高中数学 1.4计数应用题 精品导学案 苏教版选修2-3

1.4 计数应用题

1．简单计数问题的处理原则

解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则．分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理．预习交流1

你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则．

提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置．

2．简单的常见计数问题的解题策略

剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除．

捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．

插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．预习交流2

剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？

提示：剔除主要用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上．

一、剔除问题

四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法有__________种．

思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求．

答案：141

解析：如图，从10个点中任取4个点有C410种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：

第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C46种；

第二类：4个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种；

第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．

综上所述可知：不同的取法共有：C410－(4C46＋6＋3)＝141种．

从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？

解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C16·C12＝12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C36－C18＝12种不同的选法．

利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏．

二、捆绑问题(相邻问题)

从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一列，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有__________种．

思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列．答案：480

解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C36种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A44种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C36·A44＝480种不同排列．

停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？

解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99＝362 880种不同的停车方法．

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．

三、插空问题(不相邻问题)

7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是__________．

思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．

答案：3 600

解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A55种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A26种方法，故共有A55·A26＝3 600种不同的排法．

晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．

解：先排8个唱歌节目共有A88种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A39种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为

A88·A39＝20 321 280.

解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．

1．记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不在两端的排法有__________种．

答案：960

解析：5名志愿者先全排有A55种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A55·C14·A22＝960种不同的排法．

2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数有__________个．答案：108

解析：插空法，先排2,4,6共有A33种方法；

若1,3,5都不相邻，则有A33种方法，若1,3相邻，则有A22A33种方法；

∴共有A33(A33＋A22A33)＝108种不同的排法．

3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有__________种．

答案：1 008

解析：若丙排在10月1日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A44A22＝48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A66·A22＝1 440种不同的排法，

∴符合题意的排法的种数为1 440－240－240＋48＝1 008.

4．有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？

解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：

第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有C45C44种；

第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有(C12C35C44＋C12C45C34)种；

第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(C25C44＋C45C24＋C12C35C34)种．

由分类计数原理知，可开出名单共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C25C44＋C45C24＋C12C35C34＝185种．5．7位同学站成一排合影留念，

(1)其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？

(2)甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？

(3)甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：(1)用剔除法：总排有A77种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A55种．

∴甲不站排头，乙不站排尾的排法有A77－2A66＋A55＝3 720种．

(2)用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A55种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A33种，∴甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A55·A33＝720种．