2018届闵行区高三一模数学附解析.pdf
2018年上海高三数学一模真题汇编——排列组合和概率统计专题（学生版）.docx
2018年一模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为m n P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】一只蚂蚁从四面体的某个顶点出发，沿着棱走遍所有顶点，任何顶点只走一次，这样的路径有几条？【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n mm m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n-=.【例1】一个圆上有n 个点，这n 个点互相联接形成若干条线段，这些线段任三线不共点，问在圆内一共有几个交点？【例2】点P 的坐标为),(n m ，m ，n 均为正整数，一只蚂蚁从原点出发，每次只能向上或向右走一格，最终走到P 点，问有多少种可能的路径？【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式：m n n m n C C -=；111+++=+m n m n m nC C C . 【例1】化简：2241302-++++n n C C C C .【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式. 【知识点4.1】 应用乘法原理 【例1】120有多少个正约数？【例2】1,2,3,4,5这五个数排成一列，要求1必须在5前，2在4前，求可能的种数.【例3】现有8个不同的球，放在三个相同的箱子里，要求3+3+2分组，问有多少种分法？【知识点4.2】应用加法原理【例1】有三名男生，四名女生，从中选出四人参加辩论赛，要求至少有一名男生，问有多少种选法. 【例2】ABCDE五人排队，要求A不能站排头，B不能站排尾，问有几种排法？【知识点4.3】捆绑法与插空法、隔板法【例1】（捆绑法）有5人排队，其中甲乙相邻，问有多少种排法？【例2】（插空法）有5人排队，其中甲乙不相邻，问有多少种排法？【例3】（隔板法）有七个相同的球放入三个不同的盒子，要求所有盒子都要有球放入，问几种放法？二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：k k n k n k b a C T -+=1(0,1,2,,)k n = ;其中：k n C (0,1,2,,)k n = 叫做二项式系数.【例1】求291()2x x-展开式中9x 的系数？【例2】在二项式3241()nx x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数.【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：kn nk n C C -= ； ② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n n n n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C N n ∈.【例1】若35211()nx x +的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项.概率论初步【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率 （1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】盒子中装有编号为9,8,7,6,5,4,3,2,1的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率为（结果用最简分数表示）.【例2】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每个人选择其中的两个项目，则有且只有两个人选择一样的项目的概率是．（结果用最简分数表示）【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】抛掷一枚骰子，记向上的点数为偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于5的事件为B ，事件B A ⋃的概率为()=⋃B A P .【例2】袋中有20个球，其中17个红球，3个黄球，从中任取3个.求至少有一个黄球的概率.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9,、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为.【例2】甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以21A A 、和3A 表示从甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号) ①();52=B P ② 时间B 与事件1A 相互独立； ③321A A A 、、是两两互斥的事件；④()B P 的值不能确定，因为它与321A A A 、、中哪一个事件发生关系. 统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）. 基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则 样本平均数：nx x x x n+++= 21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-=样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值 总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：()()()222121n x x xx x x s n -+-++-=- 其中,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】某学校高一年级有x 个学生，高二年级有y 个学生，高三年级有z 个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有多少人？【例2】若数据,,,21n x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则53,531++n x x 的平均数和方差分别为（ ）A.2,S xB.2,53S x +C.29,53S x +D.25309,532+++S S x【例3】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）.A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D.该把班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数二、一模真题汇编一、填空题1.在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是.2.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为.3.若从五个数1-，0，1，2，3中任选一个数m ，则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为 （结果用最简分数表示）. 4.在23()nx x+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于. 5.二项式41()2x x-的展开式中的常数项为. 6.已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a=. 7.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为.8.若1(2)nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为.9.91()x x-的二项展开式中的常数项的值为.10.设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为.11.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则 该生的可能选法总数是.12.在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为.13.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是.14.从一副混合的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽 得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）.15.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 不同选法种数是（用数字作答）.16.在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）.17.用1,2,3,4,5共个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个.518.的二项展开式中，常数项的值为________. 19.在代数式721()x x +的展开式中，一次项的系数是（用数字作答）. 20.从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）二、选择题1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ）.A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D.8486P P -2.二项式10(3)i x -（i 为虚数单位）的展开式中第8项是（ ）. A. 7135x - B. 7135x C.73603ix D.73603ix -921()x x+。
精选上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学(一模)期末质量监控试题(精品解析)
上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学（一模）期末质量监控试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若a，b为实数，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是A. ，且B.C. ，且D. b与，都相交【答案】D【解析】【分析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3.已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是A. B.C. D.a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果.【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4.在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.______．【答案】【解析】【分析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型.7.若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】【分析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8.方程的解为______．【答案】【解析】【分析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型. 9.等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.10.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】试题分析：由得：项的系数为．考点：二项展开式定理求特定项11.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.12.已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想来处理，属于常考题型.13.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.15.已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型.16.若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】【分析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角，解三角形即可. 【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18.已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19.在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C 点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,,，；（2）16.【解析】【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.20.对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k 的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21.对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。
2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)
2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。
年上海市闵行区高考数学一模试卷
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分,7－12每题５分，共54分）1.（4分）集合P=｛x｜0≤x<3，ｘ∈Z}，M＝{x|x2≤9}，则Ｐ∩Ｍ=. 2．(4分）计算=.3．(4分)方程的根是．４.(4分）已知是纯虚数（i是虚数单位）,则= .（4分)已知直线ｌ的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是.５．6．（4分)从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动,选出的３人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．(５分）在（1+2x）5的展开式中,x2项系数为(用数字作答)8.（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A１B1C1中，∠ＡＣB＝90°,AC=4,BＣ=3，AB=BB1，则异面直线A1Ｂ与B1Ｃ1所成角的大小是（结果用反三角函数表示)9.（5分）已知数列｛aｎ}、{b n}满足b n=ｌna n，n∈N*,其中{b n}是等差数列,且，则b1+b２＋…+ｂ1009= ．1０.（5分)如图,向量与的夹角为１20°,,，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若,则λμ的最大值是．11.（5分)已知F１、F２分别是双曲线(a＞0，b>０)的左右焦点，过F１且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P,若PF２⊥F１Ｆ2，则该双曲线的渐近线方程是．12．(5分)如图，在折线ABCD中,AB=BＣ=CＤ=4，∠ABC=∠BCD＝12０°,E、F分别是ＡB、CD的中点，若折线上满足条件的点Ｐ至少有4个,则实数k 的取值范围是.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共2０分)1３．（５分)若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3,则下列结论一定正确的是( )A.ｌ1⊥l3ﻩB.l1∥l３C．l１、ｌ３既不平行也不垂直 D.l１、ｌ3相交且垂直14.（5分）若a>b＞0,c＜d＜0,则一定有()Ａ．ad＞ｂc B.ad<bｃﻩC.ac>bｄD．ａc＜bd１5.（５分）无穷等差数列{aｎ}的首项为ａ１，公差为d,前n项和为S n(ｎ∈N*），则“ａ1＋d>0”是“｛Ｓn}为递增数列”的( )条件.A.充分非必要Ｂ．必要非充分C.充要D．既非充分也非必要１6.（5分)已知函数（n＜m)的值域是[﹣１，１]，有下列结论:①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时,m∈[1,2］;④当时，ｍ∈（ｎ,2］；其中结论正确的所有的序号是（)A.①②ﻩＢ．③④Ｃ．②③ D.②④三．解答题(本大题共５题，共１４+１4＋14＋1６+18=76分)17．(1４分）已知函数(其中ω＞０）.（１）若函数f(x)的最小正周期为３π，求ω的值,并求函数f(x）的单调递增区间;（2）若ω=2,０<α<π，且，求α的值．１8．（14分）如图,已知AＢ是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心，,AＢ＝４,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点，∠AOC＝６０°.（1）求圆锥的侧面积；(２)求直线PＣ与底面所成的角的大小.1９．(14分）某公司举办捐步公益活动,参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童,此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益,据测算,首日参与活动人数为１0０00人,以后每天人数比前一天都增加１５%,30天后捐步人数稳定在第３０天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元,每位捐步者每天可以使公司收益０.０5元(以下人数精确到１人,收益精确到1元)．（1）求活动开始后第５天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；(２)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？２０.（16分)已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2＝２pｘ的焦点,直线l与Γ相交于不同的两点A(ｘ１,ｙ１）、B(ｘ2,ｙ2）．（1）求Γ的方程;(２)若直线ｌ经过点P(2，０),求△OAB的面积的最小值(O为坐标原点)；（3）已知点C(１，２),直线l经过点Q（5,﹣２）,Ｄ为线段ＡB的中点,求证:|ＡB|=２|ＣＤ|．21．（１８分)对于函数y=ｆ(x）（x∈D)，如果存在实数a、b（ａ≠0，且ａ=1，b=0不同时成立)，使得f(x)=ｆ（ax+b)对x∈D恒成立，则称函数ｆ（x）为“(a,ｂ)映像函数”.（１)判断函数f(x)=x２﹣２是否是“(a,b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b 的值，若不是，请说明理由;(2）已知函数y＝f（x)是定义在[0，＋∞）上的“(2,1)映像函数”,且当ｘ∈［0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x)（ｘ∈[３,7))的反函数；｝,使得当ｘ∈[a n,aｎ＋１）（n∈N*）时,2（3）在（2）的条件下,试构造一个数列{aｎｘ+1∈[ａn,ａn+2），并求x∈［a n,a n+１)(n∈N*)时，函数y=f(ｘ）的解析式，及y+1＝f（ｘ）(x∈［0，＋∞））的值域.ﻬ２０18年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，１-6每题4分,７－12每题5分，共５4分）1．（4分）集合Ｐ={x｜0≤ｘ<３,x∈Z}，M=｛x｜x２≤9｝，则Ｐ∩M＝{0，1，2} .【解答】解:∵集合P={x|０≤x＜3,x∈Z}={0,1，2｝,M=｛x|x2≤９}={x|﹣3≤x≤3}，∴Ｐ∩Ｍ={0,1，2｝．故答案为:｛0,1，2}．2.(4分)计算=．【解答】解：＝=＝，故答案为:.3.(4分)方程的根是10 .【解答】解：∵,即１+lgx﹣3+lgｘ＝０，∴lgx＝１，∴ｘ=10．故答案为：10.4.（４分)已知是纯虚数(ｉ是虚数单位），则=．【解答】解:∵是纯虚数,∴,得ｓｉn且cｏs,∴α为第二象限角,则ｃos.∴=ｓｉnαｃos+cosαｓｉn=.故答案为:﹣．5．(4分）已知直线ｌ的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【解答】解:设直线ｌ的倾斜角为θ，θ∈[0，π）.设直线的方向向量为＝(ｘ,y）,则＝x﹣y=0,∴ｔanθ==，解得θ=.故答案为：.6．（４分)从4名男同学和６名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是96 （用数字作答)【解答】解：根据题意，在4名男同学和６名女同学共１0名学生中任取3人，有Ｃ10３=1２0种,其中只有男生的选法有C４3＝4种，只有女生的选法有C６3=20种则选出的３人中男女同学都有的不同选法有１２0﹣4﹣２０=96种;故答案为：96.7.(5分)在（1+2ｘ）5的展开式中，ｘ2项系数为４0(用数字作答）【解答】解:设求的项为T r+１=C5r（2x）r,今ｒ＝2，∴T3=22Ｃ52x2=40x2.∴x２的系数是4０8．（5分）如图,在直三棱柱AＢC﹣A1B1C1中,∠ACＢ=9０°，AC=4，ＢC＝３,AＢ＝ＢＢ１，则异面直线A１B与B1Ｃ１所成角的大小是ａrccoｓ(结果用反三角函数表示）【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1Ｂ1C1中,∠AＣB＝９０°,ＡC=4，BC=3,AB=BB1, BC∥B1Ｃ1，∴∠ＡBC是异面直线A1Ｂ与B1Ｃ1所成角，１∵A1B＝==5,A1C＝＝=,∴cｏs∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos.∴异面直线A1B与Ｂ1C１所成角的大小是arｃcoｓ.故答案为:arｃcｏs．9.(5分)已知数列｛aｎ}、｛ｂn｝满足b n=ｌｎa n,ｎ∈N＊，其中{b n｝是等差数列,且，则b1＋b2＋…+b1009=2018．【解答】解:数列｛a n}、{ｂn}满足ｂn=lnａn，n∈N*,其中{b n}是等差数列,∴b n＋１﹣ｂｎ=lnaｎ＋１﹣lna n=ln=常数t．∴＝常数e t=q＞0,}为等比数列.因此数列{aｎ且，∴a1a10０9=a2ａ100８==…．则b1+b2＋…+ｂ1０09=ln（a1a2…a10０9)=＝lnｅ201８=２018．故答案为:2018．10．（5分)如图,向量与的夹角为120°,，,P是以O为圆心,为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是.【解答】解:如图建立平面直角坐标系，设Ｐ(cosθ，ｓinθ),，，.∵，∴,ｓiｎθ=．∴,∴λμ=﹣+=+，故答案为:1１.（5分)已知F1、F2分别是双曲线（a>0，b>0)的左右焦点,过Ｆ1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PＦ2⊥F1F2,则该双曲线的渐近线方程是ｙ＝±x .｜＝ｍ，｜PF2|=n，|F1Ｆ２｜＝2ｃ，【解答】解：设|PＦ１在直角△ＰF1F2中，∠PF1Ｆ２＝30°，可得m=2n，则ｍ﹣n=2ａ＝n，即a=n，2c＝n,即c＝ｎ，b==ｎ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y＝±x，故答案为:y=±x.１2.(5分)如图，在折线AＢCD中,ＡB=ＢC=CD＝４，∠ABＣ=∠BCD=120°，E、F 分别是ＡＢ、CD的中点,若折线上满足条件的点P至少有４个,则实数k 的取值范围是(﹣，﹣2) ．【解答】解:以BC的垂直平分线为y轴,以ＢC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,∵AB=BC=CD=４，∠ABＣ=∠ＢＣD=1２0°,∴B(﹣2.0）,C(2,0),A(﹣4,２）,Ｄ（4，２),∵Ｅ、Ｆ分别是AB、CＤ的中点,∴E（﹣3，）,F(３,）,设P(x,y）,﹣4≤x≤4,0≤y≤2，∵，∴（﹣３﹣x,﹣ｙ）(3﹣x，﹣ｙ)=x２+(ｙ﹣）+9＝k，即x2+（y﹣）﹣9=ｋ+９,当ｋ＋９＞０时，点P的轨迹为以(0，)为圆心，以为半径的圆,当圆与直线DＣ相切时，此时圆的半径r＝，此时点有2个，当圆经过点C时，此时圆的半径为r=＝，此时点P有4个，∵满足条件的点Ｐ至少有4个，结合图象可得，∴<ｋ＋9＜７,解得﹣＜k<﹣2，故实数k的取值范围为（﹣,﹣２),故答案为：(﹣,﹣2）二．选择题(本大题共4题，每题5分,共2０分）1３．（5分)若空间中三条不同的直线l1、ｌ２、l3,满足l１⊥l2,l２∥ｌ3,则下列结论一定正确的是(）A．ｌ1⊥ｌ3ﻩB．ｌ1∥l3C.l１、l3既不平行也不垂直ﻩＤ．l1、ｌ3相交且垂直【解答】解:∵空间中三条不同的直线l、l2、l3，满足l1⊥ｌ2，l2∥l3，１∴l1⊥l3,故选:A.14.（5分)若a＞b＞0，c＜d<0，则一定有()A.ad＞bcﻩＢ.ad<bcﻩC．ac>bｄD．ａc<bd【解答】解:∵c<d＜0，∴﹣ｃ＞﹣ｄ＞０．又a＞b>0，则一定有﹣aｃ＞﹣bd,可得ac＜ｂd．故选:D.1５．（5分）无穷等差数列{ａｎ}的首项为a1，公差为ｄ，前n项和为Ｓn(n∈N*）,则“a1+d＞0”是“{Ｓn}为递增数列”的()条件.A.充分非必要ﻩB.必要非充分C．充要 D.既非充分也非必要【解答】解：等差数列{ａn}的首项为ａ１，公差为ｄ,前ｎ项和为Sｎ=na１+d，则Ｓn+1=(n+1)a１+,则S n+１﹣S n=(n＋1)a１+﹣na1﹣d=a1+nd，若{Sｎ｝为递增数列，ａ１+nd>0,∵Ｓ2﹣S１=a1+ｄ＞0，∴a1+ｎd>0不能推出a1+d＞0但a１+ｄ能推出a1+nd，故a1＋ｄ>０”是“{Sｎ｝为递增数列必要非充分，故选：B16.(5分）已知函数（ｎ＜m)的值域是［﹣１，1],有下列结论：①当ｎ=0时,m∈（0，２］；②当时,；③当时,m∈［1，2];④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是( ）A.①②Ｂ．③④C．②③D．②④【解答】解：当x>1时，x﹣1＞０,f（x）=2２﹣x+1﹣３=2３﹣x﹣3,单调递减，当﹣1<x<1时，f(x)=２2+x﹣1﹣3=２1+x﹣3，单调递增,∴f(ｘ)=22﹣｜x﹣1｜﹣3在（﹣１,１）单调递增,在(1，+∞)单调递减,∴当ｘ=1时,取最大值为1,∴绘出ｆ（x）的图象，如图：①当n=０时,f（ｘ)=,由函数图象可知：要使ｆ(ｘ）的值域是[﹣１,１]，则ｍ∈(1,2]；故①错误;②当时，f(ｘ)＝,f（x)在[﹣１,］单调递增,f（x)的最大值为1,最小值为﹣1，∴;故②正确;③当时，ｍ∈[1,2]；故③正确，④错误，故选Ｃ.三.解答题(本大题共5题，共14+１4＋14+1６＋１8=76分)17.(1４分）已知函数(其中ω>0）.(1）若函数f（ｘ)的最小正周期为３π，求ω的值，并求函数f(ｘ）的单调递增区间；（2）若ω＝2，0＜α<π,且，求α的值.【解答】解：（1)函数=sｉn（ωx）,∵函数f（x)的最小正周期为3π，即T=3π=∴ω＝那么:，由，ｋ∈Ｚ，得：∴函数f(x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）函数=sｉn（ωｘ),∵ω=2∴f（x）＝sin（2ｘ）,,可得sin（２α）＝∵0<α＜π,∴≤（2α）≤2α＝或解得：α＝或α＝.１8.（14分）如图,已知ＡB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,,AＢ＝4,Ｐ是母线SA的中点，Ｃ是底面圆周上一点，∠AOＣ=60°．(１）求圆锥的侧面积;（2）求直线PＣ与底面所成的角的大小.【解答】解:（１)∵AＢ是圆锥ＳO的底面直径，Ｏ是底面圆心，,ＡB=4, P是母线SＡ的中点，C是底面圆周上一点，∠AＯC=６0°．∴r=＝2，l==＝4,∴圆锥的侧面积S=πrl＝π×２×4=8π.（2）过点Ｐ作PE⊥圆O,交AＯ于Ｅ，连结ＣE,则E是AO中点,∴PE=ＰＯ=,CE==,∴∠PCE是直线PC与底面所成角,∵PE=CＥ,ＰＥ⊥CE,∴,∴直线PＣ与底面所成的角为．１9．(14分)某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平,假设此项活动的启动资金为3０万元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元).（1)求活动开始后第５天的捐步人数，及前５天公司的捐步总收益；(2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【解答】解:（1）设第x天的捐步人数为x，则ｆ（x）=．∴第5天的捐步人数为f（5）=1０000•（1+１５%）4=１７4９0.由题意可知前5天的捐步人数成等比数列,其中首项为10000，公比为1.15,∴前5天的捐步总收益为×０.05=3371；(2)设活动第ｘ天后公司捐步总收益可以回收并有盈余,①若1≤x≤30，则×０.05＞30００00,91≈３２.３(舍）.解得ｘ＞log1.１5②若ｘ>30，则[+10000•1.1529•(x﹣３0）］•0．05>30000０，解得x＞３２.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余. 20．(16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2＝２px的焦点，直线ｌ与Γ相交于不同的两点A（x1,ｙ１）、B（x2,y2)．(1）求Γ的方程;（2)若直线l经过点P(2，0),求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）;(3）已知点C(1,2）,直线l经过点Ｑ(5，﹣2），D为线段ＡＢ的中点，求证：|AB|=2|C Ｄ|．【解答】(１）解:由椭圆,得a2=10，b2=9,则c＝1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ:ｙ2=2px的焦点为（1,0）,则，p＝2，∴Γ的方程为y2=4ｘ;（2)解:设直线l：ｘ=my+2,联立，得ｙ2﹣4my﹣8=0．则y１+y２=4m,y1ｙ2＝﹣8.∴==，即△ＯAＢ的面积的最小值为;(3）证明:当AB所在直线斜率存在时,设直线方程为y+2=k(x﹣5）,即ｙ=kx﹣５k ﹣2．联立,可得ky2﹣４y﹣20k﹣8=0．,．＝．＝==．∵C(1,2）,∴，,则=(x1﹣1)(x2﹣１)+(y1﹣2）（y2﹣２）=x1ｘ２﹣（ｘ1+x２）+1＋y１y２﹣2(ｙ1+y２）＋4=，当AＢ所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5,联立，可得A（5，﹣）,B（5，2)，，，有,∴ＣA⊥CB，又D为线段AB的中点,∴|ＡB|=2|CD｜.２1.（18分）对于函数y=ｆ(ｘ）(ｘ∈D），如果存在实数ａ、b(ａ≠0,且a=1，ｂ=0不同时成立),使得ｆ（x）=f(ax+ｂ）对x∈D恒成立,则称函数ｆ（x)为“（a,b)映像函数”．（１)判断函数f（x)=x2﹣2是否是“(a，b)映像函数”,如果是,请求出相应的a、b的值,若不是,请说明理由；（２）已知函数y=f(x）是定义在[0，+∞)上的“（2,1)映像函数”,且当x∈[0,1）时，f(x）=2x,求函数y＝f（x）（x∈[3,7））的反函数;(3）在（2)的条件下,试构造一个数列{ａn},使得当ｘ∈[a n，a n+1）(n∈N*）时，２x+1∈[a n+1，a n+２)，并求ｘ∈［ａn,a n+１）(n∈Ｎ*)时，函数ｙ=f(x）的解析式,及ｙ=f（x)(x∈［０，+∞))的值域．【解答】解：（1)由f（x）=x2﹣２，可得f(ax＋b)=（ax+ｂ)2﹣2=a2x2＋２abｘ+b2﹣2,由f(x）=ｆ（ａx＋b)，得x2﹣2＝a2x2+２abｘ＋ｂ2﹣2，则，∵a≠0,且a=1,b=０不同时成立,∴a=﹣1,b=0．∴函数f(ｘ)=x２﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；（２）∵函数y=f（x)是定义在[0,＋∞）上的“(2,1)映像函数”，∴f（x)=f(2x+1）,则f(0)=f(1)=f（３)，ｆ(1)=f(3）=f(7）,∴f（0）＝ｆ(3),f（1)=f（７），而当x∈[０,1)时，f(x）=2x，∴x∈［3，7)时,设ｆ（x)=2sx+ｔ,由,解得s=,t=﹣．∴ｘ∈[３,7）时，f(x）=．令y=(３≤x<7),得，∴x=(1≤y<2),∴函数y=ｆ（x)（x∈[3，７）)的反函数为ｙ=（１≤x＜2）;(3)由（2)可知，构造数列{ａn},满足ａ1=0,a n+1=2ａｎ＋1,＋1＝2(ａn+1）,则ａn+1∴数列{ａn＋1｝是以1为首项,以2为公比的等比数列，则,即.当x∈［a n,ａｎ＋1)=［2ｎ﹣1﹣1，2n﹣１).令,解得s=21﹣n,t=２1﹣n﹣1.∴x∈[a n，a n＋１)(n∈N*）时,函数ｙ=f(x)的解析式为f(x)=．当x∈［0，+∞)时，函数f(x）的值域为［1，２)．。
闵行区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
闵行区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）2．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35 B．=0.7x+1 C．=0.7x+2.05 D．=0.7x+0.453．如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（）A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣34．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1 B．C．D．﹣15．等差数列{a n}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（）A．14 B．18 C．21 D．276．下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（）A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜7．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，下列说法正确的是（）A．①对②错B．①错②对C．①对②对D．①错②错8．函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（）A．2 B．3 C．7 D．99．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）班级_______________座号______姓名_______________分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ． 10．已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞211．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π1012．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15二、填空题13．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．14．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．15．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.16．设函数，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数的值域为 ．17．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ．18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .三、解答题19．已知等比数列{a n }中，a 1=，公比q=．（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n =（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．20．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．21．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE FH ⊥，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点,A B 放在弧EF 上，点,C D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值.22．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO图案是多边形ABEFMN，其设计创意如下：在长4cm、宽1c m的长方形ABCD中，将四边形DFEC沿直线EF翻折到MFEN（点F是线段AD上异于D的一点、点E是线段BC上的一点），使得点N落在线段AD上.∆面积；（1）当点N与点A重合时，求NMF-最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积.（2）经观察测量，发现当2NF MF23．已知等差数列{a n}中，a1=1，且a2+2，a3，a4﹣2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．24．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．闵行区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．2．【答案】A【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．故选A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．3．【答案】D【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．4．【答案】A【解析】解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．5．【答案】A【解析】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题6．【答案】D【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，故选D．【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．7．【答案】A【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，故①正确；但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，故②错．故选A．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．8．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）．再根据f（）=2sin（+）=﹣2，可得+=2kπ+，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．【答案】C【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．10．【答案】C【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．11．【答案】B【解析】考点：球与几何体12．【答案】B【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为．故选B．二、填空题13．【答案】．【解析】解：不等式组的可行域为：由题意，A（1，1），∴区域的面积为=（x3）=，由，可得可行域的面积为：1=，∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： =故答案为：．【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．14．【答案】．【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2）， 所以tan α=﹣2．===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．15．【答案】)3,0(【解析】构造函数x x f x F 3)()(-=，则03)(')('>-=x f x F ，说明)(x F 在R 上是增函数，且13)1()1(-=-=f F .又不等式1log 3)(log 33-<x x f 可化为1l o g 3)(l o g 33-<-x x f ，即)1()(l o g 3F x F <，∴1log 3<x ，解得30<<x .∴不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为)3,0(.16．【答案】 {0，1} ．【解析】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．17．【答案】2 【解析】试题分析：第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ，22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=．考点：方差；标准差． 18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】证明：（I ）∵数列{a n }为等比数列，a 1=，q=∴a n =×=，S n =又∵==S n∴S n =（II ）∵a n =∴b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =﹣log 33+（﹣2log 33）+…+（﹣nlog 33）=﹣（1+2+…+n ）=﹣∴数列{b n }的通项公式为：b n =﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．20．【答案】（１） 7a =；（２） 310P =． 【解析】试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．其中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310P =．1 考点：平均数；古典概型．【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好．21．【答案】（1）()21sin cos S θθ=+，其中02πθ<<.（2）6πθ=时，max S =【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关键是用θ表示上下底及高，先由图形得AOE BOF θ∠=∠=，这样可得高2cos AB θ=，再根据等腰直角三角形性质得()1cos sin AD θθ=-+，()1cos sin BC θθ=++最后根据梯形面积公式得()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，交代定义域02πθ<<．（2）利用导数求函数最值：先求导数()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，再求导函数零点6πθ=，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=， 所以()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，其中02πθ<<．考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 22．【答案】（1）215cm 16；（2）24. 【解析】试题分析：（1）设MF x =4x =，则158x =， 据此可得NMF ∆的面积是2115151cm 2816⨯⨯=；试题解析：（1）设MF x =，则FD MF x ==，NF =∵4NF MF +=，4x =，解之得158x =， ∴NMF ∆的面积是2115151cm 2816⨯⨯=； （2）设NEC θ∠=，则2NEF θ∠=，NEB FNE πθ∠=∠=-，∴()22MNF πππθθ∠=--=-，∴112MNNF cos MNFsin cos πθθ===∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，MF FD MN tan MNF ==⋅∠=2cos tan sin πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴22cos NF MF sin θθ+-=.∵14NF FD <+≤，∴114cos sin θθ-<≤，即142tan θ<≤， ∴42πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）， ∴22πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）， 设()2cos f sin θθθ+=，则()212cos f sin θθθ--='，令()0f θ'=得23πθ=， 列表得∴当23πθ=时，2NF MF -取到最小值， 此时，NEF CEF NEB ∠=∠=∠3FNE NFE NFM π=∠=∠=∠=，6MNF π∠=，在Rt MNF ∆中，1MN =，3MF =，3NF =，在正NFE ∆中，NF EF NE ===，在梯形ANEB 中，1AB =，4AN =，4BE =-∴MNF EFN ABEFMN ABEN S S S S ∆∆=++=六边形梯形144142⎛+⨯-⨯=- ⎝⎭.答：当2NF MF -最小时，LOGO 图案面积为24. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 23．【答案】【解析】解：（1）由a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列，∴=（a 2+2）（a 4﹣2），（1+2d ）2=（3+d ）（﹣1+3d ），d 2﹣4d+4=0，解得：d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）b n===（﹣），S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（1﹣），=，数列{b n}的前n项和S n，S n=．24．【答案】【解析】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，解得n=9；设T r+1为常数项，则：T r+1=C9r=C9r2r，由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C9323=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
2018届闵行区高考数学一模
C1CABA 1B 1闵行区2017学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．集合{}03P x x x =≤<∈，Z ，{}29M x x =≤，则P M =I ．2．计算22C lim 1n n n →∞=+ ．3．方程1lg 3lg 011x x +-=的根是 ．4．已知34sin (cos )i 55αα-+-（）是纯虚数（i 是虚数单位），则sin()4απ+= . 5．已知直线l 的一个法向量是1)n =-r，则l 的倾斜角的大小是 ． 6．从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 （用数字作答）.7．在()512x +的展开式中，2x 项系数为 .（用数字作答）8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，=90ACB ∠o，4AC =，3BC =，1AB BB =，则异面直线1A B 与11B C所成角的大小是 （结果用反三角函数表示）． 9．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=L ．10．如图，向量OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120o，2OA =u u u r ,1OB =u u u r，P 是以O 为圆心、||OB uuu r 为半径的弧»BC 上的 动点，若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ11．已知12 F F 、分别是双曲线22221(0 0)x y a b a b-=>>，的左右焦点，过1F 且倾斜角为30o 的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是 .12．如图，在折线ABCD 中，4AB BC CD ===,120ABC BCD ∠=∠=o,E F 、 PE PF k⋅=u u u r u u u r 分别是AB CD 、的中点，若折线上满足条件的点P 至少有4个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若空间中三条不同的直线1l 、2l 、3l ，满足12l l ⊥错误!未找到引用源。
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。
上海市闵行区2018届高考一模数学试卷(答案+解析)
上海市闵行区2018届高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=．2．（4分）计算=．3．（4分）方程的根是．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为（用数字作答）8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是（结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足b n=ln a n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是．12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd15．（5分）无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{S n}为递增数列”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P 是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n}，使得当x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，2x+1∈[a n+1，a n+2），并求x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．【参考答案】一.填空题1．{0，1，2}【解析】∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．【解析】===，故答案为：．3．10【解析】∵，即1+lg x﹣3+lg x=0，∴lg x=1，∴x=10．故答案为：10．4．【解析】∵是纯虚数，∴，得sin且cos，∴α为第二象限角，则cos．∴=sinαcos+cosαsin=．故答案为：﹣．5．【解析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．6．96【解析】根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种；故答案为：96．7．40【解析】设求的项为T r+1=C5r（2x）r，今r=2，∴T3=22C52x2=40x2．∴x2的系数是408．arccos【解析】∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，BC∥B1C1，∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，∵A1B===5，A1C===，∴cos∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos．∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．9．2018【解析】数列{a n}、{b n}满足b n=ln a n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，∴b n+1﹣b n=ln a n+1﹣ln a n=ln=常数t．∴=常数e t=q＞0，因此数列{a n}为等比数列．且，∴a1a1009=a2a1008==…．则b1+b2+…+b1009=ln（a1a2…a1009）==lne2018=2018．故答案为：2018．10．0【解析】如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），，，．∵，∴，sinθ=．∴，∴λμ=+﹣=﹣，故答案为：011．y=±x【解析】设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，在直角△PF1F2中，∠PF1F2=30°，可得m=2n，则m﹣n=2a=n，即a=n，2c=n，即c=n，b==n，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x，故答案为：y=±x．12．（﹣，﹣2）【解析】以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，∴B（﹣2.0），C（2，0），A（﹣4，2），D（4，2），∵E、F分别是AB、CD的中点，∴E（﹣3，），F（3，），设P（x，y），﹣4≤x≤4，0≤y≤2，∵，∴（﹣3﹣x，﹣y）（3﹣x，﹣y）=x2+（y﹣）+9=k，即x2+（y﹣）﹣9=k+9，当k+9＞0时，点P的轨迹为以（0，）为圆心，以为半径的圆，当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，当圆经过点C时，此时圆的半径为r==，此时点P有4个，∵满足条件的点P至少有4个，结合图象可得，∴＜k+9＜7，解得﹣＜k＜﹣2，故实数k的取值范围为（﹣，﹣2），故答案为：（﹣，﹣2）二.选择题13．A【解析】∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，∴l1⊥l3，故选：A．14．D【解析】∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．又a＞b＞0，则一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．故选：D．15．B【解析】等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n=na1+d，则S n+1=（n+1）a1+，则S n+1﹣S n=（n+1）a1+﹣na1﹣d=a1+nd，若{S n}为递增数列，a1+nd＞0，∵S2﹣S1=a1+d＞0，∴a1+nd＞0不能推出a1+d＞0但a1+d能推出a1+nd，故a1+d＞0”是“{S n}为递增数列必要非充分，故选：B16．C【解析】当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3，单调递减，当﹣1＜x＜1时，f（x）=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3，单调递增，∴f（x）=22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴当x=1时，取最大值为1，∴绘出f（x）的图象，如图：①当n=0时，f（x）=，由函数图象可知：要使f（x）的值域是[﹣1，1]，则m∈（1，2]；故①错误；②当时，f（x）=，f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴；故②正确；③当时，m∈[1，2]；故③正确，④错误，故选C．三.解答题17．解：（1）函数=sin（ωx），∵函数f（x）的最小正周期为3π，即T=3π=∴ω=那么：，由，k∈Z，得：∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）函数=sin（ωx），∵ω=2∴f（x）=sin（2x），，可得sin（2α）=∵0＜α＜π，∴≤（2α）≤2α=或解得：α=或α=．18．解：（1）∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．∴r==2，l===4，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．（2）过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点，∴PE=PO=，CE==，∴∠PCE是直线PC与底面所成角，∵PE=CE，PE⊥CE，∴，∴直线PC与底面所成的角为．19．解：（1）设第x天的捐步人数为x，则f（x）=．∴第5天的捐步人数为f（5）=10000•（1+15%）4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x≤30，则×0.05＞300000，解得x＞log1.1591≈32.3（舍）．②若x＞30，则[+10000•1.1529•（x﹣30）]•0.05＞300000，解得x＞32.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．20．（1）解：由椭圆，得a2=10，b2=9，则c=1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为（1，0），则，p=2，∴Γ的方程为y2=4x；（2）解：设直线l：x=my+2，联立，得y2﹣4my﹣8=0．则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴==，即△OAB的面积的最小值为；（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x﹣5），即y=kx﹣5k﹣2．联立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．，．=．===．∵C（1，2），∴，，则=（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4=，当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，联立，可得A（5，﹣），B（5，2），，，有，∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|．21．解：（1）由f（x）=x2﹣2，可得f（ax+b）=（ax+b）2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，由f（x）=f（ax+b），得x2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，则，∵a≠0，且a=1，b=0不同时成立，∴a=﹣1，b=0．∴函数f（x）=x2﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；（2）∵函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，∴f（x）=f（2x+1），则f（0）=f（1）=f（3），f（1）=f（3）=f（7），∴f（0）=f（3），f（1）=f（7），而当x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴x∈[3，7）时，设f（x）=2sx+t，由，解得s=，t=﹣．∴x∈[3，7）时，f（x）=．令y=（3≤x＜7），得，∴x=（1≤y＜2），∴函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数为y=（1≤x＜2）；（3）由（2）可知，构造数列{a n}，满足a1=0，a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2（a n+1），∴数列{a n+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，即．当x∈[a n，a n+1）=[2n﹣1﹣1，2n﹣1）．令，解得s=21﹣n，t=21﹣n﹣1．∴x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式为f（x）=．当x∈[0，+∞）时，函数f（x）的值域为[1，2）．。
上海市闵行区2019届高三第一学期(一模)期末质量监控数学试题(解析版)
上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学（一模）期末质量监控试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若a，b为实数，则“”是“”的 A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是 A. ，且B.C. ，且D. b与，都相交【答案】D【解析】【分析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3.已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是 A. B.C. D. a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果.【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4.在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.______．【答案】【解析】【分析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型.7.若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】【分析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8.方程的解为______．【答案】【解析】【分析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型. 9.等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.10.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】试题分析：由得：项的系数为．考点：二项展开式定理求特定项11.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.12.已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想来处理，属于常考题型.13.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.15.已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型.16.若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】【分析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角(或补角)，解三角形即可.【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中通过平移直线作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18.已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19.在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C 点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,，；（2）16.【解析】【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.20.对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k 的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21.对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。
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上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学（一模）期末质量监控试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若a，b为实数，则“”是“”的 A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是 A. ，且B.C. ，且D. b与，都相交【答案】D【解析】【分析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3.已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是 A. B.C. D. a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果.【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4.在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.______．【答案】【解析】【分析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型.7.若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】【分析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8.方程的解为______．【答案】【解析】【分析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型. 9.等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.10.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】试题分析：由得：项的系数为．考点：二项展开式定理求特定项11.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.12.已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想来处理，属于常考题型.13.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.15.已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型.16.若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】【分析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角，解三角形即可.【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18.已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19.在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C 点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,,，；（2）16.【解析】【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.20.对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21.对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。
(11套)2018年上海市 含所有区 高考数学一模试卷 汇总(打包下载)
（11套）2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=．S11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=2．S【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，=a，且S可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+12018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），）+，化为：=（1﹣a n﹣a n+1∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，+=1，∴1﹣a n﹣a n+1化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+1【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n﹣1=3a n，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣12018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 已知数列{x n}满足，且，点（x n+1的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，（3）从数列{y把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n ＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，。
2018届上海市闵行区高三第二学期质量调研考试理科数学试题 及答案
闵行区2018学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科） （满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =ð ． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z = ．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -= ．4．计算 22lim 2nn C n n→∞=+ ． 5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,则=-)0(1f .6．已知2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin cos 22θθ-=，则cos θ= ．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………8．已知集合{1,3}M =，在M 中可重复的依次取出三个数,,a b c，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是 ．9．已知等边ABC △的边长为3，M 是ABC △的外接圆上的动点，则AB AM ⋅的最大值为 ．10．函数1122log log y =+取最小值时x 的取值范围是 ． 11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x=,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为 .12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，设S 是ABC △ 的面积，若2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则下列结论中：①222a b c <+； ②222c a b >+； ③cos cos sin sin B C B C >； ④ABC △是钝角三角形．其中正确．．结论的序号是 ． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:l y kx =，则1k =是圆O 与直线l 相切的（ ）(A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. 16．8(2展开式中各项系数的和为( )(A) 1-. (B)1. (C)256. (D)256-. 17．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是( )(A)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<.(B)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点.(D)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(),a b 内有且只有一个零点. 18．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ，12k λλ=.则 ( )(A) 4k =. (B) 2k =. (C) 1k =. (D) k 的值与公差d 的大小有关.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠=== ，直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小1C 1B1A为55arctan ．求三棱锥11C A BC -的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x xx=-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元). （注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，已知椭圆Γ过点4(,)33bP ，且220F A F P ⋅= ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求||CD ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m -->，求实数m 的取值范围；（3）对任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立，请说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()2020p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由. （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n na a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.闵行区2018学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．[]1,4-；2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5． 1； 6．54-； 7．33π；8． 58；9．，； 10． 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； 11． 5；12．13． ④；14． {}1,3,67---二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题 19． [解]法一： 1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线BA 1与平面CC BB 11所成的角．…………………4分 设1CCy =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分 所以11111111*********C A BCA C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CCy =1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 则1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 分设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，则11sin46A B nyA B nθ⋅===⇒=⋅，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BCV V V S A C BC CC A C--===⋅=⋅⋅⋅⋅=△． (12)分20．[解] (1)40000()(1640)164360W xR x x xx=-+=--+10100x<<，……6分(2) 解400001643602760W xx=--+≥ (12)分得2(50)0x-≤时，所以50x=.答：为了让年利润W不低于2760万元，年产量50x=. …………………14分21．[解] (1)因为椭圆Γ过点4(,)33bP,所以2161199a+=,解得22a=……3分又以AP为直径的圆恰好过右焦点2F，所以220F A F P⋅=又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b=-，24(,)33bF P c=-，所以24()033bc c--+=而22222b ac c=-=-，所以2210c c-+=得1c=………………6分故椭圆Γ的方程是2212xy+=．………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、， 则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=-- 所以CD所在直线的方程为32y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-=== ………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-= 两等式相减得1132y x =-+………………11分 将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-===．……14分22．[解]（1）221()cos 22sin cos 22f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2分 函数()f x 的最小正周期T π= ………………………………4分 （2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=- ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈-- …………………8分 存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m的取值范围为(),1-∞-.……10分（3）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==- ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭ ………………14分设11()a f x =，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或 所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分23． [解] （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。
上海市闵行区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
闵行区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12 考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则U A =ð2. 2221lim 331n n n n →∞-=++ 3. 若复数z 满足(12i)43i z +=+（i 是虚数单位），则z =4. 方程110322x =-的解为 5. 等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a +=6. 5(12)x -的展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）7. 已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离为8. 已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是9. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为10. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-，则cos C =11. 已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且3παβ-=，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的最大值为12. 若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅（其中121max{,,,}n a a a -⋅⋅⋅表示121,,,n a a a -⋅⋅⋅中的最大项），有以下结论：① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）；② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <；③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若a 、b 为实数，则“1a <-”是“11a>-”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件14. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a ∥b ，则下 列结论不可能成立的是（ ）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交15. 已知函数2222b y x b a=-（x a ≥，0a >，0b >）与其反函数有交点，则下列结论 正确的是（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不确定16. 在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上 的动点，则a OM ⋅的取值范围为（ ）A. [2,2]-B. [5,5]-C. 2525[,]55-D. 25[,5]5-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点.（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小.18. 已知抛物线2:2y px Γ=（0p ≠）.（1）若Γ上一点(1,)M t 到其焦点的距离为3，求Γ的方程；（2）若2p =，斜率为2的直线l 交Γ于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M ，O 为坐标原 点，0OA OB ⋅=，求点M 的坐标.19. 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y （元）与时间x （天）的关系在ABC 段可近似地用函数sin()20y a x ωϕ=++(0,0,0)a ωϕπ>><<的图像从最高点A 到最低点C 的一段来描述（如图），并且从C 点到今天的D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与ABC 段关于直线:34l x =对称，点B 、D 的坐标分别是(12,20)、(44,12).（1）请你帮老张确定a 、ω、ϕ的值，并写出ABC 段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？20. 对于函数()y f x =，若函数()(1)()F x f x f x =+-是增函数，则称函数()y f x =具有 性质A .（1）若2()2x f x x =+，求()F x 的解析式，并判断()f x 是否具有性质A ；（2）判断命题“减函数不具有性质A ”是否真命题，并说明理由；（3）若函数23()f x kx x =+(0)x ≥具有性质A ，求实数k 的取值范围，并讨论此时函数()(sin )sin g x f x x =-在区间[0,]π上零点的个数.21. 对于数列{}n a ，若存在正数p ，使得1n n a pa +≤对任意n ∈*N 都成立，则称数列{}n a 为 “拟等比数列”.（1）已知0a >，0b >，且a b >，若数列{}n a 和{}n b 满足：12a b a +=，1b ab =，且 12n n n a b a ++=，1n n n b a b +=()n ∈*N ； ① 若11a =，求1b 的取值范围；② 求证：数列{}n n a b -()n ∈*N 是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{}n c 的首项为1c ，公差为d ，前n 项和为n S ，若10c >，40350S >， 40360S <，且{}n c 是“拟等比数列”，求p 的取值范围. （请用1c ，d 表示）闵行区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案一. 填空题1. (0,3)2. 233. 2i -4. 2log 5x =5. 2566. 80-7.52 8. [2,4] 9. 12 10. 0 11.31+ 12. ①②③④二. 选择题 13. B 14. D 15. B 16. A三. 解答题17.（1）1223+；（2）5arccos10. 18.（1）28y x =；（2）(4,0).19.（1）()8cos()2024f x x π=+(024)x ≤≤；（2）16.20.（1）具有性质A ；（2）错误，如1()2x y =为减函数，()(1)()F x f x f x =+-为增函数；（3）32k ≥-，当3[,0)2k ∈-，两个零点；当0k =，三个零点；当0k >，四个零点. 21.（1）①(0,1)；②证明略；（2）111c p d +≤≤.。
上海市闵行区2018届高考一模数学试卷（答案+解析）
上海市闵行区2018届高考数学一模试卷填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）一.1.（4分）集合F=｛x|0Wx<3,xCZ｝,M=｛x|JW9｝,贝0.c22.（4分）计算lim/=.n-*<X>n+13.（4分）方程”I"3Tgx的根是.11一4.（4分）已知（s inCl—）+（cosCL旦）i是纯虚数（i是虚数单位），则sin（O-+—）=5545.（4分）已知直线/的一个法向量是弟=（而，-1），则,的倾斜角的大小是■6.（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是—（用数字作答）7.（5分）在（l+2x）5的展开式中，J项系数为（用数字作答）8.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A｝B X C X中，ZACB^90°,ACM,BC=3,AB=BB、,则异面直线A X B与BQ所成角的大小是—（结果用反三角函数表示）9.（5分）已知数列｛劣｝、｛成｝满足b n=lna n,住N*,其中｛知｝是等差数列，且a.,,=嵌，则力1+力2+...+人1009=-10.（5分）如图，向量OA-^OB的夹角为120。
，|菰|=2，I瓦1=1，p是以。
为圆心，I瓦I*****...为半径的弧BC上的动点，若0P=?v0A+|10B，则”的最大值是.11.（5分）已知F］、理分别是双曲线彳兰>=1（a>0,b>0）的左右焦点，过比且倾斜a2b2角为30。
的直线交双曲线的右支于P,若PF2±F i F2,则该双曲线的渐近线方程是12. (5 分)如图，在折线 ABCD 中，AB=BC=CD=4, ZABC=ZBCD=nO°, E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若折线上满足条件瓦-PF =k 的点P 至少有4个,则实数k 的取值范围是.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. （5分）若空间中三条不同的直线小稣13,满足32,，2〃，3,则下列结论一定正确的是（）A. Zi±Z 3 B.h//l 3C. £ 4既不平行也不垂直D.h 、石相交且垂直14. （5 分）若 a>b>0, c<d<0,则一定有（)A. ad~>bc B. ad<bc C.ac>bd D. ac<bd 15. （5分）无穷等差数列｛a “｝的首项为幻，公差为d,前〃项和为S.（〃£N*）,则“叫+4>0”是“｛£｝为递增数列”的（ ）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要16.（5分）己知函数f （x ）=<log 】 (1-x)722-|x -1|-3-1 < x< n3Vm)的值域是[-1, 1],有下列n< x 〈m结论:①当n-0时,mG (0, 2]；②当n 二时，2（7T ，2］；③当n£ [0,④当n£ [0,§)时，me[l,§)时，mE (ft, 2]；2];其中结论正确的所有的序号是（）A.①② B.③④ D.②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. （14 分）已知函数f （x ）=3$in3 x+^^"cos3 x （其中刃>。
上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学(一模)期末质量监控试题(解析版)
上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学（一模）期末质量监控试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若a，b为实数，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是A.，且 B.C. ，且D. b与，都相交【答案】D【解析】【分析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3.已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是A. B.C. D. a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果.【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4.在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.______．【答案】【解析】【分析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型.7.若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】【分析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8.方程的解为______．【答案】【解析】【分析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型. 9.等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.10.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】试题分析：由得：项的系数为．考点：二项展开式定理求特定项11.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.12.已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想来处理，属于常考题型.13.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.15.已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型.16.若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】【分析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角，解三角形即可.【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18.已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19.在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,,，；（2）16.【解析】【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.20.对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21.对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。
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2
19. 某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将 牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告 效益，据测算，首日参与活动人数为 10000 人，以后每天人数比前一天都增加 15%，30 天 后捐步人数稳定在第 30 天的水平，假设此项活动的启动资金为 30 万元，每位捐步者每天可 以使公司收益 0.05 元（以下人数精确到 1 人，收益精确到 1 元）. （1）求活动开始后第 5 天的捐步人数，及前 5 天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？
B. l1 ∥ l3
C. l1 、 l3 既不平行也不垂直
14. 若 a b 0 ， c d 0 ，则一定有（
A. ad bc
B. ad bc
D. l1 、 l3 相交且垂直 ） C. ac bd
D. ac bd
15. 无穷等差数列{an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，前 n 项和为 Sn（ n N * ），则“ a1 d 0 ”
（1）若函数 f (x) 的最小正周期为 3 ，求 的值，并求函数 f (x) 的单调递增区间；
（2）若 2 ， 0 ，且 f ( ) 3 ，求 的值. 2
18. 如图，已知 AB 是圆锥 SO 的底面直径， O 是底面圆心， SO 2 3 ， AB 4 ， P 是母 线 SA 的中点， C 是底面圆周上一点， AOC 60 . （1）求圆锥的侧面积； （2）求直线 PC 与底面所成的角的大小.
分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1（ a 0 ，b 0 ）的左右焦点，过 F1 且倾斜角为
30°的直线交双曲线的右支于 P ，若 PF2 F1F2 ，则该双曲线的渐近线方程是
12. 如图，在折线 ABCD 中， AB BC CD 4 ，
ABC BCD 120 ， E 、 F 分别是 AB 、 CD
是“{Sn} 为递增数列”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
16.
已知函数
f
(
x)
log 1 2(1 Nhomakorabeax)
1 x n （ n m ）的值域是[1,1] ，有下列结论：
22|x1| 3 n x m
① 当 n 0 时， m (0, 2] ；② 当 n 1 时， m (1 , 2] ；③ 当 n [0, 1) 时， m [1, 2] ；
的中点，若折线上满足条件 PE PF k 的点 P 至
少有 4 个，则实数 k 的取值范围是
1
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 若空间中三条不同的直线 l1 、 l2 、 l3 ，满足 l1 l2 ， l2 ∥ l3 ，则下列结论一定正确的是
（）
A. l1 l3
2
2
2
④ 当 n [0, 1) 时， m (n, 2] ； 2
其中结论正确的所有的序号是（ ）
A. ①②
B. ③④
C. ②③
D. ②④
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17. 已知函数 f (x) 3 sin x 3 cosx （其中 0 ）.
2
2
3 lg x 0 的根是
1
1
4. 已知 (sin 3) (cos 4)i 是纯虚数（ i 是虚数单位），则 sin( )
5
5
4
5. 已知直线 l 的一个法向量是 n ( 3, 1) ，则 l 的倾斜角的大小是
6. 从 4 名男同学和 6 名女同学中选取 3 人参加某社团活动，选出的 3 人中男女同学都有的
21. 对于函数 y f (x) （ x D ），如果存在实数 a 、 b （ a 0 ，且 a 1， b 0 不同时成 立），使得 f (x) f (ax b) 对 x D 恒成立，则称函数 f (x) 为“ (a,b) 映像函数”. （1）判断函数 f (x) x2 2 是否是“ (a,b) 映像函数”，如果是，请求出相应的 a 、b 的值， 若不是，请说明理由； （2）已知函数 y f (x) 是定义在[0, ) 上的“ (2,1) 映像函数”，且当 x [0,1) 时， f (x) 2x ，求函数 y f (x) （ x [3,7) ）的反函数； （3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an} ，使得当 x [an , an1) （ n N * ）时， 2x 1[an1, an2) ，并求 x [an ,an1)（ n N * ）时，函数 y f (x) 的解析式，及 y f (x) （ x [0,) ）的值域.
20. 已知椭圆 x2 y2 1 的右焦点是抛物线 : y2 2 px 的焦点，直线 l 与 相交于不同的 10 9
两点 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) . （1）求 的方程； （2）若直线 l 经过点 P(2,0) ，求 OAB 的面积的最小值（ O 为坐标原点）； （3）已知点 C(1, 2) ，直线 l 经过点 Q(5, 2) ， D 为线段 AB 的中点，求证：| AB | 2 | CD | .
不同选法种数是
（用数字作答）
7. 在 (1 2x)5 的展开式中， x2 项系数为
（用数字作答）
8. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ACB 90 ，
AC 4 ， BC 3 ， AB BB1 ，则异面直线 A1B 与 B1C1
所成角的大小是
（结果用反三角函数表示）
9. 已知数列{an} 、{bn} 满足 bn ln an ， n N * ，其中{bn}
上海市闵行区 2018 届高三一模数学试卷
2017.12
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1. 集合 P {x | 0 x 3, x Z} ， M {x | x2 9} ，则 P M
2.
计算
lim
n
Cn2 n2
1
1 lg x 3. 方程
是等差数列，且 a3 a1007 e4 ，则 b1 b2 b1009
10. 如图，向量 OA 与 OB 的夹角为 120°， | OA | 2 ，
|
OB
|
1
，
P
是以
O
为圆心，
|
OB
|
为半径的弧
BC
上的
动点，若 OP OA OB ，则 的最大值是
11.
已知
F1
、
F2