2016年人教版三年级下册数学全册导学案

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人教版高中数学必修第三册全册WORD讲义《导学案》

8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个01非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称02[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作03〈a，b〉.(2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且040≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝05〈b，a〉.时，称向量a与向量b垂直，记作07a⊥b.在(3)垂直：当〈a，b〉＝06π2讨论垂直问题时，规定08零向量与任意向量垂直．知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称01|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝02|a||b|cos〈a，b〉.由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝01|a|·cos〈a，e〉.(2)a⊥b⇔02a·b＝0.(3)a·a＝03|a|2，即04|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝05a·b(|a||b|≠0).|a||b|(5)|a·b|06≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB→＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l 上的投影称为a在向量b上的02投影.如图2中，向量a在向量b上的投影为03.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量04共线，但它们的方向既有可能05相同，也有可能06相反.知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向01相同，而且||＝02|a |cos〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，为零向量，即||＝030；当〈a ，b 〉>π2时，的方向与b 的方向04相反，而且||＝05－|a |cos 〈a ，b 〉.一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是07非负数，也可能是08负数.两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.或a与b中至少有一个为0.(2)a·b＝0⇔θ＝π2(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模(2)利用公式变式cosθ＝a·b|a||b|积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a⊥b.()(2)两个向量的数量积是一个向量．()(3)当a∥b时，|a·b|＝|a||b|.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝3，则a在b上的投影的数量为____.(2)已知|a|＝4，|b|＝22，且a与b的夹角为135°，则a·b＝____.(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB→与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x轴、y轴上的投影的数量分别为____和____.答案(1)32(2)－8(3)12|AB→|－32|AB→|题型一两个向量夹角的定义例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，23b.[解]如图，由向量夹角的定义可知：(1)向量－a，b的夹角为120°.(2)向量2a，23b的夹角为60°.(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意向量的夹角是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角，作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．|a|，求a－b与a的夹角．[跟踪训练1]已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝12解如图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则BA→＝a－b.取OA的中点D，连接BD，∵|b|＝1|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，2∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，∴∠BAO＝30°.∴a－b与a的夹角为30°.题型二向量数量积的定义例2(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与向量b的夹角．[解](1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝53.(2)由题意，得4－16＝3a ·b ，∴a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，向量a 与向量b 的夹角为120°.1．求向量数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．(2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.2．求向量夹角的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值．(2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小．[跟踪训练2](1)已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，求a 与b 的夹角．解(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.(2)设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.题型三向量的投影例3已知直线l ，(1)|OA →|＝4，〈OA→，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；(2)|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1；(3)|OC→|＝4，〈OC→，l〉＝120°，求OC→在l上的投影的数量OC1.＝2.[解](1)OA1＝4cos60°＝4×12(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0.(3)OC1＝4cos120°＝4 2.对向量投影的理解从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ(2)当θ(3)当θ＝0时，该数量为|b|.(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.注意：此处b为非零向量．时，该数量为0.(5)当θ＝π2时，a在e方向[跟踪训练3]已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为π3上的投影的数量为()A．43B．4C．42D．8＋32答案B解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cosπ＝4，故选B.3题型四向量数量积的几何意义及应用例4(1)已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为()A ．3 B.92C ．2D.12(2)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝2DC ＝4.E 为腰BC 上的动点．求AE→·AB →的取值范围．[解析](1)设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.(2)如图，过E 作EE ′⊥AB ，垂足为E ′，过C 作CC ′⊥AB ，垂足为C ′.则AE →在AB →上的投影为AE ′→，∴AE →在AB →上的投影的数量为|AE ′→|，由向量数量积的几何意义知AE →·AB →＝|AE ′→||AB →|＝4|AE ′→|.∵E 在腰BC 上运动，∴点E ′在线段C ′B 上运动，∴|AC ′→|≤|AE ′→|≤|AB→|，∴2≤|AE ′→|≤4，∴8≤4|AE ′→|≤16，∴AE→·AB→的取值范围是[8,16]．[答案](1)B(2)见解析利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可．利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果．[跟踪训练4](1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，则四边形EFGH是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____.答案(1)C(2)4解析(1)因为(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，所以AC→·BD→＝0，所以AC→⊥BD→.又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，所以|a||b|cosθ＝16.又a在b方向上的投影的数量为4，所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4.1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.125B．3C．4D．5答案A解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b|b|＝12 5.2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π3时，a·b＝() A．43B．4C．83D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cosπ3＝4.3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.0，π6 B.π3，πC.π3，2π3 D.π6，π答案B解析由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤12θ∈π3，π.故选B.4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是() A．e1在e2上的投影的数量为sinθB．e21＝e22C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2)D．不存在θ，使e1·e2＝2答案BCD解析对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e21＝e22＝1，B正确；对于C，如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．5．在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝6，且AB→·AC→＝18，则△ABC的形状是____.答案等边三角形解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等边三角形．一、选择题1．若|a|＝2，|b|＝12，〈a，b〉＝60°，则a·b等于()A.1 2B.1 4C．1D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×12×12＝12.2．在Rt△ABC中，角C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16答案D解析解法一：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos A，△ACB为直角三角形，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·|AC→||AB→|＝|AC→|2＝16.故选D.解法二：∵△ACB为直角三角形，∴AB→在AC→上的投影为AC→，∴AB→·AC→＝AC→2＝16.故选D.3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为()A．－53B．5C．－5D．53答案A解析a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－53.4．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案A解析设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥104|cosθ|≥52，由向量形式的三角不等式得，|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥|2×52－4|＝1.5．(多选)关于菱形ABCD的下列说法中，正确的是()A.AB→∥CD→B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0D.AB→·AD→＝BC→·CD→答案ABC解析∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴AB→∥CD→，A正确；∵对角线AC 与BD互相垂直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∴AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；∵AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，∵DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，∴(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，∴AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．故选ABC.二、填空题6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则BC→·CA→等于____.答案－332解析BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－30°)＝ab cos150°＝－332.7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝____.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.8．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中真命题为____.答案①解析由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：(1)AB→·CD→；(2)AB→·AD→；(3)AC→·DA→.解如图，(1)〈AB→，CD→〉＝π，∴AB→·CD→＝－1.(2)〈AB →，AD→〉＝π2，∴AB →·AD →＝0.(3)〈AC →，DA →〉＝3π4，∴AC →·DA →＝2×1×cos 3π4＝－1.10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．解∵AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0，∴cos θ>0，∴θ为锐角，如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.由题意，知AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6，①S ＝12|AB ||CD |＝12|AB →||BC →|sin θ.②由②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1.又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈π6，π4.1．(多选)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论，其中正确的是()A.AH→·(AC→－AB→)＝0B.AB→·BC→<0⇒△ABC为钝角三角形C.AC→·AH→|AH→|＝c sin BD.BC→·(AC→－AB→)＝a2答案ACD解析因为AC→－AB→＝BC→，且AH⊥BC，所以AH→·(AC→－AB→)＝0，故A正确；在△ABC中，由AB→·BC→<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；AH→|AH→|是AH→的单位向量，依据数量积的几何意义可知AC→·AH→|AH→|为AC→在AH→方向上的投影，为b sin C＝c sin B，故C正确；因为AC→－AB→＝BC→，所以BC→·(AC→－AB→)＝|BC→|2＝a2，故D正确．2．已知a，b是两个非零向量．(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝6|a||b|＝63×4＝12，∴cos〈a，b〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a －b |，即|OA→|＝|OB →|＝|AB →|，所以∠AOC ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.知识点平面向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律a ·b ＝01b ·a结合律(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)分配律(a＋b)·c＝04a·c＋b·c对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如右图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()(2)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝____.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝____.(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝____，|a－b|＝____，|a2＋b2|＝____.答案(1)8(2)－7(3)28237100题型一求向量的数量积例1已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3 3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．[跟踪训练1]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝____.答案－14解析由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝23AC→，BE→＝BA→＋AE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·－＝12×→|2－|AB→|2－13AB→·＝1 2×1－13cos60°＝－14.题型二求向量的夹角例2已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[解]设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝12.∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e22－2e21－2e1·e2＝e22－2e21－e1·e2＝1－2－12＝－32，|a|＝a2＝(e1＋e2)2＝|e1|2＋|e2|2＋2e1·e2＝1＋1＋1＝3.|b|＝b2＝(e2－2e1)2＝|e2|2－4e1·e2＋4|e1|2＝1＋4－4×12＝3.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－323×3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练2]已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．解∵|a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝152.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1523×5＝12又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.题型三求向量的模例3已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量2b＋a的模．[解](1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.(2)(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，∴|2b＋a|＝27.极化恒等式求模长(1)两个结论①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.说明：下列结论也是成立的：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，即a·b＝1[(a＋b)2－(a－b)2]．4我们把该恒等式称为“极化恒等式”．(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量与自身的数量积等于它的模的平方．，求|a－b|，|a＋b|.[跟踪训练3]已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3解解法一：|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝53.＝52＋52＋2×5×5×cosπ3|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝5.＝52＋52－2×5×5×cosπ3解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．∵|a|＝|b|且∠DAB＝π3，∴△ABD为正三角形，∴|a－b|＝|DB→|＝5，|a＋b|＝|AC→|＝2|AE→|＝2|AB→|2－|BE→|2＝252－5 2253.题型四用向量数量积解决垂直问题例4已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.[证明]证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|·cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接AB，AC，BC，三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC ⊥AB.又BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练4]如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →a 12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE→，即AF ⊥DE .1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于()A.32B ．－32C.23D ．－23答案B解析由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于()A．1 B.2C.3D．2答案A解析|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝12＋12－2·1·cos〈a，b〉＝2－2cos60°＝1.3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上均不正确答案C解析由(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，得CB→·(AB→＋AC→)＝0，又CB→＝AB→－AC→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|2－|AC→|2＝0.∴|AB→|＝|AC→|.∴△ABC为等腰三角形．，则4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3实数λ＝____.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.，即λ2＋3λ－40由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61，，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－12又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a＋b|＝13，同理可求得|a－b|＝37.一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C，解析由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴θ为60°.2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1 B.7C．4＋3D．27答案B解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析∵0＝AB→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A.4.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA→＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝()A ．1B ．3C ．5D ．6答案D解析由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP→＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP→·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6.5．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A ．a ·c －b ·c ＝(a －b )·cB ．(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直C ．|a |－|b |＜|a －b |D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案ACD解析因为a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A ，D 正确；由向量减法的三角形法则，知C 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误．故选ACD.二、填空题6．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝____.答案11解析原式展开，得|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值为____.答案－13解析由|a |＝3|b |，得|b ||a |＝13.由|a |＝|a ＋2b |，两边平方得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，整理得a ·b ＝－|b |2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－|b |2|a ||b |＝－|b ||a |＝－13.8．已知向量AB→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为____.答案712解析因为向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos120°＝3×2 3.由AP→⊥BC→，得AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，所以AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝7.12三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)．解由已知，得a·b＝4×816.(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16 3.(2)若(a＋2b)⊥(k a－b)，则(a＋2b)·(k a－b)＝0.∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.10.如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→＝λPB→.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA→|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围．解(1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →.(2)OA→·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6.∵AP→＝λPB →，∴OP→－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB→＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＋λ1＋λOB OB →－OA →)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP→·AB →的取值范围是(－10,3)．1．已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，OP→＝tOA→，OQ→＝(1－t)OB→，t∈R，|PQ→|在t＝t0时取得最小值，当0<t0<15时，夹角θ的取值范围是()A.0，π3π3，π2C.π2，2π30，2π3答案C解析因为向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，所以OA→·OB→＝2cosθ，由PQ→＝OQ→－OP→＝(1－t)OB→－tOA→，得|PQ→|2＝PQ→2＝(1－t)2OB→2－2t(1－t)·OA→·OB→＋t2OA→2＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝1＋2cosθ5＋4cosθ，由0<1＋2cosθ5＋4cosθ<15，解得－1 2<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以π2<θ<2π3.故选C.2．平面四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．解∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.①同理可得a2＋d2＝b2＋c2②由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.∴四边形ABCD为平行四边形．故AB→＝－CD→，即a＝－c，∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即AB→⊥BC→.综上知，四边形ABCD为矩形．8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.知识点一向量数量积的坐标运算已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于02它们对应坐标乘积的和.知识点二向量的长度已知a＝(x1，y1)，则|a|＝01x21＋y21，即向量的长度等于02它的坐标平方和的算术平方根.知识点三两向量夹角的余弦设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝01x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.知识点四两点间的距离如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝01(x2－x1)2＋(y2－y1)2.知识点五用坐标表示两向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔01x1x2＋y1y2＝0.1．两个向量垂直的条件已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为x1－y2＝y1x2，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22.由|a·b |≤|a ||b |得|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22，当且仅当a ∥b ，即x 1y 2－x 2y 1＝0时取等号，即不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)成立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，则a·b ＝0.()(2)若a ＝(4,2)，b ＝(6，m )且a ⊥b ，则m ＝－12.()(3)若a·b ＞0(a ，b 均为非零向量)，则〈a ，b 〉为锐角．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为____.(2)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝____.(3)设a ＝(2,0)，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a·b ＝____.(4)已知a ＝(3,4)，则与a 垂直的单位向量有________，与a 共线的单位向量有________.答案(1)π6(2)2(3)1－45，－35，－题型一向量数量积的坐标运算例1已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0.(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．[跟踪训练1]已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．解解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2.∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.题型二向量的夹角问题例2已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．[解]＋b ＝(2，－8)，－b ＝(－8，16)，＝(－3，4)，＝(5，－12).∴a ·b ＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－63(－3)2＋42×52＋(－12)2＝－635×13＝－6365.∴a 与b 的夹角的余弦值为－6365.利用数量积求两向量夹角的步骤特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．[跟踪训练2]设向量a ＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤π)，b ＝(－25，0)，则a 与b 的夹角为____.答案|π2－α|解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22＝45sin α2×25＝sin α，∵α∈[0，π]，∴θ＝|π2－α|.题型三向量的长度、距离问题例3已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．[解]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝1，x22＋y22＝1，3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∵|3a－2b|＝(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝3，∴9x21－12x1x2＋4x22＋9y21－12y1y2＋4y22＝9，∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝13.∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，∴|3a＋b|＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9x21＋6x1x2＋x22＋9y21＋6y1y2＋y22＝10＋6(x1x2＋y1y2)＝10＋6×13＝23.(1)在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，可以设a＝(cosβ，sinβ)，b＝(cosα，sinα)．(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即x21＋y21＝x22＋y22.[跟踪训练3]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝____.答案25解析解法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.①由题意知OA→·OB→＝x－3y＝0.②＝3，＝1＝－3，＝－1.当x＝3，y＝1时，AB→＝OB→－OA→＝(2,4)，则|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，AB→＝(－4,2)，则|AB→|＝25.故|AB→|＝25.解法二：由题意知，|AB→|就是以OA→，OB→对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为|OA→|＝10，所以|AB→|＝2×10＝25.题型四两向量垂直条件的应用例4如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．[解]设点B(x，y)，则OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，又|AB→|＝|OB→|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，2＋y 2－5x －2y ＝0，x ＋4y ＝29，1＝72，1＝－322＝32，2＝72.即点B利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问题来解决．[跟踪训练4]在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 是直角，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的平面直角坐标系，设CA ＝CB ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，C (0,0)，设E (x ，y )．∵D 为BC 的中点，∴D (0,1)．∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23AB →，∴(x －2，y )＝23(－2,2)，－2＝－43，＝43，＝23，＝43，∴∴AD→·CE→＝(－＝－43＋43＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.题型五向量数量积的综合应用例5若函数f(x)＝－2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝() A．－32B．－16C．16D．32[解析]令f(x)＝0，得π6x＋π3kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵－2<x<10，∴x＝4，即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(OB→＋OC→)·OA→＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.[答案]D与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图像和性质等知识．[跟踪训练5]设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP→＝λAB→.若OP→·AB→≥P A→·PB→，则实数λ的取值范围是()A.12≤λ≤1B．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22D．1－22≤λ≤1＋22答案B解析设P(x，y)，则由AP→＝λAB→，得(x－1，y)＝λ(－1,1)，－1＝－λ，＝λ，∴x－1＋y＝0.①又OP→·AB→≥PA→·PB→，∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y －1)2≤1.②将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤12.即－22≤y－1≤22.∴1－22≤y≤1＋22.结合题意，得1－22≤y≤1，即1－22≤λ≤1.故选B.1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()A．3 B.13C．－13D．－3答案C解析∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，∴x＝－13.2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是() A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →，又AD→＝(4,6)，∴AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AD →.∵|AB→|≠|AD →|，∴选B.3．正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是____.答案－32解析解法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，∴a －12，b －12，－c ＝(1,0)，∴a ·b ＋32×＝－12，同理b ·c ＝c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.解法二：a·b ＋b·c ＋c·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝3＝－32.4．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝____.答案31010解析∵a ＝(3,3)，由2b －a ＝(－1,1)可得b ＝(1,2)，∴cos α＝a ·b |a ||b |＝918×5＝31010.5.如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB→·BC →＝1，求边AC 的长．解以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)，因为AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)，∴AB→＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )．∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C AC →∴|AC→|＝＝342，故边AC 的长为342.一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7答案D解析a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案A解析∵AB→＝(1,1)，AC→＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→，∴A＝90°，故选A.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为() A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)答案C解析设c＝(x，y)2x－3y＝0，x－2y＝1，x＝－3，y＝－2.4．与已知向量a 72，12，b12，－72的夹角相等，且模为1的向量是()－45，－223，答案B解析设与向量ab1的向量为(x，y)＋y2＝1，＋12y＝12x－72y，＝45，＝－35＝－45，＝35，故选B.5．(多选)设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a，b的取值可能为()A．a＝2，b＝1B．a＝7，b＝5C．a＝9，b＝6D．a＝12，b＝9答案ABD解析由图知，要使OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，只需使AB→⊥OC→，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，则a，b需满足关系式4a－5b＝3，结合选项可知，A，B，D中a，b的取值满足条件．故选ABD.二、填空题6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是____.答案103，＋∞解析x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．解得x>103且x≠－65，∴x>103.7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为____.答案120°解析由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝(a＋b)·c|a＋b||c|＝12.∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是____.答案22解析令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝22|t－1|＝22(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值22.三、解答题9．在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求。

人教课标版小学数学三年级下册全册导学案2

⼈教课标版⼩学数学三年级下册全册导学案2第⼀单元学⽣姓名: 执笔:任昭琴审核:学习内容：两位数乘两位数的笔算乘法P10例3学习⽬标：1、进⼀步掌握学习两位数乘两位数的笔算⽅法2、能够熟练地进⾏笔算3、通过学习、观察和⽐较，能找出例3和例1、例2的不同点和相同点。

学习重点：乘法竖式各部分的意义学习难点：进位和对位⾃学内容：⼀、准备活动：⽤竖式计算下列各题7 3 2 3 5 6× 2 1 ×2 5 × 5 0回忆：这是我们上节课学习的（）位数乘（）位数的乘法。

计算时，先⽤第⼆个因数（）位上的数去乘被乘数，再⽤第⼆个因数（）位上的数去乘（），乘得的积的末位要和（）位对齐，最后把两次乘得的积（）起来。

下⾯我们继续学习两位数乘两位数的笔算⼆、⾃学新知1、认真观察P10信息图，通过图上的信息，你能解决下⾯的问题吗？养鸡场有多少只鸡？列式并⽤竖式计算：在计算时你有什么问题吗？我的问题是（）请明天把你的问题与同桌交流。

你能把两个因数的位置交换⼀下再算⼀次再⽤竖式计算吗？⽐较⼀下两次计算的结果怎样？我发现（）⼩结：今天学习的两位数乘两位数的乘法和前⾯学的⽅法（），只是在计算时⼀定不要忘了进位哟！我还发现，交换两个因数的位置，它们的积（）。

2、算⼀算：⾃⼰完成P10算⼀算哦，计算时⼀定不要忘了进位哟！哇，我⼀共做对了（）道。

三、知识拓展：思考交流：两位数乘两位数，积可能是（）位数，也可能是（）位数。

举例验证：24×31=（），积是（）位数；43×25=（），积是（）位数。

四、巩固练习：1、数学医院。

P12第四题，对的打∨，错的打×，并把错的改在下⾯：2、⽐⼀⽐，⽤竖式计算，看谁算得⼜对⼜快。

我⽤的时间是（）分（）秒。

15×60= 81×13= 52×26= 28×35=48×30= 32×46= 37×19= 25×38=恭喜你完成了学习任务！明天到班上汇报哦！学⽣姓名: 执笔:任昭琴审核:练习内容：P13—14，5—11题及思考题。

小学数学三年级下册全册导学案

小学三年级下册数学教学计划新学期开始了，为了进一步贯彻实施课程改革，让学生在轻松的学习氛围中，掌握所学知识，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力，特制定本学期数学教学计划如下：一、学生情况分析：三年级共有12名学生，其中男生7人，女生5人。

同学们基本上对学习和常规等各方面的习惯转入正规。

但由于学生来自不同的家庭，家长的文化水平、道德素质等都存在着较大的差异。

因此还有部分学生的学习习惯和行为习惯较差，大部分学生在课堂只停留在认真、专心听，缺少主动参与的意识和习惯，一部分学生上课纪律松懈，喜欢随意讲话，作业不肯及时完成，喜欢拖拉作业。

所以本学期针对这些特点，在数学课要不但上的内容丰富多采，形式多样，富有吸引力；而且还要培养学生对数学的学习兴趣，让学生身在其中，才能坚定学生学好数学的信心，增强学生的意志力，养成良好的学习习惯。

二、教材分析本册教材包括下面一些内容：除数是一位数的除法，两位数乘两位数，小数的初步认识，位置与方向，面积，年、月、日，简单的数据分析和平均数，用数学解决问题，数学广角和数学实践活动等。

除数是一位数的除法、两位数乘两位数、面积以及简单的数据分析和平均数是本册教材的重点教学内容。

在数与计算方面，这一册教材安排了除数是一位数的除法、两位数乘两位数以及小数的初步认识。

这部分乘、除法计算仍然是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本技能，是进一步学习计算的重要基础。

从本册开始引入小数的初步认识，内容比较简单，此时学生在日常生活中经常遇到或用到有关小数的知识和问题，这部分知识的学习，可以扩大用数学解决实际问题的范围，提高学生解决问题的能力；同时也使学生初步学会用简单的小数进行表达和交流，进一步发展数感，并为进一步系统学习小数及小数四则运算做好铺垫。

在空间与图形方面，这一册教材安排了位置与方向和面积两个单元，这是本册教材的另两个重点教学内容，为发展学生的空间观念提供了丰富的素材。

通过这些内容的学习，让学生初步形成辨认方向、表达与交流物体所在的方向的能力等。

2016年人教版三年级下册数学全册导学案

2016年人教版三年级下册数学全册导学案本篇文章没有明显的格式错误和问题段落，但可以进行小幅度改写，使其更加流畅和易懂。

第一单元：位置与方向（一）备课人：审核人：研究目标：1.通过实际的数学活动，培养学生辨认方向的意识，进一步发展空间观念。

2.结合具体情境，使学生认识东、南、西、北、东北、西北、东南和西南八个方向，能够用给定的一个方向（东、南、西或北）辨认其余的七个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。

3.使学生能够看懂简单的路线图，并描述行走的路线。

研究重难点：描绘物体方向。

研究时间：4课时研究过程：第1课时研究内容：教材第3页例1研究目标：学生认识东、南、西、北四个方向，能够用给定的一个方向辨认其余的三个方向。

研究过程：自主研究：一、导入定向：主题图导入。

二、自学体验：1.知识梳理：①早晨，太阳在(。

)，图书馆在校园的（）面，体育馆在校园的（）面，教学楼在校园的（）面，大门在校园的（）面。

②东和西，南和北是两组（）的方向，只要知道每组中一个方向，就能确定其它3个方向。

2.例题研究：研究P4例1.交流展示。

三、合作展示：回答问题、探究例题、展示练（练一1、2题）。

四、归纳提升：互批互评，得出结论。

反馈提高。

五、自测反馈：当堂检测：完成练一第3题。

六、反思总结。

第2课时研究内容：教材第5页例2研究目标：学生知道地图上的方向，学生能够看懂简单的路线图，并描述行走的路线。

研究过程：自主研究：一、导入定向：问题导入：你会绘制简单的校园示意图吗？二、自学体验：1.知识梳理：①地图通常是按上（）下（），左(。

)右（）绘制的，并且在图上用↑标出（）。

②绘制示意图时，先要确定（），确定了观察点，把观察点放在中心的位置，再确定物体所在的（）。

2.例题研究：研究例3.交流展示。

三、合作展示：回答问题、探究例题、展示练（第4页做一做）。

四、归纳提升：互批互评，得出结论。

反馈提高。

五、自测反馈：当堂检测：1.小小设计师：街心广场的南面是医院，背面是超市，东面是邮局，西面是市政府。

三年级下册数学导学案第二单元3用估算解决问题人教新课标

3.用估算解决问题法。

(20分钟)意思？(2)鼓励学生分析题意，独立列出算式，并说一说列式的理由。

（3）组织学生观察这道估算题，用自己喜欢的方法试着估算。

（4）组织学生汇报，教师板书不同的估算方法。

方法一 267≈300 300÷3＝100(元) 267÷3≈100(元)方法二 267≈270 270÷3＝90(元) 267÷3≈90(元)（5）引导学生观察、对比，小组讨论：两种方法的解答合理吗？为什么？（6）师生共同总结三位数除以一位数的估算方法。

2. 课件出示教材第30页例9。

(1)组织学生思考：问题中的“够装”是什么意思？(2) 组织学生小组合作，解决问题。

(3) 引导学生交流、对比不同的估算方法，体会解决问题策略的多样性。

（4）让学生通过精确的计算解决问题：多少个纸箱才能装下？要用“≈”连接…… （2）理解题意，根据数量关系列出算式：267÷3，并说明列式理由。

（3）用自己喜欢的方法进行估算。

（4）汇报，交流自己估算的过程和结果。

（5）讨论、交流后汇报： ①因为不需要算出准确的钱数，所以两种结果都是合理的。

②第二种方法估算的结果更精确一些，准确结果应该比90少，比80多。

明确：解决同一个问题，可能有不同的方法，只要合理就可以采用。

（6）与教师一起总结估算方法。

2.（1）明确“够装”的含义。

（2）小组合作，解决问题，并汇报。

方法一 182≈180，182÷8>20，因此18个纸箱装不下182个菠萝。

方法二 18≈20，20×8＝160(个)，20个纸箱只能装160个，因此18个纸箱肯定装不下182个菠萝。

（3）对比、交流，明确可根据具体情况选择解决问题的策略。

（4）精确计算，验证运用估算策略所得出的结论的正确性。

有(B )个字。

A ．20 B ．30 C ．40(2)一片树林共有265棵树，共9排，平均每排大约有(C )棵树。

人教版三年级数学下册第一单元《学习看平面图(例 2)》学习任务单(导学案)及作业设计

人教版三年级数学下册第一单元
《学习看平面图（例2）》学习任务单
【学习目标】
1.能看懂简单的平面图，知道平面图是根据上北、下南、左西、右东的方位绘制的。

2.在介绍自己熟悉的场所活动中加深对方向的理解，体会物体位置关系的相对性。

3.感受数学与生活的密切联系，体会数学在生活中的作用。

【课上学习任务】
学习任务一：北京动物园导览图
（1）说一说，从这幅图上你都知道了哪些有关方向的信息？
（2）填一填，犀牛河马馆在大象馆的西面，大象馆在犀牛河马馆的（）面。

【作业设计】
故宫小导游
故宫有四个大门，南门为午门，东门为东华门，西门为西华门，北门为神武门。

位于中轴线的主要建筑由南向北依次是太和殿、中和殿、保和殿。

根据故宫建筑物的
介绍，完成故宫平面图。

【参考答案】
故宫小导游。

人教版数学三年级下册：全册导学案

人教版数学三年级下册：全册导学案年级：学科：数学第1课时课题：认识东南西北学习目标：1．结合具体情境，使学生认识东、南、西、北四个方向，能够用给定的一个方向辨认其余的三个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。

2．发展学生空间观念，体验数学与生活的联系。

培养学生良好的观察能力。

学习重点：能根据自身方位辨认东、南、西、北四个方向。

学习难点：体会东、南、西、北四个方向之间的关系。

年级：学科：数学时间：2019/3/3 第2课时课题：认识地图上的东南西北学习目标：1．使学生知道地图上的方向。

2．使学生会看简单的路线图，并能描述行走的路线。

3．进一步培养学生的空间观念。

学习重点：使学生学会看简单的路线图。

学习难点：让学生能描述行走的路线。

年级：学科：数学时间：2019/3/4 第3课时课题：认识东北、东南、西北、西南四个方向学习目标：1、认识东南、西南、西北、东北四个方向，能够用给定的一个东、南、西、北方向辨认其余方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。

2．经历送着简单的路线（八个方向），描述行走路线的过程，培养辨认方向的意识，发展空间观念。

3．感受方位知识与日常生活的密切联系，学会方位知识，应用方位知识解决问题。

学习重点：能够用给定的一个东、南、西、北方向辨认其余方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。

学习难点：描述行走路线的过程，培养辨认方向的意识，发展空间观念。

年级：学科：数学时间：2019/3/5 第4课时课题：会看简单的路线图（八个方向）学习目标：1、使学生会看简单的路线图（八个方向），并能描述行走路线。

2、体会东北、东南、西北、西南四个方向。

3、培养学生的观察能力和表达能力。

学习重点：根据给定的一个方向辨认出其余的七个方向。

学习难点：准确、简洁地描述行走路线。

年级：学科：数学时间：2019/3/9 第5课时学习内容：练习课（教材第10页练习二第7题和课堂练习题）。

学习目标：1.学生理解平面图上的八个方向，会看简单的路线图，能描述物体所在的方向和行走的路线。

三年级下册数学导学案第八单元稍复杂的排列问题人教新课标

不对，因为0不能放在首位，只能组成30,35,50,53这4个符合要求的数。
3.用0，3,4，8能组成多少个没有重复数字的两位数？
能组成9个没有重复数字的两位数，分别是30，34，38，40，43，48，80，83，84。
三、巩固应用，提升能力。（10分钟）
1.完成教材第101页“做一做”第1题。
2.完成教材第101页“做一做”第2题。
2.引导学生讨论：多了一个数字“0”，组数时有什么不同？
3.出示探究提示，引导学生借助数字卡片自主探究。
(1)怎样摆能保证不重复、不遗漏？
(2)一共摆出了几个两位数？是怎样摆的？
4.引导学生交流探究结果。
5.组织学生讨论：用什么方法写出组成的数可以既清楚明了，又不重复、不遗漏？
（引导学生说出：按顺序、不重不漏）
1.独立完成，巩固所学方法。
2.先思考解决问题的方法，再独立完成，全班交流。
4.从0,2,3,9这四个数中任取3个，可以组成多少个不同的三位数？
18个
四、课堂小结，拓展延伸。（5分钟）
1.这节课我们学习了什么？引导学生回顾总结。
2.排列数的求法与乘法紧密相连。一般地，完成一件事需要几个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，完成第三步有n3种不同的方法……完成第m步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有n1×n2×n3×…×nm种不同的方法。
教学目标
1．能找出稍复杂事物的排列数。
2．能用多种策略解决排列问题。
3.通过动手操作培养学生有序、全面思考问题的意识。
重难点
重点：能找出稍复杂事物的排列数。
难点：能根据要求进行简单的排列。
化解措施
动手操作，自主探究。

比例尺的应用全册导学案设计.docx

三、巩固练习。(5分钟)
1、完成教材54页 “做一做”。
2、完成教材57页8题。
3、出示练习题：在比例尺是1：10000000的地图上,量得甲、乙两城之间的路程是10 COlo一辆汽车以每小时100 km的速度
1、独立完成，汇报交流。
2、填写后，说出求图上距离和实际距离的方法。
3、分析题中的数量关系后，独立解答并汇报。
(2)指名试做。
1、(D分析题意,明确:图上距离_.. ,ttl根据实际距离一比例尺，可以用解比例的方法求出实际长度。
(2)尝试解决。
解：设从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是Xcmo
7.81
* ^400000
2、解决问题。
(1)一幅地图的比例尺是1：1700000,量得图上3 cm可以表示实际多少「米？
课前准
备
教师准备PPT课件
教学过程
教学环
节
教师指导
学生活动
效果检测
一、复习
导入。(5分钟)
引导学生思考：
(1)什么叫做比例尺？
(2)比例尺有什么特点？
(3)怎样求比例尺？
思考后回答：
(1)一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
(2)比例尺的特点：比例尺是一个比，不是尺,不带单位名称。
2、关注学生解决问题能力的培养。
《数学课程标准》强调：要让学生学习有用的数学，并能主动运用所学的数学知识解决现实生活中的实际问题。为此,应引导学生从数学的角度去看待和解决生活中的实际问题，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性,从而提高解决问题的能力。在教学中，要有效地利用教材提供的素材,恰当补充例题，引导学生进行小组合作交流、探究用比例尺的知识解决相关问题的方法,使学生在理解多种解题策略的同时,实现解题策略的优化。

人教版三年级数学下册第2课时对复式统计表的认识练习课(导学案)

（2）12＋4＝16（人）
5＋3＝8（人）
16÷8＝2
2.我当统计员。
二（1）班、二（2）班活动课人数
（1）二（1）班一共有多少人参加了课外活动？二（2）班呢？
（2）二（1）班和二（2）班参加美术活动的共有多少人？
答案：25 10 12
22 12 11
（1）25＋12＋10＝47（人）
22+11+12=45（人）
分析：已知复式统计表中包含中国、美国、俄罗斯在第27届、第28届、第29届奥运会获得的金牌数的信息，根据统计表中数据分析判断。
答案：（1）和（2）的说法是正确的。
1.下表是天红小学三年级课外活动统计表。
（1）三年级参加数学组、音乐组、田径组各有多少人？
（2）参加美术组总人数是棋类组的多少倍？
答案：（1）203236
答案：
(1)这个班的男生和女生得优和及格的人数相等，男生得良的比女生得良的多1人，说明这个班的男生和女生的体育成绩差不多。
（2）这个班的体育成绩达标。教师布置作业ຫໍສະໝຸດ 1.完成教材第39页第4题。
2.完成教材第40页第5题。
教学过程中老师的疑问：
课堂小结，拓展延伸。
本节课你有什么收获？
谈谈自己本节课的收获。
（2）25＋22＝47（人）
知识点2：合并单式统计表并解决问题教材第38页练习八第2题
下面是育人小学三（1）班学生的体育成绩记录单。
男生体育成绩记录单
女生体育成绩记录单
请把这些数据整理在下表中。
（1）比较一下这个班男生和女生的体育成绩。
（2）这个班的体育成绩怎么样？
分析：已知育人小学三（1）班男生、女生体育成绩记录单（两个单式统计表），根据复式统计表的制作方法将两个单式统计表合成复式统计表，再根据表中记录的数据回答问题。

三年级下册数学导学案第二单元商中间有0的除法人教新课标

三年级下册数学导学案第二单元商中间有0的二、尝试探究，明白得算理。

(6分钟)1.探究0÷3的结果，并让学生说一说自己是如何想的。

2.反馈练习。

0÷6= 0÷2= 0÷8=组织学生做一做，并观看算式的特点，说一说发觉。

3.引导学生把上面算式相同的地点用一句话说出来。

1.探究运算结果，并汇报自己的方法。

（1）其他3个人一个西瓜也吃不到，得数要用0表示，因此0÷3=0。

（2）因为0×3=0，因此0÷3=0。

2.第一独立运算，然后观看算式的特点，发觉：被除数差不多上0，除数不是0，商也是0。

3.在教师的指导下总结：0除以任何不是0的数都得0。

2.口算。

0÷16=00÷21=00÷44=00÷600=00÷365=00÷178=03.判定。

(1)0除以任何数都得0。

(×)(2)0同任何数相乘都得0。

（√）三、进一步探究，感知差不多方法。

(18分钟)1.引导学生观看例6情境图，交流从情境图中猎取的数学信息。

2.出示例6(1)，引导学生分析题中的数量关系，列出算式。

3.组织学生笔算208÷2，讨论、交流：被除数的十位上是0，0除以2等于多少？在哪一位的上面商0，什么缘故？那个0不写行不行？4.出示例6(2)，引导学生自己分析题中的已知条件和问题，然后列出算式。

5.引导学生想一想商是几位数，尝试列竖式运算，讨论：除到被除数的十位时，十位上的1除以2不够商1如何办？6.组织学生观看例6中这两道题的商有什么共同的特点，引导学生自由交流并归纳商中间有0的除法的运算方法。

1.观看情境图，猎取数学信息。

2.分析题中的数量关系，列出算式：208÷2。

3.小组内交流，然后汇报：被除数十位上的0除以2这一步能够省略不写，但商十位上的0不能省略，它起到占位的作用。

4.独立分析题意，列出算式：216÷2。

人教版三年级数学下册 2.1.2两位数除以一位数的口算导学案

2.1.2 两位数除以一位数的口算导学案学习目标1、掌握一位数除两位数的口算方法。

2、了解一位数除两位数的口算除法的一般方法，并能正确的进行口算。

重点：掌握一位数除两位数的口算方法。

难点：口算方法要灵活多样。

一、自学释疑怎样快速口算一位数除两位数？二、合作探究探究点一、一位数除两位数的口算方法把66张彩色手工纸平均分给3 人，每人得到多少张？你知道了哪些信息？要求什么呢？要把66张彩色手工纸平均分成3份，求每份是多少。

列式：应该怎样算呢？小组讨论交流方法一：6沓平均分成3份，每份分了2沓；6张平均分成3份，每份2张；也就是66张彩色手工纸平均分成3份，每份分得了2沓零2张，就是22张。

方法二、6个十除以3是2个十，6个一除以3是2个一，2个十与2个一合起来就是22。

60÷3＝206÷3＝220＋2＝22探究点二、总结一位数除两位数的口算方法96÷3＝90÷3＝306÷3＝230＋2＝3246÷2＝40÷2＝206÷2＝320＋3＝23口算两位数除以一位数应注意什么？①要把分别除得的结果加起来。

②不能把十位和个位上的数弄混。

算一算，你发现了什么？30÷3= 33÷3=36÷3= 39÷3=发现：两位数除以一位数，可以看两位数十位和个位上的数中分别有几个这样的一位数，有几个一位数，就在相应的数位上写几。

课堂小结：1、利用数的组成来计算，把被除数看成若干个十、若干个一分别除以一位数，然后把两次除得的结果加起来。

2、两位数除以一位数，可以看两位数十位和个位上的数中分别有几个这样的一位数，有几个一位数，就在相应的数位上写几。

3、口算时注意不能把十位和个位上的数弄混。

我的收获___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。

新人教版小学三年级数学下册全册导学案有习题答案_教学设计

新人教版小学三年级数学下册全册导学案有习题答案_教学设计
3小数的大小比较
项目内容
1.在里填上“”“”或“=”。

10019995436548321843
2.填空。

1米2分米=()米1米2厘米=()米
1米12厘米=()米1分米9厘米=()米
3.读教材第93页例2。

(1)把它们都化成以厘米为单位的数,再比较大小。

0.8米=80厘米,1.2米=120厘米,1.1米=110厘米,0.9米=90厘米。

因为()厘米()厘米()厘米
()厘米,所以1.2米1.1米0.9米0.8米。

(2)借助米尺来比较。

比较时先找出各个数在米尺上的位置,然后根据右边的总比左边的大来进行大小比较。

第一名第二名第三名第四名
()()()()
4.比较小数的大小时,先比较()部分,()部分大的那个数就大,如果整数部分相同就比较()部分,小数部分第一位上的数大的那个数就(),如果第一位上数字相同就比较第二位上的数……直到比出大小为止。

1.在里填上“”“”或“=”。

0.20.020.150.510.350.4
0.08元0.11元 2.03分米1.94分米
温馨
提示知识准备:小数的相关知识。

学具准备:卷尺。

参考答案：
1.
2.1.2 1.02 1.120.19
3.(1)1201109080(2)1.1 1.2小刚小强小林小明
4.整数整数小数大
5.。

三年级数学导学案数图形等…….doc

数图形典型例题数一数下图中共有多少条线段?触类旁通数一数下图中共有多少个长方形?/ B C DF GK随机应变数一数下图中共有几个三角形。

熟能生巧1、数出下面的图形屮各有多少条线段。

A B C D E(> 条A B C D E F G( 〉条A. A2 A2 A；-A. A l0( )条2、数出下而的图形屮各有儿个三角形。

6.数一数下面的图形中各有多少个正方形。

7、数一数下面的图形川含有☆的长方形有多少个?3、5、数一数下面的图形中各有多少个长方形。

）个）个数一数下面的图形中各有儿个角。

( )个( )个( )个( )个二、线段图解一般应用题典型例题池塘边种了150棵柏树，种的杨树的棵数比柏树多45棵，种的柳树的棵数比杨树多32 棵。

池塘边柳树的棵数比柏树多多少棵？触类旁通学校图书室新添置了一批新书。

购买《数学故事》用去了397元，购买《童话故事》比《数学故事》多用掉了85元，购买《科学与发现》用掉的钱比购买《童话故事》少28元。

《科学与发现》比《数学故事》多用掉多少钱？随机应变高速公路修建队第一个月修路820米，第二个月比第一个月多修45米，第三个月又比笫二个月多修了45米。

三个月一共修路多少米？熟能生巧1、果园里有桃树若干棵，梨树的棵数比桃树多14棵，杏树的棵数比梨树多16棵。

果园里杏树的棵数比桃树多多少棵？2、甲班有图书84本，乙班图书的木数比甲班多36木，丙班的图书比乙班少12木。

丙班的图书比甲班多多少本？3、商店里有红气球68个，黄气球比红气球少9个，蓝气球比黄气球少5个。

商店里蓝气球比红气球少多少个？4、玩具专卖店这个月卖出自行车72辆，卖出的小汽车比自行车多6辆，卖出的摩托车比小汽车又多6辆。

这个商店这个月三种玩具一共卖出多少？5、服装店今天进了120套儿童服装，进的女装比儿童服装少18套，进的男装又比女装少18套。

服装店今天一共进了多少套服装？三、间隔问题(1)典型例题植树节到了，师生们在一长100米的路的一边每隔5米种一棵树，如果两端都各种一棵树，一共能种多少棵树？触类旁通国庆节在学校的走廊里从一端到另一端每隔2米放--盆花，共放了80盆花。

小学三年级数学两位数乘两位数的乘法导学案

一两位数乘两位数的乘法第1课时：两位数乘整十数的口算学习内容：P1页的单元主题图，P2页的例1、例2，课堂活动第1—2题及练习一的第1—4题。

学习目标：理解两位数乘整十数的乘法的算理，学会其口算方法，并能正确地进行相应的计算。

能从现实生活中提出数学问题，并解决问题。

学习重点：能够熟练掌握两位数乘整十数的口算方法，并能正确计算。

学习难点：理解两位数乘整十数的乘法的算理。

一、旧知回顾1、口算下面各题，并说一说你是怎样算的？8×50= 60×3= 40×7= 50×6=11×4= 41×2= 23×3= 4×22=2、10个十是（），36里面有（）个十和（）个一。

二、目标解读三、自主学习请看教材第1页的主题图及例1、例2的内容，思考下面的问题： 1.仔细观察主题图，说一说你获得了哪些数学信息，能提出什么数学问题？应该怎样列式？2.说一说生活中还有哪些地方需要用到两位数乘两位数的知识?四、合作探究，归纳展示探究一（两位数乘十的口算方法）1.仔细观察例1情境图，说一说你获得了哪些信息，要求体育馆A区有多少个座位，怎样列算式呢？2.思考48×10和以前学过的乘法算式有什么不同？请联系数的组成和两位数乘一位数的乘法等知识，想一想怎样口算48×10，并把自己的算法说给同桌听。

3.用你喜欢的算法来计算书上第2页例1的“算一算”，把结果写在书上。

然后请仔细观察这4道题（包括48×10），通过口算，你发现了什么？4.小组汇报展示，归纳小结。

两位数乘十的口算：两位数乘十，就是求这个两位数的10倍是多少，因此，只要在两位数的后面添一个0，就是应得的积。

探究二（两位数乘整十数的口算方法）1.观察例2的情境图，说一说你获得了哪些信息？可以提出什么数学问题？怎样列算式？2.结合情境图和例1的算法，想一想怎样口算25×30？赶快把你的想法和你的小伙伴商量商量吧！3.用你喜欢的算法来计算书上第2页例2的“算一算”,再说一说你是怎样算的？4.小组汇报展示，归纳小结。

小学三年级数学下册乘法估算33页导学案

主备人：审核人：学习时间：2014年月日小主人：
预习案
一、预习自学
1.预习书本33页。

2. 写出下面各数接近几十或几百。

29 ≈（） 37≈（） 62≈（） 991≈（）3.先估算再计算：
29×9= 614+296=
估计得数是（）估计得数是（）
探究案
一、探究：两位数乘两位数的估算方法
一头奶牛一天大约可挤奶29千克，小明家有42头奶牛，照这样计算，小明家的奶牛一天大约可挤奶多少千克？
1.列式：
【我会估算】
方法一：29比20大，42比40大，20×40=( )，估计这题的得数比( )大。

方法二：29比30小，42比50小，30×50=( )，估计这题的得数比( )小。

方法三：29≈30，42≈40，30×40=( )，估计这题的得数在( )左右。

用竖式计算：
2 9
×4 2
我发现：计算结果与估算结果最接近的是方法( )。

【针对性练习】估算：32×19≈ 45×21≈ 43×67≈
【我会小结】两位数乘两位数的估算方法，是把两个乘数分别看作与它们最接近的( )，估算结果会更准确一些。

二、达标检测：P33第1-2题。

三、拓展提升：P33第5题。

四、全课小结：
1.通过学习，我明白了:。

人教版三年级数学下册教案(全册)

人教版三年级数学下册教案(全册)教学目标本教案的目标是全面覆盖人教版三年级数学下册的内容，帮助学生掌握基本的数学概念和技能，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。

教学内容本教案按照教材的顺序，分为以下几个单元进行教学：1. 单位与长度2. 图形与面积3. 重量与容量4. 时间与温度5. 数据与图表6. 金钱与消费7. 运算与应用教学方法在教学过程中，我们将采用一系列简单直观的教学方法，以保证学生能够理解和掌握数学概念和技能。

以下是一些常用的教学方法：- 观察与实践：通过观察实际物体和场景，让学生直观地理解数学概念。

- 游戏与活动：通过游戏和活动的方式，激发学生的学习兴趣，让他们在实践中运用数学知识。

- 合作学习：鼓励学生之间的合作学习，培养他们的团队合作和沟通能力。

- 案例分析：引导学生通过分析实际案例，将数学知识应用到解决实际问题中。

教学评估为了评估学生的学习情况，我们将采用以下几种评估方式：- 课堂练习：通过课堂上的小练习，检查学生对基本概念和技能的掌握情况。

- 作业布置：每节课后布置适量的作业，让学生巩固所学知识。

- 测试与考试：定期进行测试和考试，全面评估学生的数学水平和能力。

教学资源为了支持教学活动，我们将准备以下教学资源：- 教科书和练习册：使用人教版三年级数学下册的教科书和练习册作为主要教材。

- 教具和实物：准备适当的教具和实物，辅助学生理解和掌握数学概念。

- 多媒体设备：利用多媒体设备展示图形、图表等内容，增加学习的趣味性和直观性。

教学计划以下是整个学期的教学计划安排：- 第一单元：单位与长度（4周）- 第二单元：图形与面积（3周）- 第三单元：重量与容量（3周）- 第四单元：时间与温度（2周）- 第五单元：数据与图表（3周）- 第六单元：金钱与消费（2周）- 第七单元：运算与应用（3周）总结通过本教案的实施，我们旨在为三年级学生提供系统、有效的数学教学，帮助他们打下坚实的数学基础，并培养他们的数学思维和解决问题的能力。

2016年人教版三年级下册数学全册导学案

人教版高中数学必修第三册全册WORD讲义《导学案》

人教课标版小学数学三年级下册全册导学案2

小学数学三年级下册全册导学案

2016年人教版三年级下册数学全册导学案

三年级下册数学导学案第二单元3用估算解决问题人教新课标

人教版三年级数学下册第一单元《学习看平面图(例 2)》学习任务单(导学案)及作业设计

人教版数学三年级下册：全册导学案

三年级下册数学导学案第八单元稍复杂的排列问题人教新课标

比例尺的应用全册导学案设计.docx

人教版三年级数学下册第2课时 对复式统计表的认识练习课(导学案)

三年级下册数学导学案第二单元商中间有0的除法人教新课标

人教版 三年级数学下册 2.1.2两位数除以一位数的口算 导学案

新人教版小学三年级数学下册全册导学案有习题答案_教学设计

三年级数学导学案数图形等…….doc

小学三年级数学两位数乘两位数的乘法导学案

小学三年级数学下册乘法估算33页导学案

人教版三年级数学下册教案(全册)

人教版三年级数学下册第2课时对复式统计表的认识练习课(导学案)

人教版三年级数学下册 2.1.2两位数除以一位数的口算导学案