2011全国初中数学竞赛试题解答
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析
2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析一、选择题 1．A 解：因为1a =，1a += 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2. B3. D 4．C解：由已知得2310x x ++=， 于是 2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．6．D解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．7．C解：由题设可知1y y x -=，于是341yy x yxx-==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．8．C解：两式相加，得2358t t +=，解得1t =，或83t =-（舍去）．当1t =时，4530A B =︒=︒，满足等式，故1t =． 所以，实数t 的所有可能值的和为1. 9．C解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．10．A解：当2 3 2011k = ，，，，因为 ()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ ， 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 11．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即2，164m∆=-≥0，所以2， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.12．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.13．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.14．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．15．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题16．解：设方程20x a x b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=， 所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.17．证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径， 所以∠A D B =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形.所以点P 为C H 的中点.18．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由 223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ， 故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一 设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C，B D，所以 A C=2-，A D=2-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即a b=所以a b +=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x=，得到点Q 2，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为13y =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()33P Q k x x =+=.同理，若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.19．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是224A Q A P B Q C P ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()28AB PQ AP BQ =++=+.故 213s i n 60282ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==．不同见解，敬请海涵。
全国初中数学 联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算432241242++=（ ） （A 21- （B ）1 （C 2 （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ACB ∠的平分线交圆O 于点D ，若3CD =，则AB=（ ） （A ）2 （B 6 （C ）22（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ） （A 357 （B 5514 （C 9528 （D 115286.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题共5小题,每小题6分,共30分.1甲．如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,22||()||a a b c a b c ++-+可以化简为 ．A 2c a -B 22a b -C a -D a 1乙．如果22a =-+那么11123a+++的值为 ．A 2- 2 C2 D 22甲．如果正比例函数y = axa ≠ 0与反比例函数y =xbb ≠0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为－3,－2,那么另一个交点的坐标为 ． A2,3 B3,－2 C －2,3 D3,22乙． 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标x ,y 的个数为 ． A10 B9 C7 D53甲．如果a b ，为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． A1 B214a - C 12 D 143乙．如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为 ． A 23 B4 C 52 D4.54甲．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是 ．OAB CEDA1 B2 C3 D44乙．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数的正根小于3, 那么这样的方程的个数是 ．A 5B 6C 7D 85甲．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6．掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是 ．A 0pB 1pC 2pD 3p5乙．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，,然后删去a b ，,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是 ． A2012 B101 C100 D99二、填空题共5小题,每小题6分,共30分6甲．按如图的程序进行操作,规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487 ”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 . 6乙.如果a ,b ,c是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么a b cb c c a a b+++++的值为 ． 7甲．如图,正方形ABCD 的边长为215, E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 .7乙.如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作矩形OBAC,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 ; 8甲. 如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为xyO ECABD1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为 ．8乙．设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为 . 9甲. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 . 9乙．如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则ac的取值范围是 . 10甲如图,四边形ABCD 内接于⊙O , AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD , 交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的 长为 .10乙．已知n 是偶数,且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 ．三、解答题共4题,每题15分,共60分11甲．已知二次函数232y x m x m =++++（）,当13x -<<时,恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 11乙. 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴负半轴上,点B 、C 分别在x轴正、负半轴上,48,,sin 5AO AB AC C ==∠AB =;点D 在线段AB 上,连结CD 交y 轴于点E,且COE ADE S S ∆∆=;试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式;12甲. 如图,⊙O 的直径为AB ,1O 过点O ,且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点,OC 与1O 交于点D ,且OD CD >．点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与1O 交于点F ,求证：△BOC∽△1DO F ．12乙．如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： 1OI 是△IBD 的外接圆的切线； 2AB +AD = 2BD .13甲. 已知整数a ,b 满足：a －b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值. 13乙．给定一个正整数n ,凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒ 并说明理由．14甲. 求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ，， ，,满足122012x x x <<<,且122012122012n x x x +++=. 14乙．将2,3,…,n n ≥2任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， 可以相同,使得b ac =,求n 的最小值．参考解答一、选择题1甲 .C解：由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以22||()||()()()a a b c a b c a a b c a b c -++-++=-+++--+a =-．1乙．B 解：111111122122312a+=+=++-++++1121221=+==+．2甲．D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3,2.2乙．B解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y , 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数,所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，； 22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，； 22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，； 22(1)1(1) 1.x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，； 12x y =⎧⎨=⎩，； 10x y =⎧⎨=⎩，； 01x y =⎧⎨=⎩，； 00x y =⎧⎨=⎩，； 02x y =⎧⎨=⎩，； 21x y =⎧⎨=⎩，； 20x y =⎧⎨=⎩，； 22.x y =⎧⎨=⎩， 以上共计9对x y （，）. 3甲．D解：由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=, 于是 4423421444a b a b ++++-=.3乙．B解：如图,以CD 为边作等边△CDE ,连接AE . 由于AC = BC ,CD = CE ,∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE ,所以△BCD ≌△ACE , BD = AE .又因为30ADC ∠=︒,所以90ADE ∠=︒. 在Rt △ADE 中,53AE AD ==，， 于是DE4=,所以CD = DE = 4.4甲．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，，消去x 得 2y －7n = y +4, 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数,所以2y －7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11．从而n 的值分别为8,3,2,1；x 的值分别为14,7,6,7．4乙．C解：由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即 39p q +<. 由于p q ，都是正整数,所以1p =,1≤q ≤5；或 2p =,1≤q ≤2,此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意．5甲．D解：掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====，，，,因此3p 最大． 5乙．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=++++, 解得 1101x +=,100x =．二、填空题6甲．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2,33x －2－2 = 9x －8,39x －8－2 = 27x －26,327x －26－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487, 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证,当7＜x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7＜x ≤19．6乙.7解：在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c7甲．8解：连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==，,所以225AF AB BF a =+=,于是 25cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25cos AM AE BAF =⋅∠, 2453MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =所以8MND S ∆=. 7乙.285解：如图,设DE 的中点为M ,连接OM ,则OM DE ⊥．因为22201216OB -=,所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===, 22366455CM OC OM BM =-==，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8甲．32-解：根据题意,关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0,由此得 k －32≤0．又k －32≥0,所以k －32=0,从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0,解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-．8乙.1610解：()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此45|(9)n +,所以)5(mod 14≡n ,因此25k ,15±±=或k n240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1610个数9甲．8解：设平局数为a ,胜负局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43.又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==，；当9m =时,2035b a ==，,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =． 9乙.1253≤<-ca解：依题意得：(1)111(2)a b c b c a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩,所以a c b ->,代入2得ca c cb a 11111+-<+<,两边乘以a 得 c a a c a +-<1,即a c ac a c -<-,化简得0322<+-c ac a ,两边除以2c 得 23()10a a c c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c,所以1≤ca综合得1253≤<-c a 另解：可令ak c=,由1得(1)b k c >-,代入2化简得2310k k -+<,解得 353522k -<<,另一方面：a ≤b ≤c,所以1k ≤, 综合得3512k <≤． 10甲．223 解：如图,连接AC ,BD ,OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC ,于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA =22AD ,故 AD CF BC BA =⋅=2=. 10乙.12解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数,a+b 、a-b 同奇偶,所以n 是4的倍数,即4n k =,当1≤n ≤100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，）,则： 2k p k p ==或,其中p 是素数,因此,k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n 有12个;三、解答题11甲．解： 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>（）（）,即210m +>（）,所以1m ≠-．…………3分当1x =-时,y ≤0；当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-．…………8分设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-,所以121239210x x m x x m ++=-<-+,解得12m <-,或2m >-．因此12m <-．…………15分11乙.解：因为sin ∠ABC =45AO AB =,8AO =, 所以AB = 10．由勾股定理,得262BO AB AO -=． 易知ABO ACO △≌△, 因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，,(60)B ，,(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，． 由COE ADE S S =△△,得CDB AOB S S =△△．所以1122BC n AO BO ⋅=⋅,1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点,点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为△A BC 的重心,所以点E 的坐标为8(0)3-，．也可由直线CD 交y 轴于点E 来求得. 设经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+． 将点E 的坐标代入,解得a =272． 故经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为228273y x =-．12甲． 证明：连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形．…………5分设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………10分又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F ．…………15分12乙.证明：1如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知：CID IAD IDA ∠=∠+∠,CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠, CI = CD ．同理,CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ,OC ,因为I 是AC 的中点,且OA = OC , 所以OI ⊥AC ,即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． 2如图,过点I 作IE ⊥AD 于点E ,设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =,知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ,BC = CI = AI ,所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心,所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．也可由托勒密定理得：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅,再将22AC BC CD ==代入即得结论2AB AD BD +=;13甲．解：设a －b = mm 是素数,ab = n 2n 是自然数.因为 a +b 2－4ab = a －b 2, 所以 2a －m 2－4n 2 = m 2,2a －m +2n 2a －m －2n = m 2.…………5分1当1n ≥时,因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数,且2a －m +2n ＞2a －m －2n m 为素数,所以 2a －m +2n =m 2,2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +,n =214m -.于是 b = a －m =214m -（）.…………10分又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025.当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =. 此时,a 的最小值为2025.2当0n =时,因为a ≥2012,所以0b =,从而得a 的最小值为2017素数; 综上所述,所求的a 的最小值为2017;……15分13乙.解：设凸n 边形最多有k 个内角等于150°,则每个150°内角的外角都等于30°,而凸n 边形的n 个外角和为360°,所以3601230k ≤=,只有当12n =时, k 才有最大值12. …………5分下面我们讨论12n ≠时的情况： 1当12n >时,显然,k 的值是11；2当3,4,5,6,7n =时,k 的值分别为1,2,3,4,5；3当8,9,10,11n =时,k 的值分别为7,8,9,10. …………10分综上所述,当37n ≤≤时,凸n 边形最多有2n -个内角等于150°；当811n ≤≤时,凸n 边形最多有1n -个内角等于150°；当12n =时,凸n 边形最多有12个内角等于150°；当12n >时,凸n 边形最多有11个内角等于150°;. ……15分14甲．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数,且122012x x x <<<,所以1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． …………5分当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，,则1220121220121x x x +++=. …………10分当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===，， ，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，,则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上,满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ．…………15分14乙.解：当1621n =-时,把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+-， ， ， ， ， 和{}84521-， ， ， ．在数组{}88162322121+-， ， ， ， ， 中,由于38821632221<>-（，）,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =． 在数组{}84521-， ， ， 中,由于48421>-, 所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =． 所以,162n ≥．下面证明当162n =时,满足题设条件．不妨设2在第一组,若224=也在第一组,则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组,8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组,我们取8282a b c ===，，,此时b a c =；如果8在第二组,我们取16482a b c ===，，,此时b a c =． 综上,162n =满足题设条件．所以,n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n 最小值为65536．。
2011年全国初中数学竞赛试题和答案1212-推荐下载
于是有 4 4S 5 ，故 4S 的整数部分等于 4．
1 20113
993
1 k3
1
（C）6
1 2
k
1
k 2 1
1 2
（D） 4 7 12
（D） 11 2
（C）S1S3>S2S4
1 2011 2012
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2011年全国初中数学竞赛解答题汇编(含答案)
O ABC DEM 第17题图H y 九年级实验班数学竞赛试卷15．已知关于x 的方程x 3－ax 2－2ax +a 2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a 的取值范围.16．如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C 。
（1）求点C 的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD的解析式。
17．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH 。
（1）求证：∠BOC=∠BHC ；（2）求证：△BOM ≌△COH ；（3）求MHOH 的值.18．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2, ⋅⋅⋅, 17；第二行依次为18, 19, ⋅⋅⋅, 34; ⋅⋅⋅，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ⋅⋅⋅ , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ⋅⋅⋅, 26；⋅⋅⋅，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？15、将原方程视为a 的一元二次方程，即a 2－( x 2+2x )a +x 3－1=0. 分解因式得[a －(x －1)][a－(x 2+x +1)]=0. 则x =a +1或x 2+x +1－a =0①.（6分）因x =a +1不是方程①的根，所以，当方程①无实根时，原方程有且只有一个实根. 于是△=1－4 ( 1－a )<0. 解得a <34.（6分） 16、（1）解：如图，连结AC ，CB 。
依相交弦定理的推论可得OC 2=OA ·OB ，解得OC=2。
全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案
初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92（D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ).（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙（第8题）（第10题）1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x=于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）（第14题）初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 因为实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEFS S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. （第4题）于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，． 因为AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 因为13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． （第8题）当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，（第10题）故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=， 于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，（第12题）（第13题）故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以 AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD=，即a b ，所以a b +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x =，得到点Q ，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为1y =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若3Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()3P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()3P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为31y x =-+，或31y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 因为2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。
全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2011年全国 初中数学联赛(含答案)
12011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2a b +=，()()22114a b ba--+=-，则ab 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．12-D ．12【解析】 B由22(1)(1)4a b b a--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-，即()2233()240a b a b a b ab +-++++=，即()()222222240a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1ab =-．2．已知ABC △的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 B设ABC △的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为222520S S Sh，，．显然222520S S >，于是由三边关系，得222205222205S S Sh S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得2043h <<． 所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．3．方程()21423(2)x x -=-+的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C如图，利用函数图像，发现主要是讨论在11x -≤≤时的交点情况，可用判别式判断(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根，所以函数图象上中间部分应该是相切的，所以共有三个交点．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组【解析】 C显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条，当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．yxOy=4-23((x +2)y=x 2-13又因为12945+++=L ，所以正方形的边长不大于45114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由于7=1+了=2+5=3+4； 8=1+7=2+6=3+5； 9=1+8=2+7=3+6=4+5；1+9=2+8=3+7=4+6 2+9=3+8=4+7=5+6．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法．故满足条件的“线段组”的组数为1459⨯+=．5．如图，菱形ABCD 中，3AB =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，则AE =（ ）A ．12+B 6C ．231D ．13【解析】 D过F 作AB 的垂线，垂足为H ．60DAB ∠=︒Q ，2AF AD FD =-=，30EFG ∴∠=︒，1AH =，3FH =，又15EFG ∠=︒Q90301545EFH AFG AFH EFG ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，从而FHE △是等腰直角三角形，所以3HE FH ==DCABE HFG413AE AH HE ∴=+=．6．已知111111111234x y z y z x z x y +=+=+=+++，，，则234x y z++的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【解析】 C111122x x x y z y z +=∴+=++，，即22x y z x y zy z x x y z+++=∴=+++， 同理可得：34x z x yy x y z z x y z++==++++， 则()22342x y z x y z x y z++++==++ 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在ABC △中，已知2B A ∠=∠，223BC AB ==+，，则A ∠=______________．【解析】 15︒方法一：延长AB 到D ，使BD BC =，连线段CD ，则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA Cd =．作CD AB ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故()()111223223222AE DE AD AB BD ===+=+=+，((223233BE AB AE =-=+-．在Rt BCE △中，3cos EB EBC BC ∠==，所以30EBC ∠=︒，故1152A ABC ∠=∠=︒． CD5方法二：过点C 点AB 的平行线交B ∠的角平分线与D 点，分别过C 点和D 点作AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，易知梯形ABCD 为等腰梯形易知22CD CB EF ==∴=，3Rt AF BE BCE ∴==∴中，3cos EBC ∠=，30CBE ∴∠=︒ 15A ∴∠=︒2．二次函2y x bx c =++的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A B ，两点，与y 轴正方向交于C 点，若ABD △和OBC △均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则2b c +=____________．【解析】 2．方法一：由已知，得24(0)0b b c C c A ⎫---⎪⎪⎝⎭，，，240b b c B ⎫-+-⎪⎪⎝⎭，2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，．过D 作DE AB ⊥于点E ，则2DE AB =，即224244b c b c -⨯-22424b c b c -=-240b c -242b c -．又240b c ->242b c -=．又OC OB =，即24b b cc -+-=，得2242b c b c +-=．方法二：OBC △为等腰直角三角形，OB OC ∴=，B ∴点坐标为()0c ，20c bc c ∴++=，又0c ≠，10c b ∴++=，24AB b c -D 点纵坐标为24b c -，BE F A CD6ABD △为等腰直角三角形，221442b c b c ∴-=-22424b c b c ∴-=-240b c -≠，所以244b c -=2444b c b ∴=+=-，0b ≠，4b ∴=-，3c ∴=3．能使2''256+是完全平方数的正整数n 的值为______________．【解析】 11．当8n <时，()82''2562''12n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则2''2562652+=⨯；若4n =，则42''256217+=⨯；若6n =，则62''25625+=⨯；若8n =，则82''25622+=⨯，所以，当8n ≤时，2''256+都不是完全平方数．当8n >时，()882''256221n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设()282121n k -+=+（k 为自然数），则10(1)n n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．4．如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果34DE CE =，85AC =，D 为EF 的中点，则AB =______________．【解析】 24．设4CE x AE y ==，，则36DF DE x EF x ===，连AD BC ，．因为AB 为O e 的直径，AF 为O e 的切线，所以90EAF ∠=︒，ACD DAF ∠=∠．7又因为D 为Rt AEF △的斜边EF 的中点，DA DE DF DAF AFD ∴==∴∠=∠，，85ACD AFD AF AC ∴∠=∠∴==，在Rt AEF △中，由勾股定理得222EF AE AF =+，即2236320x y =+．设BE z =，由相交弦定理得CE DE AE BE =g g ，即24312yz x x x ==g， 23203y yz ∴+= ①又AD DE =Q ，DAE AED ∴∠=∠．又DAE BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，BCE BEC ∴∠=∠，从而BC BE z ==．在Rt ACB △中，由勾股定理得222AB AC BC =+，即22()320y z z +=+，22320y yz ∴+=． ②联立①②，解得816y z ==，．所以24AB AE BE =+=．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a b c ，，满足3a b c -+=，方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根，方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根．求a b c，，的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．CAE OFDB8设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则221211100x ax x bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得11c x a b -=-．设1x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则22211200x x a x cx b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得21a b x c -=-．所以121x x =．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则22210x ax ++=． 又2220x x a ++=，两式相减，得2(1)1a x a -=-． 若1a =，则方程①无实根，所以1a ≠，故21x =．于是21a b c =-+=-，．又3a b c -+=，解得32b c =-=，．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =，P 为AC 的中点．求证：（1）30PBD ∠=︒；（2）AD DC =．直径，P 为该圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒．（2）作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，DAPM SNB C931222MS DS DM SB SB SB SN ∴=-=-==，Rt PMS Rt PNS ∴≅△△，30MPS NPS ∴∠=∠=︒，又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．⑴证明：3m n p +=+；⑵求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 ⑴因为90ACB ∠=︒，OC ab ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=2()2()()()m n p p m n p m n p m n p ++-++=+++-，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．（2）由2mn p =，3m n p +=+知m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而[]22(3)40p p =-+->△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．10当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．设图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =-．所以，图象经过.A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =．求证：AD DC =．证明 由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径．设P 为AC 的中点，则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，则M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，CBNSM PAD11∴31222MS DS DM SB SB SB SN =-=-==,∴Rt PMS Rt PNS ≅△△,∴30MPS NPS ∠=∠=︒,又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，所以45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 因为90ACB ∠=︒，OC AB ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=222()2()()2()m n p p m n p m n p p np mp ++-++=++-++，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．又2mn p =，故m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而()22340p p =-+->⎡⎤⎣⎦△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．12当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．试图象经过A B C ，，三点的二次涵数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =． 所以，图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，已知P 为锐角ABC △内一点，过P 分别作BC AC AB ，，的垂线，垂足分别为D E F ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ，如果PD PE PF =+，求证：CN 是ACB ∠的平分线．证明 如图1，作1MM BC ⊥于点1M ，2MM AB ⊥于点2M ，1MN BC ⊥于点1N ，2MN AC ⊥于点2N ．MAB CD EPF M 1N 1M 2N 2NP NDHMN 1M 1H 1设NP NM λ=⊥，∵11NN PD MM ∥∥，∴111N D N M λ=．13若11NN MM <，如图2，作1NH MM ⊥，分别交1MM ，于点1H H ，，则1NPH NMH :△△，∴1PH NPMH NMλ==，∴1PH MH λ=， ∴()()111111111PD PH H H MH NN MM NN NN MM NN λλλλ=+=+=-+=+-．若11NN MM =，则()11111PD NN MM MM NN λλ===+-．若11NN MM >，同理可证11(1)PD MM NN λλ=+-．∵2PE NN ∥，∴21PE PMNN NMλ==-，∴2(1)PE NN λ=-． ∵2PF MM ∥，∴2PF NPMM NMλ==，∴2PE MM λ=． 又PD PE PF =+，∴1122(1)(1)MM NN MM NN λλλλ+-=+-．又因为BM 是ABC ∠的平分线，所以12MM MM =，∴()()1211NN NN λλ-=-．显然1λ≠，即10λ-≠，∴12NN NN =，∴CN 是ACB ∠的平分线．三、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同．。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题共5小题,每小题6分,共30分.1甲．如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为 ．A 2c a -B 22a b -C a -D a 1乙．如果22a =-+那么11123a+++的值为 ．A 2-2222甲．如果正比例函数y = axa ≠ 0与反比例函数y =xbb ≠0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为－3,－2,那么另一个交点的坐标为 ． A2,3 B3,－2 C －2,3 D3,22乙． 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标x ,y 的个数为 ．A10 B9 C7 D53甲．如果a b ，为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． A1 B214a - C 12 D 143乙．如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为 ． A 23 B4 C 52 D4甲．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是 ． A1 B2 C3 D44乙．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数的正根小于3, 那么这样的方程的个数是 ．A 5B 6C 7D 85甲．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6．掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是 ．A 0pB 1pC 2pD 3p5乙．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，,然后删去a b ，,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是 ．A2012 B101 C100 D99二、填空题共5小题,每小题6分,共30分6甲．按如图的程序进行操作,规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 . 6乙.如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么OAB CE a b cb c c a a b+++++的值为 ． 7甲．如图,正方形ABCD 的边长为215E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7乙.如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作矩形OBAC,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 ;8甲. 如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为 ．8乙．设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为 .9甲. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .9乙．如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则ac的取值范围是 . 10甲如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD ,交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的 长为 .xyO ECABD10乙．已知n 是偶数,且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 ．三、解答题共4题,每题15分,共60分11甲．已知二次函数232y x m x m =++++（）,当13x -<<时,恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 11乙. 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴负半轴上,点B 、C 分别在x 轴正、负半轴上,48,,sin 5AO AB AC C ==∠AB =;点D 在线段AB 上,连结CD交y 轴于点E,且COE ADE S S ∆∆=;试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式; 12甲. 如图,⊙O 的直径为AB ,1O 过点O ,且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点,OC 与1O 交于点D ,且OD CD >．点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与1O 交于点F ,求证：△BOC ∽△1DO F ．12乙．如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： 1OI 是△IBD 的外接圆的切线； 2AB +AD = 2BD .13甲. 已知整数a ,b 满足：a －b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值. 13乙．给定一个正整数n ,凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒并说明理由．14甲. 求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ，， ，,满足122012x x x <<<,且122012122012n x x x +++=. 14乙．将2,3,…,n n ≥2任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， 可以相同,使得b a c =,求n 的最小值．参考解答一、选择题1甲 .C解：由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．1乙．B解：1111111223a+=+=++111=+=+=．2甲．D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3,2.2乙．B解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y , 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数,所以有 解得以上共计9对x y （，）.3甲．D解：由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为(1)(1)44224a ab a b ++++++=, 于是4423421444a b a b ++++-=. 3乙．B解：如图,以CD 为边作等边△CDE ,连接AE . 由于AC = BC ,CD = CE ,∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE , 所以△BCD ≌△ACE , BD = AE . 又因为30ADC ∠=︒,所以90ADE ∠=︒. 在Rt △ADE 中,53AE AD ==，，于是DE 224AE AD -=,所以CD = DE = 4. 4甲．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ，均为非负整数. 由题设可得消去x 得 2y －7n = y +4, 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数,所以2y －7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11．从而n 的值分别为8,3,2,1；x 的值分别为14,7,6,7．4乙．C解：由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即39p q +<. 由于p q ，都是正整数,所以1p =,1≤q ≤5；或 2p =,1≤q ≤2,此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意． 5甲．D解：掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====，，，,因此3p 最大． 5乙．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=++++, 解得 1101x +=,100x =．二、填空题6甲．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2,33x －2－2 = 9x －8,39x －8－2 = 27x －26,327x －26－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487, 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证,当7＜x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7＜x ≤19．6乙.7解：在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c 7甲．8解：连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==，,所以225AF AB BF a =+=,于是 25cos 5AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25cos AM AE BAF =⋅∠, 2453MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =所以8MND S ∆=. 7乙.285解：如图,设DE 的中点为M ,连接OM ,则OM DE ⊥．因为16OB =,所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===, 366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8甲．32-解：根据题意,关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0,由此得 k －32≤0．又k －32≥0,所以k －32=0,从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0,解得x 1=x 2=32-. 故2012220111x x =21x =23-． 8乙.1610解：()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此45|(9)n +,所以)5(mod 14≡n ,因此25k ,15±±=或k n 所以共有2012-402=1610个数9甲．8解：设平局数为a ,胜负局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==，；当9m =时,2035b a ==，,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =．9乙.1253≤<-ca解：依题意得：(1)111(2)a b c b c a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩,所以a c b ->,代入2得 c a c c b a 11111+-<+<,两边乘以a 得 c a a c a +-<1,即a c ac a c -<-,化简得0322<+-c ac a ,两边除以2c 得 23()10a a c c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c,所以1≤ca综合得1253≤<-c a 另解：可令ak c=,由1得(1)b k c >-,代入2化简得2310k k -+<,解得3535k -+<<,另一方面：a ≤b ≤c,所以1k ≤, 综合得351k -<≤． 10甲．223 解：如图,连接AC ,BD ,OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA =22AD ,故AD CF BCBA =⋅=2=. 10乙.12 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数,a+b 、a-b 同奇偶,所以n 是4的倍数,即4n k =,当1≤n ≤100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，）,则：2k p k p ==或,其中p 是素数,因此,k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n 有12个;三、解答题11甲．解： 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>（）（）,即210m +>（）,所以1m ≠-．…………3分当1x =-时,y ≤0；当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-．…………8分设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-,所以121239210x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-．因此12m <-．…………15分11乙.解：因为sin ∠ABC =45AO AB =,8AO =, 所以AB = 10．由勾股定理,得262BO AB AO -=．易知ABO ACO △≌△, 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，,(60)B ，,(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△,得CDB AOB S S =△△．所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅,1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点,点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为△A BC 的重心,所以点E 的坐标为8(0)3-，．也可由直线CD 交y 轴于点E 来求得. 设经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入,解得a =272． 故经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为228273y x =-． 12甲． 证明：连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形．…………5分设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………10分又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F ．…………15分12乙.证明：1如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知：CID IAD IDA ∠=∠+∠,CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠, CI = CD ．同理,CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ,OC ,因为I 是AC 的中点,且OA = OC ,所以OI ⊥AC ,即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． 2如图,过点I 作IE ⊥AD 于点E ,设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =,知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ,BC = CI = AI ,所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心,所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．也可由托勒密定理得：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅,再将22AC BC CD ==代入即得结论2AB AD BD +=;13甲．解：设a －b = mm 是素数,ab = n 2n 是自然数.因为 a +b 2－4ab = a －b 2,所以 2a －m 2－4n 2 = m 2,2a －m +2n 2a －m －2n = m 2.…………5分1当1n ≥时,因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数,且2a －m +2n ＞2a －m －2n m 为素数,所以 2a －m +2n =m 2,2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +,n =214m -. 于是 b = a －m =214m -（）. …………10分又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.此时,a 的最小值为2025.2当0n =时,因为a ≥2012,所以0b =,从而得a 的最小值为2017素数; 综上所述,所求的a 的最小值为2017;……15分13乙.解：设凸n 边形最多有k 个内角等于150°,则每个150°内角的外角 都等于30°,而凸n 边形的n 个外角和为360°,所以3601230k ≤=,只有当12n =时, k 才有最大值12. …………5分下面我们讨论12n ≠时的情况：1当12n >时,显然,k 的值是11；2当3,4,5,6,7n =时,k 的值分别为1,2,3,4,5；3当8,9,10,11n =时,k 的值分别为7,8,9,10. …………10分综上所述,当37n ≤≤时,凸n 边形最多有2n -个内角等于150°；当811n ≤≤时,凸n 边形最多有1n -个内角等于150°；当12n =时,凸n 边形最多有12个内角等于150°；当12n >时,凸n 边形最多有11个内角等于150°;. ……15分14甲．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数,且122012x x x <<<,所以1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012． 于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． …………5分当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，,则1220121220121x x x +++=. …………10分当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===，， ，， 122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，,则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上,满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ．…………15分14乙.解：当1621n =-时,把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+-， ， ， ， ， 和{}84521-， ， ， ． 在数组{}88162322121+-， ， ， ， ， 中,由于38821632221<>-（，）,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．在数组{}84521-， ， ， 中,由于48421>-,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．所以,162n ≥．下面证明当162n =时,满足题设条件．不妨设2在第一组,若224=也在第一组,则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组,8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组,我们取8282a b c ===，，,此时b a c =；如果8在第二组,我们取16482a b c ===，，,此时b a c =． 综上,162n =满足题设条件．所以,n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536．。
2011年全国初中数学联赛试题及答案
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 【答】B. 由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-， 即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ．2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.【答】B.设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为h S S S 2,202,52．显然20252S S >，于是由三边关系，得 ⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h S S S S h S S 解得3204<<h ． 所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x =24x =-，均满足1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x =，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组.【答】C. 显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=5362718+=+=+=； 546372819+=+=+=+=64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。
全国初中数学竞赛试题参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h<1 （B ）h=1 （C ）1<h<2 （D ）h>24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）20075．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QA QC 的值为（ ） （A ）132-; （B ）32（C ）23+; （D ）23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a=2005．若a<b ，则a ＋b ＋c的最大值为 ．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC，D CBA G E其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ． 8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a<1，且满足122918303030a a a ++++++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则[]10a 的值等于 ．([]x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知a b x =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ①245bc a a =-- ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．14．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n 的最小值．C A参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
2011年全国初中数学竞赛试题和答案
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题一、选择题 1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为【 】（A ）24 （B ）25 （C ）1074+ （D ）1274+ 2、对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ，d ）＝（ac ＋bd ，ad ＋bc ）。
如果对于任意实数u ，v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）＝（u ，v ），那么（x ，y ）为【 】（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（－1，0） （D ）（0，－1）3、若x>1，y>0，且满足xy ＝x y，yxyx 3=，则x ＋y 的值为【 】（A ）1 （B ）2 （C ）29 （D ）2114、点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设S 四边形EADF ＝S 1，S △BDF ＝S 2， S △BCF ＝S 3，S △CEF ＝S 4，则S 1S 3与S 2S 4的大小关系为【 】（A ）S 1S 3＜ S 2S 4 （B ）S 1S 3＝S 2S 4 （C ）S 1S 3＞S 2S 4 （D ）不能确定 5、设3333991312111+⋅⋅⋅+++=S ，则4S 的整数部分等【 】（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题6、若关于x 的方程（x －2）（x 2－4x ＋m ）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是_______。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。
同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_________。
8、如图，点A ，B 为直线y ＝x 上的两点，过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线xy 1=（x>0）于C ，D 两点。
2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
G A B CDE F2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a ＋b ＝2，(1－a )2b ＋(1－b )2a ＝-4,则ab 的值为( )(A) 1 (B) -1 (C) -1 2(D)1 22. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 83. 方程│x 2－1│＝(4－23) (x ＋2)的解的个数为( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个4. 今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组5. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝3， DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE ＝( )(A) 1＋2 (B) 6 (C) 23－1 (D) 1＋36. 已知1x ＋1y ＋z ＝12, 1y ＋1x ＋z ＝13,1z ＋1x ＋y ＝14，则 2x ＋3y ＋4z 的值为( )(A) 1 (B)3 2(C) 2 (D)52二．填空题1. 在△ABC 中，已知∠B ＝2∠A ，BC ＝2，AB ＝2＋23，则∠A ＝ ．2. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则 b ＋2c ＝ ．3. 能使2n ＋256是完全平方数的正整数n 的值为 ．OA BCDEF4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果DE ＝34CE ，AC ＝85，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．第二试1. 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足a －b ＋c ＝3，方程x 2＋ax ＋1＝0和x 2＋bx ＋c ＝0有一个相同的实根，方程x 2＋x ＋a ＝0和x 2＋cx ＋b ＝0也有一个相同的实根．求a ,b ,c 的值．PABCDS2. 如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，对角线AC ,BD 交于点S ，且DS ＝2SB ，P 为AC 的中点． 求证：（1）∠PBD ＝30°；（2）AD ＝DC ．3. 已知m ,n ,p 为正整数，m ＜n ．设A (－m ,0)，B (n ,0)，C (0,p )，O 为坐标原点．若∠ACB ＝90°，且OA 2＋OB 2＋OC 2＝3(OA ＋OB ＋OC ) （1）证明： m ＋n ＝p ＋3；（2）求图象经过A ,B ,C 三点的二次函数的解析式．参考答案一．选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空题1. 15°2. 23.114. 24第二试1.解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得ba c x --=11． 设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b+=+ （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1a b c（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则DO OB= （ ） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3第4题图 第5题图5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上， 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE ＝ （ ） A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1232001111...a a a a ++++=（ ） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1．使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _．2．如图，平行四边形ABCD 中，072ABC ∠=，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则AED ∠=______．3．设m,n 是正整数，且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同，则m-n 的最小值为 ．4．若实数x,y满足3331+的最小值为．x y++=，则22x y xy第一试(B)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定．2．题目与（A）卷第1 题相同.3. 题目与（A）卷第3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0，6a b2 c 0，则a2 b2c2＝（）A. 424B. 430C. 441D. 460．5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BAD ACB 180，且BC 3，AD 4，AC 5，AB 6，则DO/OB＝（）A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96．题目与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目与（A）卷第1 题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠=∠，则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与（A ）卷第3 题相同.4. 题目与（A ）卷第4 题相同第二试 （A ）一、（本题满分20 分）已知实数x,y 满足x+y=3，221112x y x y +=++ ，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC ，BAC 45，E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1，BF 5，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a, b)，使得34938b a =⨯+第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤，++=16a b c ，2221+++=1284a b c abc ， 求c 的值.二、（本题满分25 分）求所有的正整数m ，使得212-2+1m m -是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ，OA OD ，OB OC .求证： AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。
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1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为 （ ）
A 、24
B 、25 （63）
C 、1074+ （
） D 、1274+ （
）
解法一：直接思维：直接代入进行计算。
立方计算，很费时间。
原式
=33312
3(81)(86
1)(4411)66a +--=⨯=-=-=--==+= 解法二：拆分、组合：提取（a+1）
原式=3a 3+3a 2+9a 2
+9a-15a-15+3
=（a+1）(3a 2+9a-15)+3=（a+1）(3a 2+3a+6a-15)+3
=[3a(a+1)2+（a+1）(6a-15)]+3=[21a+（a+1）(6a-15)]+3
=6a 2+12a+6-18=42-18=24
解法三：构造：（a+1）2
原式=3a(a 2+4a-2)-12=3a(a 2+2a+1+2a-3)-12=3a[(a+1)2+2a-3]-12
=3a(4+2a)-12=6a(a+2)-12=36-12=24
解法四：综合、分析：a 2=6-2a 代换
原式=3a(6-2a)+12(6-2a)-6a-12=-6a 2-12a+60=-6(6-2a)-12a+60=24
解法五：联想、猜想：结果应该是三的倍数。
24=3×8原式除以3得：
a 3+4a 2-2a-4=a 3+a 2+3a 2+3a-5a-4=(a+1)(a 2+3a)-5a-4=(a+1)(6+a)-5a-4
=a 2+2a+2=8
a 3+4a 2-2a-4=a 3+2a 2+a+2a 2-3a-4=a(a+1)2+2a 2-3a-4=7a+2a 2-3a-4=2a 2+4a-4=2a 2+4a+2-6=14-6=8
a 3+4a 2-2a-4=a 3+4a 2-2a-4=a(6-2a)+4(6-2a)-2a-4=-2a 2-4a +20
=-2(6-2a)-4a +20=8
赛点：1、两数和的平方、两数立方和的公式及其拆分、组合、变换 2、平方根式的运算
3、因式分解
4、构造的思想方法
5、猜想的思想方法
()
)(
)
)
)
)
)(
)
)
32
32
22
22
2
312612
=3+1+12615
=31112615
112615
3425
348215
31855
24
a a a
a a a
a a a a a
a a a a
a a
+--
--
+-++--
=-++--
⎡⎤
=-+-
⎣
⎡⎤
=--++
⎣⎦
⎡⎤
=-+
⎣⎦
=
2、对于任意实数d
c
b
a,
,
,，定义有序实数对（b
a,）与（d
c,）之间的运算“△”为：（b
a,）△（d
c,）=（bc
ad
bd
ac+
+,）。
如果对于任意实数v
u,，都有（v
u,）△（y
x,）=（v
u,），那么（y
x,）为（）
A、（0，1）
B、（1，0）
C、（－1，0）
D、（0，－1）
解法一：观察ux+vy=u,uy+vx=v.发现x=1,y=0
解法二：探索性问题研究
由给定的条件：对于任意实数d
c
b
a,
,
,，定义有序实数对（b
a,）与（d
c,）之间的运算“△”为：（b
a,）△（d
c,）=（bc
ad
bd
ac+
+,）。
如果对于任意实数v
u,，都有（v
u,）△（y
x,）=（v
u,），探索相应的结论：那么（y
x,）为（1,0）。
或由给定的结论：对于任意实数d
c
b
a,
,
,，定义有序实数对（b
a,）与（d
c,）之间的运算“△”为：（b
a,）△（d
c,）=（bc
ad
bd
ac+
+,）。
如果对于任意实数v
u,，都有（v
u,）△（y
x,）=（v
u,）。
探求应具备的条件：那么（y
x,）为（1,0）。