第8讲 分式方程及其应用
第8讲 分式方程及其应用
程无解．
剖析 (1)“漏”检验：分式方程 转化为整式方程 ，由于去分母使未知数 的取 值范 围发生了 变化，可能使分式方程无意 义，因此解分式方
程时一定要检验；
(2)“漏”乘，方程两边同乘(x－5)时，常数“1”漏乘(x－5)去分母 是解分式方程最 为关 键的一步 ，往往因 为粗心而漏乘不含分母的
项，违背等式的性质，造成结果错误．
(3)“ 漏 ” 添括号：方程两 边 同乘 (x － 2) 时 ， 第二 项 漏掉添括号 ， 由于分数 线具有括号的作用 ，因此当分式的分子、分母是多 项式 时，去分母后一定要将其括起来，以免出错．
错解 (1)解：方程两边同乘以(x2－1)，得：2(x＋1)－3(x－1)＝x＋3，解
得：x＝1；
(2)解：方程两边同乘以(x－5)，得：x＋1＝1＋2x，解得：x＝0， 检验：当x＝0时，x－5≠0，故x＝0是原方程的解； (3)解：方程两边同乘以(x－2)，得：x＋1－1－x＝x－2，解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，x－2 ＝0 ，故x ＝2不是原方程的解 ，原方
【例1】
(2014· 岳阳)解分式方程：
5 3 ＝x. x－2
解：方程两边同乘以x(x－2)得：5x＝3(x－2)，化简得2x＝－ 6，解得x＝－3，检验当x＝－3时，x(x－2)≠0，所以，x＝－3是 原方程的解
【点评】 去分母时，方程两边要同乘最简公分母，转化为整式 方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方程 的解．
3增根与无解： 分式方程的增根与无解并非同一个概念 ，分式方程无解，可能是解
为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．而分式方程的增根是
去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
第8讲 分式方程及其应用
第8讲 分式方程及其应用
第8讲 │ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 分式方程及相关概念
含有未知数
第8讲 │ 考点随堂练
1.下列方程中是分式方程的是 A ) 下列方程中是分式方程的是( 下列方程中是分式方程的是 x π 1 1 1 A.π＝x B.2x－3y＝5 － ＝ x＋1 x－1 ＋ － x x x C.π＝3＋2 D. 3 － 2 ＝－ ＝－1
[解析 解方程，在方程的两边同时乘 －4，得x－1＝m， 解析]解方程 在方程的两边同时乘x－ ， 解析 解方程， － ＝ ， 所以x＝ ＋ ，方程有增根， 所以 ＝m＋1，方程有增根，则(m＋1)－4＝0，m＝3. ＋ － ＝ ， ＝
第8讲 │ 考点随堂练
5．解方程： ．解方程： 1 2 12 . － ＝ x＋3 3－x x2－9 ＋ －
[解析 小群每分钟跳 ＋20)下， 相等关系是：小林跳了 解析] 小群每分钟跳(x＋ 下 相等关系是：小林跳了90 解析 下与小群跳了120下所用时间相同． 下所用时间相同． 下与小群跳了 下所用时间相同
第8讲 │ 考点随堂练
7．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上 ．近年来，由于受国际石油市场的影响， 下面是小明与爸爸的对话： 涨．下面是小明与爸爸的对话： 小明： 爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊 月份的汽油价格上涨了不少啊！ 小明：“爸爸，听说今年 月份的汽油价格上涨了不少啊！” 爸爸： 是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年 月份的1.6 月份每升汽油的价格是去年5月份的 爸爸：“是啊，今年 月份每升汽油的价格是去年 月份的 150元给汽车加的油量比去年少 元给汽车加的油量比去年少18.75升 倍，用150元给汽车加的油量比去年少18.75升．” 小明： 今年5月份每升汽油的价格是多少呢 月份每升汽油的价格是多少呢？ 小明：“今年 月份每升汽油的价格是多少呢？” 聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽 聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年 月份每升汽 油的价格． 油的价格．
分式方程及其应用ppt
溶液平衡
分式方程可以描述溶质在溶液中的溶解平衡，为 分离和提纯提供理论指导。
环境化学
分式方程可以描述污染物在环境中的迁移和转化 ，为环境保护和污染治理提供依据。
04
分式方程与因式分解的联系
分式方程转化为整式方程
通过因式分解将分式方程转化为整式方程，可以简化计算， 提高解题效率。
分式方程的分类
简单的分式方程
只包含一个分式的方程，如 y = 5/x。
复杂的分式方程
包含多个分式的方程，如 (x² - 4)/(x² + x - 2) = 3。
分式方程的解法
转化成整式方程
通过数学方法将分式方程转化成整 式方程，然后求解未知数。
观察法
对于简单的分式方程，可以通过观 察分式的规律来求解。
验根的方法
将所求解代入最简公分母中，若最简公分母的值为0，则说明该解为增根，需要舍去；若 最简公分母的值为非0，则说明该解为有效解，保留。
注意分式方程的增根问题
增根的产生原因
分式方程求解时，若去分母后所得整式方程无解，或者求解 后所得的解代入最简公分母中使得最简公分母的值为0，则会 产生增根。
增根的解决方法
代数式的化简
分式可以用于代数式的化简，通过分式化简可以将复杂的 代数式化为简单的形式。
分式的化简方法包括约分、通分、分式的加减法等，可以 根据不同情况选择合适的方法进行化简。
方程组的解法
分式方程可以用于求解方程组，通过将方程组中的各个方程都转化为分式方程， 可以方便地求出方程组的解。
分式方程组的解法包括克莱姆法则、高斯消元法等，可以根据不同情况选择合适 的方法进行求解。
人教版数学九年级上册第8讲 分式方程的解法及应用-课件
D
k＜3且k≠1
【思路点拨】将x＝3代入原方程即可求出k的值；分式方程去分母转化为整式方程， 表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
D
【思路点拨】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可．Leabharlann 第8讲 分式方程的解法及应用
D C 解析：去分母，得3(x－1)＝2x，解得x＝3.经检验x＝3是原方程的解．
B
D
解析：去分母，得x＋1－2(x－1)＝4，解得x＝－1，把x＝－1代入公分母得x2－1＝1－1＝ 0，∴此方程无解．
解：去分母，得2(x＋3)＝x，解得x＝－6.当x＝－6时，x(x＋3)≠0， 所以，原方程的解为x＝－6.
A
x＝2
解析：去分母得：3x＝2x＋2，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故答案 为：x＝2.
【思路点拨】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x－1得到结果，即可作出判断；分 式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方 程的解．
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/282021/10/282021/10/2810/28/2021 11:04:48 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/282021/10/282021/10/2810/28/2021
•7、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021/10/282021/10/28October 28, 2021 •8、儿童集体里的舆论力量，完全是一种物质的实际可以感触到的教育力量。2021/10/282021/10/282021/10/282021/10/28
中考数学复习 第8讲 分式方程及其应用课件
解分式方程 ①去分母化成整式方程；②解整式方程求出
的步骤
未知数的值；③检验根是否是_增__根___
去分母时两边乘最简公分母，会出现使
分式方程 原因
分式分母为零的根
的增根 验根
将解整式方程所得根代入 最_简__公__分__母______或原方程检验
考点3 分式方程的应用
列分式 方程
解应用 题
步骤 关键
No 合作、交流，不懂或做错的题目在小组内先交流解决
Image
12/9/2021
第十九页，共十九页。
①甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ ②已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万 元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施 工多少个月？
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第8讲┃ 分式方程(fēn shìfānɡ chénɡ)及 其应用 第十六页，共十九页。
解：(1)设较贵的纪念册单价为x元，则便宜的为(x－2)元，
A.3x00－6200＝13.020x
B.3x00－13.020x＝20
C.3x00－x＋3010.2x＝2600
D.3x00＝13.020x－2600
[解析]
原计划植树用的时间应该表示为
300 x
，而实际用的时间
为13.020x，那么方程可表示为3x00－2600＝13.020x.
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由题意得6x00＝x6－002－10，
解得x1＝－10，x2＝12， 经检验x1＝－10，x2＝12都是方程的根， 但单价x＞0，故x＝－10舍去， 所以人数为600÷12＝50(人)， 答：总人数为50人．
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第8讲┃ 分式方程(fēn shìfānɡ chénɡ)及 其应用 第十七页，共十九页。
第八课时分式方程及其应用
五、课堂小结
本次课程结束 很高兴与你共同学习
下一课时—— 一元一次不等式（组）
三、同步练习
例1
三、同步练习
例2 （2014•扬州）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快
完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提 前10天完成任务．原来每天制作多少件？
四、整合提升
四、整合提升
2、（2014•济宁）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、 乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队 单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ （2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x 天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46， y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
一、真题训练
一、真题训练
二、考点梳理
考点1 分式方程
概念 分母里含有_未__知__数___的方程叫做分式方程
分式 方程
增根
在方程的变形时，有时可能产生不适合原 方程的根，使方程中的分母为___零_____， 因此解分式方程要验根，其方法是代入最
简公分母中看分母是不是为___零_____
二、考点梳理2020年中考数学第一Fra bibliotek复习 基础课程
第8课时 分式方程及其应用
课程预览
01 真题训练 02 考点梳理 03 同步练习 04 整合提升 05 课堂小结
复习目标:
1．了解分式方程的概念，了解分式方程的增根问题． 2．掌握分式方程的解法． 3．会列分式方程解应用题．
复习重难点:
掌握分式方程的解法，会列分式方程解应用题．
八年级数学-分式方程及其应用
第一部分基础知识梳理详解点一、分式方程的观点分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的重要特点是：①含分母；②分母里含未知数。
分式方程和整式方程的差别就在于分母中能否含有未知数。
比如： 1 1 0 ；x24是分式方程；x 2 4 x是整式方程，不是分式方程。
x x 3 32 3 5详解点二、分式方程的解法1、解分式方程的思想和方法2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，得出整式方程的根；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）查验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，一定舍去。
（4）写出分式方程的根。
详解点三、分式方程的增根1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根；2、增根产生的原由：分式方程自己隐含着分母不为0 的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0 时，就产生了增根。
3、清除增根的方法因为产生增根的原由是在方程的两边同时乘以了“隐形”的零——最简公分母，所以，判断是不是增根，应将整式方程的解代入最简公分母，假如最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。
详解点四、列分式方程解应用题1、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题近似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、适合设未知数、确立主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等重点环节，进而正确列出方程，并进行求解．此外，还要注意从多角度思虑、剖析、解决问题，注意查验、解说结果的合理性．2、列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，找出相等关系和数目关系（2）设：依据所找的数目关系设出未知数（3）列：依据所找的相等关系和数目关系列出方程（4）解：解这个分式方程（5）检：对所解的分式方程进行查验，包含两层，不单要对实质问题存心义，还要对分式方程存心义注：分式方程的应用与一元一次方程应用题近似，不一样的是要注意查验；（6）答：写出分式方程的解第二部分例题分析例题 1、以下对于 x 的方程x 1 2 ，9000 1500 ，300 - 480 4 ，x-2=0，xx -1 ， 2 3 ，x x x 3000 x2x 3 2 x - 1 x 4x-5=0 ，哪些是整式方程，哪些是分式方程例题 2、解分式方程：（1） 300 - 480 4 ；（2）2 - x 1-2；x2x x - 3 3 - x（ 3）x 5 1 （4）129 2 = 12x 5 5 2x x 2 x 3 x+3（ 5）x2 16 x 2 （ 6）x 1 x2 x x 2 x2 4 x 2 2 x 2 2 x2 5x 6 x 3【变式练习1】6x x 2（2）x+6 1解方程：（1）x 3 0x+3 2 =x 3 x 9 x 3例 2、a为什么值时，方程x2a会产生增根x 3 x 3【变式练习 2】（ 1）分式方程x23x 0 的增根是．x 3（ 2）若分式方程x 2 a 有增根，则 a ．4x x 4例 3．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000 元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000 斤糖，近来他俩同去买进了两次价钱不一样的糖，问两人中谁的均匀价钱低一些【变式练习 3】甲开汽车，乙骑自行车，从相距 180 千米的 A 地同时出发到 B．若汽车的速度是自行车的速度的2 倍，汽车比自行车早到 2 小时，那么汽车及自行车的速度各是多少【变式练习4】 A 、 B 两地行程为150 千米，甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行， 2 小时后相遇，相遇后，各以本来的速度持续行驶，甲车到达 B 后，立刻沿原路返回，返回时的速度是本来速度的2 倍，结果甲、乙两车同时到达 A 地，求甲车本来的速度和乙车的速度．【变式练习5】甲、乙两地相距50 千米， A 骑自行车， B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的倍,B 半途歇息了半个小时, 还比 A 早到 2 小时 , 求 A 和 B 两人的速度【变式练习6】、轮船顺流航行100 千米所需的时间和逆水航行80 千米所需的时间同样，已知水流速度为2 千米 / 小时，求船在静水中的速度。
【中考夺分天天练】2015年中考数学(安徽)九年级总复习课件：第8讲+分式方程及其应用(沪科版)
A．甲先做了4天
1 C．甲先做了工程的 4
B．甲、乙合做了4天
1 D．甲、乙合做了工程的 4
第8讲┃分式方程及其应用
4 x [解析 ] 由方程： ＋ ＝ 1，可知甲做了 4 天，乙做了 x 天， x x＋5 故条件③是甲乙合做了 4 天，故选 B.
第8讲┃分式方程及其应用
9．[ 2014·安庆模拟]
第8讲┃分式方程及其应用
3 x＋3 6．[ 2013·荆州四模] 解方程： － 2 ＝0. x－1 x －1
x＝0
第8讲┃分式方程及其应用
核心考点二
相关知识
分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤 1.审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
2.设
3.列 4.解
设未知数，设其中某个量为未知量，并注意单位
2
解：去分母，得 x(x －1)－4＝x －1，(2 分) 去括号，得 x －x－4 ＝x －1，(4 分) 解得 x ＝－3，(5 分 ) 经检验 x＝－3 是原方程的解．(6 分 )
2 2
第8讲┃分式方程及其应用
教你读题
1．题干要求：“解方程”．
2．观察方程的结构：注意到是分式方程 ， 第二个分式的
一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是( D ) 2700 4500 A. ＝ x－20 x 2700 4500 C. ＝ x＋20 x 2700 4500 B. ＝ x x－20 2700 4500 D. ＝ x x＋20
A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3
分式方程及其应用课件
分式方程在科研中的应用
01
生物学
分式方程可以描述基因表达、细胞增殖等生物学过程，帮助生物学家
研究生命的本质。
02
物理学
分式方程在物理学研究中广泛应用于量子力学、相对论和复杂系统等
领域，帮助科学家探索物理世界的奥秘。
03
化学
分式方程可以描述化学反应的动态过程，帮助化学家研究新的化学反
应路径和优化化学反应条件。
助工程师设计高效的机械设备。
分式方程在日常生活中的应用
物理学
分式方程可以描述物体的运动规律，例如加速度、速度和位移之间的关系，帮助我们解决 日常生活中的力学问题。
医学
分式方程可以描述生理参数之间的关系，例如药物在人体内的吸收、分布和代谢情况，帮 助医生制定更有效的治疗方案。
经济学
分式方程可以描述经济变量之间的关系，例如消费、投资和经济增长之间的关系，帮助政 策制定者制定有效的经济政策。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中含未知数的形式的问题，但 有些问题不适合使用分式方程
。
解法有限
分式方程的解法有限，没有通 用的解法，需要根据具体问题
选择合适的解法。
精度有限
分式方程的精度有限，无法得 到高精度的解。
分式方程的应用前景
分式方程及其应用课件
xx年xx月xx日
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》教学设计
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》教学设计一. 教材分析《分式方程及其应用》是中考数学复习的第8课时，主要内容是分式方程的定义、解法及其应用。
本节课时的教材内容在整个初中数学体系中起到承前启后的作用，为后续的高中数学学习打下基础。
通过本节课时的学习，学生应该能够掌握分式方程的基本概念，熟练运用解法求解分式方程，并能够将分式方程应用到实际问题中。
二. 学情分析在学习本节课时之前，学生已经学习了分式的相关知识，对分式的概念、性质和运算法则有一定的了解。
但是，部分学生对分式方程的理解和应用还不够熟练，解题过程中容易出错。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行针对性的引导和讲解。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义和基本性质。
2.掌握分式方程的解法，并能够熟练运用。
3.能够将分式方程应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义和性质。
2.分式方程的解法及其运用。
3.将分式方程应用到实际问题中。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式方程的定义、解法和应用。
2.运用案例分析和实际问题解决，让学生体验分式方程在实际生活中的应用。
3.采用小组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.利用多媒体教学手段，辅助学生直观地理解分式方程的概念和性质。
六. 教学准备1.教学PPT课件。
2.相关案例分析和实际问题。
3.分式方程的练习题。
4.小组讨论的安排。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示分式方程的实例，引导学生回顾分式的相关知识，激发学生对分式方程的兴趣。
2.呈现（15分钟）介绍分式方程的定义和基本性质，通过PPT课件和实物模型辅助学生直观地理解分式方程的概念。
3.操练（20分钟）讲解分式方程的解法，并通过例题演示解题过程。
然后，让学生独立完成练习题，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，分享解题心得和经验，互相纠正错误。
分式方程及其应用讲义
分式方程及其应用讲义1、解分式方程时注意去分母、检验根。
2、分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容： 营销类应用性问题、工程类应用性问题行程中的应用性问题、轮船顺逆水应用性问题浓度应用性问题、货物运输应用性问题———————————————————————————题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---x xx (2) 114112=---+x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例;1. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 2. 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 3. 若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,求k 的值?题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例题：1. 若关于x 的方程11+=+x mx x无解, 则m 的值为 . 2. 当k 取何值时关于X 的方程4162222-=--+-x k x x x x 无解？ 3. 已知关于x 的方程m x mx =-+3无解,求m 的值.题型四：解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解①若解为正⎩⎨⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解0x 例题：已知关于x 的方程323-=--x mx x解为正数,求m 的取值范围.一、【营销类应用性问题】例1：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？二、【工程类应用性问题】例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》说课稿
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》说课稿一. 教材分析《分式方程及其应用》是中考数学复习的第8课时，主要内容是分式方程的定义、性质、解法及其应用。
本节课的内容在中考中占有重要的地位，是学生必须掌握的基础知识。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握分式方程的基本概念，能够熟练地解分式方程，并能够将分式方程应用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了分式的基本概念和性质，对分式的运算有一定的了解。
但是，学生对分式方程的理解和掌握程度参差不齐，部分学生对分式方程的解法不够熟练，对分式方程的应用更是感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学，帮助学生理解和掌握分式方程的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法，能够将分式方程应用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，学生能够培养自己的问题解决能力和合作能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学在实际生活中的应用，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的定义、性质、解法及其应用。
2.教学难点：分式方程的解法，分式方程的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，帮助学生直观地理解分式方程的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题，从而引出分式方程的概念。
2.自主学习：学生自主学习分式方程的定义和性质，通过多媒体课件的演示，帮助学生直观地理解分式方程的概念和性质。
3.合作交流：学生分组讨论分式方程的解法，通过小组合作，共同解决问题。
4.教师讲解：教师针对学生的讨论情况进行讲解，重点讲解分式方程的解法和应用。
5.巩固练习：学生进行课堂练习，巩固所学知识。
6.课堂小结：教师引导学生对所学知识进行总结，帮助学生形成知识体系。
(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第8讲 分式方程及其应用课件 华东师大版
第8讲┃ 回归教材
解：(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增 长率为x，根据题意，得： 5000(1＋x)2＝7200， 解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 即年平均增长率为20%. (2)7200×(1＋20%)＝8640. 答：(1)这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长 率为20%；(2)2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人 次．
第8讲┃ 归类示例
解分式方程常见的误区： (1)忘记验根； (2)去分母时漏乘整式的项； (3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8讲┃ 归类示例 ► 类型之三 分式方程的应用
命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
第8讲┃ 归类示例
[2012· 厦门 ] 工厂加工某种零件，经测试，单独加 工完成这种零件，甲车床需用 x 小时，乙车床需用 (x2－ 1)小 时，丙车床需用 (2x－ 2)小时． (1)单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车 2 床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间； 3 (2)加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效 率能否相同？请说明理由．
归类示例
► 类型之一 分式方程的概念
命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根．
1－kx 1 [2012· 攀枝花 ] 若分式方程 2 ＋ ＝ 无 x－2 2－x
1或2 解，则 k＝________.
第8讲┃ 归类示例
1－ kx 1 [解析 ] ∵分式方程 2＋ ＝ 有增根， x－ 2 2－ x 去分母得 2(x－ 2)＋ 1－ kx＝－ 1， 整理得 (2－ k)x＝ 2， 2 当 2－ k≠ 0 时， x＝ . 2－ k 当 2－ k＝ 0 时，此方程无解，即 k＝ 2 时，原方程无解． 1－ kx 1 ∵分式方程 2＋ ＝ 有增根， x－ 2 2 － x ∴ x－ 2＝ 0， 2－ x＝ 0， 解得 x＝ 2， 2 即 ＝ 2，解得 k＝ 1. 2－ k
分式方程应用课件
03
分式方程在化学中的应用
Chapter
化学反应速率问题
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
化学反应速率问题主要 涉及反应速度与反应物 浓度的关系，分式方程 可以用来描述这种关系 。
详细描述
在化学反应中，反应速 率与反应物的浓度有关 。分式方程可以用来描 述反应速率与反应物浓 度的关系，帮助我们理 解反应过程和预测反应
结果。
公式展示
v = k [C]^m [D]^n， 其中v是反应速率，k 是反应常数，[C]和[D] 是反应物的浓度，m和
n是反应级数。
实例分析
例如，对于一个二级反 应，其分式方程可以表
示为 -d[C]/dt = k [C]^2，其中[C]是反应 物的浓度，t是时间，k
是反应常数。
溶液浓度问题
总结词
复利计算
利用分式方程，可以计算出在固定年 利率下，未来某一时刻的投资本息总 额，这在长期投资规划中非常有用。
消费物价指数(CPI)问题
CPI计算
消费物价指数是反映一篮子商品和服务价格水平变化的指标 ，分式方程可以用来计算CPI，通过将各种商品和服务的价格 变化代入方程，可以得到整体的物价变化趋势。
通货膨胀率计算
利用CPI和GDP平减指数，可以计算出通货膨胀率，这对于货 币政策制定和投资决策具有重要意义。
供需关系中的分式方程
供需平衡
在市场经济中，分式方程可以用来描 述供需关系的变化，通过建立需求和 供应函数，可以分析市场均衡时的价 格和数量。
市场调整
当市场出现供不应求或供过于求的情 况时，分式方程可以用来分析价格变 动对供需关系的影响，以及市场调整 的过程。
详细描述
华师大版八年级数学下册第8讲：分式方程的应用
1 第八讲：分式方程的应用
一、方法解读：
分式方程应用题的解题要领：
1、选择合理的未知数；
2、认真审题，找准等量关系；
3、列出正确的分式方程；
4、解分式方程，得解；
5、结合实际，保证解要有实际生活意义；
6、答，这是不能少的一个环节。
二、典例解析：
例1：某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
解：设规定日期为x 天．则甲单独完成需要x 天，乙单独完成需要（x+6）天， 所以，甲的工作效率是x 1，乙的工作效率是
61+x ， 由题意，得：（x 1+
61+x ）×3+61+x ×（x-3）=1， 整理，得：x 3+6
+x x =1， 解方程，得 x =6．
经检验，x =6是原方程的根.。
二方程与不等式 第 分式方程及其应用 公开课获奖课件
x－a 5．(2015· 东营)若分式方程 ＝a 无解，则 a 的值为__± 1__． x＋1 点拨：去分母得：x－a＝ax＋a，即(a－1)x＝－2a，显然 a＝1 时，方程无解；由分式方 程无解，得到 x＋1＝0，即 x＝－1，把 x＝－1 代入整式方程得：－1－a＝－a＋a，解得：a ＝－1，综上，a 的值为± 1，故答案为：± 1
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的 ，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样 一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱 笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得
3．分式方程的应用 (1)用分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验是——①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际问题． (2)用分式方程解实际问题的一般类型主要涉及工程问题、行程问题等，每个问题中涉及 工作量 路程 到三个量的关系，如：工作时间＝__ __，时间＝__ __等，如果工作量或路程是 工作效率 速度 已知条件，另外的两个量又分别具有某种等量关系，常可以建立分式方程模型来解决．
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围 。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话 ”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老 师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方 法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她
方程的解．∴m＝25.∴第一季度的总产量＝120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590.答：今 年第一季度生产总量是 590 台，m 的值是 25 【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题 意．
分式方程及其应用课件
密度与质量的关系
总结词
通过已知密度和质量，求体积
详细描述
密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。 已知密度和质量，就可以求出体积。例如，已知水的密度是1克/立方厘米， 质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
效率与成本的关系
总结词
通过已知效率和成本，求产量或收益
示例
例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3 是分母。
分式方程的分类
简单分式方程
只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程
包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的解法
1 2
转化法
将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得 到未知数的值。
图像法
画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切 线求解未知数。
运动学问题
在物理学中，分式方程也经常用来解决运动学问题，例如计算物体的速度和 加速度。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，分式方程可以用来描述化学反应的速率，以及反应物和生成物之 间的比例关系。
溶液浓度问题
在化学中，分式方程也经常用来解决溶液的浓度问题，例如计算溶液的渗透压等 。
在工程中的应用
例子
解分式方程 $x+1\div x-1=3$，通过建立方程 $(x+1)(x1)=3$，解决了问题。
分类讨论思想
分类讨论思想
对于一些未知数的取值范围不明确的问题，需要分类讨论。
例子
解分式方程 $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x}=1$，需要考虑 x 的取值范围，当 x<0 时，方程无解；当 0<x<1 时，方程的解为 x=3-2\sqrt{2}；当 x>1 时，方程的解为 x=3+2\sqrt{2}。
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x－1 x－2 2x＋a 试题 当 a 取什么值时，方程 － ＝ 的解是负 x－2 x＋1 （x－2）（x＋1） 数？ 错解 解：原方程两边同乘以(x－2)(1)，得 a＋5 x －1－x ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ 2 .
2 2
a＋5 由 2 ＜0，得 a＜－5. 故当 a＜－5 时，原方程的解是负数． 剖析 (1)利用分式的基本性质进行恒等变形时， 应注意分子与分母同乘或同除 以的整式的值不能是零； (2) 错解的原因在于没有考虑最简公分母(x－2)(x＋1)不为零．
正解 当 x≠－1 且 x≠2 时，原方程两边都乘以(x－2)(x＋1)，得 x2－1－x2 a＋5 a＋5 a＋5 ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ .由 ＜0，得 a＜－5，又由 2 2 2 a＋5 ≠2，得 a≠－1； 2 ≠－1，得 a≠－7，故当 a＜－5 且 a≠－7 时，原方 程的解是负数
2 3 1．(2015· 天津)分式方程 ＝ 的解为( D ) x－3 x A．x＝0 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝9
x＋m 2 2．(2015· 营口)若关于 x 的分式方程 ＋ ＝2 有增根，则 m 的值是 x－3 3－x (A) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 3
m－1 3．(2015· 荆州)若关于 x 的分式方程 ＝2 的解为非负数，则 m 的取 x－1 值范围是( D ) A．m＞－1 B．m≥1 C．m＞－1 且 m≠1 D．m≥－1 且 m≠1 4．(2015· 茂名)张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加 工 5 个零件，张三加工 120 个这种零件与李四加工 100 个这种零件所用时间 相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时加工这 种零件 x 个，则下面列出的方程正确的是( B ) 120 100 A. ＝ x x－5 120 100 C. ＝ x x＋5 120 100 B. x ＝ x－5 120 100 D. x ＝ x＋5
[对应训练] 1．(1)下列方程中是分式方程的是( C ) x2－1 5 A．2x－1＝4－2x B. 3 ＝2 x－3 x＋4 2x 1 C. ＋ ＝1 D. 2 ＋x＝ 3 x－1 x＋1 x 3 (2) (2014· 德州)分式方程 －1＝ 的解是( D ) x－1 （x－1）（x＋2） A．x＝1 B．x＝－1＋ 5 C．x＝2 D．无解
数学
第二章 方程与不等式 第8讲 分式方程及其应用
1．分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. ____ 2．分式方程的解法 (1)解分式方程的步骤： ①方程两边都乘以各个分式的 最简公分母 ，约去分母， 化成整式方程； ②解这个整式方程； ③检验：把求得的x的值代入最简公分母中，看是否等于0，使 最简公分母为0的根为原方程的增根，必须舍去． 等于零 的根． (2)增根：使分式方程分母 (3)验根方法： ①利用方程的解的定义进行检验； ②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．
解：(1)设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件，则甲种款型的 T 恤衫购进 1.5x 件， 7800 6400 依题意有 ＋30＝ ，解得 x＝40，经检验，x＝40 是原方程组的解，且 1.5x x 符合题意，1.5x＝60.答：甲种款型的 T 恤衫购进 60 件，乙种款型的 T 恤衫购 6400 进 40 件 (2) ＝160， 160－30＝130(元)， 130×60%×60＋160×60%×(40÷ 2) x －160×[1－(1＋60%)×0.5]×(40÷ 2)＝4680＋1920－640＝5960(元)答：售完这 批 T 恤衫商店共获利 5960 元
x 2 (3) (2015· 德州)方程 －x＝1 的解是 x－1 3x 6 (4)(2015· 龙岩)解方程：1＋ ＝ . x－2 x－2
x＝2
．
解：方程两边同乘以 (x－2)得，(x－2)＋3x＝6，解得；x＝2，检验 ： 当x＝2时，x－2＝0，∴x＝2不是原分式方程的解，∴原分式方程 无解
【例 3】 (2015· 贵港)某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知 去年月平均生产量为 120 台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量 增长了 m%，二月份的生产量又比一月份生产量多 50 台机器，而且二月份生 产 60 台机器所需要时间与一月份生产 45 台机器所需时间相同，三月份的生 产量恰好是去年月平均生产量的 2 倍． 问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m 的值是多少？ 解：设去年月平均生产效率为 1，则今年一月份的生产效率为(1＋m%)， 5 60 45 二月份的生产效率为 1＋m%＋ .根据题意得： ＝ ， 解得： 12 5 1＋m% 1＋m%＋ 12 1 1 m%＝ .经检验可知 m%＝ 是原方程的解．∴m＝25.∴第一季度的总产量＝ 4 4 120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590. 答：今年第一季度生产总量是 590 台，m 的值是 25
1．解分式方程的关键步骤是去分母，将分式方程转化为整式方 程，而去分母的关键是要找出最简公分母，方法是：①系数取最 小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因式取最高次幂 ． 2．已知分式方程的解的情况，求方程中字母系数的范围问题时 ：需先按照解分式方程的一般步骤，用含有未知数的式子表示出 分式方程的解，再根据题目中要求的解的情况，列出不等式来求 解字母取值范围．
3．分式方程的应用 (1)用分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验是——①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际 问题． (2)用分式方程解实际问题的一般类型主要涉及工程问题、行程问题等 工作量 路程 ， 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ____等， 工作效率 ，时间＝ 速度 如果工作量或路程是已知条件，另外的两个量又分别具有某种等量关系，常 可以建立分式方程模型来解决．
5．(2015· 东营)若分式方程
x－a ±1 ． ＝a 无解，则 a 的值为____ x＋1
点拨： ：去分母得：x－a＝ax＋a，即(a－1)x＝－2a，显然 a＝1 时，方程
无解；由分式方程无解，得到 x＋1＝0，即 x＝－1，把 x＝－1 代入整式方
程得：－1－a＝－a＋a，解得：a＝－1，综上，a 的值为± 1，故答案为：± 1
【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分 式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将 分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的 每一项，不要漏乘常数项； (2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后 整式方程的某个根，如果它使分式方程的某些分母为零，则是原 方程的增根，须舍去．
【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增 根，再检验是否符合题意．
[对应训练] 3．(2015· 泰安)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫，甲种款 型共用了 7800 元，乙种款型共用了 6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件 数的 1.5 倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少 30 元． (1)甲、乙两种款型的 T 恤衫各购进多少件？ (2)商店进价提高 60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙 款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完， 求售完这批 T 恤衫商店共获利多少元？
a＋2 【例 2】 已知关于 x 的分式方程 ＝1 的解是非正数，则 a 的取值范 x＋1 围是( B ) A．a≤－1 B．a≤－1 且 a≠－2 C．a≤1 且 a≠－2 D．a≤1
【点评】 此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
[对应训练] a－2 1 2． (1) (2015· 遵义)若 x＝3 是分式方程 x － ＝0 的根， 则 a 的值是( A ) x－2 A．5 B．－5 C．3 D．－3 1 2 (2)(2015· 毕节)关于 x 的方程 x2－4x＋3＝0 与 ＝ 有一个解相同， x－1 x＋a 1 ． 则 a＝____
1－x 1 【例 1】 (1)(2015· 威海)分式方程 ＝ －2 的解为 x＝4 x－3 3－x 2x－1 x (2)(2015· 宁夏)解方程： － 2 ＝1. x－1 x －1
；
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)－(2x－1)＝(x＋1)(x－1)，解 得 x＝2.经检验：当 x＝2 时，(x＋1)(x－1)≠0，∴原分式方程的解为：x＝2