一次函数
一次函数的定义和性质
一次函数的定义和性质一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于零。
它也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
一次函数是数学中的基础概念之一，具有一些重要的性质和应用。
一. 定义一次函数是指以x为自变量，以y为因变量的函数，其表达式为y=ax+b，其中a和b为实数，且a不等于零。
其中，a称为一次项的系数，b称为常数项。
当x取不同的值时，y的取值也相应地发生变化，这种对应关系可以通过一条直线来表示。
二. 图像特征1. 直线特征：一次函数的图像总是一条直线，因此它具有线性特征；2. 斜率特征：一次函数的斜率表示为常数a，描述了图像在x轴正方向上的倾斜程度。
斜率为正时，表示图像向上倾斜；斜率为负时，表示图像向下倾斜；3. 截距特征：一次函数的截距表示为常数b，描述了图像与y轴的交点位置。
截距为正时，表示图像与y轴正半轴交于正值点；截距为负时，表示图像与y轴负半轴交于负值点。
三. 性质1. 单调性：一次函数的单调性由斜率的正负决定。
当a大于零时，函数单调递增；当a小于零时，函数单调递减；2. 定义域和值域：一次函数的定义域为所有实数；值域为所有实数，即函数的取值范围没有限制；3. 零点：一次函数的零点即为函数的根，表示当x取某个值时，函数的值等于零。
对于一次函数，当且仅当x=-b/a时，函数的值为零；4. 最值：一次函数没有最大值和最小值，因为它的图像是一条直线；5. 平移：通过给定一次函数的表达式，可以进行平移操作来得到新的函数。
平移操作可以在x轴和y轴上分别进行，通过改变常数a和b的值，可以使图像在平面上发生移动。
四. 应用一次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务收入：一些经济指标和统计数据的变化趋势可以通过一次函数来表示，如年度收入的增长率；2. 运动模型：一次函数可以表示一些常见的运动模型，如匀速运动的位移和速度关系；3. 经济学模型：在经济学中，一次函数可以用来表示供求关系、成本和收益关系等；4. 工程预测：一次函数可以用来进行工程测量、预测物理量的变化趋势等。
数学一次函数知识点总结
数学一次函数知识点总结一次函数也叫线性函数，是指函数的最高次数为1的函数。
一次函数的一般形式为：f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
1. 斜率：斜率是一次函数的一个重要属性，表示函数曲线的倾斜程度。
对于一次函数f(x) = kx + b，k即为斜率。
当k大于0时，函数递增；当k小于0时，函数递减；当k等于0时，函数水平。
2. 截距：截距是一次函数的另一个重要属性，表示函数曲线与坐标轴的交点。
对于一次函数f(x) = kx + b，b即为y轴截距，也是函数曲线与y轴的交点的纵坐标。
3. 零点：一次函数的零点是指函数曲线与x轴的交点。
对于一次函数f(x) = kx + b，可以通过x = -b/k计算出零点。
4. 图像特征：一次函数的图像是一条直线。
当斜率k大于0时，图像从左下方向右上方倾斜；当斜率k小于0时，图像从左上方向右下方倾斜；当斜率k等于0时，图像为一条水平直线。
5. 平行与垂直性：如果两个一次函数的斜率相等，则它们是平行的；如果两个一次函数的斜率互为倒数（即乘积等于-1），则它们是垂直的。
6. 函数的增减性：一次函数的增减性由斜率决定。
当斜率k大于0时，函数递增；当斜率k小于0时，函数递减；当斜率k等于0时，函数保持不变。
7. 解一次方程：一次函数可以用来解决一次方程的问题。
例如，给定一个一次函数f(x) = kx + b，若要求出f(x) = 0的解，则可将f(x) = kx + b = 0转化为kx = -b，再求出x的值。
总结起来，一次函数的关键是斜率和截距，通过它们可以确定函数的图像和特征。
一次函数可用于解决一次方程的问题，并能与其他一次函数进行比较和判断相互关系。
一次函数公式
一次函数公式一次函数，又称线性函数，是函数的一种基本形式。
它的公式可以表示为y = kx + b，其中k和b是实数常数，x和y分别表示自变量和因变量。
本文将围绕一次函数公式展开讨论，介绍其基本概念、性质以及应用。
一、一次函数的基本概念一次函数是数学中最简单的函数类型之一，其公式形式为y = kx + b。
其中，k表示斜率，决定了直线的倾斜程度；b表示截距，决定了直线与y轴的交点位置。
一次函数的图像通常为一条直线。
二、一次函数的性质1. 斜率的意义：斜率k代表了变化率，即y值对x值的增量比。
当k为正数时，随着x的增加，y也增加；当k为负数时，随着x的增加，y减小；当k为0时，表明y值保持恒定，即直线平行于x轴。
2. 截距的意义：截距b表示了当x为0时，函数图像与y轴的交点位置。
若b为正数，则图像在y轴上方与之相交；若b为负数，则图像在y轴下方与之相交。
3. 零点的求解：一次函数的零点是指函数取值为0的点，即y = 0时对应的x值。
要求解零点，可以令y = 0，并代入一次函数的公式求解。
三、一次函数的应用1. 直线方程：一次函数的公式可以用来表示直线的方程。
通过给定的斜率和截距，可以方便地确定直线的方程式，进而研究直线的性质和特征。
2. 经济学模型：在经济学领域，一次函数常常用来描述供求关系、价格变动和市场需求等问题。
通过建立一次函数模型，可以从数学角度分析和解决经济学中的实际问题。
3. 运动模型：在物理学和机械工程中，一次函数可以用来描述运动的速度、加速度以及位置与时间的关系。
通过解析一次函数的图像，可以获得物体的运动规律和特征。
4. 统计学应用：在统计学中，一次函数可以用来拟合实验数据，从而得到最佳拟合直线。
拟合直线可以通过最小二乘法得到，进而用于描述和分析数据的相关性及预测。
总结：一次函数公式y = kx + b是一种基本的数学表示形式。
它具有一些重要的性质和应用，如斜率的意义、截距的概念以及零点的求解。
一次函数
一次函数知识点聚焦一、函数的概念定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一．．的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数． 二、一次函数概念：1.一次函数的概念：一般地，如果y ＝kx ＋b(k 、b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数．由定义知：y 是x 的一次函数⇔它的解析式是y ＝kx ＋b ，其中k 、b 是常数，且k ≠0.2．一次函数解析式y ＝kx ＋b(k ≠0)的结构特征：(1)k ≠0；(2)x 的次数是1；(3)常数项b 可为任意实数．3．正比例函数解析式y ＝kx(k ≠0)的结构特征：(1)k ≠0；(2)x 的次数是1；(3)没有常数项或者说常数项为0.4. 正比例函数是一次函数，但一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)不一定是正比例函数，只有当b=0时才是正比例函数。
三、一次函数的图像1．一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(－b k，0)的一条直线．2．正比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．注意:画一次函数的图像，只需要过图像上两点作直线即可，一般取（0，b ）、(－b k，0)两点。
四、一次函数图像的性质1. 一次函数y ＝kx ＋b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，图象一定经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象一定经过第二、四象限．b>0时，直线交y 轴正半轴，b<0时，直线交y 轴负半轴。
2.一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是经过点(0,b)且平行于直线y=kx (k ≠0)的一条直线3. 平移规律在原有函数的基础上“k 值正右移，负左移；b 值正上移，负下移”。
一次函数的知识点
一次函数的知识点一、函数基本概念一次函数的定义：形如y = kx + b（其中k和b是常数，且k ≠ 0）的函数称为一次函数。
二、一次函数的性质1、斜率（k）：当k > 0时，函数图像从左到右上升，即函数是增函数。
当k < 0时，函数图像从左到右下降，即函数是减函数。
斜率k表示函数图像与x轴正方向的夹角大小。
2、截距（b）：当x = 0时，y = b，即点(0, b)为一次函数与y轴的交点，b称为y轴截距。
3、图象：一次函数的图象是一条直线。
当k > 0时，直线从左到右上升；当k < 0时，直线从左到右下降。
三、一次函数的表达式1、点斜式：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一点。
2、斜截式：y = kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。
3、两点式：当已知直线上的两点(x1, y1)和(x2, y2)时，可以使用两点式(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)。
四、一次函数的应用1、线性方程：一次函数常用于表示线性方程，如ax + by = c（其中a和b不全为0）可以转化为斜截式y = (-a/b)x + (c/b)。
2、实际问题建模：一次函数常用于建模实际问题中的线性关系，如物价增长、距离速度时间的关系等。
五、一次函数的平移和对称1、平移：2、上下平移：上加下减，即y = kx + b向上平移m个单位变为y = kx + (b + m)，向下平移m个单位变为y = kx + (b - m)。
3、左右平移：左加右减，即y = kx + b向左平移m个单位变为y = k(x + m) + b，向右平移m个单位变为y = k(x - m) + b。
4、对称：一次函数图像关于x轴对称时，其解析式中的y变为-y，即y = -kx - b。
一次函数图像关于y轴对称时，其解析式中的x变为-x，即y = -kx + b。
一次函数基础知识总结
一次函数基础知识总结
一次函数也被称为线性函数，是数学中的基础概念之一。
本文将总结一次函数的基础知识。
什么是一次函数
一次函数是指形如 $y = mx + c$ 的函数，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示自变量和因变量，$m$ 和 $c$ 分别表示斜率和截距。
斜率和截距
一次函数的斜率 $m$ 表示函数图像上每单位横向变化所对应的纵向变化。
斜率可正可负，正斜率表示图像向上倾斜，负斜率表示图像向下倾斜。
一次函数的截距 $c$ 表示函数图像与纵轴（$x$ 轴）的交点，也可称为 $y$ 轴截距。
函数图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距决定了直线的方向和位置。
- 当斜率为正时，直线向上倾斜；
- 当斜率为负时，直线向下倾斜；
- 当斜率为零时，直线平行于横轴。
截距决定了直线与纵轴的交点位置。
函数的图像特征
一次函数的图像具有以下特征：
- 当斜率为正时，函数的图像从左下方向上右上运动；
- 当斜率为负时，函数的图像从左上方向下右下运动；
- 当斜率为零时，函数的图像平行于横轴。
一次函数的应用
一次函数在实际生活中有广泛的应用。
例如：
- 经济学中，一次函数可以用于描述价格和需求、供应之间的关系；
- 物理学中，一次函数可以用于描述速度和时间、位移之间的关系；
- 工程学中，一次函数可以用于描述成本和产量之间的关系。
总结
一次函数是数学中的基础概念，具有重要的应用价值。
本文对一次函数的定义、斜率、截距以及图像特征进行了总结，并介绍了一次函数在实际生活中的应用领域。
参考文献：。
一次函数知识点总结9篇
一次函数知识点总结9篇第1篇示例：一次函数是初中阶段数学学习的重要内容之一。
它是一种最简单的线性函数，也是数学中最基础的函数之一。
一次函数的定义是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k和b为常数，且k≠0。
一次函数的图象是一条直线，因此也被称为线性函数。
下面将从定义、性质、图象、应用等几个方面，对一次函数进行总结。
一、定义：一次函数y=kx+b是一种形式简单的线性函数，其中k 和b是常数且k≠0。
其中k称为斜率，b称为截距。
斜率代表了函数图象的倾斜程度，正数表示向上倾斜，负数表示向下倾斜；截距表示了函数与y轴的交点位置，即当x=0时，函数值为b。
一次函数的自变量x的最高次数为1。
三、图象：一次函数的图象是一条直线，因此也称为线性函数。
直线的斜率决定了图象的倾斜方向，截距决定了图象与y轴的交点位置。
当斜率为正时，图象右上倾斜；当斜率为负时，图象右下倾斜。
当截距为正时，图象在y轴上方；当截距为负时，图象在y轴下方。
四、应用：一次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如工资和工作时间的关系，距离和时间的关系等等都可以用一次函数来表示。
在经济学中，一次函数也有着重要的应用，如成本和产量的关系、供求关系等。
一次函数的应用范围十分广泛，在生活中随处可见。
一次函数是数学中最基础的函数之一，了解一次函数的性质和图象能够帮助我们更好地理解和应用各种函数。
在学习数学中，学好一次函数是至关重要的一步，也为后续学习更高阶函数和解决实际问题打下了坚实基础。
希望通过本文的总结，能够对一次函数有更深入的了解和应用。
第2篇示例：一次函数是初中数学中的一个基础知识点，也是数学学习的入门部分。
对于学生来说，掌握一次函数的相关知识，不仅可以帮助他们更好地理解数学知识，更可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
接下来我们就来总结一下一次函数的相关知识点。
一、定义：在数学中，一次函数是指一个函数，其定义域是实数集合，且函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为实数，且k不等于零。
第12讲一次函数
考点知识精讲
考点三 一次函数图象的性质
一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而 增大 ，图象一定经 过第 一、三 象限；当k＜0时，y随x的 增大 而减小，图象一定经过第 二、四 __________象限． 考点四 一次函数的应用
用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量 ；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解 决问题；⑤答．
第12讲 一次函数
考点知识精讲
考点一 一次函数的定义
一般地,如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝ 0 时，一次函数y＝kx＋b就成为 y＝kx(k是常数，
正比例函数． k≠0)，这时，y叫做x的______________. 1．由定义知：y是x的一次函数⇔它的解析式是 y＝kx＋b ，其中k 、b是常数，且k≠0. 2．一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征： (1)k ≠ 0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可为任意实数． 3．正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征： (1)k ≠ 0；(2)x的次数是 1 ；(3)没有常数项或者说常数项为 0 .
6．如右图所示，直线l过A、B两点，A(0，－1)，
B(1,0)，则直线l的解析式为
y＝x－1 .
举
一
反
三
7．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山 顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路
长的2倍．小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180
b ＝5 ， 2 解得 k＝1， 4
1 5 所以 y 乙＝ x＋ . 4 2
一次函数课件ppt
奇偶性
一次函数既不是奇函数也不是偶函数 ，因为它们的图像不关于原点或 y 轴 对称。
02 一次函数的表达式与系数
一次函数的表达式
01
一次函数的一般表达式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常 数，且 $a neq 0$。
02
当 $a > 0$ 时，函数为增函数； 当 $a < 0$ 时，函数为减函数。
已知函数与$x$轴和$y$轴的截距，使用截 距式$y = frac{x}{a} + frac{b}{a}$求函数解 析式。
一次函数的解题技巧
数形结合
利用函数图像直观理解 函数性质，如增减性、
最值等。
整体代入
在求解过程中，将表达 式整体代入，简化计算
。
分类讨论
根据不同情况分类讨论 ，得出不同情况下的函
斜率与图像
斜率决定了图像的倾斜程 度，当 a > 0 时，图像向 右倾斜；当 a < 0 时，图 像向左倾斜。
一次函数的性质
单调性
无界性
一次函数的单调性由斜率决定，当 a > 0 时，函数单调递增；当 a < 0 时 ，函数单调递减。
一次函数的值域是全体实数，即对于 任意实数 x，y = ax + b 总有一个对 应的值。
一次函数的系数
一次函数的斜率为 $a$，表示函数图 像的倾斜程度。
当 $a > 0$ 时，函数图像从左下到右 上倾斜；当 $a < 0$ 时，函数图像从 左上到右下倾斜。
一次函数的应用
一次函数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
在实际生活中，一次函数可以用来描述一些简单的问题，如速度与时间的关系、 价格与数量的关系等。
一次函数详解
一次函数
一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0）
的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0 时，一次函数y=kx(k≠0），又叫做正比例函数 (正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括 正比例函数)。
析式
形式是y=kx+b，判断一个函数是否是一次函数， 就是判断是否能化成这种形式。 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
图像
一次函数y=kx+b在直角坐标系中 的图像是一条直线。k是斜率(反 映直线对x轴的倾斜度)。
k>0时，图像从左到右上升，y随x 的增大而增大，经过的象限如图：
k<0时，图像从左到右下降，y 随x的增大而减小，经过的象限 如图：
性质
在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足 等式：y=kx+b（k≠0）。
一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴 总是交于(-b/k，0)，正比例函数的图像都是过 原点的。
最值
一般情况，一次函数没有最大值或最小值，但 是当自变量的取值范围有限制时，在端点可以 取到最大值或最小值。在应用题中要特别注意 自变量的取值范围。
过定点
正比例函数y=kx，过(0，0)，(1，k) 一次函数y=kx+b，过(0，b)，(-b/k，0) 例如直线y=kx-k，此时b=-k，套用(-b/k，0)，可知y=kx-k 过定点(1，0)。 这种题也可以这样理解，对于y=kx-k，当x确定时y与k值有 关，所以y不确定，想过定点(x1，y1)，需要使y与k无关。 由于参数k是字母，可以把它当作关于k的方程，即y=(x-1)k。 该方程有无数个解(无论k取何值，(x1，y1)都满足这个方程)
关于一次函数的所有知识点
关于一次函数的所有知识点一、一次函数的定义。
1. 一般形式。
- 形如y = kx + b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。
当b = 0时，y=kx（k≠0），此时函数为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
2. 定义域。
- 一次函数的定义域是全体实数R。
二、一次函数的图象。
1. 图象形状。
- 一次函数y = kx + b（k≠0）的图象是一条直线。
- 例如y = 2x+1的图象是一条直线，我们可以通过取两个点来画出这条直线，一般取x = 0时，y=1；y = 0时，x=-(1)/(2)，然后连接这两个点(0,1)和(-(1)/(2),0)就得到函数图象。
2. 图象与系数的关系。
- 斜率k的影响。
- 当k>0时，直线y = kx + b从左到右上升，y随x的增大而增大。
例如y = 3x+2，k = 3>0，函数图象是上升的。
- 当k<0时，直线y = kx + b从左到右下降，y随x的增大而减小。
比如y=-2x + 3，k=-2<0，函数图象是下降的。
- k的绝对值越大，直线越“陡”。
例如y = 5x+1比y = 2x+1的图象更陡。
- 截距b的影响。
- b为直线y = kx + b与y轴交点的纵坐标。
- 当b>0时，直线与y轴交于正半轴，如y = 2x + 3，直线与y轴交于点(0,3)。
- 当b<0时，直线与y轴交于负半轴，例如y=3x - 2，直线与y轴交于点(0,-2)。
- 当b = 0时，直线过原点，像y = 2x就是过原点的直线。
三、一次函数的性质。
1. 单调性。
- 由前面图象与系数关系可知，当k>0时，函数在R上单调递增；当k<0时，函数在R上单调递减。
2. 函数值的变化。
- 对于一次函数y = kx + b，当x增加Δ x时，y的变化量Δ y=kΔ x。
四、一次函数的解析式的确定。
1. 待定系数法。
- 如果已知一次函数y = kx + b的图象经过两个已知点(x_1,y_1)和(x_2,y_2)，将这两个点代入函数解析式得到方程组y_1=kx_1 + b y_2=kx_2 + b，解这个方程组求出k和b的值，就得到一次函数的解析式。
一次函数讲义
一次函数讲义一．基础概念1.定义：如果y=kx+b(k≠0,k,b是常数)，那么y叫做x的一次函数。
当b=0，一次函数y=kx(k不等于0,k是常数)叫做正比例函数。
2.一次函数的图像一次函数的图像是过（0,b）,(-b/k,0)两点的一条直线正比例函数的图像是过(0,0),(1,k)两点的一条直线3.一次函数的性质(1)k>0,b>0时，图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大(2)k>0,b<0时，图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大(3)k<0,b>0时，图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小(3)k<0,b<0时，图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小4.一次函数的平移(1)将y=kx向上或向下平移｜b｜个单位就得到直线y=kx+b(2)将y=kx向左（或右）平移m(m>0)个单位，得到直线y=k(x+m)（或y=k(x-m)）二、常见例题1.一次函数的图像与性质的应用【例一】如果一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，那么（）.A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0【例二】如图1所示,如果kb<0,且k<0,那么函数y=kx+b 的图象大致是 ( )【例三】若直线y=-2x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则常数b 的值为____________【例四】如图2，在同一坐标系内，直线l1：y=(k-2)x+k 和l2：y=kx+b 的位置可能为（ ）2．待定系数法求解析式【例五】若一次函数y=kx+b ，当-3≤x≤1时，对应的y 值为1≤y≤9，则一次函数的解析式 为________【例六】如图2，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A ．2y x =-+ B ．2y x =+C ．2y x =-D ．2y x =--【例七】已知直线l 与直线y=2x+1交点的横坐标为2，与直线y=x-8交点的纵坐标为-7，求直线l 的解析式. 3.一次函数的平移【例八】把直线y ＝-5x ＋6向下平移6个单位长度，得到的直线的解析式为（ ）图2A.y=－x ＋6B. y=－5x －12C. y=－11x ＋6D.y=－5x【例九】将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）。
一次函数
知识要点一、一次函数的概念（一）一次函数概念1、一般地，解析式形如y kx b =+（其中k 、b 是常数，且k ≠0）的函数叫做一次函数 定义域是一切实数2、正比例函数是一次函数的特例3、常值函数：一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数（二）待定系数法求一次函数1、待定系数法：先设出待求函数的关系式，再根据条件求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法2、用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤：① 设函数关系式为y kx b =+（其中k 、b 为待定系数）；② 将已知点的坐标代入函数关系式，解方程（组）③ 求出k 与b 的值，得到函数关系式二、一次函数的图像1、一次函数y kx b =+（其中k 、b 是常数，且k ≠0）的图像是一条直线。
一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+2、一次函数图像的画法画一次函数的图像可通过“列表、描点、连线”获得。
也可由“两点确定一条直线”的知识，只需描出两个点，然后过这两点作一条直线一次函数与x 轴、y 轴的交点分别为,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()0,b ，在画一次函数时，只需取者两点就可以了3、直线的截距一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距 截距与距离是两个完全不一样的概念，截距可以是任意实数，而距离总是非负数4、一般地，一次函数y kx b =+（b ≠0）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到。
当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位5、如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+于直线2y kx b =+平行；反过来，如果直线12y k x b =+与直星之韵---睿思理科 2014 春季 一 次 函 数线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠三、一次函数的性质0,0 0,0 0,0 0,0 k b y kx b k b y kx b k b y kx b k b y kx b >>=+⎧⎪><=+⎪⎨<>=+⎪⎪<<=+⎩直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限题型1：一次函数的概念☆☆（一）选择题1、下列函数中，是y 关于x 的一次函数的是 （ ）A. 2125y x =+ B. 2y =- C. 2、下列函数解析式中，属于一次函数的是（ ）① ()()20y a x a =+≠ ② ()10y ax a a=-≠ ③()()11y a x a =-+≠- ④ ()0a y a x a x =+≠ A ① B ①②③ C ①③ D 全部都是3、已知函数32y x =+，当x a =时的函数值为1，则a 的值为（ ） A. 13 B. -1 C. -13D. 1 4、下列四个命题中，错误的是（ ）A. 正比例函数一定是一次函数B. 反比例函数不是一次函数C. 若1y -和x 成正比例，则y 是x 的一次函数D. 若1y -和x 成反比例，则y 是x 的一次函数5、下列函数：①()()50y m x m =-≠； ②()10y ax a a=+≠ ③()()33y k x k =-+≠- ④k y kx x =+()0k ≠ 其中是一次函数的有（ ）A. ①②③④B. ①C. ①②③D. ①③（二）填空题1、 已知常值函数()3f x =-，则()1f =____________2、 已知函数()52y m x b =+-+，当___________时，此函数是一次函数；当____________时，此函数是正比例函数。
一次函数
一次函数自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为任意不为零实数）定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。
一次函数的图象特征和性质：b>0 b<0 b=0k>0 经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0 经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0) （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)形。
取。
象。
交。
减一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
一次函数总结
主要结论➢一次函数四种表达方式：1）斜截式：y=kx+b（k≠0）2）点斜式：(y−y0)=k(x−x0)（k≠0）3）两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x14）方程式表达：Ax+By+C=0 （A,B≠0）➢点与点距离（弦长公式）：d=√(1+k2)×|x1−x2|=√(1+1k2)×|y1−y2|➢点到直线距离：00√A2+B200√k2+1➢直线到直线距离：d=12√(A2+B2)2一、一次函数形式：1、斜截式：y=kx+b（k≠0）备注：也是直线常规表达方式，y轴交点为（0，b），2、点斜式：需知道斜率k，已知点（x0,y0）(y−y0)=k(x−x0)（k≠0）3、两点式：需知道直线上任意两点（x1，y1），（x2，y2）y−y1 y2−y1=x−x1 x2−x14、方程式表达：Ax+By+C=0 （A,B≠0）二、点与点距离（弦长公式）：已知直角坐标系两点E(x1,y1)，F(x2,y2)，求EF线段长度三、点与直线关系：1、点到直线距离：1)已知直线L为Ax+By+C=0，直线外点P(x0,y0)，则点P到直线距离为：|Ax+By+C|√A2+B22)已知直接L为y=kx+b，直线外点P(x0,y0)，则点P到直线距离为：|kx−y+b|√k2+12、点关于直线的对称点：1)特殊情况：点P(x1,y1)关于x轴，y轴平行线对称2)特殊情况：点P(x1,y1)关于直线y=±x+c对称以上图y=x+c为例，将P点y1带入直线y1=x+c，求得的x即为对称点的x2；对应x1带如求得y2。
3)一般情况：点P(x1,y1)关于直线Ax+By+C=0对称本例题因为选择题，不用求解对称点，可用y 2−y 1x 2−x 1=−1k=−12，选出垂线上的点，如果有多选，可以用（x 1+x 22,y 1+y 22）过直线L 来筛选。
四、直线与直线关系设两条直线方程为Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0则其距离公式为d=12222。
一次函数知识点
一次函数知识点一次函数是数学中一种基本的函数类型，它在解析几何、函数分析等领域中有着广泛的应用。
一次函数的表达式通常写作y = kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。
以下是一次函数的主要知识点总结：1. 定义：一次函数是形如y = kx + b的函数，其中k和b是常数，k≠0。
2. 图像：一次函数的图像是一条直线，这条直线的斜率由k决定，截距由b决定。
3. 斜率：斜率k表示函数图像的倾斜程度，斜率的正负决定了直线的上升或下降方向。
4. 截距：截距b是直线与y轴交点的y坐标，当x=0时，y的值即为b。
5. 增减性：当k>0时，函数随着x的增加而增加；当k<0时，函数随着x的增加而减少。
6. 函数值的正负：当k>0，b>0时，函数值y>0；当k>0，b<0时，函数值y可能为正或负；当k<0，b>0时，函数值y可能为正或负；当k<0，b<0时，函数值y<0。
7. 函数的平移：一次函数可以通过改变k和b的值来实现图像的平移。
8. 函数的对称性：一次函数没有对称性，因为它的图像是一条直线，不会关于任何点或线对称。
9. 函数的交点：两条一次函数的图像相交于一点，这一点的坐标满足两个函数的方程。
10. 函数的应用：一次函数在现实生活中有着广泛的应用，如计算斜率、预测趋势、解决实际问题等。
11. 函数的解析：通过解析一次函数的方程，可以找到函数图像上任意一点的坐标。
12. 函数的变换：一次函数可以通过缩放、平移等方式进行变换，以适应不同的数学和实际问题。
13. 函数的方程：一次函数的方程可以表示为y = kx + b，也可以表示为x = (y - b) / k。
14. 函数的解析式：解析式是描述一次函数图像特征的数学表达式，它包含了斜率和截距的信息。
15. 函数的图像绘制：通过绘制一次函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化趋势。
掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和应用一次函数，解决与之相关的数学问题。
一次函数知识点
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一次函数知识点详解
01
一次函数的概念与形式
一次函数的定义与性质
一次函数的定义
• 形式：y = kx + b • 定义：函数中只含有一个未知数x，且x的指数为1
一次函数的性质
• 性质1：y的值随着x的值增大而增大 • 性质2：y的值随着x的值减小而减小 • 性质3：一次函数图像是一条直线
03
一次函数的方程与不等式
一次函数的方程表示与求解
一次函数的方程表示
• 形式：y = kx + b • 其中，k为斜率，b为截距
一次函数的方程求解
• 求解方法：将已知条件代入方程，解出x或y的值
一次函数的不等式表示与求解
一次函数的不等式表示
• 形式：kx + b < y 或 kx + b > y • 其中，k为斜率，b为截距
一次函数的截距
• 定义：直线与y轴的交点 • 计算：截距b = y - kx
一次函数的单调性与最值
一次函数的单调性
• 单调递增：当k > 0时，y随x的增大而增大 • 单调递减：当k < 0时，y随x的增大而减小
一次函数的最值
• 最小值：当x = -b / k时，y取得最小值 • 最大值：当x = -b / k时，y取得最大值
伸缩变换的应用
• 应用1：求解直线在x轴上的伸缩比例 • 应用2：求解直线与y轴的交点
05
一次函数的综合问题与解题技巧
一次函数的最大值与最小值问题
最大值问题
• 解题方法：利用一次函数的单调性，求出最大值点
最小值问题
一次函数
一次函数①——定义、性质、图像【学习目标】1、掌握函数的概念及表示方法。
2、一次函数的概念以及一般形式。
若两个变量 x 、y 之间的关系可以表示成y=kx+b(k 、b 为常数，k ≠ 0）的形式，则称 y 是x 的一次函数. 特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b 就成为y=kx (常数K ≠ 0）,这时y 是x 的正比例函数.所以,正比例函数是一次函数的特例.3、会画一次函数的图像，掌握当k 和b 取不同的值时一次函数图像所经过的象限。
4、掌握一次函数的性质以及其在实际问题中的应用。
5、会解决一次函数与几何问题的综合问题。
【知识结构】1、一次函数的概念与一般形式：y=kx+b(k 、b 为常数，k ≠ 0）。
2、一次函数的图像。
3、一次函数的性质。
4、一次函数与实际问题的结合。
【重点知识解析】1、y=kx+b(k 、b 为常数，k ≠ 0）的形式，则称 y 是x 的一次函数. 特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b 就成为y=kx (常数K ≠ 0）,这时y 是x 的正比例函数.所以,正比例函数是一次函数的特例.2、一次函数经过的象限与性质。
3、一次函数与几何以及实际问题的结合。
【例题精讲】板块一：函数例1.1.下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A B C D2 .某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟内收2.4元，每加一分钟加收1元.则表示电话费y （元）与通话时间x (分)之间的函数关系正确的是（ ）3.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A.y =x -2B.y =21-x C.y =24xD.y =2+x ·2-x4.已知函数y =212+-x x ,当x =a 时的函数值为1，则a 的值为（ ） A.3B.－1C.－3D.1板块二：一次函数例1.1.以下函数：①y =2x 2+x +1 ②y =2πr ③y =x1④y =(2－1)x ⑤y =－(a +x )(a 是常数) ⑥s =2t 是一次函数的是________. 1.已知函数y=()()112-++m x m ，当m= y 是x 的一次函数.当m= y 是x 的正比例函数。
一次函数解释
一次函数解释一次函数是函数中的一种，它反映了变量之间的一种线性关系。
本文将从定义域、函数表达式、图像特征、斜率、与坐标轴的交点、单调性以及函数性质等方面，对一次函数进行详细的解释。
1.定义域定义域是一次函数的基本属性，它表示自变量x的取值范围。
对于任何一个一次函数，定义域都是整个实数集R。
在函数表达式中，x表示自变量，而y是因变量，定义域就是x可以取到的所有值的集合。
2.函数表达式一次函数的函数表达式为y=kx+b，其中k和b是常数，k≠0。
k 称为斜率，b是y轴上的截距。
这个表达式表明，函数的图像是一条直线，直线的斜率是k，它在y轴上的截距是b。
3.图像特征一次函数的图像是一条直线，它的形状由斜率k确定。
当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜；当k<0时，直线从左上方向右下方倾斜。
截距b决定了直线在y轴上的位置。
4.斜率斜率是一次函数的重要属性，它反映了函数图像的倾斜程度。
斜率的计算公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是函数图像上任意两点的坐标。
5.与坐标轴的交点一次函数与坐标轴的交点是函数图像与x轴或y轴的交点。
当y=0时，一次函数与x轴的交点为(b/k,0)；当x=0时，一次函数与y 轴的交点为(0,b)。
这些交点对于理解函数的性质以及解决某些问题非常重要。
6.单调性一次函数在某个区间内的单调性与其斜率密切相关。
当k>0时，函数在(-∞,+∞)上单调递增；当k<0时，函数在(-∞,+∞)上单调递减。
单调性可以帮助我们了解函数值随自变量变化的趋势。
7.函数性质一次函数具有以下性质：(1)定义域为R；(2)值域为R；(3)图像是一条直线；(4)斜率是常数；(5)与坐标轴的交点是有限的；(6)在一定区间内具有单调性；(7)是连续的但不一定是有界的。
总之，一次函数作为一种基本的函数类型，具有丰富的定义域、表达式、图像、斜率、与坐标轴交点、单调性和函数性质。
一次函数的概念
3
工程学
一次函数可以用于建筑工程的斜坡设计和道路的倾斜度计算。
一次函数的例题和习题
例题
如果一次函数的斜率为2，截距为3，求其方程。
例题
已知一次函数过点(2, 5)和(3, 7)，求其方程。
习题
问一次函数y = -3x + 4的斜率和截距分别是多少？
பைடு நூலகம்
一次函数的定义
1 线性关系
一次函数描述了两个变量之间的线性关系，其中自变量的每个单位的变化引起因变量的 相应变化。
2 单一斜率
一次函数的斜率是恒定的，表示直线的倾斜程度。
3 常数截距
一次函数的截距是直线与y轴的交点。
一次函数的图像
直线
一次函数的图像是一条直线，可 以通过两个点来确定。
正斜率
负斜率
一次函数的一般形式是y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。
点斜式
可以通过已知直线上的一点和 斜率来写出一次函数的方程。
两点式
可以通过已知直线上的两个点 来写出一次函数的方程。
一次函数的应用
1
经济学
一次函数可用于描述供应和需求曲线，分析市场平衡和价格变动。
2
物理学
一次函数可以模拟直线运动和速度变化，如自由落体运动和直线加速度。
一次函数的概念
一次函数是一个定义在实数集上的函数，其定义域为整个实数集。它的表达 式可以写作y = kx + b，其中k和b为常数，而x是自变量，y是因变量。
什么是一次函数？
一次函数是一种简单而重要的数学函数。它表示了一条直线在坐标平面上的 形状和位置。一次函数的方程可以用来描述很多实际问题，如直线运动和经 济曲线。
如果斜率是正数，直线向上倾斜。 如果斜率是负数，直线向下倾斜。
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第四章 一次函数
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1、下面哪个点不在函数y = -23的图象上（ ）
A ．（-5，13） B.（0.5，2） C.（3，0） D.（1，1） 2、如图，在直角坐标系中，直线l 对应的函数表达式是（ ）
A. 1-=x y
B.1+=x y
C. 1--=x y
D. 1+-=x y 3、一次函数y = -2x -3不经过（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4、直线b kx y +=经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是( ) A. 32+=x y B.23
2
+-
=x y C. 23+=x y D. 1-=x y 5、下列函数中，y 的值随x 的值增大而增大的是（ ） A. -3x B. 2x - 1 C. -310 D. -21
7、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线 2上，则y 1 与y 2的大小关系是 ( )
A. y 1 >y 2
B. y 1 2
C. y 1 <y 2
D. 不能比较 8、直线 x ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( )
A. k>0, b<0
B. k>0>0
C. k<0, b<0
D. k<0, b>0
9、下图中，表示一次函数的是（ ）
11、正比例函数的图象一定经过的点的坐标为.
12、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是 . 13、已知一次函数5的图象经过点（-1，2），则 .
14、某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y （元）与所存月数x 之间的函数关系式是 .
15、直线32+-=x y 与坐标轴的交点坐标为 . 16、若点（m ，m ＋3）在函数－
2
1
x ＋2的图象上，则 17、函数－1一定不经过第 象限.
18、一个矩形的周长为6,一条边长为x,另一条边长为y,则用x 表示y 的函数表达式 为(0<x<3)
19.已知函数(1)1,当k 时，它是一次函数；当 时，它是正比例函数. 20已知直线,当b<0时，直线不经过第 象限
21.一次函数(1)3,若y 随x 的增大而增大，则m .
22.拖拉机开始工作时，油箱中有油24升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的 剩余油量y （升）和工作时间x （时）之间的函数关系式是 . 23.某人用充值50元的卡从A 地向B 地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t 分钟（3≤t ≤45），则卡上所余的费用y （元）与t （分）之间的关系式是 . 24.先画图再填空：（12分） 作出函数x y 33-=的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）y 的值随x 的增大而 ；
（2）图象与x 轴的交点坐标是 ；
与y 轴的交点坐标是 ； （3）当x 时，y ≥0 ；
（4）求函数x y 33-=的图象与坐标轴所围
成的三角形的面积.
O
X Y
25.(10)有一种节能型轿车的油箱最多可装天燃气50升，加满燃气
后，油箱中的剩余燃气量y（升）与轿车行驶路程x（千米）之间的
关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）一箱天燃气可供轿车行驶多少千米？
（2）轿车每行驶200千米消耗燃料多少升？
（3）写出y与x之间的关系式；（0≤x≤1000）
26.(10)某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表：
月租费（元/部）通讯费（元/分钟）备注A种收费标准50 0.4 通话时间不足1分钟
按1分钟计算B种收费标准0 0.6
设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题：（1）按A类收费标准，该用户应缴纳元；按B类收费标准，该用户应缴纳元；（用含x的代数式表示）（2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？（3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？
27.(10)求图象经过点（2，-1），且与直线21平行的直线的表达式．。