2020年北京海淀区空中课堂高二数学-组合 课件

A2 3
C2 3
A2 2
A C A 2 2 2
3
3
2
➢ 一般地，从n个不同元素中，任取m个元素
的排列，可以分两步完成：
分
第一步 选取元素
Cm n
步 乘
第二步 排位置
Am m
法 计
所以
A C A m m m
n
n
m
数
原
理
二、组合数
A C A m m m
n
n
m
Cnm
Anm Amm
➢ 组合数公式：
平均分 组需去
序
四、组合的应用
➢ 分组、分配问题 练习：有6本不同的书，满足下列条件的分法各有多少种
（1）分给甲、乙、丙三人，每人各得2本； （2）平均分成3份，每份2本; （3）分给三个人，一人得1本，一人得2本，一人得3本； （4）分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本； （5）分成三份，两份1本，一份4本； （6）分成四份，两份1本，两份2本.
四、组合的应用
➢ 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并用排列数或组合数回答。 (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (4) 从赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的的颜料中，选取两种颜色分别 涂在一张圆形纸的两面，共有多少种结果？
一、组合
➢ 列举出从红球、黄球、白球三个球中，任意取出2个小球的所有组合
红
黄
白
“红球，黄球” “红球，白球” “黄球，白球”
二、组合数
➢ 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m≤n) 个元素的所有组合的个数，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数，用符号
C
m n
表示。
研究“从红、黄、白三个小球中，任取两个小球”的排列和组合的关系：
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
1.2.2 组合
一、组合
➢ 定义：一般地，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素并成一组，叫做
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． ➢ 两个组合相同：组成组合的元素完全相同
与顺序无关
一、组合
➢ 排列与组合的区别和联系： 共同点: “从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关. 两者联系: 组合是只选不排，排列是既选又排， 组合可以看成是完成排列的第一个步骤－－选
(1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人只有一人当选； (3)甲、乙、丙三人至多2人当选； (4)甲、乙、丙三人至少1人当选；
四、组合的应用
➢ 分组、分配问题 教材第20页
四、组合的应用
➢ 分组、分配问题
例、有4本不同的书，满足下列条件的分法各有多少种 （1）分给甲、乙两人，每人各得2本； （2）平均分成两份，每份2本； （3）分给甲、乙两人，一人得1本，一人得3本； （4）分成两份，一份1本，一份3本； （5）分给甲、乙两人，甲得1本，乙得3本；
➢ 两个性质的作用
➢ 教材22页练习A
n个不同的黑球
…
1个白球
三、组合数的性质
➢
教材第24页习题1-2B题1、计算
C22
C32
C42
...
C2 100
➢
解：
C
2 2
C
2 3
C42
...
C2 100
C33
C
2 3
C
2 4
...
C2 100
C43
C
2 4
...
C2 100
...
C3 101
166650
C
m n
n(n
1)(n
2)L m!
(n
m
1)
①
Cnm
n! m!(n
m)!
②
公式②中，当m=n时，由于0！=1，因此 Cnn 1
当m=0时，得到 Cn0 1
（形式1多用于计算，形式2多用于化简变形）
二、组合数
➢ 教材22页练习A
(5)C50 = 1,
C51 = 5,
C52
=
5´ 2´
4= 1
小结
➢ 组合 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 直接法和间接法 ➢ “至多”与“至少”问题 ➢ 分组、分配问题
四、组合的应用
➢ 基本计数原理：分类、分步
次1 正1 次2
➢ 直接法与间接法 ➢ “至多”与“至少”：分类或排除法 次2 正1 次1
➢ 教材第19页
四、组合的应用
➢ 基本计数原理：分类、分步 ➢ 直接法与间接法 ➢ “至多”与“至少”：分类或排除法 练习：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法(用组合数表示)？
源自文库
10,
C53 =
5创4 3创2
3 = 10, 1
C54
=
5创4 4创3
3? 2?
2 1
=
5,
C55 = 1
➢ 发现
二、组合数
➢ 求证： 证明：
所以
三、组合数的性质
➢ 性质1
三、组合数的性质
教材第18页
发现
三、组合数的性质
求证： 证明：
所以
三、组合数的性质
不含白球
➢ 性质1
含白球
性质2
➢ 用计数原理解释组合数的两个性质