广东省2019届高三七校第二次联考(理数)

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2019届广东七校联合体高三理上学期联考二数学试卷【含答案及解析】

2019届广东七校联合体高三理上学期联考二数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2. 命题：“ ，使”，这个命题的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，3. 已知（其中均为实数，为虚数单位），则等于（）A．2 B．_____________________________________C．1_____________________________________ D．1或4. 设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则等于（）A．______________________________________ B．C．7 D．145. 若函数的零点在区间上，则的取值范围是（）A． B．______________________________C．_________________________________ D．6. 函数的图象向右平移个单位后，与函数的图像重合，则（）A．_____________________________________ B．_____________________________________C． D．7. 等差数列和等比数列的首项都是1，公差公比都是2，则（）A．64 B．32C．256_____________________________________ D．40968. 由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）A． B．C．_________________________________ D．9. 已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A．___________________________________ B．C．______________________________________ D．10. 把四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（）A．36种 B．30种C．24种___________________________________________ D．18种11. 若，且，则的可能取值是（）A． B．______________________________________C． D．12. 已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A．____________________________ B．_________________________________C．____________________________ D．二、填空题13. 的值等于_____________．14. 已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则 _____________．15. 如图，正六边形的边长为1，则 _____________．16. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 _____________．三、选择题17. 已知函数，且．（1）求的值；（2）若，求．四、解答题18. 设数列的前项之积为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．19. 在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求证：平面；（2）求的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由．20. 如图，某广场中间有一块边长为 2百米的菱形状绿化区，其中是半径为 1百米的扇形，．管理部门欲在该地从到修建小路：在弧上选一点（异于两点），过点修建与平行的小路．问：点选择在何处时，才能使得修建的小路与及的总长最小？并说明理由．21. 已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，设函数，且函数有且仅有一个零点，若，，求的取值范围．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线（为参数，实数，曲线（为参数，实数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与交于两点，与交于两点．当时，；当时，．（1）求的值；（2）求的最大值．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为．（1 ）求的值；（2）若，求的最大值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。

2019届广东省重点中学高三上学期第二次联考数学(理)试题含答案

2019届广东省重点中学高三上学期第二次联考理科数学第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合{}|24A x x =<<，，则（） A ．{}|25x x <≤ B ．{}|45x x x <>或 C ．{}|23x x <<D ．{}|25x x x <≥或 2.复数22(1)1z i i=++-，则z =（） A ．13i + B ．12i + C ．12i - D ．13i -3. 设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若===1033,12,7a S a 则（） A. 10 B. 28 C. 30 D.1454.若1cos()23πα-=-，则cos(2)πα+=（）A ．79-B ．79 C ．D 5.右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A ． 11B ．10C ．9D ．86.下面四个命题：1p ：命题“2,2n n N n ∀∈>”的否定是“0200,2n n N n ∃∉≤”；2p :向量()(),1,1,a m b n ==-，则m n =是a b ⊥的充分且必要条件；3p ：“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则“A B ≤”； 4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47. 如下图所示的程序框图中, ()Mod ,m n 表示m 除以n 所得的余数,例如: ()Mod 5,21=,则该程序框图的输出结果为（） A ．2 B ．3 C. 4 D ．58、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．643- B ．643- C.323-D ．323- 9.若正数x,y 满足04=-+xy y x ，则yx +3的最大值为（） A ．31 B ． 83 C ．73D ．1 10.如图所示的是函数sin()y x ωϕ=+（0ω>，02πϕ<<）在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m （0m >）个单位长度后，所得到的图象关于直线512x π=对称，则m 的最小值为（） A ．76π B ．6π C ．8πD ．724π11.设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线:(0)l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，则AFB∆周长的取值范围是（）A ．()2,4B ．(6,4+C ．()6,8D ．()8,1212.函数()(4)ln f x kx x x =+-（1x >），若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为（）A ．112,1ln 22ln 2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．112,1ln 22ln 2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C.141,1ln 332ln 2⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．141,1ln 332ln 2⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设非零向量,满足||2||=+⊥（，则向量与的夹角为______．14.若x ，y 满足约束条件20,230,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12y x ++的最小值为．15.(21)n x -展开式中二项式系数和为32，则2(21)nx x +-展开式中3x 的系数为．16. 已知数列中，，则数列的前项和为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知的内角对边分别为a,b,c ，满足.（1）求角；（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值.18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163n n S a +=+（*n N ∈）．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n a a n b 23log )13(++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=︒，//AD BC ，PAB ∆是等边三角形，2DA AB ==，PD =12BC AD =，E 为线段AB 中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A PD E --余弦值．20.某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）公司决定再采购，两款车扩大市场，，两款车各100辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据：，，，．参考公式：相关系数∑∑∑===-⋅---=n i ni i i ni i i y y x x y y x x r 11221)()())((；回归直线方程，其中()121()()n i i i n i i x x y y b x x ∧==--=-∑∑， a y b x ∧∧=-21.已知函数2()ln 1af x x x=+-，a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()f x g x x=，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（是参数）,（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线任一点为，求点直线l的距离的最大值.23.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|=--+.f x a x x（Ⅰ）若2f x≤；a=，解不等式()3（Ⅱ）若存在实数a，使得不等式()14|2|≤成立，求实数a的取值范围.--+f x a x2019届高三级月考2（联考）理科数学参考答案一、选择题1-5:ADBAC 6-10:BBAAC 11-12：CD 二、填空题 13.43π 14.2315.-30 16.2)3(+n n三、解答题 17.（1）由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===及……………………………………………………1分可得，……………………………………………………3分所以，………………………………………………………………5分又因为，所以. ……………………………………………………6分（2），…………………………………………………8分所以. …………………………………………………………9分当且仅当b=c 时等号成立，…………………………………………………………………10分所以.…………………………………………………………12分18.解：（1）∵163n n S a +=+（*n N ∈），∴当1n =时，11669S a a ==+；……………………………………………………1分当2n ≥时，166()n n n a S S -=-23n =⨯，即13n n a -=，………………………………3分 ∵{}n a 为等比数列，∴11a =，则96a +=，3a =-，……………………………………4分 ∴{}n a 的通项公式为13n n a -=．………………………………………………5分（2）由（1）得1(31)3n n b n -=+)12(3)13(3log 1123-++=+--n n n n ……………6分{}n n n n A 3)12(1项和为的前设数列-+，{}n n n B 12项和为的前设数列-， ∴n A 0114373(31)3n n -=⨯+⨯+++…，1214373(32)3(31)3n n n n -⨯+⨯++-+-…………………………………7分∴n n n n 3)13(3334A 232+-+⋯⋯+++=-，……………………………8分∴413)16(A +-=n n n ．……………………………………………………10分22)121(B n nn n =-+=又……………………………………………………11分2413)16(B A T n n n n n n ++-=+=∴…………………………………………12分19.（1）证明：在PDE ∆中，PE =DEPD =∵222PE DE PD +=，∴PE DE ⊥，……………………………………………………1分∵PAB ∆是等边三角形，E 为线段AB 中点，∴PE AB ⊥，……………………………………………………2分又∵ABDE E =，……………………………………………………3分∴PE ⊥平面ABCD ，而PE ⊂平面PAB ，………………………………………………4分 ∴平面PAB ⊥平面ABCD ．……………………………………………………5分（2）解：以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E，P ，(2,1,0)D ，(0,1,0)A ，(2,1,0)ED =，EP =，……………………………6分设1111(,,)n x y z =为平面PDE 的法向量，则110,0,n ED n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11120,0,x y +=⎧⎪=令1x =，可得1(1,2,0)n =-．……………………………………………………8分同理可得平面PAD的法向量2n =，……………………………………………9分∵121212cos ,5||||n n n n n n⋅<>==-⋅，……………………………………………11分 ∴二面角A PD E --．……………………………………………12分20.（1）∵，，，， ∴∑∑∑===-⋅---=ni ni i i ni i i y y x x y y x x r 11221)()())((，…………1分所以两变量之间具有较强的线性相关关系，……………………………………………2分故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．∵，，…………………………………3分又， ∴，……………………………………………4分∴回归直线方程为．……………………………………………5分（2）用频率估计概率，款车的利润的分布列为：……………………………………………7分 ∴（元）．………8分款车的利润的分布列为：……………………………………………10分 ∴（元）．……11分以每辆车产生利润期望值为决策依据，故应选择款车型．……………………12分21.解：（1）定义域为(0,)+∞，22122'()a x af x x x x-=-=，①当0a ≤时，'()0f x >在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令'()0f x =，得2x a =， ∴当(0,2)x a ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(2,)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,2)a 单调递减，在(2,)a +∞上单调递增．………………………4分（2）2ln 21()x a g x x x x=+-，21,x e ⎡⎤∈⎣⎦， ∴22331ln 142ln 4'()x a x x x ag x x x x x ---=+-=，设()2ln 4h x x x x a =--，则'()2(1ln )1ln h x x x =-+=-，由'()0h x =，得x e =，当1x e ≤<时，'()0h x >；当2e x e <≤时，'()0h x <，∴()h x 在[1,)e 上单调递增，在2(,]e e 上单调递减，且(1)24h a =-，()4h e e a =-，2()4h e a =-，显然2(1)()h h e >，结合图象可知，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，则2()0,()0,h e h e >⎧⎨<⎩ 解得04e a <<． ①当()0,(1)0,h e h >⎧⎨<⎩即124ea <<时，则必定1x ∃，221,x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得12()()0h x h x ==，且2121x e x e <<<<，当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表：∴当124a <<时，()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值为1()g x ，2()g x ，且12()()g x g x <， ∵11111221111ln ln 221()x x x x aa g x x x x x -+=+-=，设()ln 2x x x x a ϕ=-+，其中124ea <<，1x e ≤<． ∵'()ln 0x x ϕ=>，∴()x ϕ在(1,)e 上单调递增，()(1)210x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．∵11x e <<，∴1()0g x >， ∴当124e a <<时，()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值21()()0g x g x >>. ②当2(1)0,()0,h h e ≥⎧⎨<⎩即102a <≤时，则必定23(1,)x e ∃∈，使得3()0h x =，易知()g x 在3(1,)x 上单调递增，在23(,]x e 上单调递减，此时，()g x 在2[1,]e 上的极大值是3()g x ，且22342()()0a e g x g e e+>=>， ∴当102a <≤时，()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，且极值都为正数，综上所述，当04e a <<时，()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，且极值都为正数．…………12分22.（Ⅰ）直线的普通方程为，………………………………………………2分∵ ∴ ………………………………………………3分将代入上式，θρρsin ,222=+=y y x ………………………………………………4分故曲线的直角坐标方程为，………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，经过伸缩变换，得曲线的方程，…………………………………………6分则曲线的参数方程为(是参数)，设点M 的坐标为)sin ,cos 4(αα…………………………………………7分由点到直线的距离公式可得……………………………………8分,……………………………………9分当1)sin(=-ϕα时，有最大值，故点到直线的距离的最大值为.………………………………………10分23、解：（Ⅰ）不等式()3f x ≤化为|23||2|3x x --+≤，………………………………1分无解解得时，当∴≥≤++--<;21,32322x x x x ………………………………………………2分3243;43,3232322≤≤-∴-≥≤---≤≤-x x x x x 解得时，当……………………………………3分2732;27,323232≤<∴≤≤--+->x x x x x 解得时，当………………………………………………4分所以综上，3742x -≤≤，所以不等式()3f x ≤的解集为37{|}42x x -≤≤；……………………………………5分（Ⅱ）不等式()14|2|f x a x --+≤等价于|3|3|2|1a x x a -++-≤即|3|3|2|1a x x a -++-≤，………………………………………………………………6分因为|3|3|2||3||63||363||6|a x x a x x a x x a -++=-++-++=+≥，……………………7分若存在实数a ，使不等式()14|2|f x a x --+≤成立，则|6|1a a +-≤，………………………………………………………………………………8分解得：52a -≤，实数a 的取值范围是5(]2-∞-，…………………………………………10分。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

广东省中山一中等七校联合体2019届高三第二次(11月)联考数学理试题

七校联合体2019届高三第二次联考试卷(11月)理科数学考试学校：广东仲元中学中山一中南海中学普宁二中等七校考试时间:2018年11月23日(星期五)下午15:00～17:00本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}0,1,2,3,4,5U =,{}1,2,3A =,{}2540B x x x =∈-+≥Z ,则()UAB =ð( )A . {}1,2,3B . {}1,2C . {}2,3D . {}2 2. 设a ∈R ,复数i3ia z -=+(i 是虚数单位)的实部为2,则复数z 的虚部为( ) A ．7- B ．7 C . 1- D ．1 3. 已知sin 2cos 0αα+=,则tan 2α=( )A ．34B ．43 C ．43- D ．34-4. 已知命题p :x ∃∈R ,1lg x x -≥,命题q :()0,x π∀∈,1sin 2sin x x+>,则下列判断正确的是( )A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是假命题D ．()p q ∧⌝是真命题5．已知抛物线224y ax =(0a >)上的点()03,M y 到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )A . 28y x =B ．212y x =C . 216y x =D ．220y x =6. 若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,则2z x y =+的最小值为( )A . 4-B . 2C .83D . 4 7. 若双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的中心为O ,过C 的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线,交C 的渐近线于A ,B 和M ,N ,若OAB ∆与OMN ∆的面积比为1:4,则C 的渐近线方程为( )A ．y x =±B ．3y x =±C . 2y x =±D ．3y x =± 8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图1所示(单位:寸),若π 取3,其体积为13.5(立方寸),则图中的x 为( )A . 2.4B . 1.8C . 1.6D . 1.29. 如图2所示的程序框图,若输入110011a =,则输出结果是( )A ．45B ．47C ．51D ．53 10.已知ln x π=,5log 2y =,12ez -=,则( )A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．z y x << 11.已知函数()231cossin 222xf x x ωω=+-(0,x ω>∈R ).若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点,则ω的取值范围是( ) A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C . 50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎦12.如图3所示,在平面直角坐标系xOy 中,点B ,C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上点A 在第一象限,且90BAC ∠=︒,4AB AC ==,那么O ,A 两点间距离的 ( )A . 最大值是最小值是4 B . 最大值是8,最小值是4 C . 最大值是最小值是2 D . 最大值是8,最小值是2第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.俯视图侧视图正视图3x图1DCEAB图413.已知向量()1,m =-a ,()0,1=b ,若向量a 与b 的夹角为3π,则实数m 的值为 . 14.()723x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是 (用数字作答).15.已知()()3e e6x xf x x -=++,()10f a =,则()f a -=_________. 16.ABC ∆中,AB AC =,D 为AC 边上的点,且4AC CD =,2BD =,则ABC ∆的面积最大值为．三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若数列{}n b 满足1n n n b b a +-=(n *∈N ),且13b =,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)如图4,在四棱锥E ABCD-中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,2CD AB ==24CE =,120BCE ∠=︒,DE =(Ⅰ) 证明:平面BCE ⊥平面CDE ；(Ⅱ) 若4BC =,求二面角E AD B --的余弦值.19.(本小题满分12分)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了80个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在[)63.0,64.5内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取4件,合格品的个数为ξ,求ξ的分布列与期望；(Ⅱ) 从产品中随机抽取n 件,全是合格品的概率不小于30%,求n 的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出,A B 两种不同的改进方案进行试验.若按A 方案进行试验后,随机抽取15件产品,不合格个数的期望是2；若按B 方案试验后,抽取25件产品,不合格个数的期望是4,你会选择哪个改进方案? 20.(本小题满分12分)椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为12,其左焦点到点()2,1P 的距离为.不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,且线段AB 被直线OP 平分. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求ABP ∆的面积取最大时直线l 的方程.21.(本小题满分12分)已知函数()3213f x x x bx =++,()e 1x g x =+,其中e 2.718=.(Ⅰ) 判断函数()f x 在[)2,-+∞上的单调性； (Ⅱ) 设函数()()()g x F x f x ='的定义域为R ,且有极值点. (ⅰ) 试判断当2b =时,()F x 是否满足题目的条件,并说明理由； (ⅱ) 设函数()F x 的极小值点为0x ,求证:()0e e5F x <.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号. 22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,实数0a >),曲线2C ：cos sin x b y b b ϕϕ=⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数,实数0b >).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θα=(0ρ≥,0α≤2π≤)与1C 交于O A 、两点,与2C 交于O B 、两点.当0α=时,1OA =；当2πα=时,2OB =.(Ⅰ) 求a ,b 的值；(Ⅱ) 求22OA OA OB +⋅的最大值.23.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲设函数()12f x x a x a=++-(x ∈R ,实数0a <). (Ⅰ) 若()502f >,求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 求证:()2f x七校联合体2019届高三第二次联考试卷(11月)理科数学参考答案与评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.84 15. 2 16. 327三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17.【解析】(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠),依题意得()()()2111298a d a d a d ++=+ …2分又15a =,解得2d =,所以23n a n =+. …………………………………………4分 (Ⅱ)依题意得123n n b b n +-=+,即121n n b b n --=+(2n ≥且n *∈N ) 所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ ………………………………………6分()()()2132121532n n n n ++=++-+++=22n n =+.………………………8分对13b =上式也成立,所以()2n b n n =+,即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, …………10分所以11123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.…………12分18.【解析】(Ⅰ)证明：因为//AB CD ,90ABC ∠=︒，所以CD BC ⊥.……1分因为42,25CD CE DE ===,所以222C D CE DE +=,所以CD CE ⊥, ……………………………………………………………2因为BCCE C =,所以CD ⊥平面BCE . ……………………………3又CD ⊂平面CDE ,所以平面BCE ⊥平面CDE . ……………………4(Ⅱ)以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -如图所示,则 …………5分()()()()4,0,2,400,3,0,0,0,4A B E D -，，,………………………6分所以()()4,0,2,3,2AD AE =-=--,……………………………7分设平面ADE 的法向量为()1,,x y z =n ,则1100AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即4205320x z x z -+=⎧⎪⎨--=⎪⎩,解得2y z x⎧=⎪⎨=⎪⎩,令1x =,则()11,33,2=n ,…………………………………………9分显然平面ABD 的一个法向量为()20,1,0=n ,………………………………………10分所以1212123336cos ,421⋅<>===⨯n n n n n n ,所以二面角E AD B --的余弦值为.………12分 19.【解析】(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为()0.750.650.20.50.8++⨯=,即抽出产品为合格品的概率为45,…………………………………………………………1分从产品中随机抽取4件,合格品的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且()41105625P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()3144116155625P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭,()22244196255625P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()33441256355625P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()4425645625P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭,………………………………3分所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P1625 16625 96625 256625 256625 ξ的数学期望455E ξ=⨯=.………………………………………………5分(Ⅱ) 随机抽取n 件,全是合格品的概率为45n ⎛⎫⎪⎝⎭,依题意40.35n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,故n 的最大值为5.…………8分(Ⅲ) 按A 方案随机抽取产品不合格的概率是a ,随机抽取15件产品,不合格个数()15,XB a ；按B 方案随机抽取产品不合格的概率是b ,随机抽取25件产品,不合格个数()25,Y B b ,依题意152EX a ==,254EY b ==,解得215a =,425b =,………………………………11分因为241525<,所以应选择方案A .…………………………………………………12分 20.【解析】(Ⅰ)依题意12c e a ==,……………1分左焦点(),0c -到点()2,1P 的距离()2221d c =++=10………2分解得24a =,21c =,故23b =,故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. ……(Ⅱ)易得直线OP 的方程12y x =,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB 中点()00,R x y ,其中0012y x =,因为,A B 在椭圆上,所以2211143x y +=,2222143x y +=,相减得2222212104433x x y y -+-=, 即()()21021022043x x x y y y -⋅-⋅+=,故0212103342AB x y y k x x y -==-⋅=--,……………6分设直线AB 的方程为l :32y x m =-+(0m ≠),代入22143x y +=中, 消去y 整理得223330x mx m -+-=,……………………………………………………7分由()()()22234333120m m m∆=-⨯-=->,得2323m -<<且0m ≠.由韦达定理得12x x m +=,21233m x x -=,…………………………………8分所以()2212A B =+……………………………9分又点()2,1P 到直线l 的距离82241313m m d --==………………………………10分所以ABP ∆的面积()()221341226ABP S AB d m m ∆==--,其中m -<<且0m ≠.令()()()22412f m m m =--,则()()()()(24426441717f m m m m m m m '=----=----,令()0f m '=得17m =因4和172323m -<<且0m ≠,舍去)当(7m ∈-时,()0f m '>,当(17,23m ∈时,()0f m '<,所以,当17m =时,ABP S ∆取得最大值,此时直线l 的方程为3220x y ++=. …………12分21.【解析】(Ⅰ) ()()22211f x x x b x b '=++=++-, …………………………………1分若1b ≥,则()f x '0≥,故()f x 在[)2,-+∞上递增；…………………………………2分若1b <,由()0f x '=解得111x b =--211x b =-- 当0b ≤时,12x ≤-,此时()22,x x ∈-时,()0f x '<,()2,x x ∈+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在()22,x -上递减,在()2,x +∞上递增. ………………………………3分当01b <<时,12x >-,由()0f x '<得12x x x <<,由()0f x '>得1x x <或2x x >, 所以()f x 在()12,x -上递增,在()12,x x 递减,在()2,x +∞上递增. …………………4分(Ⅱ)()2e 12x F x x x b+=++.(ⅰ) 当2b =时,()()22e 1e 12211x x F x x x x ++==++++,此时()F x 的定义域为R ,…………………5分()()222e 2222x x x F x x x --'=++,又()1002F '=-<,()24e 62010F -'=>,所以()F x '在()0,2上有变号零点,所以()F x 有极值,即2b =时,()F x 满足题目的条件. …………………………7分(ⅱ) ()2e 12x F x x x b+=++,因为()F x 的定义域为R ,故440b -<,即1b >.………8分()()()()222e 2222x x b x F x x x b +--+'=++,令()0F x '=,得2b -=222exx x +-,设()222exx k x x +=-, 则()121e x k x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭,当0x <时,()0k x '>,()k x 递增,当0x >时,()0k x '<,()k x 递减, 所以()()max 02k x k ==,所以22b -<,即14b <<满足题意.此时()F x '有且只有两个变号零点,一个为()F x 的极大值点,一个为极小值点,且极小值点大于0,故0x 0>且唯一,又()0000200000e 1e 1e 2222222e x x x F x x x x b x x ++===++++++, 设()e 22xm x x =+(0x >),则()()22e 022x x m x x '=>+,所以()m x 在()0,+∞上递增, ……………11分又1b >,所以02200323222232121e 2e x x x ⨯++⎛⎫->-=->- ⎪⎝⎭,所以032x <, 所以()03200e 3ee e 2225x F x m x ⎛⎫=<==⎪+⎝⎭…………………………………………………………12分 22.【解析】(Ⅰ)将1C 化为普通方程为()222x a y a -+=,其极坐标方程为2cos a ρθ=,由题可得当0θ= 时,1OA ρ==,所以12a =.………………………………………2分将2C 化为普通方程为()222x y b b +-=,其极坐标方程为2sin b ρθ=,由题可得当2πθ=时,OB =2ρ=,所以1b =.…………………………………4分(Ⅱ)由,a b 的值可得1C ,2C 的方程分别为cos ρθ=,2sin ρθ=, 所以2222O A θ+⋅24πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,…6分因为02πθ≤≤,所以52,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以当242ππθ+=即8πθ=时2214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭21.……………10分 23.【解析】(Ⅰ)因为0<a ,所以()11502f a a a a =+-=-->,即25102a a ++>,解得2a <-或102a -<<.……………………………………………………4分 (Ⅱ)()13,21112,2113,a x a x a af x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩,……………………………6分所以()f x 在1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减,在1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增,………………8分所以()min 1122222a a a f x f a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--≥-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a a -=-即a =等号,所以()f x ≥.……………………………………………………………10分。

【市级联考】广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.若复数在复平面内对应的点在第三象限，所以的取值范围是故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.）A. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由，则R故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.的样本，若样本中8辆，则）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据分层比例列式求解.B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B 【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，，，停止运行，所以输出的B ．考点：程序框图．5. ）A.B.D.【答案】D 【解析】【分析】根据对称列式求解.D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女）A. B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.，所以,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，因为，从而 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.的左焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】再根据切线得OE.，所以PF,PF,A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.，且点）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，2m+2n））＝2（32（当且仅当n时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．10.的图像的一条对称轴为（）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，的中点为）A.B.D.【答案】B 【解析】【分析】.M 在直线AB,,因此的取值范围为选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.的）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B.【详解】A为圆心，B,则在B点处切线的斜率为，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.是夹角为.【答案】【解析】【分析】，；．故答案为：【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法．14.80________.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得，，，的对边为.1，成等差数列，则________.【解析】【分析】再根据余弦定理化简得1成等差数列，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.________.【解析】【分析】.正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.，（1）求数列（2，求数列【答案】 (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1的公比为，是递增的等比数列，所以数列解法2：（1，是递增的等比数列，（2）由（1①-所以【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄（脂肪根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度. （20.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii 以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：．因为，（2．的线性回归方程为．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.（1（2.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1为中，中，，，，所以平面（2由（1设平面的法向量为设二面角为，由于的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.（1（2并说明理由.【答案】（1；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2离与半径大小进行判断.【详解】（1，整理得所以动点的轨迹的方程（2的直线为轴时，显然不合题意．因为，．的中点坐标为．到直线的距离为．与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.（1）讨论函数的单调性；（2【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k f（﹣2k）＝ln（﹣2k．然后证明x1+x2≥）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8t＞1．由此能证明x1+x2＞【详解】（1，函数．时，，，时，函数时，函数（2方法1:由（1要使函数有两个零点，首先，，则因为，所以在上单调递增，的取值范围是．方法2:，则，且：方法1:，即，即证．，所以即证，．所以．在上单调递减，．方法2:，即，需证．，所以即证所以在上单调递减，．方法3:因为，是函数，需证．只需证．，所以，所以．方法4:因为，是函数，即证明，则．所以在上单调递增，所以．，．方法5:，所以在上单调递减．在上恒成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.（.在以坐标原点为极点，.（1（2.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1的普通方程，根据2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1，．因为（2）解法1的直角坐标方程为，可设该方程的两个根为整理得，因为，所以综上所述，直线的倾斜角为解法2，两点，且的，整理得．综上所述，直线【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲](1)时，解不等式(2)若存在实数x a的取值范围.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1综上可知，不等式的解集为（2．．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。

广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试卷及解析

……装…………_____姓名：_________……装…………广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数z =m(3+i)−(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（）A. (−∞,1)B. (−∞,23)C. (23,1) D. (−∞,23)∪(1,+∞)2.已如集合A ={x|1−8x−2<0}，则∁R A =（）A. {x|x <2或x ⩾6}B. {x|x ⩽2或x ⩾6}C. {x|x<2或x ⩾10}D. {x|x⩽2或x ≥10}3.某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（） A. 96B. 72C. 48D. 364.执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 245.已知点A 与点B(1,2)关于直线x +y +3=0对称，则点A 的坐标为（）A. (3,4)B. (4,5)C. (−4,−3)D. (−5,−4)6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望Eξ=（）A. 45 B. 1C. 75D. 27.已知sinα+cosα=15，其中α∈(π2,π)，则tan2α=（）A. −247B. −43C. 724D. 2478.过双曲线x 2a 2−y 22=1 (a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双答案第2页，总21页…………订……※订※※线※※内※※答※…………订……曲线右支于点P ，若FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2FE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则双曲线的离心率为（） A. √173 B. √176C. √105D. √1029.若曲线y =x 3−2x 2+2在点A 处的切线方程为y =4x −6，且点A 在直线mx +ny −1=0（其中m >0，n >0）上，则1m +2n的最小值为（）A. 4√2B. 3+2√2C. 6+4√2D. 8√210.函数f(x)=2sin(ωx +φ) (ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，先把函数y =f(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y =g(x)的图像，则函数y =g(x)的图像的一条对称轴为（）A. x =3π4B. x =π4C. x =−π4D. x =−3π411.已知点P 在直线x +2y −1=0上，点Q 在直线x +2y +3=0上，PQ 的中点为M (x 0,y 0)，且1⩽y 0−x 0⩽7，则y0x 0的取值范围为（）A. [2,125]B. [−25,0]C. [−516,14]D. [−2,25]12.若点A(t,0)与曲线y =e x 上点P 的距离的最小值为2√3，则实数t 的值为（）A. 4−ln23B. 4−ln22C. 3+ln33D. 3+ln32第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.若e 1⃑⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑⃑ 是夹角为60°的两个单位向量，向量a ⃑⃑ =2e 1⃑⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑⃑ ，则|a|=________.14..若5(1)ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平……外…………○………学校:________……内…………○………方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，共中a ，b ，c 是△ABC的内角A ，B ，C 的对边为.若sinC =2sinAcosB ，且b 2，1，c 2成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为________.16.有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为________.三、解答题（题型注释）17.已知{a n }是递增的等比数列，a 2+a 3=4，a 1a 4=3.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n=na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i ）求x̅；（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.答案第4页，总21页…○…………订…※装※※订※※线※※内※※答…○…………订…（2）若y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.56+b ̂x ，求b ̂的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量. 附：参考数据：y ̅=27，∑x i 10i=1y i=13527.8，∑x i210i=1=23638，∑y i 210i=1=7759.6，√43≈6.56，√2935≈54.18，参考公式：相关系数r=∑(x −x̅)ni=1(y −y̅)√∑(x i −x̅)2i=1√∑(y i −y ̅)2i=1 ∑x ni=1y −nx̅y̅√∑x i i=1−n(x̅)2√∑y ii=1−n(y ̅)2回归方程y ̂=a ̂+b ̂x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i −y ̅)∑(x i −x̅)2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x ̅. 19.如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，∠APD =90°，且AD =PB .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AD⊥PB ，求二面角D −PB −C 的余弦值.20.在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点A(−2,0)，B(2,0)的连线的斜率之积为−12. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设过点(−1,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，判断直线x =−52与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 21.己知函数f(x)=lnx −k x (k ∈R).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明x 1+x 2>2√−2k .22.在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =2+tcosα,y =√3+tsinα（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+8.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求直线l的倾斜角.23.[选修4-5：不等式选讲]己知函数f(x)=|2x−1|−a．(1)当a=1时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)<12f(x+1)成立，求实数a的取值范围.答案第6页，总21页参数答案1.B【解析】1.根据复数的几何意义建立不等式关系即可.z =m(3+i)−(2+i)=(3m −2)+(m −1)i ，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则{3m −2<0m −1<0，解得m<23，所以m 的取值范围是(−∞,23)，故选B. 2.D【解析】2.先解分式不等式求集合A ，再由补集的定义直接求解即可．解：由1−8x−2＜0，即x−10x−2＜0，即（x ﹣10）（x ﹣2）＜0解得2＜x ＜10，即A={x|2＜x ＜10}，则∁R A ＝{x|x ≤2或x ≥10}故选：D ． 3.B【解析】3.根据分层比例列式求解. 由题意得29n −39n =−8∴n =72.选B.4.A【解析】4. 运行第一次，x=1,y =2,z =3；运行第二次，x =2，y =3，z =5；运行第三次x =3,y =5,z =8；类推，直到不再符合z <20为止，输出z 即可。

广东省广州市普通高中2019届高三数学综合测试试题(二)理(含解析)

广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化代数形式，再根据对应的点在第三象限列不等式，解得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.己知集合A=，则A. {x|x<2或x≥6}B. {x|x≤2或x≥6}C. { x|x<2或x≥10}D. {x|x≤2或x≥10}【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再求补集.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查解不等式以及补集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．考点：程序框图．5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设,则，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，则数学期望（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为，所以因此,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知，其中，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因为，且，所以，因为，所以，因此，从而，，选D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件得,再根据切线得OE，结合双曲线定义列等式，解得离心率.【详解】设右焦点，因为，所以,因为，所以,由双曲线定义得,因为⊥PF,所以⊥PF,因此，选A. 【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.若曲线y= x3 -2x2 +2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为A. 4B. 3+2C. 6+4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求A点坐标，再根据基本不等式求最值.【详解】设，则或，即或因为在上，所以，即，从而，当且仅当时取等号，即的最小值为，选C.【点睛】本题考查导数几何意义以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.10.函数的部分图像如图所示，先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象求，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得，从而，,,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线，再根据，得轨迹为一条线段，最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上，点在直线上，所以M在直线上，即，因为，所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.【详解】因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求模.【详解】因为，所以. 【点睛】本题考查利用向量数量积求模，考查基本分析求解能力，属基本题.14.若的展开式中的系数是80，则实数的值是_______.【答案】2【解析】解：因为展开式的的系数为80，则说明，故a=2.15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，，是的内角，，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径，再根据取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果. 【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以,解得.【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.己知{a n}是递增的等比数列，a2+a3 =4，a l a4=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列方程组解得公比与首项即可，（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）设等比数列公比为，因为，，所以解得或因为是递增的等比数列，所以，．所以数列的通项公式为．解法2：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，是方程的两个根．解得或因为是递增的等比数列，所以，，则．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知．则，①在①式两边同时乘以得，，②①-②得，即，所以．【点睛】本题考查等比数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。

2019广东二模理数答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.C2.D3.D4.B5.A6.A7.B8.D9.B10.C11.A12.A13.14.-15.216.17.解:(1)因为n+2,,(a1-2)n依次成等比数列,所以S=(a1-2)n(n+2)...................................................................................................................................................... 1分n当n=1时,S=a1=3(a1-2),解得a1=3,从而S n=n(n+2); ................................................................................................... 2分1当n≥2时,a=S n-S n-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1;............................................................................................................ 4分n当n=1时,也满足a=2n+1,故a n=2n+1........................................................................................................................ 6分n(2)因为=-, .................................................................................................................................. 8分所以T=---n=-=................................................................................................................................................ 12分评分细则:第(1)问中,没有写到当n=1时,也满足a=2n+1,而直接得出数列的通项公式为a n=2n+1,要扣1分;n第(2)问中,得出T=-,而没有得到,不扣分.n18.(1)证明:连接DE,BD.因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,E为AB的中点,所以DE⊥AB. .................................................................. 1分因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AB, ........................................................................................................................... 2分又DE∩PD=D,所以AB⊥平面PDE, ............................................................................................................................. 3分则AB⊥PE....................................................................................................................................................................... 4分因为AB∥CD,所以PE⊥CD.......................................................................................................................................... 5分(2)解:以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz(其中O为AC与BD的交点),如图所示,则P(-1,0,2),A(0,-,0),E-,C(0,,0). ...................................................................................................................................... 6分设平面APE的法向量为n=(x1,y1,z1),则·n=0,·n=0,即-................................................................................................................................... 7分令x1=,得n=(,-1,1)............................................................................................................................................... 8分设平面PCE的法向量为m=(x2,y2,z2),则·m=0,·m=0,即--........................................................................................................................................ 9分令x2=3,得m=(3,1,2). ........................................................................................................................................ 10分所以cos<n,m>===, ......................................................................................................................... 11分由图可知二面角A-PE-C为钝角,故二面角A-PE-C的余弦值为-.............................................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,连接BD,证得△PDA与△PDB全等,从而PA=PB,PE⊥AB,此法也可证明PE⊥CD,另外,用空间向量证明PE⊥CD,同样得分;第(2)问中,两个平面的法向量不唯一,只要与所给法向量共线即可得分.19.(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2-6kx-18=0. ....................................................................................................... 2分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-18, ..................................................................................................................................... 3分从而d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18为定值............................................................................................................................. 5分(2)解:存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.由(1)知x1+x2=6k, .......................................................... 6分从而k1+k2=-+-.................................................................................................................................................... 7分=-.................................................................................................................................................... 8分=--................................................................................................................................................................. 9分当b=-3时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, ................................................................... 11分故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-3)符合题意. .............................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,直线方程与抛物线方程联立正确得2分,两根之和对(1)问无贡献,若第(2)问未写,而第(1)问写了,应给1分.20.解:(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10点04分........................................................................... 2分(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4......................................... 3分所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, ............................................................................................................................ 6分所以X的分布列为所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. ........................................................................................................... 8分(3)由(1)可得μ=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18........................................................................................................................................................................ 9分估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数,也就是46<T≤100通过的车辆数,由T~N(μ,σ2),得P(64-18<T≤64+2×18)=-+-=0.8186, ................................................ 11分所以,估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆........................................................ 12分评分细则:第(2)问中,若没有逐个计算每个X的概率,直接得出X的分布列,扣2分.21.(1)解:g(x)的定义域为(0,+∞), .................................................................................................................................... 1分g'=-, ............................................................................................................................................................ 2分若a≤-,因为x>1,所以ln x>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减. .............................................................. 3分若a>-,令g'=0,得x=,当1<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0.所以g(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(1,).............................................................................. 5分(2)x2f(x)+a≥2-e,即x ln x-ax+a+e-2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,令h(x)=x ln x-ax+a+e-2,则h'(x)=ln x+1-a,令h'(x)=0,得x=e a-1. .................................................................................. 6分当x∈(0,e a-1)时,h'(x)<0;当x∈(e a-1 ,+∞)时,h'(x)>0, ...................................................................................................... 7分所以h(x)的最小值为h(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-a e a-1=a+e-2-e a-1, ................................................................................... 8分令t(a)=a+e-2-e a-1,则t'(a)=1-e a-1,令t'(a)=0,得a=1.当a∈[0,1)时,t'(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增;当a∈(1,+∞)时,t'(a)<0,t(a)在(1,+∞)上单调递减........................................................................................................ 10分所以当a∈[0,1)时,h(x)的最小值为t(a)≥t(0)=e-2->0;当a∈[1,+∞)时,h(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2)............................................................................................ 11分故a的取值范围是[0,2]. ............................................................................................................................................... 12分评分细则:第(1)问中,g(x)的定义域与g(x)的导数正确各得1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, ........................................................................................ 2分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程. ...................................................................................................... 3分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, .................................................................................................... 6分则|PM|=3+sin α, ............................................................................................................................................................. 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. ..................................................................................................................................... 8分所以|PM|+|PN|=6+sin, .............................................................................................................................. 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+............................................................................................. 10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+-<4. ....................................................................................................................... 1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; ............................................................................................................................ 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2; ............................................................................................................... 3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<. ............................................................................................................................... 4分故f(x)<0的解集为-. ........................................................................................................................................... 5分(2)因为f(x)=+--k≥|x+1+2-x|-k=3-k, ........................................................................................................ 6分所以f(x)的最小值为3-k................................................................................................................................................. 7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥,k+3≥0,所以--................................................................................................................................................. 9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1]........................................................................................................................... 10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分; 第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。

广东省2019届高三理数第二次联考试卷

第1页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三理数第二次联考试卷考试时间：**分钟满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号一二三总分核分人得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释评卷人得分一、单选题（共12题)1. 已知复数 R )，（为虚数单位），若为纯虚数，则 ( )A . 1B .C . 2D .2. 设全集，集合，集合，则（）A . [4,5)B . （-5,-2]C . （-5，-2）D . （4,5）3. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A . 36里B . 24里C . 18里D . 12里 4. 函数的单调递增区间是（）A .B .C .答案第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D .5. 下列有关命题的说法中错误的是( ) A . 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B . 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C . 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D . 若直线和平面，满足 .则“ ” 是“ ”的充分不必要条件.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .B .C .D .7. 如图所示，在△ABC 中，AD=DB ，点F 在线段CD 上，设， , ，则的最小值为（）。

2019届广州市二测数学答案(理科)

绝密★启用前2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题二、填空题1314．21516．3R三、解答题17．解法1：（1）设等比数列}{na的公比为q，因为234a a+=，143a a=，所以2113114,3.a q a qa a q⎧+=⎪⎨•=⎪⎩……………………………………………………………………………………2分解得19,1,3aq=⎧⎪⎨=⎪⎩或11,33.aq⎧=⎪⎨⎪=⎩………………………………………………………………………………4分因为}{na是递增的等比数列，所以113a=，3q=．……………………………………………………………………………………5分所以数列}{na的通项公式为23nna-=．………………………………………………………………6分数学（理科）答案A 第 1 页共16 页数学（理科）答案A 第 2 页共 16 页解法2：（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，因为234a a +=，14233a a a a ==，所以2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根．…………………………………………………………2分解得231,3,a a =⎧⎨=⎩或233,1.a a =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………………4分因为}{n a 是递增的等比数列，所以21a =，33a =，则3q =．…………………………………………………………………………5分所以数列}{n a 的通项公式为23n n a -=．………………………………………………………………6分（2）由（1）知23n n b n -=⨯．………………………………………………………………………………7分则10121323333n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①…………………………………………8分在①式两边同时乘以3得，012131323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ， ②………………………………………9分①-②得10121233333n n n S n ----=++++-⨯L ，…………………………………………………10分即()111332313n n n S n ---=-⨯-，…………………………………………………………………………11分所以()111213412n n S n -=-⨯+．………………………………………………………………………12分18．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）262739414953565860614710x +++++++++==．…………………………………2分（ⅱ）rni ix y nx y-=∑=…………3分==………………………………4分=5分数学（理科）答案A 第 3 页共 16 页6.56≈54.18≈，所以0.98r ≈．……………………………………………………………………………………………6分由样本相关系数0.98r ≈，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………………7分（2）因为回归方程为ˆˆ 1.56ybx =+，即ˆ 1.56a =．所以ˆ27 1.56ˆ0.5447y abx--==≈．【或利用()()()121ˆn iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑()1221ni ii nii x y nx yxn x==-=-∑∑837.80.541548=≈】……………………………10分所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.54 1.56yx =+．将50x =代入线性回归方程得ˆ0.5450 1.5628.56y =⨯+=．………………………………………11分所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．…………………………………12分 19．（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=o ，所以AD =AB BD =．因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．………………………………………1分在△APD 中，90APD ∠=o ， O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==．设2AD PB a ==,则OB =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥．………………………………………2分【2分段另证：在△APD 中，90APD ∠=o ，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==．在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=o ．所以OP OB ⊥．】因为OP AD O =I ，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ．……………………………………………………………………………………3分 D CBAPO数学（理科）答案A 第 4 页共 16 页因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．…………………………………………………………………………4分（2）解法1：因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =I ，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．………………………5分以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．……………………………………………………………6分设2AD =，则(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，()B ，()0,0,1P ，………………………………7分所以()1,0,1PD =--u u u r，()1PB =-u u u r，(2,0,0)BC AD ==-u u u r u u u r，………………………………8分设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =n ，则11110,0,PD x z PB z ⎧•=--=⎪⎨•=-=⎪⎩u u u ru u u r n n 令11y =，则1x =1z =所以(=n ．…………………………………………………………………………………9分设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，则22220,0,BC x PB z ⎧•=-=⎪⎨•=-=⎪⎩u u u r u u u r m m 令21y =，则20x =，2z =所以(=m ．……………………………………………………………………………………10分设二面角D PB C --为θ，由于θ为锐角，所以cos cos ,θ=<>m n ………………………………………………………………………………11分7==． z yxO PA BCD数学（理科）答案A 第 5 页共 16 页所以二面角D PB C --．…………………………………………………………12分解法2：因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =I ，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．…………………………………………………………………………………………5分所以PO a =，PD =．过点D 作DH PB ⊥，H 为垂足，过点H 作//HG BC 交PC 于点G ，连接DG ，……6分因为AD PB ⊥，//BC AD ，所以BC PB ⊥，即HG PB ⊥．所以DHG ∠为二面角D PB C --的平面角．………7分在等腰△BDP 中，2BD BP a ==，PD =，根据等面积法可以求得DH =．…………………………………………………………………8分进而可以求得12PH a =，所以12HG a =，2PG a =．…………………………………………………………………………9分在△PDC中，PD =，2DC a =，PC =，所以2223cos 24PD PC DC DPC PD PC +-∠==⨯．在△PDG中，PD =，PG =，3cos 4DPC ∠=，所以22222cos DG PD PG PD PG DPG a =+-⨯⨯∠=，即DG a =．…………………………10分在△DHG中，DH =，12HG a =，DG a =，所以222cos 2DH HG DG DHG DH HG+-∠=⨯………………………………………………………………11分H GD CB AP O数学（理科）答案A 第 6 页共 16 页=所以二面角D PB C --的余弦值为7．…………………………………………………………12分20．解：（1）设动点M 的坐标为(),x y ，因为2MA y k x =+()2x ≠-，2MB y k x =-()2x ≠，…………………………………………………1分所以1222MA MB y y k k x x =⨯=-+-．……………………………………………………………………2分整理得22142x y +=．………………………………………………………………………………………3分所以动点M 的轨迹C 的方程22142x y +=()20x y ≠±≠或．………………………………………4分（2）解法1：过点()1,0-的直线为x 轴时，显然不合题意．……………………………………………5分所以可设过点()1,0-的直线方程为1x my =-，设直线1x my =-与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由221,1,42x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my +--=．………………………………………………………6分因为()()2221220m m ∆=-++>，由韦达定理得+1y 2y =222m m +，1y 2y =232m -+．…………………………………………………7分注意到+1x 2x =()122422m y y m -+-=+．所以PQ 的中点坐标为222,22m N m m -⎛⎫⎪++⎝⎭．…………………………………………………………8分因为12PQ y =-=数学（理科）答案A 第 7 页共 16 页点N 到直线52x =-的距离为()22252562222m d m m +=-=++．………………………………………10分因为2d -24PQ =()422292012042m m m ++>+，……………………………………………………………11分即d >2PQ，所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．……………………………………………………12分解法2：①当过点()1,0-的直线斜率不存在时，直线方程为1x =-，与22142xy +=交于1,P ⎛-⎝⎭和Q ⎛- ⎝⎭两点，此时直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．…………………………………5分 ②当过点()1,0-的直线斜率存在时，设其方程为()1y k x =+，设直线()1y k x =+与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由()221,1,42y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214240k x k x k +++-=．……………………………………………6分因为()()()2222244212424160kk k k ∆=-+-=+>，由韦达定理得12x x +=22421k k -+，12x x =222421k k -+．…………………………………………………7分注意到()121222221ky y k x x k k +=++=+．所以PQ 的中点坐标为2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．…………………………………………………………8分因为12PQ x =-=数学（理科）答案A 第 8 页共 16 页点N 到直线52x =-的距离为()22225265221221k k d k k +=-=++．……………………………………10分因为2d -24PQ =()4222122090421k k k ++>+，……………………………………………………………11分即d >2PQ，所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．……………………………………………………12分21．（1）解：因为2()ln kf x x x =-，函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以233122(),0k x kf x x x x x +'=+=>．………………………………………………………………1分当0k ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．…………………………………………………………………2分当0k <时，由()0f x '=，得x=当(x ∈时，()0fx '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(上单调递减；在)+∞上单调递增．……………………………3分综上所述，当0k ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0k <时，函数()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增．………………………………………………………………………4分（2）先求k 的取值范围：【方法1】由（1）知，当0k ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．………………………………………………………………………5分当0k <时，函数()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以min 1()2f x f==，要使函数()f x 有两个零点，首先min 1()02f x =<，解得102e k -<<．………………6分数学（理科）答案A 第 9 页共 16 页因为21k -<<，且()10f k =->，下面证明()()12ln 204f k k k-=-->．设()()1ln 24g k k k =--，则()22114144k g k k k k+'=+=．因为12e k >-，所以()222211141e 0444k g k k k k k-++'=+=>>．所以()g k 在1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2f k -=()11e ln 02e e 2g k g ⎛⎫>-=+> ⎪⎝⎭．【若考生书写为：因为当0x +→时，()f x →+∞，且()10f k =->．此处不扣分】所以k 的取值范围是1,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………7分【方法2】由2()ln 0kf x x x=-=，得到2ln k x x =．………………………………………………5分设()2ln g x x x =，则()()2ln 1g x x x '=+．当120ex -<<时，()0g x '<，当12ex ->时，()0g x '>，所以函数()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以由()ming x =⎡⎤⎣⎦121e 2e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………6分因为0x +→时，()0g x →，且()10g =，要使函数()f x 有两个零点，必有102ek -<<．所以k 的取值范围是1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………7分再证明12x x +>：【方法1】因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．数学（理科）答案A 第 10 页共 16 页所以121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即212221ln ln k k x x x x -=-．……………………………………………………8分所以22211ln k k t t x x =-，即21211ln k x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，102e k -<<，1t >．要证12x x +>，即证()2128x x k +>-．………………………………………………………9分即证()22118x t k +>-，即证()221118ln k t k t t ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭．因为102e k -<<，所以即证()221118ln t t t ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，或证()2218ln 110t t t ⎛⎫+-+<⎪⎝⎭()1t >．………………………………………………………………10分设()221()8ln 11h t t t t ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，1t >．即2221()8ln 2h t t t t t t =--++，1t >．所以()()2222332121822()220t t t h t t t t tt ----'=----=<．【用其他方法判断()0h t '<均可，如令分子为()u t ，通过多次求导判断】所以()h t 在()1,+∞上单调递减，………………………………………………………………………11分所以()221()8ln 11(1)0, 1h t t t h t t ⎛⎫=+-+<=>⎪⎝⎭．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法2】因为1x ，2x 是函数()f x 有两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．所以121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即212221ln ln k k x x x x -=-．……………………………………………………8分数学（理科）答案A 第 11 页共 16 页所以22211ln k k t t x x =-，即21211ln k x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，102e k -<<，1t >．要证12x x +>9分即证212tx k >-，即证2112ln k t k t t ⎛⎫⨯->- ⎪⎝⎭．因为102e k -<<，所以即证12ln t t t->()1t >．…………………………………………………10分设1()2ln h t t t t =-+，则()222121()10t h t t t t -'=--=-<，1t >．所以()h t 在()1,+∞上单调递减，………………………………………………………………………11分所以1()2ln h t t t t=-+()10h <=．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法3】因为1x ，2x 是函数()f x 有两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．所以121222ln 0,ln 0.k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即122212ln ln k k x x x x +=+．………………………………………………………8分要证12x x +>9分只需证()12ln ln ln 2x x k +>-．即证()2212ln 2k k k x x +>-，即证()2211ln 2k k k x tx +>-．即证()221111ln 2k k t x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………10分10x <<，所以212x k <-，即21112x k>-．………………………………………………11分所以()222211111111111111222k k t x t kt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+⨯=-+>-+=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．数学（理科）答案A 第 12 页共 16 页而()1ln 2ln1e k -<=-，所以()221111ln 2k k t x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭成立．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法4】因为1x ，2x 是函数()f x 有两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．由已知得121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即212221ln ln k k x x x x -=-．…………………………………………………8分先证明2121ln ln x x x x -<-，即证明ln t <()1t >．设()ln h t t =-，则()210h t '=>．所以()h t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h t h >=，所证不等式成立．………………………9分所以有2121ln ln x x x x -=-()122212k x x x x -+<10分即()312k x x -+<． 122x x +<（12x x ≠），……………………………………………………………………11分所以()312122x x k x x +⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()2128x x k +>-．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法5】要证12x x +>，其中1x ∈(，2x ∈)+∞，即证21x x >．…………………………………………………………………………………8分利用函数()fx 的单调性，只需证明()()21f x f x >．因为()()21f x f x =，所以只要证明()()11f x f x >，其中1x ∈(．………9分构造函数()()()F x f x f x =-，(x ∈，数学（理科）答案A 第 13 页共 16 页则()()()22ln ln k k F x x x x x =--+．…………………………………………10分因为()()33122k k F x x x x '=++()()()22334x x x x x x ⎤-+⎥⎣⎦=+（利用均值不等式）()224x x <+()2220x x x =-<，所以()F x在(上单调递减．…………………………………………………………………11分所以()11022F x F>=-=．所以()()f x f x >在(上恒成立．所以要证的不等式12x x +>成立．……………………………………………………………12分22．（1）解法1：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），当=2απ时，直线l 的直角坐标方程为2x =．…………………………………………………………1分当2απ≠时，直线l的直角坐标方程为()tan 2y x α=-．……………………………………3分因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………………………………………………………………………4分因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．………………………………………………………5分解法2：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），数学（理科）答案A 第 14 页共 16 页则有sin 2sin sin cos ,cos sin cos ,x t y t αααααααα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ……………………………………………………………2分所以直线l的直角坐标方程为()sin cos 2sin 0x y αααα--= ．………………………3分因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………………………………………………………………………4分因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．………………………………………………………5分（2）解法1：曲线C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得05)cos 2sin 32(2=-++t t αα．……………6分因为020)cos 2sin 32(2>++=∆αα，可设该方程的两个根为1t ，2t ，则()122cos t t αα+=-+ ，125t t =-．……………………………………………………7分所以12AB t t =-===．…………………………………………………………8分整理得)2cos 3αα+=，故2sin 6απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭…………………………………………………………………………………9分因为0α≤<π，所以63αππ+=或263αππ+=，解得6απ=或2απ= 综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………………………………………………………10分解法2：直线l 与圆C 交于A ，B两点，且AB =，故圆心)0,1(C 到直线l 的距离1)22(92=-=d ．…………………………………………………6分 ①当2απ=时，直线l 的直角坐标方程为2=x ，符合题意．…………………………………………7分 ②当0,,22αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U 时，直线l 的方程为0tan 23tan =-+-ααy x ．数学（理科）答案A 第 15 页共 16 页所以1tan 1|tan 230tan |2=+-+-=αααd ，………………………………………………………………8分tan α= 解得6απ=．………………………………………………………………………………………………9分综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………………………………………………………10分23．（1）解：当1a =时，由()f x x >，得2111x x -->+．…………………………………………1分当12x ≥时，2111x x -->+，解得3x >．当12x <时，1211x x -->+，解得13x <-．…………………………………………………………4分综上可知，不等式()1f x x >+的解集为 133x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．……………………………………5分（2）解法1：由1()(1)2f x f x <+，得1212122a x a x --<+-．则22121a x x >--+．…………………………………………………………………………………6分令()22121g x x x =--+，则问题等价于min (())a g x > 因为123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩……………………………………………………………………9分 min 1()22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．…………………………………………………………………10分解法2：因为2121(21)(21)x x x x --+≤--+，………………………………………………6分即221212x x -≤--+≤，则21212x x --+≥-．……………………………………………7分数学（理科）答案A 第 16 页共 16 页所以()2121212212g x x x x x =--++-≥-+-≥-，…………………………………………8分当且仅当12x =时等号成立．……………………………………………………………………………9分所以min ()2g x =-．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．…………………………………………………………………10分。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++.）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 3AB A C BC ⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE 中，tan AOAEO EO∠==……………13分∴直线AE 与平面BDE . ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分 ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足 i2z=，其中i为虚数单位，则z的虚部为A．2- B．2 C．2-i D．2i2．若函数()y f x=是函数3xy=的反函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为A．2log3- B．3log2- C．19D3．命题“对任意x∈R，都有32x x>”的否定是A．存在x∈R，使得3200x x> B．不存在x∈R，使得3200x x>C．存在x∈R，使得3200x x≤ D．对任意x∈R，都有32x x≤4. 将函数()2cos2(f x x x x=+∈R)的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x=，则函数()y g x=A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A．16B．13C．12D．386．设12,F F分别是椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F︒∠=，则椭圆C的离心率为A．16B．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A．6π4+ B．12π4+D CB AC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内FE D CBA 的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分M O H F E D CBA ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k+=.……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k kk k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。