第2章 电磁场的基本规律(1)

1、静电场的散度和通量

s
E dS
q
0
高斯定理的积分形式
表明电场强度矢量穿过闭合曲面S的通量等于该闭合面内 所包围的总电荷量与真空介电常数之比
0 E 0
观察点在区域外 观察点在区域内
假设电荷分布在区域v内，则 E 高斯定理的微分形式 0
表明空间任意一点电场强度的散度与该点处的电荷密度有关。 静电荷是静电场的通量源
2.电场强度
电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质
中时，会受到电场力的作用 电场强度是矢量， E ，表示电场的大小和方向
F E q
电场强度形成矢量场分布 电场强度是单位点电荷受到的电场力 对静电场和时变电场上式均成立
3.点电荷产生的电场
定义点电荷 q 在周围空间P点产生的电场强度 实验电荷 q0 很小，不会扰动由q产生的电场
第2章 电磁场的基本规律
为分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础 上，介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。
● 在静止和稳定的情况下，确立分布电荷与分布电 流的概念物理量；在电荷守恒的假设前提下，确立电流连 续性方程。 ● 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场 强度E和磁感应强度B的概念。
● 在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场 与磁场的矢量积分公式。
2.1 电荷守恒定律
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。
，分别用来描述产生电磁效 源量为电荷 q (r , t ) 和电流 I (r , t ) 应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。
F q q E lim eR R 2 3 q0 0 q 4 0 R 4 0 R 0
N个点电荷产生的电场强度
E
i 1
N
4 0 R
qi
2 i
eRi
i 1
N
4 0 R
qi
3 i
Ri
4.连续分布的电荷系统产生的电场强度
处理思路： 1) 无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理
en l J S


dl
所以穿过任意曲线的电流
I
e dl J J e
n S S l l
n

关于面电流密度的说明
若表面上电荷密度为s ，且电荷沿某方向以速度v 运动，则 可推得此时面电流密度为：
J s sv
Js是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量场 分布
E 0 E 0
E dS q S 0 E dl 0 C
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。 静电场的源：电荷
3. 利用高斯定理计算电场强度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计 算电场强度。 具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： • 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
荷线密度表示。
Δq(r ) dq(r ) l (r ) lim Δl dl Δl 0
z
r
q
单位: C / m (库/米) 如果已知某空间曲线上的电荷线 密度，则该曲线上的总电荷q 为
l
o x
y
q
C
l (r )dl
4. 点电荷 对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分 析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算
电荷
（运动）
电流
电场
磁场

本节讨论的内容：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律
2.1.1 电荷与电荷密度 • 电荷是物质基本属性之一。 • 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了 电子。 • 1907 — 1913年间，美国科学家密立根(iken)通过 油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 33×10-19 何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。 (单位：C )
4 0 R
由对称性和电场的叠加性，合电场只有z分量，则
R
E z ez dE
ez l 4 0
l
ez l z 4 0
cos l R 2 dl
l
r0
O
dl
ez l z z l R3 dl 4 0 R3
2 r l z qz l dl 4 0 R3 ez 4 0 R3 ez
Jdv

V
dv t
电流连续性方程
微分形式
对于恒定电流 则有
J t
0 t
J dS恒定电流场是一个无散场，没有通量源。
意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电流 ——基尔霍夫电流方程
2.2 真空中静电场的基本规律
2.2.1 库仑定律 电场强度
1、库仑定律描述了真空中两个点电荷间的相互作用力的规律。
P
R
q
库仑定律 F12 点电荷 q1 对点电荷 q2 的作用力。
F 12 q1q2 q1q2 eR R 2 3 4 0 R 4 0 R
真空中的介电常数
r
r'
O
R r r'
其中
109 0 ( F / m) 36
如有N 种带电粒子，电荷密度分别为i，平均速度为vi，则
J i vi
i 1
N
2、面电流密度
设电流呈面分布 面电流密度
en
et
d 0
JS
l
h0
面电流密度矢量 I lim A/ m 大小： l 0 l JS 方向：正电荷运动的方向（电流的方向）
式中l 的方向与电流的方向垂直
E
qd 4 r
3 0 2
(2 cos er sin e )
电场线 等位线 电偶极子的场图
例 2.2.2 图中所示为一个半径为 r 的带电细圆环，圆环上单位长度 带电l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。
解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷 l(r)dl ， 则线元在轴线任意点产生的电场为 z dEz 1 l dl dE dE eR 2
结 果 分 析
qz E z e 3 z 4 0 R
（ 1 ）当 z→0 ，此时 P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消， E=0 （ 2 ）当 z→∞， R 与 z 平行且相等，r<<z ，带电圆环相当于一个点 电荷，有
E z
q 4 0 R
2
ez
2.2.2 静电场的散度与旋度
电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电
荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域 中心、电荷为 q 的点电荷。 点电荷的电荷密度表示
z
r
q
(r ) qδ(r r )
x
o
y
2.1.2
电流与电流密度 单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：
特点： （1）作用力的大小正比于电荷大小之积； （2）作用力的大小反比于电荷间距的平方； （3）作用力的大小依赖于电荷之间的介质； （4）作用力的方向在电荷间的连线方向； （5）同性电荷相斥，异性电荷相吸
多个电荷对一个电荷的静电力是各个电荷力的矢量叠加，即
qi F Fi 3 Ri i 4 0 i Ri q
单位: C/m2 (库/米2)
如果已知某空间曲面S 上的电荷 面密度，则该曲面上的总电荷q 为
z
S q S r
o x
y
q
S
s (r )dS
3. 电荷线密度 若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要 比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，
可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电
确认了电荷的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷，而任
• 微观分析时，电荷是以离散的方式出现在空间的，电荷 具有颗粒性。 • 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故 可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值，
即电荷是空间位置的连续函数。
理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷、点电荷 1. 电荷体密度 电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布 Δq (r ) dq (r ) (r ) lim ΔV 0 ΔV dV z q 单位：C/m3 (库/米3 ) V 根据电荷密度的定义，如果已知 V r 某空间区域V 中的电荷体密度，则区 o 域V 中的总电荷q为 x q (r )dV
z
计算电偶极子的电场强度。
由前述电位和电场强度的计算公式可
r1
+q d

P
见，无论电荷何种分布，电场强度均与电 量的一次方成正比。因此，可以利用叠加 原理计算多种分布电荷产生的电位和电场

O

r
y
x
-q
r2
强度。那么，电偶极子产生的电位应为
q er1 er2 q 1 1 E E E ( 2 2) ( ) 4π 0 r1 r2 4π 0 r1 r2
V
y
2. 电荷面密度 若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要
比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电
场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的 电荷可用电荷面密度表示。
Δq(r ) dq(r ) S (r ) lim ΔS 0 ΔS dS
式中S的法线方向与电流的方向一致。 物理意义： 单位时间内通过垂直于电流传播方向单位面积的电荷量。