固体与半导体物理(第二章)

mA MB 0
长光学波反映的是原胞质心不动
B:短波极限 q
min
2 m

2a
(M 2 2 ) B 2 cos qa) A 0 （
B=0，但A≠0 短波极限，重原子不振动，轻原子振动
{2.3 周期边界条件与格波数
q的取值是连续的还是分立的？q的取值数？ 实际晶体由有限个原子组成，必须考虑 边界对内部原子振动状态的影响 一.周期边界条件
N个原胞，每个原胞2个原子， 原胞体积（线度）为2a .
m 2 n 1 ( x2 n 2 x2 n 2 x2 n 1 ) x M 2 n ( x2 n 1 x2 n 1 2 x2 n ) x
x 2 n 1 A ei ( q ( 2 n 1) a t ) i ( q 2 na t ) x 2 n Be
U (a ) U (a ) ( U U )a ( )a r 2! r 2
2 2
简谐近似
恢复力：
F
U U ( 2 ) a r
2
力常数
第n个原子受到n-1个原子和n+1个原子的作用力分别为
（1）声学波的振动
2 ( M m) M 2 m 2 2Mm cos(2qa) Mm 1 2 ( M m) ( M m) 2Mm(1 cos(2qa)) 2 Mm
1 2 4Mm ( M m)1 1 sin 2 (qa) 2 Mm ( M m)
2n 2N+2n
周期边界条件：
X 2n X 2 N 2n
2 Nqa 2 s
q
e
i 2 Nqa
1
s
Na


2a
q

2a


2a

s
Na


2a

N N S 2 2
S取N个值，因而q也只能取N个值
（1）q的取值数＝原胞数N （2）格波数2N＝晶体内原子 的总自由度数 （3）格波支数2＝原胞内原子 的自由度数
aq
N Aq e
it
bnq
e iqna N
xn
a
q
q
bnq
b （1） nq 具有正交归一性
* bnq
e iqna N
* bnq
e iqna N
b
q
N
nq
b
* nq
1 N
e
q
N
i ( n n' ) qa
nn'
<
对一个原子，按振动模式求和，每个原子的振动模式数为N。
a


a

2 s Na a

N N S 2 2
S取N个值，因而q也只能取N个值
（1）有限晶格振动状态的波矢q只能取分立值，N个
不同的值在布区内均匀分布，间隔是
2 Na
。
（2）每个q对应一个振动频率，每个频率对应一个格 波，格波数（振动模式数）等于晶体中的原胞数。 三.一维双原子晶格振动的格波数
i ( qnat )
二.格波
x n Ae i ( qnat )
A：各个原子的振动存在固定的位相关系，位相差 由 qna 决定，相邻两个原子的位相差为
q(n 1)a qna qa
B：如果第m个原子与第n个原子的位相差为
mqa-nqa=2S时，（S为整数），则有：
xm Ae i ( qma t ) Ae i ( 2S qnat ) Ae i ( qnat ) xn

(M m) Mm

M 2 m 2 2 Mm cos(2qa)


1 2
( M m) ( M m) 2 Mm(1 cos(2qa)) Mm
2

1 2 4 Mm ( M m)1 1 sin 2 (qa) Mm ( M m) 2


4a 5
原子分布是离散和周期性的
q限制在一个周期的范围内，即第一布里渊区

a
＜q≤

a
max

max
（2）色散关系的对称性
( q ) ( q)
（3）长波极限
A:色散关系
sin
q 0，布区中心
qa qa 2 2

m a q
- /a
O
/a
q

<
B:相速度
E (nl
l 3 Nn
< <
1 )l 2
{2.4 晶格振动的量子化 声子
一.数学处理－正则变换
势能U 1 nm X n X m 2 nm
正则变换
U
m 2 aq2 2 q
独立的谐振子能量之和
E (
q
1 2 m 2 2 pq aq ) 2m 2
量子理论，独立的谐振子能量之和
第二章
晶体振动
两个重要概念： （1）格波 －晶格振动以波的形式传播。 局部的激发将引起整个原子系统的集体振动 （2）声子 － 晶格振动的能量子。 l 分两种情况讨论： （1）一维单原子晶格的振动 （2）一维双原子晶格的振动 步骤： （1）分析原子受力情况，建立运动方程。 （2）建立色散关系，讨论格波性质。 >
2 v p a m q 2 q
c a 弹性模量
＝
m 密度 a
a2
m

c

相邻原子的振动位相差 qa 趋于零，振幅也接近相等，
晶体的原子性不明显 （4）短波极限
q

a
，布区边界
2a
{2.2 一维双原子晶格的振动
一. 运动方程
四. 三维晶格振动的格波数
三维 N个原胞 每个原胞有n个原子 每个原子的自由度为3
共有Nn个原子
晶体内原子的总自由度数为3Nn
（1）波矢数（q的取值数）＝原胞数N
（2）格波支数＝原胞内原子的自由度数3n （3）总格波数＝晶体内原子的总自由度数3Nn 3Nn个格波（振动模式）是独立的也是分立的 3Nn个独立简谐振子的振动能量
A、B分别为m、M 原子的振幅，q为波矢
二.色散关系
( m 2 2 ) A 2 cos(qa) B 0 2 ( M 2 ) B 2 cos(qa) A 0
有非零解，系数行列式为零
m 2 2 2 cos(qa) 2 cos(qa) M 2
2
0
( M m) M 2 m2 2Mm cos(2qa) Mm
2
（1）长波极限
max [2 (
1 1 12 )] m M
q 0, 布区中心
min 0
q
（2）短波极限 若M＞m，
min

2a
，布区边界
2 1 ( ) 2 m


x<<1
1 (1 x) 1 x 2
1 2
2 ( ) sin(qa) M m
1 2
( m 2 2 ) A 2 cos qa ) B 0 （ 2 ( M 2 ) B 2 cos qa ) A 0 （
(
A 2 cos( qa ) ) B 2 m 2
E ( nl
l 3 Nn
1 )l 2
一维单原子晶格的振动，第n个原子的振动位移
x n Ae i ( qnat )
xn Aq e
q N i ( qna t )
一种独立的振动模式
N
Aq e
q
N
iqna it
e
N Aq e
q
it
eiqna N

2
2 2Mm 2 (M m) 1 sin (qa) 2 Mm ( M m)
A 2 cos( qa ) ( ) B 2 m 2
2
2 2 ， m 2 m
分母为负 分子为正
q

2a
， cosqa 0
A 0 B

2 q
三.色散关系 (q)
x n Ae i ( qnat )
m n ( xn 1 xn 1 2 xn ) x

2
4 2 1 sin ( qa) m 2
max

max
max 2 m
max
1 sin( qa) 2
- /a
O
/a
q
色散关系
（1）色散关系的周期性
A:数学表达式
2 ( q ) ( q) a
周期为 2 a
B:原因
xn Ae
i ( qna t )
Ae
i[( q
2 ) na t ] a
Ae
i ( qna t )
例：
q

2a

2 4a q
2 5 q 2a a 2a
max (
2 12 ) M
光学支
（3）频率禁区
在这个范围内的格波是 强烈衰减的，或不能被 激发。
声学支
若m＞M？
（4）色散关系的周期性
(q
a ) ( q)

一维单原子晶格振动的布区范围 一维双原子晶格振动的布区范围