2-3-3 直线与平面垂直的性质(共40张PPT)

如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面， 过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证： (1)AE⊥SB；(2)AG⊥SD.
[分析] 要证AE⊥SB，可先假定AE⊥SB已经成立，结 合条件SC⊥平面AEFG可知AE⊥平面SBC，从而AE⊥BC， 又BC⊥AB，故BC⊥平面SAB，这样实际证明时，应先从已 知条件SA⊥平面ABCD入手证得BC⊥平面SAB，后证AE⊥ 平面SBC.
一、选择题 1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内
() A．不存在与l垂直的直线 B．存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条与l垂直的直线 D．任意一条都与l垂直 [答案] C
[解析] 若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直； 若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，
∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无 数条直线与l垂直；
本节学习重点：直线与平面垂直的性质． 本节学习难点：线线垂直与面面垂直的转化．
直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表：
类别 方法
用判定定理
判定 用推论
用定，b⊂α c∩b＝P a⊥c，a⊥b
a∥b b⊥α
a⊥α
b是α内任一条 直线 a⊥b
类别 方法
图形
条件 结论
性质定理
性质
[例5] 已知直线a∥平面α，b⊂α，c⊂α，a∥b∥c，a 到平面α的距离为4，a与b距离为5，b与c距离为6，则a与c 的距离为
()
[错解] 如图，在直线a上取点A，过A作直线 AB⊥α，垂足为B，作直线BD⊥b于D，交c于E，由条件 知，AB＝4，∵BD⊥b，由AB⊥α知AB⊥b，∴b⊥平面 ABD，∴b⊥AD，∴AD＝5，∵b∥c，BD⊥b， ∴BD⊥c，∴DE＝6，在Rt△ABD中得BD＝3，∴BE＝ 9，∴AE＝ AB2＋BE2＝ 97.
[例4] 如图，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面 ABD上一点．在面ABD内过点P画一条与棱AC垂直的线段， 应怎样画？说明你的理由．
[解析] 取BD中点E， ∵几何体为正三棱锥， ∴AE⊥BD，CE⊥BD， ∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC. 故在平面ABD内，欲过P点作与棱AC垂直的线段，只 须过P作MN∥BD分别交AB、AD于M、N，则线段MN⊥AC， MN即所求．
[例3] 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F 分别为AB、C1D1的中点，求直线A1B1和平面A1ECF所成的 角的正切．
[分析] 求线面角的关键是找出直线在平面上的射影， 为此由直线A1B1上一点向平面A1ECF作垂线，但垂足在什 么位置呢？故欲作垂线，可先作垂面．
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ∵FC1綊EB，∴EF∥C1B. 又∵C1B⊥B1C.C1B⊥A1B1，∴C1B⊥平面A1B1C， ∴EF⊥平面A1B1C， ∴平面A1B1C⊥平面A1ECF.交线为A1C. 作B1H⊥A1C，则B1H⊥平面A1CF. ∴A1C为A1B1在平面A1ECF上的射影． ∴∠B1A1C即为直线A1B1 和平面A1ECF所成的角．
1°当b、c在点B同侧时，若在靠近b的一侧，如原解 答，a与c距离为 97，易知不可能在靠近c的一侧．
2°当b、c在点B的异侧时，如图，过B作直线DE⊥b交 b于D，交c于E，易证AD⊥b，AE⊥c，∴AD＝5，DE＝ 6，又AB＝4，∴DB＝3，∴BE＝3，∴AE＝5.
综上可知a与c的距离为5或 97，故选D.
(1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．
[解析] (1)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性 质知，AA1⊥平面ABC.
又DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA1. 而DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1， 所以DE⊥平面ACC1A1. 又DE⊂平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1.
[例2] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在 直 线 BD 、 B1C 上 ， 且 MN⊥BD ， MN⊥B1C ， 求 证 ： MN∥AC1.
[分析] 已知MN⊥BD，MN⊥B1C，而B1C与BD是异 面直线，可考虑先平移其中一条 (B1C∥A1D)得到线面垂 直．结合正方体中存在众多垂直关系，问题实质是已知线
∵b⊥平面ABD，∴c⊥平面ABD，∵AE⊂平面 ABD，
∴c⊥AE，∴a⊥AE，∴a与c距离为 97，故选B.
[辨析] 考虑问题不周到，由题设的条件知，当在直 线a上取点A，作AB⊥α时，垂足B可能在b、c之间，也可能 在两侧，故应讨论．
[正解] 在直线a上取点A，过A作直线AB⊥α，垂足 为B，则平行线b、c可能在点B的同侧，也可能在两侧．
面垂直关系证线线平行可考虑用性质，如果能推得AC1⊥平 面A1BD，问题获解．由BD⊥AC，BD⊥C1C可得，BD⊥平 面ACC1，∴BD⊥AC1.同理A1D⊥AC1.
[解析] 连接A1D、A1B ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D， ∵MN⊥B1C，∴MN⊥A1D， 又 MN⊥BD ， ∴ MN⊥ 平 面 A1BD ， ∵ BD⊥AC 且 BD⊥C1C ∴BD⊥平面ACC1 ∴BD⊥AC1 又A1D⊥AD1且A1D⊥C1D1 ∴A1D⊥平面AC1D1 ∴A1D⊥AC1 ∴AC1⊥平面A1DB ∴AC1∥MN.
2．3.3 直线与平面垂直的性质
一、填空 1．线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两条直线互相平行，用数 学 符号表 示为 a⊥α，b⊥α⇒a∥b . 2．a⊥α，a⊥β，则α β∥. 3．a⊥α，α∥β则a β⊥. 4．a∥b，b⊥α，则a ⊥α.
二、判断正误 (1)如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与 这个平面内的任何直线都不垂直． (2)已知平面α和直线a、b，若a∥α，b⊥a，则b⊥α. [解析] (1)错．平面内与这条直线的射影垂直的直线 与此直线垂直． (2)错．正四棱台如图． b为上底面一边或斜高时都有b⊥a， 但b与下底面α不垂直．
证明：不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足 为A(或P)．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确 定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直 线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂 直的直线只有一条．
二、解答题
3．(09·湖南文)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝4，AA1＝ ，点D是BC的中点，点E在AC上，且 DE⊥A1E.
所以A1E＝ AA21＋AE2＝ ( 7)2＋32＝4，
AF＝AEA·1AEA1＝3 4 7，sin∠ADF＝AADF ＝
21 8.
即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为
21 8.
求证：AB∥l.
[解析] ∵AC⊥α，BD⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥l，BD⊥l； 过A作AE⊥β垂足为E，则AE∥BD， ∵AB⊥BD，∴AB⊥AE，∴AB⊥平面ACE； ∵AE⊥β，α∩β＝l，∴AE⊥l， 又AC⊥l，∴l⊥平面ACE，∴AB∥l. [点评] 要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线 面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系， 于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平 面γ、l⊥γ、AB⊥γ，于是作辅助线围绕找γ展开．
定义
a⊥α b⊥α
a∥b
a⊥α b⊂α
a⊥b
类别 方法
其它结论
图形
条件 结论
a⊥α a⊥β
α∥β
a⊥α α∥β
a⊥β
a⊥α P∈α PA⊥a
PA⊂α
[ 例 1] 如 图 ， 设 平 面 α 与 β 相 交 于 直 线 l ， AC⊥α ， BD⊥β，垂足分别为C、D，直线AB⊥AC，AB⊥BD，
[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC. 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB. 又AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE. 又∵SC∩BC＝C，∴AE⊥平面SBC. ∵SB⊂平面SBC，∴AE⊥SB.
(2)∵SA⊥平面ABCD，∴CD⊥SA， 又CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD， ∵AG⊂平面SAD，∴CD⊥AG ∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AG. 又∵SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC. 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.
若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P， 过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ 垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直．
2．过一点和已知平面垂直的直线条数为
A．1条 C．无数条 [答案] A
B．2条 D．不能确定
()
[解析] 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条．
(2)过点A作AF垂直A1E于点F，连接DF. 由(1)知，平面A1DE⊥平面ACC1A1. 所以AF⊥平面A1DE，故∠ADF是直线AD和平面A1DE 所成的角． 因为DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC，而△ABC是边 长为4的正三角形，于是AD＝2 3，AE＝4－CE＝4－12CD ＝3. 又因为AA1＝ 7，