必修4第一章第1-2节任意角、弧度制和任意角的三角函数-12

年 级 高一 学 科 数学版 本人教新课标A 版课程标题 必修4第一章第1－2节任意角、弧度制和任意角的三角函数编稿老师 王志国 一校 黄楠二校李秀卿审核吴华斌一、学习目标：1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

2、能够借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

3、理解同角三角函数的基本关系。

二、重点、难点：重点：1、了解弧度制，能进行弧度与角度的互化。

2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，同角三角函数的基本关系 难点：1、弧度的概念，用集合表示终边相同的角。

2、用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号，三角函数线。

三、考点分析：1、了解任意角的概念和弧度制。

2、理解弧度与角度的互化。

3、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切以及同角三角函数的基本关系式。

一、任意角1、任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两种方向，因此旋转所得到的角也有正负之分. 如果角的终边没有做任何旋转，则称该角为零角。

注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点。

2、正确理解直角坐标系中的角 象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角。

注意：终边落在坐标轴上的角叫轴线角，它不属于任何象限角。

3、终边相同的角：具有同一终边的角的集合。

与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣360,k k Z βα=+⋅︒∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝。

二、弧度制1、等于半径长的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角。

2、如果半径为r 的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =α。

3、弧度制和角度制可以相互转化： π=︒180rad/1801()5718rad π=︒≈︒，10.01745180rad rad π︒=≈。

三、任意角的三角函数1、三角函数的定义：设α是一个任意角，点()P x y ，是角α的终边与单位圆的交点，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan (0)yx xα=≠。

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

推广：设点()P x y ，是角α终边上的任意一点，它到坐标原点的距离OP r =，于是sin P P y r α==点的纵坐标点到原点的距离；P P xr α==点的横坐标点到原点的距离cos ；tan (0)P P yx x α==≠点的纵坐标点的横坐标。

2、三角函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据三角函数的定义和各象限内的点的坐标符号推出。

3、正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，因此称它们为三角函数线。

下图是各象限内三角函数线的情况：MP OM AT 、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

四、同角三角函数的基本关系根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数的一些基本关系式： 22sin cos 1αα+=；sin tan cos ααα=（当ππ2k α≠+，k ∈Z 时）。

知识点一：任意角和弧度制例1：设A ={小于︒90的角}，B ={第一象限的角}，则A B = （ ）A. {锐角}B. {小于︒90的角}C. {第一象限的角}D. 以上都不对解题过程：小于︒90的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角，所以A B 由锐角和终边在第一象限的负角组成，故上述A 、B 、C 都不对。

故选D 。

解题后的思考：小于︒90的角不都是锐角，它还包含有零角、负角，只有小于︒90的正角才是锐角。

例2：将下列各角化成()Z k k ∈+απ2，且π<α≤20的形式，并指出它们是第几象限角：（1）－1725°；（2）π364。

思路分析：先把 化成()Z k k ∈+⋅α360的形式，再用弧度制表示。

解答过程：（1）∵ ，∴ 与125π角的终边相同。

又∵125π是第一象限角，∴ 是第一象限角。

（2）∵πππ3420364+=，∴π364与π34角的终边相同。

又∵π34是第三象限角，∴π364是第三象限角。

()Z k k ∈+απ2πk 2而不是整数倍. 同时，α为弧度，不能写成() +πk 2的形式。

例3：若α是第一象限角，求3α是第几象限角。

思路分析：由于α是第一象限角，仅想到090α︒<<︒，从而得到0303α︒<<︒，得到3α为第一象限角是错误的。

解答过程：∵α是第一象限角，∴36036090,k k k Z α⋅︒<<⋅︒+︒∈， ∴36036030,333k kn Z α⋅︒<<⋅︒+︒∈。

当3k n =时，有36036030,3n n k Z α⋅︒<<⋅︒+︒∈，∴3α为第一象限角。

当31k n =+时，360120360150,3n n n Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，∴3α为第二象限角。

当32k n =+时，360240360270,3n n n Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，∴ 3α为第三象限角。

综上可知，3α为第一、二、三象限角。

解题后的思考：由α所在象限，确定nα所在象限的其他方法：可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1，2，3，4，直到将所有区域标完为止。

如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内，如图所示，若α在第一象限，则3α就在图中标号为1的区域内，即第一、二、三象限。

例4：已知角α、β的终边相同，那么αβ-的终边在（ ） A. x 轴的非负半轴上 B. y 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上 D. y 轴的非正半轴上思路分析：将角α、β按终边相同角的公式写出，然后作差α-β，对其研究即可作出判断。

解答过程：∵角α、β的终边相同，∴360,k k Z αβ=⋅︒+∈。

作差360360,k k k Z αβββ-=⋅︒+-=⋅︒∈， ∴α-β的终边在x 轴的非负半轴上。

故选A 。

解题后的思考：对于终边为x 轴的角的集合，终边为y 轴的角的集合，终边为坐标轴的角的集合，要记熟记牢。

例5：解答下列各题（1）已知扇形的周长为10cm ，面积为24cm ，求扇形圆心角的弧度数； （2）已知一扇形的圆心角为72°，半径等于20cm ，求扇形的面积。

思路分析：记准、记熟弧长公式、扇形面积公式是解题的关键。

解答过程：（1）设扇形圆心角的弧度数为θ()02θπ<<，弧长为l ，半径为r ，则210l r +=，①142lr =。

② 将①代入②得2540r r -+=，解得11r =，24r =。

当1r =时，()8l cm =，此时82rad rad θπ=>，舍去； 当4r =时，()2l cm =，此时2142rad rad θ==。

（2）设扇形的弧长为lcm ， ∵272721805ππ︒=⨯=， ∴22085l R παπ==⨯=()cm ，∴()2118208022S lR cm ππ==⨯⨯=。

解题后的思考：以上两个题是对弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用，公式简明，运算非常简便。

知识点二：任意角的三角函数例6：已知sin m α=()0,1m m ≠≠±，试用m 表示α的其他三角函数值。

思路分析：所给α的正弦值为字母m ，必须对m 进行讨论，以确定三角函数值的符号。

解答过程：由于0,1m m ≠≠±，∴所求三角函数均有意义。

∴22cos 1sin 1m αα=±-=±-（当α在第一、四象限时取正号，α在第二、三象限时取负号）。

22sin 1tan cos 1m m mααα-==±-。

（当α在第一、四象限时取正号，α在第二、三象限时取负号）。

解题后的思考：符号的正负与数值的正负不是一个概念，m -未必是负值，而在算术根前面，二者就统一起来了。

例7：已知1sin cos 52πθθθπ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求tan θ。

思路分析：本题考查三角函数式之间的转化能力，应熟练掌握三角函数的基本关系式。

解答过程：∵221sin cos ,sin cos 15θθθθ+=+=，∴＝2111212525⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 由韦达定理可知，sin ,cos θθ是方程21120525x x --=的两个根，则该方程的两根为,55-。

∵2πθπ<<，∴sin 0,cos 0θθ><。

于是43sin ,cos 55θθ==-，进而有sin 4tan cos 3θθθ==-。

解题后的思考：sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系：()2sin cos 12sin cos ,αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=-，三者知一，即可求其余两个。

例8：设22111sin sin sin sin sin sin 422αβαβαβ++=⋅++，求锐角α，β的值。

思路分析：经过适当的配方，将式子化为若干个平方和等于零，然后求出α与β的值来。

解答过程：式子两边同乘以2，再移项，得：()222211sin sin sin sin sin 2sin sin sin 044ααββααββ⎛⎫⎛⎫-++-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22211sin sin sin sin 022αβαβ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

∴1sin ,21sin ,2sin sin .αβαβ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∵α，β为锐角，∴6παβ==。

解题后的思考：由一个等式要确定两个变量的值一般是不可能的，若能确定，必定有隐含的条件可以利用，这就需要同学们仔细地去挖掘，该例是利用了非负数的和为零，则这些数都为零的性质进行求解的。

学好弧度制的关键在于理解好什么叫1弧度，掌握好角度与弧度的互化也可以帮助我们理解弧度制。

学好任意角的三角函数这一节的关键是掌握定义，三角函数符号、三角函数值以及同角的基本关系都是在定义的基础上推导出来的。

刚开始学时，同学们如果忘了三角函数符号、三角函数值以及同角的基本关系，建议大家由定义进行推导，这样比只看书记忆效果更好。

一、预习新知我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性。