1.1.3 随机变量的函数变换

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概率论变量变换法

概率论变量变换法概率论变量变换法是一种求解随机变量函数的分布的方法，它利用随机变量之间的函数关系，通过积分或者求和的方式，得到新的随机变量的概率分布。

概率论变量变换法有两种常见的形式：一元变换和多元变换。

一元变换是指已知一个随机变量X的分布，求另一个随机变量Y=f(X)的分布。

一元变换的方法有两种：累积分布函数法和密度函数法。

累积分布函数法是利用Y=f(X)的累积分布函数F_Y(y)等于F_X(f^{-1}(y))或者1-F_X(f^{-1}(y))，根据X的累积分布函数F_X(x)求出F_Y(y)，然后求导得到Y 的密度函数f_Y(y)。

密度函数法是利用Y=f(X)的密度函数f_Y(y)等于f_X(f^{-1}(y))乘以f^{-1}(y)对y的导数的绝对值，根据X的密度函数f_X(x)求出f_Y(y)。

一元变换的例子有指数分布、正态分布、卡方分布、t分布等。

多元变换是指已知n个随机变量X_1,X_2,...,X_n的联合分布，求另外m个随机变量Y_1,Y_2,...,Y_m=g(X_1,X_2,...,X_n)的联合分布。

多元变换的方法有两种：雅可比行列式法和矩母函数法。

雅可比行列式法是利用(Y_1,Y_2,...,Y_m)和(X_1,X_2,...,X_n)之间的雅可比行列式J=\frac{\partial(Y_1,Y_2,...,Y_m)}{\partial(X_1,X_2 ,...,X_n)}，根据(X_1,X_2,...,X_n)的联合密度函数f_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,...,x_n)求出(Y_1,Y_2,...,Y_m)的联合密度函数f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)，其中f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)=f_{X_1,X_2,... ,X_n}(g^{-1}(y_1,y_2,...,y_m))|J|。

2024数学三考研大纲

2024数学三考研大纲第一部分：数学分析1.实数与实数的基本性质1.1实数的完备性1.2实数序列的性质1.3实数级数的收敛性与发散性2.极限与连续2.1极限的定义与性质2.2函数的极限与连续2.3一元函数的微分学3.不定积分与定积分3.1不定积分的概念与性质3.2定积分的概念与性质3.3定积分的计算方法4.函数列与函数项级数4.1函数列的收敛性4.2函数项级数的收敛性4.3函数项级数的一致收敛性5.幂级数与傅里叶级数5.1幂级数的收敛半径与收敛域5.2幂级数的常用运算5.3傅里叶级数的性质与应用第二部分：代数与几何1.线性代数1.1实数向量空间与内积空间1.2矩阵与行列式1.3向量空间的基与维数2.线性方程组与矩阵的应用2.1线性方程组的基本概念与解法2.2矩阵的特征值与特征向量2.3矩阵的对角化与相似变换3.多元函数的微分学3.1多元函数的偏导数与全微分3.2多元函数的极值与条件极值3.3隐函数与参数方程的微分4.曲线积分与曲面积分4.1曲线积分的定义与性质4.2曲面积分的定义与性质4.3绿公式与高斯公式5.空间解析几何5.1空间中的直线与平面5.2空间曲线与曲面的方程5.3空间中的向量与坐标系第三部分：概率与统计1.随机事件与概率1.1随机事件的概念与性质1.2概率的基本概念与公理1.3概率的运算与应用2.随机变量与概率分布2.1随机变量的概念与分类2.2离散型随机变量的概率分布2.3连续型随机变量的概率密度函数3.随机变量的特征与分布3.1随机变量的数学期望与方差3.2常见离散型与连续型分布3.3多维随机变量的联合分布与边缘分布4.大数定律与中心极限定理4.1大数定律的概念与证明4.2中心极限定理的概念与应用4.3样本统计量的极限分布5.统计推断与假设检验5.1参数估计与区间估计5.2假设检验的基本原理5.3常用假设检验的方法与步骤第四部分：数学建模与应用1.数学建模的基本概念1.1数学建模的过程与方法1.2数学建模的评价标准与特点1.3数学建模在实际问题中的应用2.线性规划模型2.1线性规划问题的数学描述2.2单纯形法与对偶问题2.3整数线性规划问题与解法3.非线性规划模型3.1非线性规划的基本概念与性质3.2非线性规划的解法与应用3.3动态规划与整数规划问题4.数学建模实例分析4.1数学建模实例的选择与分析4.2实际问题的数学建模过程4.3数学建模结果的解释与应用5.模拟与优化算法5.1随机模拟与蒙特卡洛方法5.2优化算法的基本概念与分类5.3优化算法在数学建模中的应用结语数学三考研大纲是考生备战考研数学的重要参考资料，内容涵盖了数学分析、代数与几何、概率与统计、数学建模与应用等多个领域，全面系统地呈现了数学学科的基本知识与方法。

随机变量

离散型随机变量：随机变量取有限个或可数个值随机变量连续型随机变量：随机变量可取某一区间的任何值
• 例1：“抛硬币”实验 • 样本空间S={正面，反面}={e}
令X=X(e)=
1 0 当e=正面当e=反面
• 则X=X(e)为一离散型随机变量。 • 例2：“掷骰子”实验 • 样本空间S={e}={1,2,3,4,5,6} • 令X=X(e)=e， • 则X=X(e)=e为一离散型随机变量。
• 5、多维随机变量 • 二维随机变量： • 定义：设随机实验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量。
x1 <x 2
• 二维随机变量的分布函数（联合分布函数） • 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数，x,y的二元函数 • F(x,y)=P(X<=x,Y<=y) • 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数（联合分布函数）。其中P(X<=x,Y<=y)表示随机变量 X<=x,Y<=y的概率。 • 二维随机变量的联合概率密度函数 • 定义：若存在分布函数F(x,y)连续，且存在二阶混合偏导数。
第1章随机变量（复习）
复习一下随机变量，为后面学随机过程打基础
§1.1 随机变量及其分布
• 1、随机变量的概念定义：设E为一个随机实验，其样本空间为S={e}，若对每一个 e S 都有一个实数X(e)与之对应，而且对于任何实数x，X(e)<=x有确定的概率，则称 X(e)为随机变量。
xi x
F(x)= p (t ) 连续型：

x
F ( x)是p(x)的一个原函数, 则：
dF ( x) p ( x) dx F ( x2 ) F ( x1 ) p( x)dx

随机信号第3讲

2.1.2随机过程的分布律
一个随机过程是定义在一个时间区间上,而这个时间区间上的任意一个时刻,随机过程表现为一个随机变量,那么我们是否可以用随机变量的分布律来表征随机过程的分布律呢? 下面我们既要用随机变量的分布律描述随机过程的分布律,又要用随机变量的数字特征来描述随机过程的一些数字特征.
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
一维分布律只表征随机过程在固定时刻t上的统计特性.若需了解随机过程更详细的情况，还要研究随机过程的二维非步履乃至多维分布律。

二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函数 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 }

x x
1 2
f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
这实际上是随机过程在t1,t2时刻的两个状态的二阶混合原点距.
描述随机过程的相关性的另一个矩函数是二阶混合中心矩,称为协方差函数.
C X (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{X (t 2 ) m X (t 2 )}]
n n n
(7)随机信号的分布律: 二项式分布,泊松分布(离散变量) 均匀分布(※连续变量) (8)高斯分布(※正态分布): 概率密度函数概率分布函数概率积分函数(三条性质) 归一化高斯变量:数学期望为0,方差为1.
第二章随机过程和随机序列

随机变量的定义定义

条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我们理解随机现象的本质。

随机变量的函数变换

如果随机变量Y是二维随机变量(X1,X2) 的函数，即
Y g ( X 1, X 2 )
可求Y的数学期望和方差。
f X ( x)
1 2 X
e

( x m X )2 2 X 2
a、b为常数，求Y的概率密度。

如果X和Y之间不是单调关系，即 Y的取值y可能对应X的两个或更多的值x1,x2,…, xn。
假定一个y值有两个x值与之对应，则有
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
' 1
'
一般地，如果y=g(x)有n个反函数 h1(y), h2(y),…, hn(y)，则
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y ) f X (hn ( y )) hn ( y )
'
' 1
'
例2：假定输入输出的关系为Y=bX2， b>0，若已知X的概率密度为f(x)，求Y 的f(y)。
Y [ X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即 X 1[Y ] h(Y )
若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y ) f X ( h( y )) h ( y )
'
例1：随机变量X和Y满足线性关系 Y=aX+b，X为高斯变量，即
1.5 随机变量的函数变换
这个函数关系的含义为：在随机试验E中，设样本空间为S={ei}，对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值 X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei) 与X(ei)有如下关系：

随机变量的函数变换

对数变换的性质与定理
1
对数变换可以用来将正态分布转换为标准正态分布。
2
如果随机变量X的对数变换Y=logX服从正态分布，那么Y的数学期望EY=0，方差DY=1。
3
如果X是连续型随机变量，那么对于任意实数a，有P(aX≤x)=P(X≤x/a)。
幂函数变换的性质与定理
幂函数变换可以用来将均匀分布转换为标准均匀分布。
对数变换
对数变换是指将随机变量X替换为 log(X)，其中log表示以e为底的对数。对数变换可以用来将概率分布从偏态分布转化为正态分布。
在生物学、医学和金融领域，对数变换被广泛应用于处理数据，因为这些领域的数据往往呈现偏态分布。
幂函变换
幂函数变换是指将随机变量X替换为X^a，其中a是常数且a≠0。幂函数变换可以用来改变随机变量的分布形状，特别是当X的值域较大时。
在研究随机过程时，经常需要将时间变量或空间变量进行函数变换，以分析随机过程的性质和行为。
随机变量的变换
通过对随机变量进行函数变换，可以研究其概率分布的性质，如期望、方差、协方差等。
随机事件的变换
在概率论中，通过对随机事件进行函数变换，可以研究其概率的增减和变化规律。
在金融数学中的应用
风险度量
如果随机变量X的幂函数变换 Y=X^n服从均匀分布[0,1]，那么Y的数学期望EY=1/n，方差
DY=1/n^2。
如果X是连续型随机变量，那么对于任意实数a和正整数n，有 P(aX≤x)=P(X≤x^(1/n))/|a|^ n。
05
函数变换的应用
在统计学中的应用
分布变换
通过函数变换，可以将一种分布的随机变量转换为另一种分布的随机变量，从而简化统计分析过程。

高级数学中的概率论与随机变量

离散型随机变量：其分布函数是一个阶梯函数，概率密度函数是离散的。连续型随机变量：其分布函数是连续的，概率密度函数也是连续的。正态分布：其分布函数和概率密度函数都是钟形的，且对称轴为均值所在直线。指数分布：其分布函数和概率密度函数都是无限可导的，且在均值处达到最大值。
随机变量的数字特征
越弱
矩的定义：矩是随机变量的概率分布的数学描述，包括原点矩和中心矩。矩的性质：矩具有一些重要的性质，如线性性质、幂等性质和正定性等。常用矩：常用的矩包括期望值、方差、偏度和峰度等。矩的计算方法：可以通过概率密度函数或概率质量函数来计算矩。
随机变量的极限理论
大数定律：描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对频率趋于该事件的概率。中心极限定理：无论独立随机变量的分布是什么，它们的和在平均值附近趋近于正态分布。
数学期望的定义：随机变量所有可能取值的概率加权和数学期望的性质：线性性质、非负性、可加性数学期望与概率的关系：反映随机变量的平均水平数学期望在概率论中的应用：估计概率分布、计算概率密度函数等
方差的定义：衡量随机变量偏离其期望值的程度
方差的性质：非负性、有界性、对称性
方差的计算公式：D(X)=E[(XE(X))^2]
强大数定律：描述了当试验次数趋于无穷时，随机变量的平均值趋近
于真实值。
弱收敛性：描述了随机变量的分布函数在概率空间上的
收敛性质。
两者关系：强大数定律是弱收敛性的一个特例，弱收敛性更广泛地描述了随机变量的收敛性质。
应用场景：在统计学、概率论、金融等领域有广泛应用。
定义：随机变量序列的极限存在，即存在一个随机变量X，使得对于任意小的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，Xn与X 的距离不超过ε的概率不小于1-δ。

人工智能的数学基础】随机变量的变量替换定理

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随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法

【摘
明
要】概率论与数理统计》《中的求解随机变量函数的分布，图解法的求解直观、易于掌握，本文通过实例（线性变换与平方变换）以说加
【关键词】图解法；分布函数法；随机变量的函数
０引言
数学上难于理解的问题，若能用图形说清楚，对学生、教师都会收【其它Ｏ到事半功倍的效果，在求解随机变量函数Ｙ＝（）ｇｘ的分布中，一系列的２８的概率密度．Ｘ＋公式推导令学生难于理解与掌握，课堂上用图解法求解函数的的分布从图３上，Ｘ取值在（４，Ｏ，）对应Ｙ的取值在（，）Ｏ８，可使学生易于理解、易于掌握分布函数法，下面以实例来说明用图解法求解随机变量函数中常用的线性变换Ｙ＝Ｘ＋（≠０（调函数）ａｂａ）单与平方变换ＹＸ２单调函数）学生也可以用在其它类型的变换中，：＝ｆ非，如Ｂ对数变换、指数变换及三角函数变换等．。
—、。：
Ｏ｛哇
×
分布函数：ｄ）Ｆ（／）蹦一／）两边对Ｙ导得Ｙ的概率密度Ｆｙ＝ｘ一、，、求
ｆｙ＝ｄ） — 一Ｏ／ｔ、ｙ）、ｙ）一／）．
２ＶＹ
图２
对平方变换Ｙ＝非单调函数）从图形上搞清ｘ与Ｙ的取值范Ｘ（，围，以写出它们相应的分布函数，可从而求导得Ｙ的概率密度函数．
一
ｆ
．
０＼
图３
Ｘ
率值，如图１：
Ｏｘ

随机变量的分布函数、连续型

02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用于描述数据的集中趋势和离散程度。

1.1.3 随机变量的函数变换

h1' ( y ) = 1 ( 2 by )
' h2 ( y ) = 1 ( 2 by )
' fY ( y ) = f X (h1 ( y )) h1' ( y ) + f X (h2 ( y )) h2 ( y )
fY ( y ) = f X ( y b ) 1 (2 by ) + f X ( y b ) 1 (2 by )
P(x < X ≤ x + dx) = P( y < Y ≤ y + dy)
f X (x)dx = fY ( y)dy
1
dx fY ( y ) = f X ( x) dy
X = 1 (Y ) = h(Y )
考到率度负虑概密非 dx = f X (h( y)) h′( y) fY ( y) = f X (x) dy
f X ( x) =
1 2π σ X
( xmX )2
2 2σ X
e
Y b X = h(Y) = a
f Y ( y ) = f X (h( y )) h′( y ) =
1 = e 2π a σ X
1 2π σ X
e
y b mX )2 a 2 2σ X (
1 a
( y am X b ) 2
2 2 a 2σ X
ΦY (ω) =Φ (ω)
2 X
ΦX (ω) = e
ΦX (ω) = e
ω2
2
Φ Y (ω ) = e
ω 2
ω2
2
fY ( y ) = FT 1 [Φ Y (ω )]
FT[e
t2 2 2σ
] = σ 2π e
σ 2ω2

随机变量的概率密度函数计算方法

随机变量的概率密度函数计算方法随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的可能取值以及取值的概率。

在实际问题中，我们常常需要计算随机变量的概率密度函数，以便进行概率分析和统计推断。

本文将介绍几种常用的随机变量概率密度函数的计算方法。

一、离散型离散型随机变量的概率密度函数描述了随机变量取各个可能取值的概率。

对于离散型随机变量X，其概率密度函数可以表示为P(X=x)，其中x为X的取值。

计算离散型随机变量的概率密度函数的方法通常有以下几种：1. 列举法：根据问题的具体情况，列出所有可能的取值及其对应的概率。

然后将每个取值的概率填入概率密度函数的相应位置即可。

例如，对于一个骰子的随机变量X，其可能取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，则概率密度函数为P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，以此类推。

2. 概率分布函数法：对于离散型随机变量X，其概率分布函数F(x)定义为P(X≤x)。

利用概率分布函数可以计算出概率密度函数。

对于每个可能的取值x，计算P(X=x)等于F(x)减去F(x-1)。

例如，对于一个服从几何分布的随机变量X，其概率分布函数为F(x)=1-(1-p)^x，其中p为参数。

则概率密度函数为P(X=x)=F(x)-F(x-1)=(1-p)^x-(1-p)^(x-1)。

二、连续型连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度。

对于连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为f(x)，其中x为X的取值。

计算连续型随机变量的概率密度函数的方法通常有以下几种：1. 几何法：对于一些常见的连续型随机变量，可以利用几何图形的面积来计算概率密度函数。

例如，对于服从均匀分布的随机变量X，其概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中a和b分别为随机变量X的取值范围的下界和上界。

由于均匀分布的概率密度函数在取值范围内是常数，可以用矩形的面积来表示。

2. 密度函数的性质法：对于一些连续型随机变量，可以利用概率密度函数的性质来计算。

随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法

随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
线性变换与平方变换是随机变量函数的一类变换，它用于描述实验中观察到的随机变量之间的关系。

本文主要介绍线性变换与平方变换的图解法，并讨论它们之间的区别和特点。

线性变换是指把一个随机变量变换成另一个同样可以表示为一组常数乘以原来随机变量的新的随机变量的变换。

它的图解法可以用四象限散点绘图来表示，如图1所示，以一个变
量Y为横轴，另一个变量X为纵轴，变换前原变量X和Y在图中表示为正方形，变换后
新变量X'和Y'形成直线，其斜率可以由图中给出，公式可表示为：Y'/X' = kY/X。

图1 线性变换的图解法
平方变换是把一个随机变量X变换为X^2的随机变量Y的变换，它的图解法可以用交叉
散点图来表示，如图2所示，以一个变量X为横轴，另一个变量Y为纵轴，表示X^2 = Y，公式可表示为Y = X^2。

综上所述，线性变换与平方变换的图解法有所不同。

前者是从一个正方形变成一条斜率，而后者是从一个点变成一条曲线。

同时，它们都是研究随机变量之间联系，表现出不同随
机变量之间的内在联系的一种变换方式。

3、随机数与随机变量

3、随机数与随机变量3.1随机数的生成与检验3.1.1 随机数与伪随机数仿真中最基本的随机数：U(0 , 1)⎩⎨⎧≤≤=其它，,0101)(x x f +其它各种分布的随机数均可通过对U(0,1)随机数的变换得到。

++习惯上，称其它分布的随机数为随机变量。

随机数的产生方法手工机械及电子装置数学方法+由数学方法生成的随机数是按一定算法递推生成的，由于在已知初值的情况下，其每一个所生成的数均是可预知的，故被称为伪随机数。

今后在不引起混淆的情况下，也简称之为随机数。

++现代仿真中所用的随机数均为伪随机数。

3.1.2随机数发生器所谓随机数发生器即为用数学方法产生随机数的递推公式。

优良随机数发生器的品性总体均匀，样本随机，序列独立；足够长的周期；生成速度快，占用内存少，完全可重复。

1 早期随机数发生器平方取中随机数发生器n n n x u x x 10=⎢⎣⎡=x 0为2k 位非负整数。

缺点最终退化2 线性同余随机数发生器应用最广泛的随机数发生器之一，简称generator)x u ax x n n n /(==m 为模数，初值x 0均为非负整数。

称数列x n 重复值之间的最短长度为记为T 。

若T =m c ≠0的LCG 为乘同余发生器。

混合同余发生器的“满周期定理”若满足下列三个条件，则混合同余发生器可达到满周期：（1）c与m互素（可同时整除c与m的整数只有1）；（2）对任意素数q，若q能整除m，则q也能整除a-1；（3）若4能整除m，则4也能整除a-1。

为延长随机数发生器的周期，通常取m=2b，b为所用计算机的字长减1。

优点随机数周期尽可能大；便于参数选取（能整除m的素数只有2）；可利用“整数溢出”简化计算。

参数选取的基本原则m = 2ba= 4α+1c= 2β+1还有其他一些需考虑的因素，如怎样消除相关性，这一般需要选取较大的a（a<m），且a在二进制表示中，0，1无明显规律性。

一种在32x n= ( 314159269 u n= x n-1/ 231乘同余随机数发生器无法达到满周期，但可达到最大周期。

《概率论与随机过程》课程自学内容

上海大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号： 07275061 题目: 学生姓名: 王文良学号: 13124562 评语:成绩: 任课教师: 王春华评阅日期:概率论与随机过程内容小结与专题应用范例书面报告2015-10-24摘要：本报告主要是对随机变量的特征函数、随机序列及其统计特性、随机序列的功率谱密度、随机序列通过离散线性系统共计四项内容的知识点的总结，并以其中的随机变量的特征函数为例，来介绍并分析其中涉及到的理论与原理一、自学内容小结 1. 随机变量的特征函数1.1一维特征函数：随机过程X(t)在任一特定时刻t 的取值是一维随机变量，其特征函数为:其反变换为： 1.2 n 维特征函数：2. 随机序列及其统计特性2.1 随机序列的均值与自相关函数： 2.2 随机序列的自相关矩阵：2.3随机序列的协方差矩阵:其中TXX X M M R -=XC3. 随机序列的功率谱密度功率谱密度可定义为自相关函数的傅里叶变换：sjwkT sk xX ekT R G -∞-∞=∑=)()(ω在随机过程中我们学习到功率谱密度是随机过程X （t ）在单位频带内在1Ω电阻上消耗的平均⎰∞∞-==dx t x f e e E t u C X jux t juX X );()();()(⎰∞∞--=du e t u C t x f jux X X );(21);(π))]()([exp(),,;,,(1111n n n n X t X ju t X ju E t t u u C ++=ΛΛΛ⎰⎰∞∞-∞∞-++=nn n X x u x u j dx dx t t x x f e n n ΛΛΛΛΛ111)(),,;,,(11),,;,,(11n n X t t x x f ΛΛnx u x u j n n X ndu du e t t u u C n n ΛΛΛΛΛ1)(1111),,;,,()2(1++-∞∞-∞∞-⎰⎰=π[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E =NN N N N N r r r r r r r r r .....................X X R 212222111211TX []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=NN N N N N ΧΧX C ...C C ............C ...C C C ...C C )Χ)(Χ(ΕC 212222111211TM M []jij i ij C m m C ji=-X -X E =X X ))((TXX =R R 0≥X T F R F [][]TX ,,X 21NXX X =E =M m m m ，Λ[][]),(),(i j R j i R r i j j i ij =X X E =X X E ==功率，在平稳随机过程下，时间平均自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。

天津市高二数学知识点总结

天津市高二数学知识点总结高二数学是学生在数学学科中的重要阶段，也是基础知识扎实、综合运用能力培养的重要阶段。

下面将对天津市高二数学的知识点进行总结。

一、函数与方程1.1 二次函数与一元二次方程1.1.1 二次函数的性质、图像和方程1.1.2 一元二次方程的根与判别式1.1.3 一元二次函数与一元二次方程的应用1.2 指数与对数函数1.2.1 指数与对数的定义、性质及运算1.2.2 指数函数与对数函数的性质、图像和方程1.2.3 指数与对数函数的应用1.3 三角函数1.3.1 三角函数的定义、性质及基本关系式 1.3.2 三角函数图像、解析式及方程1.3.3 三角函数的应用与扩展二、平面向量2.1 向量的运算与表示2.1.1 向量的加减与数量积2.1.2 平面向量的坐标表示与线性运算2.1.3 向量的数量积与几何应用2.2 平面向量的应用2.2.1 向量垂直与平行的判定2.2.2 平面向量的共线、垂直以及平行四边形 2.2.3 平面向量的应用与扩展三、解析几何3.1 平面解析几何3.1.1 平面的方程、距离公式与夹角 3.1.2 平面的位置关系与判定3.1.3 空间中平面解析几何的应用3.2 空间解析几何3.2.1 线的方程与投影3.2.2 空间中直线及其位置关系的判定 3.2.3 空间解析几何的应用与扩展四、三角恒等变换与立体几何4.1 三角恒等变换4.1.1 三角函数的常用恒等变换4.1.2 三角函数与三角方程的解法4.1.3 三角恒等变换的应用4.2 立体几何4.2.1 空间中点、线、面的位置关系4.2.2 空间中立体图形的性质4.2.3 空间解析几何的应用与扩展五、概率与统计5.1 概率的基本概念与统计总结5.1.1 随机事件与概率的定义5.1.2 概率的计算规则与应用5.1.3 统计的基本概念与分析5.2 随机变量与概率分布5.2.1 随机变量的概念与概率分布5.2.2 二项分布、正态分布与离散型分布 5.2.3 随机变量与概率分布的应用与扩展以上就是天津市高二数学的主要知识点总结。