第14讲 二次函数(2)
第14讲 函数的应用 2(sl)
1．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时， 水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．
2．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小 军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手 时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离 地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离 地高度相同，则t= ．
100
需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外销售，销售价 格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数， 1 2 10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x 元的附加费，设 100 月利润为w外（元）． （1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元； （2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最 大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．
第三章 函数及其图象
3.6 二次函数的应用
（1）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析. （2）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出 函数值. （3）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关 系. （4）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数
3．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线 APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水 珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为 y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能 使喷出的水流不落在水池外．
4.九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天 （1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品 的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售 量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）． 时间x（天） 每天销售量p （件） 1 198 30 140 60 80 90 20
第14讲 二次函数
第十四讲 二次函数考点综述：二次函数是历届中考的重要考点，学生应掌握：通过实际问题分析体会二次函数的意义，并能确定二次函数的关系式；会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象认识二次函数的性质；能确定函数图象的顶点、开口方向、对称轴等信息，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
中考课标要求考点精析考点1 二次函数的概念（1）一般地，形如c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，且0≠a ）的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数。
（2）二次函数c bx ax y ++=2的几种特殊形式：①)0(2===c b ax y ②)0,0(2=≠+=c b bx a y ③)0,0(2≠=+=c b c ax y考点2 二次函数的图像和性质（1）二次函数的图像的有关概念：二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
（2）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像与性质（3）二次函数c bx ax y ++=2的图像和性质 （4）二次函数c bx ax y ++=2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用“五点法”描出大致图像，其步骤是：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点（如与坐标轴的交点）； ③把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连接起来； （5）二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像的平移将c bx ax y ++=2配方，得到a b ac a b x a y 44)2(22-++=，设a b h 2=，ab ac k 442-=，则有k h x a y ++=2)(。
抛物线k h x a y ++=2)(可以由抛物线2ax y =经过适当的平移得到，具体平移方法如下所示：（6）求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为k h x a y ++=2)(的形式，顶点坐标为),(k h ，对称轴为直线h x =。
第14讲二次函数与一元二次方程不等式常考考点(原卷版)
第14讲 二次函数与一元二次方程不等式常考考点【考点分析】考点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．考点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅①20(0)ax bx c a ++>≠在R x ∈上恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立②20(0)ax bx c a ++<≠在R x ∈上恒成立00.a <⎧⇔⎨∆<⎩题型一：解不含参数的一元二次不等式解题思路：①当二次项系数为正时，考虑大于取两边，小于取中间①数轴标根，穿针引线【精选例题】【例1】设x ∈R ，则2x <是220x x -<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】一元二次不等式()20x x ->的解集为（ ）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()(),20,-∞-⋃+∞D ．()(),02,-∞+∞【例3】一元二次不等式()()120x x -+>的解集为（ ）A ．()(),21,-∞-+∞B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．1,2【例4】使“2560x x +-<”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．51x -<<B ．52x -<<C ．71x -<<D ．72x -<<【跟踪训练】1.不等式24x x <的解集为（ ）2．不等式2560x x -+>的解集为（ ）A ．{|23}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|3}x x >D ．{2|x x <或3}x > (2,)⎫+∞⎪⎭ 12),3⎛-+∞ ⎝题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【精选例题】【例2】已知关于x的不等式22430(0) x ax a a-+<>的解集为()12,x x，则1212ax xx x++的最小值是（）A B．C D．A．-2B．-1C．1D．2【例4】已知不等式20ax bx c++<的解集为{|1x x<或}3x>，则下列结论正确的是（）【跟踪训练】)()2,+∞2.已知关于x的不等式230ax bx++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）．不等式2ax bx++3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【精选例题】【例1】若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【例2】解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.【例3】已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,8 B ．()0,∞+ C ．()0,2 D ．[]28,【例4】解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【例5】设函数()()()221,R f x ax a x b a b =-++∈.(1)若不等式()0f x <的解集为()1,2，求a ，b 的值；(2)若4b =，求不等式()0f x >的解集.【跟踪训练】1.已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．2.解关于x 的不等式：220ax x a -+<.3.设()212y ax a x a =+-+-．(1)命题:p x ∃∈R ，使得2y <-成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121ax a x a a a +-+-<-∈R ．题型四：不等式的恒成立问题 【精选例题】【例1】“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例3】已知命题p ：“R x ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．(],2-∞B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．[]22-,【例4】不等式()()2242120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,2-B ．(]1,2-C ．()2,1-D ．[]1,2-【例5】已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【跟踪训练】1.已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）2.若不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．()[),25,-∞-⋃+∞C ．()[),14,∞∞--⋃+D ．[]2,5-4.（多选题）下列条件中，为 “关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A ．04m ≤< B ．02m << C ．14m << D ．16m -<<5.已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(][),04,-∞+∞ B ．[]0,4 C ．[)4,+∞ D ．()0,47.若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立，则ab 的最大值为_________．。
九年级数学总复习课件：第14课时二次函数的图象及性质
∵点M为对称轴上一点， ∴OM=BM， ∴OM+AM=BM+AM=AB， 则此时OM+AM最小， 过A点作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中， AB＝ AN 2 BN 2 42 42 4 2 ， 因此OM+AM最小值为 4 2 .
类型二 二次函数的图象与性质 例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 如图所示，
（３）若已知抛物线与ｘ轴的两个交点或是
一个交点和对称轴，要想到用两点式来求抛 物线的解析式，即设抛物线的解析式为： y=a(x-x1)(x-x2)；2.代入点坐标：用待定系数 法将已知点坐标代入相应的解析式中，得到 关于待定系数的方程（组）；3.求解：解方 程（组），求出待定系数的值，从而得出函 数的解析式.
抛物线与x轴有一个
二次函数
交点( b , 0 ),x= b
2a
2a
y=ax2+bx+c(a b2-4ac＝0 是方程ax2+bx+c=0的
≠0)，若y=0 时，得一元 二次方程 ax2+bx+c=0
两个相等的实数根，
即x1＝x2＝
b 2a
抛物线与x轴没有交
点，即方程 b2-4ac ＜0
ax2+bx+c=0没有实数
3.二次函数的平移 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二
次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相 等，那么其中一个图象可以由另一个图象平 移得到.
移动方向
平移后的解析 式
简记
向左平移 y=a(x-h+m)2+k 左加
m个单位
向右平移
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h-m)2+k m个单位
中考数学专题复习课件 --- 第十四讲二次函数
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第14课时 二次函数的图象及其性质二
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
考点3 平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标 将抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成 y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 均可由抛物 线 y＝ax2 平移得到，具体平移方法如图 14－1 所示．
探究三
二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
命题角度： 1．二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标， 与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系； 2．图象上的特殊点与a，b，c的关系．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
例 3 [2014· 资阳] 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如 图 14－2 所示，给出下列四个结论：①4ac－b2<0；②4a＋c<2b； ③3b＋2c<0； ④m(am＋b)＋b<a(m≠－1)． 其中正确结论有( B )
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
函数 y＝2x2＋4x－3 的图象向右平移 2 个单位长 度， 再向下平移 1 个单位长度得到抛物线 y＝2(x－2)2＋4(x －2)－3－1，即 y＝2(x－1)2－6，顶点坐标是(1，－6)．
解
析
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
方法点析
二次函数的图象特征主要从开口方向，与x轴有无交点， 与y轴交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号 ，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
第14课时 二次函数
精品课题：二次函数教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．教学重点： 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．（一） 主要知识：1.二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．2.二次函数的图象及性质；3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．（二）主要方法：1.讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题：①注意对称轴a bx 2-=与区间[]q p ,的相对位置；②函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性.2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．二次函数是高考考查的永恒主题 （三）典例分析：问题1．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为 ()f x 的解析式问题2．已知223()222m f x x mx m =++--，当()0,x ∈+∞时，()0f x >，求实数m 的取值范围.问题3．函数2()44f x x x =--在闭区间[],1t t +（t R ∈）上的最小值记为()g t ，()1试写出()g t 的函数表达式；()2作出()g t 的图像并求出()g t 的最小值问题4． ()1方程2240x ax -+=的两根均大于1，求实数a 的取值范围()2方程2240x ax -+=的一根大于1，一根小于1，求实数a 的取值范围()3方程2240x ax -+=的根在()0,1内，另一根在()6,8，求实数a 的取值范围问题5．已知二次函数 2()f x ax bx =+（,a b 为常数，且0a ≠）满足条件：(5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x =有等根.()1求()f x 的解析式；()2是否存在实数m 、n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别是[],m n 和[]3,3m n . 如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由.问题6．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，()1当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；()2对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；★问题7．已知二次函数2()1f x ax bx =++（a 、b R ∈，0a >），设方程()f x x =的两个实根为1x 、2x .()1如果1224x x <<<，设函数()f x 的对称轴为0x x =，求证：01x >-；()2如果12x <，212x x -=，求b 的取值范围.（四）巩固练习：1.已知二次函数的对称轴为x =截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．2.（04江苏）二次函数c bx ax y ++=2（x R ∈）的部分对应值如下表：则不等式c bx ax ++20>的解集是3.函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 .A 0b ≥ .B 0b ≤ .C 0b > .D 0b <4.函数2()45f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则(1)f 的取值范围是 .A (1)f ≥25 .B (1)25f = .C (1)f ≤25 .D (1)25f >5.已知,0,)(2≠⋅+=b a bx ax x f 且,2006)()(21==x f x f则=+)(21x x f（五）课后作业：1.（03上海）若函数2(2)3y x a x =+++（[,]x a b ∈）的图象关于1x =对称， 则b =2.若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ）.A 0 .B 2- .C 52- .D 3-3.已知2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时()f x ≥0恒成立，则a 的范围是4.（04云南二检）已知实数0a >，0a b c -+<，其中a 、b 、c R ∈，则一定有.A 240b ac -> .B 24b a c -≤0 .C 240b ac -< .D 24b a c -≥05.设a 、b 、c R ∈，且440a b c -+>，20a b c ++<，则下列结论中正确的是.A 2b ≤ac .B 2b ac > .C 2b a c >且0a > .D 2b ac >且0a <6.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的范围．7.关于x 的方程()94340x x a ++⋅+=有实数解，则实数a 的范围是8.m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．9.二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．10.已知函数2y x bx c =++且)()1(x f x f -=+，则下列不等式中成立的是.A )2()0()2(f f f <<- .B )2()2()0(f f f <-< .C )2()2()0(-<<f f f .D )2()0()2(-<<f f f11.不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的范围是12.已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)21(-f 的值.13.设函数2()22f x x x =-+（[],1x t t ∈+）的最小值为()g t ，求()g t 的解析式14.设函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。
初中二次函数
y=ax2
a＞0
y=ax2＋k a＜0 a＞0 a＜0
向上
向下 向上 向下
y轴
y轴 直线x＝h 直线x＝h
(0，k)
(0，k) (h，0) (h，0)
X<0 ,x ↗ y↗ X>0, x↗ y↘ X<0, x ↗ y ↘ X>0, x↗ y ↗ X<0 ,x ↗ y↗ X>0, x↗ y↘ X<h, x ↗ y ↘ X>h, x↗ y ↗ X<h, x ↗ X>h, x↗ y↗ y↘
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y= ax2 结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。
1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象特点和函数性质
(1)是一条抛物线； (2)对称轴是:x=- 2a 2 (3)顶点坐标是:(-2a , 4ac-b ) 4a (4)开口方向: a>0时,开口向上； a<0时,开口向下.
1 3 例（ 51 ： 2 2 ）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 已知二次函数y=—x2+x-—
二次函数的性质
二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a、 b、 c为常数， a≠ 0) a>0 a<0
二次函数的图象与性质
第3页
知识点二
函数 a 的符号
二次函数的图象与性质
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) a>0 a<0
图象
开口方向 对称轴
上 开口向①__________
下 开口向②________
b 直线 x＝－ 2a
第4页
顶点坐标
b 4ac－b (－ ， ) 2a 4a 抛物线有最高点， 当 x＝－ b 时，y 有最大值，最大值 2a 4ac－b2 为 4a b 当 x<－ 时，y 随 x 的增 2a
(－h，k) ②______________
a －a －a
(h，k)
(－h，－k) ③__________________
(3)将变化后的 a，h，k 代入顶点式中即可得到变化后的解析式．
第 15 页
知识点六
二次函数与方程、不等式的关系
• 1．二次函数与一元二次方程 • 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根， b －4ac 函数图象与 x轴的交点情况可由对应方程的根 的判别式①__________________的符号来判 定.
<
第8页
知识点四
平移前的解析式
二次函数图象的平移
移动方向 向左平移 m 个单位 向右平移 m 个单位 向上平移 m 个单位 向下平移 m 个单位 平移后的解析式 简记
• 1．二次函数一般式的平移
＋m ＋m 2 y＝a(x①________) ＋b(x②_________) ＋c 左加 －m －m
y＝a(x③________)2＋b(x④_________)＋c 右减 y＝ax ＋bx＋c⑤__________ y＝ax2＋bx＋c⑥__________
浙江专版中考数学第三章函数第14讲二次函数的应用精讲本课件
(1)求雕塑高 OA； (2)求落水点 C，D 之间的距离； (3)若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF，OE＝10 m， EF＝1.8 m，EF⊥OD.问：顶部 F 是否会碰到水柱？请通 过计算说明．
解：(1)当 x＝0 时，y＝－1 (0－5)2＋6＝11 ，∴点 A 的坐标为
6
6
2
2
EF·EH×40 ＝ (20 ＋ 30)×5×20 ＋ (10 ＋ 20)×5×60 ＋
20×10×40＝22 000；
解：(2)E F ＝(20－2x )米，E H ＝(30－2x )米，参考(1)，由 题意得：y＝(30＋30－2x)·x·20＋(20＋20－2x)·x·60＋(30 －2x)(20－2x)·40＝－400x＋24 000(0＜x＜10)；
题 型 三 二次函数的应用——几何图形类
例 3.用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承 重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板， 实验发现：木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘米)的平方成 正比，当 x＝3 时，W＝3.
பைடு நூலகம்
(1)求 W 与 x 的函数关系式； (2)如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原 来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板 的厚度为 x(厘米)，Q＝W 厚－W 薄． ①求 Q 与 x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？[注：(1)及(2)中的①不 必写 x 的取值范围]
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有 2 万、3 万和 2 万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙 种门票价格每下降 1 元，将有 600 人原计划购买甲种门票的 游客和 400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门 票． ①若丙种门票价格下降 10 元，求景区六月份的门票总收入；
中考复习第14课时二次函数的图象与性质二课件
第14课时┃ 二次函数的图象与性质（二）
►
检测考点2
二次函数的平移
2． [2013· 贵州] 将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 1 个单位， 再向上平移 3 个单位，所得图象的关系式为( A ) A. C. y＝(x－1)2＋3 y＝(x－1)2－3 B. D. y＝(x＋1)2＋3 y＝(x＋1)2－3
＋m＝0.解得 m＝3. (2)二次函数关系式为 y＝－x2＋2x＋3，令 y＝0，得－x2＋ 2x＋3＝0.解得 x＝3 或 x＝－1.∴点 B 的坐标为(－1，0)． (3)∵S△ABD＝S△ABC，点 D 在第一象限，∴点 C，D 关于二 次函数的对称轴对称．∵由二次函数关系式可得其对称轴为 x ＝1，点 C 的坐标为(0，3)，∴点 D 的坐标为(2，3)．
没有
实根；
(3)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点时，方程 ax2＋bx＋c 实根.
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第14课时┃ 二次函数的图象与性质（二）
考点2
抛物线的平移
抛物线 y＝(x＋2)2－3 可以由抛物线 y＝x2 平移得到，则下 列平移过程正确的是( B ) A.先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k，a 是不变的，然后根据变化后的顶 点坐标，直接写出关系式，也可以始终遵循左加右减(在自变量 x 后)，上加下减(在因变量后)的原则进行，这样做的好处是直 接成了一般式，而且对于一次函数的平移也可以解决.
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中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质(二)课件0
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;
∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线
第14讲 二次函数
当x=
b 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
当x=
【即时应用】 ＞-2 1.y=x2+4x-1的顶点坐标为(_______)，当x_____时，y随x的增 -2，-5
大而增大.
小 2 2.对于二次函数y=3x2-12x+13，当x=__时，函数y有最___值， 其值为__. 1 y轴(或x=0) 3.函数y=x2+3的对称轴为___________.
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0
①②联立解得：c≥3,故选B.
②，
4.(2012·泰州中考)如图，在平面直角坐
标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，
C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 y=2 2 x +bx+c的图象经过B，C两点. 3
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围.
一、二次函数的有关概念 1.定义 二次 如果函数的解析式是自变量的_____多项式,这样的函数称为二 次函数. 2.形式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) (1)一般式:_____________________________; y=a(x-h)2+k (h,k) (2)顶点式:___________,其中顶点坐标是______.
【解析2，2). ∵二次函数y=- 2 x2+bx+c的图象经过B，C两点，
3 ∴c=2，2b+c= 14 ，∴b= 4 ， 3 3 ∴二次函数的解析式为y= 2 x 2 4 x 2 . 3 3 2 2 4 (2)令y=0，则 x x 2 =0，解得x=-1或x=3， 3 3
【2014中考复习方案】 中考数学复习权威课件：第14课时 二次函数的图像与性质(二)(含13年试题)
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第14课时┃二次函数的图像与性质（二）
函数与方程的联系 函数与方程有着广泛的联系， 如果把函数中的两个变量 视为未知数，那么函数表达式就是一个二元方程；函数图像 与横轴的交点横坐标，就是函数值为 0 时得到的方程的解； 两个函数图像的交点坐标， 可由两个函数表达式组成的方程 组求解；待定系数法求函数表达式，也是通过列方程(组)， 确定各项系数的值．
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第14需要将 y＝(x－1)2－4 先向左平移 2 个单
位，再向上平移 3 个单位，即得 y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1＝ x2＋2x.对照各项系数，可知 b＝2，c＝0，故选 B.
解决抛物线平移的问题，通常要把表达式配方转化为顶 点式，遵循“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移原 则，确定平移后的表达式．
第14课时 二次函数的图像 与性质（二）
第14课时┃二次函数的图像与性质（二）
冀 考 解 读
考点梳理 二次函数与一元 二次方程的关系 二次函数图像 的平移 二次函数图像与 性质的综合 考纲 要求 理解 掌握 掌握 常考题 型 选择、 填空 选择 选择、 解答 年份 2014 热 度预测 ☆ 2013 2011 2012 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆
b
开口向上 a>0 开口向下 a<0 b＝0 对称轴为 y 轴 ab>0(b 与 a 同 对称轴在 y 轴左侧 号) ab<0(b 与 a 异 对称轴在 y 轴右侧 号)
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第14课时┃二次函数的图像与性质（二）
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一交点 2 b －4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 2 b －4ac>0 同交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件 ：14 二次函数的图象及其性质(二)
第14课时┃二次函数的图象及 其性质(二)
方法点析 二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点， 与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号， 有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
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第14课时┃二次函数的图象及 其性质(二) 探究四 二次函数的图象与性质的综合运用
第14课时
二次函数的图象及 其性质(二)
第14课时┃二次函数的图象及 其性质(二)
考 点 聚 焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－ 4ac 的符号 Δ>0 方程ax2＋bx＋c ＝0有实根 的个数 两个不相等 __________________实根 两个相等 __________________实根
再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为(
C．y＝x2＋6
D．y＝x2
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第14课时┃二次函数的图象及 其性质(二)
解
析
将抛物线 y＝(x－1)2＋3 向左平移
1 个单位所得直线解析式为 y＝(x － 1＋1)2＋3， 即 y＝x 2＋3； 再向下平移 3 个单位为 y＝x 2＋3－3， 即 y＝x 2. 故选 D.
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图14－5
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第14课时┃二次函数的图象及 其性质(二)
解：(1)因为 x 2＋4x－5＝0 的两根是 x 1＝－5，x 2＝1， 所以 A ， B 两点的坐标为 A(－5， 0)，B(1，0)， 所以抛物线的对称轴为 x＝－2. 根据二次函数图象与一元二次方程解的关系， 可设二次函数的解析式为 y＝a(x 2＋4x－5)(a＞0)， 则 C，D 的坐标分别为 C(0，－5a)，D(－2，－9a)， 从而可画出大致图象，如图： 1 所以 S △ABC＝ AB·OC＝15a. 2 设 AC 与抛物线的对称轴交于点 E ，则由三角形相似可求 得 E 点的坐标为(－2，－3a)，
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− 3B. y = −(x + 2)2 − 3 + 3������. ������ = −(������ + 2)2 + 3
例 2.某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家 “家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台. (1)假设每台冰箱降价������元，商场每天销售这种冰箱的利润是�����要求写自变量的取值范围） (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降 价多少元？ (3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
2 2
（
）
+ 3������ . ������ = −(������ + 1)2 + 3
1
− 3������. ������ = −(������ + 1)2 − 3
4.某车的刹车距离������(������)与开始刹车时的速度������(������/������) 间满足二次函数������ = 20 ������ 2 (������ > 0)，若该车某 次的刹车距离为5������，则开始刹车时的速度为( ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/sD.5 m/s 5.（2010，襄樊）将抛物线������ = − 2 ������ 2 向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位后，得到的抛 物线的解析式为 . 6.(2010，兰州)如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小 明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米， 绳子自然下垂呈抛 物状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳 子的最低点距地面的距离为 米. 7.将函数������ = ������ 2 + ������的图象向右平移 a(a>0)个单位，得到函数������ = ������ 2 − 3������ + 2的图 象，则������的值为 . 8.如图， 从地面垂直向上抛出一小球， 小球的高度h （单位： 米） 与小球运动时间������ （单 位：秒）的函数关系式是h = 9.8������ − 4. 9������ 2 ，那么小球运动中的最大高度ℎ最大 = . 9.（2010，呼和浩特）如图(1)是抛物线形拱桥，当水面在 n 时，拱顶离水 面 2 米，水面宽 4 米.若水面下降 1 米，则水面宽度将增加多少米？[图(2) 是备用图]
【变式训练】 3.某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又 不高于每件 80 元，试销中销售量 y（件）与销售单价������（元）的关系可以近似地看作一次函数（如 图）. (1)求 y 与������之间的函数关系式； (2)设公司获得的总利润（总利润一总销售额一总成本）为 P 元，求 P 与������之 间的函数关系式， 并写出自变量������的取值范围； 根据题意判断： 当������取何值时， P 的值最大？最大值是多少？
第 10 讲 二次函数(2)
考点 1 二次函数图象的平移 将 二 次 函 数 ������ = ������������ 2 (������ ≠ 0) 的 图 象 进 行 平 移 ， 可 得 到 ������ = ������������ 2 + ������, ������ = ������(������ − h)2 , ������ = ������(������ − h)2 + ������的图象. (1)将������ = ������������ 2 的图象向上(c > 0)或向下(c< 0)平移|c|个单位，即可得到������ = ������������ 2 + ������ 的图象. 其顶点是(0，c).形状、对称轴、开口方向与抛物线������ = ������������ 2 相同. (2)将������ = ������������ 2 的图象向左(ℎ < 0)或向右(ℎ > 0)平移|h|个单位，即可得到������ = ������(������ − h)2 的图 象.其顶点是(h，0)，对称轴是直线������ = ℎ，形状、开口方向与抛物线������ = ������������ 2 相同. (3)将������ = ������������ 2 的图象向左(h < 0)或向右(ℎ > 0)平移|h|个单位， 再向上(������ > 0)或向下(������ < 0) 平移|k|个单位，即可得到������ = ������(������ − h2 ) + ������ 的图象，其顶点是（h，������ ），对称轴是直线������ = ℎ ， 形状、开口方向与抛物线������ = ������������ 2 相同. 考点 2 二次函数与一元二次方程的关系. (1) -元二次方程������������ 2 + ������������ + ������ = 0就是二次函数������ = ������������ 2 + ������������ + ������ 当函数 y 的值为 0 时的情况. (2)二次函数������ = ������������ 2 + ������������ + ������ 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点； 当二次函数������ = ������������ 2 + ������������ + ������ 的图象与 x 轴有交点时， 交点的横坐标就是当 y=0 时自变 量 x 的值， 即一元二次方程������������ 2 + ������������ + ������ = 0的根. (3)当二次函数������ = ������������ 2 + ������������ + ������ 的图象与 x 轴有两个交点时， 则一元二次方程������������ 2 + ������������ + ������ = 0有两个不相等的实数根；当二次函数y = ax 2 + bx + c的图象与 x 轴有一个交点时，则一元二次 方程������������ 2 + ������������ + ������ = 0有两个相等的实数根； 当二次函数y = ������������ 2 + ������������ + ������ 的图象与������轴没有交点时， 则一元二次方程������������ 2 + ������������ + ������ = 0没有实数根. 考点 3 二次函数在实际问题中的应用 函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它 包括两个方面： (1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； (2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题， 其实质就是求函数的最大（小）值. 例 1.（2010，陕西）已知抛物线������ : ������ = ������ 2 +3x -10，将抛物线 C 平移得到抛物线 C'.若两条 抛物线 C、C'关于直线������ = 1对称，则下列平移方法中， 正确的是 ( ) A.将抛物线 C 向右平移 个单位 B.将抛物线 C 向右平移 3 个单位
例 3（2010，安徽）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用 20 天时间，采用每天降 低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售. 九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第������天（1≤������≤20 且������为整数）的捕捞与销售的 相关信息如下： (1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量 相比是如何变化的？ (2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且 能在当天全部售出，求第������天的收入������（元）与������ （天）之间的函数关系式；（当天收入一日销售 额一 日捕捞成本） (3)试说明(2)中的函数 y 随������的变化情况，并指出在第几天 y 取得最大值，最大值是多少？
备考精炼
1.二次函数������ = −2������ 2 + 4������ + 1的图象如何平移就得到������ = −2������ 2 的图象 ( ) A.向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 B.向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位
C.向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 2.(2010，兰州)抛物线������ = ������ 2 + ������������ + ������的图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象 的解析式为������ = ������ 2 − 2������ − 3,则������、������ 的值为 ( ) A. ������ = 2, ������ = 2B. ������ = 2, ������ = 0C. ������ = −2, ������ = −1D. ������ = −3, ������ = 2 3.如图，图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥， 当水面在������ 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水 面 2m，水面宽 4m.如图(2)建立平面直角坐标系， 则抛物线的关系式是 ( ) ������. ������ = −2������ 2 ������ . ������ = 2������ 2 1 1 ������ . ������ = − ������ 2 ������ . ������ = ������ 2 2 2
赢考集训
1.（2010，成都）把抛物线������ = ������ 2 向右平移 1 个单位， 所得抛物线的函数表达式为 ( ) A. y = x 2 + 1B. y = (x + 1)2 C. y = x 2 − 1D. y = (x − 1)2 2.把抛物线������ = 2������ 2 向上平移 5 个单位，所得抛物线的解析式 ������. ������ = 2������ 2 + 5������. ������ = 2������ 2 − 5 C. y = 2(x + 5)2 D. y = 2(x − 5)2 3.（2010，宁夏）把抛物线������ = −������ 2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后 的抛物线表达式是( ) ������. ������ = − ������ − 1 ������ . ������ = − ������ − 1