【课堂设计】高二数学人教A版选修1-2课件3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

这表明两个复数的差 z1-z2(即������������1 − ������������2 )与连接两个向量的终点 Z1,Z2, 且指向被减数的向量对应.
思考 2 从上图看,|z1-z2|的意义是什么? 提示:表示点 Z1 与 Z2 之间的距离.
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复数的加减法运算
对复数进行加减运算时,要先分清复数的实部与虚部,然后将实部与实 部、虚部与虚部分别相加减.若有括号,先计算括号内的,若没有括号,可从左 到右依次进行. 【典型例题 1】 计算: (1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i); (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i). 思路分析:根据复数的加减法法则. 解:(1)原式=(3-4-3)+(-5i-i-4i)=-4-10i. (2)原式=(5-9+3)+(-7i+8i-2i)=-1-i.
(1)求������������表示的复数; (2)求������������表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.
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思路分析:对于(1),可由������������=-������������求得;对于(2),由������������ = ������������ − ������������ 求得;对 于(3),可先求出������������ 的坐标,进而可知点 B 的坐标. 解:(1)∵ ������������=-������������, ∴ ������������表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.
提醒:因为复数具有数与形的双重性,因此复数加法也应从数与形两个 方面来领会.代数形式上,复数加法类似于多项式加法的合并同类项;几何形 式上,复数加法类似于向量加法.
3.复数减法的几何意义 设������������1 , ������������2 分别与复数 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R)对应,且 ������Z1 , ������ Z2 不共线,则这两个复数的差 z1-z2 与向量������ Z1 − ������Z2 (即Z2 Z1 )对应,这 就是复数减法的几何意义.如图所示.
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解法一:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 由题设知:a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2, ∴ 2ac+2bd=0, ∴ |z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2, ∴ |z1-z2|= 2. 解法二:由复数加减法的几何意义知:|z1+z2|与|z1-z2|恰为以 z1,z2 为邻边 的正方形的两条对角线长. 故|z1-z2|=|z1+z2|= 2.
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温馨提示进行复数加减运算时,把 i 看作一个字母,类比多
项式加减运算中的合并同类项.
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复数加减运算的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则,类比加法的几 何意义可知复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 【典型例题 2】 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O,A,C 对应的复 数分别为 0,3+2i,-2+4i.
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温馨提示掌握以下常用结论:
在复平面内,z1,z2 对应的点为 A,B,z1+z2 对应的点为 C,O 为坐标原点,则 四边形 OACB: (1)为平行四边形; (2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为矩形; (3)若|z1|=|z2|,则四边形 OACB 为菱形; (4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为正方形.
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(2)∵ ������������ = ������������ − ������������ , ∴ ������������表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)∵ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ , ∴ ������������ 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i.
3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
课程目标 1.掌握复数代数形式的加、减法运 算法则. 2.理解复数代数形式的加、减法运 算的几何意义.
学习脉络
1.复数的加、减法运算法则及运算律 (1)复数的加、减法运算法则 设复数 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个 复数的和、差仍然是一个确定的复数. (2)复数加法满足的运算律 对任意 z1,z2,z3∈C,满足交换律:z1+z2=z2+z1,结合 律:(z1+z2)+z3=z1+(z2探究四
复数加减法的综合应用
1.解决复数问题时,设出复数的代数形式 z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等 或模的概念,列方程求实、虚部可把复数问题实数化. 2.利用复数加减运算及模的几何意义,应用数形结合的思想,可以直观 简便地解决复数问题. 【典型例题 3】 设 z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2,求|z1-z2|. 思路分析:解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或“数形结合”的 思想求解.
思考 1 若复数 z1,z2 满足 z1-z2>0,能否认为 z1>z2? 提示:不能.如 2+i-i>0,但 2+i 与 i 不能比较大小.
2.复数加法的几何意义 如图,若复数 z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共线,则复数 z1+z2 是以 ������������1 , ������������2 为两邻边的平行四边形的对角线������������所对应的复数,即复数的加法 可以按照向量的加法来进行,即������������ = ������������1 + ������������2 ,这就是复数加法的几何意 义.