高中数学 1.4计数应用题 精品导学案 苏教版选修2-3
1.4.计数应用题-苏教版选修2-3教案
1.4. 计数应用题-苏教版选修2-3教案1. 教学目标•理解计数的定义；•掌握计数的基本方法；•能够应用所学知识解决实际问题。
2. 教学重点•计数的定义和基本方法。
3. 教学难点•能够应用所学知识解决实际问题。
4. 教学方法•讲授法；•举例法；•讨论法。
5. 教学过程5.1 讲授：计数的定义和基本方法1.计数的定义：计数是人们对事物个数、数量的确定或估算。
2.计数的基本方法：–逐一计数法：将每个事物一个一个地数出来，依次计数，这是最基本的一种计数方法。
适用于数量较少、规律简单的情况。
–集合计数法：将事物分组，先分组计数，再将各组数量相加，得到总的数量。
适用于数量较多、规律比较复杂的情况。
–排列和组合：排列是指从一组不同的事物中按照一定的顺序取出若干个不同的事物的方式数；组合是指从一组不同的事物中任意取出若干个不同的事物的方式数。
排列和组合是计数的重要方法之一，适用于需要考虑顺序或排除重复的计数问题。
5.2 举例：应用计数解决实际问题1.现有4个球员，从中选出3个，有多少种不同的选法？–解：这是一个从4个不同的球员中任选3个的问题，应用组合的计数方法：C(4,3) = 4!/[(4-3)!3!] = 4种。
2.汽车比赛共有10辆车参加，比赛奖励前3名。
如果没有并列，有多少种可能的结果？–解：这是一个排列的问题，第一名、第二名、第三名共有10种选法、9种选法、8种选法，应用排列的计数方法：P(10,3) = 10!/[(10-3)!] = 720种。
5.3 讨论：课堂练习•请同学们分组，通过小组讨论的方式，解决以下计数问题：1.有5个红球、4个蓝球和3个黄球，从中任选3个球，有多少种不同的选法？2.有6个不同的数字（1-6），从中任取其中一个数字，得到该数字的概率是多少？5.4 总结：计数的应用通过本节课的学习，我们掌握了计数的定义和基本方法，能够将所学知识应用于实际问题的解决中。
在日常生活中，大量的问题需要用到计数，如购物结账、数学统计、调查报告等等，相信同学们将所学知识应用到实际生活中，会产生很好的效果。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.4 计数应用题》4
两个基本计数原理江苏省如东高级中学 符晓燕教学目标：1．准确理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别．2．会运用分类计数原理和分步计数原理解决一些简单的问题．教学重点：分类计数原理和分步计数原理．解决这两个原理的数学思想方法教学难点：分类计数原理和分步计数原理的区别．教学过程：一、问题情境问题情境一 某人欲去某地，可乘坐不同的交通工具，则会有多种不同的走法．二、学生活动1．若一天中有火车3班，有汽车2班，那么一天中乘坐这些交通工具去某地有多少种不同的走法？2．由情境一，你能归纳猜想出一般结论吗？三、建构数学1．分类计数原理：完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2中不同的方法，……在第n 类方式中有m n 中不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．2．问题情境二：某人欲自A 地经B 地到C 地，从A 地到B 地一天中有火车3班，从B 地到C 地有汽车2班，那么从A 地到C 地有多少种不同的走法？3．由情境二，你能归纳猜想出一般结论吗？4．分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2出发地 目的地 火车1火车3汽车1火车2汽车2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．四、数学应用1．例题．例1某班共有男生28名、女生2021从该班选出学生代表参加校学代会．（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女代表各1名，则有多少种不同的选法？例2（1）在图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？（2）在图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？（3）密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？例4有5种不同的书（每种不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？五、课堂练习练习：小明在参观上海的大学时了解到三所大学有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下如果小明要在这些大学里选择一个专业，那么他有多少种选择呢？变：如果小明要在每个大学里各选择一个专业，那么他有多少种选择呢？六、课堂巩固．（1）现有高中一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名．①从中任选一人参加夏令营，有种不同的选法？②从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有种不同的选法？（2）若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则有报名方法．七、课后延伸（1）集合A中有m个元素，集合B中有n个元素则从A到B的映射有多少个？（2）乘积（abcdmn展开后有多少项？八、回顾反思1本节课学习的知识错误!．分类计数原理；错误!．分步计数原理；2数学思想错误!分类讨论错误!类比思想错误!数形结合。
苏教版选修(2-3)1.4《计数应用题》word学案
1.4 计数应用题(综合)撰稿：第一组审稿：高二数学组时间：2010/4/20【学习要求】利用排列组合知识，以及两个基本原理解决较综合的计数应用题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析解决问题的能力【课前预习】【课堂导学】活动1：高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长，副班长，学习委员，文娱委员，文娱委员，体育委员，共有多少种不同的选法？活动2：6本不同的书全部送给5人，每人至少一本，有几种不同的送书方法？分析：变式1： 6本不同的书全部送给5人，有几种不同的送书方法？变式2： 5本不同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？变式3： 5本相同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？活动3：6本不同的书全部送给3人（1）甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?（2）甲、乙、丙每人两本，有多少种分法？【达标检测】1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种？2特殊元素（或位置）优先安排将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种？3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种？4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?【课后练习】书P28练习1、2、3、4、5书P29 习题1.4 1～91．补充：已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有的次品为止。
高二数学 教案 1.4 计数应用题学案苏教版_选修2-3
编写：江凤芹审核：黄爱华一、知识要点对排列组合的应用题应掌握以下基本方法与技巧：⑴特殊元素(位置)优先安排；⑵合理分类和准确分步；⑶先选后排原则；⑷相邻问题捆绑处理；⑸不相邻问题插空自理⑹固定顺序问题排除法处理；⑺分排问题直排处理；⑻构造模型；⑼正难则反；⑽等价转化.二、典型例题例1.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是多少？例2.袋中装有10只大小相同的球，其中6只白球，4只红球，逐只抽取，直至抽出所有的红球为止，若经过5次抽取出所有红球，则这样的抽取方法共有多少种？例3.一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空座位，共有几种不同的坐法？三、巩固练习1.某外商计划在4上候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种.2.某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲，乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种(以数字作答).3.将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i 个数为(1,2,3,,6)i a i ，若1351,3,5,a a a ， 135a a a 则不同的排列方法有 种(以数字作答).4.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同的买法的种数是 (以数字作答).四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.4个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒中，恰有1个空盒的放法种数为 .A B C，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐2.已知集合5,1,2,1,3,4标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 .3.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法(用数字作答).4.某天有政治、语文、数学、物理、美术、体育六门课.如果体育不排在上午一、二、三节，美术不排在上午一、二节，则共有种不同的排法.5.从1，3，5，7，9这五个数字中取两个数字，从0，2，4，6这四个数字中取两个数字.⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵能组成多少个没有重复数字的四位偶数？6.4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球. ⑴若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？⑵取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？7.一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？8.某城市有7条南北走向的街，5条东西走向的街，如果从城市的一端A走向另一端B(如图)，最短走法有多少种？订正栏：。
高中数学1.4计数应用题导学案苏教版选修2-3
1.4 计数应用题1 •简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则： 先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则•分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则.提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素” “特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置. 2. 简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除.捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素” 全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列.插空:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有 限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：易V 除主要用在有限制条件的计数问题上， 或问题的正面情况较多， 而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上.一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有 10个点，在其中取 4个不共面的点，不同取法有___________ 种.思路分析：在这10 个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10 个点中取出4个点的组合数C：0减去4个点共面的个数即为所求.答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有do种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C4种；第二类：4 个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有 6 种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C o - （4C6+ 6 + 3）= 141种.从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C1= 12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C- C8 = 12种不同的选法.利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏.二、捆绑问题（相邻问题）从单词"equation ”中选取5个不同的字母排成一列，含有"qu” （其中"qu”相连且顺序不变）的不同排列共有__________________________ 种.思路分析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列. 答案：4803解析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C3种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A4种方法，由于“ qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C34= 480种不同排列.停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99=362 880种不同的停车方法.对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题( 不相邻问题)7 人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是_____________________ ．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A!种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A6种方法，故共有A T A6= 3 600种不同的排法.晚会上有8 个唱歌节目和3 个舞蹈节目，若3 个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A8种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A9种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A820 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．解析：若丙排在10月1日，共有A5• kA= 240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A •kA = 240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A J A2= 48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A6= 1 440种不同的排法，•••符合题意的排法的种数为1 440 —240- 240+ 48 = 1 008.4•有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有c5d种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有5C4 + C2C5G)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(c；W+ C5C U cEC；)种.由分类计数原理知，可开出名单共有C5C4+ dc5C!+ CW+ C5C4+ dEcU 185种.5. 7位同学站成一排合影留念，(1) 其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2) 甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3) 甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A；种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A：,但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A；种.•甲不站排头，乙不站排尾的排法有A；—2A1+ A5= 3 720种.(2) 用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A5种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A l种，•••甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A5720种.(3) 用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A4种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A3种排法.•••甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A4•A!= 1 440种.1 ．记者要为5 名志愿者和他们帮助过的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不在两端的排法有_________________________ 种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A5种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A TC・A2= 960种不同的排法.2．由1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且1,3 都不与5相邻的六位偶数有_____________________ 个．答案：1083解析：插空法，先排2,4,6共有A3种方法；若1,3,5都不相邻，则有A1种方法，若1,3相邻，则有AA!种方法；•••共有A3(A1 * 3+ ALA3) = 108种不同的排法.3. _____ 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有种.答案：1 008。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.4 计数应用题》
排列组合问题的几种常见处理策略一、教学目标：1.使学生进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.让学生掌握解决排列组合问题的常用策略;并且能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力；3.让学生学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
二、教材分析及教材内容的定位：计数应用题是苏教版高中数学教材选修2-3第一章计数原理中第4节内容，是排列组合问题的实际应用，更是两个计数原理的应用。
本小节具有承上启下的作用，理解排列组合和两个计数原理是前面三节内容的要求，本课时要通过实例让学生深化概念的理解，是数学知识发挥实际应用价值的体现。
本课时着重帮助学生体会实际问题划归为计数问题的方法，能总结解决简单实际问题的策略并加以利用。
三、教学重点：排列组合问题常见处理策略的总结和应用四、教学难点：不相邻问题、定序问题、环排问题五、教学方法：通过类比探究，归纳总结等方法，研究计数应用题，培养学生的自主学习能力，发展学生的问题编改能力、抽象表达能力、合情推理能力及逻辑论证能力．六、教学过程：课前预习：1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 课堂探究：问题1：现有7人坐成一排，_________________，共有多少种不同的排法？请在题目中的横线，填写你认为合理的条件，然后写出解题过程，并总结此类问题的处理方法。
1.4 计数应用题(苏教版选修2-3)
第一章计数原理 1.4 计数应用题编写人：编号：009学习目标利用排列组合知识，以及两个基本原理解决较综合的计数问题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析解决问题的能力。
学习过程：一、预习：回顾：简要复习前面所学内容。
解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
思考：在前面的学习中我们已经学习过几种常用的解题技巧？练习：1、高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？2、2名女生、4名男生排成一排，（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）有不同排法共有多少种？3、从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？二、课堂训练：解题方法总结：（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。
例如：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24B.30C.40D.60分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。
按0排在末尾和不排在末尾分为两类；（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意即不能多减又不能少减，例如在第一种方法中，也可以用此方法解答。
五个数组成三位数的全排列有3A个，排好后发现0不能排在首位，而且3，1不能排在末尾，这两种不合条件的排法要除5去，故有30个偶数。
（三）合理分类和准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
高中数学 第1章 计数原理 1.4 计数应用题教学案 苏教版选修2-3
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1.4 计数应用题[例1] 3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？[思路点拨] 本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置，相邻问题可采用捆绑法，不相邻问题可采用插空法．[精解详析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4 320种不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A55种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55·A36＝14 400种不同的排法．(3)法一：(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A 25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A 66种排法，所以共有A 25·A 66＝14 400种不同的排法．法二：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A 88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A 13·A 77种排法和女生排在末位的A 13·A 77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A 23·A 66种不同的排法，所以共有A 88－2A 13·A 77＋A 23·A 66＝14 400种不同的排法．法三：(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A 36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A 55种不同的排法，所以共有A 36·A 55＝14 400种不同的排法．(4)法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A 15·A 77种不同的排法；如果首位排女生，有A 13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A 13·A 15·A 66种不同的排法．因此共有A 15·A 77＋A 13·A 15·A 66＝36 000种不同的排法．法二：3个女生和5个男生排成一排有A 88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A 23·A 66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A 88－A 23·A 66＝36 000种不同的排法．(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22＝20 160种不同的排法． [一点通](1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．1．(四川高考改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 44种．故不同的排法共有A 55＋C 14A 44＝9×24＝216种．2．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________种．解析：符合题意的五位数有A22C13A33＝2×3×3×2＝36.答案：363．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类；①第一节课排数学，第六节课排体育，共有A44种排法；②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有A14A44种排法；③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有A14A44种排法；④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有A24A44种排法．由分类加法计数原理，所求的不同排法共有A44＋2A14A44＋A24A44＝504(种)．法二：(排除法)不考虑受限条件下的排法有A66种，其中包括数学课在第六节的排法有A55种，体育课在第一节的排法有A55种，但上面两种排法中同时含有数学课在第六节，体育课在第一节的情形有A44种．故所求的不同排法有A66－2A55＋A44＝504(种).[例2] 某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷，现要选派划左舷的3人，划右舷的3人，共6人参加比赛，则不同的选派方法有多少种？[思路点拨] 既会划左舷又会划右舷是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．[精解详析] 选派的3名会划左舷的选手中，没有既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C33C36种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有一人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C12C23C35种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有两人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C13C34种选派方法．故共有C33C36＋C12C23C35＋C13C34＝20＋60＋12＝92种选派方法．(1)解决简单的分配问题的一般思路是先选取，后分配．(2)如果涉及的元素有限制条件，则一般以特殊元素，特殊位置为分类标准．4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种．答案：365．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．答案：126．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分3步完成：第1步，从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法；第2步，从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法；第3步，把剩下的书给丙有C 22种方法．所以，共有不同的分法为C 49·C 35·C 22＝1 260种．(2)分2步完成：第1步，按4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；第2步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法．所以，共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7 560种.[例3] 从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？[思路点拨] 排数问题和站队问题是排列、组合中的两类典型问题，其解决的思路相似，需考虑特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等的处理方法．[精解详析] (1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A 77种情况，所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760(个)．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空，共有C 34C 45A 44A 35＝28 800(个)．[一点通] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．7．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种．解析：标号1，2的卡片放入同一封信有C 13种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有C 24A 22·A 22种方法，共有C 13·C 24A 22·A 22＝18种． 答案：188．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为________．解析：若甲乙同时参加，则可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序，综合可得不同的发言顺序有C25A22A23＋C12C35A44＝600种．答案：6009．某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止．若次品恰好在第6次检测时被全部选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从9件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品. 可分三步，先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法，再从5件正品中取2件，有C25种方法，再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有A55种方法，所以检测方案种数为4×C25·A55＝4 800.解决排列组合问题的常用方法(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个条件的同时，也要兼顾其他条件．考虑两个条件之间是否有影响．(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个元素的同时，也要兼顾其他元素．(3)间接法：也叫排异法．直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，在此方法中，对立面要“不重不漏”．(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无限制元素的排列数及所形成空的个数．此方法适用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看作一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列．此法比较适合“必须在一起”的问题．课下能力提升(七)一、填空题1．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．解析：第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．答案：3452．某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有________种．解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步计数原理得共有2C13A22C13＝36(种)分配方案．答案：363．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有________种．解析：分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内；故不同的放法种数为C18A59＝120 960(种)．答案：120 9604．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．解析：先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种．答案：1205．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________种．解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A37种不同的站法．根据分类计数原理，得共有C23A27＋A37＝336种不同的站法．答案：336二、解答题6．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．7．现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有几种放法？(2)若恰有1个空盒，有几种放法？(3)若恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)44＝256(种)．(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步计数原理，共有C24A34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的放法共有C34A24＋C24C24＝84种．8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c是在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取的3个不同的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特征分析得知，若a>0，开口向上，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c<0，若a<0，开口向下，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c>0；所以对于抛物线y＝ax2＋bx＋c 来讲，坐标原在其内部⇔af(0)＝ac<0.确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b.故满足题设的抛物线共有C13C14A22C16＝144条．。
高中数学第一章计数原理1.4计数应用题“隔板法”及其应用素材苏教版选修2_3
“隔板法”及其应用排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
例1、将7个相同的球放入4个不同的盒子中，（1）不出现空盒时的放入方式共多少种？（2）任意放入时的方式共有多少种？该题有多种解法，先介绍其中的“隔板法”。
解：（1）将7个相同小球一字排开，在其中间的6个空格中加入无区别的3个“隔板”将球分成四份。
故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法，则不同的放法共有2036==C N 种。
（2）每种放法对应于将7个相同小球与3个相同“隔板”进行的一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有120310==C N 种放入的方式。
思维启迪 凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即“n 个相同元素有序分成m 组（每组的任务不同）”的问题一般可用“隔板法”解，即（1）当每组含元素数目至少一个时，其不同分组方式为11--=m n C N 种，即给n 个元素的中间1-n 空格加入1-m 个“隔板”。
（2）任意分组，可出现某些组含元素为0个时，其不同分组方式为11--+=m m n C N 种，即将n 个相同元素与1-m 个相同“隔板”进行排序，在1-+m n 个位置中选1-m 个安排隔板。
例2、将10个优秀的指标分配给3个班级，（1）每班至少一个，则共有多少种分配方法？（2）任意分配共有多少种分配方法？（3）若班级为一、二、三班，若名额数不小于班级数，则共多少种分配方法？ 分析：由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子模型。
可采用“隔板法”。
（1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有3629==C N 种分配方法。
（2）排隔板，即10个指标和2个隔板，共12个位置选2个放隔板，共有66212==C N 种分配方法。
（3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的4个优秀名额用插隔板法，共有1025==C N 种分配方法。
1.4《计数应用题》教案(苏教版选修2-3)
学科：数学教学内容：排列与组合的综合问题【学习目标】能正确地运用分类计数原理、分步计数原理及排列、组合的方法解决一些实际问题，培养学生的抽象能力．【高考试题剖析】1．（2002年高考·全国）在正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8 B．12 C．16 D．20【解析】36C－8＝12．【答案】B2．从单词＂equation＂中选取5个不同的字母排成一排，含有＂qu＂（其中＂qu＂相连且顺序不变）的不同排列共有（）A．120个B．480个C．720个D．840个【解析】排列与组合混合型的试题，难以直接套用排列数或组合数的公式求解．先将＂qu＂看成一个大元素，再从剩余的6个元素中取出3个元素，共有36C种不同取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有44A种方法，由于＂qu＂顺序不变，根据乘法原理共有36C44A＝480种不同排列．【答案】B3．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，百位数字最大，万位数字比千位数字小，个位数字比十位数字小，这样的五位数的个数为（）A．12 B．6 C．8 D．4【解析】有限制条件的排列、组合问题一般要先考虑特殊位置或特殊元素．百位上的数字最大，只能排5，万位数字比千位数字小，个位数字比十位数字小，可将1，2，3，4平均分成两组分法有222224ACC，再分给万位、千位、个位、十位，分法有22A种，故这样的五位数共有2224CC＝6个．【答案】B4．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）．【解析】33A·27A＝252．【答案】2525．有n （n ∈N ）件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种，则n ＝_____．【解析】将A 、B 两件产品看成一个大元素与其他（n －2）个元素全排列，共11A --n n 种；然后A 、B 进行全排列22A 种；根据乘法原理可得2211A A --n n ＝48，即11A --n n ＝24＝4·3·2·1，∴n －1＝4． 即n ＝5． 【答案】5【典型例题精讲】［例1］从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?【解法一】 问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有44A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －33A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －233A ＋22A ）种，故共有252种．【解法二】六人中取四人参加的种数为46A ，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有3512A C 种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数24A 减去了两次，故共有46A －243512A A C +＝252种． 【评述】对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． ［例2］有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生． （2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【解】（1）先取后排，先取有13452335C C C C +种，后排有55A 种，共5513452335)A C C C (C +＝5400种．（2）除去该女生后先取后排：4447A C ＝840种． （3）先取后排，但先安排该男生：47C 14C 44A ＝3360种． （4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种，再安排该男生有13C 种，其余3人全排有33A 种，共36C 13C 33A ＝360种．［例3］对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?【解】14C（3316CC）44A＝576，第5次必测出一次品，余下3只在前4次被测出，从4只中确定最后一次品有14C种方法，前4次中应有1正品、3次品有3316CC种，前4次测试中的顺序有44A种，由分步计数原理即得．【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列．［例4］在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法?【解法一】添加的三个节目有三类办法排进去：①三个节目连排，有3317AC种方法；②三个节目互不相邻，有37A种方法；③有且仅有两个节目连排，有22161713ACCC种方法，根据分类计数原理共有：22161713373317ACCCAAC++＝504种．【解法二】从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有39A种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法，故所求排法为39A＝504种．【评述】插空法是处理排列、组合问题常用的方法．［例5］在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？【解】依题意，A，B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄．（1）间隔6垄时，有3×22 A种；（2）间隔7垄时，有2×22A种．（3）间隔8垄时，有22A种．所以共有322A＋222A＋22A＝12种种植方法．【达标训练】1．四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为（）A．3413AAB．3324ACC．2234AC D．14C2234CC【解析】4个球放入3个盒子，则有一个盒子要放两个球，故3324AC．【答案】B2．（2003年高考·北京）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种值．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种 D．6种【解析】∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是：23C种在三块土地的方法是33P．∴种法是23C·33P＝18【答案】B3．10名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有_____种．（用数字作答）【解析】有1人既懂英语又懂日语，按此人分类讨论：①若此人担任英语翻译，选拔方法有2325CC种；②此人担任日语翻译，选拔方法有35C13C种；③此人不担任翻译，选拔方法有2335CC种，根据分类计数原理：233513352325CCCCCC++＝90．【答案】904．书架上原有6本书，再放上3本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有____种．【解析】分三步，每步各有7，8，9种放法，共有7×8×9＝504种，或3 96699AAA=＝504．【答案】5045．（2003年高考·新课程）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图10—3）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）图10—3【解析】先安排区域1，有14C种方法，这时其他区域均与区域1颜色不一样．①若区域4、6颜色相同，则有222213ACC种方法；②若区域4、6颜色不相同，则有33A×3种方法．∴不同的栽种方法有14C（13C232212AAC+×3）【答案】1206． 18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有二老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几名?【解析】设这个团中有男人x，则有女人18－x个，根据题意得：12C-x·118Cx-＝64．解得x＝10，18－x＝8【答案】这个团中有男10人，女8人．7．平面内有8个点，其中有4个点共线，其他无任何三点共线．（1）过任意两点作直线有多少条？（2）能确定多少条射线？（3）能确定多少个不同的．【解析】（1）1＋24C＋14C14C＝23；（2）6＋24A＋14C14C22A＝50；（3）14C24C＋24C14C＋34C＝52．【答案】（1）23 （2）50 （3）52【解题指导】1．解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素；或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式．处理这类选择题可采用分析答案形式用排除法、错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误．【拓展练习】【备选题】四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的盒子中．（1）四个盒子都不空的放法有_____种．（2）恰有两个空盒的放法有_____种．（3）甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_____种．（4）甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的不同放法有_____种．【解】（1）44A＝24；（2）24C（14C＋24C＋34C）＝84；（3）12C13C14C14C＝96；（4）24C14C14C＝96【答案】（1）24 （2）84 （3）96 （4）96。
2019-2020学年苏教版选修2-3 1.4 计数应用题 学案
1．4计数应用题1.了解计数应用题中的常见问题类型．2.理解排列、组合的概念及公式应用．3．掌握解决排列组合综合应用题的方法．1．解排列组合混合应用题时，首先应区分是排列，还是组合．关键看问题是否与所选的元素的顺序有关，若与顺序有关则为排列，否则为组合．2．对于排列组合的综合问题，求解时要注意分类与分步两个计数原理的综合运用，且应遵循先组合后排列，即先算组合后算排列的原则，在分类、分步时，要做到不重不漏．3．运用排列组合的知识，结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)6本不同的书分成3组，一组4本，其余组各1本，共有15不同的分法．()(2)7名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有20种．()(3)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有20种．()答案：(1)√(2)√(3)×2．用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为________．解析：分两类，一类是末位是2时，有A24个；另一类是末位是4时，有A24个，共有2A24＝24个．答案：243．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C45C12C12C12C12＝80种．答案：804．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为________．解析：因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．开1个灯有C15种方法，开2个灯有C25种方法…5个灯全开有C55种方法，根据分类计数原理，不同的开灯方法有C15＋C25＋…＋C55＝31种．答案：31排列应用题用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个能被3整除的四位数？(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排，则第85个数是多少？【解】(1)法一：(直接法)可组成不同的四位数A15·A35＝300(个)．法二：(间接法)可组成不同的四位数A46－A35＝300(个)．(2)各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，符合题意的有：①含0，3，则需从1，4和2，5中各取1个，可组成C12·C12·C13·A33个能被3整除的四位数；②含0或3中的一个，均不适合题意；③不含0，3，由1，2，4，5可组成A44个能被3整除的四位数．所以可组成能被3整除的四位数C12·C12·C13·A33＋A44＝96(个)．(3)1在千位的数有A35＝60(个)；2在千位，0在百位的数有A24＝12(个)；2在千位，1在百位的数有A24＝12(个)．以上的四位数共有84个，故第85个数是2 301.不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有奇偶数关系、倍数关系、大小关系等，也有相邻问题、插空问题、与数列等知识相联系的问题等．解决这类问题的关键是弄清事件是什么、元素是什么、位置是什么、给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决，这类问题中的隐含条件“0不能在首位”绝不能忽略．1.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到“0”的特殊性，故分两类来讨论．第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有A23种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有A23种排法，于是不含0且符合条件的四位数共有A23A23＝36(个)．第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进行全排列，这样的排列共有A13A44个．其中，有如下三种情况不合题意，应当排除：(1)0在首位的，有A13A33个；(2)0在百位或十位的，但2与3相邻的，有2A13A22个；(3)0在个位的，但2与3相邻的，有A13·2A22个．因此，含有0的符合条件的四位数共有A13A44－(A13A33＋4A13A22)＝30(个)．于是可知，符合条件的四位数共有36＋30＝66(个)．组合应用题某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法，根据分类计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．2.某大学要从16名大学生(其中男生10名，女生6名)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”．(1)如果小组中至少有3名女生，那么可组成多少个不同的小组？(2)如果小组中至少有5名男生，那么可组成多少个不同的小组？(3)如果小组中至多有3名女生，那么可组成多少个不同的小组？解：(1)至少有3名女生的不同小组数，可划分为如下四类：有3名女生的不同小组数为C36C510个；有4名女生的不同小组数为C46C410个；有5名女生的不同小组数为C56C310个；有6名女生的不同小组数为C66C210个．所以至少有3名女生的不同小组数为C36C510＋C46C410＋C56C310＋C66C210＝20×252＋15×210＋6×120＋45＝8 955(个)．(2)至少有5名男生的不同小组数，可划分为如下四类：有5名男生的不同小组数为C36C510个；有6名男生的不同小组数为C26C610个；有7名男生的不同小组数为C16C710个；有8名男生的不同小组数为C06C810个．所以至少有5名男生的不同小组数为C36C510＋C26C610＋C16C710＋C06C810＝20×252＋15×210＋6×120＋45＝8 955(个)．(3)至多有3名女生的不同小组数，可以划分为如下四类：不含女生的不同小组数为C810个；只含1名女生的不同小组数为C16C710个；只含2名女生的不同小组数为C26C610个；只含3名女生的不同小组数为C36C510个．所以至多有3名女生的不同小组数为C810＋C16C710＋C26C610＋C36C510＝45＋6×120＋15×210＋20×252＝8 955(个)．排列组合综合问题有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【解】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有(C35C23＋C45C13)种，后排有A55种，所以共有不同选法(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400(种)．(2)除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法C47·A44＝840(种)．(3)先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法C47·C14·A44＝3 360(种)．(4)先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有C36种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有C13种，其余3人全排列有A33种，所以共有不同选法C36·C13·A33＝360(种)．本题不仅要求选出5个元素，还要求分配在5个空位上，因此是一道“既选又排”的排列与组合的综合问题．该类问题的处理方法是“先选后排”，同时注意特殊元素优先安排的原则．3.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？解：(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有C35C24种选法．第2步，排成偶数——先排末位数，有A12种排法，再排其他四位数字，有A44种排法．所以N1＝C35·C24·A12·A44.(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有C35·C14种选法．第2步，排顺序又可分为两小类：①末位排0，有A11·A44种排列方法；②末位不排0.这时末位数有C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A13种排法，其余3个数字则有A33种排法．所以N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33)．所以符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4 560.两个计数原理是解决计数问题的根本，在解题中要抓住“分类”还是“分步”，“组合”(无序)还是“排列”(有序)．本节学习过程中，注意以下原则：(1)特殊元素(或位置)优先安排；(2)“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；(3)混合问题，先“组”后“排”．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【解】(1)无序不均匀分组问题．先选1本，有C16种选法；再从余下的5本中选2本，有C25种选法；最后余下3本全选，有C33种选法．故共有分配方式C16·C25·C33＝60(种)．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式C16·C25·C33·A33＝360(种)．(3)无序均匀分组问题．先分三组，则应是C 26·C 24·C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则C 26·C 24·C 22种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 26·C 24·C 22A 33＝15(种)．(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26·C 24·C 22A 33·A 33＝C 26·C 24·C 22＝90(种)． (5)无序均匀分组问题．共有分配方式C 46·C 12·C 11A 22＝15(种)．(6)有序均匀分组问题．在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 46·C 12·C 11A 22·A 33＝90(种)． (7)直接分配问题．甲选1本，有C 16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 15种方法；余下4本留给丙，有C 44种方法，共有分配方式C 16·C 15·C 44＝30(种)．均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有( )A ．26种B ．84种C ．35种D ．21种 解析：选C.从7名队员中选出3人有C 37＝7×6×53×2×1＝35种选法． 2．用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261D ．648解析：选B.0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，所以有重复数字的三位数有900－648＝252个．3．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.答案：604．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．答案：660[A基础达标]1．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有()A．72种B．54种C．48种D．8种解析：选C.用分步计数原理：第一步：先排每对师徒有A22·A22·A22，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A33种，由分步计数原理共有A33·(A22)3＝48种．2．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()A．36 B．42C．48 D．54解析：选C.若从0，2，4中取一个数字是“0”，则“0”不放百位，有C12种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A23种放法，共组成C12·A23＝12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C12种取法，再从1，3，5中取两个数字有C23种取法，共组成C12C23·A33＝36个三位数．所以所有不同的三位数有12＋36＝48(个)．3．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A．72种B．96种C．120种D．156种解析：选B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A36＝120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有A33C34＝24种，故丁至少要有两天连续安排120－24＝96种，故选B.4．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()A．324个B．216个C．180个D．384个解析：选A.个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C23·A33·C14＋A33·C13＝90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有C23·A33·C14＋C13·C23·A33·C13＝234(个)．根据分类计数原理得到共有90＋234＝324(个)．故选A.5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为()A．10 B．11C．12 D．15解析：选B.由题意可分为3类．第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有C04种方法．第二类，有1个对应位置上的数字相同，有C14种方法．第三类，有2个对应位置上的数字相同，有C24种方法．故共有C04＋C14＋C24＝11(条)，故选B.6．将3个不同的小球放入编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子内，6号盒子中至少有1个球的放法种数是________．解析：本题应分为6号盒子中有1个球，2个球，3个球三类来解答，可列式为C13(A25＋A15)＋C23A15＋C33＝91(种)．答案：917．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．解析：按每科选派人数分3、1、1和2、2、1两类．当选派人数为3、1、1时，有3类，共有C33C14C15＋C13C34C15＋C13C14C35＝200种．当选派人数为2、2、1时，有3类，共有C23C24C15＋C23C14C25＋C13C24C25＝390种．故共有590种．答案：5908．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为________．解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C12C35A44＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有C25(A44－A22A33)＝10×(24－12)＝120种选法．所以共有480＋120＝600种选法．答案：6009．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？解：设集合A＝{只会划左舷的3人}，B＝{只会划右舷的4人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C39种选法，同理可得②③④的选法种数．故共C33C39＋C23C15C38＋C13C25C37＋C03C35C36＝2 174种不同的选法．10．已知直线xa＋yb＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有多少条？解：如图所示，在圆x2＋y2＝100上，整点坐标有(±10，0)，(6，8)，(－6，－8)，(－6，8)，(6，－8)，(8，6)，(－8，－6)，(－8，6)，(8，－6)，(0，±10)共12个点．这12个点确定的直线为C 212条，过这12个点的切线有12条，由于a ，b 不为零，应去掉过原点的直线6条，又其中平行于坐标轴的直线有12条，故符合题意的直线共有C 212＋12－(6＋12)＝60(条)．[B 能力提升]1．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为________．解析：设6位同学分别用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示．若任意两位同学之间都进行交换共进行C 26＝15(次)交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a －b 和a －c 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b ，c 两人．(2)由4人构成的2次交换，如a －b 和c －e 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a ，b ，c ，e 四人．答案：2或42．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：法一：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有C 24·C 12·C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 24·C 12·C 11A 22·A 33＝36(种)． 法二：先从4名大学生中选出2名作为一个小组，再连同其他2名进行全排列即可，即C 24A 33＝36(种)．答案：363．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84种． 4．(选做题)把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？解：(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一个车，共有C 28种，再上第二车共有C 26种，再上第三车共有C 24种，最后上第四车共有C 22种，按分步计数原理有C 28·C 26·C 24·C 22＝2 520种． (2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A 44种不同方法，同理，女同志也有A 44种方法，由分步计数原理，车上男女各1人的不同分配方法为A 44·A 44＝576种．(3)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 242＝3种，4个女的平均分成两组也有C 242＝3种不同分法，这样分组方法就有3×3＝9种，对于其中每一种分法上4辆车，又有A44种上法，因而不同分配方法为9·A44＝216种．。
1.4 计数应用题 学案(苏教版高中数学选修2-3)
1.4 计数应用题学案（苏教版高中数学选修2-3）1.4计数应用题计数应用题学习目标1.了解计数应用题中的常见问题类型.2.理解排列.组合的概念及公式应用.3.掌握解决排列组合综合应用题的方法1两个基本计数原理1分类计数原理2分步计数原理2排列.组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类3运用排列组合的知识，结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题16本不同的书分成3组，一组4本，其余组各1本，共有30种不同的分法27名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有20种类型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步”的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案28800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算1幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有3029xx400种结果；2幸运之星在乙箱中抽，同理有xx3011400种结果因此共有174001140028800种不同结果反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示具体意义如下从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为“类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可跟踪训练1一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为nn3，nN等份，种植红.黄.蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花1如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法2如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法解1如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步计数原理得3216种2如题图2，当a1，a3不同色时，有32116种种植方法，当a1，a3同色时，有322112种种植方法，由分类计数原理，共有61218种种植方法命题角度2“步中有类”的计数问题例2有4位同学在同一天的上.下午参加“身高与体重”.“立定跳远”.“肺活量”.“握力”.“台阶”五个项目的测试，每位同学上.下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上.下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种用数字作答考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案264解析上午总测试方法有432124种我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上.下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有339种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有2411264种反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类其中mii1,2,3,4,5表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1m2m3m4m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有________种考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案21解析根据题意，若电路接通，则开关1,2与3,4,5中至少有1个接通，对于开关1,2，共有224种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有413种情况，对于开关3,4,5，共有2228种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有817种情况，则电路接通的情况有3721种类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男生排成一排1如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法2如果女生必须全分开，有多少种不同的排法3如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法4如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法5如果甲必须排在乙的右面可以不相邻，有多少种不同的排法考点题点解1捆绑法因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66A334320种不同的排法2插空法要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于5个男生排成一排有A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55A3614400种不同的排法3方法一特殊位置优先法因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有A25A6614400种不同的排法方法二间接法3个女生和5个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13A77种排法和女生排在末位的A13A77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A23A66种不同的排法，所以共有A882A13A77A23A6614400种不同的排法方法三特殊元素优先法从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有A36A5514400种不同的排法4方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有A13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A13A15A66种不同的排法因此共有A15A77A13A15A6636000种不同的排法方法二3个女生和5个男生排成一排有A88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23A66种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有A88A23A6636000种不同的排法5顺序固定问题因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A88A2220210种不同的排法反思与感悟1排列问题的限制条件一般表现为某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏去尽2对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练3为迎接中共九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲.乙.丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲.乙.丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为________考点排列的应用题点有限制条件的排列问题答案768解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A47840种情况，其中甲.乙.丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A4424种，则甲.乙.丙这3名学生中至少有1人参加的情况有84024816种；其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A3348种，则满足题意的朗诵顺序有81648768种类型三排列与组合的综合应用例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用解分三类第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12C12C12C12A44种第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22C22A44种第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22C22A44种故满足题意的所有不同的排法种数为C12C12C12C12A442C22C22A44432.反思与感悟1解排列.组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列2解排列.组合综合问题时要注意以下几点元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列.组合综合问题的一般方法跟踪训练4有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数1有女生但人数必须少于男生；2某女生一定担任语文科代表；3某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；4某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解1先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23C45C13种，后排有A55种，所以共有不同选法C35C23C45C13A555400种2除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法C47A44840种3先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法C47C14A443360种4先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有C36种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有C13种，其余3人全排列有A33种，所以共有不同选法C36C13A33360种.1李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有________种不同的选择方式考点排列组合的综合应用题点分组.分配问题答案14解析由题意可得，李芳不同的选择方式为43214.2包括甲.乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧可以不相邻，有________种站法考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案2520解析因为甲.乙定序了，所以有A7722520种3从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是________________________________________________________考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用答案48解析第一类从2,4中任取一个数，有C12种取法，同时从1,3,5中取两个数字，有C23种取法，再把三个数全排列，有A33种排法故有C12C23A3336种取法第二类从0,2,4中取出0，有C11种取法，从1,3,5三个数字中取出两个数字，有C23种取法，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有A12种排法，剩下的两个数字全排列，有A22种排法，共有C11C23A12A2212种方法共有361248种排法4某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用答案36解析先安排后2个，再安排前3个，由分步计数原理知，共有C12C13A3336种不同的播放方式5已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x1x2x3x4x5x62的数组x1，x2，x3，x4，x5，x6的个数为________考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案90解析根据题意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，xi中有2个1和4个0，或3个1.1个1和2个0，或4个1和2个1，共有C26C36C23C4690个，满足x1x2x3x4x5x62的数组x1，x2，x3，x4，x5，x6的个数为90.1解排列.组合综合题一般是先选元素.后排元素，或充分利用元素的性质进行分类.分步，再利用两个基本计数原理作最后处理2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.。
江苏省建陵高级中学高中数学 1.4 计数应用题导学案(无答案)苏教版选修23
江苏省建陵高级中学2013-2014学年高中数学 1.4 计数应用题导学案（无答案）苏教版选修2-3一：学习目标1.利用排列组合知识以及两个基本原理解决较综合的计数应用题,提高应用意识和分析解决问题的能力.二：课前预习1. .排列：1．不重复； 2．有顺序．组合：1．不重复； 2．无顺序． 公式：A C !mmn nm ＝ 性质：C C -m n m n n ＝， =+-1m n m n C C =+++n n n n C C C Λ212.有5名男司机、3名女司机，现派3名男司机、2名女司机出发到五个不同的地区去，不同的分配方案种数有 种.3.4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有 种三：课堂研讨例1 高二某班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长，副班长，学习委员，文娱委员，体育委员，共有多少种不同的选法？思考：如果分两步解决上面问题，即先从30名男生中选3名男生担任3种不同职务，再从20名女生中选2名女生担任2种不同职务，那么结果为220330A A ，这样做对吗？为什么？例2 2名女生，4名男生排成一排．（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？ 备 注（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？例3 从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13 000的有多少个？思考：在上例中，大于13500的数共有多少个？变式：从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种？例4 有10个奖学金的名额，分给7个班级，每个班级至少1个，有多少种分配方案？课堂检测—— 1.4计数应用题姓名：1让4名男生和4名女生站成一排，其中任何两名女生不能相邻，则共有 种不同的排法.2甲、乙两校各派三名运动员、一名教练员共8人排成一列，其中教练员必须站在正中间，两校的运动员不能相邻，则所有不同的排法种数为 种. 3四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种课外作业——1.4计数应用题 姓名：1.甲、乙两校各派三名运动员、一名教练员共8人排成一列，其中教练员必须站在正中间，两校的运动员不能相邻，则所有不同的排法种数为 种.2.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种.3.从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm 等于 . 4.设坐标平面内有一质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则质点不同。
高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题学案 苏教版选修2-3
1.4 计数应用题学习目标 1.进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深化理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．类型一两个计数原理的应用命题角度1 “类中有步”的计数问题例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．命题角度2 “步中有类”的计数问题例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．其中m i(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法．跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有________种．类型二有限制条件的排列问题例3 3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？反思与感悟(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．跟踪训练3 用0到9这10个数字，(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？类型三排列与组合的综合应用命题角度1 不同元素的排列、组合问题例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪训练4 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有________种不同的分配方案．反思与感悟凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝C m－1n－1种，即将n个元素中间的n－1个空格中加入m－1个“隔板”．(2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N＝C m－1n＋m－1种，即将n个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”．跟踪训练5 用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有________种不同的选择方式．2．包括甲、乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧(可以不相邻)，有________种站法．3．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是___________________________________________________．4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．5．已知x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．答案精析题型探究例1 28 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．跟踪训练1 48解析如图所示，将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.例2 264解析上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)．我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．跟踪训练2 21解析根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，如图所示，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有3×7＝21(种)．例3 解 (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A 66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A 33种不同的排法，因此共有A 66·A 33＝4 320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A 55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A 36种方法，因此共有A 55·A 36＝14 400(种)不同的排法．(3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A 25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A 66种排法，所以共有A 25·A 66＝14 400(种)不同的排法．方法二 (间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A 88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A 13·A 77种排法和女生排在末位的A 13·A 77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A 23·A 66种不同的排法，所以共有A 88－2A 13·A 77＋A 23·A 66＝14 400(种)不同的排法． 方法三 (特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A 36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A 55种不同的排法，所以共有A 36·A 55＝14 400(种)不同的排法．(4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A 15·A 77种不同的排法；如果首位排女生，有A 13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A 13·A 15·A 66种不同的排法．因此共有A 15·A 77＋A 13·A 15·A 66＝36 000(种)不同的排法．方法二 3个女生和5个男生排成一排有A 88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A 23·A 66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A 88－A 23·A 66＝36 000(种)不同的排法．(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22＝20 160(种)不同的排法． 跟踪训练3 解 (1)可以组成9A 39＝4 536个四位数．适合题意的四位奇数共有A 15·A 18·A 28＝2 240(个)．(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：第1类：三位数字全相同，如111,222，…，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有9×9×8＝648(个)，第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有900－9－648＝243(个)． 例4 解 分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12·C12·C12·C12·A44种．第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22·C22·A44种．第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22·C22·A44种．故满足题意的所有不同的排法种数为C12·C12·C12·C12·A44＋2C22·C22·A44＝432.跟踪训练4 解(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有C35C24种选法．第2步，排成偶数——先排末位数，有A12种排法，再排其他四位数字，有A44种排法．所以N1＝C35·C24·A12·A44.(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有C35·C14种选法．第2步，排顺序又可分为两小类：①末位排0，有A11·A44种排列方法；②末位不排0.这时末位数有C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A13种排法，其余3个数字则有A33种排法．所以N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33)．所以符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4 560.例5 15解析先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个．利用“隔板法”可知，共有C26＝15(种)不同的分配方案．跟踪训练5 96解析用间接法：六个数字能构成的三位数共6×6×6＝216(个)，而无重复数字的三位数共有A36＝6×5×4＝120(个)．故所求的三位数的个数为216－120＝96.当堂训练1．14 2.2 520 3.48 4.36 5.90。
高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题学案 苏教版选修2-3(2021年最新整理)
2016-2017学年高中数学第一章计数原理1.4 计数应用题学案苏教版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章计数原理1.4 计数应用题学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.4 计数应用题1．利用两个基本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题．（重点)2．掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法．(难点)［小组合作型］可化为排数（队)问题的计数问题(1与9,将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成________个不同的三位数．(2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法有________种．(3）从集合{0，1,2，3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中A，B,C，所得的经过坐标原点的直线有________条（用数字表示）．【精彩点拨】(1）法一(直接法)，分有“0，1”卡和无“0，1”卡两类；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形．（2)“插空法”分类求解．（3)C＝0,从{1，2,3，5，7，11}中任取两个元素给A,B便可．【自主解答】(1）法一(直接法):依“元素”分类，满足条件的三位数有以下三类：①不要0与1的有C错误!A错误!·23个;②要1不要0的有C错误!A错误!·22个;③要0不要1的有2C错误!·22·A错误!个．故共可组成不同的三位数：C错误!A错误!·23＋C错误!A错误!·22＋2C错误!·22·A错误!＝432（个）．法二(间接法)：把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有C35·A 错误!种，再正反面交换，有23种，故总数为C错误!A错误!·23，其中0在百位上时不符合要求，有C错误!A错误!·22，故可得到不同的三位数C错误!A错误!·23－C错误!A错误!·22＝432(个)．(2）分两类：(1)先排歌舞类有A错误!＝6种排法，再将其余的三个节目插空．如图所示,或者,此时有2A错误!A错误!＝72种；(2)先排歌舞类有A错误!＝6种排法，其余的两个小品与相声排法如图△，或者△,有4A33C错误!＝48，所以共有72＋48＝120种不同的排法．(3)因为直线过原点，所以C＝0，因此只需从｛1,2,3,5,7,11｝中任取两个元素分别作为A，B便可，共有A错误!种不同取法,对应A错误!＝30条不同直线．【答案】（1)432 （2）120 (3）301．本例(2)在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面．2．实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解,但要搞清特殊元素(或位置）选择恰当的方法计数．[再练一题]1．从1，3，5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b,共可得到lg a－lg b 的不同值的个数是________。
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1.4 计数应用题1．简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则．分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理．预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则．提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置．2．简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除．捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：剔除主要用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上．一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法有__________种．思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求．答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有C410种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C46种；第二类：4个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C410－(4C46＋6＋3)＝141种．从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C16·C12＝12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C36－C18＝12种不同的选法．利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏．二、捆绑问题(相邻问题)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一列，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有__________种．思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列．答案：480解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C36种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A44种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C36·A44＝480种不同排列．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99＝362 880种不同的停车方法．对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题(不相邻问题)7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是__________．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A55种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A26种方法，故共有A55·A26＝3 600种不同的排法．晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A88种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A39种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A88·A39＝20 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．1．记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不在两端的排法有__________种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A55种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A55·C14·A22＝960种不同的排法．2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数有__________个．答案：108解析：插空法，先排2,4,6共有A33种方法；若1,3,5都不相邻，则有A33种方法，若1,3相邻，则有A22A33种方法；∴共有A33(A33＋A22A33)＝108种不同的排法．3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有__________种．答案：1 008解析：若丙排在10月1日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A44A22＝48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A66·A22＝1 440种不同的排法，∴符合题意的排法的种数为1 440－240－240＋48＝1 008.4．有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有C45C44种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有(C12C35C44＋C12C45C34)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(C25C44＋C45C24＋C12C35C34)种．由分类计数原理知，可开出名单共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C25C44＋C45C24＋C12C35C34＝185种．5．7位同学站成一排合影留念，(1)其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2)甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A77种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A55种．∴甲不站排头，乙不站排尾的排法有A77－2A66＋A55＝3 720种．(2)用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A55种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A33种，∴甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A55·A33＝720种．(3)用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A44种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A35种排法．∴甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A44·A35＝1 440种．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
3.师徒结对：充分挖掘本校优秀教师的示范和带动作用，发挥学校名师工作室的作用，加快新教师、年轻教师向合格教师和骨干教师转化的步伐。
4.实践反思：倡导反思性教学和教育叙事研究，引导教师定期撰写教学反思、教育叙事研究报告，并通过组织论坛、优秀案例评选等活动，分享教育智慧，提升教育境界。
5.课题研究：立足自身发展实际，学校和骨干教师积极申报和参与各级教育科研课题的研究工作，认真落实研究过程，定期总结和交流阶段性研究成果，及时把研究成果转化为教师的教育教学实践，促进教育质量的提高和教师自身的成长。
6.专题讲座：结合教育教学改革的热点问题，针对学校发展中存在的共性问题和方向性问题，进行专题理论讲座。
7.校干引领：从学校领导开始，带头出示公开课、研讨课，参与本校的教学观摩活动，进行教学指导和引领。
8.网络研修：充分发挥现代信息技术，特别是网络技术的独特优势，借助教师教育博客等平台，促进自我反思、同伴互助和专家引领活动的深入、广泛开展。
我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。
多年来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。
反思本学期的工作，还存在不少问题。
很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确，是继续努力的方向。
另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏等各类问题摆在我们面前。
缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。
相信随着课程改革的深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地展开。
“校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台阶。