得A ＝2，T 2＝2π，T ＝4π，⇒ω＝2πT ＝2π4π＝12，⇒f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕ2x ，⇒f (0)＝2sin φ＝1.由|φ|<π2，⇒φ＝π6，⇒f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx .【答案】 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ⇒R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．【解析】 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πωx ， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ⇒Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ⇒Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，则ω2＝π4，所以ω＝π2.【答案】π29．已知sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6＝________.【解析】 ⇒sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝13， ⇒cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)3(2αππ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝13；又0<α<π2，⇒π6<π6＋α<2π3，⇒sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6＝223. 【答案】22310．已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin2α＝__________A.5665 B ．－5665C.6556D ．－6556【解析】由题意得π2<β<α<3π4，则0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，由cos(α－β)＝1213⇒sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－35⇒cos(α＋β)＝－45，则sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665，故选B.【答案】 B 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω＞0)图象的两条相邻对称轴为π2. (1)求函数y ＝f (x )的对称轴方程；(2)若函数y ＝f (x )－13在(0，π)上的零点为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解析】 (1)函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32.化简可得f (x )＝12sin 2ωx －32cos 2ωx＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πωx ，由题意可得周期T ＝π，⇒π＝2π2ω ⇒w ＝1⇒f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 故函数y ＝f (x )的对称轴方程为2x －π3＝k π＋π2(k ⇒Z )，即x ＝k π2＋5π12(k ⇒Z ) (2)由函数y ＝f (x )－13在(0，π)上的零点为x 1，x 2， 可知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321πx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx ＝13>0， 且0<x 1<5π12<x 2<2π3. 易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于x ＝5π12对称， 则x 1＋x 2＝5π6， ⇒cos(x 1－x 2)＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--1165x x π ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6521πx ＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321ππx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321πx ＝13. 12．已知函数f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,125π (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α＝536，求cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πα的值． 【解】 (1)f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin2ωx ＋32cos2ωx ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πωx ＋32， 因为函数y ＝f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,125π， 所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+665πωπ＝0，⇒5π6ω＋π6＝k π， ⇒ω＝6k －15(k ⇒Z )，因为0＜ω＜2，⇒ω＝1， 所以f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋32.⇒T ＝2π2＝π (2)g (x )＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πx ＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋32， ⇒g ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋32＝536， 所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝13， 所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πα＝1－2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝79.。
专题04 二倍角的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》任意角弧度制及任意角的三角函数
2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx(x ≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．(√)(3)不相等的角终边一定不相同．(×)(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)题组二教材改编2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．答案－5π4二3．若角α的终边经过点－22，sin α＝，cos α＝.答案22－224．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案π3题组三易错自纠5|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z(阴影部分)是()答案C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.6．已知点Pθ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案C解析因为点P所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θθ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是．答案2π3解析与角－4π3终边相同的角是2k πk ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3.8．(2018·济宁模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为．答案2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈ZN |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z()A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案B解析由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．(2018·宁夏质检)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为．答案－53π，－23π，π3，43π解析如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53，－23π，π3，43π4．若角α是第二象限角，则α2是第象限角．答案一或三解析∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αkk ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的面积．解由已知得α＝π3，R ＝10cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2)．2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)．所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5cm 时，S 取得最大值25cm 2，此时l ＝10cm ，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π6B.π3C ．3D.3答案D解析如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为．答案518解析设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r 3πr 2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为－12，sin α·tan α等于()A ．－33B ．±33C ．－32D ．±32答案C解析由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且|cosθ2|＝－cos θ2，则θ2是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵|cos θ2|＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角．命题点2三角函数线例3(1)满足cos α≤－12的角的集合是．答案|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z(2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是．答案sin α<cos α<tan α解析如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练2(1)(2018·济南模拟)已知角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则sin α＋cosα等于()A ．－55B ．±55C ．－35D ．±35答案B解析∵角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，∴m >0时，sin α＝－2m 5m ＝－25cos α＝m 5m ＝15，∴sin α＋cos α＝－55；m <0时，sin α＝－2m －5m ＝25，cos α＝m －5m ＝－15，∴sin α＋cos α＝55；∴sin α＋cos α＝±55，故选B.(2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是()答案C解析当x ∈π2，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ，π4时，如图，OA 为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当xOB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x ．同理当x ∈πsin x >cosx ；当x ∈5π4，sin x ≤cos x ，故选C.1．下列说法中正确的是()A ．第一象限角一定不是负角B ．不相等的角，它们的终边必不相同C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4答案C解析设扇形的半径为r ，弧长为l ，＋l ＝6，＝2，＝1，4＝2，2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3．(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于()A ．－3B ．3C.163D ．±3答案B 解析sin θ＝m16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为()－12，－32，－－12，－－32，答案A解析点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.5．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．故选C.6．sin 2·cos 3·tan 4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案A解析∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0.7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为()A ．－12B ．－32C.12D.32答案C解析由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12，又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝.答案2解析由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11．已知角α的终边上一点P 2π3，cos α的最小正值为．答案11π6解析由题意知，点r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.12．函数y ＝sin x －32的定义域为．答案2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为．答案α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 解析∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π∴α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z14．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点12，m，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝.答案±34解析由角β12，m cos β＝12sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点12，m 12＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米．(结果保留整数，3≈1.73)答案5解析如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×33×32＋＝943＋98≈5(平方米)．16．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间．解(1)经过1s 后，质点A 运动1rad ，质点B 运动2rad ，此时∠BOA 的弧度为π3＋3.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9，即经过5π9s后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇．。
专题04 三角函数与解三角形(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)
三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题4 三角函数与解三角形十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：三角化简求值（2019新课标I 卷T7文科）tan255°＝（ ） A ．﹣2﹣B ．﹣2+C ．2﹣D ．2+（2015新课标I 卷T2理科）o ooosin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）-（B （C ）12- （D ）12（2010新课标I 卷T1文科）cos300︒=(A)2-(B)-12 (C)12(D) 2（2011新课标I 卷T7文科）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．注意： (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．（2010新课标I 卷T2理科）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.一、角的有关概念1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ；终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ．象限角和终边相同的角的判断及表示方法： 1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解. 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形三角函数线的应用：1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况4．特殊角的三角函数值补充：sin15cos 75,sin 75cos15,︒=︒=︒=︒=tan152,tan 752︒=︒=+ 四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．同角三角函数基本关系式的应用：1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化．2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.二、考向题型研究二： 三角恒等变换（2017新课标I 卷T15文科）已知α∈（0，），tanα=2，则cos （α﹣）=．（2016新课标I 卷T14文科）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= .（2010新课标I 卷T14文科）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .(2014新课标Ⅰ卷T8理科)设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A. 3α﹣β= B .3α+β= C. 2α﹣β= D.2α+β=B.（2010新课标I 卷T14理科）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .1.三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．*诱导公式的应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． *诱导公式的应用：1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等. 2.．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+（2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-（3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+（4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z3．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且4．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=5．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 6．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.*三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.三、考向题型研究三： 三角函数图像的平移、伸缩和翻折问题（2017新课标I 卷T9理科）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2（2016新课标I 卷T6文科）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3π)*y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念*用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：*函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径*图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数）1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()f x ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） *图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换 （2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：()()21y f x y f x =→=+有两种方案方案一：先放缩：()()2y f x y f x =→=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()221y f x y f x =→=+方案二：先平移：()()1y f x y f x =→=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么()()()11y f x y a f x =+→=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对前一步进行调整：平移12个单位，再进行放缩即可（2a =） 四、考向题型研究四：三角函数)sin(φ+=wx A y 的图像和性质（2015新课标I 卷T8文科）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈ C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈（2019新课标I 卷T11理科）．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③（2015新课标I 卷T8理科）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（2011新课标I 卷T11文科）设函数，则f （x ）=sin （2x+）+cos （2x+），则（ ）A ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称（2016新课标I 卷T12文科）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13] C ．[-,13] D ．[-1,-13](2014新课标Ⅰ卷T6理科)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．（2012新课标I 卷T9文科）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（2011新课标I 卷T11理科）设函数f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）的最小正周期为π，且f （﹣x ）=f （x ），则（ ） A ．f （x ）在单调递减B ．f （x ）在（，）单调递减C ．f （x ）在（0，）单调递增D ．f （x ）在（，）单调递增1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 4．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 5、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴. (7)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(8)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(9)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.6、关于辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+注意事项：① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角， 7、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换。
2020版高考数学一轮总复习 第四单元三角函数与解三角形 教案全集 含解析
任意角的三角函数1．了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域．3．掌握扇形的弧长公式及面积公式．知识梳理1．角的概念(1)任意角：角可以看作平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的始边，射线的端点O叫做角的顶点.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合{β|β＝k·360°＋α，k∈Z} 或{β|β＝2kπ＋α，k∈Z} ，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0 .(2)度与弧度的换算关系：180°＝πrad，1°＝π180rad,1 rad＝180π度．(3)扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝Rα，S＝12lR.3．任意角的三角函数设α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：sin α＝ y ；cos α＝ x ，tan α＝ yx(x ≠0)．4．三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .1．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r (r >0)，那么： sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 2．三角函数值的符号规律可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．热身练习1．角－870°的终边所在的象限是(C) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限因为－870°＝－3×360°＋210°，而210°的终边在第三象限，所以－870°的终边在第三象限．2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是(A) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．8 cm 2D ．2π cm 2因为l ＝r θ，所以r ＝42＝2，所以S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(D) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45因为r ＝－2＋32＝5，所以由三角函数的定义知cos α＝－45.4．若sin α<0且tan α>0，则α是(C) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是(B)A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]利用三角函数线，画出单位圆可知，选B.角的概念已知α＝1690°.(1)把α表示成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式，则α＝____________； (2)α所在的象限为____________．(1)α＝1690°＝1690×π180＝16918π＝8π＋2518π.所以α＝4×2π＋2518π.(2)因为α＝4×2π＋2518π，又π<2518π<32π，所以α在第三象限．(1)4×2π＋2518π (2)第三象限(1)角度与弧度进行互化，关键是抓住180°＝π rad 这一关系． (2)判断一个角所在的象限，关键是在[0,2π)内找到与该角终边相同的角．1．已知sin α>0，cos α<0，则12α所在的象限是(C)A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角， 即2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z ，当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角．任意角的三角函数的定义(2018·河南洛阳三月模拟)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，则cos α－sin α＝ .因为角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上， 不妨令x ＝－3，则y ＝－4，所以r ＝5.所以cos α＝x r ＝－35，sin α＝y r ＝－45.所以cos α－sin α＝－35＋45＝15.15(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用角的终边上一点的坐标进行定义，其二是利用单位圆进行定义．(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向．2．(2018·海淀区期中)角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝(C)A ．－43 B.43C ．－34 D.34因为角θ的终边经过点P (4，y )， 且sin θ＝－35＝y 16＋y2，所以y ＝－3. 所以tan θ＝y 4＝－34，故选C.弧度制的应用一扇形的周长为40 m ．求使扇形面积最大时，扇形的半径、圆心角和扇形的面积．设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝－r 2＋20r ＝－(r －10)2＋100. 当r ＝10时，S max ＝100(m 2)，此时，θ＝l r ＝40－2×1010＝2(弧度)．所以当扇形圆心角θ＝2，半径为10 m 时，扇形面积最大，最大面积为100 m 2.只要确定扇形的半径r ，弧长l 和圆心角α三个中的两个，这个扇形就确定了．这三个量间的关系是l ＝|α|r .3．(2018·河北五校高三联考)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 16－34π.由题意，设圆心为C ，圆与x 轴的交点为A ，B ，则∠ACB ＝π3，该点落在x 轴下方的部分为一弓形，其面积等于一圆心角为π3扇形减去一个等边三角形的面积．因为S 扇形＝12rl ＝12r 2α＝12×22×π3＝2π3，S △ACB ＝12×2×2sin π3＝3，所以弓形的面积为2π3－3，又圆的面积为4π，所以该点落在x 轴下方的概率为2π3－34π＝16－34π.1．要掌握区间角、象限角和终边相同的角的表示方法，特别要注意它们的区别与联系．求与α终边相同的角的集合时，先找出0～2π范围内与α终边相同的角，再加上2k π即可．2．要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系，并注意角的表示中，角度制和弧度制不能在同一表示中使用．掌握弧长公式l ＝|α|r ，扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2，并注意其中角α为圆心角的弧度数．3．三角函数的定义是三角函数的基础和出发点，正确理解三角函数的定义，是掌握三角函数的定义域、三角函数在各象限内的符号以及三角函数的诱导公式、同角三角函数之间的关系以及后续内容学习的基础．根据三角函数的定义可知：①一个角的三角函数只与这个角的终边的位置有关，即角α与β＝2k π＋α(k ∈Z )的同名三角函数值相等；②|x |≤r ，|y |≤r ，故有|sin α|≤1，|cos α|≤1，这是三角函数中最基本的一组关系．同角三角函数的基本关系与诱导公式1．理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式． 2．能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式 平方关系： sin 2α＋cos 2α＝1 ； 商数关系： tan α＝sin αcos α .2．诱导公式 公式一：(其中k ∈Z )sin(2k π＋α)＝ sin α ，cos(2k π＋α)＝ cos α ，tan(2k π＋α)＝ tan α . 公式二：sin(－α)＝ －sin α ，cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α . 公式三：sin(π－α)＝ sin α ，cos(π－α)＝ －cos α ， tan(π－α)＝ －tan α . 公式四：sin(π＋α)＝ －sin α ，cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α . 公式五：sin(π2－α)＝ cos α ，cos(π2－α)＝ sin α .公式六：sin(π2＋α)＝ cos α ，cos(π2＋α)＝ －sin α .1．同角关系的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 2．诱导公式的记忆(1)2k π＋α (k ∈Z )，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)π2±α，3π2±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．可采用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．热身练习1．已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝(A)A ．－2B ．2C.12 D ．－12因为cos α＝－1－sin 2α＝－55， 所以tan α＝sin αcos α＝－2.2．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝(D)A.15 B ．－15 C.513 D ．－513(方法一)因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512，所以cos α＝－125sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝±513，又α是第四象限角，所以sin α＝－513.(方法二)因为tan α＝－512，且α是第四象限角，所以可设y ＝－5，x ＝12，所以r ＝x 2＋y 2＝13，所以sin α＝y r ＝－513.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝(A)A ．－79B ．－29C.29D.79因为sin α－cos α＝43，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，所以sin 2α＝－79.4．若sin(π＋α)＝－45，则cos(32π－α)＝(A)A ．－45B ．－35C.45D.35因为sin(π＋α)＝－sin α＝－45，所以cos(3π2－α)＝－sin α＝－45.5．(2016·四川卷)sin 750°＝ 12 .sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.诱导公式的应用(1)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为 .(2)cos(－173π)的值为____________．(1)原式＝－sin αα－sin αα＝tan α. 根据三角函数的定义得tan α＝－34.故原式的值为－34.(2)cos(－173π)＝cos 17π3＝cos(2×2π＋5π3)＝cos 5π3＝cos(2π－π3)＝cos π3＝12.(1)－34 (2)12(1)应用诱导公式时，需要准确记忆诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键．(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负——脱周——化锐”．1．(1)(2018·深圳一模)已知sin(π6－x )＝12，则sin(19π6－x )＋sin 2(－2π3＋x )的值为(A)A.14B.34 C ．－14 D ．－12(2)sin(－176π)的值为 －12.(1)(方法一：采用角的配凑)原式＝sin[3π＋(π6－x )]＋sin 2[－π2－(π6－x )]＝－sin(π6－x )＋cos 2(π6－x )＝－sin(π6－x )＋1－sin 2(π6－x )＝－12＋1－14＝14.(方法二：采用换元法)设π6－x ＝θ，则sin θ＝12，x ＝π6－θ， 所以原式＝sin(3π＋θ)＋sin 2(－π2－θ)＝－sin θ＋cos 2θ＝－sin θ＋1－sin 2θ ＝－12＋1－14＝14.(2)sin(－176π)＝－sin 176π＝－sin(2π＋56π)＝－sin 56π＝－sin(π－π6)＝－sin π6＝－12.同角三角关系的应用已知tan α＝12，则：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝________；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝________.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2) sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2α＝3sin2α＋sin αcos α＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tan α＋2tan2α＋1＝122＋12＋2122＋1＝135.(1)－53(2)135(1)齐次式(或可化为齐次式)常转化为正切进行处理．(2)注意“1”的运用，如1＝sin2α＋cos2α或1＝(sin2α＋cos2α)2等．2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝(D)A．－45B．－15C.15D.45因为cos 2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ，又因为tan θ＝－13，所以cos 2θ＝1－191＋19＝45.同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用已知sin α＋cos α＝23(π2<α<π)．求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin3(π2－α)＋cos3(π2＋α)．因为sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79，又π2<α<π，所以sin α>0，cos α<0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－(－79)＝169，所以sin α－cos α＝43.(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos αsin α＋sin 2α) ＝－43×(1－718)＝－2227.(1)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可“知一求二”，即已知其中一个式子的值，可求出另外两个式子的值．(2)注意符号的选取，如由sin α＋cos α求sin α－cos α时，到底取“＋”还是取“－”要根据α的取值范围确定．3．已知sin(π－α)＋sin(π2＋α)＝15，α∈(0，π)，求tan α的值．条件可化为sin α＋cos α＝15，①平方得sin αcos α＝－1225，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.因为α∈(0，π)，sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α＝75，②联立①②得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断，求任意角的三角函数值的问题，都可通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，其步骤是“去负——脱周——化锐”，从而求出值来．2．掌握一些特殊角的三角函数值，要做到“见角知值，见值知角”，如：3.同角关系的主要应用(1)已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．要特别注意符号的选取．(2)关于sin α，cos α的齐次式可化为正切处理．(3)对于sin αcos α，sin α＋cos α，sin α－cos α，借助方程思想可知一求二．两角和与差的三角函数1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式． 4．熟悉公式的正用、逆用、变形应用．知识梳理1．两角和与差的余弦C (α±β)cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β . cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β . 2．两角和与差的正弦S (α±β)sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β . sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β . 3．两角和与差的正切T (α±β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.1．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2.2．T (α±β)的常用变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)． tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)．热身练习1．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β的值为(A)A.12B.13 C.15 D.115因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35，②①×3－②得2cos αcos β＝4sin αsin β，即tan αtan β＝12.2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(D) A ．－32 B.32C ．－12 D.12原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于(A)A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7因为α∈(π2，π)，sin α＝35，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34.所以tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.4.1＋tan 15°1－tan 15°的值为(A)A. 3B.33C ．1 D.121＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°) ＝tan 60°＝ 3.5．sin 15°＋sin 75°的值是 62. sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62.两角和与差公式的正用已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan(α＋π3)的值；(2)求cosβ的值．(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437，所以tan α＝sin αcos α＝437×7＝43，于是tan(α＋π3)＝tan α＋tanπ31－tan αtanπ3＝43＋31－43×3＝－5311.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 运用两角和与差的公式求值时，要注意：(1)从所求和已知所含的函数进行分析，明确变形目标和方向．(2)从角度进行分析，寻找所求角与已知角的联系，将“所求角”用“已知角”表示，如α＝(α＋β)－β，α＋π3＝(α＋β)－(β－π3)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． (3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的象限确定函数值的符号．1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tan α＝32.(方法一：利用正切的差角公式展开求解) tan(α－5π4)＝tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.(方法二：利用角的配凑求解) 因为α＝(α－5π4)＋5π4.所以tan α＝α－5π4＋tan 5π41－α－5π45π4＝15＋11－15×1＝32.(方法三：利用换元法进行求解)设θ＝α－5π4，则α＝θ＋5π4， 且tan θ＝15，所以tan α＝tan(θ＋5π4)＝tan θ＋11－tan α＝15＋11－15＝32.两角和与差公式的逆用与变用(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． (2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°的值为__________．(1)f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5(255cos x ＋55sin x )，设sin α＝255，cos α＝55，则f (x )＝5sin(x ＋α)，所以函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5.(2)原式＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40° ＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.(1) 5 (2) 3(1)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)实质是两角和的正弦公式的逆用，这一公式应用广泛，应熟练掌握．(2)两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β联系了tan α＋tan β与tan α·tan β，涉及tan α＋tan β与tan α·tan β的有关问题，常常要对正切公式进行如下变用：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)．2．(经典真题)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝ －255.f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )， 设15＝cos α，25＝sin α， 则f (x )＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)， (方法一)因为x ∈R ，所以x －α∈R ，所以f (x )max ＝ 5. 又因为x ＝θ时，f (x )取得最大值， 所以f (θ)＝sin θ－2cos θ＝5， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.(方法二)因为x ＝θ时，f (x )取到最大值， 所以θ－α＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以θ＝α＋2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos θ＝cos(α＋π2)＝－sin α＝－255.两角和与差公式的整体运用已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，则cos(α－β)的值为__________．⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13， 平方相加得：sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＋cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝116＋19，所以2＋2cos(α－β)＝25144，故cos(α－β)＝－263288.－263288要注意从整体上把握公式的结构特点，本题通过平方相加就将问题得到顺利解决．3．设α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值为－π3.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin γ＝sin β－sin α， ①cos γ＝cos α－cos β， ②①2＋②2，得1＝2－2(cos αcos β＋sin αsin β)， 即cos(α－β)＝12.因为sin α＋sin γ＝sin β，且α，β，γ∈(0，π2)， 所以sin α<sin β，故α<β，所以α－β＝－π3.1．对公式的掌握，既要能正用，还要进行逆用及变形使用．记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”“－”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β的变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tanβ)等．2．明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围．确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件可对角进行一些变换，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＋π3＝(α＋β)－(β－π3)等等，再根据条件确定角的范围，计算有关函数值．3．要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形(如平方相加、平方相减)，有利于简化复杂的三角运算．倍角公式及简单的三角恒等变换1．能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用． 2．能运用两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换．3．能根据三角函数式的结构特点选择公式变形，培养灵活选择和运用公式的能力．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝ 2sin α·cos α ；cos 2α＝ cos 2α－sin 2α ＝1－ 2sin 2α ＝ 2cos 2α －1； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．三角恒等变换 (1)三角函数求值①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值．②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． (2)三角函数化简三角函数化简的几种常用思路：①角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角． ②函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切等手段，实现异名化同名．③常数的变换：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4，32＝sin π3等．④次数变换：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用．如 sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2等．⑤结构变换：通过重组、移项，或变除为乘，或求差等实现结构的变换． (3)三角恒等式的证明证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变形，然后化繁为简、左右归一，或用变更命题的方法，使两端化异为同．1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. 3．半角公式：sin 2α2＝1－cos α2， cos 2α2＝1＋cos α2； tan2α2＝1－cos α1＋cos α， tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.热身练习1．(2018·湖北宜昌模拟)设θ为第二象限角，sin θ＝45，则sin 2θ＝(D)A.725 B.2425C ．－725D ．－2425因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－35，则sin 2θ＝2sinθcos θ＝－2425.2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝(B)A.89B.79 C ．－79 D ．－89因为sin α＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.3．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于(B)A.63 B ．－63 C.33 D ．－33因为cos 2α2＝1＋cos α2＝1＋132＝23，又α∈(π，2π)，α2∈(π2，π)，所以cos α2＝－63.4.3－sin 70°2－cos 210°＝(C) A.12 B.22 C ．2 D.32原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°·2＝2.5．化简(sin 2α＋tan α·tan α2＋cos 2α)·sin 2α2cos α的结果为(B)A.1tan αB ．tan αC ．sin αD ．cosα原式＝(1＋tan αtan α2)·sin α＝(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)sin α＝sin αcos α＝tan α.三角函数的求值(1)4cos 50°－tan 40°＝ A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)(2018·临沂期中)若sin(π6－α)＝63，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－23B ．－13C.23D.13(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4s in 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝－－sin 40°cos 40°＝＋－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.(2)(方法一)因为sin(π6－α)＝63，所以cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos(π3－2α)＝－1＋2sin 2(π6－α)＝13. (方法二：换元法)设π6－α＝θ，则sin θ＝63，且α＝π6－θ， cos(2π3＋2α)＝cos[2π3＋2(π6－θ)]＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝－(1－2sin 2θ)＝－[1－2×(63)2]＝13.(1)C (2)D(1)“角”是三角函数的“灵魂”，三角变换中首先要考虑角的变换与统一，通过角的变换进行函数名称及函数式的结构变换．(2)给角求值问题一般思路是通过变换凑出特殊角并设法创造将非特殊角消去(抵消或约分)的机会．(3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目标，根据目标灵活选择凑角和运用公式．(4)给值求值问题，如灵活运用“换元法”，常能避免角的有关变换，能得到简便的求解方法．1．(1)1sin 10°－3sin 80°的值为 4 .(2)已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)的值为－1 .(1)原式＝sin 80°－3sin 10°sin 10°sin 80°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝12cos 10°－32sin 20°＝－sin 20°＝－sin 20°＝4sin 20°sin 20°＝4.(2)因为1－cos 2αsin αcos α＝1，所以2sin2αsin αcos α＝2tan α＝1，所以tan α＝12，又tan(β－α)＝－13，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝β－α－tan α1＋β－αα＝－13－121＋－1312＝－1.三角函数的化简(2018·湖南长沙一模)化简：π－θ＋sin 2θcos2θ2＝________.π－θ＋sin 2θcos2θ2＝2sin θ＋2sin θcos θ1＋cos θ2＝4sin θ＋cosθ1＋cos θ＝4sin θ.4sin θ化简时要有整体意识，合理变形，为公式应用创造条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽可能少．2．化简2cos2α－1π4－α2π4＋α的结果为(C)A．tan α B．tan 2αC．1 D．2原式＝2cos2α－1π4－απ4－α·cos 2π4－α＝2cos2α－1π4－απ4－α＝2cos2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.三角恒等式的证明设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2本题实质是条件等式的证明问题，由题设条件证明选择支中的某一个等式是成立的．由于目标不是十分明确，因此，可从条件入手进行推证．(方法一)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， 所以sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.(方法二)tan α＝1＋sin βcos β＝β2＋sin β22cos 2β2－sin2β2＝cos β2＋sin β2cos β2－sin β2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tan(π4＋β2)，因为β∈(0，π2)，所以π4＋β2∈(π4，π2)，又因为α∈(0，π2)，且tan α＝tan(π4＋β2)，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2.B(1)证明角的恒等式(或已知值求角)这类问题的求解，其基本步骤为： ①根据题设条件求角的某一三角函数值； ②讨论角的范围；③根据角的范围和函数值确定角的大小．(2)讨论角的范围时，必要时需要根据已知三角函数值缩小角的范围．确定角的范围要结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，特别要注意一些隐含条件，尽量使角的范围最小，避免出现增根．3．已知tan α＝17，tan β＝13，α，β为锐角，则α＋2β的值是(A)A.π4B.5π4 C.π4或5π4D ．πtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋131－17×13＝12，tan(α＋2β)＝tan(α＋β＋β)＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝12＋131－12×13＝1，而tan α＝17＜1，tan β＝13＜1，所以0＜α＜π4，0＜β＜π4，所以0＜α＋2β＜3π4，所以α＋2β＝π4.1．三角恒等变形是以同角三角函数的基本关系，诱导公式，和、差、倍角公式为基础的．一般可从变换角、变换函数和变换运算结构三方面着手．(1)角度变换：利用“和差倍半”“互余互补”．既要注意角的和、差、倍、半的相对性，又要注意题目中所给各角之间的关系．(2)函数变换：常采用“异名化同”“化弦”“化切”“常数‘1’的代换”等． (3)结构变换：改变运算结构的主要方法有代数中的配方、拆项、消元，因式分解等及三角中的升幂、降次等．2．三角函数式恒等变换的常用策略(1)发现差异：观察角、函数名称运算结构间的差异，即进行“差异分析”． (2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． (3)合理转化：选择恰当公式，促使差异的转化． 3．几个重要的三角变换(1)sin αcos α可凑倍角公式． (2)1±sin α＝(sin α2±cos α2)2.(3)1±cos α可用升幂公式；1±sin α也可化为1±cos(π2－α)后再用升幂公式．(4)引入辅助角可化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a，这一公式应用广泛，应熟练掌握．三角函数的图象与性质(一)1．熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值． 2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．知识梳理1．用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)y ＝sin x 图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,0)， (π2，1) ，(π，0)，(3π2，－1) ，(2π，0)．(2)y＝cos x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,1)，(π2，0)，(π，－1) ，(3π2，0)，(2π，1) .2．三角函数的图象与性质 (其中k∈Z)热身练习1．函数f(x)＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是图中的(B)由五点法知图象应经过(0,1)，(π2，0)，(π，1)，(3π2，2)，(2π，1)，可知应选B.2．函数y ＝11－cos x的定义域为(A)A ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠(2k ＋1)π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋3π2，k ∈Z }由cos x ≠1，得x ≠2k π，k ∈Z ，故定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }．3．当x ∈[－π2，π2]时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为(D)A ．[－1,1]B ．[－12，1]C ．[－2,2]D ．[－1,2]y ＝2sin(x ＋π3)，－π6≤x ＋π3≤5π6，－12≤sin(x ＋π3)≤1，所以－1≤y ≤2.4．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 1 .f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ ＝sin(x －φ)≤1. 所以f (x )max ＝1.5．函数y ＝8cos x －2sin 2x 的最大值为 8 .y ＝－2(1－cos 2x )＋8cos x ＝2cos 2x ＋8cos x －2，令cos x ＝t ，－1≤t ≤1，y ＝2t 2＋8t －2＝2(t ＋2)2－10， 故t ＝1时，y max ＝8.三角函数的定义域函数y ＝2sin x －1的定义域为____________．由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，即π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π(k ∈Z )． 故定义域为{x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }．{x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }(1)求三角函数的定义域，常转化为解三角不等式和三角方程，可借助三角函数的图象来求解．(2)解简单三角不等式的步骤：如sin x >a . 第一步，作出y ＝sin x 的图象；第二步，作直线y ＝a ，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y ＝a 上方的图象；第三步，确定sin x ＝a 的x 值，写出解集．1．函数y ＝1tan x －1的定义域为 {x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z } .由tan x －1≠0，得tan x ≠1. 所以x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，故定义域为{x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．三角函数的值域或最值求函数y ＝4－3sin 2x －4cos x 的值域，其中x ∈[－π3，2π3]．y ＝4－3sin 2x －4cos x ＝4－3(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.因为x ∈[－π3，2π3]，所以cos x ∈[－12，1]．而23∈[－12，1]，所以当cos x ＝23时，y min ＝－13. 当cos x ＝－12时，y max ＝3×(－12)2－4×(－12)＋1＝154.所以所求函数的值域为[－13，154]．三角函数的值域或最值问题常考的主要有两种类型，一种是化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)，另一种是化为关于sin x ，cos x 或tan x 的二次函数．第一种类型可利用三角函数的性质及不等式的性质求得，第二种类型可换元转化为二次函数，借助二次函数的性质求得．不管哪种类型，都要注意角的范围．2．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos(2x －π3)－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12，所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.三角函数的值域或最值的应用在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为____________．要求AB ＋2BC 的最值，首先要将其表达式求出来．在△ABC 中，∠B 和边AC 是确定的，AB ，BC 是变化的，但∠C 一定，则边AB ，BC 就确定了，可见，AB ＋2BC 随着∠C 的变化而变化，从而可建立AB ＋2BC 关于∠C 的函数关系．在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝2R ＝332＝2，所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(2π3－C )＝4sin C ＋23cos C＝27sin(C ＋φ)，C ∈(0，2π3)，所以AB＋2BC 的最大值为27.27利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是： (1)建立目标函数；(2)求最值；(3)作答．其中关键是建立目标函数，而建立目标函数的关键是选取适当的角变量，建立目标函数后，再根据表达式的特点求其最值．3．如图，半径为1的扇形的圆心角为π3，一个矩形的一边AB 在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D 分别在弧和另一条半径上，求此矩形ABCD 的最大面积．连接OC ，设∠BOC ＝α，0<α＜π3，设矩形ABCD 的面积为S ，则BC ＝sin α，在△OAD 中，AD AO ＝tan π3，所以OA ＝13sin α，所以AB ＝OB －OA ＝cos α－13sin α，所以S ＝AB ·BC ＝(cos α－13sin α)sin α＝cos αsin α－13sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝33sin(2α＋π6)－36. 故α＝π6时，S max ＝36.故矩形ABCD 的最大面积为36.1．求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式，常借助三角函数的图象来求解． 2．求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t的二次函数求值域(最值)．换元法是求三角函数最值的重要方法，通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值，这时要特别注意新元的范围．3．利用三角函数的最值解决有关问题时，关键是引入角α，建立目标函数，然后根据目标函数的特点进行求解．三角函数的图象与性质(二)1．进一步熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．知识梳理基本初等三角函数的图象与性质(以下k ∈Z )1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 热身练习1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期为(C)A ．4πB ．2πC ．π D.π2函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝2π2＝π.2．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数，则φ的一个值为(B) A ．π B ．－π2C ．－π4D ．－π8因为f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)＝±cos 2x ， 所以φ＝k π＋π2，k ∈Z .k ＝－1时，φ＝－π2.3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误．．的是(D) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数由于f (x )＝sin(x －π2)＝－cos x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数，函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )是偶函数．4．同时具有：①最小正周期为π；②图象关于点(π6，0)对称的一个函数是(D)A ．y ＝cos(2x －π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(x 2＋π6)D ．y ＝tan(x ＋π3)由T ＝π，排除C ；把x ＝π6代入A ，B ，函数值均不为零，排除A ，B ；再验证D 符合题意．5．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是(A)A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)因为函数的周期为π，所以排除C ，D.因为函数在[π4，π2]上是减函数，所以排除B ，故选A.三角函数的周期性(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C ．πD ．2πy ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)，T ＝2π2＝π.C(1)涉及三角函数的性质问题，首先应考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式．(2)掌握一些简单函数的周期：如： ①y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|；②y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|；③y ＝|sin x |的周期为π； ④y ＝|tan x |的周期为π.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则(B) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4因为f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2 ＝1＋cos 2x －1－cos 2x2＋2＝32cos 2x ＋52， 所以f (x )的最小正周期为π，最大值为4.三角函数的单调性(经典真题)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z(方法一)由五点法作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝π2，54ω＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π，φ＝π4.所以f (x )＝cos(πx ＋π4)， 令2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z .故f (x )的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z .(方法二)由图象可知T ＝2(54－14)＝2，当x ＝14＋542＝34时，f (x )取得最小值，因为T ＝2，所以34－1＝－14取到最大值．于是得到f (x )的一个单调递减区间为(－14，34)，所以f (x )的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z .D(1)方法一是求单调区间的通法；方法二充分利用了单调性的图象特征． (2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但若ω＜0，则应利用诱导公式将x 的系数化为正数再处理．(3)求函数的单调区间应遵循先化简的原则，并注意运用复合函数的单调性规律“同增异减”．2．(2018·新课程卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是(A)A.π4B.π2 C.3π4D ．π(方法一：利用复合函数的单调性)f (x )＝cos x －sin x＝－2(sin x ·22－cos x ·22) ＝－2sin(x －π4)，当x ∈[－π4，34π]，即x －π4∈[－π2，π2]时，y ＝sin(x －π4)单调递增，y ＝－2sin(x －π4)单调递减．因为函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， 所以[－a ，a－π4，34π]， 所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.(方法二：利用复合函数的单调性)f (x )＝2cos(x ＋π4)，当x ∈[－π4，3π4]，即x ＋π4∈[0，π]时，y ＝2cos(x ＋π4)单调递减，所以[－a ，a－π4，34π]， 所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.(方法三：换元，化归为基本函数的单调性)f (x )＝2cos(x ＋π4)，令t ＝x ＋π4，f (x )＝2cos t ，因为x ∈[－a ，a ]，所以t ＝x ＋π4∈[π4－a ，π4＋a ]，因为y ＝cos t 在[0，π]上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧π4－a ≥0，π4＋a ≤π，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.(方法四：利用导数研究单调性)f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0，得2sin(x ＋π4)≥0，所以2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，又f (x )在[－a ，a ]单调递减， 所以[－a ，a－π4＋2k π，3π4＋2k π]，k ∈Z ， 易知k ＝0，所以a 取最大值π4.三角函数性质的综合应用(2018·汕头模拟)将偶函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象向右平移θ个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )在[－π4，π6]上的最小值是( )A ．－2B ．－1C ．－ 3D ．－12f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π6)，因为f (x )是偶函数，所以θ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，因为0＜θ＜π，所以θ＝π3，。
新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题04 三角恒等变换(解析版)
新高考数学（理）三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15B ．55 C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 B ．55 C ．255D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα，解得215a =，即55a =，所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（ ） A ．14 B ．14-C ．34D ．34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ． 【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（ ） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ． 【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（ ） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 3tan2α－2=0，解得tan2α=－2，或tan2α=12（舍去），故选A ．【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ． 【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（ ） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=21cos α- =45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13， ∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（ ） A ．210 B ．210- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα， 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（ ） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ， 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ． 【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ）A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0）， ∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1－491625-=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数， 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。
2020届高考数学一轮复习讲义第四章《三角函数、解三角形》
2020届高考数学一轮复习讲义第四章《三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点sin5π6，tan α＝________.答案：－33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.下列命题中，真命题是()A ．第一象限角是锐角B ．直角不是任何象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在()A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M |x ＝k 2·180°＋45°，k N |x ＝k 4·180°＋45°，k 那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N |x ＝k4·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x |α＝k π＋π3，k ∈.答案|α＝k π＋π3，k 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足|sinα2|＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为|sin α2|＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为()A ．40πcm 2B ．80πcm 2C ．40cm 2D ．80cm 2解析：选B∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12cm ，则弧长l 等于()A.433πcm B.833πcm C.43cm D ．83cm解析：选B设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝43cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833πcm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：＋l ＝8，＝4.＝2，4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴－52，－sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sinθ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0θ＞0，θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝()A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为()A.45B ．－45C.35D ．－35解析：选D因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D因为点P α＜0，α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则()A ．sin α＜0B ．cos α＞0C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为()A ．π3B ．π2C ．3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22－12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为()A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以－12，θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于()A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2018°，cos 2018°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C由2018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2018°角的终边在第三象限，所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，即点A位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．a－9≤0，＋2＞0，∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13.综上可得sinβ＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a，a)，a∈R且a≠0，则sinθ的值是________．解析：由已知得r＝a2＋a2＝2|a|，sinθ＝ar＝a2|a|＝＞0，a＜0.所以sinθ的值是22或－22.答案：22或－2210．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)＋l ＝8，＝3，＝3，2＝1，6，∴α＝l r ＝23或α＝l r ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r＝14×＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.(1)求x的值；(2)求sinα＋1tanα的值．解：(1)因为角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝36 x，所以有xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x2＋2＝12，解得x＝±10.(2)若x＝10，则P(10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝－210＝－55，所以sinα＋1tanα＝－66－ 5.若x＝－10，则P(－10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝210＝55，所以sinα＋1tanα＝－66＋ 5.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知＝35，αsin(π＋α)＝______.答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin 1071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.答案：－12132．________，________.答案：(1)22(2)3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为()A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选Asin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ()A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝－12.3．已知＝33，则________.解析：－π6＋＝tan π＝－＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)αf解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴＝114π＝1tan π6＝ 3.5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α＝sin(π＋α)·－sin α＝sin αsin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为()A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcosθ＝29.又因为θsin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23.答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦，或者利用公式sin θcos θ＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tanπ4＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于()A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝yx＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为()A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2ββ－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)α＜sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知＝32，且|α|＜π2，则tan α＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3解析：选C 因为sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝＝－3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝()A ．sin 2－cos 2B ．cos 2－sin 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22＝|sin 2－cos 2|.又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0.∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α()A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α所以α为第三象限的角，cos α＝－45.2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2018)＝5，则f (2019)的值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B∵f (2018)＝5，∴a sin(2018π＋α)＋b cos(2018π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2019)＝a sin(2019π＋α)＋b cos(2019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos (1009π－2α)的值为()A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B由题意可得tan α＝2，所以cos (1009π－2α)＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是()A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sinθ21.5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则(π＋α)()A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为()A ．1＋5B ．1－5C ．1±5D ．－1－5解析：选B由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知a (|a |≤1)，则sin ________．解析：由题意知，cos π＝－a .sin π2＋a ，所以0.答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52.答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713.10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)(θ－π)－解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝21＝18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得＝sin 2π2018＋sin 21008π2018＝sin 2π2018＋sin＝sin 2π2018＋cos 2π2018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x;②y ＝sin 2x;③y ＝tan 2x;④y ＝|sin x |四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－2的定义域为________________．|x ≠k π＋π3，k1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是()A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin x 在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈0，π2，得2x －π4∈－π4，3π4，所以x ∈－22，1，故函数f (x )＝sin x 在区间0，π4上的最小值为－22.答案：－2 2考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透] 1．函数y＝log21sin x－1的定义域为________．解析：21sin x－1≥0，x＞0，所以有0＜sin x≤12，解得2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈Z，|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈.|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k2．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为______________．解析：2x＞0，－x2≥0，π＜x＜kπ＋π2，k∈Z，3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3答案：－3[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y＝≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析：选A∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴∈－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－x ＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－913．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a x a ＋b (a ＜0)的定义域为0，π2，值域为[－5,1]，则a＋b ＝________.解析：因为x ∈0，π2，所以2x ＋π6∈π6，7π6，所以x ∈－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x|解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x |的最大值为54，最小值为1－22.考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin －π3x()A ．6B ．－6C ．2π3D ．23解析：选A函数的最小正周期为T ＝2π|－π3|＝6.2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若2，0，且f (x )的最小正周期大于2π，则()A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A∵2，0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ，∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝＋由×5π8＋2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin x ()A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12.4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ＋φ＞0，|φ|π，且是偶函数，则()A ．f (x )B ．f (x )C ．f (x )D ．f (x )解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sinx ＝2cos 2x ，所以函数f (x )[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是()A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin 又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |－π2，_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |－π2，减区间为－π2，0和π.－π2，0和π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，周期为π的奇函数为()A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D都不正确，选A.2．函数y ＝sin x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为()A.－π6，π6B.k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C.2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 解析：选C∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ∈0________．解析：化简可得y ＝23sin 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈0，π2，∴函数的单调递增区间是0，π3.答案：0，π35．函数f (x )＝sin x 在0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈0，π2，∴2x ＋π3∈π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈－32，1.答案：－32，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝sinωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32.2．关于函数y ＝x ()A ．是奇函数BD ．最小正周期为π解析：选C函数y ＝tanx A 错；函数y ＝tan x 增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ()A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则()A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈－5π2，π2，∵[－2π，0]⊆－5π2，π2，故A 正确．5．已知ω＞0，函数f (x )＝sinω的取值范围是()A ．12，54B ．12，34C ，12D ．(0,2]解析：选A由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，＋π4，πω⊆π2，3π2，＋π4≥π2，＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.6．若函数f (x )＝2tanT 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝x ∈－π3，a ，若f (x )的值域是－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈－π3，a ，∴x ＋π6∈－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈－π6，π2时，f (x )的值域为－12，1，∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：π3，π8．若函数f (x )＝ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈0，π2，则x 0＝________.解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12k ∈Z )，而x 0∈0，π2，所以x 0＝5π12.答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＜φπ.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )×π6＋＝32，即＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝x 令2k π－π2≤2x ＋π32k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2sinx (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤x ≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间0，π2上取到最大值1，则实数a 等于()A ．1B ．52C ．32D ．2解析：选Cy x －12a ＋a 24＋58a －12.当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y －12a ＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32；②当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＞0，|φ|①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；④在区间－π6，以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝x 当x ＝π3时，x sin π＝0，所以f (x )f (x )在－5π12，π12上是增函数，则f (x )在－π6，⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.。
适用于老高考旧教材2024版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函
=
1
2
1 1
+
4 4
-
=-
2
.故选
2
(2)由题意知 cos α≠0,设角 α 的终边上一点(a,-3a)(a≠0),
则 r= 2 + 92 = 10|a|.
当 a>0 时,r= 10a,sin α=
10sin
3
α+
=-3
cos
10sin
α=
10
=
10
,
10
10+3 10=0.
当 a<0 时,r=- 10a,sin
4.三角函数线的应用
核心素养
1.数学抽象
2.直观想象
3.数学运算
强基础•固本增分
1.角的概念的推广
(1)角的定义:平面内一条射线绕着 端点从一个位置旋转到另一个位置所成
的图形.
按旋转方向不同分为 正角
(2)角的分类
和 零角
、 负角
.
按终边位置不同分为 象限角
和轴
线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
(2)tan
1-tan15 °
α=
1+tan15 °
=
α=
=
6
3
=- .
-4 2
tan45 °-tan15 °
=tan(45°-15°)=tan
1+tan45 °·tan15 °
3
30°= .故选3来自D.考向2 三角函数值的符号判断
例4(1)已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α为(
(方法
α= =2.
2020届高考数学一轮复习：教师用书第四章 三角函数、解三角形2
第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第四节函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：[小题体验]1．若函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝( ) A ．1 B ．0 C ．32D ． 3解析：选B 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫4×π3－π3＝0. 2．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向右平移5π6个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度解析：选D 因为y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2，所以为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12＋π3的图象向左平移5π12个单位长度即可．故选D. 3．函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 答案：23 4π －π41．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[小题纠偏]1．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为________．答案：142．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移______个单位长度．答案：π6考点一 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎭2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)把y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． [由题悟法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种作法[提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[即时应用]1．(2019·宁波质检)若函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ值为( )A.π4 B.3π8 C.3π4D.5π8解析：选C 由题意知，函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)关于直线x ＝－π8对称，∴2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝3π4＋k π(k ∈Z )，又∵0＜φ＜π，∴φ＝3π4. 2．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A 变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确． 3．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象表示的函数解析式为y ＝sin x ，则ω＝________，φ＝________.解析：把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，所得的图象表示的函数解析式为y ＝sin 2x ，再将此函数图象向右平移π6个单位长度可得y ＝sin⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以ω＝2，φ＝－π3.答案：2 －π3考点二 求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·金华模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.2．(2018·嵊州高级中学期中)函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析：由图可知，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2.因为当x ＝π3时，函数有最大值1，所以由五点法可知，2π3＋φ＝π2，解得φ＝－π6.答案：2 －π6[由题悟法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)中参数的方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：[即时应用]1．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6解析：选B ∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴ f (0)＝sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∴g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证φ＝56π时，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝sin ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立，故选B. 2．(2018·宁波名校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 D ．y ＝cos 2x解析：选B 由图可得，A ＝1，3T 4＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2，当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|＜π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象解析式为y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 考点三 三角函数的图象和性质的综合问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·“绿色联盟”模拟)已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的交点． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π3，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2π3上是减函数， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤5π12，π2上是减函数． 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝1＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝3， 结合图象可知，3≤t ＜1＋32，故实数t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫3，1＋32.[由题悟法]1．三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路先将y ＝f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．2．三角函数的零点、不等式问题的求解思路(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)； (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象； (3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．[即时应用]已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x, 3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π，令sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝0， 得2x －π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故所求对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 考点四 三角函数模型的简单应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．则实验室这一天的最大温差为________℃.解析：因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24， 所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 答案：4[由题悟法]三角函数模型在实际应用中体现的2个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[即时应用]1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题图可知－3＋k ＝2，即k ＝5，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8. 2．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析：选A 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． 又⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6. ∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ，在直角坐标系下利用“五点法”作f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．－π3，0，π2，2π3，πC ．－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3D ．－π3，0，π2，π，3π2，5π3解析：选C 由题意知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π3，当2x ＋π3＝－π3，0，π2，π，3π2，5π3时，x 的值分别为－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3.2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：选D 最小正周期为T ＝2π12＝4π.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.4．(2019·东阳模拟)为了得到函数y ＝cos 2x 的图象，可以将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选D 因为y ＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以为了得到函数y ＝cos 2x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12的图象向左平移π3个单位长度即可． 5．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：选D ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝± π2时，y ＝sin x 2＝1，而 π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω＞0)与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同．为了得到函数h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选A 因为两函数的对称轴完全相同，所以两函数的周期一致，由此可得ω＝2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，且cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以为了得到h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度即可． 2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：选B ∵f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象， 又g (x )的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．3．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6. 4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．32C ．22D ．1解析：选B 由图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2， 则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤54，74 B.⎝⎛⎦⎤34，45 C.⎝⎛⎦⎤1，54 D.⎝⎛⎦⎤34，54解析：选A 因为函数f (x )在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的图象可得54T ＜2π≤74T ，即54·2πω＜2π≤74·2πω，解得54＜ω≤74.6．(2019·丽水模拟)已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，则下列结论中正确的序号是________．①函数f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，5π12上是增函数；④将y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数f (x )的图象．解析：f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝11π12，所以①正确； 令2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫2π3，0，所以②正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以当k ＝0时，函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，所以③错误；将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以④错误．所以正确的序号是①②. 答案：①②7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 8．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－45，sin φ＝35.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－45. 答案：－459．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，即T ＝4×π4＝π，又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时， 5π3≤2x －π3≤8π3， 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32， 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 10．(2019·杭州二中模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，5π12上的最值，并求出相应的x 值． 解：(1)由图象可知，A ＝2，T ＝π＝2πω，所以ω＝2. 所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2，|φ|＜π2， 所以φ＝－π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈[－1,2]． 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2； 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：选B 由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调； 若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝m cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6－2m ＋3(m ＞0)，若对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的值域为[1,2]．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，函数g (x )＝m cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6－2m ＋3(m ＞0)的值域为⎣⎡⎦⎤－3m2＋3，－m ＋3.∵对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3m 2＋3≥1，－m ＋3≤2，解得1≤m ≤43，即m ∈⎣⎡⎦⎤1，43. 答案：⎣⎡⎦⎤1，43 3．(2018·浙江名校协作体考试)已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上的最值． 解：(1)f (x )＝12sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12， 因为T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)因为f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0时，4x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4， 所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－3π16＝1－22，g (x )max ＝g (0)＝1.命题点一 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2 α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.2．(2013·浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B ．34C ．－34D ．－43解析：选C 两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34. 3．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值． 解：(1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.命题点二 三角函数的图象与性质1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B ．π2C ．πD ．2π解析：选C 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 2．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确．3．(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解析：选A 由图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故选A. 4．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选A f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0＜a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.6．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z .∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.答案：－π67．(2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.解析：∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1. 答案：2 18．(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立， ∴当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4ω－π6＝1， ∴π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ， ∴ω＝8k ＋23，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.答案：239．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 10．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1， 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. [小题体验]1．cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°的值为( ) A ．12B ．32C ． 3D ．33答案：A2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941B ．129C ．141D ．1答案：D3．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.答案：54．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.答案：7251．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围． [小题纠偏]1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．(2018·温州模拟)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos π6cos x ＋sin π6sin x ＝32cos x ＋12sin x ＝12(sin x ＋3cos x )＝12×65＝35. 答案：35考点一 三角函数公式的基本应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B ．211C ．112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.2．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43 C.43 D.34解析：选D ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋33104．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解：(1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.所以sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝－725×12＋2425×32＝243－750. [谨记通法]三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·台州模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( )A.23 B.43 C.34D.32解析：选D 由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴0＜π4－θ＜π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 2．计算：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.3．计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. 解析：∵tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴3－3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°， 即tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3[由题悟法]1．三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[即时应用]1．(2019·金华十校联考)sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°的值是( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选D sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°＝sin 5°cos 55°＋cos 5°sin 55°＝sin 60°＝32. 2．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为____________． 解析：由tan α＋1tan α＝103，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0， 所以tan α＝3或tan α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以tan α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋2(1＋cos 2α)2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×2×332＋1＋2×1－3232＋1＋22＝0. 答案：0考点三 角的变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)． 解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.[由题悟法]利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[即时应用]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3的值为( ) A ．23B ．12C ．34D ．45解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．(2018·福建师大附中检测)若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C ．14D ．78解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－78.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·宁波模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．17B ．7C ．－17D ．－7解析：选A 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，所以tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选D 依题意得cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 3．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B ．23C ．－13D ．13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.4．(2019·衢州模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x的值为________． 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝1－tan 2x 2＝49. 答案：495．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A ．－43B ．43C ．－43或0D ．43或0解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎨⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B ．118C ．－1718D ．1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33B ．－33 C.539D ．－69解析：选C ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.4．(2018·“七彩阳光”联盟适应性考试)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，2)B ．[－3，3)C ．[3，2)D ．[0,2)解析：选C 令f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝0，则有m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以有2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[－3，2]．因为有两个不同的零点，结合图形可知，m ∈[3，2)．5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：选D ∵cos α＝13，2α∈()0，π，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，sin 2α＝1－cos 22α＝429，又∵cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， ∴cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.6．(2018·杭州二中模拟)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________；tan 2α＝________.解析：由sin α＋2cos α＝102两边平方可得sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52，故sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝52，即tan 2α＋4tan α＋4tan 2α＋1＝52，解得tan α＝3或tan α＝－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.答案：3或－13 －347．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－18．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15169．(2019·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．解：(1)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.因为tan α＝2，所以cos 2α＝1－41＋4＝－35.(2)因为α∈(0，π)，tan α＝2， 所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为cos 2α＝－35，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin 2α＝45. 因为β∈(0，π)，cos β＝－7210， 所以sin β＝210且β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.因为2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.10．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π，函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值． 解：(1)依题意有f (x )＝a ·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)． ∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴T ＝2πω＝2π，解得ω＝1.将点M ⎝⎛⎭⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝32，∴π6＋φ＝π3＋2k π，k ∈Z 或π6＋φ＝2π3＋2k π，k ∈Z . ∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin β＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725， ∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－725×1213＋2425×513＝36325.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面向量a ＝(sin 2x ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，－cos 2x )，f (x )＝a ·b ＋4cos 2x ＋23sin x cos x ，若存在m ∈R ，对任意的x ∈R ，f (x )≥f (m )，则f (m )＝( )A ．2＋2 3B ．3C ．0D ．2－2 3解析：选C 依题意得f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋4cos 2x ＋3sin 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2，因此函数f (x )的最小值是－2＋2＝0，即有f (m )＝0.2．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则。
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1专题04三角函数的应用一、本专题要特别小心：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤5.利用图象求周期6.已知图象求解析式 二【学习目标】1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 三．【方法总结】1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 四．【题型方法】（一）利用三角函数测量应用2例1.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．30(31)m +B ．120(31)m -C ．180(21)m - D ．240(31)m -【答案】B【解析】记A 点正下方为O ，由题意可得60OA =，75ABO ∠=o ，30ACO ∠=o ，在AOB ∆中，由313tan 75tan(4530)23313OA OB +==+==+-o o o ， 得到60(23)23OB ==-+；在AOC ∆中，由3tan 303OAOC ==o 得到6033OC ==， 所以河流的宽度BC 等于60360(23)120(31)OC OB -=--=-米. 故选B练习1. 习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B 的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B 的仰角为，则山高约为______米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.【答案】【解析】过C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,设BM=h,则CM=,解得h=20(),∴BD=h+20（二）与圆有关的三角函数应用是锐角，大小为β.图中阴影区例2. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB域的面积的最大值为A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，34此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .练习1．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若1AB =，2AD =，33cos sin BC BD DBC CD BCD =∠+∠，则BCD S △的最大值为（ ）A ．74B ．724C ．73D ．72【答案】C【解析】做DE CB ⊥于点E ，cos BD DBC BE ∠=，sin ,CD BCD DE ∠=533cos sin 3BC BD DBC CD BCD BE DE =∠+∠=+ 333()3BC BE DE BC BE CE DE -=⇔-==在直角三角形CDE 中，可得到tan 3.3DE DCE DCE CE π∠==∴∠=根据该四边形对角互补得到23DAB π∠=在三角形ABD 中，应用余弦定理得到11421277BD =++⨯⨯⨯= 在三角形DCB 中，应用余弦定理以及重要不等式得到222722BD CD BC BC CD BC CD BC CD BC CD ==+-⨯≥⨯-⨯=⨯进而得到1337372BCD S BC CD =⨯⨯⨯≤⨯=V 故答案为：C.练习2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则（ ）A ．16分钟B ．18分钟C ．20分钟D ．22分钟【答案】C【解析】根据题意，作，，如下图所示：直径为，则，所以则所以，即所以因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟所以从A到B 所需时间为分钟所以选C练习3.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．【答案】【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E ，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin =,由余弦定6理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故（三）模型的应用例3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，所以半周期，故，所以，又，所以，所以，当时，，，.，故选A.7练习1. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：(美元)(t(天)，，)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当(天)时达到最低油价，则的最小值为________．【答案】【解析】由最高油价为80美元知.由(天)时达到最低油价知，所以，，又，所以的最小值为.练习2.为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心O后转向u u u rON方向，已知∠MON＝34π，现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出口B，假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB 的距离为10km．（1）求两站点A，B之间的距离；（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km 为半径的圆形保护区．因考虑未来道路AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？【答案】（1）21)；（2）10220OA<<【解析】（1）过O作直线OE⊥AB于E，则OE＝10，设∠EOA＝α，则∠EOB＝34π﹣α，（42ππα<<），故AE＝10tanα，BE＝10tan（34π﹣α），AB＝10tanα+10tan（34π﹣α）＝10（3sinsin43coscos4πααπαα⎛⎫-⎪⎝⎭+⎛⎫-⎪⎝⎭）＝310sin43cos cos4ππαα⎛⎫-⎪⎝⎭，又cos3cos4παα⎛⎫⋅-⎪⎝⎭＝cosα•2cosα2sinα）＝12sin2a24π⎛⎫-⎪⎝⎭89由42ππα<<，可得：2α﹣3,444πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故cos max322cos 44παα-⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，当且仅当2α﹣42ππ=，即α＝38π时取等号，此时，AB 有最小值为20（21+），即两出入口之间距离的最小值为20（21+）．（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F ，此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线，因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图所示，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 由CF ＝5，OE ＝10，因为圆O 的方程为x 2+y 2＝100，圆C 的方程为（x+30）2+y 2＝25， 设直线AB 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），则：221013051tkk t k ⎧=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩，所以两式相除可得：|||30|t k t -+＝2，所以t ＝20k ，或t ＝60k ，所以，此时A （﹣20，0）或A （﹣60，0）（舍去），此时OA ＝20， 又由（1）可知当4πα=时，OA ＝102，综上，OA (102,20)∈． 即设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区．练习3．一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？【答案】(1) (2)【解析】（1）设，，则，，∴，∴∴，∵，，∴，∴.∵，∴，∴（2）令，得，∴，∴∴点第一次到达最高点大约要的时间.练习4.已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间的（，单位：小时）函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：（时）03691215182124（米） 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5经长期观察，的曲线，可以近似地看成函数的图象．（1）根据以上数据，求出函数近似表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午时至晚上时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？10【答案】（1）；（2）从8点到16点共8小时.【解析】（1）设函数，∵同一周期内，当时，当时，∴函数的周期，得，且，∴，又由题意得点是函数图象上的一个最低点，∴，∴，∴函数近似表达式为．（2）由题意得，即，解得，即，∵在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间，∴令，得，∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．（四）数学文化中的三角应用例4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为（）（参考数据：，，，）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】11∵，且顶距时，晷影长．∴，当晷影长度，∴故选：B练习1．我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令圆的半径为1，则圆内接正边形的面积为，圆内接正边形的面积为，用圆的内接正边形逼近圆，可得；用圆的内接正边形逼近圆，可得；所以.故选A练习2．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角为，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为，则锐角（）．1213A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设 大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则=b,阴影三角形面积为小正方形面积为又阴影部分与大正方形的面积之比为所以整理得1-,解得故选：D（五）三角形中的三角函数例5. 某小区拟对如图一直角△ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF △,在其内建造文化景观。