管理运筹学 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
合集下载
第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2007-10-15
目标:min f=300y1+400y2+250y3
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
管理运筹学 第6章 目标规划
目标规划问题及模型
∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复
杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，但允许达不到目标值，即只有使 正偏差量要尽可能地小（实现最少或为零）
min Z = f（ d +）
目标规划问题及模型
例1. 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
[经济学]单纯形法与对偶问题
![[经济学]单纯形法与对偶问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0043005331b765ce05081479.png)
’小于0，可知
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
管理运筹学ppt6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶ok
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
解：首先求出x3在最终表上的系数列B−1P'6，zj,σj
迭代 基变
x1
x2
s1
s2
s3
x3
次数 量
cB
50 100
0
0
0
160
x1
50
1
0
1
0
-1
10.5
s2
0
0
0
-2
1
1
20
2
x2
100
0
1
0
0
1
1
zj
50
100
50
0
50 125
σj=cj-zj
0
0
-50
0
-50 35
➢ 基变量系数cB变化 ➢ 对所有的zj都变化，包括zk
z j cB p j
假设cB=(cB1, cB2,…, ck ,…,cBm)
(cB1, cB2,…, ck+ck ,…,cBm)
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
原最优单纯形表可表示如下。
迭代 基变
…
xk
…
xj
…
次数 量
cB
…
ck
…
cj
…
xB1
若要最优解不变
j = j ck akj
当j≠k时， j
0
akj 0
ck
j
akj
akj 0
ck
j
akj
当j=k时， k ck ck zk
xk为基变量 k 0, akk 1
k = 0
=ck ck zk ck akk
max{
j
运筹学单纯形法的灵敏度分析
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
第6章 运筹学课件单纯形法的灵敏度分析
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
(运筹学大作业)单纯性法与对偶单纯性法的比较
对偶单纯形法与单纯形法对比分析1．教学目标：通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解2．教学内容：1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理3．教学进程：1）讲述对偶单纯形法解法的来源：所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。
2）为什么要引入对偶单纯形法：单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。
由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。
据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。
我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。
那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。
其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
(优选)对偶单纯形法灵敏度分析
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0Βιβλιοθήκη CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
初始对 偶单纯 形表
此时，初始单纯形表检验数均小于等于0，对偶可行，但原问 题初始解不可行
先选出基变量
后选进基变量cj
-1 -4 0 -3 0 0
CB XB b 0 x5 -3 0 x6 -2
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 1 - 1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -1 -4 0 -3 0 0
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束
方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵，
需要添加人工变量，采用大M法求解。
思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以-1， 就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因?
答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可 行。为了保证初始解可行
（优选）对偶单纯形法灵敏度 分析
第四节 对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形 法求解规划问题时运用了对偶理论。
也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划 的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。
在了解对偶单纯形法的实质之前，我们回顾一下单纯形法。
《管理运筹学》(第2版)6-10章教案
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶• §1 单纯形表的灵敏度分析 • §2 线性规划的对偶问题 • §3 对偶规划的基本性质 • §4 对偶单纯形法§1 单纯形表的灵敏度分析一、目标函数中变量C k系数灵敏度分析1. 在最终的单纯形表里，X k 是非基变量由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与C k 没有任何关系，所以当C k 变成C k +ΔC k 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为X k 是非基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即C B 不变，可知Z k 也不变，只是C k 变成了C k +ΔC k 。
这时δK = C k -Z k 就变成了C k +ΔC k - Z k =δK +ΔC k 。
要使原来的最优解仍为最优解，只要δK + ΔC k ≤0即可，也就是C k 的增量ΔC k ≤—δK 。
2. 在最终的单纯形表中， X k 是基变量当C k 变成C k + ΔC k 时，最终单纯形表中约束方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系数C B 变了，则Z J (J=1,2,…,N)一般也变了，不妨设C B =(C B1, C B2…, C k ,…，C Bm )，当C B 变成=(C B1, C B2…,C k + ΔC k ,…,C Bm )，则：Z J =(C B1, C B2…, C k ,…，C Bm )(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj )Z’J =(C B1, C B2…, C k +ΔC k ,…，C Bm )(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj ) T = Z J + ΔC k a’Kj根据上式可知检验数δJ (J=1,2,…..,M)变成了δ’J ，有δ’ J =C J -Z’J =δJ +ΔC K a’Kj 。
要使最优解不变，只要当J ≠K 时，δ’J <=0⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-≤===⋅--+=-+==≤--≥<≥--≤>-≤≤+0a'a'δMin ΔC 0a'a'δMax ΔC a'δΔC a'0a'δΔC a'0a'0δ'1a'0δX ,a'ΔC Z ΔC C 'Z ΔC C δ'k j ;0a'δ,a'δΔC ,0a';0a'δ,a'δΔC ,0a'δa'ΔC 0,a'ΔC δkj kj jk kj kj j kkjjkkjkjj k kjkkkkkkK kk k k k k k k k k kjj kjj k kj kj j kj j k kj jkj k kj k j 的变化范围为，所以可知满足的，所有小于，满足的以外的所有大于于除了要使得最优解不变，对。
运筹学线性规划的灵敏度分析与对偶
7
(2) 若 ck 是基变量的系数
设
c
' k
ck
Δc k , 为基变量的价值系数，
则
C
' B
c1
c k Δc k
C B 0
Δc k
σ
' j
cj
C
' B
B
1
P
j
cj
C
' B
P
' j
c j C B 0
Δc k
P
' j
σ j 0
Δc k
P
' j
σ j Δc k a rj
当 所有的
s.t 2x1 x2 3x3 x5 4 x1~x5 0
试求 c3 在多大范围内变动时，原最优解保持不变。
解：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4
0
0
CB
XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
-3
X2
2/5
0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
-z
28/5 0 0 -9/5 -8/5 -1/5
10
7
-1
-2
-z
43
0
0 22
-5
-7
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
-3 x2 5/7 -4/7 1
0
-3/7 1/7
-2 x1 11/7 1/7 0
1
-1/7 -2/7
-z
37/7 -24/7 0
0 -11/7 -1/7
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
第六章 2 单纯形法的灵敏度分析与对偶07.9
= 2/3
将它们反映到原最终单纯形表中，得到下表： 将它们反映到原最终单纯形表中，得到下表：
X XB
X4 X3
cB cj
19 50
Байду номын сангаас
X1 9
X2 8
X3 50 0 1 0
X4 19 1 0 0
X5 0
X6 0
X7 17
b θ
2 1 Z
2 4/3 -1/2 -1/3 -4 -2/3
2/3 -10/3 -4/3 -1/6 4/3 5/6 -13/3 -10/3 2/3
原问题 可行解 可行解
对偶问题 结论或继续计算的步骤
可行解 问题的最优解或最优基不变 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优 解 用对偶单纯形法继续迭代求 非可行解 可行解 最优解 引进人工变量，编制新的单 引进人工变量， 非可行解 非可行解 纯形表重新计算
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法 当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时， 、 、 中的某些数据发生变化时， 通过改变目前最优基对应的单纯形表中的局部 数据，考察是否影响以下两组数据的成立： 数据，考察是否影响以下两组数据的成立： （1） B-1b ≥ 0 ） （2） C – CBB-1A ≤ 0 ）
X XB
X4 X3
cB cj
19 50
X1 9
X2 8
X3 50 0 1 0
X4 19 1 0 0
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3 -4 -2/3
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
管理运筹学 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
下面仍以第二章例1为例来加以说明。 例：假如该工厂除了在设备台时，原材料A、B上对该厂的生产有限制外， 还有电力供应上的限制。最高供应电量为5000度，而生产一个Ⅰ产品需要用电 10度，而生产一个Ⅱ产品需要用电30度。试分析此时该厂获得最大利润的生产 计划？
管理运筹学
22
§1 单纯形表的灵敏度分析
即对于设备台时数来说，当其松弛变量在目标函数中的系数从0变到z3=50时，也 就是说只要当余下一台时数设备从不能获利变成获利50元时，譬如有人愿意出50
元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П品而使用完所有的 台了，
明了 台数的偶价格就是z3=50元。同我也可以知道原料A的偶价 格 z4=0元，原料B的 偶价格 z5=50元。
0
10
50
0
100 0 0
0
1
0
0
-2 1
1
0
0
30 0 0
100 50 0
0
-50 0
0
0
-1 0
1
0
1
0
0
1
50 0
-50 0
b
比
50
50
250
5000
27500
管理运筹学
23
§1 单纯形表的灵敏度分析
在上表中的x1，x2不是单位向量，故进行行的线性变换，得
迭代 基 量 cB
x1
x2
s1
s2
= Zj + Ck
管理运筹学
§1 单纯形表的灵敏度分析
管理运筹学
4
§1 单纯形表的灵敏度分析
例：
目标函数：max z=50x1+100x2 约束条件：x1+x2≤300
管理运筹学
22
§1 单纯形表的灵敏度分析
即对于设备台时数来说，当其松弛变量在目标函数中的系数从0变到z3=50时，也 就是说只要当余下一台时数设备从不能获利变成获利50元时，譬如有人愿意出50
元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П品而使用完所有的 台了，
明了 台数的偶价格就是z3=50元。同我也可以知道原料A的偶价 格 z4=0元，原料B的 偶价格 z5=50元。
0
10
50
0
100 0 0
0
1
0
0
-2 1
1
0
0
30 0 0
100 50 0
0
-50 0
0
0
-1 0
1
0
1
0
0
1
50 0
-50 0
b
比
50
50
250
5000
27500
管理运筹学
23
§1 单纯形表的灵敏度分析
在上表中的x1，x2不是单位向量，故进行行的线性变换，得
迭代 基 量 cB
x1
x2
s1
s2
= Zj + Ck
管理运筹学
§1 单纯形表的灵敏度分析
管理运筹学
4
§1 单纯形表的灵敏度分析
例：
目标函数：max z=50x1+100x2 约束条件：x1+x2≤300
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。
运筹学 第六章1
-1 1 1 50 -50
50 50 250
9
cj − zj
50 100 50 0 0 -50
0 0
1 进行灵敏度分析： 对 b1 进行灵敏度分析： D1 = − 2, 0 xBi xBi 50 50 m − ax di′1 > 0 = − = −50, m − ′1 < 0 = − in di = 25. ′1 1 −2 di di′1 − 50 ≤ ∆b1 ≤ 25,
判断最优解的原则： 判断最优解的原则： σj≤0
4
} c′ −100 ≤ 0
′ −c1 ≤ 0
1
注：用此方法对目标函数中的系数进行灵敏度分析，指的是只有 用此方法对目标函数中的系数进行灵敏度分析， 一个系数发生变化。 一个系数发生变化。 二.约束方程右边常数灵敏度分析 对偶价格：在约束条件右边量增加一个单位，而使最优目 对偶价格：在约束条件右边量增加一个单位， 标函数值得到改进的数量。 标函数值得到改进的数量。 一般地说， 发生变化，资源投入起了变化， 一般地说，由于 bi 发生变化，资源投入起了变化，最优解是 变化的。对右边常数进行灵敏度分析，是指求出 bi 的取值范围， 变化的。对右边常数进行灵敏度分析， 的取值范围， 在这个范围内变化时，其对偶价格不变。 使得 bi 在这个范围内变化时，其对偶价格不变。
1 2 0 0 50
x1 50
1 1 10 E 1 0 0 0
s2 0
0 0
s1 0
300 400 250 0 0 0
0 0 1
(
)
s3 0
bi
θi
x1 s2
50 0 100
2
x2 zj
对偶单纯形法灵敏度分析
对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
单击输入目录标题 对偶单纯形法概述 对偶单纯形法灵敏度分析的步骤 对偶单纯形法灵敏度分析的优点和局限性 对偶单纯形法灵敏度分析的改进方向 对偶单纯形法灵敏度分析的实际应用案例
添加章节标题
对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
THANK YOU
汇报人：XX
各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
单击输入目录标题 对偶单纯形法概述 对偶单纯形法灵敏度分析的步骤 对偶单纯形法灵敏度分析的优点和局限性 对偶单纯形法灵敏度分析的改进方向 对偶单纯形法灵敏度分析的实际应用案例
添加章节标题
对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
THANK YOU
汇报人：XX
各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
• §1 单纯形表的灵敏度分析 • §2 线性规划的对偶问题 • §3 对偶规划的基本性质 • §4 对偶单纯形法
管理运筹学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
0 0 -50 0 -50
从上表我们可以发现各个松弛变量的值，正好等于相应变量的对偶价格。在最 优解中S2 =50是基变量，即为，原料A有50千克没用完，再增加A原料是不会增 加利润的， A的对偶价格为0。对于任何为基变量的松弛变量所对应的约束条件的 对偶价格为0。
管理运筹学
7
§1 单纯形表的灵敏度分析
下面我们研究当右端项bj发生变化时，在什么范围内其对偶价格不变。由于bj 的变化并不影响系数矩阵的迭代，故其最终单纯形表中的系数矩阵没有变化。由
此可见当bj变化时，要使原来的基不变得到的基本可行解仍然是可行解，也就是所 求的基变量的值一定要大于0。所谓使其对偶价格不变的bj的变化范围，也就是使 其最优解的所有基变量不变，且所得的最优解仍然是可行的bj的变化范围。
50
0
0 0 -2 1 1
50
100 0 1 0 0 1
250
C’1 100 C’1 0 -C’1+100
CJ -ZJ
0
0 - C’1 0 C’1-100
从δ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并且从δ5≤0，得 到c1’≤100。
那么如果c1’取值超出这个范围，必然存在一个检验数 大于0，我们可以通过迭代来得到新的最优解。
换，Pk变成Pk’仅仅影响最终单纯形表上第k列数据，包括Xk的系数列、Zk以 及 k，这时最终单纯形表上的Xk的系数列就变成了B-1Pj’,而Zk就变成CBB-1Pk’， 新的检验数 k=Ck-CBB-1Pk’。若 k≤0，则原最优解仍然为最优解。若 k 〉0，
则继续进行迭代以求出最优。
例 以第二章例1为基础，设该厂除了生产Ι，Ⅱ种产品外，现在试制成一个新产 品Ⅲ，已知生产产品Ⅲ,每件需要设备2台时，并消耗A原料0.5公斤。B原料 1.5公斤，获利150元，问该厂应该生产该产品多少？
解：首先求出X3在最终表上的系数列 B1P'6
1 0 1 1.5 0.5
0.5
B1P6'2
11
•2
0
,z6(50,0,01001)2,5
0 01 1 1
1
'6C'jZ'63,5填入下表
迭代 基变量 CB X1 X2 S1 S2 S3 X3
b
次数
50 100 0 0 0 150
2 X1Biblioteka S250 1 0 1 0 -1 0.5 50 50/0.5
0 0 0 -2 1 1 0
50
X2
100 0 1 0 0 1 1
250 250/1
ZJ
50 100 50 0 50 125 27500
CJ -ZJ
0 0 -50 0 -50 35
管理运筹学
16
§1 单纯形表的灵敏度分析
由 于 6 0 , 可 知 此 解 不 是 最 优 解 , 我 们 要 进 行 第 3 次 迭 代 , 选 X 3 为 入 基 变 量 ，
实际意义可以描述为：当设备台时数的对偶价格不变，都为每设备台
时数在250与325之间变化，则设备台时数的对偶价格不变，都为每台设备
台时50元。
管理运筹学
13
§1 单纯形表的灵敏度分析
三、约束方程系数矩阵A灵敏度分析
下面分两种情况讨论
1.在初始单纯形表上的变量Xk的系数列Pk改变为P’k经过迭代后，在最终单 纯形表上Xk是非基变量。由于单纯形表的迭代是约束方程的增广矩阵的行变
如要使XB成为可行解，只要使上述等式的右边>0，就可求出
b k 的取值范围，也就是使得第K个约束条件的对偶价格不变的
bk的变化范围。
Dk
d '1k d '2k .d..'mk
, 则B-1b
bk
bk
bk
...
bk
d'1k
d'2k
d'3k
d'm
k
X'B1 bkd1'k
新的最优 XB 解 '，有X 为 B'.X X..''B B2m. .bb.kkddm 2''kk
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取z j 值的相反
数-
z
。
j
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
8
§1 单纯形表的灵敏度分析
b
50 100 0 0 0 150
1 0 1 0 -1 0.5 50 0 0 -2 1 1 -2 50 0 1 0 0 1 1.5 250 50 100 50 0 50 175 27500
0 0 -50 0 -50 -25
管理运筹学
15
§1 单纯形表的灵敏度分析
例 假设上例题中产品Ш的工艺结构有了改进，这时生产1件Ш产品需要 使用1.5台设备 ，消耗原料A为2千克，原料B为1千克，每件Ш产品的 利润为160元，问该厂的生产计划是否要修改。
管理运筹学
11
§1 单纯形表的灵敏度分析
要 使 X 'B0也 就 是 各 个 分 量 均 不 小 于 0， 用 一 个 数 学 式 子 来 表 示 bk的 允 许 变 化 范 围 是
M ax d xB 'iik|d'ik0 bkM in d xB 'iik|d'ik0 下面我们仍以第二章例1在最终单纯形表上对bj 进行灵敏度分析。 最终单纯形表如下所示：
120 100 80 20 0 160
CJ -ZJ
-70 0 -80 -20 0 0
200 ---
50 50/1
0
250/3
32000
可知此规模的最优解X1=0, X2=0, S1=0, S2=0, S3=50, X3=200,此时， 最大目标函数为32000元。也就是说，该厂的新的生产计划为不生产Ι、
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
所以松弛纯 变形 量表 在中 最 1， 2 的 ， 终 0） T就 系 单 B 是 -的 1 数第 列一 （
因d为 1'110,d2'120,X150,X250,可M 以axxdB i1i|d'i1050 而 MinxdB i1i|d'i102,5故有5当 0b12,5即 250bb32第 5 一个 约束条件的变 对。 偶价格不
迭代次数 基变量
CB
X1
50
S2
0
2
X2
100
ZJ
CJ -ZJ
X1 X2 S1 S2 S3 50 100 0 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 -2 1 1 0 1 00 1 50 100 50 0 50
0
0 -50 0 -50
b
50 50 250 27500
管理运筹学
12
§1 单纯形表的灵敏度分析
解：这是一个增加新变量的问题。我们可以把它认为是一个改变变量X3在初始 表上的系数列的问题，
管理运筹学
14
§1 单纯形表的灵敏度分析
接上页
从（0，0，0）T变成 （2，0.， 15.）5T。这样在原来 上的 添最 上终 新表 的一 X3的 列一 变列 量， ， 把它放 S3之在后的第六列 X3是 上非 ，基 显变 然量， 上（在 2，0最 .， 15.）终 5就表 变成了
B-1P612
0 1
11•02.50.25,这时 Z6500.51001.52515,06
C6Z6
25
0 0 1 1.5 1.5
如下表,这 所时 示新6变 0,量 可知原最优解 题就 的是 最,见 新 优表 .问 解
迭代次数 基变量
CB
X1
50
S2
0
X2
100
ZJ
CJ -ZJ
X1 X2 S1 S2 S3 X3
ZJ=(CB1, CB2。。。, Ck,…，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) Z’J=(CB1, CB2。。。, Ck+ Ck,…，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) T = ZJ + Ck a’Kj
T
管理运筹学
2
§1 单纯形表的灵敏度分析
管理运筹学
6
§1 单纯形表的灵敏度分析
二、约束方程中常数项的灵敏度分析
迭代次数 基变量
CB
X1 X2 S1 S2 S3
b
50 100 0 0 0
2
X1
50
1 0 1 0 -1 50
S2
0
0 0 -2 1 1 50
X2
100
0 1 0 0 1 250
ZJ
50 100 50 0 50 27500
CJ -ZJ
--50/1 250/3
• §1 单纯形表的灵敏度分析 • §2 线性规划的对偶问题 • §3 对偶规划的基本性质 • §4 对偶单纯形法
管理运筹学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
0 0 -50 0 -50
从上表我们可以发现各个松弛变量的值，正好等于相应变量的对偶价格。在最 优解中S2 =50是基变量，即为，原料A有50千克没用完，再增加A原料是不会增 加利润的， A的对偶价格为0。对于任何为基变量的松弛变量所对应的约束条件的 对偶价格为0。
管理运筹学
7
§1 单纯形表的灵敏度分析
下面我们研究当右端项bj发生变化时，在什么范围内其对偶价格不变。由于bj 的变化并不影响系数矩阵的迭代，故其最终单纯形表中的系数矩阵没有变化。由
此可见当bj变化时，要使原来的基不变得到的基本可行解仍然是可行解，也就是所 求的基变量的值一定要大于0。所谓使其对偶价格不变的bj的变化范围，也就是使 其最优解的所有基变量不变，且所得的最优解仍然是可行的bj的变化范围。
50
0
0 0 -2 1 1
50
100 0 1 0 0 1
250
C’1 100 C’1 0 -C’1+100
CJ -ZJ
0
0 - C’1 0 C’1-100
从δ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并且从δ5≤0，得 到c1’≤100。
那么如果c1’取值超出这个范围，必然存在一个检验数 大于0，我们可以通过迭代来得到新的最优解。
换，Pk变成Pk’仅仅影响最终单纯形表上第k列数据，包括Xk的系数列、Zk以 及 k，这时最终单纯形表上的Xk的系数列就变成了B-1Pj’,而Zk就变成CBB-1Pk’， 新的检验数 k=Ck-CBB-1Pk’。若 k≤0，则原最优解仍然为最优解。若 k 〉0，
则继续进行迭代以求出最优。
例 以第二章例1为基础，设该厂除了生产Ι，Ⅱ种产品外，现在试制成一个新产 品Ⅲ，已知生产产品Ⅲ,每件需要设备2台时，并消耗A原料0.5公斤。B原料 1.5公斤，获利150元，问该厂应该生产该产品多少？
解：首先求出X3在最终表上的系数列 B1P'6
1 0 1 1.5 0.5
0.5
B1P6'2
11
•2
0
,z6(50,0,01001)2,5
0 01 1 1
1
'6C'jZ'63,5填入下表
迭代 基变量 CB X1 X2 S1 S2 S3 X3
b
次数
50 100 0 0 0 150
2 X1Biblioteka S250 1 0 1 0 -1 0.5 50 50/0.5
0 0 0 -2 1 1 0
50
X2
100 0 1 0 0 1 1
250 250/1
ZJ
50 100 50 0 50 125 27500
CJ -ZJ
0 0 -50 0 -50 35
管理运筹学
16
§1 单纯形表的灵敏度分析
由 于 6 0 , 可 知 此 解 不 是 最 优 解 , 我 们 要 进 行 第 3 次 迭 代 , 选 X 3 为 入 基 变 量 ，
实际意义可以描述为：当设备台时数的对偶价格不变，都为每设备台
时数在250与325之间变化，则设备台时数的对偶价格不变，都为每台设备
台时50元。
管理运筹学
13
§1 单纯形表的灵敏度分析
三、约束方程系数矩阵A灵敏度分析
下面分两种情况讨论
1.在初始单纯形表上的变量Xk的系数列Pk改变为P’k经过迭代后，在最终单 纯形表上Xk是非基变量。由于单纯形表的迭代是约束方程的增广矩阵的行变
如要使XB成为可行解，只要使上述等式的右边>0，就可求出
b k 的取值范围，也就是使得第K个约束条件的对偶价格不变的
bk的变化范围。
Dk
d '1k d '2k .d..'mk
, 则B-1b
bk
bk
bk
...
bk
d'1k
d'2k
d'3k
d'm
k
X'B1 bkd1'k
新的最优 XB 解 '，有X 为 B'.X X..''B B2m. .bb.kkddm 2''kk
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取z j 值的相反
数-
z
。
j
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
8
§1 单纯形表的灵敏度分析
b
50 100 0 0 0 150
1 0 1 0 -1 0.5 50 0 0 -2 1 1 -2 50 0 1 0 0 1 1.5 250 50 100 50 0 50 175 27500
0 0 -50 0 -50 -25
管理运筹学
15
§1 单纯形表的灵敏度分析
例 假设上例题中产品Ш的工艺结构有了改进，这时生产1件Ш产品需要 使用1.5台设备 ，消耗原料A为2千克，原料B为1千克，每件Ш产品的 利润为160元，问该厂的生产计划是否要修改。
管理运筹学
11
§1 单纯形表的灵敏度分析
要 使 X 'B0也 就 是 各 个 分 量 均 不 小 于 0， 用 一 个 数 学 式 子 来 表 示 bk的 允 许 变 化 范 围 是
M ax d xB 'iik|d'ik0 bkM in d xB 'iik|d'ik0 下面我们仍以第二章例1在最终单纯形表上对bj 进行灵敏度分析。 最终单纯形表如下所示：
120 100 80 20 0 160
CJ -ZJ
-70 0 -80 -20 0 0
200 ---
50 50/1
0
250/3
32000
可知此规模的最优解X1=0, X2=0, S1=0, S2=0, S3=50, X3=200,此时， 最大目标函数为32000元。也就是说，该厂的新的生产计划为不生产Ι、
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
所以松弛纯 变形 量表 在中 最 1， 2 的 ， 终 0） T就 系 单 B 是 -的 1 数第 列一 （
因d为 1'110,d2'120,X150,X250,可M 以axxdB i1i|d'i1050 而 MinxdB i1i|d'i102,5故有5当 0b12,5即 250bb32第 5 一个 约束条件的变 对。 偶价格不
迭代次数 基变量
CB
X1
50
S2
0
2
X2
100
ZJ
CJ -ZJ
X1 X2 S1 S2 S3 50 100 0 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 -2 1 1 0 1 00 1 50 100 50 0 50
0
0 -50 0 -50
b
50 50 250 27500
管理运筹学
12
§1 单纯形表的灵敏度分析
解：这是一个增加新变量的问题。我们可以把它认为是一个改变变量X3在初始 表上的系数列的问题，
管理运筹学
14
§1 单纯形表的灵敏度分析
接上页
从（0，0，0）T变成 （2，0.， 15.）5T。这样在原来 上的 添最 上终 新表 的一 X3的 列一 变列 量， ， 把它放 S3之在后的第六列 X3是 上非 ，基 显变 然量， 上（在 2，0最 .， 15.）终 5就表 变成了
B-1P612
0 1
11•02.50.25,这时 Z6500.51001.52515,06
C6Z6
25
0 0 1 1.5 1.5
如下表,这 所时 示新6变 0,量 可知原最优解 题就 的是 最,见 新 优表 .问 解
迭代次数 基变量
CB
X1
50
S2
0
X2
100
ZJ
CJ -ZJ
X1 X2 S1 S2 S3 X3
ZJ=(CB1, CB2。。。, Ck,…，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) Z’J=(CB1, CB2。。。, Ck+ Ck,…，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) T = ZJ + Ck a’Kj
T
管理运筹学
2
§1 单纯形表的灵敏度分析
管理运筹学
6
§1 单纯形表的灵敏度分析
二、约束方程中常数项的灵敏度分析
迭代次数 基变量
CB
X1 X2 S1 S2 S3
b
50 100 0 0 0
2
X1
50
1 0 1 0 -1 50
S2
0
0 0 -2 1 1 50
X2
100
0 1 0 0 1 250
ZJ
50 100 50 0 50 27500
CJ -ZJ
--50/1 250/3