+平方差公式(一)
平方差公式_
= πR −πr
S大圆面积 − S小圆面积
r R
=π R − r = π (R + r)(R − r)
2 2
(
2
2
)
小结
1、因式分解的一个重要工 、 具————平方差公式 平方差公式 2、我们在进行因式分解时 、 应注意的问题
7.3 .1 平方差公式
a −b = (a + b)(a −b)
3 3 2
(
2
)
7.3
运用公式法
(a + b)(a −b) = a
2 2
7.3 .1 平方差公式
2
−b
2
a −b = (a + b)(a −b)
9x − 4y 2 2 = (3x) − (2y) = (3x +2y)(3x −2y)
2 2
a −b = (a + b)(a −b)
2 2
注：这里公式中的 都表示单项式。 a b 都表示单项式。
2 2
[
[
2
]
]
想一想： 如何把下式因式分解？ 想一想： 如何把下式因式分解？
a −a b
4
2 2
a −a b
4 2
2
解一：原式 解一：
= a a −b 2 = a (a + b)(a − b)
2 2
(
2
)
a −a b
4 2
2
解二：原式 解二：
2
= a(a + b) • a(a −b)
( ) − (ab) = (a + ab)(a − ab)
= [z + (x + y)][z − (x + y)]
平方差公式1
作业：作业本。
再 见！
； 学习英语的机构 ；
移而去,疆域实在是太大了,若是靠慢慢飞行赶路,那不知要飞多少年.在瞬移过程中,也遇到不少其他瞬移の善王级强者.虽然可能见不到对方真身,但能感应到气息和历量波动.靠近法辰王国国都の事候,鞠言和纪沄国尪停止了瞬移.由于到呐里,就不能继续施展瞬移了.两人前 方,是一面连通天地の光芒屏障,瞬移无法进入其中.呐光芒屏障,显然是法辰王国方面弄出来の,目の就是阻止像鞠言、纪沄国尪呐样の外来者继续向前瞬移.屏障の一个地点,有一支法辰王国の军队.人数并不很多,大概也就一千人左右,但里面赫然有拾分之一左右の人员,是善 王级强者.鞠言和纪沄国尪之所以认为那是法辰王国の军队,是由于呐些人身上穿着同样款式の铠甲,并且铠甲上有法辰王国の标志.两人向呐支法辰王国の军队走过去.事实上,有不少人都是向那个地点走去,而呐些人,几乎都是善王级の强者.“鞠言战申,呐些人应该是与俺们 一样,都是来自其他国度要参加战申排位赛の.”纪沄国尪对鞠言说道.“嗯,人真是不少.”鞠言点点头道.呐还只是两人一路所遇到の,战申排位赛尚未开始,在战申榜排位赛正式开始之前,会持续の有众多国家の人员前来参加.“两位来自哪里?”当鞠言和纪沄国尪接近后,一 名身穿法辰王国铠甲の善王来到两人面前问道.“俺是龙岩国国尪纪沄,呐位是龙岩国战申鞠言.俺们,是来参加战申榜排位赛の.”纪沄国尪出面,与对方交涉.纪沄国尪报出了自身和鞠言の身份,同事还告诉对方龙岩国在混元空间の坐标位置.那名铠甲善王拿出一个晶球,呐晶 球内有混元空间各个国家の详细信息.他在晶球内找到了龙岩国,鞠言看到,在此人操作之下,晶球内投放出一道影子,正是纪沄国尪の模样.“嗯,身份确认！法辰王国,欢迎二位の到来！”铠甲善王收起晶球,对纪沄国尪和鞠言战申躬了躬身,请两人进入光芒屏障.“法辰王国真 是厉害,他们似乎有混元空间所有国家の资料信息.”进入光幕之后,鞠言开口说道.“是啊,其他陆大王国同样有呐些信息の.他们の强大,不是俺们能够想象の.”纪沄国尪说道.“或许有一天,俺们龙岩国也能如此强大.”鞠言眯起眼睛说道.“那怎么可能……”纪沄国尪先是 否认,而后失笑说道：“有个期盼の目标也好.”“现在要做の,就是在战申榜上争取一个较高の排名.”鞠言又说道.“鞠言战申,有你参加战申榜排位赛,俺们龙岩国排名肯定不低.”纪沄国尪转目看向鞠言,继续说道：“俺们龙岩国,已经很多次没有参加战申榜排位赛 了.”“那些王国还有最强大の那一批尪国,他们の战申,应该都是混元无上级别の存在吧?”鞠言问纪沄国尪,面对混元无上之下,鞠言自是不会惧怕对方,可要是面对混元无上级别の强者,那鞠言怕也无能为历.如果自身在黑道则上,达到善王级,或许还能与混元无上层次の强者 斗一斗.只是,鞠言也不确定,自身在黑道则上の境界,哪个事候能够突破到善王级.可能很快就突破,也可能会再过个几千年几万年.“是の！在战申榜排位赛中,可能会遇到混元无上级别の强者.”纪沄国尪点了点头.福利色色漫画,各种言情!你懂の!(记得自备纸巾)长按复制 xlmanhua搜索>第二九伍思章专用场地理论上来说,任何参加战申榜排位赛の战申,都有可能遇到混元无上级别の存在,即便是第一场对战也是有概率遇到の.当然了,混元无上级别の存在毕竟是极少数,现在就考虑自身在排位赛中遇到混元无上就显得太早了.“不过,在前期の排 位赛中遇到混元无上可能性很低.任何一个举办战申榜排位赛の王国,作为比赛の主办方,他们都会想办法让混元无上级别の强者不出场得太早.呐其中也关系到巨大の利益.”纪沄国尪随即又说道.两人说话之中,来到了第二个身份验证点.之前两人在光芒屏障之外遇到の身份 验证点,只是第一道而已.进入第一道封锁,还有第二道.第二道身份验证点の验证过程与第一道基本上一样,那法辰王国の善王战士确认过纪沄国尪の信息后,便客气の请纪沄国尪和鞠言战申进入.不过呐一次,鞠言得到了一枚令牌,此令牌是参加战申榜排位赛の凭证.通过第二 道验证点后不久,鞠言和纪沄国尪就看到了一座横亘在眼前の城市.“呐就是法辰王国の国都?”鞠言凝视前方の城市,有些疑惑,由于他所看到の呐座城市,并不如想象中の大,规模上能够说太小了点.法辰王国呐样の混元最顶级国度,它の国都不是应该非常巨大吗?“鞠言战申, 俺们现在看到の并不是法辰王国国都,而是进行排位赛の场地.”纪沄国尪笑着解释.“排位赛场地?”鞠言睁了睁眼睛道：“战申榜排位赛场地,如此庞大?”前方明显就是一座城市,若说它是法辰王国の国都自然让人觉得小了一些,可若说呐城市只是用于战申榜排位赛の场地, 那无疑就太过巨大了一些.“嗯,在混元七大王国,都有呐样の场地,专门用于举办战申榜排位赛.”纪沄国尪点头,继续说道：“呐里,平事是没有多少人员居住の,只有在举行排位赛の事候,才会变得异常热闹.”“呐里,可不仅仅是参加排位赛の战申能够进入,法辰王国の民众, 也是能够进入の.所以每当有排位赛举办の事候,类似の场地就会非常の繁华热闹.”纪沄国尪对鞠言解释.“为何不将场地放在国都之中呢?”鞠言问道.“应该是怕引发混乱吧！战申榜排位赛
平方差与差平方公式及其应用
平方差与差平方公式及其应用在数学中，平方差与差平方公式是一种常见的数学公式，它们在代数运算、方程求解以及几何推导等方面都有广泛的应用。
本文将介绍平方差与差平方公式的定义、推导过程以及一些实际应用。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差可以展开为两个数的和与差的乘积。
设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a + b)(a - b)这个公式可以通过展开式来证明。
展开(a + b)(a - b)得到：a^2 - ab + ab - b^2可以看到，中间的两项-ab和ab相互抵消，最终结果为a^2 - b^2。
这就是平方差公式的推导过程。
平方差公式在代数运算中有着广泛的应用。
例如，在因式分解中，我们经常需要将一个二次多项式进行因式分解，而平方差公式可以帮助我们将其转化为两个一次多项式的乘积。
另外，在解方程的过程中，平方差公式也能够帮助我们简化计算，从而更快地得到解的结果。
二、差平方公式差平方公式与平方差公式相反，它表示两个数的差的平方可以展开为两个数的和与差的乘积。
设有两个数a和b，那么它们的差的平方可以表示为：(a - b)(a - b)同样地，我们可以通过展开式来证明这个公式。
展开(a - b)(a - b)得到：a^2 - ab - ab + b^2可以看到，中间的两项-ab和-ab相互抵消，最终结果为a^2 - 2ab + b^2。
这就是差平方公式的推导过程。
差平方公式同样在代数运算中有着广泛的应用。
它可以帮助我们进行因式分解，将一个二次多项式转化为两个一次多项式的乘积。
此外，在几何推导中，差平方公式也常常被用来计算距离、边长等问题。
三、应用举例下面我们通过一些具体的例子来展示平方差与差平方公式的应用。
例1：求解方程考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用平方差公式来求解。
将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0，得到x = 2或x = 3。
通过平方差公式，我们可以快速得到方程的解。
八年级数学平方差公式1
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2);
2) . (x+2y) (x-2y)
3). (t+4s)(-4s+t)
看谁做得最快最 正确！
4). (m² +2n² )(2n² - m² )
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此 法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49
1
2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （ D ）
D. - X² + y² ）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) B.
-( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D.
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
做一做
2、如图，在一块边长 为 acm 的正方形的四 角，各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩余 部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?
运用公式法——平方差公式(1)
(1) 1-25b2; (2) x2y2-1/4 ; (3) 4/9m2-0.01n2.
讲解之前让学生思考,后教师再给出规范解题过程,其中把多项式写成两数平方差这一步骤予以重点阐述,使学生充分认识到经过简单的变形后,具备“平方差”形式的多项式可以运用平方差公式分解.
3.能力测试
(2)运用提公因式法分解因式的步骤是什么?
(3)你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的?
2.合作探究
问题(1)平方差公式等式的左右两边在形式上有什么不同?从左到右的恒等变形叫什么?问题(ຫໍສະໝຸດ )这种因式分解是根据什么方法进行的?
问题(3)平方差公式的项、指数、符号有什么特点?
当学生思考并回答上述问题后,教师应适当指出:多项式的乘法公式的逆向(从右到左)的应用就是多项式因式分解公式,,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法.
运用公式法
教学内容
运用公式法
教学目标
1.理解平方差公式
2.会用平方差公式分解因式
3.培养学生逆向思维的意识.
教学重点
掌握公式的结构特征,将所给多项式进行因式分解.
教学难点
选择适当方法因式分解.
教学探究
平方差公式特点的辨析
教学方法
启发式
教学用具
小黑板
教学时数
一课时
教学过程
1.复习引入
(1)你能叙述多项式因式分解的定义吗?
(1)同类变式:
课本例3后练习第1、2、3题.
(2)思维迁移:
①两个连续奇数的平方差一定是( )
A . 16倍数; B . 8的倍数;
C . 12的倍数; D . 4的倍数.
平方差公式的交换律
平方差公式的交换律
平方差公式是数学中的一个基本公式，它描述了两个数的平方之差可以如何简化。
平方差公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)
交换律是数学中的一个基本性质，它表明在某些运算中，改变运算的顺序不会改变结果。
对于平方差公式，交换律意味着我们可以交换a a和b b的位置，而结果仍然成立。
具体来说，如果我们有a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)，那么交换a a 和b b的位置后，我们得到b^2 - a^2 = (b + a)(b - a)b2−a2=(b+a)(b−a)。
现在我们来验证这个交换律是否成立。
原始平方差公式为：Eq(a2 - b2, (a - b)(a + b))
交换a和b后的平方差公式为：Eq(-a2 + b2, (-a + b)(a + b))
交换律成立，因为交换a a和b b的位置后，平方差公式仍然成立。
第14讲平方差公式
第14讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。
这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。
2.平方差公式的推广：（1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab b a b -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式；③ 注意倒着用公式；④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。
【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？ 1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b a A 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。
例5.计算下列各题：（顺用公式）（1）()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算：（1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n -4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-）：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。
平方差公式的特征
平方差公式的特征
平方差公式是数学中的一个基本公式，用于计算两个数的平方差。
它的表达式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
平方差公式的特征如下：
1. 左边是两个数的平方差，即一个数的平方减去另一个数的平方。
2. 右边是两个数的和乘以这两个数的差。
3. 公式中的a和b可以是任意实数。
平方差公式的应用非常广泛，可以用于简化数学表达式、求解方程、计算面积等。
例如，计算一个长方形的面积可以使用平方差公式，即长方形的面积等于长和宽的积，即A=lw。
如果长和宽分别为a和b，则有A=a\times b，可以简化为A=(a+b)(a-b)。
平方差公式是数学中非常重要的一个公式，它具有简单、易用、广泛适用等特点，在数学和实际应用中都有广泛的应用。
平方差公式及完全平方公式
平方差公式及完全平方公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2在这个公式中，(a+b)和(a-b)被称为差的产品。
平方差公式可以证明如下：设c=a+b，d=a-b，则可以将平方差公式表示为：c*d=(c+d)(c-d)将a+b和a-b分别代入c和d的等式中，则得到：c=a+bd=a-b代入后，等式变为：(a+b)(a-b)=(a+b+a-b)(a+b-a+b)通过合并和简化可得：(a + b)(a - b) = a^2 + ab - ab - b^2由于ab和-ab可以相互抵消，因此最终结果为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这就是平方差公式的推导过程。
平方差公式在数学中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算和化简代数式。
完全平方公式是指一个二次方程的解可以表示为两个平方项的和或差。
设有二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a在这个公式中，b^2 - 4ac被称为判别式。
完全平方公式可以根据判别式的值分为三种情况：1.判别式大于0：这种情况下，二次方程有两个不相等的实根。
例如，当a=1，b=5，c=6时，判别式为25-24=1，有两个不同的解x1=-3和x2=-22.判别式等于0：这种情况下，二次方程有两个相等的实根。
例如，当a=1，b=4，c=4时，判别式为16-16=0，有一个解x=-23.判别式小于0：这种情况下，二次方程没有实根，解为虚数。
例如，当a=1，b=2，c=3时，判别式为4-12=-8，在实数范围内没有解。
完全平方公式可以通过配方法来推导。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以将其变形为：a(x^2+(b/a)x+c/a)=0为了让这个方程成为一个完全平方，需要找到一个用以平方的表达式。
将二次项的系数的一半平方加到方程中，即。
(b/2a)^2，结果是(b^2/4a^2)。
平方差公式
平方差公式首先，让我们来看一下平方差公式的表达式。
给定两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这个公式的含义是，两个数的平方和等于它们的和与差的乘积。
具体来说，左边的(a+b)*(a-b)表示两个括号内的内容相乘，而右边的a^2-b^2则表示两个数的平方差。
为了更加直观地理解平方差公式，我们可以用一个例子来说明。
假设a=5，b=3、根据平方差公式，我们可以计算：(5+3)*(5-3)=8*2=16另一方面，我们可以直接计算a和b的平方差：5^2-3^2=25-9=16结果是相同的，这验证了平方差公式的准确性。
1.求两个数的平方和：平方差公式可以帮助我们计算两个数的平方和，即将公式变形为：(a+b)=(a^2+b^2)/(a-b)通过这个公式，我们可以将两个数的平方和转化为它们的差和商的形式，从而简化计算过程。
2. 分解二次多项式：平方差公式在分解二次多项式中也经常被使用。
对于一个二次多项式ax^2 + bx + c，如果我们找到两个数p和q，使得它们的和等于b，而积等于ac，那么我们可以使用平方差公式来分解这个二次多项式。
具体来说，我们可以将二次多项式分解为(x + p)(x + q)的形式。
3.解方程：平方差公式也可以帮助我们解决一些方程。
例如，当我们需要解决形如x^2-k=0的方程时，可以利用平方差公式将它分解为(x+√k)(x-√k)的形式，从而得到解x=±√k。
总结起来，平方差公式在代数中具有广泛的应用。
它可以用于计算两个数的平方和、分解二次多项式和解方程等问题。
通过运用平方差公式，我们能够简化计算，从而更高效地解决代数问题。
希望本文对你理解平方差公式有所帮助！。
平方差公式所有公式
平方差公式所有公式1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是最基本的平方差公式，也被称为差平方公式。
它告诉我们，如果要计算一个数的平方与另一个数的平方之差，可以将这两个数的和和差相乘，即可得到平方差的结果。
2. (a + b)² = a² + 2ab + b²这是平方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的平方，可以将这两个数的平方和它们的乘积相加。
3. (a - b)² = a² - 2ab + b²这是平方差公式的另一种形式，它告诉我们，如果要计算两个数的差的平方，可以将这两个数的平方减去它们的乘积的两倍。
4. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的立方与另一个数的立方之差，可以将这两个数的差和它们的平方和乘积相乘。
5. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的立方，可以将这两个数的和和它们的平方差相乘。
6.a⁴-b⁴=(a²-b²)(a²+b²)这是四次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的四次方与另一个数的四次方之差，可以将这两个数的平方差和它们的平方和相乘。
7.a⁴+b⁴=(a²+b²)(a²-b²)这是四次方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的四次方，可以将这两个数的平方和和它们的平方差相乘。
8. a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)这是五次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的五次方与另一个数的五次方之差，可以将这两个数的差和它们的四次方和相乘。
1.7.1平方差公式(1)[1]
![1.7.1平方差公式(1)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/80f316f2f90f76c661371a22.png)
(−4a−1)(4a−1) 1)(4a (4a 1 = −(4a+1) (4a−1) −(4a (4a ) = −[(4a)2 −1 ] 16a = 1−16a2。
你提出的“−”号、添括号； 你提出的“ 添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“ 和符号相反的“ 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
学一学
例题解析
例1 利用平方差公式计算： 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n). (5+ )(5− )(x )(−
第一数a 第一数a 第二数b 第二数b 平方 平方
解: (1) (5+6x )(5−6x)= 52 − ( 6x)2 (5+ )(5− 5 5 36x =25 − 36x2 ; (2) (x +2y) (x−2y) 2y (x 2y = x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n)(−m−n ) −m )(− = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
(不能) (第一个数不完全一样 ) 不能) (不能) 不能) (能) (2b − a)(2b+a) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (能) (−2x − y)(−2x +y).
2 2 2
4) (1 + 3 x )( − 1 − 3 x ) = 1 − (3 x ) 2 = 1 − 9 x 2 错
(1+ 3x)(−1−3x) = −1−3x −3x −3x ⋅ 3x = −9x − 6x −1
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。
本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。
具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。
平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。
例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。
根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。
进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。
平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。
通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。
具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。
完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。
以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。
我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。
这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。
例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。
根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。
因此，方程的解为 x = -3。
总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。
我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。
熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是数学中一条重要的公式，也是学习平方差的基础。
它可以帮助我们快速计算两个数的平方差，而不必一个一个去计算。
完全平方公式是数学中求解一元二次方程的方法之一，它可以帮助我们快速找到方程的解。
下面将详细介绍这两个公式。
一、平方差公式设两个数分别为a和b，它们的平方差可以表示为(a+b)(a-b)。
我们可以通过拆分(a+b)(a-b)来计算平方差。
拆分后得到的是一个差式，可以简化计算。
例如，计算25的平方差时，我们可以使用平方差公式：(25+5)(25-5)=30×20=600。
同样地，计算8的平方差时，使用平方差公式：(8+2)(8-2)=10×6=60。
通过平方差公式，我们可以快速准确地计算两个数的平方差。
二、完全平方公式完全平方公式是一种用来求解一元二次方程的方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
完全平方公式是由求解一元二次方程的根的公式推导而来。
若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实数根，那么根可以表示为一个平方数。
利用完全平方公式，可以直接找到方程的解。
完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)利用完全平方公式，我们可以求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2-2x-3=0，我们可以直接套用完全平方公式：x=(-(-2)±√((-2)^2-4×1×(-3)))/(2×1)化简得：x=(2±√(4+12))/2即：x=(2±√16)/2化简得：x=(2±4)/2分别计算得到两个根：x1=(2+4)/2=6/2=3x2=(2-4)/2=-2/2=-1通过完全平方公式，我们可以直接得到方程的根。
总结：平方差公式和完全平方公式是数学中重要的计算工具，它们可以帮助我们快速计算平方差和求解一元二次方程。
平方差公式的推导与应用(1)
解答技巧
同样识别出这是一个平方 差的形式，其中$a = 4y$ ，$b = z$。然后应用平 方差公式进行因式分解， 得到$(4y + z)(4y - z)$。
注意事项及易错点提示
注意观察多项式的形式
在应用平方差公式之前，需要仔细观察多项式的形式，确保它符合平 方差的形式。
注意因式分解的彻底性
在得到因式分解结果后，需要检查是否分解彻底，即是否还可以进一 步分解。
平方差公式的推导与应用
汇报人：XX 20XX-01-31
目 录
• 平方差公式基本概念 • 平方差公式推导过程 • 平方差公式在因式分解中应用 • 平方差公式在二次根式化简中应用 • 平方差公式在解一元二次方程中应用 • 平方差公式在数列求和等数学问题中应用
01
平方差公式基本概念
平方差公式定义及表示方法
平方差公式与完全平方公式的区别
平方差公式表示两个数的平方差，可以拆分为两个因式；而完全平方公式是一个二项式的平方，表示为一个三项 式。
平方差公式重要性及应用领域
平方差公式的重要性
平方差公式是数学中的基础公式之一，对于简化计算、因式分解、解方程等方 面都有重要作用。
平方差公式的应用领域
平方差公式在代数、几何、三角等领域都有广泛应用，如计算面积、体积、求 解一元二次方程等。同时，在物理、化学、工程等学科中也会涉及到平方差公 式的应用。
两种方法比较与联系
代数法与几何法的比较
代数法注重公式的推导和计算，几何法注重图形的变换和理解。两种方法各有优劣，互 为补充。
代数法与几何法的联系
代数法和几何法都是数学中常用的方法，它们在某些情况下可以相互转化。例如，在平 方差公式的推导中，代数法和几何法都得到了相同的结果，体现了数学的内在联系和一
三项平方差公式(一)
三项平方差公式(一)三项平方差公式1. 三项平方差公式的定义三项平方差公式是指用于计算三个数的平方和与平方差之间的关系的一组公式。
2. 三项平方差公式的基本形式三项平方差公式的基本形式如下：(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc3. 三项平方差公式的衍生公式三项平方差公式有许多衍生形式，下面列举了一些常见的衍生公式：平方差公式平方差公式是三项平方差公式的一个特殊情况，即当两个数的和为0时，有：(a - b)² = a² + b² - 2ab这个公式常用于计算两个数的平方差。
例子：设a = 5，b = 3，根据平方差公式，可以计算出：(5 - 3)² = 5² + 3² - 2 × 5 × 3 = 4所以，(5 - 3)²的值等于4。
平方和公式平方和公式是三项平方差公式的另一个特殊情况，即当两个数相等时，有：(a + b)² = a² + b² + 2ab这个公式常用于计算两个数的平方和。
例子：设a = 2，b = 2，根据平方和公式，可以计算出：(2 + 2)² = 2² + 2² + 2 × 2 × 2 = 16所以，(2 + 2)²的值等于16。
平方差和公式平方差和公式是三项平方差公式的另一个特殊情况，即当两个数的差为0时，有：(a + b)² = a² + b² - 2ab这个公式常用于计算两个数的平方差和。
例子：设a = 4，b = 4，根据平方差和公式，可以计算出：(4 + 4)² = 4² + 4² - 2 × 4 × 4 = 64所以，(4 + 4)²的值等于64。
第四讲 平方差公式
第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。
这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。
2.平方差公式的推广： （1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab bab -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。
【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b aA 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。
例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）()()()()()224488a b a b a bab a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算： （1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-） ：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。
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1.5 平方差公式（一）
【学习目标】
1．会用多项式的乘法进行运算，能在特例中发现平方差公式的的运算规律，并通过类比推广到一般情况，有条理的表达运算规律.
2．能归纳出平方差公式并用字母表达，知道什么运算适用该公式。
3．会正确运用平方差公式进行相关计算，并能解决一些实际问题.
【评价活动方案】
1．在问题引入和运算性质的推导环节，关注学生能否正确多项式的乘法进行运算，能否发现其中的运算规律，能否主动向一般情况推广，能否有条理的表达运算过程和发现平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性，以评价目标1。
2．让学生通过特例平方差公式，关注学生表达的正确性和条理性，能否用字母表达，达到正用公式的水平，形成正向产生式：
“﹙□+△﹚﹙□– △﹚”→“□² – △²”.
并通过知识探究环节的练习巩固评价目标2。
3．在例题后设计找一找、想一想、试一试、练一练、秀一秀，关注学生解答的正确率，以评价目标3。
【教学活动设计】
（一）引入：速算王的绝招
在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：
1．2119?⨯= 2. 10397?⨯=
主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991。
”其速度之快，简直就是脱口而出。
同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？
（二）观察下列各式,它们有什么特征? 你能用字母把这个特征表示出来吗？
(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a)
(3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z)
【做一做】：计算下列各式,并请你观察它们的运算结果,你发现了什么规律? 把你的发现和同学进行交流,能用字母把这个规律表示出来吗？
(1) (x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z) 运算结果的特征: a 2-b 2
【猜一猜】：观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？能不能大胆猜测得出一
个一般性的结论？你能将猜测的这个结论写成公式吗?
请你尝试按下列步骤动手操作：
（1）现有两个数，不知其大小，请你随意用两个字母来表示这两个数；
（2）请把这两个数的和与差分别表示出来。
这两个式子是多项式还是单项式？
（3）请将所得的和与差相乘并化简；
（4）请思考：两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么？（让学生用自己的语言描述出来）
（三）抽象概括
教师同时叫三个学生板演不同的操作演算形式：
22()()x y x y x y +-=-；
22()()m n m n m n +-=-；
22()()c d c d c d +-=-.
三位同学所用的字母，所得的结果完全不同！请问：他们的结果真的没有一点共同之处吗？引导学生横向比较三个结果，抽象概括出它们的共同结构：“两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方之差.”
它就是整式乘法的一个乘法公式——平方差公式：
（四）公式运用
例1 运用平方差公式计算： （1）()()p q p q +-；（2）(32)(32)x x +-；
（3）11()()22
x y x y -+--；（4）()()b ac ac b +-. 分析：引导学生识别出它们都是两个数的和与这两个数的差的乘积的形式。
练习：
1.找一找：寻找a ，b
现在我们已经知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么下一步的关键是要解决什么问题？运算的结果是a 2-b 2，要套用公式，必须要知道谁是a ，谁是b 。
2.想一想：判断正误，错误的请说明错在什么地方以及如何改正。
(1) (-a-b)(a-b)=-a 2+b 2 (2) (-a+b)(a-b)=-a 2-b 2
(3) (2x+3)( 3-2x)=2x 2-9 (4) (y 3+z 3)( y 3-z 3)= y 9-z
9 (5) (x 2+y)( x-y 2)=x 3-y
3 3. 试一试：思维拓展
在(-3a+2b)( )的括号内，填入怎样的式子，才能用平方差公式计算。
4.练一练：运用平方差公式计算：
（1）(3)(3)a b a b +-；
（2）(32)(32)a a +-+；
（3）5149⨯；
（4）(-2a+b)(-2a-b)
5.秀一秀：学生编题(可以运用平方差公式进行计算的题目)
（五）人人有总结、个个有收获
请谈谈这节课你有什么收获？
1．什么是平方差公式？平方差公式的本质？
2．运用公式要注意什么？
(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；
(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。
3. 速算王的秘密你知道了吗？
（六）作业：
1.P21知识技能: 第 1题 P21联系拓广: 第1题
2.（选作）课后问题探究：你还能利用几何拼图给出平方差公式一个几何解释吗?。