第13讲 整式的除法
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
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练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
整式的除法ppt课件
=(-2x -2xy)÷(-2x)
=x+y.
当 x=- ,y=1 时,原式=- +1= .
解:(1)12a2b÷(-3a)=-4ab.
(2)(5x2y3)2÷25x4y5=25x4y6÷25x4y5=y.
(3)(x+y)3÷(x+y)=(x+y)2=x2+2xy+y2.
4.计算:
2
2
3
3 4
(1)(-3x y) ·6xy ÷9x y ;
3 4
2 2
3 2
(2)2a b c÷(-4ab ) ·( a b c).
=15x4y2÷(-3x2)-12x2y3÷(-3x2)-3x2÷(-3x2)
=-5x2y2+4y3+1.
[例1-2] 某小区为了便民购物,计划在小区外一块长方形空地上建一
座大型超市,已知长方形空地的面积为(6xy+2x2y2+y3) m2,宽为2y m,
求这块长方形空地的长.
解:由题意,得
2 2
= abc.
3-2+3
b
4-4+2
c
1+1
5.某中学新建了一栋科技楼,为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修,
计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板,已知这间陈列室的长为5ax m、
宽为3ax m,如果你是该校的采购人员,应该至少购买多少块这样的塑
料扣板?当a=4时,求出具体的扣板数.
2
2
2
4
(4)(2a-b) ÷ (2a-b) .
解:(1)12a3b2÷(-4a2)=-3ab2.
初中数学 什么是整式的除法
初中数学什么是整式的除法整式的除法是指对两个整式进行除法运算，其中被除数除以除数得到商式和余式的过程。
首先，我们来了解一些整式的基本概念。
整式是由常数项、变量项和它们之间的运算符（加法和减法）组成的代数表达式。
常数项是只包含常数的项，变量项是包含变量和常数的项。
例如，3x² + 2xy - 5 是一个整式，其中3x²是变量项，2xy 是变量项，-5 是常数项。
在整式的除法中，被除数通常是一个多项式，除数通常是一个一元多项式（只有一个变量的多项式）。
我们的目标是找到一个商式和余式，使得被除数等于除数乘以商式加上余式。
让我们通过一个例子来说明整式的除法过程：假设我们要计算(2x³ + 5x² - 3x + 1) ÷ (x - 1)。
首先，我们将被除数和除数按照降幂排列，即按照变量的指数从高到低排列。
在这个例子中，被除数已经按照降幂排列，除数为x - 1。
接下来，我们将除数的第一项x 与被除数的第一项2x³进行除法运算。
x 除以2x³等于(1/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(1/2)x³ - (1/2)x²。
然后，我们将这个结果与被除数进行减法运算，得到(2x³ + 5x² - 3x + 1) - ((1/2)x³ - (1/2)x²) = (3/2)x³ + (5/2)x² - 3x + 1。
接下来，我们重复上述步骤。
将除数的第一项x 与新的被除数的第一项(3/2)x³进行除法运算，得到(3/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(3/2)x³ - (3/2)x²。
然后，我们将这个结果与新的被除数进行减法运算，得到(3/2)x³+ (5/2)x²- ((3/2)x³ - (3/2)x²) = 8x² - 3x + 1。
整式的除法教案
整式的除法教案一、知识点概述整式的除法是初中数学中的一个重要知识点，也是高中数学的基础。
整式的除法主要包括两种情况：一是整式除以单项式，二是整式除以整式。
在进行整式的除法运算时，需要掌握整式的基本运算法则和多项式长除法的步骤。
二、教学目标1.掌握整式除以单项式的基本运算法则；2.掌握整式除以整式的多项式长除法的步骤；3.能够熟练地进行整式的除法运算；4.能够应用整式的除法解决实际问题。
三、教学重点和难点1.整式除以单项式的基本运算法则；2.整式除以整式的多项式长除法的步骤。
四、教学过程1. 整式除以单项式的基本运算法则整式除以单项式的基本运算法则是：将整式中每一项的系数分别除以单项式的系数，并将单项式的指数减去每一项的指数，得到的商即为整式除以单项式的结果，余数为0。
例如，将3x2+6x除以3x，则：3x2+6x3x =3x23x+6x3x =x+2因此，3x2+6x除以3x的结果为x+2。
2. 整式除以整式的多项式长除法的步骤整式除以整式的多项式长除法的步骤如下：1.将被除式按照指数从高到低排列；2.将除式按照指数从高到低排列；3.将被除式中最高次项与除式中最高次项相除，得到商；4.将商乘以除式，得到一个新的多项式；5.将被除式减去新的多项式，得到一个新的被除式；6.重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于除式的次数为止。
例如，将3x3+5x2−2x−1除以x−1，则：$$ \begin{array}{c|cccc} & 3x^3 & +5x^2 & -2x & -1 \\ \hline x-1 & 3x^2 &+8x & +6 & \\ & 3x^3 & -3x^2 & & \\ \hline & & 8x^2 & -2x & -1 \\ & & 8x^2 & -8x & \\ \hline & & & 6x & -1 \\ & & & 6x & -6 \\ \hline & & & & 5 \end{array} $$因此，3x3+5x2−2x−1除以x−1的结果为3x2+8x+6，余数为5。
求整式的除法公式
求整式的除法公式整式的除法公式是指两个整式相除所得的结果的表达式。
在整式的除法中，被除数除以除数所得的商及余数叫做整式的商和余数。
设有两个整式 f(x) 和 g(x)，其中g(x) ≠ 0。
若存在整式 q(x) 和 r(x)，使得 f(x) = g(x)·q(x) + r(x)，且 r(x) = 0 或 r(x) 的次数小于 g(x) 的次数，则可以说 f(x) 可以被 g(x) 整除。
其中，整式 f(x) 是被除数，g(x) 是除数，q(x) 是商，r(x)是余数。
例如，有整式 f(x) = 2x³ - 3x² + 5x + 4 和 g(x) = x² - 2x + 3，现在求f(x) 除以 g(x) 的商和余数。
首先，我们比较 g(x) 的最高次项 x²和 f(x) 的最高次项 2x³，可以得知商 q(x) 的最高次数应为 2x³ / x² = 2x。
所以我们可以将 q(x) 的表达式设为 q(x) = 2x。
然后，我们将 g(x) 和 2x 相乘，得到 2x·(x² - 2x + 3) = 2x³ - 4x² + 6x。
接下来，我们将 f(x) 减去这个结果，得到 f(x) - 2x³ + 4x² - 6x = (-7x² +11x + 4)。
此时，我们需要再次比较 g(x) 和 (-7x² + 11x + 4) 中的最高次项，即g(x) 的最高次项 x²和 (-7x² + 11x + 4) 的最高次项 -7x²。
可以得知商 q(x) 的次数应为 -7x² / x² = -7。
将 q(x) 更新为 q(x) = 2x - 7，并将 g(x) 与 q(x) 相乘得到 (2x - 7)·(x² - 2x + 3) = 2x³ - 11x² + 20x - 21。
整式的除法 (2)
整式的除法整式的除法是指对两个多项式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
首先，将被除式和除式按照一定的顺序排列，通常是按照指数的降序排列。
例如，要计算多项式P(x)除以多项式Q(x)，可以按照以下步骤进行：1. 检查P(x)和Q(x)的次数。
如果被除式的次数小于除式的次数，则商式为0，余式为被除式。
2. 将被除式的首项与除式的首项相除，得到商式的首项。
3. 将得到的商式的首项乘以除式的所有项，并将结果与被除式进行减法运算，得到一个新的多项式。
4. 检查新的多项式的次数，重复步骤2和步骤3，直到新的多项式的次数小于除式的次数。
5. 重复步骤2和步骤3，直到不能再进行除法运算为止。
此时，得到的商式为所有商式的和，余式为最后剩下的多项式。
例如，将多项式P(x)=3x^3+2x^2+5x-6除以多项式Q(x)=x^2+2x-3，可以按照以下步骤进行：1. P(x)的次数为3，Q(x)的次数为2，可以进行除法运算。
2. 将P(x)的首项3x^3与Q(x)的首项x^2相除，得到商式的首项为3x。
3. 将3x乘以Q(x)的所有项，得到3x^3+6x^2-9x。
4. 将得到的多项式与P(x)进行减法运算，得到新的多项式6x^2+14x-6。
5. 新的多项式的次数为2，继续进行除法运算。
6. 将6x^2与Q(x)的首项x^2相除，得到商式的次项为6x。
7. 将6x乘以Q(x)的所有项，得到6x^2+12x-18。
8. 将得到的多项式与新的多项式进行减法运算，得到新的多项式2x+12。
9. 新的多项式的次数为1，继续进行除法运算。
10. 将2x与Q(x)的首项x相除，得到商式的次项为2。
11. 将2乘以Q(x)的所有项，得到2x+4。
12. 将得到的多项式与新的多项式进行减法运算，得到新的多项式8。
13. 新的多项式的次数为0，无法进行除法运算，得到的商式为3x+6，余式为8。
因此，多项式P(x)除以多项式Q(x)的结果为商式为3x+6，余式为8。
北师大版初一数学下《整式的除法》课件
下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”， 这是因为光速比声速快的缘故。已知光在空气 中的传播速度为3.0×108米/秒 ，而声音在空气 中的传播速度约为3.0×102米/秒 ，你知道光速 是声速的多少倍吗？
学习了今天的知识，我们就能解决这个问题了！
你能计算下列各题吗？如果能，说说你的理由。
答：光速大约是声速的 1000000倍，即100万倍。
8m3na 28mbn2 2 n2,则a 4 ,b 3 7
月球距离地球大约是3.84×105km， 一架飞机的速度约为8×102km/h。 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离， 大约需要多少小时？ 解：
答：如果乘坐此飞机飞行这么远的距离， 大约需要480小时。
底数不变， 指数相减。
保留在商里 作为因式。
第一步
单项式相乘 系数相乘
单项式相除 系数相除
第二步 同底数幂相乘
同底数幂相除
第三步
其余字母不变连同其 指数作为积的因式
只在被除式里含有 的字母连同其指数 一起作为商的因式
例题 计算：
解：
注意运算顺序： 先乘方，再乘除，
最后算加减
可以把 看成一个整体
答案
(2x2 y)3 (6x3 y2 )
下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”，这是
因为光速比声速快的缘故。已知光在空气中的传播速 度为3.0×108m/s ，而声音在空气中的传播速度约 为 3.0×102 m/s ，你知道光速是声速的多少倍吗？
解： 3.0108 (3.0102 ) 3.0 3.0108-2 1.0106 1 000 000
第一章 整式的乘除
整式的除法
学习目标： 1、掌握单项式除以单项式的法则，会进 行简单的单项式除以单项式的除法运算。 2、经历探索单项式除以单项式的除法运 算法则的过程，理解单项式除以单项式 的除法运算的算理。
整式的除法概念及法则
整式的除法概念及法则一、整式的定义整式是代数式的一种形式，它由若干个代数式按照加法和减法运算符连接而成，且每个代数式都是整数或有理数的乘积。
整式通常用字母表示未知数，也可以用具体数字表示。
二、整式的除法概念整式的除法即将一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法可以简化代数式的表达，使得计算更加简便。
1. 一般的除法过程整式的除法过程与算术中的除法类似，主要包括以下步骤： - 将除式与被除式按照一定规则对齐。
- 依次将被除式里的每一项与除式的首项进行除法运算。
- 求商的步骤需要使用乘法和减法运算。
- 直至被除式的所有项都进行了除法运算，最后的余数项可以保留或继续进行进一步的合并化简。
2. 整式的除法的结果若整式A除以整式B的结果为整式C，则满足等式：A = B * C。
其中，整式C称为A除以B的商，若除法运算有余数，则余数也是整式。
三、整式除法的基本法则整式的除法具有一些基本的法则，我们可以根据这些法则进行整式的除法运算。
1. 除法的可逆性对于任意非零的整式A、B和C来说，若A除以B的商为C，则A除以C的商等于B，即：A / B = C，则 A / C = B。
2. 除法的唯一性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，同时A除以B的商为D，则C和D相等，即：如果 A / B = C 且 A / B = D ，那么 C = D。
3. 除法的分配性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A加上C乘以B的结果等于A乘以D的商，即： A / B = C 那么 A + C * B = A / D4. 除法的消去性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A乘以D除以B乘以D的商等于C，即：如果 A / B = C ，那么 A * D / B * D = C。
四、整式除法的具体步骤整式除法的具体步骤如下： 1. 根据除法的定义，对于被除式和除式进行合理的排列，确保每一项按照幂次降序排列。
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整式的除法
知识点梳理：
（1）同底数幂相除，底数不变，指数相减。
n
m n
m
a
a a -=÷（m a ,0≠、n 是正整数，且n m >）
（2）任何不等于0的数的0次幂都等于1。
10=a （0≠a ）
（3）单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（4）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
经典例题 例1．计算
（1）)3()5
3(2
32y x y x ÷- （2）)5()10(3
234bc a c b a ÷
（3）)14()7()2(34232y x xy y x ÷-⋅ （4）2
4)2()2(b a b a +÷+
(5)(12a 3-6a 2+3a )÷3a ； (6)(21x 4y 3-35x 3y 2+7x 2y 2)÷(-7x 2
y ).
（7）[(x +y )2
-y (2x +y )-8x ]÷2x . (8)[
]
b b b a b a b a 2
12)2)(2()2(2
-
÷-+-+
例2.已知x=3
2m+2
,y=5+9m
,请你用含x 的代数式表示y.
例3.已知x 、y 满足051)2(2
=-
++y x 求 [4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷1
4
xy 的值
例4.（1）已知8m =12,4n =6,求26m-2n+1
的值.
（2）已知9m ·27m-1÷32m
的值为27,求m 的值.
经典练习： 1.计算：
（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3
（4）5（2a +b ）4÷（2a +b ）2
（5）-x 9÷(-x)3÷2x 2
.
（6）()x x xy ÷+56 （7）(15x 2
y -10xy 2
)÷5xy
（8）(8a 2-4ab )÷(-4a ) （9）(25x 3+15x 2
-20x )÷(-5x )
（10）y y y y 323275223÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+- （11）()
b a b a b a b a 2342325.0612125.0-÷⎪⎭
⎫
⎝⎛--
2.(
)()()2
2
2
210,24x y x y x y y x y y ⎡⎤-=+--+-÷⎣⎦
已知：
求的值
3.一颗人造卫星的速度是72.8810⨯米/时，一驾喷气飞机的速度是6
1.810⨯米/时，这颗人造地球卫星的速度是这驾喷气式飞机的速度的多少倍？
4.已知812x ÷92x ÷3x
=81,求x 的值.
5.已知32=a ，54=b ，78=c ，求b
c a 28-+的值。
巩固练习： 1.计算：
（1）()ab ab 5103
-÷ （2）2
3268ab b a ÷-
（3）(
)3
24
2321y x y x -÷- （4）()()5
6
103106⨯÷⨯
（3）)()2(2
33
6b a b a ÷ （4）)16
1
()481(
223y x y x ÷
（5）2
32)()3(mn n m ÷ （6）)6()2(2
3
3
2
y x y x ÷
(7)()xy y x 6242
-÷ (8)()
42
2
55r r ÷-
(9)()
22
2747m p m m ÷ (10)()
2
32642112⎪⎭
⎫
⎝⎛÷-t s t s
（11）(
)()2
3
4286x x x -÷- （12）()ab b a b a 4582
2
3
÷-
2.填空
（1）⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−
→−⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--÷x y x yz x y x y x y x 221161242222343
(2) (6a 3
+4a )÷2a
= + = ； (3) (12x 3
-8x 2
+16x )÷(-4x )
= + + = .。