最新苏教版2.22.3等差与等比数列求和习题(苏教版必修5)

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苏教版高中数学必修五2.2等差数列同步练测

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.2 等差数列同步练测第一课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分） 1.{a n }是首项为a 1=1，公差为d =3的等差数列，如果a n =2005，则序号n 等于______． 2.如果a 1，a 2，⋯，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则a 4a 5______a 1a 8．3.已知方程(x 2−2x +m )(x 2−2x +n )=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m −n ｜等于______．4.等差数列{a n }中，a +a =57，a +…+a =275，a =61，则k 等于______． 5.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=10，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项为______． 6.在等差数列{a n }中，a 5=3，a 6=－2，则a 4+a 5+…+a 10=¿ .7.在等差数列{a n }中，若a 1+3a 8+a 15=120，则2a 9−a 10=¿________.8.将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n 组有2n个偶数进行分组，即第1组：{2，4}，第2组：{6，8，10，12}，第3组：{14，16，18，20，22，24}，则2 010位于第_____组. 9.设等差数列{a n }的公差为正数，若123a a a ＋＋＝15，123a a a ＝105，则111213a a a ＋＋＝________.10.将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 ……2826那么2 014应该在第________行第________列．二、解答题（共50分） 11．（10分）(1)已知数列{a n }的前n项和S n =3n 2－2n ，求证：数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c1成等差数列，求证：ac b +，b a c +，c ba +也成等差数列.12.（12分）已知等差数列｛a n ｝中，a 1+a 4+a 7=15，a 24a 6=45，求其通项a n .13.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，那么需要支付多少车费？14.（14分）数列{}n a满足14a=，144nnaa-=-（n≥2），设n b=12na-，（1）判断数列{}n b是否为等差数列并试证明；（2）求数列{}n a的通项公式.2.2 等差数列同步练测第一课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.14.2.2 等差数列同步练测第一课时参考答案一、填空题1.699 解析：由题设，将a 1=1，d =3，a n =205代入通项公式a n =a 1+(n －1)d ，即205=1+3(n －1)，∴ n =699．2.¿解析：因为a 1a 8=a 1(a 1+7d )=a 12+7a 1d，a =(a +3d )(a +4d )=a +7a d +12d ，所以a 4a 5>a 1a 8．3.21 解析：方法1：可知a 1=¿41，a 2=¿41+d，a 3=¿41+2d，a 4=¿41+3d ，而方程x 2−2x +m =0中两根之和为2，x 2−2x +n =0中两根之和也为2， ∴ a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d =4，∴d =¿21，a 1=¿41，a ❑4=¿47是一个方程的两个根，a 2=¿43，a 3=¿45是另一个方程的两个根．∴m和n的值分别为167或1615，∴｜m −n ｜＝21．方法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1+x 2=x 3+x 4=2，x 1·x 2=m ，x 3·x 4=n ．由等差数列的性质：若r +s =p +q ，则a r +a s =a p +a q .若设x 1为第一项，x 2必为第四项，又x 1=¿41，则x 2=¿47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m =¿167，n =¿1615，∴｜m −n ｜=¿21．4.21 解析：∵a 4+a 7+a 10=3a 7=57，∴ a 7=19.由a 4+a 5+…+a 14=1a 9=275，可得a 9=25.∴ 公差d =3. ∵ a k =a 9+(k −9)·d ，∴ 61=25+(k −9)×3，解得k =21.5.100 解析：∵ {a n }、{b n }为等差数列，∴{a n +b n }也为等差数列.设c n =a n +b n ，则c 1=a 1+b 1=100，而c 2=a 2+b 2=10，故d =c 2－c 1=0.∴ c 37=100.6.－49 解析：∵ d =a 6−a 5=−5，∴a 4+a 5+…+a 10=¿2＋7104)(a a¿25＋＋－755)(d a d a ¿7(a 5+2d )=−49．7.24 解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1+3a 8+a 15=5a 8=120，即a 8=24.又∵ {a n }是等差数列，∴a 8+a 10=2a 9.∴ 2a 9－a 10=a 8=24.8.32 解析：因为第n组有2n 个偶数，故前n组共有2＋4＋6＋ (2)＝(2n＋n)个偶数.2 010是第1 005个偶数．若n＝31，则2n＋n＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组．9.75 解析：∵12312315,105,a a a a a a ++=ìí=î∴2135,21,a a a =ìí=î∴1115,(2)21.a d aa d +=ìí+=î∵ 0d >，∴ 13,2.a d =ìí=î∴111213133375a a a a d ＋＋＝＋＝.10.252 2 解析：通项2n a n ＝，故2 014为第1 007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．二、解答题11．分析：判断给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项的差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴ a n ＝6n －5(n ∈N *)． ∵首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N *)，∴ 数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b1，c1成等差数列，∴b2＝a 1＋c1，化简得2ac ＝b (a ＋c )．∴ac b ＋＋cba ＋＝ac aba c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝acc a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b c a ＋，∴ac b ＋，ba c ＋，cb a ＋也成等差数列．12.解：∵ a 1+a 7=2a 4，且a 1+a 4+a 7=15，∴a 4=5.又∵ a 2a 4a 6=45，∴ a 2a 6=9.设数列{a n }的公差为d ，又a 4=5，∴ a 2=a 4－2d ，a 6=a 4+2d.代入a 2a 6=9可得(5－2d)(5+2d)=925－4d 2=9d =±2. 当d=2时，a n =a 4+(n －4)d=5+(n －4)×2=2n －3(n ∈N *);当d=－2时，a n =a 4+(n －4)d=5+(n －4)×(－2)=13－2n(n ∈N *).13.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4千米的车费记为111.2a =，公差1.2d =.当出租车行至目的地即14 千米处时，11n =，求11a . 11a =11.2+（11-1）×1.2=23.2. 答：需要支付车费23.2元. 14.解：（1）∵4224412111-=--=-=++n nnn n a a a a b ，2142221421=--=-=-=-+nn n n n nn a a a a a b b ，∴ 数列{}nb 是公差为12的等差数列. （2）∵ 111122b a ==-，11(1)222n n b n =+-´=， ∴ 122nn a =-，∴ 2(1)n n a n +=.2.2 等差数列同步练测第二课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分） 1.若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n是_______．2.设S n 是等差数列{a n }的前n项和，若35a a ＝95，则59S S ＝_______．3.在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n −1－a n 2+a n +1=0(n ≥2)，若S 2n −1=38，则n =¿_______．4.设nS 是等差数列{a n }的前n 项和，若735S =，则a 4=¿_______．5.在等差数列{a n }中，3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24，则此数列的前13项之和为 .6.等差数列{a n }中，a 1=−5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_______项.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，4S ＝14，S 10−S 7＝30，则S 9＝ . 8.等差数列{a n }中，a +a +a =−24，a +a +a =78，则此数列前20项的和等于 . 9.设等差数列{a n }的前n项和为n S，若39S =，636S =，则789a a a ++= .10.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n为 .二、解答题（共50分）11.（8分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知312a =，120S >，130S <.（1）求公差d的取值范围；（2）指出1S 、2S、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.12.(8分)已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为nS ，且满足：.22,1175243=+=⋅a a a a（1）求通项na ；（2）若数列}{n b 是等差数列，且c n S b nn +=，求非零常数c .13.（8分）在等差数列{a n}中，a1=－60，a17=－12.(1)求通项a n；(2)求此数列前30项的绝对值的和.14．（8分）已知数列{a n}的首项为31=a，通项na与前n项和S n之间满足2=na S n·S n−1（n≥2）.(1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS1是等差数列，并求公差；(2)求数列{a n}的通项公式.15.（10分）已知在正整数数列{}na 中，前n项和n S满足：n S ＝(n a ＋2)2. (1)求证：{}na 是等差数列；(2)若n b ＝n a－30，求数列{}nb 前n项和的最小值．16.（10分）已知数列{}na 的前n项和278n S n n ＝－－.(1)求数列{}na 的通项公式；(2)求数列{}na 的前n项和n T .2.2 等差数列同步练测第二课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.14.15.16.2.2 等差数列同步练测第二课时参考答案一、填空题1. 4 006 解析：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴ S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故n =4 006.2.1 解析：59SS ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1. 3.10 解析：∵ {a n }为等差数列，∴na 2＝a n －1＋a n ＋1.又2na ＝a n －1＋a n ＋1，∴2na ＝2a n .又a n ≠0，∴ a n ＝2，故{a n }为常数数列.而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴ n ＝10．4.5 解析：n S 是等差数列{a n}的前n 项和，则74735,S a == ∴4a =5.5.26 解析：∵ a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴ 6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴13S ＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26．6.6 解析：分析可知S 1=55=11a 6，所以a 6=5.因为抽取1项后余下的10项的平均值仍是5，所以抽取的是第6项.7.54 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142)14(441=-+d a302)17(772)110(101011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+d a d a ，联立以上两式解得a 1=2，d=1，所以S 9＝5412)19(929=⨯-+⨯.8.180 解析：由a 1+a 2+a 3=－24，可得3a 2=－24，即a 2=－8；由a 18+a 19+a 20=78，可得3a 19=78，即a 19=26.∴S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=10(－8+26)=180.9.45 解析：可知3S 、63S S -、96S S -成等差数列，从而()78996633632232363945a a a S S S S S S S ++=-=--=-=´-´=.10.26 解析：设该等差数列为{}na ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝，又∵ 1213243n n n na a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝，∴ n S ＝1()2nn a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝.二、解答题11. 解：（1）因为{S 12>0，S 13<0，所以{12a 1+12×112d >0，13a 1+13×122d <0，所以{2a 1+11d >0，a 1+6d <0.而31212a a d =+=，得1122a d =-，代入不等式组得247030d d +>ìí+<î，解得2437d -<<-，故公差d 的取值范围为24,37æö--ç÷èø. （2）21(1)(1)124(122)(5)2222n n n n n d S n a d n d d n d --éù=+=-+=--êúëû2124(5)22d d éù--êúëû.∵ 0d <，∴ 当2124(5)2n d éù--êúëû最小时n S 最大.而24,37d æöÎ--ç÷èø，∴ 124136522d æö<-<ç÷èø，∴ 当n =6时，nS 最大. ∴6S 最大.12.解：（1）设数列{}n a 的公差为d，由题意得：111+2)+3)117,2+522,a d a d a d =ìí=î（（解得14,4a d =ìí=î或121,4a d =ìí=-î（舍去）.所以34-=n a n .（2）nn n n S n -=-+=222)341(，由于n S n c ìüíý+îþ是等差数列，故b an c n S n+=+对一切自然数n 都成立，即bc n b ac an b an c n n n +++=++=-)())((222，所以2,1,0,a a c b b c =ìï+=-íï=î故2,0,0.5,a b c =ìï=íï=-î或2,1,0a b c =ìï=-íï=î（舍去），所以c =−0.5.13. 解：(1)a 17=a 1+16d ，即－12=－60+16d ，∴ d =3.∴ a n =－60+3(n －1)=3n －63.(2)由a n ≤0，得3n －63≤0，n ≤21.∴ |a 1|+|a 2|+…+|a 30|=－(a 1+a 2+…+a 21)+(a 22+a 23+…+a 30)=(3+6+9+…+60)+(3+6+…+27)=2)603(+×20+2)273(+×9=765. 14. (1)证明：由条件得2（1--n n S S ）=1-⋅n n S S 21111-=-⇒-n n S S ，∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列，且公差为－21.(2)解：n S n S n n356)21)(1(311-=⇒--+=.当n =1时，a 1=3，当n ≥2时，a n =S n −S n −1=¿)83)(53(18--n n .15.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n≥2)．当n≥2时，na ＝nS －1n S －＝2(2)n a ＋－21(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}na 为正整数数列，∴ 10,n n a a +¹－∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝21(2)a ＋，∴ 1a ＝21(2)a ＋.解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝n a －30＝(4n －2)－30＝2n －31.令n b<0，得n <，∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b L ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.16.解：(1)当n＝1时，11a S ＝＝－14；当n≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n－8，故n a ＝14(1),28(2).n n n -=ìí-³î(2)由n a ＝2n－8可知：当n≤4时，n a ≤0；当n≥5时，0n a >.∴ 当1≤n≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ´＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋，∴ n T＝2278(14),732(5).n n n n n n ì-++££ïí-+³ïî。

高中数学等差、等比数列的综合应用同步练习文苏教版必修5

高中数学等差、等比数列的综合应用同步练习文苏教版必修51. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为（）A. 15B. 17C. 19D. 212. 已知数列{a n }的通项公式a n =3n －2，在数列{a n }中取a k1，a k2，a k3，…，a kn ，… 成等比数列，若k 1=2，k 2=6，则k 4的值（）A. 86B. 54C. 160D. 2563. 数列}{n a 中，a l = l ，a 2 = 2+3 ，a 3 = 4+5+6 ，a 4 = 7+8+9+10 ，则a 10的值是（）A. 750B. 610C. 510D. 5054. {}n a 是等差数列，S 10>0，S 11<0，则使n a <0的最小的n 值是（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项6. 数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅。

则数列的第100项为（） A.10012 B. 5012 C. 1100 D. 1507. 在等差数列{n a }中，4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。

8. 求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和。

9. 设)(,)2()(x f x x a x x f =+=有唯一解，,,2,1,)(,10021)(10 ===-n x x f x f n n （1）问数列}1{nx 是否是等差数列？（2）求2003x 的值。

【试题答案】1. B2. A3. D4. B5. A6. D7. 解法1：∵4a ＝1a ＋3d ，∴ －15＝1a ＋9，1a ＝－24，∴ n S ＝－24n ＋2)1(3-n n ＝23[（n －651）2－36512]，∴ 当|n －651|最小时，n S 最小，即当n ＝8或n ＝9时，8S ＝9S ＝－108最小解法2：由已知解得1a ＝－24，d ＝3，n a ＝－24＋3（n －1），由n a ≤0得n ≤9且9a ＝0，∴当n ＝8或n ＝9时，8S ＝9S ＝－108最小8. 解：由1007<n 得 72147100=<n∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素即：7，14，21，…，98 是为首项71=a 9814=a 的集合 ∴ 7352)987(14=+⨯=n S答：略9. （1）由210)2(-==⇒+=a x x x a xx 或，所以由题知21021==-a a 211122)(,22)(1111=-⇒+==∴+=----n n n n n n x x x x x f x x xx f 又因为10021,10021)(101===x x f x 所以所以数列}1{n x 是首项为1002，公差等于21的等差数列（2）由（1）知20031,200321)12003(11200312003=∴=⋅-+=x x x。

高中数学列求和同步练习文苏教版必修5

高二数学苏教版<文>数列求和同步练习（答题时间：20分钟）1、求和S n ＝n n n n 212232252321132-+-++++-Λ 2、求和（1）23,2,3,,,n a a a na L L（2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+L L 3、已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S 。

4、求数列Λ1614,813,412,211的前n 项和。

【试题答案】1、解：由原式乘以公比21得: 21S n ＝1322122322321+-+-+++n n n n Λ 原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,∴S n －21S n ＝21+112212212121+---+++n n n Λ 即 S n ＝32232++-n n 2、解：（1）2323n n S a a a na =++++L ，当1a =时，123n S =+++…(1)2n n n ++=，当1a ≠时，2323n S a a a =+++…n na + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++…11(1)1n n n n a a a na na a++-+-=--， ∴212(1)(1)n n n na n a a S a ++-++=- （2）∵1111()(2)22n n n n =-++， ∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+L 1111(1)2212n n =+--++ 3、解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项， ∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n 项 ∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+- 所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n n n n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 4、分析：数列的通项公式为n n n a 21+=，而数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 21,分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法。

苏教版高中数学必修五2.3等比数列同步练测.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.3 等比数列同步练测第一课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共45分） 1.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为______．2.等比数列{}na 中，8,63232==+a a a a ，则q =¿____．3.已知等比数列{}na 各项为正数，且3是5a 和6a 的等比中项，则1210aa a L ＝______． 4.在等比数列{}na 中，1n n a a >＋，且711a a ＝6，414a a ＋＝5，则616a a =______．5.已知在等比数列{}na 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}na 的通项公式是=a 6.在正项等比数列{}na 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______.7.在等比数列{}na 中, 若,75,393==a a 则10a ¿__________.8.在等比数列{}na 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47aa ×-¿___________.9.在3和一个未知数中间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是_______．二、解答题（共55分） 10.(16分)设数列{}na 的前n项和a(¿¿n −1)S n =¿(n ∈N ¿).（1）求a 1,a 2；（2）求证：数列{}na 为等比数列.11.(8分)已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且12a a ＋＝21211a a æö+ç÷èø，34a a ＋＝323411aa æö+ç÷èø．求{}na 的通项公式.12.（12分）已知1a ＝2，点1(,)n n aa ＋在函数2()f x x ＝＋2x的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{l g (1)}n a ＋是等比数列；(2)求{}na 的通项公式．13．(9分)数列{}na 的前n项和记为S n ，已知a 1=1，a n +1＝S n (n =1，2，3，⋯)．求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列．14.（10分）容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L ，然后加满水，混合溶液后再倒出1 L ，又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？2.3 等比数列同步练测第一课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. .二、解答题10.11.12.13.14.2.3 等比数列同步练测第一课时参考答案一、填空题 1.14 解析：2121223412221124(2)a a a a a a q a aq ++===++.2.2或21解析：由题意知23,aa 为方程2680x x -+=的两根，解得2332,42,4a a a a ====或，所以公比为2或21.3.103 解析：由题意得569a a ＝，∴ 110293847569a a a a a a a a a a =====，∴ 510121093a a a L ==.5.32 解析：由题意得7114144146,5,a a a a a a ==ìí+=î解得4143,2a a =ìí=î或4142,3.a a =ìí=î又∵ 1n n a a >＋，∴ 43a ＝，142a ＝.∴ 64161432a a a a ==.6.2n −1解析：由,7,13211=++=a a a a 得q 2+q −6=0,∴ q =2(负值舍去).∴ a n =2n −1.7.5 解析：所给式子可整理为22233553535()2()()25,5.a a a a a a a a ++=+=\+=8.3575± 解析：633910937525,5,7553a q q a aq a ====±=×=±.9.2- 解析：由等比数列的性质知471102a a a a ==-.10.3或27 解析：设此三数为3，a ，b，则223,(6)3.a b a b =+ìí-=î解得3,3a b =ìí=î或15,27.a b =ìí=î∴ 这个未知数为3或27.二、解答题11. (1) 解:由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ，∴ =1a 21-.又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)证明：当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n na a ∴ {}na 是首项为21-,公比为21-的等比数列.12.解：设等比数列{}na 的公比为q，则11n n a a q－＝.由已知得11a a q ＋＝21111a a q æö+ç÷èø，2311a q a q ＋＝32231111a q a q æö+ç÷èø．化简，得21251(1)2(1),(1)32(1),a q q q a qq q ì+=+ïí+=+ïî即212512,32.a q a q ì=ïí=ïî又∵ 10a >，0q >，∴ 11,2.a q =ìí=î∴ 2n n a －1=.13.(1)证明：由已知得212n n na a a ＋＝＋，∴ 221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋.∵ 12a ＝，∴ 211(1)0n n a a >＋＋＝＋.∴1l g (1)2l g (1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1l g (1)l g 3a ＋＝.∴ {l g (1)}n a ＋是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，121l g (1)2l g 3l g 3n n n a ×－－＋==，∴ 2113n n a -＋=，∴ 2131n n a -=－.14.证明：∵1+112,n n n n nn a S Sa S n +++=-=，∴ 1(2)()n nn n S n S S ++=-，整理得12(1)n n nS n S +=+，∴ 1＋1＋n S n ＝nS n2．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS n 是以2为公比的等比数列．15.解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是1a ＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度是n a ，则操作(1)n ＋次后溶液的浓度是1n a＋＝11n a a æöç÷èø－．所以数列{}na 是以1a ＝1－1a 为首项，q ＝1－1a 为公比的等比数列．所以1111n n n a a q a æö-ç÷èø－＝＝，即第n 次操作后溶液的浓度是11na æö-ç÷èø. 当a ＝2时，由n a ＝11210n æö<ç÷èø，得n ≥4.因此，至少应倒出4次后才可以使酒精浓度低于10%.2.3 等比数列同步练测第二课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分） 1.等比数列{}na 中，259,243aa ==，则{}na 的前4项和为________.2.等比数列{}n a 中，481,3S S ==，则1718a a a a +++的值是________. 3.已知等比数列{}na 中, 21a =,则其前3项的和3S的取值范围是________. 4.首项为b ,公比为a 的等比数列{}na 的前n 项和为nS ,对任意的n ∈N ¿，点(nS ，1n S +)在直线_____上.5.已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n项的和，某同学经计算得220S =，336S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为________.6.设n S为等比数列{}na 的前n项和，2580a a －＝，则42S S ＝________.7.已知在等比数列{}na 中，公比q 是整数，14a a ＋＝18，23a a ＋＝12，则此数列的前8项和为________.8.已知某等比数列的前n项和nS ＝4na ＋，则a的值等于________.9.已知{}na 是首项为1的等比数列，n S是{}na 的前n项和，且369S S ＝，则数列1n a ìüíýîþ的前5项和为_______.10.在等比数列{}na 中，若前n 项的和为21n nS ＝－，则22212n a a a L ＋＋＋＝________.二、解答题（共50分）11.（7分）在等比数列{}n a 中，3S ＝，6S ＝，求n a.12.（7分）已知{}na 为等差数列，且3660a a ＝－，＝. (1)求{}na 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足18b ＝－，2123b a a a ＝＋＋，求{}n b 的前n 项和公式．13.（8分）在数列{}na 中，1a ＝，前n项和nS 满足1n nS S ＋－＝113n +æöç÷èø*()n ÎN .(1)求数列{}na 的通项公式n a 以及前n 项和nS ；(2)若11223,(),3()StS S S S ＋＋成等差数列，求实数t 的值．14.（8分）已知等比数列{}na 的各项均为正数，且12231a a ＋＝，23269a a a ＝.(1)求数列{}na 的通项公式；(2)设31323log log log n n b a a a L ＝＋＋＋，求数列1n b ìüíýîþ的前n项和．15.（10分）已知等比数列{}na 的前n项和为nS ，且132,,SSS 成等差数列． (1)求{}na 的公比q ；(2)若133a a －＝，求n S.16.（10分）数列{}na 满足21123333n na a a a L －＋＋＋＋＝3n*()n ÎN .(1)求数列{}na 的通项公式n a；(2)设n nn b a ＝，求数列{}n b 的前n 项和n S .2.3 等比数列同步练测第二课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.15.16.2.3 等比数列同步练测第二课时参考答案一、填空题1.120 解析：∵ 29a =，5243a =，∴ 25aa ＝q 3＝9243＝27，∴ q ＝3.∵ 219a a q ==，∴ 13a =，∴ S 4＝3－13－35＝2240＝120．2.16 解析：因为S n ,S 2n −S n ,S 3n −S 2n 成等比数列，根据已知关系可推得S 20−S 16=16，即1718192016aa a a +++=. 3.(-∞,-1］∪［3,+∞) 解析：设1a x =,且0x ¹,则311S x x =++，由对勾函数1y x x =+的图像知，12x x +³或12x x +£-，所以3S∈(-∞,-1］∪［3,+∞).4. y =ax +b 解析：当a ≠1时，(1)1n n b a S a-=-,+11(1)1n n b a S a+-=-,所以点(n S，1n S +)为1(1)(1),11n n b a b a a a +æö--ç÷--èø，显然此点在直线y =ax +b 上.5.3S 解析：假设后三个数均未算错，则18a =，23412,16,29a a a ===，可知2213a a a ¹，故2S、3S 中必有一个数算错了．若2S 算错了，则33412929,2a a q q ===，显然23368(1)S qq =¹++，矛盾．只有可能是3S 算错了，此时由212a =得32q =，3418,27a a ==，42182765S S =++=，满足题设．6.5 解析：∵ 2580a a －＝，∴ 4118a qa q ＝，∴ 38q ＝，∴ 2q ＝，∴ 424221151S q q S q -==+=-.7.510 解析：由已知得31121118,12,a a q a q a q ì+=ïí+=ïî解得q ＝2或q ＝.∵q为整数，∴q＝2.∴ 12a =.∴ 8S＝82(12)12--＝29－2＝510.8.-1 解析：设等比数列为{}na ，由已知得1122133241248a S a a S S a S S ＝＝＋，＝－＝，＝－＝. 又2213a a a ＝，即144＝(4＋a )×48，∴a＝－1.9. 解析：显然q ≠1，由题意知369(1)111q qq q --=--，∴ 319q ＋＝，∴q＝2，∴ 1n a ìüíýîþ是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和5T ＝5112112æö-ç÷èø-＝.10.(4n－1) 解析：∵ 112211312a S a S S ＝＝，＝－＝－＝，∴ q＝2.又∵ 数列2{}n a 也是等比数列，首项为21a ＝1，公比为2q ＝4，∴22212na a a L ＋＋＋＝141(41)143n n-=--．二、解答题11.解：由题意知632SS ¹，则1q ¹.又3S ＝，6S ＝，∴ 3161(1)13,19(1)364.19a q q a q q ì-=ï-ïí-ï=ï-î①②②÷①，得1＋3q＝28，∴q＝3，1a ＝.因此1313n n n a a q －－＝＝.12.解：(1)设等差数列{}na 的公差为d.∵ 3660a a ＝－，＝，∴ 1126,50,a d a d +=-ìí+=î解得110,2.a d =-ìí=î∴ 10(1)2212n a n n ´＝－＋－＝－. (2)设等比数列{}n b 的公比为q ，∵212324b a a a ＝＋＋＝－，b 1＝－8，∴ 824q －＝－，∴ 3q ＝， ∴ {}n b 的前n 项和1(1)8(13)4(13)113nn n n b q S q ---==--＝－．13.解：(1)由1113n n n S S +æöç÷èø＋－＝，得1n a ＋＝113n +æöç÷èø*()n ÎN .又1a＝，故na ＝13næöç÷èø*()n ÎN .从而1113311112313nn n S éùæö´-êúç÷éùèøêúæöëû=-êúç÷èøêúëû-＝*()n ÎN .(2)由(1)可得1S＝，2S ＝，3S ＝，又由11223,(),3()S tS S S S ＋＋成等差数列可得＋3×413927æö+ç÷èø＝2×1439t æö+ç÷èø，解得t ＝2.14.解：(1)设数列{}na 的公比为q，由23269a a a ＝，得22349a a ＝，所以2q ＝.由条件可知q >，故q＝.由12231a a ＋＝，得11231a a q ＋＝，所以1a＝. 故数列{}na 的通项公式为n a＝13n.(2)31323(1)l o g l o g l o g (12)2n n n n b a a a n +L L ＝＋＋＋＝-＋＋＋＝-，故12112(1)1nb n n n n æö=-=--ç÷++èø，121111111122122311nn b b b n n n éùæöæöæö+++=--+-++-=-ç÷ç÷ç÷êú++èøèøèøëûL L .所以数列1n b ìüíýîþ的前n 项和为21nn-+. 15.解：(1)依题意，得2111111()2()a a a q a a qa q ＋＋＝＋＋，∵ 10a ¹，∴ 220q q ＋＝.又q ¹，∴q＝－.(2)由已知，得211132a a æö-=ç÷èø－，∴ 1a＝4， ∴ 141281113212nnn S éùæö--êúç÷éùèøêúæöëû=--êúç÷æöèøêúëû--ç÷èø＝.16.解：(1)∵ 211233333n nna a a a L －＋＋＋＋＝，①∴ 当n≥2时，221231333n n a a a a L －－＋＋＋＋＝13n -.②①－②，得13n na －＝，∴ 13n n a ＝（n ≥2）.又1a ＝满足上式，∴ 13n n a ＝*()n ÎN ．(2)∵ n n nb a ＝，∴ 3n nb n ×＝.∴ 23323333nn S n ´´×L ＝＋＋＋＋.③∴2313323(1)33n n n S n n ´×L＋＝＋＋＋－＋.④③－④，得231233333n n n S n ×L ＋－＝＋＋＋＋－13(13)313n nn -=-×-＋＝13(31)32n n n ×＋－－＝1133322n n n +×＋－－，∴ 11333442n n n n S ++×++＝－，∴ 1(21)3344n n n S +-+＝*()n ÎN .。

苏教版高中数学必修5-2.3《等比数列的前n项和》同步练习3

等比数列的前n 项和1．已知等比数列｛a n ｝中，前n 项和S n =54，S 2n =60，则S 3n 等于_____。

2．已知｛a n ｝是公比为21的等比数列，若a 1+a 4+a 7+…+a 97=100，则a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是______。

3．数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+22+…+2n －1)，…，前n 项和等于______。

4．等比数列｛a n ｝共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q =______。

5．若等比数列｛a n ｝中，S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19+a 20的值等于______。

6．回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？7．我国1980年底人口以十亿计算。

（1）若我国人口年增长率为1.2％，则到2005年底我国约有多少人口？（2）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？8．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％。

按复利计算，该顾客每月应付款多少元？9．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？参考答案1．6032 2．253．2n +1－n －24．25． 326．【答案】塔顶3盏灯。

7．【答案】（1）2005年底我国约有13.5亿人口；（2）人口的年平均增长率最高是1.1％。

8．【答案】顾客每月应付款430元。

9．【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列{}n a ，则a 1=1000×（1+50%）－x=1000×23－x ； a 2=(1000×32－x)(1+50%)－x=1000×(23)2－(1+23)x ；依次类推得a 5=1000×(23)5－[1+23+(23)2+(23)3+(23)4]x 。

高中数学等差、等比数列的简单综合同步练习文苏教版必修5

高二数学苏教版（文）等差、等比数列的简单综合同步练习（答题时间：25分钟）1、等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54？2、某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？3、已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，求证S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列。

（注意：是证明不是问答形式）4、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列。

5、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积。

【试题答案】1、解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项和为n S则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n 解之得：3,921-==n n （舍去） ∴等差数列－10，－6，－2，2…前9项的和是542、分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和.解：设每年的产量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5，q ＝1+10%＝1.1，S n ＝30 ∴1.11)1.11(5--n ＝30，整理可得：1.1n ＝1.6两边取对数，得n lg1.1＝lg1.6，即：n ＝1.1lg 6.1lg ≈5 答：约5年内可以使总产量达到30万吨.3、证：（1）①当q ＝1时，7S ＝71a ，14S ＝141a ，14S －7S ＝141a －71a ＝71a ，21S －14S ＝211a －14a 1＝71a∴7S ，14S －7S ，21S －14S 为以71a 为首项，1为公比的等比数列.②当q ≠1时，7S ＝()()()qq a S q q a S q q a --=--=--11,11,11211211411471 ()()q q a q q a S S -----=-111171141714()qq q a --=11771 ()()q q a q q a S S -----=-11111412111421()q q q a --=11771 ()()22714212714)1(1q q q a S S --=-∴()()q q q a q q a S S S --⋅--=-⋅1111)(71417114217()2271421)1(1q q q a --=∴()2714S S -＝)(14217S S S -⋅ ∴7S ，14S －7S ，21S －14S 成等比数列.［这一过程也可如下证明：14S －7S ＝)(14321a a a a +++－)(7321a a a a +++＝141098a a a a +++＝)(73217a a a a q +++＝77S q 0≠同理，21S －14S ＝21171615a a a a +++＝ 714S q 0≠∴7S ，14S －7S ，21S －14S 为等比数列.4、分析：由题意可得S 3+S 6＝2S 9，要证a 2，a 8，a 5成等差数列，只要证a 2+a 5＝2a 8即可。

苏教版数学必修五2.2等差数列的通项公式(习题+解析)

（2）解：∵a1＝1，∴b1＝＝1，∴bn＝b1＋（n－1）×3＝3n－2＝，∴an＝（n∈N*）。
苏教版数学必修五2.2等差数列的通项公式（习题+解析）
26，求an。
**8.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式。
***9.在数列{an}中，a1＝1，an＝（n≥2），bn＝。
（1）求证数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式。
4.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析：∵a3和a15是方程x2－6x－1＝0的两根，
∴a3＋a15＝2a9＝6，a9＝3，
∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝（a7＋a11）＋（a8＋a10）＋a9＝5a9＝15。
5.4n＋2解析：显然构成一个等差数列，且首项a1＝6，公差d＝4，∴第n个图案中有an＝6＋4（n－1）＝4n＋2块白色地面砖。
6. 解析：an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）d，由题意知d＞0，a10≥1且a9＜1，即a10＝＋9d≥1且a9＝＋8d＜1，解得。
7.解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5＋a7＝26，
∴ 解得
∴an＝3＋2（n－1）＝2n＋1。
8.解：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5，
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2。
若d＝2，则an＝a4＋（n－4）·2＝2n－3；
若d＝－2，则an＝a4＋（n－4）·（－2）＝13－2n。
9.（1）证明：由题意知bn－bn－1＝－＝3（n≥2，n∈N*），∴{bn}是公差为3的等差数列；

苏教版高中数学必修五等比数列同步练习

《等差数列与等比数列》一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．1、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 ( )A 15B 30C 31D 642、在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) A 33 B 72 C 84 D 1893、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –104、如果数列}{n a 是等差数列，则 ( ) A 5481a a a a +>+ B 5481a a a a +=+ C 5481a a a a +<+ D 5481a a a a =5、已知由正数组成的等比数列｛a n ｝中,公比q=2, a 1·a 2·a 3·…·a 30=245, 则a 1·a 4·a 7·…·a 28=( ) A 25 B 210 C 215 D 220 6、{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于 ( ) A 667 B 668 C 669 D 670 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1、在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_____.3、等差数列｛a n ｝的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为 .4、设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为_________三.解答题 (本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，或演算步骤)1、已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项公式；2、已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-（1）证明数列{}n a 为等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T 。

苏教版高中数学必修5同步训练等差数列

2.2 等差数列1、《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小的一份为( ) A.53B.103C.56D.1162、已知等差数列{}n a 的通项公式32n a n =-,则它的公差d 为( ) A. 2 B. 3 C. 2- D. 3-3、等差数列{}n a 中,前三项依次为:15116,,,x x x+则101a 等于( ) A. 5013 B. 1323C. 24D. 2834、数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且()1n n n b a a n N *+=-∈.若32b =-,1012b =,则8a = ( )A.0B.3C.8D.11 5、若数列{}n a 满足1331n n a a +=+,则数列是( ) A.公差为1的等差数列B.公差为13的等差数列 C.公差为13-的等差数列D.不是等差数列6、等差数列{}n a 的前m 项的和为10,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为( ) A.130 B.170 C.270 D.2607、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若532a a =,则95SS = ( ) A.185 B. 145C. 125D. 958、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9、若等差数列{}n a 的前3项和39S =且11a =,则2a 等于( )A.3B.4C.5D.6 10、()()147103437n n ++++⋯++++等于( )A.(38)2n n + B. (2)(38)2n n ++C. (3)(38)2n n ++D. (31)2n n -11、已知等差数列{}n a 的通项公式是3n a n =,则其公差是__________12、已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =________.13、已知等差数列{}n a 中22833829a a a a ++=,且0n a <,则10S =__________ 14、已知数列{}n a 中, 11a =,()1122n n a a n -=+≥,则数列{}n a 的前9项和等于__________.15、设等差数列{}n a 满足35a =,109a =-. 1.求{}n a 的通项公式;2.求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：设5个人所分得的面包分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d + (其中0d >)则 (2)()()(2)5100a d a d a a d a d a -+-+++++==,∴20a =,∵较大的三份之和的17是较小的两份之和, ∴1(2)27a a d a d a d a d ++++=-+-,得 337(23),a d a d +=-∴2411d a =,∴556d =, ∴555220263a d -=-⨯=2答案及解析：答案：C 解析：()1321322n n d a a n n +=-=-+-+=-.选.C3答案及解析：答案：D 解析：由211516x x x +=⨯+解得2x =,故知等差数列{}n a 的首项为13,公差112d =,故 101110011126231233008.a a d =+=+⨯==4答案及解析：答案：B解析：由已知知28n b n =-,128n n a a n +-=-,由叠加法，得()()()()()213287...64202460a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=，所以813a a ==.5答案及解析：答案：B 解析：因为1331,n n a a +=+ 所以133 1.n n a a +-= 所以113.n n a a +-= 故数列{}n a 为公差为13的等差数列.6答案及解析：答案：C 解析：因为210,100,m m S S ==,故290m m S S -=,故知232,,m m m m m S S S S S --构成首项为10,公差为80的等差数列,所以329080170.m m S S -=+=所以3100170270m S =+=7答案及解析：答案：A解析：1995159()9521559()2a a S S a a +==⨯=+8答案及解析：答案：C解析：由题意知()102m m m a a S +==,所以()112m m m a a S S -=-=--=-,所以2m a =.因为113m m m a S S ++=-=,所以公差11m m d a a +=-=,所以132m a m +==-+,所以5m =,故选C.9答案及解析：答案：A 解析：()13323392a a S a +===，所以23a =．考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前n 项和．10答案及解析：答案：C 解析：根据题意,记等差数列{}n a 的通项公式()13132n a n n =+-=-,则()()()()14710343731332n n n n ++++⋯++++⎡=+++-⎤⎣⎦=(3)(38)2n n ++11答案及解析：答案：3解析：()1331 3.n n a a n n --=--=12答案及解析：答案：设等差数列公差为d ,则由2324a a =-,得()21214,d d +=+-所以24d =.所以2d =±.由于该数列为递增数列,所以 2.d =所以()()*11221.n a n n n N =+-=-∈⋅ 解析：13答案及解析：答案：-15解析：由22833829a a a a ++=得()2389, a a += ∵()()()11038381010101030,3,15222n a a a a a a a S ++⨯-<∴+=-∴====-14答案及解析：答案：27解析：由条件知{}n a 就是首项11a =,公差12d =的等差数列,故()919919819927222S a d ⨯-⨯=+⨯=+⨯=.15答案及解析：答案：1. 由()11n a a n d =+-及35a =,109a =-得,1125{99a d a d +=+=- 解得19{2a d ==-∴数列{}n a 的通项公式为112n a n =-2.由第一问知, ()211102n n n S na d n n -=+=-. 即210n S n n =- .因为()2525n S n =--+. 所以5n =时, n S 取得最大值.解析：。

高中数学必修五单元练习：等差数列苏教

等差数列练习 1.已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=4π，则tan(a 2+a 12)的值为2. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8，则m 为3.已知等差数列{a n }中，a 2=6,a 5=15.若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于4. 等差数列{a n }的公差d<0，且a 2·a 4=12,a 2+a 4=8,则数列{a n }的通项公式是5.已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是6. 在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7=5,S 7=21,那么S 10等于7.数列{a n }中，a 2=2，a 6=0，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则a 4= .9 .已知一个等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，各项的和为210，则此等差数列共有项.10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26,记2n n S T n=,如果存在正整数M ，使得对一切正整数n, n T ≤M 都成立，则M 的最小值是 .11.(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于数表中的第n 行第n+1列的数是 .12.( 2010·辽宁)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3=3,S 6=24,则a 9= .13.（2009·山东）在等差数列{a n }中，a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .14.（2010·全国Ⅱ）如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7=15.（2008·福建）设{a n }是等差数列，若a 2=3,a 7=13，则数列{a n }前8项的和为16.已知等差数列{a n }的前三项为a-1,4,2a,记前n 项和为S n .（1）设k S =2 550,求a 和k 的值；（2）设n n S b n=,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n-1的值.17.已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1(n ≥2). (1)试说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求其公差.（2）求数列{a n }的通项公式.18.设a 1,d 为实数，首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15＝0.（1）若S 5＝5，求S 6及a 1;(2)求d 的取值范围.。

苏教版高中数学必修5-2.3《等比数列的前n项和》同步练习1

等比数列的前n 项和1．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为______。

2．等比数列｛a n ｝的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是______。

3．若等比数列｛a n ｝的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于_______。

4．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于________。

5．在等比数列｛a n ｝中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2＋1，a 4=2S 3+1，则公比q 等于________。

6．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前 3项之和S 3=21，则公比q 的值为_______。

7．在公比为整数的等比数列｛a n ｝中，已知a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么a 5＋a 6＋a 7＋a 8等于_______。

8．在14与87之间插入n 个数，使这n +2个数组成等比数列，若各项的和为877,则此数列的项数为_________。

9．在等比数列{}n a 中，公比2q =，2122210log log log 25a a a +++=，则a 1+a 2+…+a 10=_______。

10．求下列等比数列的各项和：（1）1，3，9， (2187)（2）1，21-，41，81-，…，5121-。

11．已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n 。

12．一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数。

参考答案1．)11.1(115-⨯2．2113．－14．175．36．1或－21 7．4808．59．41023 10．【答案】（1）3280；（2）512341。

11．【解】由S 2n ≠2S n 知，q ≠1，根据已知()11801n a q q -=-，（1） ()21165601n a q q -=-，（2）由（1），（2）可得182n q +=，即81n q =，（3）所以1q >，则1154n a q -=，（4）（3）÷（4）得：132q a =，即123a q =，（5）将（3）、（5）代入（1）得3q =，∴n ＝4。

2019-2020年数学·必修5(苏教版)练习：第2章2.2-2.2.3等差数列的前n项和 Word版含解析

第2章数列2.2 等差数列2.2.3 等差数列的前n 项和A 级基础巩固一、选择题1．等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10等于( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：根据等差数列的前n 项和公式S n ＝（a1＋an ）n 2，可得S 10＝（a1＋a10）·102＝5(a 1＋a 10)＝120⇒a 1＋a 10＝24.答案：B2．在等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A ．3B ．4C ．6D ．12答案：C3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为() A ．2 B ．3 C ．6 D ．7解析：由⎩⎪⎨⎪⎧S2＝4，S4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋d ＝4，4a1＋6d ＝20⇒⎩⎨⎧a1＝12，d ＝3.答案：B4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( )A.n （3n ＋8）2B.（n＋2）（3n ＋8）2C.（n ＋3）（3n ＋8）2D.n （3n －1）2解析：根据题意，记等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，则1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)＝(n ＋3)[1＋3(n ＋3)－2]＝（n ＋3）（3n ＋8）2.答案：C 5．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，且a 1＝1，所以d ＝2，所以a 2＝a 1＋d ＝3.答案：A二、填空题6．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n （a1＋an ）2＝390，所以n·602＝390，解得n ＝13. 答案：137．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝________．解析：(1)由S 奇S 偶＝（n ＋1）·（a1＋a2n ＋1）2n·（a2＋a2n ）2＝n ＋1n ＝165150. 解得：n ＝10.答案：108．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________．解析：a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3，所以公差d ＝a5－a15－1＝－3＋114＝2. 法一：由d ＝2>0可知，数列{a n }是递增数列．a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13.令a n ＝0，得n ＝612. 所以a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<….故数列{a n }的前6项和最小．法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36. 所以当n ＝6时，S n 最小．答案：6三、解答题9．已知等差数列51，48，45，….(1)第几项开始为负？(2)前多少项的和最大？解：(1)易得a 1＝51，d ＝48－51＝－3，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋54.由－3n ＋54≤0得n ≥18.故第19项开始为负．(2)由a 18＝0，且a 1>0，d <0，故前17项或前18项的和最大．10．已知数列{b n }的前n 项和S n ＝9－6n 2，若b n ＝2n －1a n ，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，b 1＝S 1＝9－6×12＝3，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝9－6n 2－9＋6(n －1)2＝－12n ＋6，当n ＝1时，b 1＝3不符合b n ＝－12n ＋6的形式，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），6－12n （n≥2）.又b n ＝2n －1a n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），6－12n 2n －1（n≥2）. B 级能力提升一、选择题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.由S m ＝m （a1＋am ）2＝0得a 1＝－a m ＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5.答案：C12．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析：S9S5＝92（a1＋a9）52（a1＋a5）＝9×2a55×2a3＝9a55a3＝95×59＝1. 答案：A13．等差数列{a n }的前m 项的和为10，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A ．130B ．170C ．270D ．260解析：因为S m ＝10，S 2m ＝100，故S 2m －S m ＝90，故知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 构成首项为10，公差为80的等差数列，所以S 3m －S 2m ＝90＋80＝170.所以S 3m ＝100＋170＝270.答案：C二、填空题14．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1a 5＝a 2，则S 8＝________．解析：由a 1a 5＝a 2得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×1＋8×72×2＝64. 答案：6415．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，那么到11月7日该市新感染者共有________人．解析：设从11月1日起，第n 天的新感染者有a n 人，则a n ＋1－a n ＝50，则每天的新感染者构成以a 1＝20，d ＝50的等差数列{a n }，所以到11月7日该市新感染者共有S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×20＋7×62×50＝1 190人．答案：1 190三、解答题16．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝5，a1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝9，d ＝－2.数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n＝5时，S n取得最大值．。

《等差数列》同步练习2(苏教版必修5).doc

选择()() () () () () () () () ()等差数列 1.等差数列a-d, a+2d,……的第6项为何？ (A) a-6d (B)a+6d (C) a+14d (D) a+15d 2.设a-2b 、8、a+3b 三数成等差数列，而且a 、5、b 三数亦成等差数列，贝J 3a-2b=? (A) 8 (B)9 (C) 10 (D) 11 3.若ZA 与ZB 互为补角，且2ZA-ZB=30S 则ZA=? (A) 60° (B) 70 (C) 80° (D) 90。

4- 设a b a 2, a 3, a 4成等差数列，若a 1+ a 2=s> a 3+a 4=i6,则此数列的公差为何？(A)l (B)2 (C) 3 (D)45. 某马戏团有九位团员，每人的年龄都恰好差两岁，现按年龄由大到小排成一列，较大的3人年龄和正好等于较小的6人年龄和，试问其中18岁的智智应站第几个位置?f AA 第少个第3个第4个第斥个6. 设一等差级数的首项为27,末项为-21,公差为-4,则此级数的和为多少？(A) 39 (B) 13 (C) -39 (D)-137. 某生买了一本书，第一人看2页，此后每人都比前一人多看2页，最后一人看了 48页后，只剩3页，就•口气看完它，请问这•本书共有多少页？(A) 603 页 (B) 633 页 (C) 723 页 (D) 753 页8- 己知等羌级数 a,+ a 2+-+a 9 中，a 2+a 8=64,则 a,+ a 2+-+a 9=? (A)144 (B)288 (C)432(D)586 9.某演艺厅共有31排座位，依次每一排比前一排多3个座位，己知最后一排有140个座位，则此演艺厅共有儿个座位？ (A) 2945个座位 (B) 2948个座位 (C) 2951个座位 (D) 2954个座位 10. 设一圆的圆周长为32公分，则下列何者可为此圆劣弧的长？(A) 28公分 (B) 24公分 (C) 20公分 (D) 15公分一、填空 1- 在下列各空格屮，填入适当的数，使每个数列成等差数列: 2,9, ______ , ______ , __。

2021年高中数学 2.2等差数列同步练习苏教版必修5

2021年高中数学 2.2等差数列同步练习苏教版必修5一、填空题例5改编)在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为________．1. (必修5P372. (必修5P练习4改编)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，42则a9＝________.3. (xx·全国)如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.4. (xx·福建)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6 ，则当S n取最小值时，n等于________．5. (2011·扬州中学高三上学期期中考试 )已知等差数列{a n}的前n项和为S，若a3＝－6，a7＝6，则下列四个命题中真命题的序号为________.n①S4>S6；②S4＝S5；③S6＝S5；④S6>S5.6. (xx·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行第n＋1列的数是________.7. (2011·南通高三调研测试)已知数列{a n }为等差数列，若a 5a 6<－1，则数列{|a n |}的最小项是第________项．8. (2011·启东中学模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 有________个．9. 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18(x 3＞0，x 8＞0)的最大值是________．二、解答题10. 已知在等差数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .11. 已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n}，求证：{a n}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n}，求{b n}的前n项和S n.12. (2011·泉州模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a6＝13，S10＝120.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝Snn＋c(c≠0)，且数列{b n}是等差数列，求c的值．29396 72D4 狔mIC33692 839C 莜si #P20828 515C 兜31628 7B8C 箌31182 79CE 秎27163 6A1B 樛,。

2.2等差数列测试(苏教版必修5)

§2.2等差数列练习（第1课时）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（）项.A. 332B. 333C. 334D. 3352.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列3.若a ∈、b 、c R ，则“2b a c =+”是“a 、b 、c 成等差数列”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（） A. 83d > B. 3d < C. 833d ≤< D. 833d <≤6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是（）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = .8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第项.【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f .参考答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219.23n - 10.811.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项.又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项. 12.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.。

苏教版高中数学必修五2.2等差数列同步练测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 等差数列同步练测第一课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分） 1.{a n }是首项为a 1=1，公差为d =3的等差数列，如果a n =2005，则序号n 等于______． 2.如果a 1，a 2，⋯，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则a 4a 5______a 1a 8．3.已知方程(x 2−2x +m )(x 2−2x +n )=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m −n ｜等于______．4.等差数列{a n }中，a +a =57，a +…+a =275，a =61，则k 等于______． 5.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=10，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项为______． 6.在等差数列{a n }中，a 5=3，a 6=－2，则a 4+a 5+…+a 10=¿ .7.在等差数列{a n }中，若a 1+3a 8+a 15=120，则2a 9−a 10=¿________.8.将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n 组有2n个偶数进行分组，即第1组：{2，4}，第2组：{6，8，10，12}，第3组：{14，16，18，20，22，24}，则2 010位于第_____组. 9.设等差数列{a n }的公差为正数，若123a a a ＋＋＝15，123a a a ＝105，则111213a a a ＋＋＝________.10.将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 ……2826那么2 014应该在第________行第________列．二、解答题（共50分） 11．（10分）(1)已知数列{a n }的前n项和S n =3n 2－2n ，求证：数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c1成等差数列，求证：ac b +，b a c +，c ba +也成等差数列.12.（12分）已知等差数列｛a n ｝中，a 1+a 4+a 7=15，a 24a 6=45，求其通项a n .13.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，那么需要支付多少车费？14.（14分）数列{}n a满足14a=，144nnaa-=-（n≥2），设n b=12na-，（1）判断数列{}n b是否为等差数列并试证明；（2）求数列{}n a的通项公式.2.2 等差数列同步练测第一课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.14.2.2 等差数列同步练测第一课时参考答案一、填空题1.699 解析：由题设，将a 1=1，d =3，a n =205代入通项公式a n =a 1+(n －1)d ，即205=1+3(n －1)，∴ n =699．2.¿解析：因为a 1a 8=a 1(a 1+7d )=a 12+7a 1d，a =(a +3d )(a +4d )=a +7a d +12d ，所以a 4a 5>a 1a 8．3.21 解析：方法1：可知a 1=¿41，a 2=¿41+d，a 3=¿41+2d，a 4=¿41+3d ，而方程x 2−2x +m =0中两根之和为2，x 2−2x +n =0中两根之和也为2， ∴ a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d =4，∴d =¿21，a 1=¿41，a ❑4=¿47是一个方程的两个根，a 2=¿43，a 3=¿45是另一个方程的两个根．∴m和n的值分别为167或1615，∴｜m −n ｜＝21．方法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1+x 2=x 3+x 4=2，x 1·x 2=m ，x 3·x 4=n ．由等差数列的性质：若r +s =p +q ，则a r +a s =a p +a q .若设x 1为第一项，x 2必为第四项，又x 1=¿41，则x 2=¿47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m =¿167，n =¿1615，∴｜m −n ｜=¿21．4.21 解析：∵a 4+a 7+a 10=3a 7=57，∴ a 7=19.由a 4+a 5+…+a 14=1a 9=275，可得a 9=25.∴ 公差d =3. ∵ a k =a 9+(k −9)·d ，∴ 61=25+(k −9)×3，解得k =21.5.100 解析：∵ {a n }、{b n }为等差数列，∴{a n +b n }也为等差数列.设c n =a n +b n ，则c 1=a 1+b 1=100，而c 2=a 2+b 2=10，故d =c 2－c 1=0.∴ c 37=100.6.－49 解析：∵ d =a 6−a 5=−5，∴a 4+a 5+…+a 10=¿2＋7104)(a a¿25＋＋－755)(d a d a ¿7(a 5+2d )=−49．7.24 解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1+3a 8+a 15=5a 8=120，即a 8=24.又∵ {a n }是等差数列，∴a 8+a 10=2a 9.∴ 2a 9－a 10=a 8=24.8.32 解析：因为第n组有2n 个偶数，故前n组共有2＋4＋6＋ (2)＝(2n＋n)个偶数.2 010是第1 005个偶数．若n＝31，则2n＋n＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组．9.75 解析：∵12312315,105,a a a a a a ++=ìí=î∴2135,21,a a a =ìí=î∴1115,(2)21.a d aa d +=ìí+=î∵ 0d >，∴ 13,2.a d =ìí=î∴111213133375a a a a d ＋＋＝＋＝.10.252 2 解析：通项2n a n ＝，故2 014为第1 007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．二、解答题11．分析：判断给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项的差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴ a n ＝6n －5(n ∈N *)． ∵首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N *)，∴ 数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b1，c1成等差数列，∴b2＝a 1＋c1，化简得2ac ＝b (a ＋c )．∴ac b ＋＋cba ＋＝ac aba c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝acc a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b c a ＋，∴ac b ＋，ba c ＋，cb a ＋也成等差数列．12.解：∵ a 1+a 7=2a 4，且a 1+a 4+a 7=15，∴a 4=5.又∵ a 2a 4a 6=45，∴ a 2a 6=9.设数列{a n }的公差为d ，又a 4=5，∴ a 2=a 4－2d ，a 6=a 4+2d.代入a 2a 6=9可得(5－2d)(5+2d)=925－4d 2=9d =±2. 当d=2时，a n =a 4+(n －4)d=5+(n －4)×2=2n －3(n ∈N *);当d=－2时，a n =a 4+(n －4)d=5+(n －4)×(－2)=13－2n(n ∈N *).13.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4千米的车费记为111.2a =，公差1.2d =.当出租车行至目的地即14 千米处时，11n =，求11a . 11a =11.2+（11-1）×1.2=23.2. 答：需要支付车费23.2元. 14.解：（1）∵4224412111-=--=-=++n nnn n a a a a b ，2142221421=--=-=-=-+nn n n n nn a a a a a b b ，∴ 数列{}nb 是公差为12的等差数列. （2）∵ 111122b a ==-，11(1)222n n b n =+-´=， ∴ 122nn a =-，∴ 2(1)n n a n +=.2.2 等差数列同步练测第二课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分） 1.若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n是_______．2.设S n 是等差数列{a n }的前n项和，若35a a ＝95，则59S S ＝_______．3.在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n −1－a n 2+a n +1=0(n ≥2)，若S 2n −1=38，则n =¿_______．4.设nS 是等差数列{a n }的前n 项和，若735S =，则a 4=¿_______．5.在等差数列{a n }中，3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24，则此数列的前13项之和为 .6.等差数列{a n }中，a 1=−5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_______项.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，4S ＝14，S 10−S 7＝30，则S 9＝ . 8.等差数列{a n }中，a +a +a =−24，a +a +a =78，则此数列前20项的和等于 . 9.设等差数列{a n }的前n项和为n S，若39S =，636S =，则789a a a ++= .10.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n为 .二、解答题（共50分）11.（8分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知312a =，120S >，130S <.（1）求公差d的取值范围；（2）指出1S 、2S、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.12.(8分)已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为nS ，且满足：.22,1175243=+=⋅a a a a（1）求通项na ；（2）若数列}{n b 是等差数列，且c n S b nn +=，求非零常数c .13.（8分）在等差数列{a n}中，a1=－60，a17=－12.(1)求通项a n；(2)求此数列前30项的绝对值的和.14．（8分）已知数列{a n}的首项为31=a，通项na与前n项和S n之间满足2=na S n·S n−1（n≥2）.(1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS1是等差数列，并求公差；(2)求数列{a n}的通项公式.15.（10分）已知在正整数数列{}na 中，前n项和n S满足：n S ＝(n a ＋2)2. (1)求证：{}na 是等差数列；(2)若n b ＝n a－30，求数列{}nb 前n项和的最小值．16.（10分）已知数列{}na 的前n项和278n S n n ＝－－.(1)求数列{}na 的通项公式；(2)求数列{}na 的前n项和n T .2.2 等差数列同步练测第二课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.14.15.16.2.2 等差数列同步练测第二课时参考答案一、填空题1. 4 006 解析：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴ S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故n =4 006.2.1 解析：59SS ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1. 3.10 解析：∵ {a n }为等差数列，∴na 2＝a n －1＋a n ＋1.又2na ＝a n －1＋a n ＋1，∴2na ＝2a n .又a n ≠0，∴ a n ＝2，故{a n }为常数数列.而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴ n ＝10．4.5 解析：n S 是等差数列{a n}的前n 项和，则74735,S a == ∴4a =5.5.26 解析：∵ a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴ 6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴13S ＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26．6.6 解析：分析可知S 1=55=11a 6，所以a 6=5.因为抽取1项后余下的10项的平均值仍是5，所以抽取的是第6项.7.54 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142)14(441=-+d a302)17(772)110(101011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+d a d a ，联立以上两式解得a 1=2，d=1，所以S 9＝5412)19(929=⨯-+⨯.8.180 解析：由a 1+a 2+a 3=－24，可得3a 2=－24，即a 2=－8；由a 18+a 19+a 20=78，可得3a 19=78，即a 19=26.∴S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=10(－8+26)=180.9.45 解析：可知3S 、63S S -、96S S -成等差数列，从而()78996633632232363945a a a S S S S S S S ++=-=--=-=´-´=.10.26 解析：设该等差数列为{}na ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝，又∵ 1213243n n n na a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝，∴ n S ＝1()2nn a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝.二、解答题11. 解：（1）因为{S 12>0，S 13<0，所以{12a 1+12×112d >0，13a 1+13×122d <0，所以{2a 1+11d >0，a 1+6d <0.而31212a a d =+=，得1122a d =-，代入不等式组得247030d d +>ìí+<î，解得2437d -<<-，故公差d 的取值范围为24,37æö--ç÷èø. （2）21(1)(1)124(122)(5)2222n n n n n d S n a d n d d n d --éù=+=-+=--êúëû2124(5)22d d éù--êúëû.∵ 0d <，∴ 当2124(5)2n d éù--êúëû最小时n S 最大.而24,37d æöÎ--ç÷èø，∴ 124136522d æö<-<ç÷èø，∴ 当n =6时，nS 最大. ∴6S 最大.12.解：（1）设数列{}n a 的公差为d，由题意得：111+2)+3)117,2+522,a d a d a d =ìí=î（（解得14,4a d =ìí=î或121,4a d =ìí=-î（舍去）.所以34-=n a n .（2）nn n n S n -=-+=222)341(，由于n S n c ìüíý+îþ是等差数列，故b an c n S n+=+对一切自然数n 都成立，即bc n b ac an b an c n n n +++=++=-)())((222，所以2,1,0,a a c b b c =ìï+=-íï=î故2,0,0.5,a b c =ìï=íï=-î或2,1,0a b c =ìï=-íï=î（舍去），所以c =−0.5.13. 解：(1)a 17=a 1+16d ，即－12=－60+16d ，∴ d =3.∴ a n =－60+3(n －1)=3n －63.(2)由a n ≤0，得3n －63≤0，n ≤21.∴ |a 1|+|a 2|+…+|a 30|=－(a 1+a 2+…+a 21)+(a 22+a 23+…+a 30)=(3+6+9+…+60)+(3+6+…+27)=2)603(+×20+2)273(+×9=765. 14. (1)证明：由条件得2（1--n n S S ）=1-⋅n n S S 21111-=-⇒-n n S S ，∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列，且公差为－21.(2)解：n S n S n n356)21)(1(311-=⇒--+=.当n =1时，a 1=3，当n ≥2时，a n =S n −S n −1=¿)83)(53(18--n n .15.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n≥2)．当n≥2时，na ＝nS －1n S －＝2(2)n a ＋－21(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}na 为正整数数列，∴ 10,n n a a +¹－∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝21(2)a ＋，∴ 1a ＝21(2)a ＋.解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝n a －30＝(4n －2)－30＝2n －31.令n b<0，得n <，∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b L ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.16.解：(1)当n＝1时，11a S ＝＝－14；当n≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n－8，故n a ＝14(1),28(2).n n n -=ìí-³î(2)由n a ＝2n－8可知：当n≤4时，n a ≤0；当n≥5时，0n a >.∴ 当1≤n≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ´＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋，∴ n T＝2278(14),732(5).n n n n n n ì-++££ïí-+³ïî。

苏教版高中数学必修五2.2等差数列练习1.docx

高中数学学习材料唐玲出品等差数列练习1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于________.2．在等差数列{a n }中，a 10＝10，a 20＝20，则a 30＝________.3. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝________.4．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.5. 已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.6. 在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________.7. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = .8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n= .9.设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = .10.将正偶数按如图所示的规律排列：24 68 10 1214 16 18 20……则第n （n ≥4）行从左向右的第4个数为 .11.已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数．12.已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出{b n }的通项公式．13.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且466275S S =-=-，．（1）求通项n a 及前n 项和n S ；（2）求1214a a a +++的值．。

考点练习(必修五)：等差、等比数列的求和(附答案)

等差、等比数列的求和一、数列的前n 项和的有关计算1. 等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( )A ．nB ．n (n ＋1)C ．n (n －1) D.nn ＋22. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 8＝11，则S 9等于( )A ．13B ．35C ．49D ．633. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a 2＝4，那么S 10等于( )A ．210＋2B ．29－2C ．210－2D ．211－24. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．485. 设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.1726. 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .7. 在等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n .(1)a 1＝8，a n ＝14，S n ＝634，求n ；(2)S 3＝72，S 6＝632，求a n 及S n .8. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 29. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________．10. 已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求S 8.11. 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．12. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．1813. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝312n a +，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.14. 已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S nn ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．15. 等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．16. 已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}∈{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝1－（－1）n 2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.17. 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加14.(1)求n 年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．二、已知S n求a n问题1. 已知数列{a n}的前n项和为S n＝－n2，则()A．a n＝2n＋1 B．a n＝－2n＋1C．a n＝－2n－1 D．a n＝2n－12．已知S n是数列{a n}的前n项和，根据条件求a n.(1)S n＝2n2＋3n＋2；(2)S n＝3n－1.3. 若等差数列{a n}的前n项和为S n＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．4. 已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？5. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足log2(S n＋1)＝n＋1，求数列{a n}的通项公式．6. 设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝(－1)n a n－12n，n∈N*，则①a3＝________；②S1＋S2＋…＋S100＝________.三、等差数列的前n项和最值问题1. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是()A．S7<S8B．S15<S16C．S13>0 D．S15>02. 在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，已知a1＋a3＝22，S5＝45.(1)求a n，S n；(2)设数列{S n}中最大项为S k，求k.3. 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和S n的最大值．4. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为()A．5 B．6C．7 D．85. 已知{a n}为等差数列，若a11a10<－1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n＝()A．11 B．17C．19 D．216. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S1<0,2S21＋S25＝0，则S n取最小值时，n的值为()A．11 B．12C ．13D ．14四、含绝对值的数列求和1. 设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．3. 已知{a n }是等差数列，，，则__________.4. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n ,14811a S S ==，.(1)当S n 取得最大值时,求n; (2)求的值.5. 在等差数列{a n }中，若.191725a S S ==，（1）求数列前项和的最大值及取得最大值时相应的序号；（2）令，求数列的前项和6. 在等差数列{a n}中，a10＝23，a25＝－22.(1)数列{a n}前多少项和最大？(2)求{|a n|}的前n项和S n.7. 数列是递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值；（3）求数列的前项和．参考答案等差、等比数列的求和一、数列的前n 项和的有关计算1. 解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n n －2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n n ＋2，故选D.2. 解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8，∴S 9＝a 2＋a 82＝9×142＝63. 3. 解析：选D 等比数列的公比q ＝a 2a 1＝42＝2，所以前10项和S 10＝a 1－q 101－q＝－2101－2＝211－2，选D.4. 解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.5. 解析：选C S 4a 2＝a 1－q41－q×1a 1q＝1－q 4－q q ＝152. 6. [解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n n －2d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)． (2)由已知，得S 8＝a 1＋a 82＝＋a 82＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. 7. [解] (1)显然q ≠1，由S n ＝a 1－a n q1－q ，即8－14q 1－q ＝634，∴q ＝12.又a n ＝a 1q n －1，即8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝14，∴n ＝6. (2)法一：由S 6≠2S 3知q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q 31－q＝72， ①a1－q 61－q＝632， ②②÷①，得1＋q 3＝9，∴q 3＝8，即q ＝2.代入①得a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝a 1－q n 1－q＝2n －1－12.法二：由S 3＝a 1＋a 2＋a 3，S 6＝S 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 3＋q 3(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3＋q 3S 3＝(1＋q 3)S 3. ∴1＋q 3＝S 6S 3＝9，∴q 3＝8，即q ＝2.代入①得a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝a 1－q n 1－q ＝2n －1－12.8. 解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n－1＋2－3n 2＝－32n 2＋n2.9. 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：710. 解：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 5－a 1q 3＝24，a 1q 2a 1q 4＝64，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q3q 2－＝24， ①a 1q 3＝±8， ② ①÷②，得q 2－1＝±3，负值舍去，∴q 2＝4，∴q ＝2或q ＝－2. 当q ＝2时，代入①得a 1＝1. ∴S 8＝a 1－q 81－q＝255.当q ＝－2时，代入①得a 1＝－1. ∴S 8＝a 1－q 81－q＝2553. 综上知S 8＝255或2553.法二：由等比数列的性质得a 3·a 5＝a 24＝64，∴a 4＝±8. 当a 4＝8时，∵a 6－a 4＝24，∴a 6＝32，∴q 2＝a 6a 4＝4，∴q ＝±2.当a 4＝－8时，a 6－a 4＝24，∴a 6＝16. ∴q 2＝a 6a 4＝－2，无解．故q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝a 4q 3＝1，S 8＝a 1－q 81－q ＝255.当q ＝－2时，a 1＝a 4q 3＝－1，S 8＝a 1－q 81－q ＝2553.综上知，S 8＝255或2553.11. 解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：7512. 解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.13. 解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝312n a +＝32n，由b n ＋1b n ＝3n＋32n＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝－9n 1－9＝9n ＋1－98.答案：9n ＋1－9814. 解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c.又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．15. 解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：45016. 解：(1)∵{a n }是递减的等比数列，∴数列{a n }的公比q 是正数，又∵{a 1，a 2，a 3}∈{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1. ∴q ＝a 2a 1＝24＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)证明：由已知得b n ＝8[1－－n]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝2k ，k ∈N *，a n ，n ＝2k －1，k ∈N *， ∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝163⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n <163.17. 解：(1)设第n 年的旅游业收入估计为a n 万元，则a 1＝400，a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋14a n ＝54a n ，∴a n ＋1a n ＝54，∴数列{a n }是公比为54的等比数列， ∴S n ＝a 1－q n1－q＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1，即n 年内旅游业总收入为1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1万元． (2)由(1)知S n ＝1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1，令S n >8 000，即1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1>8 000， ∴⎝⎛⎭⎫54n >6，∴lg ⎝⎛⎭⎫54n >lg 6，∴n >lg 6lg 54≈8.029 6. ∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．二、已知S n 求a n 问题1. 解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1. 2．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)3. 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A4. [解] (1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．5. 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.6. ①∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.②根据以上{a n }的关系式及递推式可求得． a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126， a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. [答案] ①－116 ②13⎝⎛⎭⎫12100－1 三、等差数列的前n 项和最值问题1. 解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝a 1＋a 132＝13a 7>0，S 15＝a 1＋a 152＝15a 8<0，故选C.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.3. [解] 由S 17＝S 9，得25×17＋－2d ＝25×9＋－2d ，解得d ＝－2，[法一公式法] S n ＝25n ＋nn －2×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－n －，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.4. 解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5. 解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.6. 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.四、含绝对值的数列求和1. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15.答案：15又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋－3n－21－3－n ＋n －2＝3n －n 2－5n ＋112，因为当n ＝2时，也符合T n ＝3n －n 2－5n ＋112.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *. 3. 【答案】300 4. 【解析】 (1)由得:,即,即,又因为所以解得,所以=,故当取得最大值时,.(2)因为,,所以该数列的前6项的值均为正数,从第7项起后面的每一项的值都为负数,所以======232.5. 【解析】（1）根据题意，，又，所以解得：由二次函数性质，时，最大，最大值.（2）由（1）当2270n -+>即时，，即数列的前13项为正数，从第14项起为负数当时，6. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋nn －2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.7. 【解析】（1）由，得、是方程的二个根，，，此等差数列为递增数列，，，公差，．（2），，（3）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当且时，．当且时，．。

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差与等比数列求和习题
1.设{a n }是首项为1的正项数列，且()0
11221=+-+++n n n n a a na a n (n =1,2,3,…)，则n a =________. 2.数列{a n }中，a 1 =1，当n ≥2时，n 2= a 1 a 2 a n 恒成立，则=n a .
3.数列{a n }中,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) ,则=n a .
4.已知数列{a n }的前n 项和S n =1－5+9－13+…+(－1)n +1(4n －3)，则S 15+S 22－S 31= .
5.已知数列{a n }中，11++=
n n a n ，则S n = . 6.=++++++++)
1(2113211211n . 7.设函数f (x )满足2f (n +1)=2f (n )+n ，f (1)=2则f (20)= .
8.已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3 :S 2=3:2，则公比q = .
9.在等差数列{a n }中，若S 4=21,a n －3+a n －2+a n －1+a n =67, S n =286,则n = .
10.已知数列{a n }，
(1)若11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，则=n a ；
(2)若11=a ，n n a n n a 1
1+=+，则=n a ； (3)若11=a ，)2(121≥+=-n a a n n ，则=n a ；
(4)若前n 项和S n =3n 2+n +1，则=n a ；
(5)若2
11=a ，n n a n S 2=，则=n a ； 11.设a 1=2,a 2=4，b n =a n +1－a n ，b n +1=2b n +2，
(1)求证:数列{b n +2}是公比为2的等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.
12．已知数列{a n }的前n 项为S n ，且满足2
1),2(0211=
≥=⋅+-a n S S a n n n (1)求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列； (2)求n a .
13.设数列{a n }满足211233333
n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． (1)求数列{a n }的通项； (2)设a n b n =n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
14.正数数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ，求:
(1)数列{a n }的通项公式； (2)设11+=
n n n a a b ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证:2B n <1
15.数列{a n }中，a 1=8,a 4=2,，满足a n +2－2a n +1+a n =0,n=1,2, …
(1)数列{a n }的通项公式；
(2)设n n n n b b b S N n a n b ++=∈-=21*),()
12(1，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有32
m S n >
总成立，若存在求出m ，若不存在说明理由.
参考答案
1、n 1
2、⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-==2,11,12n n n n a n 3、3n +3 4、－76 5、11-+n 6、2+n n 7、97 8、1或2
1- 9、26 10(1)n 2 (2)
n 1 (3)2n －1 (4)⎩⎨⎧≥-=2,2615n n n ， (5))1(1+n n 11、证明:22
2)22(221=+++=+++n n n n b b b b ，又421=+b ∴数列{b n +2}是公比为2的等比数列。

解:222242111-=∴=⋅=+++-n n n n n b b ，
由累加法知 n a n n 221-=+
12、解:(1)2≥n 时，由题知，S n －S n －1=－2 S n S n －1即2111=--n n S S 又211=S 故⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是以2为首项，2为公差的等差数列。

∴
n S n 21= (2)2≥n 时，a n =S n －S n －1=）
（n n -121 13、解:(1)由题知2≥n 时，211233333n n n a a a a -++++=…且31331221-=+++--n a a a n n
两式相减知3131=-n n a ，故n n a 3
1=。

验证1=n 也符合。

故数列{a n }的通项n n a 31=。

(2)由题知n n n b 3⋅=
由错位相减n n n S 33232⋅+⋅+=
13233233+⋅++⋅+=n n n S
知13)4
12(43+-+=n n n S 14、解:(1)由题知1111==--S S S n n 又故2n S n =
1221-=∴-=≥-n a S S a n n n n n ，
时，又1=n ，符合上式。

故12-=n a n
(2))1
21121(21+--=
n n b n 211)1211(21<≥+-=∴n n B n n B 故，又 15、解:(1)由题知{a n }是首项为8，公差为-2的等差数列， n a n 210-=∴
(2))111(21+-=
n n b n ，)1
11(21+-=∴n S n 要使得任意的n 均有32m S n >总成立，min )32(n S m <即可。

)16,8[32∈n S ，7=∴m 即可。