线性代数 第二章行列式
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线性代数第二章方阵的行列式
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习题2.2(B) 第1(1)(3)题
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列,简称排列. 例 3级排列:123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123,从小到大排,全顺; 排列132,3>2,但3排在2之前,即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前,则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵,为常数,m为正整 数,则 ⑴ A=nA ; ⑵ AB=AB ; ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ; ② 虽然AB≠BA,但AB=BA ; ⑶由⑵推得,下证⑴ ⑵
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列,简称排列. 例 3级排列:123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123,从小到大排,全顺; 排列132,3>2,但3排在2之前,即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前,则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵,为常数,m为正整 数,则 ⑴ A=nA ; ⑵ AB=AB ; ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ; ② 虽然AB≠BA,但AB=BA ; ⑶由⑵推得,下证⑴ ⑵
第二章 行列式
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2011-9-1 5
pi 这个元素的逆序数是 τi,即:
τ ( p1 p2 …pn)= τ 1 + τ 2 +…+ τ n
就是这个排列的逆序数 逆序数。 逆序数 例1 求排列13…(2n − 1)24…(2n)的逆序数。 解:在该排列中,1 ~(2n−1)中每个奇数的逆 序数全为0,2的逆序数为(n − 1),4的逆序数为 (n − 2),…,(2n − 2)的逆境序数为1,2n的逆序数 为0,于是该排列的逆序数为 τ=(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1)/2
τ1 =τ (l1l2 Lln )
2011-9-1
τ2 = τ (s1s2 L sn )
19
这就表明,对换乘积项中两元素的位置, 这就表明,对换乘积项中两元素的位置, 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换,但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。 奇偶性并不改变。
2011-9-1
2011-9-1
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 = a11a22...ann ... ann a1n a2n = a11a22...ann ... ann
17
3)次上三角行列式 次上三角行列式
4)次下三角行列式 次下三角行列式
2011-9-1
18
定理2: 阶行列式 阶行列式D= 定理 :n阶行列式 aij的一般项可以记为
λn
0 0 = λλ2...λn 1 ...
=1+ 2 + ... + (n − 2) + (n −1) n (n −1) = 2
λ1
0 = (−1) ... 0
pi 这个元素的逆序数是 τi,即:
τ ( p1 p2 …pn)= τ 1 + τ 2 +…+ τ n
就是这个排列的逆序数 逆序数。 逆序数 例1 求排列13…(2n − 1)24…(2n)的逆序数。 解:在该排列中,1 ~(2n−1)中每个奇数的逆 序数全为0,2的逆序数为(n − 1),4的逆序数为 (n − 2),…,(2n − 2)的逆境序数为1,2n的逆序数 为0,于是该排列的逆序数为 τ=(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1)/2
τ1 =τ (l1l2 Lln )
2011-9-1
τ2 = τ (s1s2 L sn )
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这就表明,对换乘积项中两元素的位置, 这就表明,对换乘积项中两元素的位置, 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换,但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。 奇偶性并不改变。
2011-9-1
2011-9-1
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 = a11a22...ann ... ann a1n a2n = a11a22...ann ... ann
17
3)次上三角行列式 次上三角行列式
4)次下三角行列式 次下三角行列式
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定理2: 阶行列式 阶行列式D= 定理 :n阶行列式 aij的一般项可以记为
λn
0 0 = λλ2...λn 1 ...
=1+ 2 + ... + (n − 2) + (n −1) n (n −1) = 2
λ1
0 = (−1) ... 0
《线性代数》行列式的性质与计算
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=k
a21 …
a22 … a2n ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
= (1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 (ka2 j2 )a3 j3 anjn
= k
(1) a a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2 3 j3
anjn
思考:
ka11 ka12 … ka1n
加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变.即
a11 a12 … a1n a11
a12
… a1n
… … …… … … ……
ai1 ai2 … ain = ai1+kaj1 ai2+kaj2 … ain+kajn . … … …… … … ……
aj1 aj2 … ajn aj1
aj2
… ajn
… … …… … … ……
a0
c1
a1
an )
c2 a2
b1 b2 10
01
cn 0 0 an
a0
n i =1
bi ci ai
0
0
c1
10
a1
= (a1a2 an )
c2
a2
01
cn
00
an
bn 0
0
1
0
0
0
=
(a1a2 an )(a0
n i =1
bi ci ai
)
1
2.2 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a ij 所在的第i行和第j列后,余 下的n-1阶行列式,称为D中元素aij 的余子式,记作Mij.
线性代数-行列式PPT课件
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矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数,而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一,而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵,其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A,其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等,即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即,如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵,那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积,即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量,其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量,大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解,以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零,则该线 性方程组有唯一解;如果系数矩阵的行 列式为零,则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一,用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用,是解决实际问 题的重要工具。
2-1_二阶_三阶行列式的性质
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三阶行列式的性质
根据已经证明的关于2阶行列式的性质,3阶行列式也有同样的性质 性质 行列互换,3阶行列式的值不变,即 = 证明:等式左端的行列式按照第1列展开利用性质1可得
等式右端
■
性质 两行 (列) 互换,3阶行列式的值变号. (只给出行列式的前 2行变换的情形,其他情形类似). =
证明:把等式左端的行列式按第 3 行展开再利用性质3可得 = + + = 等式右端 ■
例0.4:计算下列行列式: (1) (2)
(3)
解:(1)
( 3) r1 r 2
解:(2)
( r 2 r 3) r1
c1 c2 c1 c3
注:此题的做法,对所有行(列)和相等的行列式均适用.
解:(3)
c1 c2 c1 c3
本讲小结
1、转置不变(行列等价) 2、行(列)加法拆项法则 3、行(列)倍乘 4、对换取反 5、倍加不变 6、行列展开公式 行(列)初等变换,产生尽量多的0元素. 初等变换,是行列式 计算中最常用的方法.
称为三阶行列式对其第一行的展开公式.
= = ( ) ( ) ( )
=
因此,我们已经有
类似地,我们也可以得到
以上三个式子分别称为三阶行列式对其第一、二、三行的展开公式.
同样也有三阶行列式对其一、二、三列的展开公式,即
易知,2阶行列式也满足这个结论,故我们就证明了以下的定理. 定理 2、3阶行列式等于它的任一行 (或列) 元素与自己的代数余子式 乘积之和.
■
性质2 若二阶行列式中某行(列)每个元素分成两个数之和,则该行列 式可关于该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其他行均保持不变, 即 = + 证明: = ( = + ■
线性代数PPT行列式
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行列式的计算公式是n阶行列式的展开式, 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性,可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式,将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1,其他元素都是0,则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合,即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时,三个向量共面,即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零,从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0, 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组,通 过将系数行列式展开,得到一系 列递推关系式,从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法,其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0,否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况,也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式,我们可以确定平面上的一个点。例如,给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$,我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性,可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式,将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1,其他元素都是0,则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合,即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时,三个向量共面,即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零,从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0, 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组,通 过将系数行列式展开,得到一系 列递推关系式,从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法,其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0,否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况,也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式,我们可以确定平面上的一个点。例如,给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$,我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数-行列式(完整版)
![线性代数-行列式(完整版)](https://img.taocdn.com/s3/m/08ae529fb8f3f90f76c66137ee06eff9aef849a8.png)
01
对于二元一次方程组,可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组,需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零,若不为零,则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组,克拉默法则同样适用,
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行(或两列)元素成比例,则此行列式等于零。
若行列式的某一行(或某一列)的元素都是两数之和,例如第i行的元素都是两数之 和:$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$,则此行列式等于两个行列式之和,这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$,其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A,其行列式记作|A|或det(A), 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到,该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行(或两列),行列式变号。 行列式的某一行(或某一列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则(Cramer's Rule)是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组, 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式,来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
线性代数第2讲 方阵的行列式
![线性代数第2讲 方阵的行列式](https://img.taocdn.com/s3/m/6e1d6419227916888486d7c1.png)
□
性质 7
□
性质 7′ | c1 , , c j , , ci , , cn | | c1 , , ci , , c j , , cn | . 注 6′统称为行列式的初等列变换性质. 命题 1 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵,则
- 10 -
□
性质 7、3( k 0 )、6 统称为行列式的初等行变换性质;性质 7′、3′( k 0 )、
□
3、按一行(列)展开公式 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 ( n 2) ,则
| A | ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain , i 1, 2, , n .
上式称为行列式的 Laplace 按一行展开公式. 定理 2′设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 (n 2) ,则 □
i j
的 (i, j ) 元素 aij [或 (i, j ) 位置]的余子式 M ij 、代数余子式 Aij (1) 阵. k 阶子方阵的行列式即为 k 阶子式. 定理 1
M ij .
在 m n 矩阵中,k l 子矩阵的余子阵为 ( m k ) ( n l ) 子矩阵,二者互为余子 在 n 阶方阵 A [ aij ] 中选定第 i1 i2 ik 行( 1 k n 1 ),则
-9-
性质 2
r1 r1 r1 ri ri ri ri . rn rn rn
□
性质 2′ | c1 , , c j cj , , cn | | c1 , , c j , , cn | | c1 , , cj , , cn | .
注 2(三角行列式)
a12 a22 a32
线性代数课件第二章第四节n阶矩阵乘积的行列式
![线性代数课件第二章第四节n阶矩阵乘积的行列式](https://img.taocdn.com/s3/m/fe708ea3162ded630b1c59eef8c75fbfc77d94ae.png)
02
计算行列式$|begin{matrix} 4 & -1 & 2 1 & 3 & 1 0 & -2 & 4 end{matrix}|$的值。
03
计算行列式$|begin{matrix} 3 & -2 & 1 1 & 0 & 1 -1 & 3 & 2 end{matrix}|$的值。
解答
步骤一
按照行列式的展开法则,将第一行第二列的 元素$-5$与第二行第一列的元素$1$相乘, 并加上第二行第二列的元素$3$与第三行第 一列的元素$-1$相乘,得到$-5 times 1 + (-5) times (-1) = -5 + 5 = 0$。
分块法
将高阶行列式分块处理,利用分块后 的子块性质简化计算。
递推法
利用递推关系式,将高阶行列式转化 为低阶行列式计算,从而简化计算。
03
n阶矩阵乘积的行列式的 应用
在线性方程组中的应用
求解系数矩阵的行列式
在求解线性方程组时,可以通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组是否有解,以及解的情况。如果 系数矩阵的行列式不为零,则方程组有唯一解;如果行列式为零,则方程组可能有无穷多解或无解。
,得到$-1 times (-1) + (-3) times (-2) = 1 + 6 = 7$。
步骤二:将第三行第二列的 元素$-6$与第一行第一列的
元素$-3$相乘,得到$-6 times -3 = 18$。
04
步骤三
感谢您的观看
THANKS
解答
步骤六
将第二行第三列的元素$-1$与第三行第一列的元素$2$相乘,得到$-1 times (-2) = 2$。
计算行列式$|begin{matrix} 4 & -1 & 2 1 & 3 & 1 0 & -2 & 4 end{matrix}|$的值。
03
计算行列式$|begin{matrix} 3 & -2 & 1 1 & 0 & 1 -1 & 3 & 2 end{matrix}|$的值。
解答
步骤一
按照行列式的展开法则,将第一行第二列的 元素$-5$与第二行第一列的元素$1$相乘, 并加上第二行第二列的元素$3$与第三行第 一列的元素$-1$相乘,得到$-5 times 1 + (-5) times (-1) = -5 + 5 = 0$。
分块法
将高阶行列式分块处理,利用分块后 的子块性质简化计算。
递推法
利用递推关系式,将高阶行列式转化 为低阶行列式计算,从而简化计算。
03
n阶矩阵乘积的行列式的 应用
在线性方程组中的应用
求解系数矩阵的行列式
在求解线性方程组时,可以通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组是否有解,以及解的情况。如果 系数矩阵的行列式不为零,则方程组有唯一解;如果行列式为零,则方程组可能有无穷多解或无解。
,得到$-1 times (-1) + (-3) times (-2) = 1 + 6 = 7$。
步骤二:将第三行第二列的 元素$-6$与第一行第一列的
元素$-3$相乘,得到$-6 times -3 = 18$。
04
步骤三
感谢您的观看
THANKS
解答
步骤六
将第二行第三列的元素$-1$与第三行第一列的元素$2$相乘,得到$-1 times (-2) = 2$。
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
![《线性代数》课件-第2章方阵的行列式](https://img.taocdn.com/s3/m/f0d17dd4760bf78a6529647d27284b73f3423675.png)
教学重点:方阵行列式的性质及展开定理,计算典型 的行列式的各种方法.
教学难点:n阶行列式的计算,拉普拉斯定理的应用.
教学时间:6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里,pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t,s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数,
应有l= t+s,于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
(1)D=?(怎么算)?
(2)当D≠0时,方程组是否有唯一解?
(3)若D≠0时,方程组有唯一解,解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1,2,3三个数字可以排6个不重复三位数即:
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具,也是代数学中必不可 少的基本概念,在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的:通过本章的教学使学生了解行列式的概念, 掌握行列式的性质,会计算各种类型的行列式.
教学难点:n阶行列式的计算,拉普拉斯定理的应用.
教学时间:6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里,pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t,s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数,
应有l= t+s,于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
(1)D=?(怎么算)?
(2)当D≠0时,方程组是否有唯一解?
(3)若D≠0时,方程组有唯一解,解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1,2,3三个数字可以排6个不重复三位数即:
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具,也是代数学中必不可 少的基本概念,在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的:通过本章的教学使学生了解行列式的概念, 掌握行列式的性质,会计算各种类型的行列式.
线性代数第二章n阶矩阵乘积的行列式
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* * 4 4
A d C
0 | A | . | B | B
证明:对A的阶数做归纳证明 , n 1时, d按第 行展开,公式成立; 1
假设n 1时公式成立.
当为n时,设a1 j关于A的余子式和代数余子式 分别为M1 j与A1 j ,由归纳假设,有:
a11 a 21 d A C a n1 B c11 cm1 0 a12 a 22 an 2 c12 cm2 a1n a1n a nn c1n cmn 0 0 0 b11 bm 1 0 0 0 b1m bmm
类似还可证明: A D F A mn | A | . | B |, ( 1) | A | . | B | 0 B B 0 0 A mn ( 1) | A | . | B | B M
定理5(矩阵乘积的行列式定理), 设A, B都是n 阶矩阵,则:
| AB || A | . | B |
n 1 a n b1n 1 a n b1 n n 1 a n b2 1 a n b2 n n 1 a n bn 1 a n bn
1 a b 1 a1b1 n n 1 a 2 b1 | A || AT | 1 a 2 b1 n n 1 a n b1 1 a n b1
$4
引理.设 a11 a 21 A a n1 c11 c 21 C cm 1
n阶矩阵乘积的行列式
b11 b 21 bm 1 b12 b22 bm 2 b1m b2 m bmm
a12 a1 n a 22 a 2 n , B a n 2 a nn c12 c1 n c 22 c 2 n , 则 c m 2 c mn
A d C
0 | A | . | B | B
证明:对A的阶数做归纳证明 , n 1时, d按第 行展开,公式成立; 1
假设n 1时公式成立.
当为n时,设a1 j关于A的余子式和代数余子式 分别为M1 j与A1 j ,由归纳假设,有:
a11 a 21 d A C a n1 B c11 cm1 0 a12 a 22 an 2 c12 cm2 a1n a1n a nn c1n cmn 0 0 0 b11 bm 1 0 0 0 b1m bmm
类似还可证明: A D F A mn | A | . | B |, ( 1) | A | . | B | 0 B B 0 0 A mn ( 1) | A | . | B | B M
定理5(矩阵乘积的行列式定理), 设A, B都是n 阶矩阵,则:
| AB || A | . | B |
n 1 a n b1n 1 a n b1 n n 1 a n b2 1 a n b2 n n 1 a n bn 1 a n bn
1 a b 1 a1b1 n n 1 a 2 b1 | A || AT | 1 a 2 b1 n n 1 a n b1 1 a n b1
$4
引理.设 a11 a 21 A a n1 c11 c 21 C cm 1
n阶矩阵乘积的行列式
b11 b 21 bm 1 b12 b22 bm 2 b1m b2 m bmm
a12 a1 n a 22 a 2 n , B a n 2 a nn c12 c1 n c 22 c 2 n , 则 c m 2 c mn
2n阶行列式性质与展开定理
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3
1、基本概念
主对角线
行列式是一个 数
一、二阶与三阶行列式
设 二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
(1)
用消数元ai法j(i知1:,2当;ja111,a222)称a12为时a2行1,列0式的元方素程,组元(1素)有a 解i j ,
第下且一 标个称下为x 标 列1 称 标a b 1 为 ,1 1 a a 行 表2 2 2 2标明 a a ,该1 1 2 2 b a 表元2 2 1 明素该位元于素第x 位j2列于 a 第.a 1 1 1 a 1 ib 2 行2 2 ;a b 1 1 第a 2 a 2 二1 2 1个
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
按对角线法共有 8 项代数和; 但按定 a 41 a 42 a 43 a 44
义,共有 2019/8/23 4! = 24 项 .
9
二、 n 阶行列式例子
Example 4 证明 n 阶下三
a11 0
角行列式 (当 i < j 时,aij = 0,Dn a21 a22
a12 a32
a 2 1 M 2 1a 2 2M 2 2a 2 3M 2 3 a 2 1A 2 1a 2 2A 2 2a 2 3A 2 3
此式说明三阶行列式也可以关于第一列展开 .
a11 a12 a13
Theorem 1 行列式等于它的某一a 2 1行a(2 2 或a列2 3 )的元素与 其对应的代数余子式的乘积之和a,3 1 即a 3 2 a 3 3
把由+四个数-- 排成两行两列,并定义为数
Da11 a21
的式子 2019/8/23
线性代数第二章行列式展开
![线性代数第二章行列式展开](https://img.taocdn.com/s3/m/b16028806529647d27285273.png)
0
3 4 0 0 0 2
2 14 1 1 1 28
3 4 1 1
1 1
1 1 1
四、伴随矩阵 1、定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成矩阵的转置.
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann 称为矩阵 A的伴随矩阵. 2、运算规律
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 ,当 i j; k 1
A (假定所有运算合法, B 是矩阵, R )
A11 A A 12 A1n
(1) A
A
T T
(2) AB B A
AA a11 证明 a AA 21 a n1
性质
A A A E. a12 a1n A11 a22 a2 n A12 an 2 ann A1n
解:原式
0 0 0 1
9 10 2 4
9
1
2
9
1
2
10 11 1 109 0 23 按第 列展开 1 2 5 3 43 0 7
109 23 monde)行列式
1 x1 2 Dn x1
n x1 1
1 x2 2 x2
1 xn 2 xn
n n x2 1 xn 1
线性代数 矩阵 第2节 行列式
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第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
注: 二阶行列式和三阶行列式的对角线法则: a11 a12 a21 a22 = a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .
例4. 设D =
am1 … amm 0 … 0 , c11 … c1m b11 … b1n cn1 … cnm bn1 … bnn …
am1 … amm
, ,
…
D2 =
…
…
bn1 … bnn
…
证明: D = D1D2.
证明: 对D1施行ci+kcj 这类运算, 把D1化为下三 角形行列式:
D1 =
a11 … a1m
.b 0 .. . . . a b . . d =a c +(1)2n+1b . . .. .. c d 0 … 0 d 0
a.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
.b 0 .. . . . a b . . d =a c +(1)2n+1b . . .. .. c d 0 … 0 d 0
§2.2 行列式
补充. 数学归纳法(Principle of mathematical induction) 1. 第一数学归纳法原理: 设P是一个关于自然数n的命题, 若 ① P对于n = n0成立. ② 当nn0时, 由“n = k时P成立”可推出 “n = k+1时P成立”, 则P对于任意的自然数nn0成立.
线性代数(行列式新)
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b b ba
将第 2,3,,n 列都加到第一列上,得
a n 1 b b b b
a n 1 b a b b
D a n 1 b b a b
a n 1 b b b a
-28-
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
1 b ba
1b bb
ri r1 a (n 1)b
-2-
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
例如:
a22 a23 a2n
M11
a32
a33
a3n
an2 an3 ann n1
A11 (1)11 M11
a21 a23 a2n
M12
a31
a33
a3n
an1 an3 ann n1
A12 (1)12 M12
-26-
推论5 由 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成
矩阵的转置矩阵 A11 A21 An1
A
A12
A22
An2
A1n
A2n
Ann
称为 A 的伴随矩阵。
由行列式展开定理
AA A A A E
伴随矩阵——研究可逆矩阵
-27-
例6 解
a bbb
ba bb计算 n 阶行源自式 D b b a ba11 a1k p11
设为 D1
p11 pkk
ak1 akk pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
b11 b1n q11
0
设为 D2
q11 qnn
bn1 bnn qn1 qnn
线性代数 第二章 第二节 行列式的主要性质
![线性代数 第二章 第二节 行列式的主要性质](https://img.taocdn.com/s3/m/e6894c29bd64783e09122b2e.png)
D = ∑ ( 1) a p11a p2 2 a pn n .
τ
12:29
故
D = D′. 证毕
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2 互换行列式的两行( ),行列式变号 行列式变号, 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号,即
12:29
13
3 课本例题p14 课本例题 例题1 例题 计算行列式 = 5 2
1 1 0
1 4 1 2
1 2 3 4 1 1 3
2 6 1 7 2 1 r2 r3
解:
1 c1 c2 1 0 5 1 3 r3 + 4r2 0 2 3 5 2 1 1 1 1 3 1 3 2 1 1 r4 + 5r1 0 3 2 1
推论1 把行列式的某一行( 推论1 把行列式的某一行(列)的所有元素同乘 以数k 等于用数k乘以这个行列式. 以数k,等于用数k乘以这个行列式.
12:29 8
性质 4 如果行 列式某 行 ( 列 ) 的所有 元素都 是两数 之 则该行列式为两行列式之和, 和,则该行列式为两行列式之和,即
a11 ai1 + bi1 a n1 a12 ai 2 + bi 2 an2 a1n ain + bin = a nn
p1 p2 p n
D=
(1)τ a p11a p2 2 a pn n ∑
p1 p2 p n
又因为行列式D可表示为 又因为行列式 可表示为
b11 b12 b1n 1n b21 b22 b2 n D′ = , bn1 bn 2 bnn
表述之二: 表述之二 行列式与它的转置行列式相等; 行列式与它的转置行列式相等 表述之三: 表述之三 3 行列互换,其值不变 行列互换 其值不变
线性代数 第二章 行列式
![线性代数 第二章 行列式](https://img.taocdn.com/s3/m/4d73209afad6195f302ba609.png)
例 1 2 3 4
A
5 9
6 10
7 11
8
12
13 14 15 16
1 2 3
B 95
6 10
171
余子矩阵:在n 阶方阵 A [aij ]中,把元素aij 所在
的第i行和第j列划去,余下来的n-1阶方阵叫做 aij的
余子矩阵,记作M ij .
1 0 3 4
例
A
0 3 1
1 2 6
i 1,2, ,n
j 1,2, , n
性质2 行列式与它的转置行列式相等。
314
按第1列展开 2 5
14
1 2 5
3
(1) ( )
30
30
130
1 1
4 3 15 12 13 20
2 5
314
1 2 5按第3行展开 1 1
4
3 3(
4 )
2 5
1 5
130
13 3 11 20
当 n 2 时,假设对 n 1 阶行列式已有定义,则
n
A a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j 1
其中Aij (1)i j M ij 称为代数余子式。
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a21 a31
a12 a22 a32
ab
LLLLL
O
1 b bL a
ab
a (n 1)b(a b)n1.
思考
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 n1 n 0 0 0
和的性质 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两
个数的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个 行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数 之一,其余各行(列)的元素与原行列式相同 .
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1 r
a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn
这就表明,对换乘积项中两元素的位置, 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换,但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。
所以经过若干次对换乘积项 (1) 中两元素 的位置,使列下标排列由 p1 p2 ... pn (逆序数为 ) 变为自然排列 (逆序数为 0 );则行下标排列相 应地从自然排列就变为某个新的排列,设此新 的排列为 q1q2 ...qn,其逆序数为 s ,则 与s 的
定理4
a11 a21 D ... an1
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n (1) aq11aq2 2 ...aqnn ... q1q2 ...qn ann (1)
1 2
al1s1 al2 s2 ...aln sn
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
则 则
r (1...i... j...n)
新的列下标排列的逆序数为 1,
1 ( p1... p j ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的,且新的列下标排 列的逆序数 1与原列下标排列的逆序数 的奇 偶性不同,并注意到 r 为奇数,则有: (1)1 (1) (1) (1) r 1 (1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1)
第二章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入
的,但在线性代数和其它数学领域以及工
程技术中,行列式是一个很重要的工具。
本章主要介绍行列式的定义、性质及其计
算方法。
§1.1 二阶、三阶行列式, 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义
§1.3 行列式的性质(1)
§1.4 行列式性质(2) §1.5 克莱姆法则
邻对换可得(3),即共作了 2n+1 次相邻对换由(1)
而得到(3)。由前可知,作一次相邻对换,排列
的奇偶性改变一次,故由(1)到(3)排列的奇偶性
就改变了2n+1次,即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
定理2:n 元排列共有 n! 个,其中奇、偶排列的 个数相等,各有 n!/2 个。 定理3:任意一个 n 元排列都可以经过一些对换 变成自然排列,并且所作对换的个数与这个排
三、行列式的等价定义
a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
(q1q2 L qn )
q1q2 ...qn
(1) aq11aqq2 2 ...aqnn
(1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
自然数的一个排列,考虑元素 pi(i=1,2,…n),如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个,就说
pi 这个元素的逆序数是 i,即:
( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n
就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。 解:在该排列中,1 ~(2n1)中每个奇数的逆 序数全为0,2的逆序数为(n 1),4的逆序数
1 2 n
排列,τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个,因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
p1 p2 ... pn
(1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
称为 n 阶行列式,记作 a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
注:
该定义称之为对角线法则。
二、全排列与逆序数
1.全排列:把 n 个不同的元素排成一列,叫做
这 n 个元素的全排列(简称排列)。
2.逆序:对于 n 个不同的元素,先规定各元素
之间的一个标准次序(如 n 个不同的自然数, 可规定由小到大)于是在这 n 个元素的任一排
列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不
解:由于a13a2i a32 a4 k 前面取正号,所以排列3i 2k 为偶排,故 i 1, k 4 同理对于a11a22 a3i a4 k,i 3, k 4 对于ai 2 a31a43ak 4 a31ai 2 a43 ak 4 , i 1, k 2
1 2 ... ( n 2) ( n 1) n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
0 a22 ... an 2 a12 a22 ... 0
奇偶性相同,且有 (1) a1 p1 a2 p2 ...aipi ...anpn (1) s aq11aq2 2 ...aq j j ...aqnn 又若 pi j,则q j i (即aipi aij aq j j ),由此可见 排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 a11a22 ...ann ... ann a1n a2 n a11a22 ...ann ... ann
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 (1) 2 a1,n a2,n1...an ,1 ... ... ... ... an ,1 0 0 0 4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n (1) 2 a1,n a2,n1...an ,1 ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
当 j = 3、k = 8时,经计算可知,排列
127435689的逆序数为5,即为奇排列 当 j= 8、k = 3时,经计算可知,排列 127485639的逆序数为10,即为偶排列 ∴ j = 8,k = 3
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k,求pn…p3 p2
p1的逆序数( p1 p2 p3…pn是1~ n的某一排列) 解:∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序 数之和等于1~ n 这 n 个数中任取两个数的组合 数即 :
同时,就称这两个元素构成了一个逆序。
3.逆序数:一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列:逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。
5.计算排列逆序数的方法:
不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数,并规
定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个
列有相同的奇偶性。
第二节 n阶行列式的定义
一、定义
设有 n2 个数,排成 n 行 n 列的数表
a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积, 并冠以符号(-1)τ,得形如 (1) a1 p a2 p ...anp (1) 的项,其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
二、三阶行列式 第一节 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22 a11 a12 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a21 a22 a23 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
a1...al bb1...bm
a b a1...al ab1...bm
把上述对换分解成为: (1)a1...al bb1...bm (2)a1...al bab1...bm (3)a1...al ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2),把(2)再作 n 次相
1. 对角行列式 1) 主对角行列式 1 0 ... 0 2 ... ... ... ... 0 0 ... 2) 次对角行列式 0 ... 0 0 ... 2 ... ... ... n ... 0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
n
0 0 12 ...n ...
1 3 ... (2k 1) k 2
当k为偶数时,k 2为偶数,当k为奇数时,k 2为奇数。
三、对换与排列奇偶性的关系
1Hale Waihona Puke 在排列中,将任意两个元素对调位置,其余 元素不动,这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换,称为相邻对换。
定理1:对换一个排列中的任意两个元素,排列
p1 p2 ... pn
(1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
简记为det(aij )。数aij 称为行列式 det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1~ n 的任一排列, 是排列 p1 p2 … pn的逆序数,即 = ( p1 p2 … pn )。
二、几个特殊的行列式
为(n 2),…,(2n 2)的逆境序数为1,2n的逆
序数为0,于是该排列的逆序数为
n(n 1) (n 1) (n 2) ... 1 0 2
例2 在1~9构成的排列中,求j、k,使排列1
2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列
解:由题可知, j、k 的取值范围为{3,8}
a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn
这就表明,对换乘积项中两元素的位置, 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换,但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。
所以经过若干次对换乘积项 (1) 中两元素 的位置,使列下标排列由 p1 p2 ... pn (逆序数为 ) 变为自然排列 (逆序数为 0 );则行下标排列相 应地从自然排列就变为某个新的排列,设此新 的排列为 q1q2 ...qn,其逆序数为 s ,则 与s 的
定理4
a11 a21 D ... an1
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n (1) aq11aq2 2 ...aqnn ... q1q2 ...qn ann (1)
1 2
al1s1 al2 s2 ...aln sn
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
则 则
r (1...i... j...n)
新的列下标排列的逆序数为 1,
1 ( p1... p j ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的,且新的列下标排 列的逆序数 1与原列下标排列的逆序数 的奇 偶性不同,并注意到 r 为奇数,则有: (1)1 (1) (1) (1) r 1 (1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1)
第二章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入
的,但在线性代数和其它数学领域以及工
程技术中,行列式是一个很重要的工具。
本章主要介绍行列式的定义、性质及其计
算方法。
§1.1 二阶、三阶行列式, 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义
§1.3 行列式的性质(1)
§1.4 行列式性质(2) §1.5 克莱姆法则
邻对换可得(3),即共作了 2n+1 次相邻对换由(1)
而得到(3)。由前可知,作一次相邻对换,排列
的奇偶性改变一次,故由(1)到(3)排列的奇偶性
就改变了2n+1次,即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
定理2:n 元排列共有 n! 个,其中奇、偶排列的 个数相等,各有 n!/2 个。 定理3:任意一个 n 元排列都可以经过一些对换 变成自然排列,并且所作对换的个数与这个排
三、行列式的等价定义
a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
(q1q2 L qn )
q1q2 ...qn
(1) aq11aqq2 2 ...aqnn
(1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
自然数的一个排列,考虑元素 pi(i=1,2,…n),如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个,就说
pi 这个元素的逆序数是 i,即:
( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n
就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。 解:在该排列中,1 ~(2n1)中每个奇数的逆 序数全为0,2的逆序数为(n 1),4的逆序数
1 2 n
排列,τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个,因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
p1 p2 ... pn
(1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
称为 n 阶行列式,记作 a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
注:
该定义称之为对角线法则。
二、全排列与逆序数
1.全排列:把 n 个不同的元素排成一列,叫做
这 n 个元素的全排列(简称排列)。
2.逆序:对于 n 个不同的元素,先规定各元素
之间的一个标准次序(如 n 个不同的自然数, 可规定由小到大)于是在这 n 个元素的任一排
列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不
解:由于a13a2i a32 a4 k 前面取正号,所以排列3i 2k 为偶排,故 i 1, k 4 同理对于a11a22 a3i a4 k,i 3, k 4 对于ai 2 a31a43ak 4 a31ai 2 a43 ak 4 , i 1, k 2
1 2 ... ( n 2) ( n 1) n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
0 a22 ... an 2 a12 a22 ... 0
奇偶性相同,且有 (1) a1 p1 a2 p2 ...aipi ...anpn (1) s aq11aq2 2 ...aq j j ...aqnn 又若 pi j,则q j i (即aipi aij aq j j ),由此可见 排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 a11a22 ...ann ... ann a1n a2 n a11a22 ...ann ... ann
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 (1) 2 a1,n a2,n1...an ,1 ... ... ... ... an ,1 0 0 0 4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n (1) 2 a1,n a2,n1...an ,1 ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
当 j = 3、k = 8时,经计算可知,排列
127435689的逆序数为5,即为奇排列 当 j= 8、k = 3时,经计算可知,排列 127485639的逆序数为10,即为偶排列 ∴ j = 8,k = 3
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k,求pn…p3 p2
p1的逆序数( p1 p2 p3…pn是1~ n的某一排列) 解:∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序 数之和等于1~ n 这 n 个数中任取两个数的组合 数即 :
同时,就称这两个元素构成了一个逆序。
3.逆序数:一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列:逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。
5.计算排列逆序数的方法:
不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数,并规
定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个
列有相同的奇偶性。
第二节 n阶行列式的定义
一、定义
设有 n2 个数,排成 n 行 n 列的数表
a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积, 并冠以符号(-1)τ,得形如 (1) a1 p a2 p ...anp (1) 的项,其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
二、三阶行列式 第一节 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22 a11 a12 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a21 a22 a23 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
a1...al bb1...bm
a b a1...al ab1...bm
把上述对换分解成为: (1)a1...al bb1...bm (2)a1...al bab1...bm (3)a1...al ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2),把(2)再作 n 次相
1. 对角行列式 1) 主对角行列式 1 0 ... 0 2 ... ... ... ... 0 0 ... 2) 次对角行列式 0 ... 0 0 ... 2 ... ... ... n ... 0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
n
0 0 12 ...n ...
1 3 ... (2k 1) k 2
当k为偶数时,k 2为偶数,当k为奇数时,k 2为奇数。
三、对换与排列奇偶性的关系
1Hale Waihona Puke 在排列中,将任意两个元素对调位置,其余 元素不动,这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换,称为相邻对换。
定理1:对换一个排列中的任意两个元素,排列
p1 p2 ... pn
(1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
简记为det(aij )。数aij 称为行列式 det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1~ n 的任一排列, 是排列 p1 p2 … pn的逆序数,即 = ( p1 p2 … pn )。
二、几个特殊的行列式
为(n 2),…,(2n 2)的逆境序数为1,2n的逆
序数为0,于是该排列的逆序数为
n(n 1) (n 1) (n 2) ... 1 0 2
例2 在1~9构成的排列中,求j、k,使排列1
2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列
解:由题可知, j、k 的取值范围为{3,8}