加群的全体自同态构成环-文档资料
13-群同态与同构
则：对任意x’,y’,z’G2, 因为f 是满射，必有 x,y,zG1,使得f(x)=x’, f(y)=y’, f(z)=z’, 因此： (x’*y’)*z’ = (f(x)* f(y))* f(z) = f(x⃘y) * f(z) = f((x⃘y)⃘z) = f(x⃘(y⃘ z)) = f(x)* (f(y)* f(z)) = x’*(y’*z’)
类似地可以讨论零元素。
满同态与运算性质的保持（3）
逆元素
假设f: G1G2是满同态映射，若G1的每个元素 均有逆元素，即对任意xG1, 存在x-1G1, 满 足(x⃘x-1)=(x-1⃘x)=e, 其中，e是G1的单位元素。 则：任给x’G2, 由f是满射可知，存在xG1, 使得f(x)=x’。x’*f(x-1)= f(x)*f(x-1)= f(x⃘x-1)= f(e); 同理可得： f(x-1)*x’=f(e)。已知f(e)=e’即G2的 单位元素，由逆元素的唯一性可知： x’-1=[f(x)]-1=f(x-1)
• 注意：如果运算满足交换律，上述 f 即恒等映射。
代数系统的同构与同态
关于同构与同态的讨论适用于一般的代数系统。
代数系统 (G1,⃘)与(G2,*)同构 当且仅当：
“先(G1中的)运算后映射 等于先映射后运算(G2中的)”
存在一一对应的函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
群同态与同构
离散数学 第13讲
上一讲内容的回顾
正规子群 正规子群的判定 同余关系 商群
群同态与同构
同构与同构映射 同态与同态映射 自同态与自同构 同构、同态与系统性质的保持 同态核与自然同态 群同态基本定理
“相似”的系统
第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G， 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三 循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群， 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广 交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群 也是交换群.
ϕ
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
引理 设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ， 则
【word】带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群
带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群数学年刊2011,32A(6):665—678带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群冰廖军杨艳刘合国.提要给出了带极大或极小条件的Abel群A的自同构群以及自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.同时也给出了群A=Q0Q0…0Q的自同构群是可解或幂零的充要条件,以及群A的自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.关键词自同构群,自同态环,可解,幂零MR(2000)主题分类20K30,20F16,20F18中图法分类O152.2文献标志码A文章编号1000—8314(2011)06—0665—141引言本文采用文f121的术语和符号,一般情况下计算群的自同构群和研究群的自同构群的性质是很困难的,即使对Abel群也是如此.从结合环R出发,自然地可以构造一个Lie环L,方法如下:定义L的加群为_R的加法群(R,+)以及Lie积为[X,Y]=xy—yx,通常记为_R(～,称为的相伴Lie环.Abel群的自同态环EndA是结合环,则可以构造Lie环End(一.因此我们可以研究Abel群的自同态环的相伴Lie 环的可解,幂零性质对群结构的影响.同样地,也可以通过研究Abel群的白同构群AutA的可解,幂零性质来分析群A的结构.本文将对几类带有有限性条件的Abel 群进行讨论,并给出了它们的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零以及自同构群是可解,幂零的充要条件.在多数情况下它们具有相似性.其实这也并不偶然,正是由于这些Abel群是由它的自同态环或者自同构群所确定.第2节首先给出了有限AbelP一群的自同构群AutA可解的充要条件,接着利用自同构群的稳定自同构的一个结论(见引理2.3),分别给出了带极大和极小条件的Abel群的自同构群是可解,幂零的充要条件.在定理2.6一定理2.10中,分别给出了有限AbelP一群,带极大条件的Abel群和带极小条件的Abelp-群的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零的充要条件.当P≠3时,有限Abelp-群的自同构群AutA可解当且仅当群A的自同态环的相伴Lie环End(一)可解.对于带极大,极小条件的Abel群的自同构群AutA的可解性和群的自同态环的相伴Lie环End(一)的可解性,定理2.2一定理2.3和定理2.8一定理2.9分别相对应,在它们的幂零性的论述中,定理2.4和定理2.10相对应.设A=Q0Q.0…④Q,其中Q={丌pmI?Tti,m∈Z},这里7rk为某pi∈k 些素数的集合.第3节对群A讨论了类似的问题:定理3.1和定理3.2分别给出了A的本文2011年2月25日收到,2011年6月18日收到修改稿.北京大学数学科学学院,北京100871.E—mail:*************.ca0湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:******************0通讯作者.湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:**************.cn国家自然科学基金(No.10971054)资助的项目.数学年刊32卷A辑自同构群AutA是可解,幂零的充要条件,定理3.4给出了群A的自同态环的相伴Lie环EndA(一)是可解,幂零的充要条件.此时AutA是可解(幂零)的当且仅当EndA㈠是可解(幂零)的.定理3.3表明,A的自同构群AutA可解和B1是一致的.除去P=2的情况,比较定理2.4,定理2.10,定理3.2和定理3.4可以知道,对于我们所讨论的Abel群A,的自同构群AutA和自同态环的相伴Lie环EndA(一)是幂零的当且仅当它们是交换的.而且此时它们都具有相对简单的结构:AutA和EndA【一)是幂零(交换)的,如果A是满足极大条件的Abel群,当且仅当A是循环的;如果是满足极小条件的Abel群,当且仅当A是循环的或者是拟循环群的直和;如果A=Q0Q0…0Q当且仅当每一个Q是全不变的.2带极大或极小条件的Abel群设有限Abelp-群有分解A=(zpn)h0(n.)0…0(nr),其中r,ft是正整数,0<nl<n2<…<n.记群A的自同态环EndA=,群A的自同构群为AutA.下列的事实,见文【3-6】.(a)群A的自同态环=EndA可以表示成r×r矩阵环(岛),其中岛=Hom((nt)”,(n));(b)环有Jaeobson根=(),其中=pCi~;当i≠J时,J=(C)AutA的极大正规子群是△=1+.引理2.1【】除了n=2,IFI=2,3外,GL(F)是不可解的.以下总约定P为素数,z为整数环,Zp为进整数环,n=Z/(pZ)为模P剩余类环或P阶循环群.引理2.2(i)群GL2(Z)以及GL2(Zp)不可解;(ii)当素数P>2时,上的上三角可逆矩阵群()不是幂零的;(iii)当素数P>3时,Aut(m0n)不是幂零的.证记[,Y]=[z,Y,Y,…,],其中Y出现n次.环的满同态:Z一诱导群的满同态GL2(Z)一GL2(),同态像GL2()在P>3时是不可解的,因而GL~(Z)不可解.类似地,GL2(Zp)不可解.GL2(Z2)&,是可解的,而中一5-是平凡的,因此不是幂零的.考虑上的上三角可逆矩阵群(zp),由于[(G0o)]=(.1),当P>2时,取a:2,则[(((.1)组因此()不是幂零的.不妨设m≠佗(否则GL2(n)不可解),Aut(m0n)在Q1(m0n)上的限制同构于(),因此Aut(m0n)不是幂零的.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群667定理2.1设是有限Abelp-群,且A=(n)”0(n).0…0(n),其中r是正整数,n1<n2<…<礼,ft都是正整数.则(1)当P>3时,AutA可解当且仅当f1:f2=…=0=1;(2)当P=2或3时,Aut可解当且仅当li≤2(1≤i≤r)证(1)当P>3,ll=12=…=f=1时,由文【8]中推论2.9知AutA△(一1),这里△=(AutA)是AutA的极大正规子群,因此是幂零群,则是可解群,(zp一1)是Abel群,即AutA是可解子群△=Op(AutA)被Abel群的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个li>1,则GL2(zpn.)≤AutA,但是GL2(nt)的商群GL2()是不可解的,矛盾.所以?1=f2=…=0=1.(2)当P=2或3时,ct≤2(1≤i≤r),由文[8】中定理1.1和命题2.2知rAutA△×lJGLt(),t=1这里△=(AutA),它是幂零的因而是可解的.由引理 2.1,当2t≤2时,GLl(zp)是可解群,则兀GLt()是可解的.则AutA是可解子群△=Op(AutA)被可解群0=lr兀GLf,()的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个fi>2,则GL3(nt)≤AutA,但是GL3(nt)的商群GL3()是不可解的,矛盾.所以li≤2.事实上,对于有界Abelp-群也有同样的结论,定理2.1的证明也同样适用.另一方面,有限Abel群可以分解为有限Abelp-群的直和,每个分支都是全不变的,则是特征子群,所以有限Abel群的自同构群可以分解为有限Abelp-群自同构群的直积.因此对有限Abel群总可以约化到定理2.1的情形,类似地对有界Abel群也一样.为便于叙述,我们首先给出下面的引理,它是本文计算某些自同构群的基础.引理2.3设是Abel群,B是的特征子群,且A=B0,则AutA=Horn(C,B)(AutB×Aut).证的所有稳定B的自同构构成AutA的一个子群,记为Aut(A)B,即Aut()B={∈AutAIB”=B).由于是A的特征子群,所以AutA=Aut(A)B.由文f9]中定理2.1知Aut(A)8=Der,B)Pair(C,B).由于A是Abel群B与C的直和,即A=B0C,因此平凡地作用在Abel 群B上,则导子就是它们之间的同态,即Der(C,B)=Hom(C,),668数学年刊32卷A辑并且由直接验算Pair(C,B)满足的条件,可知Pair(C,B)=AutB×AutC,因此AutA=Hom(C,B)(AutB×Aut),AutB×AutC在Hom(C,B)上的作用为(,(,))一&.定理2.2设是满足极大条件的Abel群,则AutA可解的充要条件是的挠子群的白同构群是可解的且ro(A)≤1.证若AutA可解,由引理2.2,GL2(Z)不可解,知ro(A)≤1,并且A的挠子群的自同构群是AutA的子群,因此是可解的,必要性已证.下证充分性.注意到的挠子群是A的特征子群,设为,如果TO(A):0,则A是有限群,此时归为定理2.1的情形.不妨设TO(A)=1,则A=T0Z,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,T))日(AutTXAutz),其中Hom(Z,T)T,AutZ=Z2.由假设,有AutT可解,因此AutA可解.类似地,对于满足极小条件的Abel群有下面的定理.定理2.3设4是满足极小条件的Abelp-群,则AutA可解的充要条件是A的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1.证设A是满足极小条件的Abelp-群,的极大可除子群为D,既约子群为R,则‘A=D0R且D是A的特征子群.由引理2.3,可得AutA=Hom(R,D)>日(AutD×AutR),而Horn(R,D)是Abel群,因此AutA可解的充要条件是AutD,AutR是可解的,引理2.2说明GL2(Zp)不可解,其中z是P一进整数环.因此的极大可除子群D的秩r(D)≤1.若r(D)=1,即D=z..,熟知当P>2时,AutZp..～10zp.当P=2 时,AutZ2..Z20z2,其中z是进整数环.反之,4的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1时,AutA可解.注意到满足极小条件的Abel群的自同构群是其P一子群自同构群的直积,因此满足极小条件的Abel群的自同构群是可解的充要条件是其所有子群的自同构群都是可解的.于是,结合定理2.1和定理2.3我们可以得到满足极小条件的Abel 群的自同构群是可解的充要条件.由引理2.2和引理2.3可以得到下面的定理.定理2.4(i)有限Abel2’-群A的白同构群AutA幂零的充要条件是rp(A)≤1,当且仅当是循环群;(ii)满足极大条件的Abel群且其挠子群是2一群的自同构群AutA 幂零的充要条件是有限且(A)≤1或A=Z,即为循环群;(iii)满足极小条件的Abel2/_群的自同构群AutA幂零的充要条件是A有限且rv(A)≤l或A=0...6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群669证(i)不妨设是有限AbelP一群,由引理2.2,当P>2时,T2()不是幂零的,因此不含形如m0的子群,即是循环群,rp(A)≤1.反之显然.(ii)假设Z=n0Z,则AutAn(AutnX),计算[(1,(1,1)),(0,(1,))]l其中Oz是z的二阶自同构,注意到它的作用方式把它写成矩阵形式[((呈)]=(.12)这里(一2)≠0是因为是2一群,因此AutA不是幂零的,所以或者有限或者自由循环,当有限时,由(i)知也是循环的.(iii)此时的证明方法同(为了处理P=2的情形,我们需要下面定理,见文『1O].稳定性定理设群G忠实地作用在群上,G稳定的如下长度为2的正规群列1≤W<记Z:=41(W)是的中f1.,它自然地作成一个一模,则G≤Der(v/z),其中Der(Z)是到z的所有导子作成的Abel群.定理2.5(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)0(Z2n2).0…0(Z2)L,这里nl<?22<…<几,l是正整数,则AutA幂零的充要条件是l=1.(ii)设是自由Abel群与Abel2-群的直和,则A的自同构群AutA幂零当且仅当A=2r2n0Z2nz0?-?0Z2n0Z,这里礼1<礼2<…<72r.(iii)满足极小条件的Abel2-群A的自同构群AutA幂零当且仅当A=Z2n①Z2nz0…0n0..,这里札1<佗2<-??<竹r.证(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)h0(Z2n.)120?-?0(Z2n),这里几1<?22<…<n,ll是正整数.当所有的i,1=1时,群4的自同构群AutA是一个2一群,因此是幂零的.反之假设存在某个ft>1,则GL2(n)≤AutA 且它的一个商群是GL(),由引理2.2是非幂零的,矛盾.(ii)设是自由Abel群与Abel2一群的直和,且自由子群是自由循环群z若Abel2一子群B=Z2n0Z2n①…0Z2(其中?21<礼2<…<礼),它是特征子群,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,B)×(AutB×Autz),其中Horn(Z,B)B,AutB是一个2一群,AutZZ2,则AutA是一个2一群,因此是幂零的.670数学年刊32卷A辑当A=Z2n0Z2n.0…0n0z时,证明其自同构群是幂零的另一个方法是:设C=2”A={2”aIa∈),其中n>n,则C2Z,它是的特征子群,A/Cz2n10Z2n20…0Z2n0zn.考虑G=AutA在0≤C<A上的自然作用.记ca(c)={∈GIc.=c,c∈), Cc(A/C):{∈Gl(a+)=a+C,a+C∈A/C},贝0c/ca(c)≤AutC,C/Ca(A/C)≤Aut(A/C),且c/ca(c)rhCa(A/C)≤c/cc(c)XG/Ca(A/C),又cc(c)nCc(A/C)稳定,0<C<A,故根据稳定性定理知cc(c)nCG(A/C)≤Der(A/C,),A/C是有限的,而C是自由循环群,因此Der(A/C,C):Hom(A/C,C)=0.AutA/C是一个2一群,AutC,则G≤AutC×Aut(A/C)是幂零群.反之若AutA是幂零群,则AutA的子群AutB是幂零的,当且仅当B=Z2n0Z2”0…0…由于GL2(Z)不是幂零的,因此自由子群是自由循环群z,因此A=z2n0Z2n20…0n0Z,其中nl<n2<…<nr.(iii)由(ii)以及引理2.2知条件是必要的,下证充分性.设A=Z2n0Z2n20…0n0..,这里仡1<n2<…<nr,设B:Q2n(A)={0∈Al2ha=0),其中n>n,则Bz2n10z2n20…0n0n,它是A的特征子群.考虑G=AutA在0≤B<A上的自然作用.记Ca(B)=fQ∈G1b.=b,b∈B),Cc(A/B)={∈Gl(a+B)”=a+B,a+B∈A/B},则C/Ca(B)≤AutB,C/CG(A/B)≤Aut(A/B),且C/CG(B)nCc(A/B)≤C/Cc(B)×C/Cc(A/B).又Cc(B)nCc(A/B)稳定,0<B<A,故根据稳定性定理知Cc(B)nCc(A/B)≤Der(A/B,B),A/BZ2o.是可除的,而B有限,因此Der(A/B,B)=Hom(A/B,B)=0.AutA/B(o.)=Z20Z2是Abel群,由(i)知AutB是一个2一群,则C≤AutBXAut(A/B)是幂零群.下面讨论带极大,极小条件的Abel群的自同态环构成的Lie环是可解,幂零的条件,为此需要下面的引理.引理2.4(m)(一)可解,坞()(一)不可解.证直接计算可得[(),()]=(c—brz+-cyd一.6cr一一d).6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群671设L=M2(Z2)(一,则由上面的计算知则则)lm)为了计算,在上式中令d=一a,r=一x,有[),G)]=(2.b…z-cyn名一),{(m).令b=2b1,c:2c1,Y=2yl,=2zl,有),()]一blz…l-cly哪yza-bmlx/,)c∈m)归纳地,知M2(Z2m)(一)可解.记K=M3(Z2)(_.,则K=(e),其中表示(J)位置为1,其它位置全为0的矩由于当i≠J时,,eij1=eij,[eij,eft]=eli—ejj,有K=(eij,eii—eli≠歹).又因n>2,存在k满足k≠i,k≠J,i≠J,则eij=【eik,ekj],eii一jJ=【eij,e所以K=K≠0,因此不可解,即M3(Z2)(一)不可解引理2.5当P>2时,()(一)不可解;相伴Lie环(z)(一)和(zp)(一)不可解.证取L=(el2,e21>,由于(e12,e21】=ell—e22,【611一e22,el2】=2e12,【ell—e22,e21】=一2e21, 则el1一e22,e12,e21∈L,归纳地,对任意的正整数此()(一)不可解.m,有el1一e22,e12,e21∈(,则()≠0,L不可解,因()(一)是(z)(一)和Mn(Zp)(一)在自然同态z一以及zp一下诱导的Lie环同态像,因此(z)(一)和(zp)(一)不可解.定理2.6设P是奇素数,记A=(n)ll④(n.)④…0(),这里扎1<n2<…<n,如是正整数,则End(一)可解的充要条件是如=1672数学年刊32卷A辑证如果End(一)可解,由引理2.5知1=1,否则存在一个子环()(一)不可解,矛盾.另一方面,如果li=1,则A=n10zpn20 0EndA{(aij)laijEHorn(,’))且i<J,Pln巧.记L=End(_.,Cij=∑(aikakj—bikakj),如果cij∈L,则PlCij,i≤J.归纳地, Cij∈(,对任意的i,J,有PI.,且当i<J时,P.l,继续重复上述过程,直到Cij=0,因此可解.也可以用另外一种方法来证明可解:EndA在【21(A)上的限制就是n一诱导的环同态,即对每一位置模P,同态像是上的一个三角矩阵,同态的核是每个位置元素都能被P整除的数,即0Mod(p).由环的同态得到Lie环的一个同态,结合可解Lie环在扩张下封闭的性质得到Lie环L=End(一)是可解的.定理2.7设A=(Z2n)/10(Z2)120…0(Z2),这里n1<Tt2<…<n,f是正整数,则End(一)可解的充要条件是ft≤2证设fi≤2,自然同态z2n.一z2诱导的环同态,End(一)的同态像是一个下对角矩阵,并且对角线上是1阶或2阶可解块,因此同态像可解,同时核满足2Ia同上述定理相同的证明方式,知其可解,得到End(一)可解.反之,由引理2.4,如果End(一)可解,则li≤2.定理2.8设A是满足极大条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解且_r0(A)≤1.证设A=0A0Z,0A是A的全不变子群,).(~EndAEndZEndA【H.m(z)J(,z/),又(0EndAp)～0EndA和z(一)都是可解的,按分块矩阵计算知EndA(一)是可解的.反之,End是End(一)的子环显然可解,且()(一)不可解,因此ro()≤1.类似的方法可以得到下面极小条件下的定理.定理2.9设是满足极小条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解.End可解当且仅当End磷可解且rank(Dp)≤1,其中Rp和Dp分别是A的既约子群和极大可除子群.的引理2.6(z)(一)不是幂零的,若=n0m,n<m,则EndA(一)不是幂零证注意到对任意的正整数n,[el2,?tc22]=el2≠0由引理2.5和引理2.6,立即可得下面的定理6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群673定理2.10(i)有限Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是rp(A)≤1;(ii)满足极大条件的Abel群A的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且口(A)≤1或A=z;(iii)满足极小条件的Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且rp(A)≤1或A=0..;P(iv)满足极大或极小条件的Abel群4的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是的自同态环的相伴Lie环是Abel的.3完全分解的无挠Abel群下面考虑这样一类Abel群,首先介绍符号和一些简单的结论:记丌为某些素数的集合,设Q={兀.mIm,m∈Z}.对群Q有下列简单事Pl∈7r实:(a)Q的元具有无限丌一高,有限丌一高,即任意的P∈7r,P高为0(3,否则为有限.(b)Q的任意一个自同态可以由1的像完全决定.事实上,m=(m?1)妒=m?1;由(pp)=1,知p?(p)=1,因此(p)妒=p1妒,所以(兀m)妒=兀m?1;pp(c)如果71”17I”2,则Horn(Q,Q.)=0,否贝0Horn(Q,Q.)Q.事实上,如果丌17r2,存在P∈丌1一丌2,Q中的任意元具有无限71”1一高,特别地,1具有无限高,若∈Hom(QQ.),则1∈Q.也具有无限p一高,则1=0,因此Horn(Q丌l1Q)=0.如果71”171-2,任意的∈Hom(Q丌¨Q.),由1的像1完全决定,而1∈Q.,因此Horn(Q,Q.)Q..特别地,EndQ=Horn(Q,Q)Q.(d)AutQQ={l=士11p.,Pi∈7r,仃∈z)z2①ZI.特别地,AutQpQ=r,oZ2④Z.这是因为EndQ=Horn(Q,Q)Q,因此AutQQ.若兀m∈Q,则存在p:.兀他∈Q,使1=兀m兀n=兀m佗,贝0mn=1,m=土1.pppp设A:Q0Q.0…0Q此时称是”完全分解”的,首先我们讨论秩为2即=Q0Q.的情形.A=Q0Q的自同态环和自同构群具有下面的矩阵表达形式:EndA竺{I兰三}I∈Itom(p,Q),{,J=1,2},AutA』【【2()可逆,∈H.m(Q,Q)下面按集合71”1和71”2的包含关系分别讨论群A=Q0Q.的白同构群以及自同构群的可解幂零性.(i)当71”171”2,71”271”1时,记71”1=71”2=7r.End[g>(,AutGL2(674数学年刊32卷A辑由于GL2(Z)≤GL2(Q),而GL2(Z)是不可解群,因此GL2(Q)也不可解.GL2(Q)的中5-为CGL2(Q)=)aEQA),铡).易知O.charA,而A=Q0O由引理2.3,知AutAHom(O,O)>日(AutOXAutO)O.(Q.×Q)是可解的,但不是幂零的,事实上,Aut(!)f.∈AutQ.,c∈AutQ~,bEHom(Q,Q:>.若(!)∈~AutA,则()=)=I1c+)=(舌,6=..取是嵌入同态,则.限制在Q等于c,记为..所以()a01),即(~AutA=()I.).若1)∈(~2AutA,则对任意的)∈AutA,有[(6)j(舌tA又(=(.一)一[(),(吾)]=(n0一一ac一-16.)(0一一X--一1)(a..b)(苦Y) =(.1).由于(01)∈<Aut,其中=一a-1bc+X--1yz+a-ix一(6一y)zc=0,对任意的∈Q.,∈Q,Y∈Q成立.若Y=0,即一a-1bc+a-ix_1bzc=0,则b=0,且2C--lyz—a-1-1yzc=0,则a】=c.因此()=()∈(AutA,AutA=(AutA≤AutA,AutA不是幂零群.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群675当I71-2J<..时,AutA=Q.(AutQ×AutQ.)是有限生成的可解群,但不是多循环的,由于Q.不是有限生成的.而超可解是多循环的,因此它不是超可解的.(iii)当71”171”2,7r27r1时,E..%OZI#ll~.,此时AutA是Abel群.因此若AutA是超可解或多循环的,则AutA是幂零的且是Abel的.当且仅当7rl丌2,7r27r1.一般地,有下面定理.定理3.1设A=Q0Q.0…0Q其中Q:{nm}mi,m∈Z},这里.1rk为某些素数的集合,则AutA可解当且仅当对任意的i≠J,71”i≠7rj.证当7’=2时,由前面的叙述(i)一(iii)知AutA可解当且仅当71”1≠71”2.先证充分性.假设对某个i≠J,7I”i=,当k≠i,时,设A1={∈AutAl使在Q上的限制为1,即lQ:1Q),则1是AutA的子群,且A1GL2(Q.),而GL2(Q)是不可解的,从而1是不可解的,于是AutA不可解,与已知矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,亿≠,那么存在一个元,不妨记为丌,满足对任意的i≠r,有丌,否则,必有某两个集合相等,与已知矛盾.这样的丌称为集合{『1≤i≤r)的极大元.显然QcharA,则.r一1,,r一1,AutAHorn(0QQ)>日(Aut0Q×AutQ~r)jt=1i=1,r一1,r一1其中Horn(0QQ)0Horn(QQ)与AutQ都是Abel的,对r进行归,i=1=1 r一1纳,知Aut0Q是可解的,因此AutA是可解的.=1定理3.2设A;Q0Q.0…0Q其中Q:{npmIIYt,,m∈Z},这,pt∈丌’里丌为某些素数的集合,则AutA幂零当且仅当对任意的i≠J,死.证当r=2时,由前面的叙述知道AutA幂零当且仅当丌1/1”2,丌2丌1.先证充分性.如果对某个i≠J,7ri7r{,当k≠i,J时,设A1={∈AutAI使在Q上的限制为1,即lQ=1Q),则A1是AutA的子群,当死:时,A1GL~(Q);当时,AutAQ)日(AutQ×AutQ),而aL2(Q)和Q丌j(AutQ×AutQ丌j)都不是幂零群,因此A1不是幂零的,与AutA幂零矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,7ri,则Horn(QQ)=0.676?数学年刊32卷A辑因此EndAA,AutA(Q)×(Q)×-??×(Q)日≥(z2.z’z’),=1AutA是Abel的,因而是幂零的.推论3.1设A=Q0Q0…0Q其中Q:{兀pmI?gti,m∈Z},这Pl∈.a-k. 里丌为某些素数的集合.则下列条件等价:fa)AutA是多循环的;(b)AutA是超可解的;fC]CAutA是幂零的;(d)AutA是Abel的.注意到群G称为是B的,如果G有一个正规列G=G1>G2>>Gn=1,即G司G,且Gi/Gi+1≤Q或Gi/Gi+l≤Q/z.定理3.3设A=Q0Q0…0Q其中Q={兀pmImt,仇∈z},这Pi∈7rk0里7r为某些素数的集合,则AutA是B1的当且仅当AutA是可解的. 证充分性显然,因为由定义B是可解的.下证必要性.当r=2时,AutAQ>日(AutQ×AutQ.)或AutA=r-oAutQl×AutQ2.若AutAQ:(AutQ×AutQ.),贝40<Q2<QZ2<Q.(Z20Z2)<Q.(Z20Z20Z)<Q>日(Z20Z20Z)<<Q.(Z20Z20Z/】+l.I)=AutA是AutA=Q.(AutQ×AutQ.)的一个正规列,其商因子分别为QZ2,Z2,Z,-? z,而QZ是Q的子群,是O,/Z的子群,因此AutA是B1的.如果AutA=e-,4AutQ1×AutQ2Zg.0Zl10Z20Zl,则AutA是Abel群,且可以分解为和z的直和,因此也是B1的.所以当r=2时,AutA是可解的则是B1的.当r≥3时,由定理3.1,存在一个极大元丌,使QcharA,则AutAHorn((~QQ)×(Al1t0QAutQ).记s=ml7r,1≤i<r)l,有r一1r一1Horn(Q,Q)Horn(Q,Q)Q,6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群677可以得到,r一1,AutAQ(Aut≥Q×AutQ).因Q,AutQ是B1的,由归纳假设Aut0Q是B1的,易知AutA是B1的. 定理3.4设A=Q0Q.0…0Q其中Q={兀pmlmi,m∈Z},这里丌k为某些素数的集合,则(a)EndA(一)可解的充要条件是7i”i≠对任意的i≠J;(b)EndA(一)幂零的充要条件是71”i对任意的i≠J,此时它是Abel的,其中End(一)是由自同态环EndA的加法群以及Lie积Y]=xy—yx构成的相伴Lie环.证先讨论r:2的情形:(i)当71”1=71”2时,EndA=(Q),由于(z)(一)≤(Q)(一)是不可解的,所以M2(Q)(一)不可解;(ii)当丌丌.,7r2丌时,End(Q~l.Q.)(%g),此时它构造的Lie环是可解的不是幂零的,因为[e12,n~22】:e12;(iii)当7r1丌z,7r271”1时,End(Q.Q.)(%.),此时的Lie环是幂零的,并且是交换的.一般地,如果71”i≠对任意的i≠J,则存在一个极大元丌,即7r,设A=B0Q,那么Q是全不变的,Ena(EBH.m),由于EndB(一)是可解的,因此EndA(一)可解.反之,显然有≠霄j对任意的i≠J.这就证明了第一部分.71”i对任意的i≠J,此时EndA0EndQAi是Abel的,因此是幂零的.反之由r=2情形易得对任意的i≠J,7ri参考文献[1]RobinsonDJS.Acourseinthetheoryofgroups[M].2nded.NewY ork:Spri nger—V erlag,1995.【2]KhukhroEI.p-AutomorphismsoffiniteP—groups[M】.Cambridge:Ca mbridgeUniver—sityPress,1998.[31Avifi6MA,SchultzP.Theuppercentralseriesofap-groupactingonaboun dedAbelianP—Group[EB/OL].arXiv:math.GR/0606605.『41Avifi6MA,SchultzP.TheendomorphismringofaboundedAbelianp-gro up[M]//678数学年刊32卷A辑AbelianGroups,RingsandModules,ContemporaryMathematics.V ol273,P rovidence,RI:AmerMathSoc,2001:75—84.[5】FuchsL.InfiniteAbeliangroupsV olI[M].NewY ork:AcademicPress,1970.[6]HausenJ,SchultzP.Themaximalnormalp-subgroupoftheautomorphism groupofanAbelianp-group[J】_ProcAmerMathSoc,1998,216:2525—2533. [7]AlperinJL,BellRB.Groupsandrepresentations[M】.NewY ork:Springe r—V erlag,1995.[8]Avifi6MA.SplittingtheautomorphismgroupofanAbelianp-group 【EB/OL].arXiv:math.GR/0603747.【9]樊恽,黄平安.分裂扩张的稳定自同构群[J].数学年刊,2001,22A(6):791—796.[10】SegalD.Polycyclicgroups[M】.Cambridge:CambridgeUniversityPress,19 83.EndomorphismRingsandAutomorphismGroupsof AbelianGroupswithFinitenessConditionsLIAOJunYANGY an.LIUHeguo. SchoolofMathematicalSciences,PekingUniversity,Beijing100871,China. E—mail:*************.an2DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wuhan430062,China. E—mail:unicornyy~163.corn3Correspondingauthor.DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wlu han430062,China.E—mail:ghliu~.ca AbstractLetAbeanAbeliangroupwithmaximumorminimumcondition.Th eauthors givenecessaryandsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Li eringasso—ciatedwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent).Moreove r,necessary andsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Lieringassociate dwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent)forA=Q7r10Q20…0Q 7rarealsogiven.KeywordsAutomorphismgroup,Endomorphismring,Solvable,Nilpotent 2000MRSubjectClassification20K30,20F16,20F18。
群的子结构与同态 高等代数知识点梳理
群的子结构与同态高等代数知识点梳理群的子结构与同态在高等代数中，群是一种重要的代数结构，它是一个集合，伴随着一种二元运算，满足一定的性质。
群的子结构和同态是群论中的重要概念，本文将对这两个知识点进行梳理和讨论。
一、群的子结构一个群G的子结构是指一个集合H，该集合是G的一个子集，并且在与G相同的二元运算下也构成一个群。
也就是说，H中的元素在乘法运算下封闭，并且存在单位元和逆元。
给定一个群G，如果H是G的一个子集，那么H被称为G的子群，记作H ≤ G。
子群的构成必须满足以下条件：1. H中的元素在G中也存在，即对于任意h∈H，有h∈G。
2. 子群H在G的乘法运算下封闭，即对于任意h1、h2∈H，有h1h2∈H。
3. 子群H含有单位元，即存在一个元素e∈H，满足对于任意h∈H，有he=eh=h。
4. 子群H中的元素存在逆元，即对于任意h∈H，存在一个元素h'∈H，使得hh'=h'h=e。
通过子群的构成，我们可以将群G分解为不同的子群，这种分解可以帮助我们更好地理解和研究群的性质和结构。
二、群的同态群同态是指两个群之间的映射，满足一定的性质。
给定两个群G和H，一个从G到H的映射f：G→H被称为一个群同态，如果它满足以下条件：1. 对于任意的g1、g2∈G，有f(g1g2) = f(g1)f(g2)。
即群的乘法运算在映射下保持不变。
2. 映射f保持单位元，即f(e_G) = e_H，其中e_G和e_H分别是G 和H的单位元。
3. 对于任意的g∈G，映射f(g)在H中存在逆元，即f(g)^-1存在于H中。
群的同态在群论中具有重要的应用，它能够帮助我们研究群之间的关系和结构。
三、群的子结构与同态的关系群的子结构和同态之间存在着紧密的联系。
对于一个群G和它的子群H，我们可以定义一个自然同态f：G→G/H，其中G/H是从G到H 的商群。
这个自然同态将群G映射到其子群H的陪集空间上。
同时，我们可以定义一个同态g：G→G/N，其中G/N是从G到H 的正规子群。
群、环、域的基本概念与性质
群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。
第9讲 群的同构与同态
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
2019/9/15
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同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
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题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
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群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
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同态映射的性质1
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同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
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小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
第三章 正规子群和群的同态与同构
由 Lagrange定理，对有限群 G有 G = N (G : N )，
G . 从而有 G / N = N
定理5 (A.L.Cauchy) 设G是一个pn阶有限交换群， 其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群. 推论
pq(p，q为互异素数）阶交换群必为循环群.
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
_
且 G ≅ G，则当 G与G 有一个是群时，另一个 一定是群.
_
_
定理2 设ϕ为群G到群G的一个同态映射（不一 定为满射），
_
则
1) 当 H ≤ G时，有 ϕ ( H ) ≤ G 2）当 H ≤ G 时，有 ϕ −1 ( H ) ≤ G .
_ _ _
乘法）的集合，如果 G ~ G ，则 G 也是一个群 .
_ _ __
注意：定理中的同态映射ϕ 必须是满射. 推论 设ϕ为群 G到群G的一个同态映射，
则群 G的单位元的象是群 G 的单位元； G的元素 a的逆元的象 是 a的象的逆元 ,即a
_ −1 _
_
= (a)−1 或 ϕ (a −1 ) = ϕ (a)−1 .
当ϕ是双射时，称 ϕ为群 G到 G 的一个 同构映射.
3-5群的自同构群
2 ,因此, G的中心 1
00:02
例4
证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
定理4 设C是群G的中心,则
InnG G C
证:易知
2013-7-25 00:02
: a a
(a G )
பைடு நூலகம்
(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群. 例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
[ (x)c ] [ (x) ] (c)
是群G到InnG的一个满射.又由定理2知 ab a b , 即 (ab) (a) (b), 故G ~ InnG. 又若 a 是G的恒等自同构, 即对G中任意元素x 都有 a (x) x, 即有axa -1 x , ax xa , 则a C. 反之, 任取c C, 则显然 c是G的恒等自同构, 故 C Ker . 于是由群同态基本定理知, InnG G C.
2013-7-25 00:02
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射.又由于 1 n( A) n( B ) ( AB) ( ) 0 0 1 1 1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 0 1 1 故是群G的一个自同态映射.但是, 把中心元素 1 n( AB) 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群.
群与环知识点总结
群与环知识点总结一、群的定义与性质1. 群的定义群是一个集合G以及一个二元运算*构成的代数结构，满足以下四条性质：封闭性：对于任意的a、b∈G，都有a*b∈G。
结合律：对于任意的a、b、c∈G，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。
存在单位元：集合G中存在一个元素e，对于任意的a∈G，都有a*e＝e*a＝a。
存在逆元：对于每个a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b＝b*a＝e。
2. 群的性质群的性质有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一单位元：群的单位元是唯一的。
唯一逆元：对于每个元素a∈G，其逆元素是唯一的。
左消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果a*b＝a*c，那么b＝c。
右消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果b*a＝c*a，那么b＝c。
以上是群的基本定义和性质，群还有许多重要的定理和结论，如拉格朗日定理、柯西定理等。
这些定理和结论对于群的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。
二、环的定义与性质1. 环的定义环是一个集合R以及两个二元运算+和*构成的代数结构，满足以下四条性质：R对于+构成一个交换群。
乘法满足结合律：对于任意的a、b、c∈R，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。
分配律成立：对于任意的a、b、c∈R，有a*(b+c)＝a*b+a*c和(b+c)*a＝b*a+c*a。
2. 环的性质环的性质也有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一加法单位元：环的加法单位元是唯一的。
乘法分配性：环的乘法对加法满足分配律。
交换律：对于环中的任意元素a和b，都有a*b＝b*a。
环还有许多重要的定理和结论，如唯一乘法单位元、素环、主理想环等。
这些定理和结论对于环的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。
三、群与环的应用群与环在数学的许多领域中有着广泛的应用，如数论、代数学、几何学等。
具体而言，群与环的应用包括：1. 数论中的应用在数论中，群与环的应用非常广泛，如在模运算、同余方程、数论函数等方面，群与环都有重要的应用。
环的同态与同构
例5
设 R (a, b) a, b Z .在 R 中定义运算
a1, b1 a2 , b2 a1 a2 , b1 b2 . a1, b1 a2 , b2 a1a2 , b1b2 .
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z , 其中 , a, b a . 则 是一个环同态满
f
下面证②也成立( 即 S 是 R 的子环).
现设 R 中加法和乘法分别记为“ ”和“ ”, 又 S 设与 S 中的加法和乘法分别记为“ + ”和“· ”. 以下 将证明若局限在 S 内,“ ”与“+”, 与·是一致的.
xS , yS S 于是 xS yS Z S S ，所以 S S .则
定理 3.4.3
若 R 和 R 都是环,且 R R , 那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域) 当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质 , 可以得到下面一个有趣 的事实.
引理
设R, , 是一个环, 而 : R A 是一个双
射 , 其中 A 仅是一个集合 . 那么, 可以给集合 A 定义加 法和乘法,使得 成为 R 到 A 的同构映射(即环同构).
为同态 的核.
例 3 一些常见的同态. (1) 零同态: : R R ', (a ) 0, ker ( ) R .
(2) 自然同态: 设 I 是环 R 的理想,
:R R
aa
自然同态为满同态, 且 ker ( ) I .
(3) 恒等同构:
ker ( ) {0}.
(4) 设 知, 存在 使 及
， 由多项式的带余除法 ,
环的定义与性质
定理8：R中非零元如果与n互素，则为可逆元；否则为零因子。 证明：数论中互素的充要条件 （m,n）=1 等价于am+bn=1。
思考题：R 中所有可逆元是否构成一个群？其阶是多少？ （群论的应用中我们讲过）
更一般的，一个含幺环的全体可逆元对乘法构成群，成为环的乘群。
Euler 定理：n 是正整数，（a,n）=1, 则 a φ(n）=1
（4）证明思路：
用归纳法证明a1,a2,...,an 有
n
n
( ai )b j ai2,...,bm 有
于是
m
m
ai (b j ) aib j
j 1
j 1
n
m
n
m
nm
( ai )(b j ) ai (b j ) aib j
i1
j 1
i1 j1
i1 j1
数论中可以用既约剩余系的概念证明，这里我们可以用群的概念证明。
第四节 除环
定义 一个环Ｒ叫做一个除环，若 １、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个非零的元都有逆元。
除环的性质
1、除环没有零因子 2、除环的特征只能为零或者素数。
一个交换除环叫做一个域。（我们将在下一章详细讨论）
3. 环与子环的单位元
设 S 是 R 的一个子环，当 R 有单位元时，S 不一定有；当 S 有单位元 时，R 不一定有；即使两者都有单位元，此两单位元也不一定相同。
1、考虑 R为整数环<Z,+,·> ，S 为偶数环<2Z,+,·> 。 2、考虑 R为偶数环<2Z,+,·>， S为零环。 3、考虑实数环 R，S为零环，两个环的单位元不同。
群同态定义,单、满同态,同构
群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。
近世代数之环与域
证 （1）由第一章知，剩余类的加法是 Z m 的代 数运算. 由第二章知 Z m , 是加群. 下面证明乘法 “·” :
[i ] [ j ] [i j ] 是 Z m 的代数运算.
假设 i [i ], j [ j ]，那么 按照定义，有
[i[ [i],[ j] [ j ]
[i] [ j] [i j]
（2）
（1） ， （ 2 ）两式的左端是相等的， 即
[i] [ j] [i ] [ j ].
如果它们的右端不一样，就有
[i] [ j] [i ] [ j ]，
那么，规则“· ”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“· ”得到 两个不同的值了.
a a a (a) (a) a 0, a R; (a ) a, a R;
a b c b a c, a, b, c R;
性质5 (a b) a b, (a b) a b, a, b R; 性质6 m(na) (mn)a, n(a b) na nb, m, n Z , a, b R;
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第 三 章
环 和 域
群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统 “· ” R, , 中设 Z 为整数集,
抽象代数中的群环与域
抽象代数中的群环与域抽象代数中的群、环与域抽象代数是数学的一个分支，研究的是代数结构以及这些结构之间的关系。
其中，群、环与域是抽象代数中的三个重要概念，它们被广泛应用于代数学、数论、几何学等多个领域。
本文将深入讨论群、环与域的定义、性质和应用。
一、群(Group)群是一种代数结构，具备封闭性、结合律、单位元、逆元四个性质。
设G为一个集合，如果集合G上定义了一个二元运算*，则(G, *)被称为一个群，满足以下条件：1. 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，a * b仍然属于G。
2. 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，a * e = e * a = a。
4. 逆元：对于任意的a ∈ G，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b* a = e，其中e是G的单位元。
群的例子包括整数加法群(Z, +)、实数乘法群(R^*, *)等。
群的研究对于解决对称性、几何、物理等问题有重要意义。
二、环(Ring)环是一种代数结构，具备加法群和乘法运算两个运算，且加法满足交换律。
设R为一个集合，定义了两个二元运算+和*，则(R, +, *)被称为一个环，满足以下条件：1. (R, +)构成一个加法群，满足结合律、单位元和逆元。
2. 乘法运算*在R上封闭，即对于任意的a, b ∈ R，a * b仍然属于R。
3. 乘法满足结合律：对于任意的a, b, c ∈ R，(a * b) * c = a * (b * c)。
4. 乘法满足分配律：对于任意的a, b, c ∈ R，a * (b + c) = a * b + a * c，(a + b) * c = a * c + b * c。
环的例子包括整数环(Z, +, *)、实数环(R, +, *)等。
环是代数学中重要的结构，被广泛应用于数论、几何学、代数学等多个领域。
高等代数10群,环和域简介
定义 或域) 设R和R’都是环 或域 .f:R→R’ 是一个映射. 如果对于R 和 都是环(或域 →R 是一个映射. 如果对于R 中任意元素a,b,都有 中任意元素a,b,都有 a,b, f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), 那么就说,f是一个同态映射.如果f还是一个双射, 那么就说,f是一个同态映射.如果f还是一个双射,那么就 ,f是一个同态映射 是一个同构映射,这时就说环(或域)R )R与 同构. 说f是一个同构映射,这时就说环(或域)R与R’同构.
定理10.3.1 定理10.3.1 设R是一个环. 是一个环. (i)对于任意 对于任意a (i)对于任意a1,a2,……,an, b∈R, b(a1+a2+……+an)=ba1+ba2+……ban; (a1+a2+……+an)b=a1b+a2b+……anb. (ii)对于任意a,b,c∈R， (ii)对于任意a,b,c∈R， 对于任意a,b,c∈R a(ba(b-c)=ab=ac. (b-c)a=ba(b-c)a=ba-ca. (iii)对于任意 对于任意a∈R, (iii)对于任意a∈R, 0a=a0=0. (iv)对于任意 对于任意a,b∈R, (iv)对于任意a,b∈R, a)b=a(-b)=(-a)b=a(-b)=-(ab). a)((-a)(-b)=ab.
定义2 定义2 若是在一个环R里 若是在一个环 里， a≠0,b≠0但ab=0, 但 我们就说， 是 的一个左零因子 的一个左零因子， 是 的一个右零因子 的一个右零因子. 我们就说，a是R的一个左零因子，b是R的一个右零因子 一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子. 一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子.
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我们说这种情形不会发生，
因为
[i[ [i],[ j] [ j]
就是说 m | (i i),m | ( j j) 或 i mq1 i, j mq2 j.
于是
i j mq1 mq2 mq1 j mq2i i j.
或 i j i j m(mq1q2 q1 j q2i)
这一部分主要介绍环与域的定义和初步 性质，以及一些常见的重要的环与域。
5
第 16 讲
第 三 章 环与域
§1 环的定义与性质 (2课时)
6
本讲的教学目的和要求: 本讲开始在群论的基础上讨论具有两个二元运
算的代数体系—环的基本性质.环也是近世代数中 一类重要的、基本的代数体系.由于它具有两个二元 运算,所以不可避免地会涉及到在群论中没有接触 的概念.在群的讨论中,无论在思考问题,提出问题
关于多项式通常的加法与乘法.也可构成一个环.
这个环 F[x],, 称为关于 x 的多项式 环或一元多项式环.
16
实际上，在例 4 中，若将数域F 换成任一个 数环,那么也能构成多项式环,譬如,取整数Z ,则
Z[x] {bnxn bn1xn1 b1x b0 | bi Z,n Z ,n 0}
7
的基本想法,还是在分析问题、解决问题的主要 手法方面，对于近世代数来说，都具有普遍的 典型的意义。可以说基本上体现了近世代数研 究问题的格调与模式。这些对于环的讨论会有 重要的启发和借鉴作用。
8
本讲主要介绍环的概念—环的主要特性 及它与群的联系和区别。在教学还将引出一 批环的类别以及讨论环在两个运算方面所具 有的基本性质。由于是刚刚引入一种新的代 数体系，所以受到内容的限制，这一讲中不 会碰到什么难点。但重点是要弄清楚环这种 代数体系中两种运算的谐调关系。
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第 三 章
环
和
域
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群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统中，最 基本最重要的就是环与域。
例 1 R,, 中设Z 为整数集,“+”和“·” 为 Z 中通常的整数加法和乘法.易知 R,, 是 一个环.——习惯上称它为整数环，记为Z .
13
同理有理数集 Q、实数集 R 对通常的数的 加法和乘法构成环，分别称为有理数环和实 数环，复数集 C 对通常的复数的加法和乘法 构成环，称为复数环。 我们通常把由数集构成的环称为数环.
9
一、环的定义及例子
定义 1 设 R,, 是具有两个代数运算的 代数体系，
如果它满足 (1) R, 是一个加群；
(2) R, 是一个半群；
10
(3) R的乘法“· ”对加法“+”满足左右 分配律：
a(b c) ab ac 且 (b c)a ba ca. a,b,c R
那么称 R,, 是一个环。在不产生混淆的前 提下,可以记这个环为 R .
叫做整系数多项式环. 例 5 取出数域F 上的全部n阶方阵组成的
集合, Mn (F) {A (aij ) | aij F,1 i, j n} 关于矩阵的加法和乘法构成一个环,这个环 Mn(F),, 叫做n阶全矩阵环,或称为n阶矩阵环.
17
在例 5 中,若用数环替代数域F 后,结果仍 成立,譬如用偶数环替换F ,得到
11
注意 1：
1、乘法的说明
与群的运算类似, 当进行乘法运算对
时, 乘法运算的符号通常省略不写.
即将
记作 .
2、分配律的说明 这两个分配律分别称为左分配ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与右分配律.
12
3、 上定义中说到{R;}是加法交换群.意味着{R;}满足群 的四条,其中单位元为 0—零元.a R，a 的逆元为-a — a 的负元.而{R;}是乘法半群,意味着 R 对”·”满足封闭和结 合律.
故
m | (ij ij),即 [i j] [i j]
这就证明了规则“·”是 Z m 的代数运算.
22
(2) [i],[ j],[k] Zm, 有 ([i][ j]) [k] [i j][k] [i j k]
[i] ([ j k]) [i] ([ j][k]). 即乘法“·”满足结合律.
[i][ j] [i j]
[i[ [i],[ j] [ j] （2）
20
（1），（2）两式的左端是相等的， 即 [i][ j] [i][ j].
如果它们的右端不一样，就有 [i][ j] [i][ j]，
那么，规则“·”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“·”得到 两个不同的值了.
[i][ j] [i j]
（1）
显然,这里也采用了“钟表计数法”.试证明
Zm, , 是一个环.
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证 （1）由第一章知，剩余类的加法是Zm 的代 数运算. 由第二章知 Zm, 是加群.下面证明乘法 “·” :
[i][ j] [i j] 是Zm的代数运算.
假设i[i], j[ j]，那么 按照定义，有
Mn (2Z ) {A (aij ) | aij 2Z,1 i, j n} 也是一个环.
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例 6 在第二章里,我们曾讨论模m的剩余类加群
Zm, Zm {[0],[1], ,[m 1]}. ( 其中 加 群 Zm 中的加法采用“钟表加法”).
为使Zm做成为一个环,首先要对Zm 再定义 乘法“·” :
14
例2 偶数集2Z { ,6,4,2,0,2,4,6, }，对于 整数通常的加法和乘法也是一个环.
例3 设 Z[i] {a bi | a,b Z} , 按 数 的 通 常 的 加法也构成一个环,叫做高斯数环.
15
例 4 任取定一个数域F .由F 上一切一元多项式 组成的集合
F[x] {anxn an1xn1 a1x a0 | ai F,n Z ,n 0}