电动力学电子教案

F
1
4 0
QQ R2
电荷Q作用在电荷Q上的力为
F
QQ
40
(xx) x x 3
库仑定律要求：1 电荷必须是点性的；2 电荷相对于观察者 必须处于静止状态。 库仑定律的主要物理内容是：1库仑力是距离的平方反比定 律。2电荷在其效果上具有可加性。
电场强度矢量定义
E(x) F(x) Q0
一个静止点电荷激发的电场为
o
φb
O(c, 0)
x1
I0 a
2(a02a2bI2)Re (Ra)
B 2Re { a
2(a02IR b2)e (Ra)
I 0 b
2(a20b2bI2)Re (Rb)
B2R(e){ b
来自百度文库
2(a02IR b2)e (Rb)
所求磁场为
B Ba Bb [
Bb x2
(x1 c)2 x22
[
Ba x1 x12 x22
对此式两 边取旋度
相应的积分形式是
LBdl0SjdS
将 B 4 0 x j( xx )d3x两 边 取 散 度
B0
积分形式
S B dS 0
例 题 1： 一 个 半 径 为 R0的 均 匀 带 电 的 薄 导 体 球
壳 ， 以 恒 定 速 度 绕 一 直 径 转 动 ， 其 面 电 荷 密 度 为 f。 求 球 心 处 的 磁 感 应 强 度 矢 量 。
B(x)0 Idl(xx)
4 L xx3
这一关系式称为毕奥-萨伐尔定律
对于分布电流
B 0
4
V
j (x) (x x) x x 3
d 3x
0 j (x) 1 d 3x
4 V
x x
3、磁场的环量和旋度
B 0 j(x) 1 d3x
4 V
x x
0 j(x) d3x
4
x x
E dl 0
根据矢量场旋度的定义
E0
静电场是无旋 场
例 电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度， 并由此直接计算电场的散度。
解：以球心为原点作球坐标系，由于对称性，空间各点的电场 强度沿径向，半径相同面上场强大小相等。由高斯定理可知
当r a时 当r a时
E
Qr
4 0 r 3
E
Qr
电动力学电子教案
第一章 电磁现象的普遍规律
本章主要是从基本实验定律出发建立麦克斯韦 方程组,讨论边值关系及电介质的电磁性质方程和 洛伦兹力公式.这些内容是本书以后各章论述电磁 场的理论依据。
§1 电荷和电场
1、库仑定律
Q Rxx
x r
Q
O xr
相对于观察者静止的两个 点电荷之间的相互作用， 在真空中的数学表示式为
Q (xx)
E(x)
40
xx3
若电荷连续分布在某一区域内
E(x) 1
40
V
(x)(x
x x 3
x)
dV
1 (x) 1 dV
40 V
x x
2、高斯定理和电场的散度 高斯定理
EdS 0 Q i EdS1 0VdV
依据矢量场散度的定义
E
0
3、静电场的旋度 依据库仑定律，在点电荷激发的电场中任取一闭 合回路，有
lBdl0s(Jf 0 E t)dS
位移电流
JD
0
E t
位移电流的实质是电场的时间变率
例题1 设有一个球形对称分布的电流，由球心的时变电荷源Q(t) 流出，其电流方向都是沿径向的。试求由这电流分布产生的磁场。
2sind
0
0 sincosdey
2
0
d
0
sin3dez]
230f R0ez
例题2 一个半径为a的通有稳恒电流为I的无限长中空圆柱体,其中空部分 也是圆柱形,半径为b,但二者不同轴,其中心距为c.求: (1)空间各点的磁场B (2)空间各点处B的散度及旋度
x 2 B a P(x)
R R Bb
解:将系统看成两个柱体,通以电流密度 大小相同而方向相反的电流,其中半径 为a的柱体电流与原电流同向,由安培环 路定律知
4 0 a3
计算电场的散度
当r a时
rr3r12r（ r2r12） =0
因而
E Q
40
rr3
0
当 r a 时 E 4 Q 0 a 3 r 4 3 Q 0 a 3 0
§2
1、电荷守恒定律
电流和磁场
电流区域内电流的分布是用电流密度矢量表示的。
电流密度和电流强度的关系为
d I J ( x )d S I S J ( x )d S
I
Id l
I
F4 0
L
IdlIdl(xx)
L
xx3
xr x r
Rxx
称为安培定律
I d l
电流激发磁场，磁场对位于场中的电流施 力作用。
改写安培定律为
F
LIdl[4 0
Idl(xx) L xx3 ]
方 括 号 中 的 量 是 描 写 磁 场 特 征 的 量 ， 通 常 称 为 磁 感 应 强 度 矢 量 。 用 矢 量 B (x)表 示
Bb (x1 (x1 c)2
c) x22
]e2
Ba x2 x12 x22
]e1
当 R b， R a时
B3
2
0I
(a2
b2)
e2
(2)对于磁场散度和旋度,直接运算有
B1 B2 B3 0
B1 B3 0
B2
0I (a2 b2)
ez
0
j
§3 麦克斯韦方程组
1、电磁感应定律
z
dS
dB
R0
O
x
解:由转动引起的等效面电流分布
f fezR0eRfR0sine
电流元fdS在球心处激发的磁感
应强度为
y
dB
0 4
f dS R（0 -eR） R03
0 f sin 4 R0
dS（
-
e）
利用球坐标基矢与笛卡儿基矢的关系得
B0f
4
R0
[
2
0
cosd
0sincosdex
在任何物理过程中，“一个封闭系统内”的电荷不能凭空产生，也不能 凭空消灭，这个规律称为电荷守恒定律。
依据这个定律
SJ dSV t dV
这是电荷守恒定律的积分形式。应用高斯定理即得微分形式
J 0
t
在恒定电流情况下，方程为
J 0
2、毕奥-萨伐尔定律
在真空中回路电流I′作用在回路电流I上的的力为
应用斯托可斯定理
E B t
2、位移电流 在稳恒电流情况下
B 0J
J 0
但在非稳恒情况下，安培环路定律和电荷守恒定律不相容
考虑到电荷守恒定律和时变电荷与时变电场的关系
j 0 t
E0
(
j
0
E) t
0
安培环路定律可表示为
B 0 (J f0 E t)0 J f00 E t
上式的积分式为
在任何一个闭合导体回路内产生的感应电动势只与穿过回路所 围面积的磁感应通量的时间变率成正比，而与其它因素无关。 在真空中的数学表示为
d dt
s
B
dS
负号是楞次定律的数学表示
导体中电荷的定向运动总是电场推动的
l
Edl
d dt
sBdS
若回路不动，则式中对时间的全导数可以用偏导数表示
l
Edl
s
BdS t