第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数

2 2
13
13
13
13
因此 sin 2 2sin cos ( 3 13 ) 2 2 3 13 2 13 3 .
13 13 13 13
(2)由题设知 x 3，y m，
∴r2=|OP|2=（ r 3 m2 .
2 2 3 ） +m （O为原点），
4
2 2 2 2
3
3 2
2
2 3
3 2
π 0 __
1 __ 0 __

1 2
1 2
-1 ____
0 __
1 __
3
3
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）小于90°的角是锐角.( ) )
（2）锐角是第一象限角，反之亦然.(
（3）与45°角终边相同的角可表示为k×360°+45°，k∈Z或 2kπ +45°，k∈Z.( ) )
考向 3
三角函数的定义
【典例3】（1）（2013·安庆模拟）已知函数y=loga(x-1) +3(a>0且a≠1)的图像恒过点P，若角α 的终边经过点P，则 sin2α -2sin α cos α 的值等于( (A)
3 13
) (D) 5
13
(B)
5 13
(C) 3
13
（2）已知角α 的终边上一点P（ 3 ，m），m≠0,且
2
限，故选B.
(2)∵α是第一象限角，
k 2＜＜k 2 , k Z. 2
①k·4π＜2α＜k·4π+π,k∈Z, 即2k·2π＜2α＜2k·2π+π,k∈Z, ∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.
②k ＜ ＜k , k Z, 2 4 当k=2n(n∈Z)时, 2n＜ ＜2n , n Z, 2 4 ∴ 的终边在第一象限. 2
（2）公式：
角α 的弧度数公式
角度与弧度的换算
|α |=
l （弧长用l表示） r 180 ②1 rad=( )°
①1°= 180 rad
弧长公式
扇形面积公式
弧长l= r|α |
1 1 lr = r 2 | | S= 2 2
3.任意角的三角函数 （1）定义：在平面直角坐标系中，设角α 的终边与单位圆交
余弦线 正切线 _______和角α 的_______.
4.特殊角的三角函数值 角α 角α 的 弧度数 sin α cos α tan α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 0 0 __ 1 __ 0 __
6 1 2
3 2 3 3
150° 180°
5 6 1 2
3 2 3 3
【解析】选C.设扇形的弧长为l，半径为r,圆心角为α，则
S 1 1 r 2 4r 2 2, 解得r=1,故l=|α|r=4〓1=4,所以扇形周 2 2
长为2r+l=2〓1+4=6.
4.已知角α 终边上一点A(2,2)，则tan α =______.
【解析】tan y 2 1.
(A)第一象限角 (B)第二象限角
)
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选C.由sin θ＜0，则θ的终边在三、四象限，或y轴 负半轴.由tan θ＞0，则θ的终边在一、三象限，故θ是第三 象限角.
3.已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形 的周长为( (A)2 ) (B)4 (C)6 (D)8
12 9 3,
1 2 2 3
故弓形的面积为 12 9 3.
【拓展提升】弧度制应用的关注点
（1）弧度制下，弧长l=|α|·r，扇形面积 S 1 lr，此时α为
2 nr 2 此时n为角 nr 扇形面积 弧度.在角度制下，弧长 l S ， ， 360 180
度. （2）在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角 所在的三角形进行求解.
（2）已知角α的终边所在的直线方程时，可分两种情况先设
出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用
三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角， 也可直接写出角α的三角函数值.
【变式备选】已知角α 的终边在直线3x+4y=0上，求 sin α ,cos α ,tan α 的值.
x 2
答案：1
考向 1
终边相同的角的表示 )
2
【典例1】（1）若α 是第三象限的角，则π - 1 α 是(
(A)第一或第二象限的角
(C)第二或第三象限的角
(B)第一或第三象限的角
(D)第二或第四象限的角
2
（2）已知角α 是第一象限角，确定2α ， 的终边所在的象
限位置.
【思路点拨】(1)由α为第三象限角求得π- 1 α的范围，通过
第三章 三角函数、三角恒等变形、
解三角形
第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的 三角函数
1.角的有关概念
射线 象限角
旋转
正角 负角
零角
α +k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
单位长度 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心 rad 弧度 角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.
从而 sin
m r
2m m ， 4 2 2
r 3 m2 2 2，
于是3+m2=8，解得 m 5. 当 m 5 时，r 2 2，x 3，
3 6 15 cos ，tan ; 4 3 2 2 当 m 5 时， 2 2，x 3， r cos 3 6 15 ，tan . 4 3 2 2
(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角；
也可以根据α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限
或范围.
(3)与α终边相同的角的表达式中一定是k〓360°或k·2π，
两种单位不能混用.
【变式训练】若角α 与β 的终边在一条直线上，则α 与β 的关
系是________________.
（4）将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60°.( （5）终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
（6）点P（tan α ，cos α ）在第三象限，则角α 终边在第二 象限.( )
【解析】（1）错误.负角小于90°但它不是锐角. （2）错误.第一象限角不一定是锐角，如-350°是第一象限角， 但它不是锐角. （3）错误.不能表示成2kπ+45°,k∈Z，即角度和弧度不能混 用. （4）错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60°.
（2）已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最 大面积，最大面积是多少？ 【思路点拨】（1）将圆心角化为弧度，再利用弧度制下的弧 长、面积公式求解. （2）利用扇形周长得半径与弧长的关系，将面积化为关于半 径r的二次函数后求最值.
【规范解答】(1) 120 2 ，
2 l r 6 4， 3 1 1 S lr 4 6 12. 2 2 3
(2)由已知得l+2r=20，
1 1 S lr （20 2r）r 2 2
=10r-r2=-（r-5）2+25，
所以r=5时，面积有最大值，且Smax=25,
此时l=10，所以 l 10 （rad） 2 .
r 5
即当圆心角为2弧度时，面积有最大值25.
【互动探究】本例题（1）中若求扇形的弧所在的弓形面积， 又将如何求解？ 【解析】由题（1）解析得 S弓 S扇形 S 12 62 sin
【解析】当α，β的终边重合时，
β=α+k·2π,k∈Z.
当α，β的终边互为反向延长线时，
β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z.
答案：β=α+k·2π，k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z
考向 2
弧度制的应用
来自百度文库
【典例2】（1）已知扇形OAB的圆心角α 为120°，半径r=6，
求 AB 的长及扇形面积.
【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦|AB|的长为10.
(1)求弦|AB|所对的圆心角α 的大小.
(2)求角α 所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解析】(1)由⊙O的半径r=10=|AB|，知△AOB是等边三角形，
AOB 60 . 3 (2)由(1)可知 ，r 10， 3 10 ， ∴弧长l r 10 3 3 1 1 10 50 S扇形 lr 10 ， 2 2 3 3 1 10 3 1 10 3 而 S AOB | AB | 10 25 3, 2 2 2 2 50 S S扇形 S AOB 25 3. 3
sin 2m 求cos α ,tan α 的值. , 4
【思路点拨】（1）先确定点P的坐标，然后利用定义求出 sinα,cos α即可. （2）先由 sin 2m 并结合三角函数的定义建立关于参数
4
m的方程，求出m的值，再根据定义求cos α，tan α.
【规范解答】(1)选C.由题意知点P坐标为（2，3），故 所以 sin 3 3 13 ,cos 2 2 13 , r 2 3 13,
+2kπ ＜α ＜π +2kπ ，k∈Z} 2 +kπ ＜α ＜ 3π +kπ ，k∈Z} 4 4
(C){α |90°+k×180°＜α ＜180°+k×180°，k∈Z}
(D){α |
【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时
不成立，故选B.
2.已知sin θ ＜0，tan θ ＞0，那么角θ 是(
2
对k的奇偶性讨论可得解. (2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的范围， 最后确定终边所在的位置. 【规范解答】(1)选B.由 2k＜＜3 2k，k Z, 得 k＜1 ＜3 k，k Z，
2 2 2 4 故 k＜ 1 ＜ k, k Z. 4 2 2 当k为偶数时π- 1 α在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象 2 2
v u 于点P(u,v)，则sin α =__，cos α =__，tan α = v u 0）. （
u
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正 弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点 都是(1,0).
正弦线 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α 的_______，角α 的
【拓展提升】 1.三角函数定义的推广 在直角坐标系xOy中，设P(x, y)是角α终边上任意一点，且点
P到原点O的距离|PO|＝r，则 sin ＝ y ；cos ＝ x ；tan ＝ y .
r r x
2.定义法求三角函数值的两种情况
（1）已知角α终边上一点P的坐标时，可先求出点P到原点的
距离r，然后利用三角函数的定义的推广求解.
当k=2n+1(n∈Z)时,
＜ 2n 1 , n Z, 2 4 即 2n ＜ ＜2n 5 , n Z, 2 4 ∴ 的终边在第三象限. 2 综上可得 的终边在第一象限或第三象限. 2
2n 1 ＜
【拓展提升】强化对终边相同角的表示与应用 (1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k〓360°,k∈Z 的形式.
【互动探究】将本例题（2）中 “sin 2m ” 改为
4
3 ”， 如何求sin α ，cos α ？ 3 【解析】由已知得，tan m ， 3 又 tan 3 ， m 3 , 得m=-1， 3 3 3 “tan
P（ 3， 1）， r 2， 1 1 3 3 sin ，cos . 2 2 2 2
（5）正确.由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得.
(6)正确.由已知得tan α＜0，cos α＜0，所以α为第二象限 角. 答案：（1）〓 (6)√ （2）〓 （3）〓 （4）〓 (5)√
1.终边落在第二象限的角可表示为(
)
(A){α |90°+2kπ ＜α ＜180°+2kπ ，k∈Z} (B){α |