高中数学必修四导学案：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
高中数学必修四学案 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(×)3．λ(a·b)＝λa·b.(√)类型一向量数量积的运算性质例1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确结论的序号是________．[考点]平面向量数量积的运算性质和法则[题点]向量的运算性质与法则[答案]①③④[解析]根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确结论的序号是①③④.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是()A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝a2[考点]平面向量数量积的运算性质和法则[题点]向量的运算性质与法则[答案] D[解析]因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝a2，所以D正确．类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1 利用向量数量积处理垂直问题例2 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直．[考点] 平面向量数量积的应用 [题点] 已知向量夹角求参数 解 由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 若c ⊥d ，则c·d ＝0，∴c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. [考点] 平面向量数量积的应用 [题点] 已知向量夹角求参数 [答案] 2[解析] 由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， 则k 的取值范围为________． [考点] 平面向量数量积的应用 [题点] 已知向量夹角求参数 [答案] (0,1)∪(1，＋∞)[解析] ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟 向量a ，b 的夹角为锐角，得到a·b >0；反之，a·b >0不能说明a ，b 的夹角为锐角，因为a ，b 夹角为0°时也有a·b >0.同理，向量a ，b 的夹角为钝角，得到a ·b <0；反之，a ·b <0不能说明a ，b 的夹角为钝角，因为a ，b 夹角为180°时也有a ·b <0.跟踪训练3 若向量e 1，e 2满足|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． [考点] 平面向量数量积的应用 [题点] 已知向量夹角求参数解 设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ<0，故(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝2t e 21＋(－2t ＋1)e 1·e 2－e 22＝t －12<0，解得t <12. 又当θ＝π时，也有(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)<0，但此时夹角不是钝角，设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2反向，则2t e 1＋e 2＝k (e 1－e 2)(k <0)，又e 1与e 2不共线，从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，1＝－k ，解得t ＝－12，即当t ＝－12时，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为180°，故t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪t <12，且t ≠－12.1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[考点] 平面向量数量积的运算性质与法则 [题点] 向量的运算性质与法则 [答案] C[解析] ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( ) A ．2 B ．2 3 C ．6 D ．12[考点] 平面向量数量积的运算性质和法则 [题点] 向量的运算性质与法则 [答案] B[解析] ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3.3．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94[考点] 平面向量数量积的应用 [题点] 已知向量夹角求参数 [答案] B[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a·b >0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形[考点] 平面向量数量积的应用 [题点] 数量积在三角形中的应用 [答案] D[解析] 由AB →·BC →>0知，BA →·BC →<0，即角B 为钝角．5．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________． [考点] 平面向量数量积的应用 [题点] 利用数量积求向量的夹角 [答案]3π4[解析] ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，设a与b的夹角为θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.1．数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等．2．在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0⇏a＝c.。
高中数学必修四2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
r a
r b
1
r [(a
r b)2
uur (a
r b)2
]
4
有时也将上式写成: 4a b (a b)2 (a b)2 .
答案: 1 33
8
4.两个半径分别为 r1, r2 的圆 M , N ,公共弦 AB 3 ,则 AM AB AN AB ____.
答案:9.
5.在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P, AP 3 , 且 AP AC = _ __.
答案:18.
知识拓展
极化恒等式:设 a, b 是两个平面向量，则根据向量的运算可得:
ar
r b
|
ar
r || b
| cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
rr
a 与b的夹角 的范围
rr a b的正负
0,
2
2
正0
2
,
负
数量积符号由cos的符号所决定.
问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？
r b cos120o
2 3 ( 1) 3
2
（2）ar 2
r2 b
r a
2
r2 b
49
5
3
rr 2a b
rr a 3b
r2 r r r2 2a 5a b 3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3b 8 15 27 34
求a=2m+n,b=2n-3m的夹角？
人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图.思考1 如何计算这个力所做的功？ 答案 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 梳理知识点二 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b 在向量a 上的投影？什么叫做向量a 在向量b 上的投影？答案 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影.思考2 向量b 在向量a 上的投影与向量a 在向量b 上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同. 梳理 (1)条件：向量a 与b 的夹角为θ. (2)投影：(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 知识点三 平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定.当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数. 梳理 设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(3)a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.类型一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积.解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方. 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值. 解 |3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20. 类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角. 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a与b 的夹角θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.2.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， ① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3.若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 答案 11解析 (a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －2a ·c －4b ·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.4.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，C ＝90°. ∴cos B ＝513，又cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B )， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 5.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫做b 在a 方向上的投影和a 在b 方向上的投影，要结合图形严格区分.4.求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b|b |.5.两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.课时作业一、选择题1.已知|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝19，则|a －b |等于( ) A.7 B.13 C.15 D.17答案 A解析 因为|a ＋b |2＝19，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝19， 所以2a ·b ＝19－4－9＝6，于是|a －b |＝|a －b |2＝4－6＋9＝7.2.已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A.－6 B.6 C.－6 3 D.6 3 答案 C3.已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150° 答案 B解析 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4.若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A.－3B.－2C.2D.－1 答案 D解析 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 5.已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A.|a |＝a ·a B.|a·b |＝|a ||b | C.λ(a·b )＝λa·b D.|a·b |≤|a ||b | 答案 B解析 因为|a·b |＝||a ||b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a ||b ||cos θ|， 当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a ||b |，故B 错.6.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0，π6]B.[π3，π]C.[π3，2π3]D.[π6，π]答案 B解析 ∵Δ＝a 2－4|a ||b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0，即a 2－4|a ||b |cos θ≥0， 又|a |＝2|b |，∴Δ＝4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又∵0≤θ≤π， ∴π3≤θ≤π. 7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝(12AB →＋34AC →)·(AC →－AB →)＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18.故选B.8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形答案 B 二、填空题9.设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 答案 －9210.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________. 答案 120°11.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 答案223解析 ∵|a |＝(3e 1－2e 2)2＝ 9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.12.已知向量a 在向量b 方向上的投影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________.答案 2解析 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉 ＝3×23＝2.13.已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －25解析 ∵|CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2，∴∠B ＝90°，∴AB →·BC →＝0. ∵cos C ＝45，cos A ＝35，∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos (180°－C ) ＝4×5×(－45)＝－16.CA →·AB →＝|CA →||AB →|cos(180°－A ) ＝5×3×(－35)＝－9.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 三、解答题14.已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算： (1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |. 解 (1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2＝4×42－82＝0. (2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256. ∴|4a －2b |＝16. 四、探究与拓展15.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影；(3)AB →在BC →方向上的投影. 解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16.(2)|AC →|·cos〈AC →，AB →〉＝AC ，→·AB →|AB →|＝5×3×355＝95.(3)|AB →|·cos〈AB →，BC →〉＝BC ，→·AB →|BC →|＝－BA ，→·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.。
导学案1：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
必修四第二章 平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示.2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量数量积的运算性质2、难点：平面向量数量积的运算性质知识要点．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特例：a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |[预习自测]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32归纳反思能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10. 3、答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或72。
2.4.1平面向量的数量积 导学案
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。
2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。
3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。
【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。
2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。
【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。
2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。
3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。
【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。
【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。
2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。
4.b在a上的投影是。
5.数量积a b⋅的几何意义是。
6.零向量与任一向量的数量积等于。
7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。
A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。
人教版数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．1．平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________叫做a 与b 的数量积(或内积)，其中θ是a 与b 的夹角 记法 记作a ·b ，即a ·b ＝|a||b |cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为____投影 ____________(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影 几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影______________的乘积(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a 的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定 2．运算律交换律 a ·b ＝________ 结合律 (λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·________分配律(a ＋b )·c ＝________(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bca ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】 有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )． 其中正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．向量数量积的性质垂直 a ⊥b ________共线 同向 a·b ＝________a ·a ＝a 2＝|a |2 |a |＝a ·a反向a·b ＝________绝对值|a ·b |≤________符号a ·b ＞0θ∈________ a ·b ＝0 θ＝________a ·b ＜0θ∈________夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； (2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2； (3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )．【做一做3－1】 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________. 【做一做3－2】 已知|a |＝7，则a ·a ＝__________. 【做一做3－3】 已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1. 2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c 【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎡⎭⎫0，π2 π2 ⎝⎛⎦⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0. 【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】0cos θ＝a·b|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b；在向量的数乘中，若λa＝0，则λ＝0或a＝0；在实数的乘法中，若ab＝0，则a＝0或b＝0.在向量的数量积中，a·b＝b·c b＝0或a＝c或b⊥(a－c)；在向量的数乘中，λa＝λb(λ∈R) a＝b或λ＝0；在实数的乘法中，ab＝bc a＝c或b＝0.在向量的数量积中，(a·b)c≠a(b·c)；在向量的数乘中，(λm)a＝λ(m a)(λ∈R，m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c＝a(bc)．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a，b到原点的距离的积．题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(3a＋b)的值为__________．反思：已知向量a与b的夹角为θ，且|a|＝m，|b|＝n，求(x a＋y b)·(s a＋t b)，其中x，y，s，t，m，n∈R，且m＞0，n＞0，其步骤是：①先求a·b；②化简(x a＋y b)·(s a＋t b)＝xs|a|2＋(xt＋ys)a·b＋yt|b|2；③将a·b，|a|，|b|代入即可．题型二求向量的长度【例2】若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于()A．3 B．2 2 C．10 D.10反思：已知不共线的向量a与b，求|x a＋y b|(x，y∈R)时，其步骤是：①求a·b；②求|x a ＋y b|2＝x2|a|2＋2xy a·b＋y2|b|2；③求|x a＋y b|.题型三求两向量的夹角【例3】已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，求a与b的夹角θ.分析：求出a，b的数量积a·b，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值．反思：求向量a与b的夹角θ的步骤：(1)计算a·b，|a|，|b|；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |计算cos θ；(3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四 证明两向量垂直【例4】 已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )． 分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零． 反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五 判断平面图形的形状【例5】 在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】 －8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】 解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29，∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12.又0≤θ≤π，∴θ＝π3.【例4】 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2. ∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2. ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】 解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2， 则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ， 所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12D ．23．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0， ∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0， 所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |. 3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3， 则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60. (2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。
人教版高中数学必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【导学案】
平面向量数量积的物理背景及其含义
班级姓名设计人日期
♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒
温馨寄语
你要知道科学方法的实质，不要去听一个科学家对你说些什么，而要仔细看他在做什么。
——爱因斯坦
学习目标
．熟练掌握向量数量积的定义形式.
．掌握向量投影的形式.
．掌握向量数量积的重要性质及运算律，并能进行相关计算.
学习重点
利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等
学习难点
平面向量数量积坐标运算的灵活应用
自主学习
．平面向量数量积的有关概念
()向量的数量积.
①前提：，为非零向量.
②结论：称与的数量积(θ为向量与的夹角).
③表示： .
()投影.
叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. ()数量积的几何意义.
数量积•等于的长度与在的方向上的投影的乘积.
．向量数量积的性质和运算律
()向量数量积的性质.
设，为非零向量.
①
②与同向时，；与反向时，•.
③.
()向量数量积的运算律.
①• (交换律)；
②(λ)•＝＝•(λ)(结合律)；。
人教A版《必修4》“2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义”导学案
高一数学《必修4》导学案 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义【课前导学】（阅读课本P103～105的内容后，完成下列内容）1. 如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，其中F 与S 的夹角为θ，那么力F 所做的功w=________________（功是一个__________量）2. 平面向量数量积的定义:已知两个非零向量a 与b ，我们把___________ __ ____叫做a 与b 的数量积（或________）记作__________即________________________其中θ是a 与b 的夹角，___________________ ______叫做a 在b 方向上（___________________）的投影.●规定：零向量与任一向量的数量积为___________.3. 设a 和b 都是非零向量，a b θ为与和夹角 ,则（1）a b ⊥⇔________________； （2）当a 与b 同向时， a b ⋅=_________ ；当a 与b 反向时，a b ⋅=________ ；特别地，a a ⋅=______________或a =____________ _（3）a b ⋅_______a b （用不等号填空）； （4）cos θ=4.运算律:已知向量a b c 、、和实数λ则 5、对任意向量a 和b ，有（1）2()a b +=___________________________________(2)()()a b a b +⋅-=_______________________________________________【预习自测】 （巩固概念）判断下列各题正确与否： （1）若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b =0 ( ) （2）若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零 ( ) （3）若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c ( ) （4）对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c ) ( ) （5）对任意向量a ，有a 2 = |a | ( )【课内探究】 例1: 已知｜a ｜＝３，｜｜＝６，分别求满足下列条件的a ·：①a 与的夹角是60°；②a ⊥，③a ∥.变式1：已知||a =5，||b =4, 10a b ⋅=-.（1）求a 与b 的夹角θ ；（2）求向量a 在向量b 的方向上的投影.例2: 已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）.思考:此运算过程类似于实数哪种运算？ 变式2: 已知||a =4，||b =3. （1）若a 与b 的夹角是150°求2(),||a b a b ++；（2）若（2a -3 ）·（2a +）=61, 求a b ⋅、a 与b 的夹角θ 例3、已知|a |=2,|b |=5,且 a 与b 不共线， k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？【总结提升】【反馈检测】1、已知下列命题：(1)||||||a b a b ⋅=⋅ ;(2)000a b a b ⋅=⇔==或 ;(3)||||||a a λλ=⋅ ;(4)00a λλ=⇔=或0a =. 其中正确的命题序号是 2、已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= 3、已知∆ABC 中=a ，=b ，当a b ⋅<0或a b ⋅=0时∆ABC 是 三角形。
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥ ；新知梳理：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则叫与的数量积，记作，即有  = ，（０≤θ≤π）. 并规定向量与任何向量的数量积为 .思考感悟：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.（2）向量的数量积写成；符号“”既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若  ，且  =0，不能推出 = .因cos有可能为02．“投影”的概念：作图：定义：| |cos叫做向量在方向上的投影. 思考感悟：投影不是向量，是一个数量。
当为锐角时投影为值；当为钝角时投影为值，当为直角时投影为；当=0时投影为| |；当 =180时投影为| |3．向量的数量积的几何意义：数量积  等于与 | |cos的乘积.4. 两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，(1)   (2)当与同向时， = ，当与反向时， 特别的：  =| |2或；|  |≤| || |；平面向量数量积的运算律①交换律：  = ②数乘结合律：( ) = (  ) =( )③分配律：( + ) =  +说明：（1）一般地，( ) ≠ （）（2）＝＝对点练习1．下列叙述不正确的是（）A. 向量的数量积满足交换律B. 向量的数量积满足分配律向量的数量积满足结合律D.  是一个实数2．| |=3，| |=4，向量 + 与 - 的位置关系为（）A.平行B.垂直夹角为 D.不平行也不垂直3.已知|m→|= ，n→=(cosθ,sinθ)，m→n→=9 ，则m→, n→的夹角为（）A.150ºB.120 º0 º D.30 º4.已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。
高中数学必修四(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)教案新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
教学过程
导入新课
思路 1. 我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向
线段等概念 , 向量是既有大小、 又有方向的量 , 它与物理学中的力学、 运动学等有着天然的联
系, 将向量这一工具应用到物理中 , 可以使物理题解答更简捷、更清晰 , 并且向量知识不仅是
所做的功 W可由下式计算 :
W =| F||s|cos θ
其中 θ 是 F 与 s 的夹角 . 我们知道力和位移都是向量 , 而功是一个标量 ( 数量 ).
故从力所做的功出发 , 我们就顺其自然地引入向量数量积的概念 .
思路 2. 前面我们已学过 , 任意的两个向量都可以进行加减运算 , 并且两个向量的和与
活动 : 教师引导学生来总结投影的概念 , 可以结合“探究” , 让学生用平面向量的数量积 的定义 , 从数与形两个角度进行探索研究 . 教师给出图形并作结论性的总结 , 提出注意点“投 影”的概念 , 如图 4.
图4 定义 :| b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 . 并引导学生思考 : 1°投影也是一个数量 , 不是向量 ; 2°当 θ 为锐角时投影为正值 ; 当 θ 为钝角时投影为负值 ; 当 θ 为直角时投影为 0; 当 θ=0° 时投影为 | b |; 当 θ =180°时投影为 -| b|. 教师结合学生对“投影”的理解 , 让学生总结出向量的数量积的几何意义 :
③（a+b) · c=a· c+b· c( 分配律 ).
特别是 :(1) 当 a≠ 0 时, 由 a· b=0 不能推出 b 一定是零向量 . 这是因为任一与 a 垂直的非零向
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
(新课程)高中数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》导学案 新人教A版必修4
物理背景及含义 学习目标 2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式. 学习过程一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W= ，其中θ是F 与s 的夹角.二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积。
（或________）记作_________即a b ⋅＝___________________其中θ是a b 与的夹角。
__________叫做向量a b 在方向上的______。
我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？2、平面向量数量积的性质：设a b 与均为非零向量：①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _，a 特别地，a ⋅a =______或a =___________。
③a b ⋅≤___________ _④cos =θ_______ ____⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅＝___________；②()a b λ⋅＝___________；③()a+b c ⋅＝___________。
问题4：我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=- 对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2b a ； ⑵()()=-⋅+b a b a .※ 典型例题例1、已知6a =，8b =，且与的夹角 120=θ，求a b ⋅.变式1：若6a =，8b =，且//a b ，则a b ⋅是多少？变式2：若6a =，8b =，且a b ⊥，则a b ⋅是多少？变式3：若6a =，8b =，且a 与b 的夹角 60=θ，求()()32-⋅+。
人教A版《必修4》“2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义”导学案-最新教育文档
高一数学《必修4》导学案 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义【课前导学】（阅读课本P103～105的内容后，完成下列内容）1. 如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，其中F 与S 的夹角为θ，那么力F 所做的功w=________________（功是一个__________量）2. 平面向量数量积的定义:已知两个非零向量a 与b ，我们把___________ __ ____叫做a 与b 的数量积（或________）记作__________即________________________其中θ是a 与b 的夹角，___________________ ______叫做a 在b 方向上（___________________）的投影.●规定：零向量与任一向量的数量积为___________.3. 设a 和b 都是非零向量，a b θ为与和夹角 ,则（1）a b ⊥⇔________________； （2）当a 与b 同向时， a b ⋅=_________ ；当a 与b 反向时，a b ⋅=________ ；特别地，a a ⋅=______________或a =____________ _（3）a b ⋅_______a b （用不等号填空）； （4）cos θ=4.运算律:已知向量a b c 、、和实数λ则 5、对任意向量a 和b ，有（1）2()a b +=___________________________________(2)()()a b a b +⋅-=_______________________________________________【预习自测】 （巩固概念）判断下列各题正确与否： （1）若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b =0 ( ) （2）若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零 ( ) （3）若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c ( ) （4）对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c ) ( ) （5）对任意向量a ，有a 2 = |a | ( )【课内探究】 例1: 已知｜a ｜＝３，｜｜＝６，分别求满足下列条件的a ·：①a 与的夹角是60°；②a ⊥，③a ∥.变式1：已知||a =5，||b =4, 10a b ⋅=-.（1）求a 与b 的夹角θ ；（2）求向量a 在向量b 的方向上的投影.例2: 已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）.思考:此运算过程类似于实数哪种运算？ 变式2: 已知||a =4，||b =3. （1）若a 与b 的夹角是150°求2(),||a b a b ++；（2）若（2a -3 ）·（2a +）=61, 求a b ⋅、a 与b 的夹角θ 例3、已知|a |=2,|b |=5,且 a 与b 不共线， k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？【总结提升】【反馈检测】1、已知下列命题：(1)||||||a b a b ⋅=⋅ ;(2)000a b a b ⋅=⇔==或 ;(3)||||||a a λλ=⋅ ;(4)00a λλ=⇔=或0a =. 其中正确的命题序号是 2、已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= 3、已知∆ABC 中=a ，=b ，当a b ⋅<0或a b ⋅=0时∆ABC 是 三角形。
高中数学必修四：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0︒≤θ≤180︒（2）两向量共线的判定定理（3）练习1.若=(2，3)，=(4，-1+y )，且∥，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A.-3 B .-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F||s|cosθ，θ是F与s的夹角.功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。
二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量│a││b│cosθ叫a与b的数量积，记作a∙b，即有a∙b= │a││b│cosθ，（其中０≤θ≤π）.并规定：向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？【平面向量数量积的几点说明】（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a∙b；书写时要特别注意：.符号“∙”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若≠，且∙=0，不能推出=因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是∙=∙=如右图：a∙b= │a││b│cosβ = │b││OA│，b∙c= │b││c│cosα = │b││OA│⇒∙=∙但≠(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a∙b)c≠a(b∙c)显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.2．“投影”的概念：作图定义：││cosθ叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为││；当θ = 180︒时投影为-││.3．向量的数量积的几何意义：数量积∙等于的长度与在方向上投影││cosθ的乘积.探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，1、⊥⇔∙= 02、当与同向时，∙= ||||；当与反向时，∙= -||||.特别的⋅= ||2=│∙│≤|||| cosθ探究2、：平面向量数量积的运算律（1）．交换律：∙= ∙（2）．数乘结合律：(λ)⋅=λ(⋅) = ⋅(λ) （3）．分配律：(+)⋅=⋅+⋅说明：（1）一般地，(a·b)c≠a（b·c）（2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0a ＝b（3）有如下常用性质：２＝｜｜２， （＋）（＋）＝·＋·＋·＋·三、讲解范例：例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２ ②(＋)∙(-)=２-２例2．已知││=12，││=9，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角θ。
人教A版高中数学必修4教学设计2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》导学案
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学习目标】：1 .通过物理中“功”等实例，归纳出平面向量数量积的含义及其物理意义。
2 .借助几何图形，能整合平面向量的数量积与向量投影的关系。
3.通过对向量夹角的讨论，得出数量积的性质并总结。
4.类比实数的运算律，总结并证明向量的运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断。
【评价任务】：1、结合物理中功的实例，在独立思考的基础上，借助教师引导、小组合作讨论交流，归纳出平面向量数量积的含义及其物理意义。
（目标1）2. 小组合作，考虑向量夹角的取值范围，从中选出特殊角并说明此时向量之间的特殊位置，概括出向量数量积的性质，小组派代表展示汇报。
（目标2）3. 借助功与数量积的几何图形，独立做出一向量在另一向量方向上的投影，小组交流平面向量数量积与向量投影的关系。
（目标3）4.小组合作，类比实数的运算律，猜想向量数量积的运算律并证明之。
（目标4）【旧知链接】：1.物理学中的功的定义是怎样的，它是标量还是矢量？2.两个向量的夹角是如何规定的？范围是什么？特殊角对应向量的特殊位置有哪些？3.实数运算中，有哪些运算律？你还记得平方和与平方差公式吗？请写在下面。
【知识建构】1探究（一）. 如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，（1）力F 所做的功W= 。
（2）请同学们分析这个公式的特点：W （功）是 量，F （力）是 量，S （位移）是 量，α是 。
问：从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（目标1）·的符号2.向量的数量积与向量的线性运算有何异同？2. 小组合作，考虑向量夹角的取值范围，从中选出特殊角并说明此时向量之间的特殊位置，概括出向量数量积的性质，小组派代表展示汇报。
（目标2）3. 在平面上做出共起点的两个向量（夹角分别取00，450，900，1350，1800），在图中画出一向量在另一向量方向上的投影（独立完成），小组交流平面向量数量积与向量投影的关系。
高中数学必修四导学案-平面向量的数量积的物理背景及其含义
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
【新导学案】高中数学人教版必修四：241《平面向量的数量积的物理背景及其含义》.doc
2. 4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案【学习目标】1说出平面向量的数量积及其儿何•意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；【重点难点】。
平面向量的数量积及其几何意义【学法指导】预习平面向量的数量积及其几何懣义；平面向虽数量积的重要性质及运算律；【知识链接】：[•・平面向量数量积（内积）的定义： _______________________________________2•两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3・“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：_____________________________5.两个向量的数量积的性质：设：、&为两个非零向量，幺是与方同向的单位向量.f f1e・ b = b e = _____2aba・ b= ____________设Q、庁为两个非零向量，W是Q与同向的单位向量.—♦—*e- a =a e = _____________3当d与乙同向时，ab=_________ 当Q与&反向时，ab特别的a-a = \a\L或\ a \=^1 ci ・ ci4cos = ___________________—♦ Y —* f5\a-b\ \a\\b\三、提出疑惑：同学们，通召你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中【学习过程】创设问题情景，引出新课1、提出问题1:诸同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给岀冇关材料并提岀问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功：W二（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W （功）是_ 量，② F （力）是_量，③S （位移）是_量，④a是____________ O（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义:己知两个非零向量Q与b,它们的夹角为a,我们把数量I Q I・I b Icosa叫做Q与b的数量积（或内积），记作：a • b ,即：a • I a I・I & I cos仅（2）定义说明：①记法“a・b ”屮间的“・”不可以省略，也不可以用“X ”代替。
高中数学人教(A版)必修4导学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(无答案)
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1、掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系。
2、平面向量积的重要性质及运算律。
【考纲要求】1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【学习目标叙写】1、知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义；2、会用向量数量积的公式解决相关问题；3、记住数量积的几个重要性质。
【使用说明与学法指导】先阅读教材P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后，学习向量数量积的性质与运算律。
【预习案】问题1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？问题2：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作acos a b =⨯ ”代替。
② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角（两向量必须是同起点）注意：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b反向；当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。
思考：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？数量积的符号由cos θ的符号所决定，完成下表：问题3：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）向量投影的概念：如图，我们把cos a θ叫做向量a 在b方向上的投影；cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影.说明：如图，1cos OB b θ=. 向量投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ＝９０︒时投影为0；当θ = 180︒时投影为 -|b| 作图：（2）向量的数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的投影︱b ︱cosα的乘积。
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2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
【学习目标】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题； 【自学新知】
知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b
，
则
∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b
的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，a 与b
同向； （2）当θ＝π时，a 与b
反向；
（3）当θ＝2
π
时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；
新知梳理：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b
，它们的夹角是θ，则 叫a 与b 的数量积，记作 ，即有a ⋅b
= ，（０≤θ≤π）. 并规定向
量与任何向量的数量积为 .
思考感悟：
1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个 ，不是向量，符号由 的符号所决定.
（2）向量的数量积写成a ·b
；符号“·”既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若0≠a ，且0=ab ，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0 ，且a ⋅b
=0，不能推出b
=.因cos θ有可能为0.
2．“投影”的概念： 作图：
定义：|b |cos θ叫做向量b 在a
方向上的投影.
思考感悟：
投影不是向量，是一个数量。
当θ为锐角时投影为 值；当θ为钝角时投影为 值，当
θ为直角时投影为 ；当θ=0︒时投影为|b |；当θ =180︒时投影为-|b
|
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于 与 |b
|cos θ的乘积.
4. 两个向量的数量积的性质：设a ，b
为两个非零向量， (1)a ⊥b ⇔a ⋅b
=
(2)当a 与b 同向时，a ⋅b
= ，
当a 与b 反向时，a ⋅b
=
特别的：a ⋅a =|a |2或||a = |a ⋅b |≤|a ||b
|； cos θ =||||
a b
a b ∙
5.平面向量数量积的运算律
①交换律：a ⋅b =b ⋅ a
②数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )③分配律：(a +b )⋅c = a ⋅c +b ⋅c
说明：
（1）一般地，(a ·b ) c ≠a （b ·c
） （2）a ·c ＝b ·c
a ＝b
对点练习
1．下列叙述不正确的是（ ） A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律 C. 向量的数量积满足结合律
D. a ⋅b
是一个实数
2．|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -4
3b
的位置关系为（ ）
A.平行 B .垂直 C.夹角为
3
π
D.不平行也不垂直
3.已知|m →|=n →=(cos θ,sin θ)， m →·n →=9， 则m →, n →
的夹角为 （ ） A.150º B.120 º C.60 º D.30 º
4.已知||2a = ，||10b = ，0
,120a b <>= ，则向量b 在向量a 方向上的投影是___________，向量a 在向量b
方向上的投影是___________。
【合作探究】
典例精析：
例1．证明：2
2
2
2)(b b a a b a +∙+=+
变式1．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60o
，求：
（1）(a +2b )·(a -3b
). （2）|a +b |与|a -b
|.
例2．已知|a |=12，|b |=9，254-=∙b a
，求a 与b 的夹角。
变式2．已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a +k b 与a -k b
互相
垂直.
【课堂小结】
【当堂达标】
1．下列命题中：①若b ≠0 ，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b
; ③(a ·b )·c =a ·(b ·c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2
；正确命
题的个数为____
2．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos375°、a ，b 夹角为30°，则a ·b
为（ ）
A ．
2
3
B ．3
C ．32
D ．2
1
3．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b
的夹角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
4.．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4
【课时作业】
1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a
与b 的夹角是（ ）
A.60° B .30°
C.135°
D.４５°2. 若向量 a 与b 的夹角为60
，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ，
则向量a
的模
为
3．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2， |b |=4，则a 与b
夹角的余
弦值等于
4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →.
5．已知|a |=8， |b |=10， |a +b |=16，求a 与b
的夹角.
6*.向量-+2互相垂直，向量+-22与互相垂直，求与夹角θ。
7*.已知|a |=23，|b
|=3，与夹角为︒45，求使向量++λλ与的夹角θ为
锐角时，λ的取值范围。
- 11 -
8．(2012全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
【延伸探究】
已知平面上三个向量,,a b c 的模都是1，他们互相之间的夹角均是0120，
（1）求证：()a b c -⊥
（）若||1()ka b c k R ++>∈ ，求k 得取值范围。