山西省忻州一中2015届高三上学期期中考试数学理试题
2015年山西省忻州一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y≥1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）=1+i，则z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）4．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）已知锐角α，β满足：sinα﹣cosα=，tanα+tanβ+tanα•tanβ=，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．＜α＜βD．＜β＜α7．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．19．（5分）已知f（x）=无极值，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）随机抽取某产品n件，测得其长度分别为x1，x2，…x n，则图所示的程序框图输出的s表示的样本的数字特征是．14．（5分）已知变量x，y满足，则的最大值是．15．（5分）若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），别称数列{a n}为调和数列，已知数列{}为调和数列且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=．16．（5分）函数f（x）=的值域是．三、解答题（共70分）17．（10分）已知，，函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的值域．18．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C﹣）=cosC（Ⅰ）求的值；．（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；（Ⅱ）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y≥1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由A中y=log2（﹣x2+2x），得到﹣x2+2x＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，∵B={y|y≥1}，全集U=R，∴∁U B={y|y＜1}，则A∩∁U B={x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）=1+i，则z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z（1+i）=1+i，∴z（1+i）（1﹣i）=（1+i）（1﹣i），∴2z=（）+（）i，∴z=+i．复数z的共轭复数为：（，﹣）．在第四象限．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选：D．4．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵，即||•||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选：A．5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．6．（5分）已知锐角α，β满足：sinα﹣cosα=，tanα+tanβ+tanα•tanβ=，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．＜α＜βD．＜β＜α【解答】解：∵sinα﹣cosα=＞0，即sinα＞cosα，tanα＞1，∴α＞，∵tanα+tanβ+tanα•tanβ=，即tanα+tanβ=（1﹣tanα•tanβ），∴tan（α+β）==，∵α，β为锐角，∴α+β=，即﹣β＞，β＜，则α＞β．故选：B．7．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==．所以P（A）=．故选：B．8．（5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【解答】解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵0≤φ≤，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=﹣2sin=﹣1．故选：A．9．（5分）已知f（x）=无极值，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f′（x）==，∴若函数f（x）=无极值，则1﹣b=﹣1，∴b=2．故选：B．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]【解答】解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，由题意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故选：A．12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【解答】解：由f（x）+xf′（x）＜x，x＜0，即[xf（x）]′＜x＜0，令F（x）=xf（x），则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014）f（x+2014），F（﹣2）=（﹣2）f（﹣2），F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，∴x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）随机抽取某产品n件，测得其长度分别为x1，x2，…x n，则图所示的程序框图输出的s表示的样本的数字特征是平均数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算依次输入的n个数a1，a2，…，a n的算术平均数，即S=，根据统计中的定义，样本数据的算术平均数所表示的样本的数字特征为样本平均数．故答案为：平均数．14．（5分）已知变量x，y满足，则的最大值是1．【解答】解：由题意作出其平面区域：可看成阴影内的点与原点连线的斜率，故过点A（2，2）时，有最大值，最大值为=1．故答案为：1．15．（5分）若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），别称数列{a n}为调和数列，已知数列{}为调和数列且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=20．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故答案为20．16．（5分）函数f（x）=的值域是[﹣，] ．【解答】解：f（x）=，令x+1=z，则y=，即yz2﹣z+y=0有根，则y=0或，解得，﹣y．故答案为：[﹣，]．三、解答题（共70分）17．（10分）已知，，函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）．=．所以f（x）的最小正周期为π．（2）∵．∴∴，即f（x）的值域为18．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C﹣）=cosC（Ⅰ）求的值；．（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵sin（C﹣）=sinCcos﹣cosCsin=cosC，∴sinC=cosC，即tanC=，又C为三角形内角，∴C=，∵c=2，∴由正弦定理得====，∴a=sinA，b=sinB，则==；（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，∴（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得：ab=4或ab=﹣1（舍去），=absinC=×4×=．则S△ABC20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；（Ⅱ）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，由余弦定理可知：BD2=CD2+CB2﹣2CD•CB•cos（1800﹣∠DAB）=3CD2，即，…（2分）在△ABD中，∠DAB=60°，，则△ABD为直角三角形，且AD⊥DB．则可知AC⊥BC…（4分）又EC⊥平面ABCD，则EC⊥AC，故AC⊥平面CBE；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC⊥CB，设CB=1，则，建立如图所示的空间直角坐标系，，…（9分）向量为平面BDC的一个法向量．设向量为平面BDE的法向量，则，即，取y=1，则，则为平面BDE的一个法向量．…（10分），而二面角E﹣BD﹣C的平面角为锐角，则二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．…（12分）21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为=1．又点（1，）在椭圆上，可得b=1．则所求椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=，椭圆右焦点为（，0）．则直线AB的方程为y=k（x﹣）．由可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0．由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+3]=．所以=x1x2+y1y2=．由=0，即=0，可得k2=，即k=．所以直线l的方程为y=（x﹣）．22．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．【解答】解：（I）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．则f′（x）=x﹣≥0在（1，+∞）上恒成立，即：a≤x2在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1．（II）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；当a＜0时，f′（x）=x﹣＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵f（1）=＞0，f（）=，所以方程有惟一解．当a＞0时，f′（x）=x﹣=因为当x时，f′（x）＞0，f（x）在内为减函数；当x时，f（x）在内为增函数．所以当x=时，有极小值即为最小值f（）=．当a∈（0，e）时，f（）=＞0，此方程无解；当a=e时，f（）==0此方程有惟一解x=．当a∈（e，+∞）时，f（）=＜0因为f（1）=＞0且1，所以方程f（x）=0在区间（0，）上有惟一解，因为当x＞1时，（x﹣lnx）′＞0，则函数y=x﹣lnx在（1，+∞）上单调递增，∴x﹣lnx＞1﹣ln1=1，即x﹣lnx＞1，所以x＞lnx，f（x）=＞，因为2a＞＞1，所以f（x）=0，所以方程f （x ）=0在区间（，+∞）上有惟一解．所以方程f （x ）=0在区间（e ，+∞）上有两解．综上所述：当a ∈[0，e ）时，方程无解；当a ＜0或a=e 时，方程有惟一解； 当a ＞e 时方程有两解．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数第21页（共21页）。
山西省忻州一中高三数学上学期期中试题 理 新人教A版
注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合04x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B 等于A ．[2,4]B ．[0,2]C ．[)2,4D ．[0,8]2．若命题“,0R x ∈∃使得032020<-++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[]6,2 B ．[]2,6-- C．()6,2D ．()2,6--3．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有 A ．相同的准线 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴4．设b a ,是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，则”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件高三数学试题（理科） 第2页（共4页）5．已知数列{}n a 为等比数列，且5642a a a =⋅，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若552b a =，则9S =A ．36B ．32C ．24D ．226．函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为 A ．8πB ．4π C ．2π D ．π 7．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的 等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 A ．12π B ．43π C ．3π D ．123π8．函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是 A ．()1,0B ．()3,1C ．(]3,19．已知函数f （x ）=x ﹣4+，x ∈（0，4），当x=a 时，f （x ）取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g （x ）=的图象为A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 A ．32 B ． 22 C ． 12 D ． 12-高三数学试题（理科） 第3页（共4页）11．已知偶函数() ()y f x x R =∈在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,)+∞上单调递减，且满足(4)(1)0f f -==，则不等式3()0x f x <的解集是A ．(4,1)(1,4)--B ．(,4)(1,1)(3,)-∞--+∞C ．(,4)(1,0)(1,4)-∞-- D ．(4,1)(0,1)(4,)--+∞12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为 A ．3 B ．25 C ．2 D ．23 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知向量a 的模为1，且b a ,满足2||,4||=+=-b a b a ，则b 在a 方向上的投影等于 .14．函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是_________. 15．在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210121012=-S S ，则2013S 的值等于 .16．设函数()()()220log 0xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为_________.三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B A A b a sin 2cos 3sin ,=+≥．(1)求角C 的大小； (2)求a bc+的最大值． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >.且1452a a a ，，分高三数学试题（理科） 第3页（共4页）别是等比数列}{n b 的432b b b ，，．(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； (2)设数列{}n c 对任意自然数n 均有1212c c b b ++…1n n n ca b ++=成立，求12c c ++ (2013)c + 的值.19.（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且AD PD PA 22==． (1)求证：面PAB ⊥平面PDC ； (2)求二面角B PD C --的余弦值．20.（本小题满分12分）如图已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．21．（本小题满分12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m 元（1≤m ≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本（9≤x ≤11），预计一年的销售量为2)20(x -万本． (1)求该出版社一年的利润L （万元）与每本书的定价x 的函数关系式；(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(m R 22.（本小题满分12分）设函数()ln a f x x x x=+， 32()3g x x x =--． (1)讨论函数()()f x h x x=的单调性； (2)若存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ；(3)如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．DC BAP参考答案（理科）一、选择题：(每小题5分,共60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B C A C C B B C D C二、填空题：(每小题5分,共20分)13． -3 14．()2,∞- 15．-2013 16．2 三、解答题：(共70分) 17．(10分)解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ．…3分因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3． …6分（2）由正弦定理及（1）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)．…9分 当A ＝ π3时，a ＋b c取最大值2． …10分18．(12分)解：（1）∵a 2=1+d ，a 5=1+4d ，a 14=1+13d ，且a 2、a 5、a 14成等比数列∴ 2)131)(1()41(2=++=+d d d d 即 …3分∴122)1(1-=⋅-+=n n a n …4分又∵9,35322====a b a b .∴113,1,3-===n n b b q…6分 （2）∵1212c c b b ++…1n n n ca b ++=①∴121c a b = 即1123c b a ==，又1212c c b b ++…11(2)n n n ca nb --+=≥② ①－②：12nn n nc a a b +=-= ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥ …10分∴ 13(1)23(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅⎩≥ …11分 则c c c +++…1232323c +=+⋅+⋅+…2013123-+⋅123201232(3333)=+⋅++++201220133(13)32313-=+⋅=- …12分19．(12分)(1)解法一：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD面ABCD AD =ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥ …………………………2分 又PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且2PAD π∠= 即PA PD ⊥CDPD D =，且CD 、PD ⊆面PDCPA ⊥面PDC又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC …………………………6分解法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面,∴PO ABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==. 以O 为原点,向量OA →,OF →,OP →为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2aA ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE - …………………………2分(1)∵(,0,)22a a PA =-,CD →=(0,-a,0) ∴⋅PA →⋅CD →=(a2,0,- a 2)⋅(0,-a,0)=0,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PDCD D =,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAB ⊂平面,∴平面PAB ⊥平面PDC ． …………………………6分 (2)由(1)知平面PDC 的法向量为(,0,)22a a PA =-.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =.∵DP →=(a2,0, a 2)⋅,BD →=(-a,-a,0)∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅=可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2⋅x+0⋅y+a 2⋅z=0-a ⋅x-a ⋅y+0⋅z=0取1x =,则y=-1,z=-1,故n →=(1,-1,-1) …………………………10分 ∴6cos ,232n PA n PA n PAa ⋅<>===⨯, 即二面角B PD C --的余弦值为6,……………………12分 20．(12分)解：（1）由焦点坐标为(1,0) 可知12p= 所以2=p ,所以抛物线C 的方程为x y 42= …5分（2）当直线垂直于x 轴时，ABO ∆与MNO ∆相似， 所以21()24ABOMNO OF S S ∆∆==, …7分 当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-, 设)y 2,(M -M ，)y 2,(N -N ，),(11y x A ，),(22y x B ， 解2(x 1),4,y k y x =-⎧⎨=⎩ 整理得2222(42)0k x k x k -++=， …9分所以121=⋅x x , …10分121sin 121224sin 2ABO MNOAO BO AOBS x x AO BO S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠,综上14ABO MNO S S ∆∆= …12分 21.解：（1）该出版社一年的利润L （万元）与每本书定价x 的函数关系式为：]11,9[,)20)(5(2∈---=x x m x L ．……………5分（定义域不写扣1分）（2）)20)(5(2)20()(2/x m x x x L -----=)3230)(20(x m x -+-=．…………………6分令0L '=得m x 3210+=或x=20（不合题意，舍去）．…………7分 31≤≤m ， 123210332≤+≤∴m ．在m x 3210+=两侧L '的值由正变负．① 当231≤≤m 即113210332≤+≤m 时，L(x)在[9, 10+23m]上是增函数，在[10+23m ，11]上是减函数。
山西省忻州市第一中学2015届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
忻州市第一中学2015届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M={y ∈R ∣y=x 2}，N={x ∈R ∣x 2+ y 2=2}，则M ∩N = ( )A ．{(-1,1),(1,1)}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2]2．复数2+ i 的实部与复数1-2i 的虚部的和为 （ ）A ．0B ．2-2iC ．3-iD ．1+3i3．右面程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n>20时n 的最小值，则输出框中应填 （ ）A ．iB ．i+1C ．i -1D ．n4．已知x 与y 之间的一组数据： 得关于y 与x 的线性回归方程为y^＝2.1x ＋0.85，已求则m 的值为 （ ）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.55．已知对于正项数列{a n }满足a m+n =a m a n (m,n ∈N *)，若a 2=9，则log 3a 1+log 3a 2+……+ log 3a 12 = （ ）A ．40B ．66C ．78D ．1566．函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为 （ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．-π47．设a>0，b>1，若a+b=2，则2a +1b-1的最小值为 （ ）A ．3+2 2B ．6 C. 4 2 D. 2 28．函数f(x)＝sinxcosxx 2+1的图象大致为 （ ）9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →+AB →+AC →=0→，则向量CA → 在CB →方向上的投影为 （ ）A ． 3B ．3C ． - 3D ． -310．已知点P(x ，y)在直线x+2y=3上移动，当2x +4y 取最小值时，过点P(x ，y)引圆C ：(x-12)2+(y+54)2=1的切线，则此切线长等于 （ ）A ．1 B. 2 C. 3 D ．211．已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 ( )A ．3 B. 3 C ．2 D. 212．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2x+a x>02x +a x ≤0，若函数y=f(x)+x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (-∞,-1]B. (-∞,-1)C. (-1,+∞)D. [-1,+∞)二、填空题（每小题5分，共20分）13．(x+12展开式中有理项共有 项．14．已知tanα=13，tanβ=﹣17，且0＜α＜π2，π2＜β＜π，则2α﹣β的值 ．15．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.16．已知函数f(x)＝x 3＋sinx ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知A,B 分别在射线23π，在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、 （1）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2 （2）若c=3，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC 并求周长的最大值．18．（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；2 222 正视图 侧视图 俯视图②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E14AA =。
山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案[ 高考]
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忻州一中20152016学年度第一学期期中考试高二数学(理科)试题一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)1．直线013=-+y x 的倾斜角为A. 030 B. 060 C. 0120 D. 01502．在ABC ∆中，“0>⋅”是“ABC ∆为锐角三角形”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 3. 在平面直角坐标系中，点），（20与点）（0,4关于直线l 对称，则直线l 的方程为 A. 042=-+y x B. 02=-y xC. 032=--y xD. 032=+-y x4．已知两个不同的平面βα、和两条不重合的直线n m 、,有下列四个命题:①若m //n ,α⊥m ,则α⊥n ; ②若α⊥m ,β⊥m ,则α//β;③若m //n ,α⊂n ,则α//m ; ④若m //α,α ∩ β = n ,则m //n .其中正确命题的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是 A. 1 B. 21- C. 45- D. 813- 6．直线0=+-k y kx 与圆0222=-+x y x 有公共点，则实数k 的取值范围是A. ]33,33[- B. ,33[]33,(⋃--∞C. ]3,3[- D. ),3[]3,(+∞⋃--∞7. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误．．的是 A. AC ∥平面11BC A B. 1BC ⊥平面CD B A 11C. BD AC ⊥1D. 异面直线1AD 与1DC 所成的角为0458. 已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A 、B 两不同点,O 是坐标原点,向量OA →、OB →满足|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,则实数a 的值是A. ±2B. 2C. ± 6D. -29．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是A. 6B. 7C. 22D. 310. 过点)2,1(M 的直线l 将圆：9)2(22=+-y x 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程为A. 1=xB. 1=yC. 01=+-y xD. 032=+-y x11. 已知函数)012cos 2sin 3)(2>-+=ωωω（x x x f 的最小正周期为π.对于函数)(x f ，下列说法正确的是A. 在]32,6[ππ上是增函数B. 图象关于直线125π=x 对称 C. 图象关于点)0,3(π-对称D. 把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，所得函数图象关于y 轴对称 12．在三棱锥S ABC -中，⊥SA 平面ABC ,,4=SA 底面ABC ∆是边长为3的正三角形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为A. π19B. π28C. π43D. π76二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 点),(y x P 是圆1)4()322=+++y x （的任一点，则22y x +的最小值为_______.14．命题],,0[:π∈∃x p 使a x <+)3sin(π成立，则实数a 的取值范围为___________.15. 在梯形ABCD 中，，422,//,===⊥AB AD BC BC AD BC AB 将梯形ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为____________.16．圆1622=+y x 的切线与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，则|AB |最小值为_____________.三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)17. (本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为)*N n S n ∈（，若243+=a S ，且1331,,a a a 成等比数列(1) 求}{n a 的通项公式；(2) 设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T .如图,在四棱锥ABCD P -中,平面⊥PAD 平面ABCD ,AB ∥,DC PAD ∆是正三角形,已知,82==AD BD542==DC AB(1) 设M 是PC 上的一点,求证:平面⊥MBD 平面PAD ;(2) 求四棱锥ABCD P -的体积.19. (本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1) 画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生甲成绩的中位数和学生乙成绩的众数；(2) 求学生乙成绩的平均数和方差；(3) 从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率.20. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A 、、的对边分别是c b a 、、,若C a c b cos 21=-(1) 求角A ; (2) 若bc c b 3)4=+（，32=a ，求ABC ∆的面积S . 21. (本小题满分12分)已知函数R m m x x x f ∈-+=,4||)((1) 若4)()(+=x f x g 为奇函数，求实数m 的值；(2) 当3-=m 时，求函数)(x f 在]4,2[∈x 上的值域；(3) 若0)(<x f 对]1,0(∈x 恒成立，求实数m 的取值范围.22. (本小题满分12分)圆C 满足：①圆心C 在射线)02>=x x y （上; ②与x 轴相切; ③被直线2+=x y 截得的线段长为14(1) 求圆C 的方程；(2) 过直线03=++y x 上一点P 作圆C 的切线，设切点为E 、F ，求四边形PECF 面积的最小值，并求此时⋅的值.附加题（每小题5分，共15分）23．直线m x y +=与圆422=+y x 交于不同的两点N M 、，且|3||ON +≥,其中O 为坐标原点，则实数m 的取值范围是___________.24．已知矩形ABCD 顶点都在半径为R 的球O 的表面上，且33==BC AB ，,棱锥 A B C D O -的体积为23，则=R ___________.25．函数2)2(1+-=x y 图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是 A.23 B.21 C. 33 D. 3忻州一中20152016学年度第一学期期中考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)1-5: DBCBC 6-10: ADACD 11-12:DB二．填空题(每小题5分，共20分)13. 4 14. 23->a 15. 340π 16. 8 三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）解：(1) 设等差数列}{n a 的公差为d ,由243+=a S 得：233311++=+d a d a ∴11=a ………2分又∵1331,,a a a 成等比数列 ∴13123a a a =即)12()2(1121d a a d a +=+ 得：2=d ………4分∴122)1(1-=-+=n n a n ………5分 (2) )121121(21)12)(12111+--=+-==+n n n n a a b n n n （ ………7分 ∴)]121121()5131()311[(21+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=n n T n =12]1211[21+=+-n n n ………10分 18．解：(12分)(1)在△ABD 中，AD=4，BD=8，AB=54∴222AB BD AD =+ 故BD AD ⊥ ………2分 又平面⊥PAD 平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD,⊂BD 平面ABCD∴⊥BD 平面PAD ………4分又⊂BD 平面MBD ∴平面⊥MBD 平面PAD ………5分(2)过P 作AD PO ⊥交AD 于O, 平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥PO 平面ABCD ∴PO 为四棱锥ABCD P -的高,且PO=23 ………8分又四边形ABCD 是梯形,且Rt △ADB 斜边AB 上的高为5585484=⨯即为梯形ABCD 的高 ∴梯形ABCD 的面积为2455825452=⨯+=S ………10分 故316322431=⨯⨯=-ABCD P V ………12分 19．（12分）解：（1）茎叶图如下：………2分学生甲成绩中位数为83，学生乙成绩众数为8 ………4分（2））（乙95929085832807581+++++⨯+=x =85 ………6分 222222)8585()8583()8580()8580()8575[(81-+-+-+-+-=乙S ])8595()8592()8590(222-+-+-+=41 ………8分（3）甲同学超过80分的成绩有82 81 95 88 93 84，任取两次成绩，所有基本事件为：（82,81），（82,95），（82,88），（82,93），（82,84），（81,95），（81,88），（81,93），（81,84），（95,88），（95，93），（95,84），（88,93），（88,84）， （93,84）共15个 ………10分其中至少有一次超过90分的基本事件为：（82,95）（82,93）（81,95）（81,93）（95,88），（95，93），（95,84），（88,93）（93,84）共9个。
2014-2015年山西省忻州一中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．2．（5分）复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和为（）A．0B．2﹣2i C．3﹣i D．1+3i3．（5分）如图程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n＞20时n的最小值，则输出框中应填（）A．i B．i+1C．i﹣1D．n4．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.55．（5分）已知对于正项数列{a n}满足a m+n=a m•a n（m，n∈N*），若a2=9，则log3a1+log3a2+…+log3a12=（）A．40B．66C．78D．1566．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．7．（5分）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．6C．D．8．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，则向量在向量方向上的投影为（）A．3B．C．﹣3D．﹣10．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）A．1B．C．D．211．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）展开式中有理项共有项．14．（5分）已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值．15．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）=x3+sinx，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为．三、解答题（共70分）17．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．（12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性（2）证明：f（x）＞2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F 点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为为参数，0≤α＜π）射线与曲线C1交于极点O为的三点A、B、C（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；（2）当时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]，故选：D．2．（5分）复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和为（）A．0B．2﹣2i C．3﹣i D．1+3i【解答】解：复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和=2﹣2=0．故选：A．3．（5分）如图程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n＞20时n的最小值，则输出框中应填（）A．i B．i+1C．i﹣1D．n【解答】解：考察程序框图中条件结构，循环结构，循环次数计数问题，当S=1+2+3+…+5=15时，满足S≤20，进入循环，S=1+2+3+…+6=21，i=6，不满足条件S≤20，退出循环，应该输出i﹣1的值，即5．故选：C．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.5【解答】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．5．（5分）已知对于正项数列{a n}满足a m+n=a m•a n（m，n∈N*），若a2=9，则log3a1+log3a2+…+log3a12=（）A．40B．66C．78D．156=a m•a n（m，n∈N*），a2=9，【解答】解：∵正项数列{a n}满足a m+n∴a1=3，=a1•a n=3a n，∴a1+n∴数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴log3a1+log3a2+…+log3a12=log3a1a2•…•a12==78．故选：C．6．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．7．（5分）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．6C．D．【解答】解：∵a+b=2，∴a+（b﹣1）=1，则=，即的最小值为3+2，当且仅当：a=2﹣，b=时，取“=”，故选：A．8．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）==﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，排除C，D，当x→+∞时，f（x）→0，当0＜x＜时，f（x）＞0，故选：A．9．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，则向量在向量方向上的投影为（）A．3B．C．﹣3D．﹣【解答】解：△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，∴=，∴OBAC为平行四边形．∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，得||=||=||，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，因此，∠ACB=∠ACO=30°，∴向量在方向上的投影为：||•cos∠ACB=2cos30°=，故选：B．10．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2=4，当且仅当x=2y=时，等号成立，∴当2x+4y取最小值4时，P点的坐标为（，），点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，故切线长为==2，故选：D．11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）【解答】解：由题意可得，函数f（x）=的图象和直线y=﹣x有且只有一个交点，如图所示：故a＜﹣1，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）展开式中有理项共有3项．==【解答】解：展开式通项公式为T r+1若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，故答案为：314．（5分）已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值﹣．【解答】解：∵0＜α＜，tanα=＜1=tan，y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜α＜，∴0＜2α＜；又＜β＜π，﹣π＜﹣β＜﹣；∴﹣π＜2α﹣β＜0，∵tan2α===，tanβ=﹣，∴tan（2α﹣β）===1，∴2α﹣β=﹣．15．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为6π．【解答】解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，所以外接球的表面积为：4πR2=6π．故答案为：6π．16．（5分）已知函数f（x）=x3+sinx，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（﹣2，）．【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣sinx）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+cosx＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，所以，解得﹣2＜x＜，即x的取值范围是（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．三、解答题（共70分）17．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）18．（12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）篮球排球总计男同学16622女同学81220总计241842（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：参考公式：K2=．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．…2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关． (4)分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件B为“甲被抽到”；事件A为“乙丙被抽到”，则P（A∩B）=，P（A）=．所以P（B|A）====．…7分方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P（C）===．②由题知X的可能值为0，1，2．依题意P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．从而X的分布列为X012P…10分于是E（X）=0×+1×+2×==．…12分．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F、G分别是棱AB、AB1中点，∴FG∥BB1，又∵FG∥EC，，FG=EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG．∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，∴CF∥平面AEB；（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）设E（0，0，m）（0≤m≤4），平面AEB1的法向量．由，得，取z=2，得∵CA⊥平面C1CBB1，∴是平面EBB1的法向量，则平面EBB1的法向量∵二面角A﹣EB1﹣B的平面角余弦值为，则，解得m=1（0≤m≤4）．∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE=1．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．21．（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性（2）证明：f（x）＞2．【解答】解：（1）∵∴令g（x）=则g′（x）==由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）单调递增，又∵g（1）=0故当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）证明：原不等式就是，即[]＞0令h（x）=则h′（x）=∵h′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）单调递增，又∵h（1）=0故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，＜0，此时[]＞0成立；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，＞0，此时[]＞0成立；∴当x＞0且x≠1时，f（x）＞2[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F 点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．【解答】解：（I）连接OF，∵OC=OF，∵∠OFC=∠OCF，∵DF是⊙O的切线，∴OF⊥DF，又∵OC垂直于弦AB，∴∠AEC=∠DFE，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA（II）设AE=x，则DE=2x，DF=2x，∵DF2=DB•DA，∴（2x）2=3x（2x﹣1），解得2x=3，∴DF的长为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为为参数，0≤α＜π）射线与曲线C1交于极点O为的三点A、B、C（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；（2）当时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．【解答】解：（1）根据题意得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos （φ﹣），则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ=|OA|，∴λ=；（2）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣），∵C是经过点（m，0）且倾斜角为α的直线，且经过B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），∴m=2，α=．[选修：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x ≤3时，f （x ）≤3，求a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x ∈R ，f （x ﹣a ）+f （x +a ）≥1﹣2a 恒成立，求实数a 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=|x ﹣a |≤3，即a ﹣3≤x ≤a +3． 依题意，由此得a 的取值范围是[0，2]．…（4分）（Ⅱ）f （x ﹣a ）+f （x +a ）=|x ﹣2a |+|x |≥|（x ﹣2a ）﹣x |=2|a |．…（6分） 当且仅当（x ﹣2a ）x ≤0时取等号． 解不等式2|a |≥1﹣2a ，得a ≥． 故a 的最小值为．…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
山西省忻州一中等四校高三数学第四次联考试题理
2015届高三年级第四次四校联考数学试题（理）命题：忻州一中 临汾一中 康杰中学 长治二中 （满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集,U R =集合},12161|{Z x x A x ∈<≤=-，},0)1)(3(|{Z x x x x B ∈≥+-=，则()U C B A =A .}4,32,10{，，B .}32,1{，C .}2,10{， D. }2,1{ 2. 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i -=+(i 为虚数单位)，则实数a 的值为A . 3-B . 3C .13-D. 133. 已知双曲线12222=-a x y 过点)2,1(-，则该双曲线的渐近线方程为A.x y 225±= B.x y ±=C.x y 2±=D.x y 22±=4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A.1B.2C.3D.45. 把函数)2|(|)2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3(π-对称，则=-)2(πf A.21-B. 21C. 23-D. 236. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是A. 61B. 21C. 32D. 657. 在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为1的正三角形，⊥SC 面ABC ,2=SC ,则三棱锥ABC S -外接球的表面积为A. π6B. 316πC. 940πD. 38π8. 已知)4,0(),0,2(πβπα∈-∈，ββα22tan 1tan 2sin 21+=-，则有A.22παβ=- B.22παβ=+C.22παβ-=- D.22παβ-=+9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是 A. 5 B. 6C.7 D. 2210. 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P =满足，设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN=16，则椭圆的方程为A. 110814422=+y xB. 17510022=+y xC. 1273622=+y xD. 1121622=+y x11. 已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A.1212--n B.2214--n C.n 212-D. 1214--n12. 设函数x e xx g x x x f ==)(,ln )(2，若存在],[21e e x ∈,]2,1[2∈x ,使得)()()2(1223x kf x g k e ≥-成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是A . 2≥kB . 20≤<kC . 2863++≥e e k D. 28063++≤<e e k第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 的展开式中4x 的系数是 . 14. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数x y z 23-=的最大值为 .15. 已知，且4,3,0===⋅BC AB BC AB M 为线段BC 上一点，且),(||||R AC AC AB AB AM ∈+=μλμλ, 则λμ的最大值为 .16. 在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a -)5cos 72(-=A b ， 则C cos 的最小值为 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差⎰-=22cos ππxdxd ，562224=-a a ；等比数列}{n b 满足：11=b ，512642=b b b ，*N n ∈（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n b n S c n nn ,,2，求n c c c c 2321++++ .18.（本题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：日产量 400 500 批发价 8 10 概 率0.40.6概 率0.50.5（1）设随机变量X 表示生产这种零件的日利润，求X 的分布列及期望；（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率. (注：以上计算所得概率值用小数表示)20. (本题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设,,21GD PG FD PF λλ==试问21λλ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.21. (本题满分12分)FE C 1B 1A 1CBA已知函数11ln )(+-+-=x aax x x f（1）当41=a 时，求函数()y f x =的极值；（2）当)1,31（∈a 时，若对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，求实数a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC ∠的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED ∠=∠.（2）若AC=AP ,求PCPA 的值.23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sin cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x ，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==)(54453为参数t ty t x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集是[0,4] （1）求m 的值；（2）若,a b 均为正实数，且a b m +=，求22a b +的最小值.DEPCBAO2015届高三年级第四次四校联考 数学试题答案（理）A 卷 一、选择题1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA 二、填空题:13．-20 14．9 15．415 16．21-17．解：（1）公差2cos 22==⎰-ππxdx d ，5622))((324242224=⋅=-+=-d a a a a a a a 73=a ………2分∴ 721=+d a ∴31=a ∴12)1(23+=-+=n n a n ………4分设等比数列}{n b 的公比为q∵51234642==b b b b ∴84=b 即1b 83=q ∴2=q 即1112--==n n n q b b ………6分（2）由12,31+==n a a n 得：)2(+=n n S n∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-为偶数，为奇数n 2,)2(21n n n n n c 即⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为偶数，为奇数n 2,21n 11n n n n c ………8分∴n c c c c 2321 +++=)()(2421231n n c c c c c c +++++- ………10分=)222()]121121()5131()311[(123-++++--++-+-n n n=)14(3212241)41(21211-++=--++-n n n n n ………12分18.（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. ……… 2分设11AB AA ==，则11633,,222B F EF B E ===.∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥. ………4分 又AFEF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF . ………6分（2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则12221(0,0,0),(,0,0),(0,,1),(0,,)2222F A B E -，221(,,)222AE =--，122(,,1)22AB =-.………8分由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF 的法向量12(0,,1)2m FB ==.设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由12210,0,220,2220222220,022x y z n AE x y z nAB x y z x y z ⎧--+=⎪⎧⎧=+-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--=⎪⎪⎪⎩⎩-++=⎪⎩∴可取(3,1,22)n =-. ………10分 设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则222222203(1)12262cos |cos ,|6||||20()13(1)(22)2m nm n m n θ⨯+⨯-+⨯=<>===+-+⨯+-+.zyxABCA 1B 1C 1EF∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为66. ………12分19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200 随机变量X 可以取：4000,3000.，2200 ………1分 P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分 ∴X 的分布列为:EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 ………6分 (2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8∴Y ～)8.0,3(B ………8分 ∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分 至少有2天利润不少于3000的概率为：896.02.08.08.0223333=⋅⋅+⋅=C C P ………12分解：（1）由已知:直线m 的方程为1-=x y ，代入px y 22=得：01)1(22=++-x p x 设),(),,(2211y x B y x A ， 则),2(121p x x +=+ 23|AB |21+=++=p p x x 且线段AB 的中点为),1(p p +， ………3分由已知222)223(17+=++p p ）（）（，解得2=p 或514-=p （舍去）所以抛物线C 的方程为：x y 42= ………6分 设直线l ：y=kx+2(k ≠0)，则)0,2(k D -，与.42x y =联立得 04)1(422=+-+x k x k由0>∆得21>k ,设),(),,(4433y x G y x F则24322434,4-4k x x k k x x ==+ ………8分 X 4000 3000 2200 P 0.3 0.5 0.2);,2()2,();,2()2,(442442331331y x k y x GD PG y x k y x FD PF ---=-⇒=---=-⇒=λλλλ 所以2,2244233331+-=+-=--=kx kx kx kx x k x λλ ………10分则4(2)(22224343243432443321+++++-=+-+-=+）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx λλ 将24322434,4-4k x x k k x x ==+代入上式得.121-=+λλ 即21λλ+为定值1- ………12分21.解：（1）由已知14341ln )(++-=x x x x f ，则224)3)(1(43411)('x x x x x x f ---=--=………1分所以当)1,0(∈x 和),3(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <单调递减；当），,10(∈x 时，)(,0)('x f x f >单调递增； ………2分所以当1=x 时，)(x f 有极小值为23，当3=x 时，)(x f 有极大值为213ln +. ………4分 （2）由已知22)1)(1(11)('x aax x a xa a x x f ----=---=.①当)21,31（∈a 时，11210a a a a ---=> ，于是(0,1)x ∈和1(,)ax a -∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(1,)ax a -∈时，'()0,()f x f x >单调递增；又因为21<-a a ，要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ≤，即a a a 2212122ln -≤+-+-，解得2ln 21a ≥-，因为12ln 212≥-所以12ln 21;2a -≤< ………7分②当12a =时，11a a -=，221(1)2'()x f x x --=，在(0,)x ∈+∞上，恒有'()0f x ≤，且仅有'(1)0f =，故()f x 在(0,)+∞上单调递减.显然成立. ………8分③当112a <<时，11120,10a a a a a a --->-=< ，于是1(0,)ax a -∈和(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(,1)a x a -∈时，'()0,()f x f x >单调递增；要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()a f f a -≤，即11ln (1)12ln 420;a a a a a a a a ----+-≤-⇔+-≤ ……10分令11()ln 42,(,1)2a g a a a a -=+-∈，21(21)'()40(1)(1)a g a a a a a -=+=<--，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1()()02g a g <=，所以此时1(,1)2a ∈ 综上所述：)1,12ln 2[-∈a ………12分 22．解：(1)∵ PA 是切线，AB 是弦，∴ ∠BAP=∠C ， ………2分 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED ． ………5分 (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,∴ △APC ∽△BPA, ∴PC CAPA AB =, ………7分∵ AC=AP , ∴ ∠APC=∠C=∠BAP ,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴ ∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°．在Rt △ABC 中，CA AB =3, ∴ PC CA PA AB ==3． ………10分23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x ………2分 直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为012sin 3cos 4=+-θρθρ ………5分(2)01234),sin ,cos 2(=+-y x l P 为直线设αα 则512)cos(73512sin 3cos 8++=+-=ϑαααd 所以最大值为57312+，最小值为57312-。
山西省忻州市第一中学2015_2016学年高一数学上学期期中试题
2015-2016学年度第一学期期中考试试题高 一 数 学注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R ，M={x||x|<2}，N={y|y=2x -1}，则(C U M)∪(C U N)= ( )A ．(-1,2)B ．(-∞,-1]∪2．已知集合A 满足条件{1，2}⊆A ⊂≠{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数有 ( )A ．8B ．7C ．4D ．33．下列函数与||y x =表示同一函数的是 ( )A.2y =B.y =C.y =D.2xy x =4．如果函数f(x)的定义域为，那么函数f(x 2－1)的定义域是 ( )A ．B ．C ．D ．5．若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图象一定不过．．．． ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f 的值为 ( )A ．91B ．9C ．-9D ．91-7．已知a=log 20.3，b=20.1，c=0.21.3，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8．若log a 45＜1，则a 的取值范围是 ( )A ．(45，1)B ．(45，+∞)C ．(0，45)∪(1，+∞)D ．(0，45)∪(45，+∞)9．已知不等式03222>++-a ax ax 的解集为R ，则a 的取值范围是 ( )A ．a ≥0 `B ．a ＞0C ．a ≥－3D ．a ＞－3 10．若函数y=ax 与y= b x在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是( ) A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增 11．已知a>0,且a≠1,函数y=a x 与y=log a (-x)的图像只能是下图中的 ( )12．函数2)2(log )(2-+-=x a x f x ，当]21,0[∈x 时，0)(≤x f 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．]4,(-∞B ．]4,2(C ．]23,(-∞D ．]23,2( 二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知函数f (x )＝(log 41x)2－(log 41x )+5，x ∈［14 ，4］，则f (x )的最小值是 ． 14．函数y=log 2(-x 2-4x+5)的单调递增区间是 ．15．已知函数f(x)=ax 5+bx 3+cx －18,且f(－3)=32,那么f(3)= ．16．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时,f(x)=x 3+x 2-2x -8，则当x <0时，函数f(x)的解析式为 ．A B C D三．解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上．17．(本小题满分10分)已知集合A={x|-2≤x≤17},B={x|2m+3≤x≤3m-1},若A∪B⊆A,求实数m的取值范围．18．(本小题满分12分)(1)计算：log535+2log0.52-log5150-log514．(2)化简：(0.027)-13-(-16)-2+2560.75-|-3|-1+(-5.55)0-10(2-3)-1．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(2a-1)x-3，(1)当a＝2，x∈时，求函数f(x)的值域．(2)若函数f(x)在上的最大值为1，求实数a的值．20．(本小题满分12分)设0≤x≤2，求函数y=9(x-12)-3(x+1) +314的最大值、最小值，并求取得最值时的x的值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)=log 2x 1 x． （1）解不等式f(x)≤1;（2）根据函数单调性的定义，证明函数)(x f 在定义域内是增函数．22．(本小题满分12分)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？附加题(每小题5分，共15分)1．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )最大值为＝________.2．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈时，f (x )＝－x ，则f (1)+f (2)+ f (3)+…+f (2015)＝________.3．函数叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x 的最大整数，例如＝2，＝3，＝－3，设函数f (x )＝2x1＋2x －12，则函数y ＝＋的值域为________. 2015-2016学年度第一学期期中考试试题高 一 数 学(参考答案)一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-6 BBCDDA 7-12 DCACBD二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13． 19414． (-2，1)答案写成时，求函数f (x )的值域．(2)若函数f (x )在上的最大值为1，求实数a 的值．19．【解】:(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3x －3，x ∈，对称轴x ＝－32∈， …（2分） ∴f(x)min ＝f(-32)＝94－92－3＝－214， …（4分） f(x)max ＝f(3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. …（6分） (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a≥－12时，f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； …（9分） ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. …（12分） 20．(本小题12分)设0≤x ≤2，求函数y=9(x - 12)-3(x+1) +314的最大值、最小值，并求取得最值时的x 的值． 20．解：令t=3x ，0≤x ≤2，则1≤t ≤9 …2分∴g(t) =13(t -92)2+1 …6分当t=92 时g(t)取得最小值1，此时3x =92，x=2-log 32，y min =1 …9分 当t=9时g(t)取得最大值314，此时3x =9，x=2，y max =314∴x=2-log 32，y min =1；x=2，y max =314…12分 21．(本小题12分)已知函数f(x)=log 2x 1-x ． （1）解不等式f(x)≤1;（2）根据函数单调性的定义，证明函数)(x f 在定义域内是增函数．21．(1)解：由01x x>-，得(1)0x x ->，解得01x <<， ∴函数的定义域为(0,1) …2分f(x)≤1得log 2x 1-x ≤1，则x ≤23或x>1 …5分 ∴不等式f(x)≤1的解为0＜x ≤23…6分 (2)证明：任取1x 、2(0,1)x ∈且12x x <， 则12122212()()log log 11x x f x f x x x -=--- 121222122111log ()log ()11x x x x x x x x --=⋅=⋅-- 1201x x <<<，210111x x ∴<-<-< 1201x x ∴<<,且211011x x -<<-,即12211011x x x x -<⋅<- 12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <.故函数()f x 是增函数． …12分22．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？22．解：（1）设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则x∈（100，300] n=kx+b （k ＜0），∵0=300k+b，即b= -300k，…3分∴n=k(x-300)y=(x-100)k(x-300)=k(x-200)2-10000k（x∈（100，300]）…5分∵k＜0，∴x=200时，y max= -10000k，…7分即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．…8分（2）解：由题意得，k(x-100)( x-300)= -10000k•75%…10分x2-400x+37500=0解得x=250或x=150 …11分所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元…12分附加题1．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为＝________. 62．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈时，f(x)＝－x，则f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(2015)＝________. 03．函数叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x的最大整数，例如＝2，＝3，＝－3，设函数f (x)＝2x1＋2－12，则函数y＝＋的值域为________. {－1，0}。
山西省忻州市第一中学2015届高三上学期第一次四校联考理科数学试卷(解析版)
山西省忻州市第一中学2015届高三上学期第一次四校联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设全集为R ，集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ，则=N M （ ）A ．[-2，2]B ．)2,(--∞C ．),2(+∞D ．),2(+∞- 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，得{2M x x =<-或}2x >，{}2N x x =≥，所以=N M ),2(+∞，选C ．考点：1、一元二次不等式的解法；2、对数不等式解法；3、集合的运算. 2．已知i 是虚数单位，则复数2)i1i 2(-的值为 （ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得，2212i i i-====--． 考点：复数的运算.3．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为（ ）A ．2B ．2±C ．－2或－3D ．2或－3 【答案】D 【解析】试题分析：该程序框图表示分段函数2,1f(x)1,1x x x x ⎧≥=⎨-<⎩，当4y =时，2x =或3-．考点：程序框图.4．实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ，则y x z -=的最大值是（ ）A ．－1B ．0C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数y x z -=变形为y x z =-，当z 取最大值时，直线y x z =-的纵截距最小，故将直线平移到点(3,0)B 时，z 取到最大值为3．考点：线性规划. 5．二项式102)2(x x +展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．45 D ．360【答案】A 【解析】试题分析：102)2(x x +展开式的通项为551021101022()2k k k k k kk T C C x x--+==，令5502k -=，得2k =，故常数项为22102180C =．考点：二项式定理.6．三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ ）A【答案】B【解析】2的等腰直角三角形，三棱锥21132V=⨯⨯=考点：三视图.7．已知双曲线)0,0(12222>>=-babyax的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为（）A．x2y±= B．xy2±= C．xy22±= D．xy21±=【答案】C【解析】试题分析：由已知得，22222232c a bea a+===，故ba=，所以双曲线的渐近线方程为xy22±=．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.8．等比数列}{na的前n项和为nS，若0323=+SS，则公比q=（）A．－2 B．2 C．3 D．－3【答案】A【解析】试题分析：由已知得，312123()0a a a a a++++=，所以312440a a a++=，1211440a a q a q++=，即侧视图正视图俯视图2440q q ++=，所以q =－2．考点：等比数列前n 项和与通项公式.9．点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC3=AD ，则该球的表面积为（ ）A ．π7B ．π14C ．27π D ．3147π【答案】B【解析】试题分析：以A 为顶点构造长方体，则该球为长方体的外接球，故2R =R =π14． 考点：外接球.10．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由已知得，lg 4x x =-，104x x =-，在同一坐标系中作出10xy =，lg y x=以及4y x =-的图象，其中10xy =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为（2，2），所以4a b +=， 2420()20x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，，，当0x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．考点：1、指数函数、对数函数的图象；2、分段函数.11．抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ， M 为抛物线C 上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则=p （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：设OFM ∆的外接圆圆心为P ，且半径为3，由已知得点P 到抛物线准线的距离等于PF ，故点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为4p ，由抛物线定义得，342p p+=，所以4p =考点：抛物线的标准方程和定义.12．已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴； ③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点． 其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：令3x =-，得(3)(3)(3)f f f =-+，又)(x f y =是偶函数，故0)3(=f ，①正确；因为(6)()f x f x +=，所以)(x f y =是周期为6的周期函数，因为0x =是一条对称轴，故6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴，②正确；函数)(x f y =在]6,9[--上的单调性与[3,0]-的单调性相同，因为函数在[0,3]单调递增，故在[3,0]-单调递减，③错误；)(x f y =在每个周期内有一个零点，区间[0,6),[6,12)[2004,2010)分别有一个零点，共有335个周期，在区间[2010,2014]内有一个零点为2013，故零点共有336个，④错误，综上所述，正确的命题为①②． 考点：周期函数的图象与性质.二、填空题13．已知b a ⊥，2=a ，3=b ，且b a 2+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 .【答案】92． 【解析】试题分析：由已知得，(2)()0a b a b λ+⋅-=，则有22(21)20a a b b λλ+-⋅-=，又因为b a ⊥，则0a b ⋅=，所以4180λ-=，92λ=．考点：平面向量的数量积运算.14．数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，)1(121≥+=+n S a n n ，则}{n a 的通项公式为 . 【答案】3n n a = 【解析】试题分析：当2n ≥时，121n n a S -=+，所以12n n n a a a +-=，13n n a a +=（2n ≥），且21213a S =+=，又11=a ，故213a a =，所以数列}{n a 是等比数列，故}{n a 的通项公式为3n n a =．考点：等比数列的定义及通项公式. 15．函数)432(31sin 232sin3)(2ππ≤≤-=x x x x f 的最小值是 .1 【解析】 试题分析：由已知得，21c o s 2223()3s i n23s i333x f x x x -=-=+-2s i n (x 36π=+-， 当324x ππ≤≤时，22x 2363πππ≤+≤2sin(x )136π≤+≤1． 考点：1、降幂公式；2三角函数的最值.16．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-+⋅⋅⋅+-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 . 【答案】7 【解析】试题分析：设等比数列公比为q ，由已知得311a q =，且1q >12121212111111()()()=()()n n n na a a a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-++-++…+=1111[1()](1)0111n n a q a qq q---≤--，化简得34n qq --≤，则34n -≤-，7n ≤．考点：等比数列前n 项和.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+. （1）求A ；（2）若35=a ，54cos =B ，求c . 【答案】（1）060=A ；（2）3+【解析】 试题分析：（1）观察已知式子结构，用面积公式展开，利用余弦定理变形得A bc A bc sin 21334cos 2⋅=，进而求A ；（2）结合第一问结论，此时三角形中知道两角一边，利用正弦定理求c ，关键是求sin C ，可利用三个内角的关系转化求得． 试题解析：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=4分 3tan =∴A 5分由A 是内角，∴060=A 6分 （2）由54cos =B 得53in =B s 7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π10分 由正弦定理得：343sin sin +==ACa c 12分考点：1、正弦定理和余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和的正弦公式.18．如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 面⊥，BC AD //， ︒=∠90BAD ，2,1,===⊥PA AD BC BD AC ，F E ,分别为AD PB ,的中点.（1）证明：EF AC ⊥；（2）求直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值.CD【答案】（1）详见解析 ；（2）15【解析】 试题分析：（1）要证明直线和直线与直线垂直，可以转化为证明直线和平面垂直，本题可以取线段AB 中点M ，连接EM ，易证明直线AC ⊥面EMF ，从而EF AC ⊥，或者可以建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，通过证明两条直线的方向向量,AC EF 垂直即可；（2）求直线和平面所成的角，通过建立空间直角坐标系，求平面PCD 的法向量和直线EF 方向向量所成角的余弦值，即所求角的正弦值． 试题解析：（1）易知AB ，AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(,0,1)2tE (0,1,0)F . 2分x从而(,1,1)2t EF =--，AC ＝(,1,0)t ，BD ＝(,2,0)t -．因为AC BD ⊥，所以AC ·BD ＝2200t -++=.解得t =t =． 4分于是EF＝（2-，1，－1），AC 1，0）． 因为AC ·EF ＝－1＋1＋0＝0，所以AC ⊥EF ，即AC EF⊥． 6分 （2）由（1）知，PC 1，-2），PD ＝（0，2，-2）． 设(,,)x y z =n 是平面PCD 的一个法向量，则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220.y z y z+-=-=⎪⎩令z =n ＝（1． 9分设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，EF 〉|＝|EF EF⋅⋅n n |＝15. 即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15. 12分 考点：1、直线与直线垂直；2、直线和平面所成的角.19．为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X 表示抽得甲班志愿者的人数，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）27；（2）分布列见解析，期望为1.2 【解析】试题分析：（1）分层抽样是按比例抽样，故首先确定抽样比为13，从而可确定从每个班抽取的人数分别为15，20，10，5，从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名共有2501225C =，其中来自同一个班级分为四种情况，共有215C +220C +210C +25C =350种，带入古典概型的概率公式计算；（2）首先确定随机变量X 的所有可能取值，并计算相应的概率，写成分布列求期望即可． 试题解析：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5 2分从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有2501225C =种，这两名志愿者来自同一班级的取法共有215C +220C +210C +25C =350. 5分∴721225350p ==. 6分 （2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10. X 的可能取值为0,1,2， 8分==)0(X P 203225210=C C ， 21)1(225110115===C C C X P ， 207)2(225215===C C X P .()317012 1.220220E X =⨯+⨯+⨯= 考点：1、古典概型；2、分布列和期望.20．已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>为半径的圆与直线0x y -=相切．B A 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于F E 、两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．【答案】（1）2214y x +=；（2）2. 【解析】试题分析：（1）确定椭圆方程需要两个独立条件，首先由c e a =＝2，得224a b =，其次利用直线和园相切的条件得1b =，从而可求24a =，进而求得椭圆方程；（2）解析几何中的最值问题，往往要通过选取变量，将目标函数用一个变量表示，进而转化为函数的最值问题处理，本题需要将AEBF 的面积表示出来，可以表示为AEF ∆和BEF ∆的面积之和，其中1212AEF S y y ∆=-，12122BEF S x x ∆=⨯-，将直线)0(>=k kx y 与椭圆联立，用根与系数的关系将面积用k 表示，进而求函数的最大值．试题解析：（1）由题意知：c e a =＝2∴222222c a b e a a -===34，∴224a b =. 2分又∵圆222x y b +=与直线0x y -=相切， ∴1b =，∴24a =， 3分故所求椭圆C 的方程为2214y x += 4分 （2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得：22(4)4k x +=， 故21x x =-=．① 5分又点E F ，到直线AB的距离分别为1h ==2h ==AB ==分所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12==分===≤ 11分 当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2. 12分 考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、函数的最值. 21．已知函数)1ln()1()(--=x x x f .（1）设函数)()1()(x f x a x g +--=在区间]1,2[2+e 上不单调，求实数a 的取值范围； （2）若Z k ∈，且0)2(1)(>---+x k x x f 对2>x 恒成立，求k 的最大值. 【答案】（1）)3,1(；（2）3. 【解析】试题分析：（1）函数()y g x =在区间]1,2[2+e 不单调，等价于函数的极值点是区间]1,2[2+e 的内点．故求)1ln(1)(-++-='x a x g ，令'()0g x =，得11a x e -=+，则12211a e e -<+<+，解不等式得实数a 的取值范围；（2）恒成立问题经常用到的方法是参变分离，转化为求确定函数的最值问题．本题参变分离为21)1ln()1(--+--<x x x x k ，记=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x ，利用导数确定函数的最小值，使得min [()]k u x <，从而可确定k 的最大整数值.试题解析：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<aa ∴的取值范围为)3,1(. 4分（2）由题知21)1ln()1(--+--<x x x x k 对2>x 恒成立. 5分令=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x 则=')(x u 2)2(3)1ln(--+--x x x令3)1ln()(-+--=x x x v 12111)(--=--='x x x x v 0)(2>'∴>x v x 即)(x v 在),2(+∞上递增 8分 又022ln 2)5(,013ln )4(>+-=<+-=v v)5,4(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),4(0x 上递减，在)5,(0x 上递增. 10分 2)1()1ln()1()()]([00000min --+--==∴x x x x x u x u)4,3(12)1()3)(1(00000∈-=--+--=x x x x x1)]([0min -=<x x u k又k Z k ∴∈,的最大值为3. 12分考点：1、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值、最值.22．如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、，若102==PB PA .（1）求证：AB AC 2=； （2）求DE AD ⋅的值. 【答案】（1）答案详见解析；（2）50. 【解析】试题分析：（1）将线段,AC AB 置于ABP ∆和CAP ∆中，利用已知条件可证明ABP ∆∽CAP ∆，故根据相似三角形对应边成比例得2==PBAPAB AC ，从而得证；（2）由圆的相交弦定理得AD DE CD DB ⋅=⋅，故只需计算CD DB ⋅即可，由三角形内角平分线定理2==DB CDAB AC ，结合切割线定理可分别计算,CD DB ，从而得解． 试题解析：（1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角 ∴ABP ∆∽CAP ∆ 2分 ∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= 4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC 6分 又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD 8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD 10分考点：1、三角形相似；2、圆的相交弦定理和切割线定理；3、圆的切割线定理. 23．已知直线l ：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围. 【答案】（1）656ππ或；（2）[]223,223+- 【解析】试题分析：（1）将直线l 的参数方程化为普通方程为0sin cos sin =+-αααy x ，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为05622=+-+x y x ，利用直线和圆相切的条件，列方程求α的值；（2）利用圆的参数设θθsin 2,cos 23=+=y x ，从而将y x +用角θ表示，转化为三角函数的取值范围问题．试题解析：（1）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x 即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆. 直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x 3分∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α 5分 ∵ α∈[0，π） ∴α=656ππ或 6分（2）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= 9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. 10分 考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程和参数方程.24．不等式选讲已知正实数b a 、满足：ab b a 222=+. （1）求ba 11+的最小值m ; （2）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得2)(mx f =成立，说明理由. 【答案】（1）2；（2）不存在 【解析】试题分析：（1）本题体现了基本不等式和与积转化的作用，先由222a b ab +≥，得1a ≤b ，而11a b +≥，从而建立起已知和结论之间的联系，进而求得b a 11+的最小值；（2）由绝对值三角不等式求得函数()f x 的最小值为2，故不存在实数x ，使得2)(mx f =成立． 试题解析：（1）∵ab b b 2a a 222≥+= 即ab ≥ab ∴1a ≤b 2分 又2ab211≥≥+b a 当且仅当b =a 时取等号 ∴m =2 5分 （2）2|1||1|||)(f ≥+≥++-=tt t x t x x 9分 ∴满足条件的实数x 不存在. 10分考点：1、基本不等式；2、绝对值三角不等式.。
山西省忻州一中2015届高三第一次四校联考数学(理) Word版含答案
山西省忻州一中2015届高三第一次四校联考数学试题（理）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集为R ，集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ，则=N MA ．[-2，2]B ．)2,(--∞C ．),2(+∞D ．),2(+∞- 2. 已知i 是虚数单位，则复数2)i1i 2(-的值为 A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为A ．2B ．2±C ．－2或－3D ．2或－34. 实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ，则y x z -=的最大值是A ．－1B ．0C ．3D ．4 5. 二项式102)2(x x +展开式中的常数项是 A ．180 B ．90C ．45D ．3606. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为A B C D7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为A ．x 2y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±= 8. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0323=+S S ，则公比q =A ．－2B ．2C ．3D ．－39. 点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC3=AD ,则该球的表面积为侧视图正视图俯视图A ．π7B ．π14C ．27πD ．3147π10. 若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，， 则关于x 的方程x x f =)(解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则=p A ．2 B ．4 C ．6 D ．812. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为A ．１B ．２C ．３D ．４二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知b a ⊥，2=a ，3=b ，且b a 2+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 ▲ .14. 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，)1(121≥+=+n S a n n ，则}{n a 的通项公式15)432(31sin 2322ππ≤≤-x x x 的最小值是 ▲ . 16．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-+⋅⋅⋅+-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 ▲ .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+. （1）求A ; （2）若35=a ，54cos =B ,求c . 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 面⊥,BC AD //，︒=∠90BAD ,2,1,===⊥PA AD BC BD AC ,F E ,分别为AD PB ,的中点.（1）证明：EF AC ⊥；（2）求直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值. 19. (本小题满分12分)为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率； （2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X 表示抽得甲班志愿者的人数，求X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．B A 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于F E 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值． 21. (本小题满分12分)已知函数)1ln()1()(--=x x x f .（1）设函数)()1()(x f x a x g +--=在区间]1,2[2+e 上不单调，求实数a 的取值范围； （2）若Z k ∈,且0)2(1)(>---+x k x x f 对2>x 恒成立，求k 的最大值.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、，若102==PB PA . （1）求证：AB AC 2=；PE22题图（2）求DE AD ⋅的值.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围. 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知正实数b a 、满足：ab b a 222=+. （1）求ba 11+的最小值m ; （2）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得2)(mx f =成立，说明理由.2015届高三年级第一次四校联考理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：CDDCA 6-10：BCABC 11-12：BB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 2914. n n a 3= 15. 13- 16. 7 三、解答题： 17 (本小题满分12分)解：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分由A 是内角，∴ 060=A ………6分 （2）由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………10分 由正弦定理得：343sin sin +==ACa c ………12分18 (本小题满分12分) 解：(1)易知AB,AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB,AD, AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(,0,1)2tE (0,1,0)F . ………2分从而(,1,1)2tEF =--,AC ＝(,1,0)t ，BD ＝(,2,0)t -．因为AC BD ⊥，所以AC ·BD ＝2200t -++=.解得t =或t =舍去)． ………4分于是EF ＝(1，－1)，AC ＝(2，1,0)．因为AC ·EF ＝－1＋1＋0＝0，所以AC ⊥EF ，即AC EF ⊥． ………6分(2)由(1)知，PC ＝,1,-2)，PD ＝(0，2,-2)． 设(,,)x y z =n 是平面PCD 的一个法向量，则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220.y z y z +-=-=⎪⎩令z =，则n ＝(1)． ………9分设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，EF 〉|＝|EFEF ⋅⋅n n |＝15.即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15. ………12分19. 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15,20,10,5…2分从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有2501225C =种，这两名志愿者来自同一班级的取法共有215C +220C +210C +25C =350. ………5分∴721225350p ==. ………6分 （2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10.X 的可能取值为0,1,2， ………8分==)0(X P 203225210=C C ， 21)1(225110115===C C C X P ， 207)2(225215===C C X P . ∴X 的分布列为：xy………11分………12分20.(1) 由题意知：c e a =3 ∴222222c a b e a a -===34，∴224a b =. ……2分 又∵圆222x y b +=与直线0x y -=相切， ∴1b =，∴24a =， ……3分故所求椭圆C 的方程为2214y x += ………4分（2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得：22(4)4k x +=，故21x x =-=．① ………5分又点E F ，到直线AB 的距离分别为1h2h= ………7分所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+21525(4)k =+=………9分===≤ ………11分 当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2. ………12分 21.解：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 ………1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<a a ∴的取值范围为)3,1(. ………4分（2）由题知21)1ln()1(--+--<x x x x k 对2>x 恒成立. ………5分令=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x 则=')(x u 2)2(3)1ln(--+--x x x令3)1ln()(-+--=x x x v 12111)(--=--='x x x x v 0)(2>'∴>x v x 即)(x v 在),2(+∞上递增 ………8分 又022ln 2)5(,013ln )4(>+-=<+-=v v )5,4(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),4(0x 上递减，在)5,(0x 上递增. ………10分2)1()1ln()1()()]([00000min --+--==∴x x x x x u x u)4,3(12)1()3)(1(00000∈-=--+--=x x x x x1)]([0min -=<x x u k又k Z k ∴∈,的最大值为3. ………12分22. 解：（1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ ………2分∴2==PBAP AB AC ∴AB AC 2= ………4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分 23. 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为(3,0)，半径为2的圆. 直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分（2）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24. 解：（1）∵ab b b 2a a 222≥+= 即ab ≥ab ∴1a ≤b ………2分 又2ab211≥≥+b a 当且仅当b =a 时取等号 ∴m =2 ………5分 （2）2|1||1|||)(f ≥+≥++-=tt t x t x x ………9分 ∴满足条件的实数x 不存在. ………10分。
山西省忻州第一中学等学校2014-2015学年高一上学期期中联考数学试题
注意事项：1．答题前，考生务必用蓝、黑色中性笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150+15分，考试时间120分钟。
一．选择题(共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集{},5,4,3,2,1=U ,{},2,1=M 则=M C U A ．{}3 B ．{}5,4 C ．{}5,4,3 D ．()5,4 2．下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是 A ．y ＝2x B ．y ＝(x )2 C ．y ＝33x D ．y ＝xx 23．函数f (x )＝x20081-的定义域是A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞） 4．函数y ＝lo g 2 x 的反函数和y ＝lo g 2x1的反函数的图象关于 A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．y ＝x 对称 D ．原点对称5．函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，则函数y ＝3a x -1在［0，1］上的最大值与最小值的差是A ．6B ．1C ．3D ．23 6．如图是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取21，2，-2，-21四值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为A ．2，21，－21，－2 B ．－2，－21，21，2 C ．－21，－2，2，21 D ．2，21，－2，－21 7．函数y=log 0.5(2x 2－2x+1)的递增区间为A ．),1(+∞B ．)43,(-∞ C ．),21(+∞ D ． )21,(-∞ 8．已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a A ．1 B ．2 C ．3 D ．-1 9．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数11．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(,0)(1,)-∞+∞12．已知⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)7(第6题)二．填空题(每空5分，共20分)13．函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a =14．已知01a a >≠且，函数()log 23a y x =-的图象恒过定点P ，若点P 在指数函数f(x)的图象上，则f(8)=__________15．已知函数f(x)= 4x 2-kx-8在[4,10]上具有单调性，实数k 的取值范围是_________ 16．已知函数3()1x f x x +=+，记m f f f f f =++++)16()8()4()2()1(， n f f f f =+++)161()81()41()21(，则m n += 三．解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，并把解答写在试卷的相应位置上) 17．（本题满分10分）已知集合{}|28A x x =≤≤，{}|16B x x =<<，{}|C x x a =>，U =R ． （1）求B A C U ⋂)(；（2）如果A C ⋂≠∅，求a 的取值范围． 18．（本题满分12分）（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+；（2）7log 23log lg 25lg 47+++． 19．（本题满分12分）设集合A={x|(x －3)(x －a)=0，a ∈R}，B={x|(x －4)(x －1)=0}，求A ∪B ；A∩B ． 20．（本题满分12分） 已知函数()log ax bf x x b+=-(01,0)a a b >≠>且． （1）求()f x 的定义域； （2）讨论()f x 的奇偶性．21．（本题满分12分）如图，已知底角为45o 的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为cm 22，当一条垂直于底边BC （垂足为F,不与B,C 重合）的直线L 从左至右移动时，直线L 把梯形分成两部分，令BF ＝x,左边部分的面积y ． （1）写出函数y= f(x)的解析式； （2）求出y= f(x)的定义域，值域．22．（本题满分12分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数a,b 为实数． （1）当a>0,b>0时，判断并证明函数()f x 的单调性；（2）当ab<0时，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围． 23．附加题（本题满分15分）已知3)31(2)91()(+-=xxa x f ，[]1,1-∈x（1）若f(x)的最小值记为h(a ），求h(a)的解析式．（2）是否存在实数m,n 同时满足以下条件：①33log log 1m n >>；②当h （a ）的定义域为[n,m]时，值域为[n 2,m 2]；若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由．高一第一学期期中联考数学参考答案一．选择题(每小题5分，共60分)二．填空题(每空5分，共20分)13．4=a 14． 4 15． k≥80或k≤32 16．18三．解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，并把解答写在试卷的相应位置上) 17．（本题满分10分）解：（1）U C A={x|x<2或x>8} …………………………………………3分B AC U ⋂)(={x|1<x<2} .…………………………………………6分（2）A C ⋂≠∅,8a ∴< .………………………………………10分18．（本题满分12分） 解：（1）原式=21)49(-1-32)827(-+2)23(-2132232333()1()()222-⨯⨯-=--+ ………3分223331()()222--=--+ 12= ……………………………………6分（2）原式3433log lg(254)23=+⨯+ …………………………………9分=4133log -+210lg +21152244=-++= …………………………………………12分 19．（本题满分12分）解：B={1,4} ……………1分 1）当a=3时，A={3},A ∪B={1，3，4}；A∩B=φ ………4分 2）当a=1时，A={1,3},A ∪B={1，3，4}；A∩B={1} .……7分 3）当a=4时，A={3,4},A ∪B={1，3，4}； A∩B={4} ……10分 4）当a≠1,3,4时. A={3,a},A ∪B={1，3，4，a}; A∩B=φ ……12分21．（本题满分12分） 解：过点D A ,分别作BC AG ⊥，BC DH ⊥，垂足分别是G ，H。
山西省忻州一中2015届高三数学上学期1月月考试题 理
忻州一中2014－2015学年高三月考题高三数学（理科）注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合2{|10}M x x =-≤,11{|24,}2x N x x Z +=<<∈,则M N =A ．}1{B ．}1,0,1{-C ．}0,1{-D ．∅2.若i z )54(cos 53sin -+-=θθ是纯虚数，则)4tan(πθ-的值为 A ．7 B ．71- C. 7- D.7-或17-3. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A.283π-B.83π-C.82π-D.23π4. 已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离53（其中c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为 A. 52B.32 352 D.525.某学校推荐甲、乙、丙、丁4名同学参加A 、B 、C 三所大学的自主招生考试。
每名同学只推荐一所大学，每所大学至少推荐一名.则不推荐甲同学到A 大学的推荐方案有A.24种B.48种C.54种D.60种 6.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是21212+22n≤2014输出sn=n+1否是n=1,s=0结束4sin πn s s+=开始7.设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=取值范围是A ．1[,2]2B ．3[1,]2C ．3[,3]2D ． [1,3] 8. 设O 为ABC ∆的外心，且0=++OB OA ，则ABC ∆的内角C =A.6πB.4πC.3πD.2π9.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF|＝A ．52B ．2C ．32D ．1 10.已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值A ．随着k 的增大而减小B ．有时随着k 的增大而增大,有时随着k 的增大而减小C ．随着k 的增大而增大D ．是一个与k 无关的常数11.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A.45πB.34πC.(6π-D.54π12．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时， ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩则关于x 的函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为 A ．1-2aB ．21a -C ．12a--D ．21a--二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．若等比数列{ n a }的首项为23，且441(12)a x dx =+⎰，则公比等于 ▲ .14．设443322104111121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x a x a x a a x ，则42a a +的值是 ▲ .15．在△ABC 中，A 满足条件3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2cm ，BC ＝23cm ，则A ＝ ▲ ，△ABC 的面积等于 ▲ cm 2.16.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x =；②()sin f x x =；③()f x =ln ()xf x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 ▲ . (写出所有正确的序号)三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. (本小题满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）. 19. (本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值.20. (本小题满分12分）给定椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C的“准圆”. 若椭圆C 的一个焦点为)0,2(F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和其“准圆”方程；A 1C 1B 1C BA（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线21,l l ，使得21,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线21,l l 的方程. 21. (本小题满分12分)已知函数)0(21)(,ln )(2≠+==a bx ax x g x x f (Ⅰ)若2-=a 时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数)(],2ln ,0[,)(2x x be ex x xϕϕ求函数∈+=的最小值.请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. （本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上， ∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D. （Ⅰ）证明：DB=DC ； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE 交AB 于点F ， 求△BCF 外接圆的半径.23. （本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .24. （本题满分10分）选修4－5:不等式选讲对于任意的实数a (0≠a )和b ,不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立,记实数M 的最大值是m .（Ⅰ）求m 的值;（Ⅱ）解不等式m x x ≤-+-|2||1|.学校 姓名 准考证号忻州一中2014－2015学年月考题高三数学答案（理科）一、选择题C22图二、 填空题13. 3 14. 40 15．2π33 16. ①③④三．解答题17. (本小题满分12分)【解】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1……4分 （2）b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.……6分 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.……8分当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.…10分 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1……12分18. (本小题满分12分)【解】用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，A k 表示第K 局甲获胜，B k 表示第k 局乙获胜”.2()3k P A =，1(),1,2,3,4,53k P B k ==. （1）121231234()()()()P A P A A P B A A P A B A A =++121231234()()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++ 2222122125633333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……4分（2）X 的可能取值为2,3,4,5.121212125(2)()()()()()()9P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=. 1231231231232(3)()()()()()()()()9P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=123412341234123410(4)()()()()()()()()()()81P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==.……9分 故X 的分布列为X2 345P59 29 1081 881……10分所以E ξ=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481……12分考点：相互独立事件的概率，互斥事件有一个发生的概率求解，期望的求解 19. (本小题满分12分)【解】（I ）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC∩平面AA 1C 1C=AC ，∴AA 1⊥平面ABC ．……4分（II ）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC 2+AB 2=BC 2，∴AB⊥AC．……5分取A 为坐标原点，分别以AC →，AB →,AA 1→为x,y,z 轴方向，建立空间直角坐标系，……6分则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4）， ∴，，．设平面A 1BC 1的法向量为，平面B 1BC 1的法向量为=（x 2，y 2，z 2）．则，令y 1=4，解得x 1=0，z 1=3，． (8)分，令x 2=3，解得y 2=4，z 2=0，∴……9分===．……11分∴二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为．……12分20. （本小题满分12分） 【解】（Ⅰ）椭圆C 中，1,3,2=∴==b ac ，离心率 e=c a =63……3分 22b a +=2∴ 准圆方程为422=+y x . ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆方程C 的方程为1322=+y x ，因为准圆422=+y x 与y 轴正半轴的交点为)2,0(P ，……6分设过点)2,0(P 且与椭圆有一个公共点的直线存在斜率设为2+=kx y ，……7分所以由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13222y x kx y 消去y ，0912)31(22=+++kx x k . ……8分 因为椭圆与2+=kx y 只有一个公共点，所以0)31(9414422=+⨯-=∆k k ，……9分解得1±=k .……10分所以21,l l 方程为2,2+-=+=x y x y .……12分 21. (本小题满分12分)【解】（1）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=∵),0()(+∞在x h 上是增函数，∴),0(021)(+∞∈≥-+=x b x x x h 对恒成立，……………………2分 ∴.21x x b +≤∵.2221,0≥+>x xx 则 ∴b 的取值范围为].22,(-∞……6分（2）设]2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为，即22()24b b y t =+- ,[1,2]t ∈…7分∴当]2,1[,222,12在函数时即y b b≤≤-≤-上为增函数，当t=1时，.1min +=b y …9分 当,2,24,221时当时即bt b b -=-<<-<-<;42min b y -=…………10分当2,4,[1,2]2bb y -≥≤-即时函数在上为减函数，当t=2时，min 42.y b =+………11分 综上所述，当.1)(,222+≤≤-b x b 的最小值为时ϕ当.2)(,242b x b --<<-的最小值为时ϕb x b 24)(,4+-≤的最小值为时当ϕ…………12分请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选考题22. （本题满分10分）选修4-1几何证明选讲(Ⅰ)证明：连结DE,交BC 与点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE, ∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,又∵DB⊥BE,∴DE 是直径,∠DCE=090,由勾股定理可得DB=DC. ……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG 是BC.设DE 中点为O,连结BO,则∠BOG=o60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=o30,∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF 的外接圆半径等于21.……10分23. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 （Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=， 即曲线C 的直角坐标方程为28y x =．……………… (5分)（Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．所以1232||||3AB t t =-==．………………(10分) 24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 （Ⅰ）不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立,即||||||a b a b a M -++≤对于任意的实数a (0≠a )和b 恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++,当且仅当0))((≥+-b a b a 时等号成立,即||||b a ≥时,2||||||≥-++a b a b a 成立,||||||a b a b a -++的最小值是2. 2≤∴M M ∴的最大值为2…………………………………… 5分（Ⅱ）解法1:利用绝对值的意义得:2521≤≤x 解法2:当1<x 时,原不等式化为2)2()1(≤----x x ,21≥x ,解得121<≤x .当21≤≤x 时,原不等式化为2)2()1(≤---x x , 解得21≤≤x .当2>x 时,原不等式化为2)2()1(≤-+-x x ,解得25≤x , 所以x 的取值范围是252≤<x .综上所述: x 的取值范围是2521≤≤x .……10分C。
山西省忻州一中2015届高三数学上学期期中试题 理
xy OAC y x =2y x =(1,1)B山西省忻州一中2015届高三数学上学期期中试题 理一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集U=R ，集合A={x ︱y=log 2(-x 2+2x)}，B={y ︱y≥1}，则A∩(C U B)（ ） A ．｛x ︱0<x<1｝ B ．｛x ︱x<0｝ C ．｛x ︱x>2｝ D ．｛x ︱1<x<2｝2．在复平面内，复数z 满足(1)13z i i +=+，则z 的共轭复数．．．．对应的点位于 （ ） A ．第一象限 Ｂ．第二象限 C ．第三象限 Ｄ．第四象限3．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f(2-x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是( )A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,2)-D ．(2,1)-4．在∆ABC 中，“AB →·BC →>0”是“∆ABC 是钝角三角形”的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 则该几何体的体积是 ( ) A ．108cm 3B ．92cm 3C ．84cm 3D ．100 cm 36．已知锐角α,β满足：sin α-cos α= 16,tan α+tan β+ 3 tan α·tan β=3，则α,β的大小关系是 （ ）A ．α<βB ．α>βC ．π4<α<βD ．π4<β<α7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M(x,y)，则点M 取自阴影部分的概率为( )A ．12 B ．13 C ．14 D ．16部分图8．如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -= ( )A ．-1B ．3-C ．3D ．1OB9．已知f(x)= 2x-b(x-1)2无极值，则b 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是 ( )A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞11．已知f(x)=x 2-2x,g(x)=ax+2(a>0)，对10[1,2],[1,2],x x ∀∈-∃∈-g(x 1)=f(x 0)，则a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,]2 B ．1[,3]2C ．[3,)+∞D ．(0,3]12．设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f '(x)，且有2f(x)+xf '(x)>x 2，则不等式(x+2014)2f(x+2014)-4f(-2)>0的解集为 ( )A ．(-∞,-2012)B ．(-2012,0)C ．(-∞,-2016)D ．(-2016,0)二、填空题（每小题5分，共20分）13．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为x 1,x 2,…x n ，则左图所示的程序框图输出的s 表示的样本的数字特征是 .14．已知变量x ，y 满足24010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则y x 的最大值是 . 15．若数列{}n a 满足111(,)n nd n N d a a *--=∈为常数，则称数列{}n a 为调和数列。
山西省忻州第一中学等学校2014-2015学年高二上学期期中联考数学(理)试题
注意事项:1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{0,2,a }，B ＝{1,a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则实数a 的值为 A ．0B ．1C ．2D ．42．若一条直线的倾斜角的正弦值为32，则此直线的斜率为 A ．3 B ．±3 C ．33D ．±33 3．函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,ln 1,0,2)(2x x x x x x f 的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．04．给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行； （3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行. 其中正确命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则实数m 的值为A ．0B ．8-C ．2D ．106．圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上的点到点(－2,－2)的最小距离为A ．9B ．7C ．5D ．3 7．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠B 1A 1C 1＝90°，BC 1⊥AC ，则顶点C 1在底面ABC 上的射影H 必在 A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部8．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为A ．5B ．4C ．2D ．1正视图侧视图俯视图9．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是10．右面程序框图的输出结果为6，那么判断框①表示的“条件”应该是A．i＞7? B．i＞6?C．i＞5?D．i＞4?11．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线段长的最小值为A．1 B．2 2 C.7 D．312．如右图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．4:3二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13．将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，则所得到的直线方程为 ① ．14．若某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则该几何体的表面积为 ① 2cm ． 15．三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，∠ACB ＝90°，且P A ＝AC ，则二面角P ―BC ―A的大小为 ① ．16．如图，在三棱锥P ABC -中， PA 、PB 、PC 两两垂直，且321PA PB PC ===，，．设M 是∆ABC 内一点．定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别 是三棱锥M PAB -、 M PBC -、M PCA -的体积． 若1()(,,)2f M x y =，且18ax y+≥恒成立，则正实数a 的最小值为 ① ．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．(本题满分10分)在∆ABC 中，角A 为锐角，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量)sin ,(cos ),sin ,(cos A A n A A m -==，且n m ⋅＝12．(1)求角A 的大小；(2)若a c ==∆ABC 的面积S ． 18．(本题满分12分)已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥042,0,0y x y x 恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程；(2)若斜率为3的直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，满足CA ⊥CB (C 为圆心)，求直线l 的方程．20．(本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列． (1)设b n ＝a n －2，证明：数列{b n }为等比数列； (2)求数列{nb n }的前n 项和．21．(本题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13,14),第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好， 求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； (2)设m ,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“|m －n |＞1”的概率．22．(本题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，以C (1,-2)为圆心的圆与直线10x y +++=相切．(1)求圆C 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由．四．附加题(共2个小题，满分15分)23．(本题满分5分)如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA ',CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与 棱BB ',DD '交于M ，N ，求四棱锥C '-MENF 的体积．24．(本题满分10分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)当直线l 与圆C 相交时，求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时直线l 的方程．高二数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)DBAAB DACBC CA二．填空题(每小题5分，共20分)13．x ＋3y ＝014．7π 15．4516．1三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．解：(1)∵n m ⋅＝cos2A ，∴cos2A ＝12．π0,02π,2A A <<<<ππ2,.36A A ∴==……5分(2)7,a c ==,π,6A =及2222cos a b c bc A =+-,2733b b ∴=+-, 即1b =-(舍去)或 4.b =故S ＝12bc sin A ＝3． ·· ……10分18．解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.……6分(2)设直线l 的方程是y ＝3x ＋m ．因为CA ⊥CB ，所以圆心C 到直线l 的距离是102， 即|6－1＋m |10＝102，解得m ＝0或m ＝－10．.所以直线l 的方程为y ＝3x 或y ＝3x －10．……12分19．(1)证明：设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，∵AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ， ∴H 为AC 的中点．又由题设，E 为PC 的中点，故EH ∥P A . 又EH ⊆平面BDE ，且P A ⊄平面BDE ， ∴P A ∥平面BDE ．……6分(2)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊆平面ABCD ，∴PD ⊥AC ． 由(1)可得，DB ⊥AC ．又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD ．……12分20．(1)证明：∵数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列，由题意得a 1－2＝－1，∴(a n ＋1＋S n ＋1)－(a n ＋S n )＝2，即a n ＋1＝a n ＋22．又∵a n ＋1－2a n －2＝a n ＋22－2a n －2＝12，∴{b n }是首项为－1，公比为12的等比数列．……6分(2)解：由(2)得b n ＝－(12)n -1，∴nb n ＝－n ·(12)n -1，设T n ＝1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n -1， ①∴12T n ＝12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ， ② ①－②得12T n ＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n -1－n ·(12)n ，∴12T n ＝1－(12)n1－12－n ·(12)n ，∴T n ＝4－(n ＋2)·(12)n -1， ∴数列{nb n }的前n 项和为(n ＋2)·(12)n -1－4．……12分22．解：(1)设圆的方程为222()()x a y b R -+-=，依题意得，所求圆的半径||3R ==,∴所求的圆方程是22(1)(2)9x y -++=． ……4分(2)设存在满足题意的直线，设此直线方程为y x m =+，设直线与圆C 相交于A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由OA ⊥OB ，即121212121,1,0OA OB y y k k x x y y x x ⋅=-∴⋅=-∴+=． ……7分由22(1)(2)92440y x my x m x y x y x y =+=+⎧⎧⎨⎨-++=+-+-=⎩⎩即消去y 得2222(1)440x m x m m ++++-=，所以2121244(1),2m m x x m x x +-+=-+=．……9分12121122212121212220;,()()0;2()044(1)0.+==+=+∴+++=+++=∴+--++=x x y y y x m y x m x x x m x m x x m x x m m m m m m ，即， 解得124,1m m =-=．经检验m 1＝－4，m 2＝1使＞0，都符合题意， ∴存在满足题意的直线为y ＝x －4或y ＝x ＋1．……12分四．附加题(本大题共2小题，共15分)23．解：V ＝2V C '-MNF ＝2V N -MFC '＝2×13S ∆MFC '×1＝23×12×12＝16．……5分24．解：(1)∵直线l 过定点P (3,1)，且P 与圆心C (1,2)的距离|PC |＝5<5,∴直线l 一定过圆内定点P ，∴直线l 与圆C 一定相交．……5分(2)由平面几何知识可知，当直线l 过定点P 且与PC 垂直时，直线l 被圆C 所截得的弦长最短，而k PC ＝－12，∴此时直线l 的方程为y －1＝2(x －3)．故弦长最短时，直线l 的方程为2x －y －5＝0． 最短弦长为d ＝2255＝45．……10分说明：各题如有其它解法可参照给分．高二数学(理科)双向细目表说明：1．第1题是课本必修1习题改编．2．第2题是课本必修2习题改编．3．第4题是课本必修2习题改编．4. 第8题是课本必修2习题改编．5．第17题是课本必修4复习题改编．6. 第24题是课本必修2习题改编．。
山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学理试题
2015届高三年级第四次四校联考数学试题（理）命题：忻州一中临汾一中康杰中学长治二中（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集,UR 集合},12161|{Z x x A x，},0)1)(3(|{Z xx x x B ，则()U C B AA .}4,32,10{，，B .}32,1{，C .}2,10{， D. }2,1{2. 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i (i 为虚数单位)，则实数a 的值为A .3B . 3C .13D.133. 已知双曲线12222ax y过点)2,1(，则该双曲线的渐近线方程为A.xy 225 B.x y C.xy2 D.xy224. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A.1B.2C.3D.45. 把函数)2|(|)2sin()(x x f 的图象向左平移6个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3(对称，则)2(f 23A.21 B.21 C.D.236. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是A.61 B.21 C.32 D.657. 在三棱锥ABC S中，ABC 是边长为1的正三角形，SC面ABC ,2SC,则三棱锥ABC S 外接球的表面积为A. 6B.316 C.940 D.38试题类型： A8. 已知)4,0(),0,2(，22tan1tan2sin21，则有A. 22B. 22C. 22D. 229. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是A. 5 B. 6C.7D.2210. 设椭圆)0(12222ba by ax 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P 满足，设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN =16，则椭圆的方程为A. 110814422yxB. 17510022yxC.1273622y x D.1121622y x 11. 已知定义在),0[上的函数)(x f 满足)2(2)(xf x f ，当)2,0[x时，x xx f 42)(2，设)(x f 在)2,22[n n上的最大值为)(*N na n ,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A.1212n B. 2214n C. n212D. 1214n 12. 设函数xex x g x x x f )(,ln )(2，若存在],[21e e x ,]2,1[2x ,使得)()()2(1223x kf x g ke 成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是A . 2k B . 2k C .2863eekD.28063e ek第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.6211xxx 的展开式中4x 的系数是.14. 已知实数x ，y 满足003042yx y x y x，则目标函数x y z 23的最大值为.15. 已知，且4,3,0BC ABBCAB M 为线段BC 上一点，且),(||||R AC AC AB AB AM , 则的最大值为.16. 在ABC 中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a )5cos 72(A b ，则C cos 的最小值为.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差22cos xdx d，562224aa；等比数列}{n b 满足：11b ，512642b b b ，*N n（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令为偶数为奇数n b n S c n nn,,2，求n c c c c 2321.18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C 中，侧棱1AA 平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC，且1,,ABAA E F 分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F 的余弦值.19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：日产量400 500 批发价8 10 概率0.40.6概率0.50.5（1）设随机变量X 表示生产这种零件的日利润，求X 的分布列及期望；（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率.(注：以上计算所得概率值用小数表示)20. (本题满分12分)已知抛物线)0(2:2p px yC ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设,,21GD PGFD PF试问21是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.FEC 1B 1A 1CBA21. (本题满分12分)已知函数11ln )(xa axx x f （1）当41a时，求函数()y f x 的极值；（2）当)1,31（a 时，若对任意实数[2,3]b，当(0,]xb 时，函数()f x 的最小值为()f b ，求实数a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC 的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED .（2）若AC=AP ,求PC PA的值.23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sincos 2为参数yx ，直线l 的参数方程为)(54453为参数t t yt x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲DEPCBAO已知关于x 的不等式|2|1m x 的解集是[0,4]（1）求m 的值；（2）若,a b 均为正实数，且a bm ，求22a b 的最小值.2015届高三年级第四次四校联考数学试题答案（理）A 卷一、选择题1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA二、填空题:13．-2014．915．415 16．2117．解：（1）公差2cos 22xdx d，5622))((324242224da a a a a aa73a ………2分∴721d a ∴31a ∴12)1(23n n a n………4分设等比数列}{n b 的公比为q∵51234642bb b b ∴84b 即1b 83q ∴2q 即1112n n nqb b ………6分（2）由12,31n a a n得：)2(n n S n∴为偶数，为奇数n 2,)2(21n n n n n c 即为偶数，为奇数n 2,21n 11n n n n c ………8分∴n c c c c 2321=)()(2421231n n c c c c c c ………10分=)222()]121121()5131()311[(123n n n =)14(3212241)41(21211nnnn n ………12分18.（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 的中点，∴AFBC .又三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，∴面ABC 面11BBC C ，∴AF 面11BB C C ，1AFB F .……… 2分设11ABAA ，则11633,,222B FEFB E.∴22211B F EF B E ，∴1B F EF .………4分又AFEFF ，∴1B F平面AEF .………6分（2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11ABAA ，则12221(0,0,0),(,0,0),(0,,1),(0,,)2222F A B E ，221(,,)222AE ，122(,,1)22AB .………8分由（Ⅰ）知，1B F平面AEF ，∴可取平面AEF 的法向量12(0,,1)2mFB .设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z ，由12210,0,220,2220222220,22x y z n AE x y z n AB xyzxyz∴可取(3,1,22)n .………10分设锐二面角1B AE F 的大小为，则222222203(1)12262cos |cos ,|6||||20()13(1)(22)2m n m n m n .zyxA BCA 1B 1C 1EF∴所求锐二面角1B AE F 的余弦值为66. ………12分19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200随机变量X 可以取：4000,3000.，2200 ………1分P(X=4000)=0.6×0.5=0.3P(X=2200)=0.4×0.5=0.2P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分∴X 的分布列为:EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140………6分(2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8∴Y ～)8.0,3(B ………8分∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分至少有2天利润不少于3000的概率为：896.02.08.08.0223333CCP………12分20.解：（1）由已知:直线m 的方程为1xy，代入pxy22得：1)1(22x p x设),(),,(2211y x B y x A ，则),2(121p x x 23|AB |21p px x 且线段AB 的中点为),1(p p ，………3分由已知222)223(17p p ）（）（，解得2p或514p（舍去）所以抛物线C 的方程为：xy 42………6分（2）设直线l ：y=kx+2(k0)，则)0,2(kD ，与.42x y联立得4)1(422x k xk 由0得21k ,设),(),,(4433y x G y x F 则24322434,4-4kx x kkx x ………8分);,2()2,();,2()2,(442442331331y x ky x GD PGy x k y x FD PF 所以2,2244233331kx kx kx kx x kx ………10分则4(2)(22224343243432443321）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx X 4000 3000 2200 P0.30.50.2将24322434,4-4k x x kk x x 代入上式得.121即21为定值1………12分21.解：（1）由已知14341ln )(xxx x f ，则224)3)(1(43411)('xxx x x x f ………1分所以当)1,0(x 和),3(x 时，)(,0)('x f x f 单调递减；当），,10(x 时，)(,0)('x f x f 单调递增；………2分所以当1x 时，)(x f 有极小值为23，当3x时，)(x f 有极大值为213ln . ………4分（2）由已知22)1)(1(11)('xaa xx a x a axx f .①当)21,31（a 时，11210aa aa，于是(0,1)x 和1(,)a xa时，'()0,()f x f x 单调递减；1(1,)a xa时，'()0,()f x f x 单调递增；又因为21aa ，要对任意实数[2,3]b，当(0,]x b 时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ，即a aa2212122ln ，解得2ln 21a，因为12ln 212所以12ln 21;2a………7分②当12a时，11a a，221(1)2'()x f x x，在(0,)x 上，恒有'()0f x ，且仅有'(1)0f ，故()f x 在(0,)上单调递减.显然成立.………8分③当112a 时，11120,10a a a aa a，于是1(0,)a x a和(1,)x 时，'()0,()f x f x 单调递减；1(,1)a x a时，'()0,()f x f x 单调递增；要对任意实数[2,3]b ，当(0,]x b 时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()a f f a，即11ln(1)12ln 420;a a a a aaaa……10分令11()ln42,(,1)2a g a a aa，21(21)'()40(1)(1)a g a a a a a ，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1()()02g a g ，所以此时1(,1)2a综上所述：)1,12ln 2[a ………12分22．解：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C ，………2分又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, ∴∠ADE=∠AED ．………5分(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA, ∴△APC ∽△BPA, ∴PC CA PAAB, ………7分∵AC=AP, ∴∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC=90°, ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°．在Rt △ABC 中，CA AB=3, ∴PC CA PAAB=3．………10分23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为1422y x………2分直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为012sin 3cos 4………5分(2)01234),sin ,cos2(y x l P 为直线设则512)cos(73512sin 3cos8d 所以最大值为57312，最小值为57312。
2014-2015年山西省忻州市原平一中高一上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年山西省忻州市原平一中高一（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）420°是第几象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）化成角度是（）A．30°B．60°C．120° D．45°3．（5分）tan135°的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）sin（π﹣α）等于（）A．sinα B．cosαC．﹣sinαD．﹣cosα5．（5分）下列公式中，错误的是（）A．sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβB．sin2α=2sinαcosαC．D．cos（α+β）=cosα+cosβ6．（5分）把y=sinx的图象向右平移个单位，所得图象表示函数（）A．B．C．D．7．（5分）已知A（2，2），B（1，3），C（7，k），若∠CAB=90°，那么k的值是（）A．6 B．8 C．7 D．9B8．（5分）若=（2，3），=（﹣1，2），且与平行，则m=（）A．B．C．2 D．﹣29．（5分）已知，f（x）=．则f（x）的最小正周期是（）A．B．2πC．πD．10．（5分）向量=（cos17°，sin17°），=（cos137°，sin137°），则向量与的夹角是（）A．60°B．120°C．150° D．30°11．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线12．（5分）已知，的夹角为120°，则在上的投影为（）A．﹣B．C．2 D．﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）cos250°与0的大小关系是．14．（5分）sin72°cos18°+cos72°sin18°的值是．15．（5分）某人从三角形的内角中随机选取一个角α，当sinα＜0.5时，他就外出旅游，则他外出旅游的概率是．16．（5分）对于右侧的程序，当输入的x值为450°时所输出的数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知tanα=2．求下列式子的值：（1）；（2）3sin2α﹣2cos2α﹣1．18．（12分）已知，β是第四象限的角，求（1）sin（α+β）；（2）tan（α﹣β）．19．（12分）已知．计算（1）；（2）的模（3）．20．（12分）已知下列各式的值都等于同一个常数a，sin230°+cos260°+sin30°cos60°，sin220°+cos250°+sin20°cos50°，sin215°+cos245°+sin15°cos45°，（1）求a的值；（2）分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式（3）证明你的结论．21．（12分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，且，，求向量，的夹角．22．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是的DC中点，且，用表示下列向量．（1）；（2）；（3）．2014-2015学年山西省忻州市原平一中高一（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）420°是第几象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：420°=60°+360°则420°角与60°角的终边相同，即是第一象限角．故选：A．2．（5分）化成角度是（）A．30°B．60°C．120° D．45°【解答】解：×=60°，故选：B．3．（5分）tan135°的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：tan135°=tan（180°﹣45°）=﹣tan45°=﹣1．故选：B．4．（5分）sin（π﹣α）等于（）A．sinα B．cosαC．﹣sinαD．﹣cosα【解答】解：利用诱导公式可得sin（π﹣α）=sinα，故选：A．5．（5分）下列公式中，错误的是（）A．sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβB．sin2α=2sinαcosαC．D．cos（α+β）=cosα+c osβ【解答】解：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，故A正确；sin2α=2sinαcosα，故B正确；tan（α﹣β）=，故C正确；cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故D错误．故选：D．6．（5分）把y=sinx的图象向右平移个单位，所得图象表示函数（）A．B．C．D．【解答】解：y=sinx的图象向右平移个单位，所得图象关系式为：y=sin（x﹣）．故选：B．7．（5分）已知A（2，2），B（1，3），C（7，k），若∠CAB=90°，那么k的值是（）A．6 B．8 C．7 D．9B【解答】解：∵A（2，2），B（1，3），C（7，k），∴=（1，﹣1），=（5，k﹣2）∵∠CAB=90°，即⊥∴•=0即5+2﹣k=0解得k=7，故选：C．8．（5分）若=（2，3），=（﹣1，2），且与平行，则m=（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：因为=（2，3），=（﹣1，2），所以=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2）=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1），又与平行，所以﹣（2m﹣1）=4（3m+2），解得m=﹣，故选：A．9．（5分）已知，f（x）=．则f（x）的最小正周期是（）A．B．2πC．πD．【解答】解：∵向量，f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=cosxsinx﹣cos2x=sin2x ﹣cos2x=cos sin2x﹣sin cos2x=sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期为T===π，即函数f（x）的最小正周期为π．故选：D．10．（5分）向量=（cos17°，sin17°），=（cos137°，sin137°），则向量与的夹角是（）A．60°B．120°C．150° D．30°【解答】解：∵=（cos17°，sin17°），=（cos137°，sin137°），∴•=cos17°cos137°+sin17°sin137°=cos120°=﹣；又∵||=||=1，∴cos＜，＞==﹣；∴与的夹角是120°．故选：B．11．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【解答】解：=（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选：A．12．（5分）已知，的夹角为120°，则在上的投影为（）A．﹣B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵的夹角为120°，且，∴在上的投影为：||cos120°=4•（﹣）=﹣2故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）cos250°与0的大小关系是cos250°＜0．【解答】解：250°是第三象限角，所以cos250°＜0．故答案为：cos250°＜0．14．（5分）sin72°cos18°+cos72°sin18°的值是1．【解答】解：sin72°cos18°+cos72°sin18°=sin90°=1．故答案为：1．15．（5分）某人从三角形的内角中随机选取一个角α，当sinα＜0.5时，他就外出旅游，则他外出旅游的概率是．【解答】解：求解三角不等式sinα＜0.5可得：或，结合长度型几何概型计算公式可得：他外出旅游的概率是．故答案为：．16．（5分）对于右侧的程序，当输入的x值为450°时所输出的数是0．【解答】解：当输入的x值为450°时，满足进行循环的条件，则x=360°；当x=360°时，满足进行循环的条件，则x=270°；当x=270°时，满足进行循环的条件，则x=180°；当x=180°时，满足进行循环的条件，则x=90°；当x=90°时，不满足进行循环的条件，则输出cos90°=0；故答案为：0．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知tanα=2．求下列式子的值：（1）；（2）3sin2α﹣2cos2α﹣1．【解答】解：∵tanα=2，∴（1）==﹣；（2）3sin2α﹣2cos2α﹣1=﹣1=﹣1=2﹣1=1．18．（12分）已知，β是第四象限的角，求（1）sin（α+β）；（2）tan（α﹣β）．【解答】解：由，得cosα=﹣=﹣，tanα==﹣，同样由，β是第四象限的角，得，tanβ=﹣，（1）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=；（2）tan（α﹣β）===﹣．．19．（12分）已知．计算（1）；（2）的模（3）．【解答】解：根据题意，（1）=3（1，1）﹣2（﹣2，3）=（7，﹣3）；（2），；（3），，．20．（12分）已知下列各式的值都等于同一个常数a，sin230°+cos260°+sin30°cos60°，sin220°+cos250°+sin20°cos50°，sin215°+cos245°+sin15°cos45°，（1）求a的值；（2）分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式（3）证明你的结论．【解答】解：（1）a=sin230°+cos260°+sin30°cos60°=（4分）（2）由此猜想：（8分）证明：（3）sin2α+cos2（30°+α）+sinαcos（30°+α）（12分）21．（12分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，且，，求向量，的夹角．【解答】解：如图，在直角坐标系中，作由，是夹角为60°的两个单位向量可得，，于是，，，则，，，∴，所以向量，的夹角为120°．22．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是的DC中点，且，用表示下列向量．（1）；（2）；（3）．【解答】解：由于，（1）=﹣=+﹣=+﹣=﹣，（2）=﹣=+﹣=+﹣=﹣+，（3）由G∈DE，可设=λ=λ﹣，则=+=λ+（1﹣），又=+=+，由G∈AF可知∥，可得=，解得λ=，∴=+，（3）另解：如图，延长DE交AB的延长线于M，则△DGF与△MGA相似，且AM=4FD，所以==+赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
山西省忻州一中2015届高三地理上学期期中试题
XX省XX一中2015届高三地理上学期期中试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、本卷共25小题，每小题2分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，将答案填涂在答题卡上。
李某乘车在XX街道上等红灯时，随手拍下了前方的太阳能红绿灯。
下图为拍摄的红绿灯照片，据此完成1～2题。
1.太阳能电池板的朝向为A. 正南B. 正北C. 东南D. 西南2.如果可以通过电脑调控太阳能板与水平面的夹角，以获得最多的太阳辐射能，该太阳能板一年中调整角度的幅度是A. 90°B. 66°44′C. 23°26′D. 46°52′读“某地区等高线（单位：米）图”，完成3～5题。
3.图示区域最高处与乙村的高差可能为A.1200米B．1000米C．900米D．600米Q4.下列地点位于①处视野X围的是A．甲村、I山山顶B．④镇、Ⅱ山山顶C．I山山顶、②镇D．③镇、乙村5.为了将⑤地的铁矿运到③镇附近加工出口，图中M、N、P、Q四条公路线设计合理的是A．Q线B．P线C．N线 D．M线下图阴影部分为沿30°N的部分区域垂直剖面图，平行四边形内为与该区域对应的6000米高空水平面某时等压线（单位：hpa）分布状况。
读图回答 6～7题。
6.与M点对应的地面上的点相比，N点所对应的地面上的点A．气温低 B．气压高 C．降水少 D．光照强7.影响M气压系统形成的根本因素是A．海陆分布 B．太阳辐射 C．地形地势 D．季风环流右图是沿36°纬线某月平均气温曲线图，读图回答8～9题。
8.该月平均气温，图中②地高于附近地区的原因是A．海拔低，太阳高度大，日照时间长B．副热带高压控制，盛行下沉气流，晴天多C．受沿岸暖流影响，增温增湿显著，大气逆辐射强D．位于山间盆地，海洋影响小，日照及地面辐射强9.有关图示地区气温特征的叙述，正确的是A．气温日较差⑤地比④地小B．气温年较差①地比③地大C．该月等温线图上，①地附近等温线凸向北方D．该月等温线图上，③地附近等温线凸向赤道水量盈余率是衡量水库蓄水量变化的重要指标(水量盈余率=流入量／流出量)，下图为北半球某水库各月水量盈余率统计图。
山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中2015届高三数学第二次四校联考试题 理
数学（理）试题【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合{}1,0,1M =-，{}2,N x x a a M ==∈，则集合M N =A.{}0B. {}0,2-C. {}2,0,2-D. {}0,22. 复数z 为纯虚数，若(3i)i z a -⋅=+ (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 A ．13-B ．3C ．3-D ．133. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x的渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为 A ．223 B ．2 C ．332 D ．24. 如图所示的程序框图，若输入的x 值为0，则输出的y 值为 A ．32 B ．0 C ．1D 5. 已知条件p ：|1|2x+≤，条件q ：x a ≤，且p 是q 不必要条件，则a 的取值范围是 A. 1≥aB ．1≤aC ．1-≥aD ．3-≤a6. 已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z +=2 A ．2- B ．1- C ．0 D ．4 7. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则6S =A ．44B ．54C ．61(41)3⋅-D ．51(41)3⋅-8. 在三棱锥S ABC -中，AB BC == 2SA SC AC === ,二面角S AC B --的余弦值是 3，则 三棱锥S ABC -外接球的表面积是A. 32π B. 2π D. 6π 9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．510+ B. 210+（第4题图）（第9题图）正视图侧视图俯视图C. 6226++D. 626++10. 设,A B 为抛物线22y px =)0(>p 上不同的两点，O 为坐标原点,且OA OB ⊥,则OAB ∆面积的最小值为A ．2pB ．22pC ．24pD ．26p11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (1)f x x x =>的图象上的动点，该图像 在点P 处的切线l 交x 轴于点M .过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是A ．21e B ．122e e + C ．1 12.已知函数2|lg |0()10x x f x xx >⎧=⎨-≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)13. 1=6=，2)(=-⋅a b a ，则向量与的夹角是___________. 14. 若函数)20)(sin()(πϕωϕω<>+=且x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ326，上是单调减函数，且函数值从1减小到1-，则=)4(πf ___________.15. 抛物线x 4y 2=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，若)01(，-A ，则PAPF 的最小值为___________. 16. 已知数列2sin2πn n a n =，则=+⋅⋅⋅+++100321a a a a ___________. 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ．已知22)(2c b a S -+= （1）求C sin ; （2）若10=+b a ，求S 的最大值. 18．（本小题满分12分） 如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥,BC 090=∠ABC ,BC AB AD 21==,E 是底边BC 上的一点，且BE EC 3=. 现将CDE ∆沿DE 折起到DE C 1∆的位置，得到如图2所示的四棱锥,1ABED C -且AB A C =1. （1）求证：⊥A C 1平面ABED ;（2）若M 是棱E C 1的中点，求直线BM 与平面DE C 1所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知366-==S a ;正项数列}{n b 满足：022121=--++n n n n b b b b ，2042=+b b .（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设,nnn b a c =求数列}{n c 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，21F F 、分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点,B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足OB OF OE 221+=，且21F EF ∆的周长为)12(2+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 是线段2OF 上的一点，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于Q P 、两点，若MPQ ∆是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围. 21. ( 本小题满分12分)设函数)1()(+=x ae x f x（其中718.2=e 28．．．），2)(2++=bx x x g ，已知它们在0=x 处有相同的切线.(1) 求函数)(x f ,)(x g 的解析式；(2) 求函数)(x f 在[]1,+t t )3(->t 上的最小值；(3) 若对2-≥∀x ，)()(x g x kf ≥恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CF ABC ∆是边AB 上的高，,.FP BC FQ AC ⊥⊥A B CD E 图1B EADM C 1 图2（1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆；（2）若CQ =4，AQ =1，PF CB 的长. 23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数)（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数222)(--+=x x x f （1）解不等式2)(-≥x f ;（2）设a x x g -=)(，对任意),[+∞∈a x 都有 )()(x f x g ≥，求a 的取值范围.2015届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.3π14. 23 15. 22 16. 5000-三、解答题：17、 (本小题满分12分)解：（1）条件可化为ab c b a C ab 2sin 212222+-+= …2分由余弦定理可得1cos sin 21+=C C ，03cos 8cos 52=++C C …6分 0)1)(cos 3cos 5(=++C C )(1cos 53cos 舍或-=-=C C故54sin =C …8分（2）10)2(5252sin 212=+≤==b a ab C ab S 当且仅当5==b a 时“＝”成立 …12分18、 (本小题满分12分) 解：（1）设121===BC AB AD ，则2,111==D C A C 21221D C AD A C =+ ∴AD A C ⊥1 ………2分又 21=BE ，231=E C 45222=+=∴BE AB AE∴2122149E C AE A C ==+∴AE A C ⊥1 ………4分 又AD ∩A AE =∴⊥A C 1平面ABED ………5分（2）由（1）知：⊥A C 1平面ABED 且AD AB ⊥,分别以1AC AD AB 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分则)0,1,0(),0,21,1(),1,0,0(),0,0,1(1D E C BM 是E C 1的中点 ∴)21,41,21(M ∴)21,41,21(-= ………8分设平面DE C 1的法向量为),,(z y x = )1,1,0(),0,21,1(1-=-=D C DE由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001D C n DE n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-021z y y x 令2=y 得)2,2,1(=n ………10分 设直线BM 与平面DE C 1所成角为θ，则94sin ==θ ∴ 直线BM 与平面DE C 1所成角的正弦值为94. ………12分 19、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d 。
山西省忻州第一中学2015届高三上学期期中考试化学试卷.pdf
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 Ca 40Ba 137 注意事项: 1．本试题满分100分，考试时间90分钟。
2．交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上的无效。
一、选择题：每小题只有一个选项符合题意。
每小题3分，共48分。
1．下列说法正确的是 A．SO2、SiO2、NO2均为酸性氧化物 B．稀豆浆、硅酸、氯化铁溶液均为胶体 C．“玉兔”月球车太阳能电池帆板的材料是二氧化硅 D．常温下pH=4的NaHC2O4溶液中:c(H2C2O4)Y>Z B．氢化物的稳定性：X>Y C．化合物YR2能使品红溶液褪色 D．X、Y、Z三种元素最高价氧化物的水化物的酸性最强的是Z 5．设NA为阿伏加德罗常数的值，下列叙述中正确的是 A．标准状况下，1.8 g H2O所含有的质子数为 B．1 L 1 mol/L的Na2CO3溶液中含有的CO32－数目为 C．25℃时，1 L pH＝13的 Ba(OH)2溶液中含有的OH－数目为0.2 D．标准状况下，2.24 L 氯气与过量的氢氧化钠溶液完全反应转移的电子数为0.2 6、下列各组离子在碱性条件下能大量共存，而在强酸性条件下能发生氧化还原反应的是A. Mg2+、Na+、SO42-、Cl—B. K+、CO32-、Cl—、NO3—C. NH4+、Na+、SO42-、NO3—D. Na+、K+、NO3—、SO32— 7．下列实验操作能达到预期实验目的的是 实验目的实验操作A鉴别CO32-和 SO42-分别加入饱和CaCl2溶液B比较Al和Fe的金属活动性分别加入浓NaOH溶液C比较苯酚和乙酸的酸性分别加入NOH溶液D比较AgCl和AgI的溶解度向AgCl的饱和液中加少量KI溶液8．强酸性溶液X中可能含有Na+、K+、NH4+、Fe2+、A13+、CO32－、SO32－、SO42－、C1－中的若干种，某同学为了确认其成分，取X溶液进行连续实验，实验过程及产物如下： 下列结论正确的是 A．X中不能确定的离子是 A13+、Na+、K+和C1－ B．气体F经催化氧化可直接生成气体D C．沉淀C一定是BaSO4、 沉淀G一定是Fe(OH)3 、沉淀I一定是Al(OH )3 D．X中肯定存在Na+、Fe2+、A13+、NH4+、SO42－ 9．被称为万能还原剂的NaBH4溶于水并和水发生反应： NaBH4＋2H2O＝NaBO2＋4H2↑，下列说法中正确的是（NaBH4中H为－1价） A.NaBH4是氧化剂，H2O是还原剂 B.被氧化的元素与被还原的元素质量比为11 C.硼元素被氧化，氢元素被还原 D. NaBH4既是氧化剂又是还原剂 10 ．科学家从化肥厂生产的(NH4)2SO4中检出化学式为N4H4(SO4)2的物质，该物质的晶体中含有SO42-和N4H44+两种离子，当N4H44+遇到碱性溶液时，会生成N4分子。
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xy OAC y x =2y x =(1,1)B忻州一中2014−2015学年度第一学期期中考试高三 数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集U=R ，集合A={x ︱y=log 2(-x 2+2x)}，B={y ︱y≥1}，则A∩(C U B)（ ）A ．｛x ︱0<x<1｝B ．｛x ︱x<0｝C ．｛x ︱x>2｝D ．｛x ︱1<x<2｝2．在复平面内，复数z满足(1)1z i +=，则z 的共轭复数．．．．对应的点位于 （ ） A ．第一象限 Ｂ．第二象限 C ．第三象限 Ｄ．第四象限3．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f(2-x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是( )A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,2)-D ．(2,1)-4．在∆ABC 中，“AB →·BC →>0”是“∆ABC 是钝角三角形”的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是 ( ) A ．108cm 3 B ．92cm 3 C ．84cm 3 D ．100 cm 36．已知锐角α,β满足：sin α-cos α= 16,tan α+tan β+3 tan α·tan β=3，则α,β的大小关系是 （ ） A ．α<β B ．α>β C ．π4<α<β D ．π4<β<α7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M(x,y)，则点M 取自阴影部分的概率为 ( )A ．12 B ．13 C ．14 D．168．如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -= ( ) A ．-1 B．CD ．19．已知f(x)= 2x-b(x-1)2无极值，则b 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n的取值范围是 ( ) A．[1 B．(,1[1+3,+)-∞∞C．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞11．已知f(x)=x 2-2x,g(x)=ax+2(a>0)，对10[1,2],[1,2],x x ∀∈-∃∈-g(x 1)=f(x 0)，则a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,]2 B ．1[,3]2C ．[3,)+∞D ．(0,3]12．设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f '(x)，且有2f(x)+xf '(x)>x 2，则不等式(x+2014)2f(x+2014)-4f(-2)>0的解集为 ( )A ．(-∞,-2012)B ．(-2012,0)C ．(-∞,-2016)D ．(-2016,0)OB二、填空题（每小题5分，共20分） 13．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为x 1,x 2,…x n ，则左图所示的程序框图输出的s 表示的样本的数字特征是 .14．已知变量x ，y 满足24010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则y x 的最大值是 .15．若数列{}n a 满足111(,)n nd n N d a a *--=∈为常数，则称数列{}n a 为调和数列。
已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1220200x x x ++=…+，则516x x += . 16．函数21()22x f x x x +=++的值域是 .三、解答题（共70分） 17．(本小题满分10分)已知a →＝(sin x ，－cos x )，b →=(cosx,3cosx)，函数f(x)= a →·b →+ 32．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)当02x π≤≤时，求函数f(x)的值域．18．（本小题满分12分）等比数列{a n }的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;.(Ⅱ)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.ABCDE 19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2=c ,C C cos 6sin =⎪⎭⎫⎝⎛-π (Ⅰ)求sin sin a bA B++的值；(Ⅱ)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆.;20.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°， EC ⊥平面ABCD ，CB=CD=CE. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面CBE ； （Ⅱ）求二面角E-BD-C 的余弦值.21．（本题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若OA →⋅OB →＝0，求直线l 的方程．22．（本题满分12分）已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈， （Ⅰ）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）讨论方程0)(=x f 解的个数，并说明理由.忻州一中2014−2015学年度第一学期期中考试高三 数学试题答案（理科）一、选择题每小题（5分，共60分）A D D C DB B A B D AC二、填空题（每小题5分，共20分）13. 平均数 14. 1 15．20 16．11[,]22-三、解答题（共70分）17．解：（1）∵2()sin cos f x x x x =+………………1分1sin 2(cos 21)222x x =-++………………3分 sin(2)3x π=-． ………………5分∴函数f (x )的最小正周期为π． ………………6分 （2）∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，………………8分∴sin(2)123x π-≤-≤， ………………9分即f (x )的值域为[． ………………10分 18．解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得219q =,由条件可知q>0，故13q = ……2分。
由12231a a +=得113a =。
………………4分故数列{a n }的通项式为a n =13n。
………………6分 （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-………………8分 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ ………………9分12111111112...2((1)()...())22311n nb b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n -+ ………………12分 19. 解: (Ⅰ)由已知有C C C cos 6sincos 6cossin =⋅-⋅ππ， ………1分故C C cos 3sin =，………2分3tan =C . ………3分又π<<C 0，………4分 所以3π=C . ……5分由正弦定理可设2sin sin sin sin 602a b c A B C =====︒6分所以,33a Ab B ==，……7分所以sin )3sin sin sin sin A B a b A B A B ++==++． ………8分 （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，……9分 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去） ………10分所以11sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯= ………12分 20.解：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知：202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=, 即AD CD BD 33==, ⋯⋯⋯2分 在ABD ∆中，∠DAB=60°，AD BD 3=，则ABD ∆为直角三角形，且DB AD ⊥。
则可知AC ⊥又EC ⊥平面ABCD ,则EC ⊥AC ，故AC ⊥平面CBE ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知CB AC ⊥，设1=CB ， 则3==BD CA ,建立如图所示的空间直角坐标系， 1(0,01),(0,1,0),,0)2E B D -， ⋯⋯⋯9分 向量)1,0,0(=为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDE 的法向量，则00m BD m EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x ， 取1=y ，则1,3==z x ，则)1,1,3(=m 为平面BDE 的一个法向量. ⋯⋯⋯10分5551,cos ==>=<， 而二面角E-BD-C 的平面角为锐角，则 二面角E-BD-C 的余弦值为55。
⋯⋯⋯12分 21．解：（Ⅰ）由题意2a =．所求椭圆方程为22214x y b +=．又点在椭圆上，可得1b =．所求椭圆方程为2214x y +=． ⋯⋯4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知224,1a b ==，所以c =．则直线AB的方程为(y k x =．由22(440,y k x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可得2222(14)1240k x x k +-+-=． ⋯⋯6分由于直线AB 过椭圆右焦点，可知0∆>．设1122(,),(,)A x y B x y，则21212212414k x x x x k-+==+，222121212122([)3]14k y y k x x k x x x x k -==++=+． ⋯⋯9分所以2221212222124114()141414k k k OA OB x x y y k k k ---⋅=+=+=+++．由0OA OB ⋅=，即22114014k k -=+，可得24,1111k k ==±． 所以直线l的方程为11y x =±． ⋯⋯12分22．解：（1）若函数)(x f 在),1(+∞上是增函数。