2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.8曲线与方程课件理新人教A版
高考数学一轮复习第9章解析几何1直线的倾斜角与斜率直线的方程课件新人教A版
1
-1
e
e + +2
e
0 时等号成立 ,所以 e + +2≥4,故 y'=
x
1
1
e
,即 =
1
≥- (当且仅当 x=0 时
4
等号成立).所以当 x=0 时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的
坐标为 0,
1
2
1
1
,切线的方程为 y- =- (x-0),即 x+4y-2=0.该切线在 x 轴上
解析: (1)当 cos θ=0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为 ;
1
当 cos θ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=-cos .
∵cos θ∈[-1,1],且 cos θ≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即 tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
π π
又 α∈[0,π),∴α∈ 4 , 2 ∪
所以 M 0,-
5
2
,N(1,0),
所以直线 MN 的方程为1 + 5=1,
-2
即 5x-2y-5=0.
.
-21考点1
考点2
考点3
解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程
形式,并注意各种形式的适用条件.
2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.
-22考点1
考点2
考点3
π 3π
2
,
4
.
综上可知,倾斜角 α 的取值范围是
π 3π
4
,
4
,故选 C.
2
-15考点1
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程课件 理 新人教A版
2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点，将其转化为x，y的方程式， 并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
3.两曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y) F1（x，y）＝0， ＝0，则C1、C2的交点坐标即为方程组___F_2_（__x，__y_）__＝__0___ 的实数解. 若此方程组__无__解____，则两曲线无交点.
(2)证明 由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x 中， 得 k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中 Δ＝－32kb＋64>0. 由根与系数的关系得，x1＋x2＝8－k22 bk，① x1x2＝bk22，②
【训练 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(a＞b＞0)为 动点，F1，F2 分别为椭圆ax22＋by22＝1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的 点，满足A→M·B→M＝－2，求点 M 的轨迹方程.
2.已知点 F14，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点.若过
点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，
则点 M 的轨迹是( )
A.双曲线
B.椭圆 C.圆 D.抛物线
解析 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M
的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线. 答案 D
高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程课件理
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
(2)设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0， ∴x0＋y20＝0.
由
得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴yx＝－2xy0＝0，－2x0，
x0＝－x， 即y0＝12y，
∴－x＋y42＝0，即 y2＝4x. 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.
解 ： 由 题 知 |CA| ＋ |CB| ＝ |CP| ＋ |CQ| ＋ |AP| ＋ |BQ| ＝ 2|CP| ＋ |AB|＝4＞|AB|，
所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)．
设曲线 M：xa22＋by22＝1(a＞b＞0，y≠0)， 则 a2＝4，b2＝a2－|A2B|2＝3， 所以曲线 M：x42＋y32＝1(y≠0)为所求．
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程课件理新人教版
＝－2，求点M的轨迹方程. 解答 几何画板展示
题型三 相关点法求轨迹方程 例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2： x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线， 切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－ 2时， 切线MA的斜率为－1 .
思维升华
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数 方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、 化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐 标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯 粹性和完备性.
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左，右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
3.(2016·南昌模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足
∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是 答案 解析
A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
几何画板展示
B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
2.求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x,y
所求方程
知识拓展
1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组 成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线 就没有交点.
高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第8节 曲线与方程课件 理
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2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
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考点二 相关点（代入）法求轨迹方程 【例 2】 (2019 届安阳调研)如图所示，动圆 C1：x2＋y2＝t2， 1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2＝1 相交于 A，B，C，D 四点．点 A1，A2 分别为椭圆 C2 的左、右顶点，求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨 迹方程．
②
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由①②相乘得 y2＝x－02－y029(x2－9)．
③
又点 A(x0，y0)在椭圆 C2 上，
故 y20＝1－x902.④
将④代入③得x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点 M 的轨迹方程为x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
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2
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课 堂 ·考 点 突 破
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考点 直接法求轨迹方程
|题组突破|
1．已知点 F(0，1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，
垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( )
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。
2018版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文新人教A版
又令y=0,得x2+Dx+F=0.③ 设x1,x2是方程③的两根, 由|x1-x2|=6可得D2-4F=36,④ 由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
-13考点1 考点2 考点3
解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆 的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定 圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上; ②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2) 代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
(x-2)2+(y-1)2=4
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答案
-8.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐 标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 .
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设C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即 x2+y2=2. 考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).
-10考点1 考点2 考点3
考点 1
求圆的方程
例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 (2)经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 . 思考求圆的方程有哪些常见方法?
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[点石成金]
1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线
定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求 出方程． 2．定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方 程是几何形式的情况． 利用条件把待定系数求出来， 使问题得解.
∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.③ 将①③代入②，得 7m2＋16km＋4k2＝0. m 2 m ∴ ＝－7或 ＝－2，且都满足 Δ＞0. k k 由于直线 l：y＝kx＋m 与 x
m 轴的交点为 － ，0 ， k
m 当 ＝－2 时，直线 l 恒过定点(2,0)，不合题意，舍去． k m 2 ∴ ＝－7， k ∴直线
[典题 2]
已知动圆 C 与圆 C1：(x＋1)2＋y2＝1 相外切，与
圆 C2：(x－1)2＋y2＝9 相内切，设动圆圆心 C 的轨迹为 T，且轨 迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (1)求轨迹 T 的方程； (2)已知直线 l：y＝kx＋m 与轨迹 T 相交于 M，N 两点(M，N 不在 x 轴上)． 若以 MN 为直径的圆过点 A， 求证： 直线 l 过定点， 并求出该定点的坐标．
[解]
(1)设动圆 C 的半径为 r，则
|CC1 |＝r＋1， |CC2 |＝3－ r， ∴|CC1 |＋ |CC2 |＝4. ∴点 C 的轨迹是以 C1，C2 为焦点(c＝1)，长轴长为 2a＝4 的椭圆， x2 y2 ∴点 C 的轨迹 T 的方程是 ＋ ＝1. 4 3
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将 y＝kx＋m 代入椭圆方程，得 (4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. －8km 4m2－12 ∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ .① 4k ＋3 4k2＋3 ∵以 MN 为直径的圆过点 A，点 A 的坐标为(2,0)， → → ∴AM· AN＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.② ∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，
必考部分
第九章
解析几何
§9.8 曲线与方程
考纲展示► 了解方程的曲线与曲线的方程迹方程
1.曲线与方程 一般地， 在直角坐标系中， 如果某曲线 C 上的点与一个二元 方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：
这个方程 (1)曲线上点的坐标都是____________ 的解；
曲线上 的点． (2)以这个方程的解为坐标的点都是________
那么， 这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线． 曲线可以看作是符合某条件的点的集合， 也可看作是适合某 种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．
2．求曲线方程的基本步骤
[典题 1] 的长为 8.
(1)已知动圆过定点 A(4,0)， 且在 y 轴上截得弦 MN
(2)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 1 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于－ .求动点 P 3 的轨迹方程． [解] 因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称， 所以点 B 的
坐标为(1，－1)． 设点 P 的坐标为(x，y)， y－1 y＋1 1 由题意得 · ＝－ ， 3 x＋1 x－1 化简得 x2＋3y2＝4(x≠± 1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠± 1)．
①求动圆圆心的轨迹 C 的方程； ②已知点 B(－1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于 不同的两点 P，Q，若 x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点．
①[解]
如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，
由题意，|O1A|＝ |O1M |， 当 O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点． ∴|O1M|＝ 又|O1A|＝ x2＋42， x－42＋y2，
∴ x－42＋y2＝ x2＋42， 化简得 y2＝8x(x≠0)． 当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足 方程 y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x.
②[证明]
由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
如图，已知△ABC 的两顶点坐标 A(－1,0)，B(1,0)，圆 E 是 △ABC 的内切圆，在边 AC，BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R， |CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)， 动点 C 的轨迹为 曲线 M.求曲线 M 的方程．
解： 由题知|CA |＋ |CB |＝ |CP|＋ |CQ |＋ |AP|＋ |BQ |＝2|CP|＋ |AB | ＝4＞|AB |， 所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)． x2 y2 设曲线 M： 2＋ 2＝1(a＞b＞0，y≠0)， a b 则 a ＝4，b ＝a
将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x，得 k2x2＋(2kb－8)x＋b2＝0. 其中 Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系，得 8－2kb x1＋x2＝ ，① k2 b2 x1x2＝ 2 ，② k 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线， y1 y2 所以 ＝－ ， x1＋1 x2＋1
即 y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③ 将①②代入③，得 2kb2＋(k＋b)(8－2kb)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此时 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即直线 l 过定点(1,0)．
[点石成金]
直接法求曲线方程时，最关键的就是把几何条
件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步 骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最 后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一 步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
考点 2
定义法求轨迹方程