古典概型几何概型习题

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古典概型和几何概型

古典概型和几何概型一、选择题（每题5分，共60分）1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是Ａ．这100个铜板两面是一样的Ｂ．这100个铜板两面是不同的Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.73．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ．至少有一个红球与都是黒球B ．至少有一个黒球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有1个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球4．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是A ．4030B ．4012C ．3012 D ．以上都不对 5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是A ．81B ． 83C ． 85D ． 87 6．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（）时一定有()7.0=B PA ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立Ｃ．B A ⊆ Ｄ． A 不包含B7．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于 A.21 B. 32 C.53 D.52 8. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 A.157 B.158 C.53 D.1 9. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为 A.2251 B.3001 C.4501 D.以上全不对 10. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是. A.21 B.31 C.41 D.不确定11. 在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点，则△PBC 的面积大于S 4的概率为( )A.14B.12C.34D.2312. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.2511 B.2491 C.2501 D.2521 二、填空题（共20分）13.在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.14.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为_________.15. 甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a 、b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．16. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字.（1）2个数字都是奇数的概率为_____；（2）2个数字之和为偶数的概率为____.三.解答题（共20分）17. 已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求函数在[1，＋∞)上递增的概率.18. 抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率.。

高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)

高中数学概率几何概型古典概型精选题目（附答案）一、古典概型1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．1.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解]甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E，F表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.注：解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．2．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.13 B.110C.25 D.310解析：选D设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝3 10.3．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y ≥243，z ≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x3 000＝0.15，所以x ＝450.(2)由题意，可知肥胖学生人数为y ＋z ＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m 人，则m 500＝603 000.所以m ＝10.即应在肥胖学生中抽10名．(3)由题意，可知y ＋z ＝500，且y ≥243，z ≥243，满足条件的基本事件如下： (243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P (A )＝815.所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815.二、几何概型(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性． (2)几何概型的概率求法公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积、体积)试验的全部结果长度(面积、体积).4.(1)已知平面区域D 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )| ⎩⎨⎧|x |＜2，|y |＜2，D 2＝{}(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2＜4.在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14 B.π4 C.π16D.π32(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14，从而所求概率P ＝14×22π42＝π16，故选C.(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13木棒长度的区域内，故所求概率为2×13＝23.[答案] (1)C (2)23 注：几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P (A )＝mn 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．5．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a2的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的大小关系是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＞P 2C ．P 1＜P 2D ．无法比较解析：选A 由题意知正方形的边长为2a .左图中圆的半径为正方形边长的14，故四个圆的面积和为πa 2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa 2，故P 1＝P 2.6．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.7．圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M ，现随机往图4的圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.34πB.334πC.2πD.3π解析：选B 设圆内每一个小正三角形的边长为r ，则一个三角形的面积为12×r ×32r ＝34r 2， ∴阴影部分的面积为334r 2. 又圆的面积为πr 2，∴点A 落在区域M 内的概率是334r 2πr 2＝334π.。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型基础训练：1．甲乙两人从{0，1，2，3，4，5}中各取一个数a,b,则“恰有a+b 3”的概率等于______________2.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____3.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是5.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的概率为_________6.一只口袋装有形状大小都相同的6只球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则2只球都是红色的概率为_______，2只球同色的概率为________，恰有一只球是白球的概率为_________典型例题：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是．检测与反馈：1.已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -⎧⎫=-<<=>⎨⎬-⎩⎭，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈⋂”的概率是 ________ ．2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未被击毁的概率为_______3．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在附近，那么点和点到直线的距离之比约为．4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ___．5.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ABCD 49A C BD D6.（2010江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _ _。

古典概型与几何概型专题训练(答案版)

古典轮廓与几何轮廓专题训练1.在集合{}04M x x =<≤中随机选取一个元素，2log y x =函数大于1的概率为( ) A. 1 湾。

14 C 。

12 D. 34答案与分析： 1. C2. 考虑一元二次方程20x mx n ++=，其,m n 值等于掷骰子两次后连续出现的点数，则方程有实根的概率为 ( ) 一个。

3619 湾。

187 C 。

94 D.3617 答案与分析： 2. A3.如图，大正方形的面积为34，四个全等直角三角形组成一个小正方形，直角三角形短边的长度3是一朵小花落在一个小方块上的概率是A .117 B .217 C .317 D .417答案与分析： 3 B .因为大正方形的面积343落在5小3正方形4上2的概率是423417P ==。

所以选择B 。

【解题与探索】本题考查几何概率的计算。

求解几何概率问题的关键是求两个区间的长度（面积或体积），然后用几何概率的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解。

所以在这道题中求小花落在小方块上的概率，关键是求小方块的面积和大方块的面积。

4 、如图所示，在3个地方有一只迷失方向的小青蛙。

每次跳跃都可以进入任意相邻格子（如果跳跃5个地方只能进入3个地方，3个可以等待一次跳跃后进入1、2、4、5的机会），然后在第三跳，第一次进5的概率是( ) A.316B. 14C 。

16D.12答案与分析： 4. A一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。

取两次，每次取一个，每次取后不要放回去。

知道第一个是好晶体管，第二个也是好晶体管的概率是 ( ) 一个。

13 湾。

512 C 。

59 D.925答案与分析：（1） C一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。

服用任意两次，每次服用一次，每次服用拿走不放回去后，第一次和第二次都是好晶体管的概率是 ( ) 一个。

13 湾。

《古典概型与几何概型》(解析版)

《2020年数学（文）概率二轮专项提升》古典概型1．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是()A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B.3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是26＝13.2．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.34 B.13 C.310 D.25解析：选D.用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝410＝25.3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A.15 B.25 C.16 D.18解析：选B.如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝615＝25.4．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A.16 B.524 C.13 D.724解析：选C.由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率是6＋224＝13.5．(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16 B.14 C.13 D.12解析：选D.将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝12，故选D.6．某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________．解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a，b，c，则并排贴的情况有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的情况有abc，acb，bca，cba，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P＝46＝23.答案：2 37．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是__________．解析：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，(a，b)的所有可能结果有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种，其中log28＝3，log39＝2为整数，所以log a b为整数的概率为1 6.答案：1 68．(2019·河北七校4月联考)若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x2 m＋y22＝1的焦距为整数的概率为________．解析：m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，所以基本事件总数为6，又满足椭圆x2m＋y22＝1的焦距为整数的m的取值有1，3，11，共有3个，所以椭圆x2m＋y22＝1的焦距为整数的概率P＝36＝12.答案：1 29．(2017·高考山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．则所求事件的概率为：P＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为：P＝2 9.10．(2019·合肥市第一次教学质量检测)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：预计有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋；(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率．解：(1)由表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，若某日该商场有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12000×712＝7 000.(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20，30)内的顾客中选出3人，[30，40)内的顾客中选出2人，[40，50)内的顾客中选出1人，[50，60]内的顾客中选出1人．记从年龄在[20，30)内的顾客中选出的3人分别为A，B，C，其他4人分别为a，b，c，d，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的情况有3种，所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率为321＝17.《2020年数学（文）概率二轮专项提升》几何概型1．已知集合A ＝{}a |y ＝10＋3a －a 2，若在集合A 内任取一个数a ，使得1∈{x |2x 2＋ax －a 2＞0}的概率为( )A.17B.37C.12D.34解析：选B.由10＋3a －a 2≥0，解得－2≤a ≤5，即A ＝[－2，5]．因为1∈{x |2x 2＋ax －a 2＞0}，故2＋a －a 2＞0，解得－1＜a ＜2.由几何概型的知识可得，所求的概率P ＝2－（－1）5－（－2）＝37.故选B.2．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12 解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.3.(2019·广州市综合检测(一))刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b ＜a )，则圆周率的近似值为( )A.b aB.a bC.3a bD.3b a解析：选C.依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3a b ，选C. 4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78 B.34 C.12 D.14解析：选B.若函数f(x)有零点，则4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π.所有事件是{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，所以S＝(2π)2＝4π2，而满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}，所以S1＝4π2－π2＝3π2，则概率P＝3π24π2＝34.5．(应用型)(2019·南宁二中、柳州高中联考)老师计划在晚自习19：00－20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟，若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为()A.29 B.49 C.59 D.79解析：选B.设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，则依题意知，x，y应满足⎩⎨⎧|x－y|≥20，0≤x≤60，0≤y≤60.作出该不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，则所求概率P ＝12×40×40×260×60＝49.故选B.6．(应用型)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，在该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是() A.316 B.38 C.14 D.18解析：选A.设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，所以S△BCI＝12×22×22＝14，S平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×14＝12，所以所求的概率P＝S△BCI＋S平行四边形EFGHS正方形ABCD＝14＋122×2＝316.故选A.7．在区间[0，6]上随机取一个数x ，则log 2x 的值介于1到2之间的概率为________．解析：由题知1<log 2x <2，解得2<x <4，故log 2x 的值介于1到2之间的概率为4－26－0＝13. 答案：13 8.如图，正四棱锥S -ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R ，则所求的概率为P ＝V 锥V 球＝13×12×2R ×2R ×R 43πR 3＝12π. 答案：12π 9．(2019·西安市八校联考)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }中任选一个元素(x ，y )，则满足x ＋y ≥2的概率为________．解析：如图，先画出圆x 2＋y 2＝4，再画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，x ＋y ≥2对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P ＝S 阴影S 圆＝14×4π－12×2×24π＝π－24π.答案：π－24π10..某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则正三角形的面积为34a 2. 由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a ，所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2. 由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π.33答案：4π。

(完整版)古典概型与几何概型专题训练(答案版)

古典概型与几何概型专题训练1.在集合{}04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B.14 C. 12 D. 34答案及解析：1.C2.考虑一元二次方程20x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A.3619 B.187 C.94 D.3617答案及解析：2.A3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为A .117 B .217 C .317 D .417答案及解析：3.B .因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为423417P ==.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解．所以本题求小花朵落在小正方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积.4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（）A ．316 B ．14 C ． 16 D ．12答案及解析：4.A5.（1）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 ( ) A.13 B.512 C.59 D.925答案及解析：（1）C（2）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，则第一次和第二次取到的都是好晶体管的概率为 ( ) A.13 B.512 C.59 D. 925答案及解析：（2）A（3）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后再放回，则第一次和第二次取到的都是好晶体管的概率为( ) A.13 B.512 C.59 D. 925答案及解析：（3）D6.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（） A ．49 B ．13 C ．29D ．19答案及解析：6.D7.一个袋子里装有编号为1,2,3,,12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球，若从中任意透出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是（） A ．316 B ．14 C ．716 D ．34答案及解析：7.A8.已知点(,)P a b ，,a b 满足221a b +≤，则关于x 的二次方程224430x bx a ++=有实数根的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．56答案及解析：8.B9. 4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（） A ．B ．C ．D ．答案及解析：10.C10.小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A.13B.12C.14D.16答案及解析：9.A考点：几何概型11.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生都排在一起的概率是（A）130（B）115（C）110（D）15答案及解析：11.C12.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．答案及解析：12.D13.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）A ．41004901C C -B ．4100390110490010C C C C C + C ．4100110C C D ．4100390110C C C答案及解析：13.D14.如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )答案及解析：14.C15.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为t ，在区间[1，3t]和[2，4]分别各取一个数，记为m 和n ，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是（）A ．31 B. 43 C. 32D. 12答案及解析：15. D16.执行右图的程序框图，任意输入一次()()0101x x y y ≤≤≤≤与，则能输出数对(),x y 的概率为________答案及解析：16. 14π-17.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（A ）110（B ）910 （C ） 14 （D ） 48625答案及解析：17.B18.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A 包含k 个基本事件,则()k P A n=； ④每个基本事件出现的可能性相等； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案及解析：18.C19.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ☆ ）A. 12π-B.13π-C.16π-D.112π-答案及解析：19.C20.一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N 粒，其中)(N m m ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为 (A)N m (B)N m 2 (C)N m 3 (D)Nm 4答案及解析：20.D 【知识点】几何概型K3设圆的半径为1．则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到2122π⨯⨯=Nm，即π=4mN. 【思路点拨】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．21.已知P 是△ABC 所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（）A.14 B.13 C.23 D.12答案及解析：21.【知识点】几何概型K3 D 由得，设BC 边中点为D ，则,P 为AD 中点，所以黄豆落在内的概率是，故选D.【思路点拨】：由得P 为BC 边中线AD 的中点，由此可得黄豆落在PBC ∆内的概率.22.设A 是半径为1的圆周上一定点，P 是圆周上一动点，则弦PA ＜1的概率是 A.13 B. 23 C. 16 D. 12答案及解析：22.A23.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（） A ．B ．C ．D ．答案及解析：23.C24.已知不等式015<+-x x 的解集为P 。

古典概型与几何概型小题分类训练

古典概型与几何概型小题分类训练1．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（） A ．35B ．712C ．12D ．5122．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（） A ．114B ．17C ．314D ．133．中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会.来自109个国家的9300余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国 133 64 42 239 俄罗斯 51 53 57 161 巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表.从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（） A ．2257B ．191540C ．571540D ．17115404．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角α满足3tan 4α=，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A ．150B ．125 C ．225D ．3255．如图，矩形ABCD 内的黑色图形来自中国清朝时期的天平的铜砝码，其中6AB =，4BC =，E ，F 是线段AB 的两个三等分点，G ，H 是线段CD 的两个三等分点（图中圆弧近似地看作半圆）.在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．412π+ B ．26π+ C ．3824π+ D ．5824π+ 6．设不等式224x y +≤表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则2x y +≤的概率是（） A ．1ππ- B ．2ππ- C ．1πD ．2π7．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（） A ．12B ．16C ．19D ．1128．定义：{},,min ,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩在区域02,0 3.x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(),P x y ，则点(),P x y 满足{}min 21,11x y x y x y -++-=+-的概率为（）A ．12B ．16C ．18D ．1129．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内随机抽取一点，则该点恰好在以A 为球心，12半径的球的内部的概率是（） A ．6π B ．12πC ．24πD ．48π参考答案1．B 解：依题意，基本事件的总数为4424A =，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A 包含3316A ⨯=个基本事件； ②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含22228A ⨯⨯=个基本事件，综上A 包含6814+=个基本事件，所以()1472412P A ==， 2．B 依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 3．C 解：中国和巴西获得金牌总数为154，按照分层抽样方法， 22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个，故这3人中中国选手恰好1人的概率12193322571540C C P C ==， 4．B “勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角α满足3tan 4α=. 设3BC k =，则4AC k =，5AB k =，CD k =，向大正方形内随机投掷一枚飞镖，可得飞镖落在小正方形内的概率是2212525k P k ==. 5．C 由6AB =，4BC =可得矩形的面积24S =，E Q ，F 是线段AB 的两个三等分点，且G ，H 是线段CD 的两个三等分点（图中圆弧近似地看作半圆）， 2CH EF ∴==，()22242138S πππ=⨯+⨯-⨯=+黑色，所以3824P π+=. 故在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是3824π+，故选：C ．6．D 依题意得，如下图，分别画出224x y +…和||||2x y +≤表示的区域，不等式224x y +…表示的平面区域D 是圆心为()0,0半径为2的圆内部，所以面积为4π；而||||2x y +≤表示的区域为边长8，要满足||||2x y +≤且满足224x y +…表示的平面区域的面积为8，得出所求概率为824ππ=．故选：D ．7．D 设甲到起点站的时间为：6时x 分，乙到起点站的时间为6时y 分，所以30604575x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，记事件A 为甲乙搭乘同一辆公交车，所以(){}(){}(){},|4550,4550,|5055,5055,|5560,5560A x y x y x y x y x y x y =≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤U U ，作出可行域以及目标区域如图所示：由几何概型的概率计算可知：()5531303012P A ⨯⨯==⨯.8．A 试验包含的全部事件对应的集合是02(,)03x x y y ⎧⎫≤≤⎧Ω=⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，满足条件的事件0202(,)03(,)03211220x x A x y y x y y x y x y x y ⎧⎫⎧⎫≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎨⎬⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪-+≥+--+≥⎩⎩⎩⎭⎩⎭，如图所示，()236S Ω=⨯=，1()(12)232S A =⨯+⨯= ，所以()31()62S P S A Ω===，故选A ． 9．D 以A 为球心，12为半径的球在正方体内部的体积为3141()832π⨯⨯⨯148π=，又正方体的体积为1111⨯⨯=，根据几何概型的概率公式可得所求概率为：1148148ππ=.。

几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)

几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面）1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π42．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC ＜12V S-ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.143.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A .12 B.32 C .13 D.144．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.585．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________．8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA ―→·OP ―→≤4的概率为( )A.12B.14C.13D.189．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．12.在面积为S 的ABC ∆ 的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率为 .13．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆为钝角三角形的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.（2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.（3）已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．1216.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。

古典概型、几何概型检测卷及答案

古典、几何概型一、选择题1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )A.23B.14C.13D.122．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.153．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是( )A.13B.14C.49D.59 4．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为（ )A.316B.38C.34D.125．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.456．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23 二、填空题7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．8．如图所示，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是__________．9．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，则n<m＋2的概率为__________．三、解答题如为解答，则是“解”或“证明”不能打成“解析”了10.在3件产品中，有2件正品，记为a1，a2，有1件次品，记为b1，从中任取2件，每次取1件产品．(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取出后再放回，求两次取出的产品中恰有一次取次品的概率．11．为了解某校高三9月调考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学习成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一组至第五组数据的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，最后一组数据的频数是6.(1)估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125,140]的概率，并求出样本容量；(2)从样本成绩在[65,95)的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[65,80)的概率．12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．古典、几何概型一、选择题1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )A.23B.14C.13D.12解析：一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的事件包括(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝12.故选D. 答案：D2．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P ＝24＝12.答案：A3．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是( )A.13B.14C.49D.59解析：所有没有重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10,12,20,30,32，共5个，所以所求概率为59. 答案：D4．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为（ )A.316B.38C.34D.12解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B. 答案：B5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45解析：记1个红球为A,2个白球为B 1，B 2,3个黑球为C 1，C 2，C 3，则从中任取2个球，基本事件空间Ω＝{(A ，B 1)，(A ，B 2)，(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 1，C 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 2，C 3)，(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 2，C 3)}，共计15种，而两球颜色为一白一黑的有如下6种：(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 1，C 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 2，C 3)，所以所求概率为615＝25. 答案：B6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23 解析：设BC 中点为M ， ∴PB →＋PC →＝2PM → ∵PB →＋PC →＋2P A →＝0， ∴PM →＝－P A →， ∴P 为AM 中点， ∴PM AM ＝12，∴S △PBC S △ABC ＝12，∴一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 的概率是12，故选C. 答案：C二、填空题7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析：设2本数学书分别为A 、B ，语文书为C ，则所有的排放顺序有ABC 、ACB 、BAC 、BCA 、CAB 、CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC 、BAC 、CAB 、CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.答案：238．如图所示，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是__________．解析：所求概率P ＝π×122×2＝π4.答案：π49．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，则n <m ＋2的概率为__________．解析：设取出的两球的编号为(m ，n )，则所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足n <m ＋2的基本事件有(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(3,4)，(4,4)，共13个，故所有满足n <m ＋2的概率为1316.答案：1316三、解答题10．在3件产品中，有2件正品，记为a 1，a 2，有1件次品，记为b 1，从中任取2件，每次取1件产品． (1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取出后再放回，求两次取出的产品中恰有一次取次品的概率．解：(1)取后不放回，所有可能结果组成的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，取出的两件中，恰有一件次品的事件A 包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，所以P (A )＝46＝23.(2)每次取后放回，所有可能结果为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(a 1，a 1)，(a 2，a 2)，(b 1，b 1)，两件中恰好只有一件是次品的事件B 包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，所以P (B )＝49.11．为了解某校高三9月调考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学习成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一组至第五组数据的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，最后一组数据的频数是6.(1)估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125 , 140]的概率，并求出样本容量； (2)从样本成绩在[65,95)的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[65,80)的概率．解：(1)估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125,140]上的概率为P ＝31＋2＋8＋6＋3＝320，设样本容量为n ，则6n ＝320，解得n ＝40.(2)样本中成绩在[65,80)上的学生有120×40＝2人，记为x ，y ，成绩在[80,95)上的学生有220×40＝4人，记为a ，b ，c ，d .从上述6人中任选2人的基本事件有：{x ，y }，{x ，a }，{x ，c }，{x ，d }，{y ，a }，{y ，b }，{y ，c }，{y ，d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共15个，记“从上述6人中任选2人，至少有1人在[65,80)上”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：{x ，y }，{x ，a }，{x ，b }，{x ，c }，{x ，d }，{y ，a }，{y ，b }，{y ，c }，{y ，d }，共9个．故所求概率P (A )＝915＝35.12．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。

古典概型与几何概型(基础+复习+习题+练习)

课题：古典概型与几何概率考纲要求：① 理解古典概型及其概率计算公式；② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；③了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；④了解几何概型的意义.教材复习1.古典概型：把同时具有：“()1每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每次试验只出现其中一个结果；()2每一个结果出现的可能性相同”的两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ；②事件A 包含的基本事件的个数m ；③由公式nmA P =)(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的..2.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.几何概型的计算：()P A = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A3.随机数：是在一定范围内随机产生的数，并且在这个范围内得到每一个数的机会相等.随机数的一个重要应用就是用计算机产生随机数来模拟设计实验.模拟是利用模型来研究某些现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力、物力.典例分析：考点一古典概型的概念问题1．判断下列命题正确与否：()1 掷两枚硬币，可能出现“两个正面”，“两个反面”，“一正一反”3种结果；()2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能行相同；()3从4,3,2,1,0,1,2----中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同；()4分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同；()55人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同.考点二古典概型的概率问题2．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：()1基本事件总数；()2事件：“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？()3“摸出2个黑球”的概率是多少？；问题3．同时掷两个骰子，计算：()1一共有多少种不同的结果？()2其中向上的点数之和是5的结果又多少种？()3“向上的点数之和是5”的概率是多少？问题4．将一个骰子先后抛掷三次，求向上点数之和不是6的倍数的概率.问题5．（08山东文）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ,,通晓日语，123B B B ,,通晓俄语，12C C ,通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．()1求1A 被选中的概率；()2求1B 和1C 不全被选中的概率．考点三与长度有关的几何概型问题6．()1(2013福建) 利用计算机产生01之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为()2在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 不大于AC 的概率.ABCM考点四与面积有关的几何概型问题7.()1(2013陕西) 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 .A 14π- .B 12π- .C 22π-.D 4π()2(2013四川)节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是.A 14 .B 12 .C 34 .D 7812问题8.（08枣庄三中模拟）甲乙两人约定上午7:00到8:00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，他们开车的时刻分别为7:20、7:40、8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲乙两人同乘一班车的概率为 .A 21 .B 14 .C 31 .D 16考点五与体积有关的几何概型问题9.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则在正方体ABCD -1111A B C D 内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是.A 4π .B 6π .C 8π.D 12π考点六与角度有关的几何概型问题10：()1(2011湖南文) 已知圆C ：2212x y +=,直线l :4325x y +=. ①圆C 的圆心到直线l 的距离为②圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为()2在Rt ABC △中，30A =︒，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM AC >的概率.课后作业：1.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率.2.（2013黄冈模拟）在区间[]0,1上任意取两个实数,a b ，则函数31()2f x x ax b =+- 在区间[]1,1-上有且仅有一个零点的概率为 .A 18 .B 14 .C 34 .D 78CABM走向高考：1.（07广东文）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。

古典概型与几何概型精选习题

古典概型和几何概型检测试题1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（）A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.682．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（）A ．310 B ．15 C ．25 D ．45 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（）A ．116B ．216 C ．316 D ．14 4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）A ．34B ．38C ．14D ．18 5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．7106如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）A ．2π B ．1π C ．23 D ．137．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45o ，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）甲乙 1 2 3 4 1 2 34A．18B．14C．12D．348．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）A．1100 B．120C．110D．159．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）A．14 B．18 C．110 D．11210．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（）A．15 B．25 C．35 D．2711．若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为（）A．12 B．13 C．16 D．11212．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定13．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（）A．ra B．2ra C．ara-D．2a ra-14．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．15．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与CPD为锐角的概率是__________________．的概率是．16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于5617．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．21．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.22．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率；⑵、这种游戏规则公平吗?试说明理由．23．某人有3枚钥匙，其中只有一枚房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一枚，于是，他逐枚不重复地试开，问：(Ⅰ)恰好第三次打开房门锁的概率是多少?(Ⅱ)两次内打开房门的概率是多少?24. 图甲“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这出的频率分布直方图．（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值，并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图图乙甲中各组的组中值及频率）（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．25.在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率..13.B; 14. 111;1.B;2.B;3.C;4.A;5.C;6.A;7.A;8.B;9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 15. 4arcsin52π; 16. 2572; 17. 87.5%; 2.18.（1）都是13；（2）23;34。

古典概型和几何概型(含参考答案)

古典概型和几何概型湖北省监利县第一中学胡先平1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．12．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.7123．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12(x ＋12)≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.144．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在到三个顶点的距离都大于1的地方的概率为A.45B.35C.π60D.π35．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( ) A.916 B.34 C.1516 D.15326．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.237．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．8．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________．9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．10．两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．11．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100)．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．12．已知关于x 的一次函数y ＝ax ＋b.(1)设集合A ＝{－2，－1，1，2}和B ＝{－2，2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数作为a ，b ，求函数y ＝ax ＋b 是增函数的概率；(2)若实数a ，b 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≥0，－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，求函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限的概率．参考答案1B 2 A. 3 A. 4 A 5 C 6 D 7． π40 8．π40. 9． π6. 10．【解析】设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23. 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－（13）212＝89. 11．答案 (1)0.006 (2)0.4 (3)11012．解析 (1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(－2，－2)，(－2，2)，(－1，－2)，(－1，2)，(1，－2)，(1，2)，(2，－2)，(2，2)，共8个．设函数是增函数为事件A ，需a>0，有4个，故所求概率为P(A)＝12. (2)实数a ，b 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≥0，－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，要函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限，则需使a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，对应的图形为正方形，面积为1，作出不等式组对应的平面区域如图：则根据几何概型的概率公式可得函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限的概率为S 正方形OFBC S 多边形ABCDE ＝172＝27.。

17.2 古典概型与几何概型

17、概率17．2 古典概型与几何概型[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）A ．49B ．29 C ．23D ．13（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为（）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12C ．13D ．16（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为．[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。

[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． [例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．方案1：总点数是几就送礼券几十元．方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．【课内练习】1．某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是（）A．15B．524C．1081D．5122．盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P1，第8个人摸出红球的概率是P8，则（）A．P8=18P1 B．P8=45P1 C．P8=P1 D．P8=03．如图，A、B、C、D、E、F是圆O的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（）A．12B．13C．23D．144．两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）A．12B．13C．14D．235．一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为．6．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．第3题图7．在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为．8．某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，倍的概率．A组1．取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（）A．2πB．2ππ-CD．4π2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）A．12B．13C．14D．165．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．其中“恰有两枚正面向上”的事件包含个等可能基本事件．7．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．B组1．在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为（）A．12B。

(完整版)古典概念与几何概型(带答案).docx

古典概型与几何概型1．【 2018 年理新课标 I 卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为IIABC的斜边，其余部分记为BC，直角边AB， AC．△ ABCIII．在整个图形中随机取一点，此点取自I ， II， III的概率分别记为p1， p2， p3，则A. p 1=p2B. p1=p3C. p 2=p3D. p1=p2+p3【答案】 A【解析】分析：首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2， p3的关系，从而求得结果 .详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选 A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果 .2．【 2018 年理新课标 I卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】 A详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选 A.3．【 2018 年理数全国卷II 】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30 的素数，再确定两个不同的数的和等于30 的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30 的素数有2，3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29，共10 个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为，选 C.4.【2017 课标 1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1π A ．B ．48 C ．1π D ．24【答案】 B【解析】【考点】几何概型5. 【 2017 山东，理8】从分别标有 1， 2 ，， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取 1 张．则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）5（ B ）4（C ）5（D ）18997 9【答案】 C【考点】古典概型6.【2017 江， 7】函数 f ( x)6 x x2的定域 D .在区[ 4,5]上随机取一个数x ,x D 的概率是▲.【答案】59【考点】几何概型概率7.（ 2016 年全国 I 高考）某公司的班在7:30， 8:00， 8:30 ，小明在7:50至 8:30 之到达站乘坐班，且到达站的刻是随机的，他等不超10 分的概率是（ A ）1123 3（B）2（ C）3（ D）4【答案】 B8、（ 2016 年全国 II 高考）从区0,1随机抽取2n 个数x1,x2，⋯，x n，y1，y2，⋯，y n，构成 n 个数x1 , y1， x2 , y2，⋯， x n , y n，其中两数的平方和小于 1 的数共有m个，用随机模的方法得到的周率的近似（ A）4n（ B）2n（C）4m（ D）2m m m n n【答案】 C9.（ 2016 年山高考）在[－1,1]上随机的取一个数k，事件“直y = kx 与( x－5)2 + y2 = 9 相交” 生的概率3【答案】．410.【2015 高考广东，理 4】袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5个红球。

古典概型与几何概型习题课(实用)共19页

数a1,b
1
（２）进行平移变换 a=a1+1
01 2
x
（３）数出落在阴影内的点数Ｍ，用
几何概型公式计算阴影部分的面积．
巩固练习
1.(07广东)在一个袋子中装有分别标有１，２，３，４，５的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。现从中取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为３或６
的概率是 0.3
END
1/2 变式１：在半径为１的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则其长度超过该圆内接正三角形的边
长 3 的概率是多少？ 1/4
弦产生的方式不同，其概率也可能不同
变式２：Ａ为圆周上一定点，在圆周上等可2 能的
任取一点与Ａ连结，求弦长超过半径的倍的概率是多少？ 1/2
灵犀一点
注：
（1）几何概型：基本事件无限个，事件发生等可能。
古典概型与几何概型习题课(实用)
时间反复无常，鼓着翅膀飞逝
古典概型与几何概型 ------习题课
例1、从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品中每次任取一件,取出后不放回,连续取两次, 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。2/3
变式１：将上题“取出后不放回”改为“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率4。/9
（2）几何概型常用的测度：长度、面积、体积。
（3）几何概型的解题方法：数形结合。如：一维、长度常和数轴结合，二维、面积常和坐标系结合。
例3、甲乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头, 它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊时间是4小时,乙船的停泊时间是2小时,求它们中一艘船停泊时必须等待一段时间的概率. 67/288
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；２．３

古典概型、几何概型专题训练

古典概型、几何概型专题训练(建议用时：40分钟)一、选择题1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7B [设“只用现金支付”为事件A ，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B ，“不用现金支付”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.]2．如图1-4-1，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()图1-4-1A.14B.π8C.12D.π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π22×2＝π8. 故选B.]3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3D [将2名男同学分别记为x ，y,3名女同学分别记为a ，b ，c .设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，其中事件A 包含的可能情况有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种，故P (A )＝310＝0.3.故选D.] 4．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥1”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23C [sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由sin x ＋cos x ≥1得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥22，又π4≤x ＋π4≤5π4. 所以π4≤x ＋π4≤3π4，故所求概率为P ＝34π－π4π＝12.] 5．甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.23B [由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9种不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13，故选B.] 6．在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215 B.715 C.35 D.1115D [∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ＞0，∴m ＜－4或m ＞0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于(－4＋6)＋(9－0)9＋6＝1115，故选D.] 7．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“3”“4”“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )A.14B.13C.12D.23C [从4个球中随机选取三个球，共有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)四种情况，其中所选的三个球上的数字能构成等差数列的为(2,3,4)，(2,4,6)，故所求事件的概率为12.故选C.] 8．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )A.34B.23C.12D.13D [法一：(直接法)设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )＝45＋5－2040＋5＋45＝13，选D. 法二：(间接法)设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”，则P (A )＝1－40＋2040＋5＋45＝13，选D.] 9．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图1-4-2是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )图1-4-2A.14B.18C.38D.316B [不妨设小正方形的边长为1，则两个等腰直角三角形的边长为1,1，2，一个等腰直角三角形的边长为2，2，2，两个等腰直角三角形的边长为2,2,22，即最大正方形边长为22，所求概率为P ＝1－12×2＋1＋1＋2×28＝18，选B.] 10．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()图1-4-3A ．866B ．500C ．300D ．134D [由题意可设勾股形中勾股分别为x ，3x ，则黄色图形(正方形)的边长为(3－1)x ，以勾股形之弦为边的正方形的边长为2x ，由几何概型得，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为1 000(3－1)24≈134.] 11．从标有数字1,2,3的三个红球和标有数字2,3的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同．．．．的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45B [从这五个球中任取两个球的基本事件有：(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，红3)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红3，白1)，(红3，白2)，(白1，白2)，共10个基本事件，其中两球的数字和颜色的都不相同的基本事件有(红1，白2)，(红2，白1)，(红3，白1)，(红3，白2)共4个基本事件，所以两球的数字和颜色的都不相同的概率为P ＝410＝25，故选B.] 12．在区间[0,2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是( )A.18B.14C.78D.34A [如图：不妨设两个数为x ，y ，故x ＋y ＞3，如图所示，其概率为p ＝12×1×12×2＝18，故选A.]二、填空题13．从甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加志愿活动，则甲被选中且乙未被选中的概率是______．13[从甲、乙、丙、丁4人中随机选2人，基本事件有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，其中甲被选中且乙未被选中的基本事件有2个，故所求概率为P ＝26＝13.] 13．为了测算如图1-4-4阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．图1-4-49 [根据题意，可设阴影部分的面积为S ，则正方形的面积为36，向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P ＝200800＝14，而P ＝S 36，则S 36＝14，解得S ＝9.]15．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________． 12[∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体体积V ＝1×1×1＝1，当四棱锥M -ABCD 的体积小于16时，设它的高为h ，则13×h ＜16，解之得h ＜12，则点M 在到平面ABCD 的距离等于12的截面以下时，四棱锥M -ABCD 的体积小于16，求得使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的长方体的体积V ′＝1×1×12＝12， ∴四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率P ＝V ′V ＝12，故答案为12.]16．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点，则该点到直线x ＋y －22＝0的距离d ∈[0,1]的概率为______．13 [圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离为：221＋1＝2，则直线x ＋y －22＝0与圆x 2＋y 2＝4相切，设直线x ＋y ＋m ＝0与直线x ＋y －22＝0的距离为1，则：|m ＋22|2＝1， ∴m ＝－2或m ＝－32，如图所示，设直线x＋y－2＝0与圆交于A，B两点，由题意可得：sin∠OAD＝ODOA＝12，∠OAD＝30°，则∠AOB＝180°－30°×2＝120°，则AEB为满足题意的点，由角度型几何概型公式可得满足题意的概率值：P＝120°360°＝13.]。

小题21 古典概型与几何概型

小题21 古典概型与几何概型一、选择题1.（2018河北石家庄一模）已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）A. 合格产品少于8件B. 合格产品多于8件C. 合格产品正好是8件D. 合格产品可能是8件1.D【解析】由已知中某厂的产品合格率为0.8，则抽出10件产品检査合格产品约为100.88⨯=件，根据概率的意义，可得合格产品可能是8件，故选D.2.（2018福建泉州二模）用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（）A.13B.12C.23D.582.C【解析】三种不同的颜色分别用A、B、C表示，随机事件所包含的基本事件有：(,)A A，(,)A B，(,)A C，(,)B A，(,)B B，(,)B C，(,)C A，(,)C B，(,)C C共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，则两个小球颜色不同的概率为6293P==，故选C.3.（2018河南郑州三模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A.932B.516C.38D.7163.C【解析】图中，以最小的等腰直角三角形为单位计数，共有16个，其中黑色部分的有6个，所以，所求概率63168P==.故选C.4.（2018广东茂名二模）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S.在一次投掷中，已知S是奇数，则9S=的概率是（）A.16B.29C.19D.154.B 【解析】设两枚骰子向上点数分别为X，Y，则符合X Y+为奇数的基本事件为18（见表格），其中符合9X Y +=基本事件为4，根据古典概型知所求概率为42189=，故选B . 5.（2018山西晋中适应性调研）已知x ，y 是[0,2]上的两个随机数，则点(,)P x y 到坐标原点的距离大于2的概率为（） A.16π B.44π- C.4π D. 22π- 5.B 【解析】点P 的活动区域构成如图所示的边长为2的正方形OABC ，面积为14S =，满足到坐标原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，包含在正方形内的部分（阴影部分），其面积为222444S ππ⨯=-=-，在正方形区域中随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P =44π-.故选B . 6.（2018武汉4月调研）从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A ．1415B ．45C ．35D ．156.B 【解析】设3双不同鞋为(,)a b ，(,)c d ，(,)e f ，从这6只鞋中取出2只，共有15种不同结果：(,)a b ，(,)c d ，(,)e f ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b e ，(,)b f ，(,)b d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，其中取出的2只鞋不成对的有3种，所以，所求概率1534155P -==.故选B . 7.（2018江西南昌二模）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“━ ━”表示阴爻，有放回地取出阳爻和阴爻三次合成一卦，共有328=种组合方法. 这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有4种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况，即为八卦.在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻和一个阴爻的概率是（）A ．18B ．14C ．38D ．127.C 【解析】有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况，分别是：三个阳爻1种，三个阴爻1种，两个阳爻和一个阴爻3种，两个阴爻和一个阳爻3种，所以，所求概率38P =.故选C .8.（2018安徽安庆二模）中人民银行发行了2018中国戊戌年（狗）年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18m ，小米同学为了算图中饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投那500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是（） A.2486()5mm π B.2243()10mm π C. 2243()5mm π D. 2243()20mm π 8.B 【解析】由古典概型概率得落在装饰狗的概率为150500，由几何概型概率得落在装饰狗的概率为218()2S π⨯，所以215018500()2S π=⨯，所以24310S π=，故选B . 9.（2018四川成都七中3月模拟）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（） A.35 B.25 C.45 D. 159.A 【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数25，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(4,4)，(5,4)，(5,5)，共有15m =个基本事件.所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率153255P ==.故选A . 10.（2018福建龙岩毕业班质检）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 是底面ABCD 的中点，点P 是正方形1111A B C D 内的任意一点，则满足线段PO概率是（） A.4π B.14π- C.8π D. 18π- 10.B 【解析】由题意可知，正方形1111A B C D 内与点P 距离相等的点组成的轨迹为圆，该圆与点P 构成一个圆锥，如图所示，满足题意时，圆的半径1R ≤=，如图所示，正方形1111A B C D 内满足题意的点构成图中的阴影部分，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：2111224P ππ⨯=-=-⨯.故选B .二、填空题 11.（2018广西区二模）若M 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆2212x y m +=的焦距为整数的概率为__________． 11.12【解析】当1m =，3，11时，椭圆2212x y m +=的焦距为整数，故所求的概率为3162P ==.12.（2018江西南昌一模）在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线0x y +-=的距离[0,1]d ∈的概率为____________.12.13【解析】圆心(0,0)到直线0x y +-=的距离为2=，则直线x y +-0=与圆224x y +=相切，设直线0x y m ++=与直线0x y +-=的距离为1，则1=，所以m =或m =-0x y +=与圆交于A ，B 两点，由题意可得1sin 2OD OAD OA ∠==，则30OAD ∠=，所以180AOB ∠=- 302120⨯=，则劣弧AEB 上的点满足题意，所以，所求概率12013603P ==. 13.（2018广西钦州三模）小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为 .13.59【解析】如图，定义7:00为起点0，则7:15为15，设甲到达公交站的时刻为x ，乙到达公交站的时刻为y ，则015x ≤≤，015y ≤≤，甲、乙两人到达公交站的时刻(,)x y 对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形，将2班公交车到站时刻在图中画出（阴影部分），则甲、乙两人要想乘同一班公交车，(,)x y 必须满足0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩或515515x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩.有几何概型的概率公式得551010515159P ⨯+⨯==⨯。