湖南省浏阳一中2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理

浏阳一中2015年上学期高二期末考试试卷理 科 数 学考试时间：120分钟 总分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．复数的共轭复数是（ ）A ．1﹣2iB ．1+2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i2．设集合{}023|2<++=x x x M ， 集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=421|xx N , 则 =N M （ ）A ．{}2|-≥x xB ．{}1|->x xC ．{}1|-<x xD ．{}2|-≤x x 3．设,a b ∈R ，则“a b >”是“||||a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．函数)6(log 3)(2x x x f -++=的定义域是( )．A ．}6|{>x xB ．}63|{<<-x xC ．}3|{->x xD ．}63|{<≤-x x 5．已知{}n a 为等差数列，若193a a π+=，则37cos()a a +的值为（ ）A ．12 B ．12-CD．-6．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取 A ．55人，80人，45人 B ．40人，100人，40人 C ．60人，60人，60人 D ．50人，100人，30人7．若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值和最小值分别为 （ ）A ．43和B ．42和C ．32和D ．20和 8．函数cos ln xy x=的图象是（ ）82422=---+y x y x 12a b +223+249．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝2， sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积为( )．10．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。

现从该小组中选出3位同学分别到,,A B C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种11．若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆的周长，则的最小值为 （ ） A 、1 B ．C ．D ．612．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定： ；14．20(1)x dx ⎰-= .15．平面上三点，向量||OA =3，||OB =2，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，则()OP OA OB ⋅- 的值为__________. 16．下列说法：①函数()36=+-f x lnx x 的零点只有1个且属于区间()1,2；②若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则()0,1a ∈；③函数y x =的图像与函数sin y x =的图像有3个不同的交点； ④函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是1.正确的有 .（请将你认为正确说法的序号都写上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：52611,18a a a =+=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n a b 3+=，求数列}{n b 的前n 项和n S .18．（本题满分12分）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点． (1)证明//PA 平面BDE ；(2)求二面角B DE C --的余弦值． 19．（本题满分12分）某同学参加语、数、外三门课程的考试,设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为54,m,n （m>n ）,设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为12524,都未取得优秀成绩的概率为1256,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．（1）求m,n ；（2）设X 为该同学取得优秀成绩的课程门数,求EX ．20．（本题满分12分）设A 是圆422=+y x 上的任意一点， l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与x 轴的交点，点M 在直线 l 上，且满足DA DM 23=．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的标准方程；（2）设曲线C 的左右焦点分别为1F 、2F ，经过2F 的直线m 与曲线C 交于P 、Q 两点，若21212||||||Q F P F PQ +=，求直线m 的方程．21．（本题满分12分）已知函数1()1ln a f x x x =-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++ ．请考生从第22、23、24三题中任选1题作答，若多做，按所做的第一个题目计分 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , （Ⅰ）求PF 的长度． （Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 的方程为2)4sin(=+πθρ，圆C 的方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x ． (1) 把直线l 和圆C 的方程化为普通方程；(2) 求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．A CP D O EF B24．（本小题满分10分，不等式选讲） 已知函数()|1||1|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()f x a a ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 试题分析：复数()()()5125510121212125i i i i i i --===-++-，共轭复数为12i + 考点：复数运算与共轭复数2．A 【解析】试题分析：{}{}{}12|0)2)(1(|023|2-<<-=<++=<++=x x x x x x x x M ，{}2|-≥=x x N ，则{}2|-≥=x x N M ．考点：1．一元二次不等式；2．指数不等式；3．集合的运算． 3．D 【解析】试题分析：因为a b >成立，,a b 的符号是不确定的，所以不能推出||||a b >成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：充分必要条件的判断． 4．D 【解析】试题分析： 要使函数有意义应满足{,03,06≥+>-x x 解得.63<≤-x考点：函数的定义域． 5．A 【解析】试题分析：由等差数列性质可知19373a a a a π+=+=()371cos cos32a a π∴+==考点：等差数列性质 6．D 【解析】试题分析：专科生：本科生：研究生3:10:5900:3000:1500==，抽取的专科生人数50185180=⨯人， 抽取的本科生人数1001810180=⨯人，抽取的研究生人数30183180=⨯人，故答案为D ． 考点：分层抽样的应用．7．B ． 【解析】试题解析：依题可画出其约束条件的可行域如下图所示，又目标函数l ：2z x y =+即2y x z =-+，∴ 当其表示直线经过点()1,0A 时，有最小值为2；当经过点()2,0B 时，有最大值为4，故选B 考点：二元一次不等式线性规划8．B 【解析】试题分析：由()x x x f ln cos =，得()()()x f xxx x x f ==--=-ln cos ln cos 是偶函数，图象关于y 轴对称，因此排除A ，C ，当10<<x ，0cos >x ，0ln ln <=x x ，因此()xxx f ln cos =0<，故答案为B ．考点：函数图象的判断． 9．B【解析】由正弦定理a c sinA sinC＝，得c ＝2a ① 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－2ac ×14② 由①②得：a ＝1，c ＝2，又sin B ＝＝4.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝1282422=---+y x y x 12a b+11．D 【解析】试题分析：因为直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆的周长，所以直线022=-+by ax 过圆的圆心)1,2(则0222=-+b a ，即1=+b a ；则122223a b a b b a a b a b a b+++=+=++．令(01)b t t a =<≤，则2()3f t t t =++在(0,1]上单调递减，min ()(1)1236f t f ==++=，故的最小值为6．考点：直线与圆的位置关系、基本不等式．【改编简介】本题改编自2015届山东省乐陵市一中高三上学期期中考试文试卷第8题，改编了①条件（给定,a b 的关系），②这是一道易错题，容易利用基本不等式求最小值． 10．D 【解析】试题分析：采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有3339A C ⋅种，3名同学全是男生或全是女生的有()333534A C C +种，故选出的同学中男女均有，则不同安排方法有-⋅3339A C ()420333534=+A C C 种不同选法考点：排列与组合12．A 【解析】试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，且1,1(1,2)p q ++∈，等价于函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间(1,2)的切线斜率大于1恒成立．'()21a f x x x =-+，即211a x x ->+恒成立，变形为2231a x x >++，因为223115x x ++<，故15a ≥． 考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最大值. 13．0,x ∃>使得sin 1x <- 【解析】试题分析：特称命题的否定式全称命题，否定时将结论加以否定，sin 1x ≥-的否定为sin 1x <-，所以命题的否定为0,x ∃>使得sin 1x <-考点：全称命题与特称命题 14．0. 【解析】试题分析：0)21()1(2220=-=-⎰x x dx x . 考点：定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解. 15．52【解析】试题解析：取P 为AB 中点，()()22115()()32222OP OA OB OA OB OA OB ⋅-=+⋅-=-= 考点：向量的数量积运算16．①④ 【解析】试题分析：①函数()36=+-f x lnx x 在()0,+∞上是增函数,且()1ln131630f =+⨯-=-<, ()2ln 2326ln 20f =+⨯-=>.所以①正确.②当0a =时原不等式变形为10>,恒成立;当0a ≠时,要使关于x 的不等式2210a x a x ++>恒成立,则()2241001a a a ∆=-⨯<⇒<<,综上可得关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立时[)0,1a ∈.故②不正确.③由函数图像可知函数y x =的图像与函数sin y x =的图像只有一个交点,故③不正确.④1sin cos sin cos sin 224y x x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭,0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,20,,,2442x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以此函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.所以1s i n 2s i n 124min y π=+=.故④正确. 考点：函数的性质;17．解析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由18,11625=+=a a a 得⎩⎨⎧=+=+186211411d a d a ，解得13,2,a d ==所以21n a n =+； （Ⅱ）由12+=n a n 得213n n b n =++.]()()123357213333n n S n =++++++++++⎡⎤⎣⎦()12231333221322n n n n n n +-=++=+-+-. 18．解法一：(1)连结AC ，设AC 与BD 交于O 点，连结EO . ∵底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，∴//OE PA ， ∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE .解法二：(1)以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0),(0,0,2),(0,11),(2,2,0)A P E B . ∴(2,0,2),(0,1,1),(2,2,0)PA DE DB =-== ,设1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量, 则由 111001,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ⎧⋅=+=⎧⎪=-=-⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩得,取得 ∵1220PA n ⋅=-= ，∴1PA n ⊥, PA BDE ⊄又平面，∴//.PA BDE 平面(2) 由(1)知1(1,1,1)n =- 是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量.设二面角B DE C --的平面角为θ，由题意可知12,n n θ=<>.∴121212cos cos ,||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅.19. 试题解析：（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A 、B 、C,∴P （A ）=54, P （B ）=m ,P （C ）=n ,由已知条件可知：P （ABC ）=12524,P （A B C ）=1256,∴424512546(1)(1)(1)5125mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩,又m>n,则m=53 ,n=52．6分 （2）∵X=0,1,2,3,P （X=0）=1256,P （X=1）=P （A B C +A B C +A B C ）=12537,P （X=2）=P （AB C +A B C+A BC ）=12558, P （X=3）=24,∴X 的分布列为 ∴EX=0⨯1256+1⨯12537+2⨯12558+3⨯12524=59． 12分考点：随机变量的概率、分布列、期望．20．（1）22132x y +=；（2）5. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线l 的方程，再结合椭圆的离心率解出a ，b ，c ，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k 与m 的关系，再计算22||||ON OP ⋅，利用基本不等式求最值. 试题解析：（1）因为直线l 的倾斜角为π4，2(,0)F c ，所以，直线l 的方程为y x c =-，2=，所以1c =.又3e =，所以a =b =椭圆C 的方程 22132x y += . 4分 （2））当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而11S x y ==，则111x y == 知ON PQ ⋅=分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x k m x m +++-=，由题意0∆>，即2232k m +>.2121222636,2323km m x x x x k k-+=-=++. 7分12PQ x =-==d =，11222POQS d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++= ， 即222(322)0k m +-=.则22322k m +=，满足0∆>, 9分 由前知123k x x m +=-，2121232()22k y y k x x m m m m+=++=-+=， 22221212222941()()2(3)k ON x x y y m m m=+++=+=- . 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++ 11分 2222114(3)(2)25ON PQ m m=-+ ≤，当且仅当221132m m -=+，即m =立， 故5ON PQ ≤. 综上可知ON PQ 的最大值为5. 12分考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.21．（1）2ln 220x y -+-=；（2）19≤-λ 或138≥λ；（3）证明略. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，根据函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，得到a 的取值范围，再利用二次函数的对称轴与开口方向求得最值，得到关于λ的不等式，再进行求解；（3）先判定函数)(x f 的单调性，再合理进行赋值放缩进行证明. 试题解析：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x=-+， 211()f x x x '=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-= 3分 （Ⅱ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a 4分 由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ 5分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥ ②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ 8分 （Ⅲ）当1a =时，21()x f x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x=-+≤=，∴11ln x x x -≤， 10分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++- 1111121n n n <++++-- ． 故11111ln(1)12345n n +<++++++ ． 12分 考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.函数的极值；4.放缩法.22．（Ⅰ）．3（Ⅱ）【解析】试题分析：第一问根据圆的性质，得出相应的相等角，从而得出相似三角形，从而得出线段成比例，进而求得结果，第二问根据割线定理求得结果．试题解析：（Ⅰ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠,从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆, ∴PF PD PC PO=, 4分 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===． 6分 （Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT 则2PT 248PB PO =⋅=⨯=，即PT =10分考点：圆的性质，相似三角形，各线定理．23．（1）θρcos 2=；（2）2．【解析】试题分析：（1）先消去参数，得到圆的普通方程，再利用⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 化成极坐标方程；（2）联立两曲线的极坐标方程，求出曲线的交点，再求两点间的距离．解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程间的相互转化，消去参数方程中的参数得到普通方程，利用⎪⎩⎪⎨⎧+===222sin cos y x y x ρθρθρ实现极坐标方程与普通方程的互化．试题解析：圆的普通方程为()1122=+-y x ，又θρθρsin ,cos ==y x ，所以圆的极坐标方程为θρcos 2=；设()11,θρ为点P 的极坐标，则有⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2111πθθρρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ； 设()22,θρ为点Q 的极坐标，则有⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin 2222πθθθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ； AC PD O EF B21θθ= ，221=-=∴ρρPQ ,即线段PQ 长为2．考点：1．曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化；2．曲线的交点；3．两点的距离公式．24．334【解析】试题分析：直接利用柯西不等式即可解决试题解析：由柯西不等式，2222222()))3(32)1x x y z ⎡⎤⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 4分 所以22232334x y z ++≥，当且仅当3x =，即931,,343434x y z ===时，等号成立， 所以22232z y x ++的最小值为334． 10分 考点：柯西不等式。