2.5 全等三角形的判定方法：AAS

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三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作

以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信息，某些描述可能不够精确或全面。如有需要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广泛的情况，例如处理只有一边和两个角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决实际问题，例如几何证明、建筑设计、工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法（如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使用圆规在该点上画圆，与直线相交于两点。连接这两点即可得到经过该点的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三角形全等来确定未知点的位置。例如，已知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知点的位置，从而满足建筑设计的需求。

三角形全等的判定(AAS定理)

(一)、自学导读：1、判定两个三角形全等我们学过了什么方法？它有几个条件，它们之间有什么限制。

2、如下图，试填空：3、前面我们学习了两个判定定理来判定三角形全等，我们是否还有其他方法呢？判断下列推理是否正确：（二）、阅读教材P78页4、角角边定理的内容。

类比边角边定理。

类比角边角定理。

得出角角边定理：。

（1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵ ＝ ∠D ＝∠A ＝∴△ABC ≌△DEF （SAS ）（2）、在△ABC 与△DEF 中 ∵∠ACB ＝∠DFE＝ ∠ABC ＝∠DEF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）（2）、在△ABC 与△DEF 中，若已知，∠BAC ＝∠EDF ，∠ABC ＝∠DEF ， CB ＝FE ，则△ABC ≌△DEF 证明∵∠BAC ＝∠EDF ，∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝1800－ ∠BAC － ∠ABC ∠DFE ＝1800－ ∠DEF － ∠EDF ∴∠ACB ＝∠DFE （等式的性质）CB ＝FE ∠ABC ＝∠DEF ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）BCEFADB C E FA D定理的理解：如下图定理有三个条件，其中有组边的关系，有组角关系，边一定是一组相等角的对边。

加深对AAS 的理解。

记住边的相等关系一定要是对应角（相等的角）的对边。

（三）定理的运用：5、如下图，已知BE ∥DF ，∠B ＝∠D ，AE ＝CF ，（1）试证明：△ADF ≌△CBE ；（1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵∠A ＝∠D ∠C ＝∠FAB ＝（）∴△ABC ≌△DEF （AAS ）（2）、在△ABC 与△DEF 中 ∵∠B ＝∠E（）＝（） AB ＝DE∴△ABC ≌△DEF （ASA ）下列证明过程对吗？如果不对，请予以改正（1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵∠A ＝∠D ∠C ＝∠F AB ＝EF∴△ABC ≌△DEF （AAS ）（2）、在△ABC 与△DEF 中∵∠B ＝∠E ∠C ＝∠FAC ＝DF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）分析：（1）已知有一组角相等，并有线段相等，我们观察能否得到边相等，（三种方法都必需有边的相等关系）给出了平行，我们能联想到角的关系。

全等三角形的判定方法五种的证明

全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。

在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。

下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。

一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。

我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。

所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。

由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。

我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。

这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。

如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。

通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。

在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。

正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。

全等三角形判定条件ASA,AAS

全等三角形判定条件ASA ，AAS姓名：【自主学习，探究新知】思考：边边角（SSA ）能否判定两个三角形全等呢？全等三角形判定 AS Ａ文字语言表述为：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形（可以简写成“ ”）用数学语言表述为：作图作法：在△ABC 和'''A B C ∆中, ∵'B B BC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩∴△ABC ≌全等三角形判定 A ＡＳ文字语言表述为：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形（可以简写成“ ”）用数学语言表述为：作图作法：在△ABC 和'''A B C ∆中,∵'A A B BC ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌【例题讲析】 1、例1、如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．2．已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上， BE ⊥AC, CD ⊥AB,AB=AC ，求证：BD=CE【巩固训练】1、满足下列哪种条件时,就能判定△ABC ≌△DEF ( )A. AB=DE,BC=EF, ∠A ＝∠E;B. AB=DE,BC=EF, ∠C ＝∠FC. ∠A ＝∠E,AB=EF, ∠B ＝∠D;D. ∠A ＝∠D,AB=DE, ∠B ＝∠E２、如图, 在△ABC 和△DEF 中,AF=DC, ∠A ＝∠D,当_____________时,可根据“ASA ”证明△ABC ≌△DEF.当_____________时,可根据“ＡＡＳ”证明△ABC ≌△DEF.【拓展能力】 C 'B 'A 'C B A C 'B 'A 'C B ADE CB AD C A BE AF C D 1 2 E B1、已知：A B//D F，A C//EF，B D=C E，求证：A B C D EFE。

全等三角形判定(ASA和AAS)

A∠BB∥=D∠EE （ASA）
D
或∠A=∠D （AAS）
E
或 AC=DF （SAS）
知识梳理: 三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全
等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
A
D
∠A=∠D （已知）
AB=DE（已知）
∠B=∠E（已知）
A_B_=_A__’__C_ （已知）
∠_B__=_∠__C__ （已知）
∴△A_B_E__≌△A_’__C_D（ ASA）
B
ED C
考考你
1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF， BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
AD B EC F
证明：∵ BE=CF(已知)
∴BC=EF(等式性质)
∵ AB∥DE AC∥DF (已知)
∵∠1＝ ∴∠1＋即∠BAC＝
∠DAE 在△ABC和△ADC 中
C＝E（已知） BAC＝DAE（已证
∴
）
△ABC≌△ADE （AAS）
AB＝AD（已知）
5、在△ABC中，AB=AC，
A
AD是边∠BBACC上的的角中平线分，线证。明： ∠求B证A：D=BD∠C＝ACDD
B
DC
证明：∵AD是B∠CB边AC上的的角中平线分线（已知）
C
F
A
BD
E
例1 、如图，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和 △ACD全等吗？为什么？
A 证明: 在△ABE与△ACD中
D
E
∠B=∠C （已知） AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角）
B

aas 三角形全等的判定定理之一

定义能够完全重合（大小，形状都相等的三角形）的两个三角形称为全等三角形。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

(3)有公共边的，公共边一定是对应边。

(4)有公共角的，角一定是对应角。

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。

全等三角形的变幻规律编辑本段判定定理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。

H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。

6.三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。

编辑本段性质三角形全等的性质：1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等3．全等三角形的对应顶点位置相等。

4．全等三角形的对应边上的高对应相等。

5．全等三角形的对应角的角平分线相等。

6．全等三角形的对应边上的中线相等。

7．全等三角形面积相等。

8．全等三角形周长相等。

9．全等三角形可以完全重合。

编辑本段推论要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。

全等三角形五大判定方法(两篇)

引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一。

在三角形中，全等三角形是指具有相等的三个角度和相等的三条边的三角形。

全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它具有广泛的应用。

本文将介绍全等三角形的五大判定方法——边边边（SSS）、角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）和直角边（HL）。

正文内容：一、边边边（SSS）判定方法：1.说明边边边（SSS）判定方法是三边相等的三角形判定方法。

2.介绍边边边（SSS）判定方法的步骤和要点。

3.详细解释如何利用边边边（SSS）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.举例说明边边边（SSS）判定方法的应用场景。

5.总结边边边（SSS）判定方法的特点和注意事项。

二、角边角（ASA）判定方法：1.介绍角边角（ASA）判定方法是角度和边相等的三角形判定方法。

2.说明角边角（ASA）判定方法的步骤和要点。

3.详细解释如何利用角边角（ASA）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.举例说明角边角（ASA）判定方法的实际应用。

5.总结角边角（ASA）判定方法的特点和适用条件。

三、边角边（SAS）判定方法：1.说明边角边（SAS）判定方法是一边、一角和另一边相等的三角形判定方法。

2.介绍边角边（SAS）判定方法的具体步骤和要点。

3.详细解释如何利用边角边（SAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.引用实际问题，说明边角边（SAS）判定方法的应用场景。

5.总结边角边（SAS）判定方法的特点和限制条件。

四、角角边（AAS）判定方法：1.介绍角角边（AAS）判定方法是两个角和一边相等的三角形判定方法。

2.说明角角边（AAS）判定方法的步骤和要点。

3.详细解释如何利用角角边（AAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.举例说明角角边（AAS）判定方法在实际问题中的应用。

5.总结角角边（AAS）判定方法的特点和使用条件。

五、直角边（HL）判定方法：1.介绍直角边（HL）判定方法是直角边和斜边相等的三角形判定方法。

全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中90AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC⊥AC，PB⊥AB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】2、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中A CAD CBD B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF≌△CBE （ASA）∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EADB ECB=DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中BED CFDBDE CDFBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中A C(AOB COD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等）AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO ，BO=DO在△AEO和△CFO中A C(AOE COF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.在△ABD和△ABC中，ABD ABCAB ABBAD BAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD≌△ABC（ASA）∴BD＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。

三角形全等的判定定理aas

三角形全等的判定定理aas全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角形是几何学中的基本概念，它由三条边和三个夹角构成。

在三角形的研究中，全等三角形是一个非常重要的概念。

全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的边长和夹角都完全相同。

在证明两个三角形全等时，我们可以利用多种方法，其中之一就是AAS定理。

AAS定理是指如果两个三角形的两组对应边和一个对应角相等，则这两个三角形是全等的。

在AAS定理中，A代表Angle（角度），A代表Angle（角度），S代表Side（边）。

换句话说，如果两个三角形的一个角和两边在另一个角处分别相等，则这两个三角形是全等的。

现在让我们来详细探讨一下AAS定理的证明过程。

假设有两个三角形ABC和DEF，它们有相等的角A和D，相等的边AB和DE，以及相等的边AC和DF。

我们要证明三角形ABC和DEF是全等的。

根据AAS定理，我们知道角A和角D相等。

根据给定的信息，我们知道边AB和DE相等，以及边AC和DF相等。

然后，我们可以利用边对应的性质来得出边BC和EF也相等。

因为两个三角形的三对边都相等，我们可以得出这两个三角形是全等的。

通过AAS定理，我们可以简单且明确地证明两个三角形是全等的。

AAS定理的证明过程不仅简单，而且逻辑严密，使我们能够准确地判断两个三角形是否全等。

除了AAS定理，我们还可以利用其他方法来判定三角形的全等性，比如SSS定理、SAS定理等。

每种方法都有其独特的特点和适用范围，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来证明三角形的全等性。

AAS定理是三角形全等的一个重要判定定理，它在几何学中有着广泛的应用。

通过AAS定理，我们可以简单地证明两个三角形是全等的，从而推广到更复杂的几何问题中。

希望通过本文对AAS定理的介绍，读者能够更深入地理解全等三角形的相关概念，并在几何学的学习和研究中有所帮助。

第二篇示例：三角形全等的判定定理aas，即根据三角形的两个角和两个对应边的长度相等来判断是否两个三角形全等。

2.5 第4课时全等三角形判定方法3(AAS)

中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝ED. (1)求证：BD＝CB； (2)若BD＝8 cm，求AC的长．
图2-5-39
(1)证明：∵∠DBC＝90°， ∴∠ABC＋∠DBF＝90°. 又∵DE⊥AB，∴∠EDB＋∠DBF＝90°， ∴∠ABC＝∠EDB. 在△EDB和△ABC中，
∠DBE＝∠BCA， ∠EDB＝∠ABC， ED＝AB，
分层作业
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(2)∵AD∥CE， ∴∠ADB＝∠CED， ∵D是BE中点，∴BD＝DE. 在△ABD和△CDE中，∠∠1A＝DB∠＝2，∠CDE，
BD＝DE， ∴△ABD≌△CDE(AAS)．
5．[2018·常州]如图2-5-48，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
当堂测评
1．如图2-5-40，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△
ABD≌△ACD的是( B ) A．AB＝AC
B．DB＝DC
C．∠ADB＝∠ADC
D．∠B＝∠C
图2-5-40
2．如图2-5-41，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△ AOB≌△DOC，你补充的条件是__A_B__＝__D_C_或__O__B_＝__O__C_或__A_O__＝__D_O__(_答__案__不__唯__一__) __ (填写一个即可)．
图2-5-38
证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ACB＝∠ACD. 在△ABC与△ADC中，
∠ ∠BAC＝B∠＝D∠，ACD， AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)． ∴CB＝CD.
类型之二运用“AAS”进行推理与计算如图2-5-39，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的

05全等三角形判定二(SSS,AAS)(基础)知识讲解--苏教版苏科版初二数学八年级数学上册

05 全等三角形的判定二（SSS ，AAS ）（基础篇）－知识讲解+答案【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相SAS AAS ASA等两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、（2016•蓝田县一模）如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【思路点拨】首先证明△ABE≌△AEC，再证明△AEC≌△ADC，△ABE≌△ADC．【答案与解析】解：在△ABE和△AEC中，，∴△ABE≌△AEC（SSS），在△AEC和△ADC中，，∴△ABO≌△ADO（SSS），∴△ABE≌△ADC，故选D【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一）同步练习6】【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定4——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF3、（2015春•雅安期末）如图：AB=A ′B ′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C ′，则还需添加的一个条件有（）种．A.1B. 2C.3D.4【思路点拨】本题要证明△ ABC ≌△ A ′B ′C ′，已知了AB=A ′B ′，∠ A=∠ A ′，可用的判别方法有ASA ，AAS ，及SAS ，所以可添加一对角∠B=∠B ′，或∠C=∠C ′，或一对边AC=A ′C ′，分别由已知与所添的条件即可得证．【答案与解析】解：添加的条件可以为：∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A ′C ′，共3种．若添加∠B=∠B′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B ′C ′（ASA ）；若添加∠C=∠C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS ）；若添加AC=A ′C ′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C ′（SAS ）．故选C.【总结升华】此题考查了全等三角形的判定，是一道条件开放型问题，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题要注意挖掘隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角相等，这类问题的答案往往不唯一，只有合理即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ，就可以得到∠DEH ＝∠DFH ，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题.举一反三：【变式】（2014秋•紫阳县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC ，支撑杆OE=OF ，AE=AB ，AF=AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．【答案】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，在△AOE与△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（SSS），∴∠BAD=∠CAD．。

全等三角形的判定(AAS和ASA)

全等三角形的判定【知识梳理】1、三角形全等的条件(三)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

2、三角形全等的条件(四)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

3、三个角对应相等的情形：三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

4、三角形全等的条件的选用：要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS、AAS、ASA两角对应相等ASA、AAS两边对应相等SAS、SSS【例题精讲】【例1】如图⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若将过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况时，其他条件不变，那么图⑴中∠1与∠2的关系还成立吗？【变式1-1】如图，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC，D为AC上一点，AE⊥BE交BD的延长线于E，BE⊥CF 于F，求证：EF=CF-AE。

【变式1-2】如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE。

【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E。

求证：BD=2CE。

【变式1-4】如图①所示，OP是∠MON的平分线，请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：⑴如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；⑵如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请在⑴中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

【变式1-5】线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF(如图所示)。

⑴添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE。

全等三角形判定方法

•全等三角形判定方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.∴△ACD≌△BDC.（SSS）∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）•全等三角形判定方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.∴△ACB≌△ADB.（SAS）∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）•全等三角形判定方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等.举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：在△ABE与△ACD中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.（ASA）•全等三角形判定方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.∴△ABC≌△EDC.（AAS）∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）•全等三角形判定方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）。

全等三角形的判定AAS(一)

全等三角形的判定AAS（一）引言概述：全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的两个三角形。

判定全等三角形可以通过多种方法，其中之一是利用AAS（角-角-边）的判定方法。

在本文中，我们将深入探讨AAS判定法，并介绍如何利用该方法判断两个三角形是否全等。

正文：1. 角-角-边（AAS）判定法- AAS判定法是一种基于三个已知条件的判定方法，它包括两个角度和夹角所对的边长。

- 两个三角形具有相等的两个角度和它们之间的边长，即两个角度和一个夹角边相等时，可以判定两个三角形全等。

2. AAS判定法的应用举例- 给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，以及边AC = DE。

- 利用AAS判定法，可以确定是否可以判定三角形ABC和DEF全等。

- 通过比较两个三角形的对应边长和对应角度，可以得出结论。

3. AAS判定法的正确性证明- 通过假设两个三角形具有相等的两个角度和夹角边长，利用三角形的性质和几何定理进行推导和证明。

- 采用反证法或其他几何推理方法，最终得出结论，证明AAS判定法的正确性。

4. AAS判定法的注意事项- 在应用AAS判定法时，需确保给定的两个角度与夹角边长满足相等关系，否则无法判定三角形全等。

- 应通过几何推理和计算方法验证所得出的结论，避免出现错判情况。

5. AAS判定法的实际应用- AAS判定法是几何学中经常应用的方法之一，可以用于解决实际生活和工程问题。

- 例如，在测量和建模领域，利用AAS判定法可以判断两个相似物体的尺寸和比例关系。

总结：通过本文的介绍，我们了解了AAS（角-角-边）判定法在判定全等三角形中的应用。

我们了解了AAS判定法的基本原理和正确性证明，并了解了其在实际应用中的一些注意事项。

通过灵活运用AAS判定法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等，从而拓展和应用到更广泛的领域中。

全等三角形的判定AAS

返
回
AE＝AD，∠B＝∠C， 3.如图：已知AB＝AC，∠B＝∠C， △ABD与△ACE全等吗？为什么？ A
解：全等。在ABD和ACE 中
E D C
B＝C（已知） ∠B＝∠C(已知) B AB ＝AC（已知） ∠A＝∠A(公共角) A＝A（公共角） AD＝AE(已知)
Ａ
∠B=∠B′ ∠C=∠C ′ AC=A′C′ △ABC≌ △A′B′C′(AAS)
Ｂ
Ｃ
A
B
C
注意
这条边一定要是一个角的对边
1，推论:角角边(AAS)
2，有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
3，角边角公理及其推论可合二为一即：在两个三角形中，如果有两角和一边（无论是夹边还是对边）对应相等，那么这两个三角形全等。
*
x
*
x
注角边角公理及其推论可合二为一即：在两个三角意：形中，如果有两角和一边（无论是夹边还是对边）
对应相等，那么这两个三角形全等。
∴ △ABC≌△DCB（ ASA ）
B B
图 19.2.9
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，求证:△ABC≌△DEF A
证明:∵ ∠C= 180°－ ∠ A － ∠B
∠F= 180° － ∠ D － ∠E (三角形内角和等于180 °) ∵ ∴ ∠A=∠D， ∠B=∠E (已知) ∠C=∠F (等量代换)
AAS ∴△ABD≌△ACE（ASA）
• 作业布置:
1、如图2，已知BE、CD相交于点O，∠B=∠C,∠1=∠2，试说明 △AOB≌△AOC
2、如图3，AB、CD互相平分于O点，EF经过O点，与AD、BC分别交于 E、F，试说明OE=OF.

全等三角形的判定AAS

C
A 口答：
A′
B
C
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
答：全等，根据AAS
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
答：全等，根据AAS
例
已知: 如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D 求证：AC = AD
C
B
解：
在△AOC和△DOB中，
1
O
2
∠A＝∠D（已知）
∠1＝∠2（对顶角相等）
CO＝BO（已知）
∴△AOC≌△DOB（ AAS）
A D
练一练:
如图，AC⊥BC，AD⊥BD，∠1=∠2，求证：BC=BD
C B
A
1 2
D
归纳:两个三角形全等的判定条件
① SAS
两边一夹角
② ASA 一边两角
③ AAS
证明：在△ABC和△ABD中 ∠1 = ∠2 (已知) ∠C = ∠D (已知) A AB = AB (已知)
2 1
D
B
∴△ABC≌△ABD（AAS） C ∴AC = AD（全等三角形的对应边相等）
你也试一试:
如图：∠1＝∠2，∠B＝ ∠D，△ABC和△ADC全等吗？
2
如图，已知AB与CD相交于 O，∠A＝ ∠D，CO=BO，试说明△AOC与 △DOB全等的理由。
D
C
E
F
2. 如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB， AE=CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．证明： ∵AD∥CB
∵AE=CF， ∴∠A =∠C， ∴AF=CE，
在△ADF 与△CBE中 ∠A =∠C， ∠D =∠B ， AF =CE ，

八年级数学上册《全等三角形的判定AAS》教案、教学设计

2.详细讲解AAS判定方法的原理，即两个角和它们之间夹边相等，则两个三角形全等。
3.结合教材中的例题，逐步引导学生掌握AAS判定方法的步骤，如：先确定两个角相等，再找到它们之间的夹边，最后判断另一个角是否相等。
4.强调在运用AAS判定方法时，要注意元素的对应关系，避免出现错误。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。然后给出几个具有挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论，共同解决问题。
3.教学评价：
-采用多元化的评价方式，包括课堂问答、小组讨论、课后作业和阶段测试，全面评估学生的学习效果；
-关注学生的学习过程，鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我监控和反思能力；
-根据学生的个体差异，提供个性化的反馈和指导，帮助学生克服困难，提高学习效果。
4.教学资源：
-利用多媒体教学资源，如几何画板、教学视频等，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣；
针对以上学情，本章节教学设计将注重分层教学，关注学生的个体差异，通过多样化的教学手段和丰富的教学活动，提高学生对全等三角形判时，关注学生的情感需求，营造宽松、和谐的学习氛围，使学生在愉快的氛围中学习数学。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
2.提高题：给出一个复杂的几何图形，要求学生找到符合AAS判定条件的两个全等三角形。
3.应用题：运用全等三角形的性质解决实际问题，如计算图形的面积、求线段长度等。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会引导学生回顾本节课所学内容，总结全等三角形的判定方法，特别是AAS判定方法的原理和步骤。
1.让学生用自己的语言概括AAS判定方法的要点，加深理解。
1.教学重点：
-掌握AAS判定全等三角形的方法；

2.5 全等三角形的判定方法：AAS

三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作

三角形全等的判定(AAS定理)

全等三角形的判定方法五种的证明

全等三角形判定条件ASA,AAS

全等三角形判定(ASA和AAS)

aas 三角形全等的判定定理之一

全等三角形五大判定方法(两篇)

全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解

三角形全等的判定定理aas

2.5 第4课时 全等三角形判定方法3(AAS)

05全等三角形判定二(SSS,AAS)(基础)知识讲解--苏教版苏科版初二数学八年级数学上册

全等三角形的判定(AAS和ASA)

全等三角形判定方法

全等三角形的判定AAS(一)

全等三角形的判定AAS

全等三角形的判定AAS

八年级数学上册《全等三角形的判定AAS》教案、教学设计

2.5 第4课时全等三角形判定方法3(AAS)