浙江省丽水市2020年(春秋版)高二上学期期中数学试卷B卷
2019-2020学年浙江省丽水市四校高二(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
2
2
故选： C ．
3．经过点 (1, 3) ，倾斜角是150 的直线方程是 ( )
D． 2 2
A． x 3y 3 3 1 0
B． x 3y 3 3 1 0
C． x 3y 3 3 1 0
D． x 3y 3 3 1 0
【解答】解：直线的倾斜角为150 ，所求直线的斜率 k tan150 3 ， 3
2
:
3
，
|
FD
|:|
BC
|
2
:
3
，
|
BC
|
3
，
m 2 ， n2 4 2 ， n 2 2 ， a 4 2 ， AB 32 (6 2)2 9 ， 故选： C ．
8．已知直线 y mx 3m 和曲线 y 4 x2 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 (
，点 P(1, 3) 2
为椭圆上一点．
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）如图，过点 C(0,1) 且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M ， N 两点，记直线 AM 的斜率
为 k1 ，直线 BN 的斜率为 k2 ，若 k1 2k2 ，求直线 l 斜率的值．
-4-
2019-2020 学年浙江省丽水市四校高二（上）期中数学试卷
，l 与圆
x2
y2
a2
相交于 A ， B 两点．
（Ⅰ）求 m （用 a ， b ， k 表示）；
（Ⅱ）当 k 1 时， AOB 的面积的最大值为 1 a2 ，求椭圆的离心率．
2
2
-3-
22．已知抛物线 E : y2 2 px( p 0) ，过其焦点 F 的直线与抛物线相交于 A(x1 ， y1) ， B(x2 ，
浙江省丽水市高二上学期期中数学试卷
浙江省丽水市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）数列的一个通项公式是（）A .B .C .D .2. （2分）设数列{an}是由正数组成的等比数列，a2a9=81，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A . 20B . 25C . 27D . 303. （2分） (2016高三上·鹰潭期中) 如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（）A . a﹣b＞0B . ac＜bcC . a2＞b2D .4. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 记为等差数列的前项和，若，，则（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分） (2017高一下·双鸭山期末) 在中，若，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定6. （2分） (2018高二上·抚顺期末) 若实数成等差数列，成等比数列，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·水富期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若 =3，则 =（）A . 2B .C .D . 38. （2分）已知等比数列中，公比若则有（）A . 最小值-4B . 最大值-4C . 最小值12D . 最大值129. （2分）已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A . 12B . 11C . 8D . -110. （2分） (2017·白山模拟) 在数列{an}中，若为定值，且a4=2，则a2a3a5a6等于（）A . 32B . 4C . 8D . 1611. （2分）已知f（x）=x2﹣3，g（x）=mex ，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）A . （0，）B . （-3，）C . （-2e，）D . （0，2e）12. （2分）已知数列中，，定义，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若P= ，Q= （a≥0），则P、Q的大小关系是：________14. （1分）已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为________15. （1分） (2018高二上·会宁月考) 函数的定义域为________.16. （1分） (2017高一上·青浦期末) 已知log163=m，则用m表示log916=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．18. （10分） (2016高三上·贵阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA，=3．（1）求△ABC的面积S；（2）若c=1，求a的值．19. （10分）数列的前项和为，且满足， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .20. （10分） (2017高一下·怀远期中) 解下列不等式（组）（1） 2x2﹣3x﹣5≥（）x+2（2）．21. （5分）(2017·成都模拟) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 = ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足 =2 ，且线段AD=3，求2a+c的最大值．22. （5分） (2018高三上·重庆期末) 已知数列满足：。
浙江省丽水市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省丽水市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）定义：数列{an},满足,d为常数，我们称{an}为等差比数列，已知在等差比数列{an}中，a1=a2=1,a3=2，则的个位数（）A . 3B . 4C . 6D . 82. （1分） (2019高一下·雅安期末) 已知中，，，则角等于（）A .B . 或C .D .3. （1分） (2018高一下·重庆期末) 已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（）A .B .C .D .4. （1分） (2017高三上·北京开学考) 如果sin（π﹣A）= ，那么cos（﹣A）=（）A . ﹣B .C . ﹣D .5. （1分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A . 24里B . 12里C . 6里D . 3里6. （1分）在等差数列中，若，则的值为（）A . 9B . 12C . 16D . 77. （1分）(2018·济南模拟) 已知满足约束条件的最大值为（）A .B .C . 3D . 48. （1分）等差数列{an}的前n项为Sn ，若公差d=﹣2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（）A . 10B . 9C . 6D . 59. （1分）某商场中秋前30天月饼销售总量f（t）与时间t（0＜t≤30）的关系大致满足f（t）=t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前10天的平均售出为）的月饼最少为（）A . 18B . 27C . 20D . 1610. （1分）若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是（）A . m＜﹣5或m＞10B . m=﹣5或m=10C . ﹣5＜m＜10D . ﹣5≤m≤1011. （1分）为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为（）A .B .C .D .12. （1分） (2019高二上·南宁月考) 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（）A . 4B . 6C .D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·邯郸期末) 设a＞0，b＞0，是a与b的等比中项，logax=logby=3，则的最小值为________．14. （1分）在△ABC中，，边AC上的中线，则sinA=________．15. （1分）数列{an}的通项公式为an=n2+λn，对于任意自然数n（n≥1）都是递增数列，则实数λ的取值范围为________．16. （1分）若等差数列的前n项和分别为，且，则 ________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2018高二上·遵义月考) 已知等差数列满足： .（1）求；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn.18. （2分） (2018高一上·长春月考) 二次函数，（1）已知函数图像关于对称，求的值以及此时函数的最值；（2）是否存在实数，使得二次函数的图像始终在轴上方，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（3）求出函数值小于0时的取值的集合.19. （2分） (2018高二上·宁夏月考) 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为 , ,，若,（1）求∠B的大小；（2）若，，求△ABC的面积．20. （2分）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2 ，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（1）若PB=1，求PA；（2）若∠APB=120°，设∠PBA=α，求tanα的值．21. （2分） (2018高一下·淮北期末) 已知为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．22. （2分） (2016高一上·郑州期中) 2012年，商品价格一度成为社会热点话题，某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，由于政府及时采取有效措施，从而使后60天的价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表时间第4天第32天第60天第90天价格（元）2330227（1）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x天）；（2）销售量g（x）与时间x的函数关系：（1≤x≤100，且x∈N），则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少元？参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省丽水市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省丽水市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）直线的倾斜角的范围是（）A .B .C .D .2. （2分）平行线和的距离是（）A .B . 2C .D .3. （2分）已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·泸州模拟) 设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A . a⊥α，b∥β，α⊥βB . a⊥α，b⊥β，α∥βC . a⊂α，b⊥β，α∥βD . a⊂α，b∥β，α⊥β5. （2分） (2017高一上·福州期末) 已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（）A . 外切B . 内切C . 相交D . 相离6. （2分）已知直线ax+by+c=0不经过第一象限，且ab＞0，则有（）A . c＜0B . c＞0C . a c≥0D . ac＜07. （2分）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（）A .B .C .D . 18. （2分）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为10，要使其体积最大，则高应为（）A .B .C .D .9. （2分）异面直线是指（）A . 空间中两条不相交的直线B . 平面内的一条直线与平面外的一条直线C . 分别位于两个不同平面内的两条直线D . 不同在任何一个平面内的两条直线10. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知是直线：上一动点，、是圆：的两条切线，切点分别为、，若四边形的最小面积为，则（）A .B .C .D .11. （2分）空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A . 10B . 6C . 8D . 512. （2分） (2019高三上·安顺模拟) 已知函数，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一上·衡阳期末) 两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是________．14. （1分）空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF=，则AD与BC所成的角为________15. （1分） (2016高二上·苏州期中) 圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为________16. （1分）在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是________ ．三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2016高一下·湖南期中) 直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．18. （10分）(2020·西安模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．19. （10分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体N﹣BCM的体积．20. （10分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB的上一点，且AD=tAB．（1）当t= 时，求证：BC1∥平面A1CD；（2）若AB=AA1，且t= ，求平面A1CD与平面BB1C1C所成锐二面角的余弦值．21. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于 , 两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.22. （2分）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O 上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共52分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
浙江省丽水市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省丽水市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分）已知等差数列{an}满足a1+a5+a9=24，则log2（2a6﹣a7）=________．2. （1分） (2016高三上·泰兴期中) 等比数列{an}中，若a5=1，a8=8，则公比q=________．3. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知a，b∈R，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2”的________条件．4. （1分） (2017高一下·彭州期中) 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6=________．5. （1分） (2018高三上·河南期中) 已知向量，间的夹角为，若，，则________．6. （1分） (2017高二下·河北期末) 已知数列满足，，则最小值为________．7. （1分）(2017·滨州模拟) 已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，P、Q分别是其对角线AC、BD上的动点，则• 的最大值为________．8. （1分） (2016高二下·新洲期末) 用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证n=________时，命题亦真．9. （1分） (2017高一下·南通期中) 已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．10. （1分）(2014·上海理) 设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1= （a3+a4+…an），则q=________．11. （1分） (2017高一下·宿州期末) 数列{an}中，若an= ，则其前6项和为________．12. （1分） (2016高二下·晋江期中) 在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为，则=（）A .B .C .D .14. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（）A . 18B . 19C . 20D . 2115. （2分）已知圆的半径为2，是圆上两点且，是一条直径，点在圆内且满足，则的最小值为（）A . －2B . －1C . －3D . －416. （2分）(2013·辽宁理) 下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A . p1 ， p2B . p3 ， p4C . p2 ， p3D . p1 ， p4三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2018高一下·四川月考) 已知数列是等差数列，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .18. （10分） (2017高一上·保定期末) 已知，且与为不共线的平面向量．（1）若，求k的值；（2）若∥ ，求k的值．19. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 已知正项数列{an}的首项a1=1，且（n+1）a +anan+1﹣na =0对∀n∈N*都成立．（1）求{an}的通项公式；、（2）记bn=a2n﹣1a2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．20. （10分） (2018高二下·邱县期末) 已知数列是等比数列，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由.21. （15分）(2017·黄浦模拟) 已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．（1）若bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若cn=an+2an+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是“数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
浙江省丽水市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省丽水市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·宝山模拟) 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A . 80B . 96C . 108D . 1102. （2分）椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为（）A .B .C . 2D . 43. （2分） (2016高一下·枣强期中) 已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A . 4或5B . 5或6C . 6或7D . 84. （2分）“m=4”是“直线(m+2)x+2my-1=0与直线(m+)x+(m+2)y+3=0相互平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要5. （2分）直线截圆所得劣弧所对的圆心角是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) “（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）(2017·银川模拟) 已知P为圆C：x2+y2=π2内任意一点，则点P落在函数f（x）=sinx的图象与x轴围成的封闭区域内的概率为（）A . 0B . 1C .D .8. （2分）在校运会800米预赛中，甲、乙两名选手被随机地分配到A、B两个小组之一，则他们被分到同一小组的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=， c﹣a=2，b=3，则a=（）A . 2B .C . 3D .11. （2分）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0和圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的位置关系是（）A . 相交B . 外切C . 内切D . 相离12. （2分）(2018·郑州模拟) 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·荔湾期末) 已知命题“ ”，则 ________．14. （1分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是________．15. （1分） (2019高一下·武宁期末) 已知具有线性相关关系的两个量之间的一组数据如表：012342.2 4.3 4.5 6.7且回直线方程是，则的值为________．16. （1分） (2016高二上·平阳期中) 设椭圆的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（，0），则椭圆的方程为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二上·惠城期中) 某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（3）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．18. （15分） (2018高二上·承德期末) 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中及图中的值；（2）若该校高一学生有800人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.19. （10分）写出命题若，则x=2且y=一1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．20. （10分） (2018高二下·青铜峡期末) 为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量（万辆）1234567的浓度（微克/立方米）28303541495662（1）求关于的线性回归方程；（提示数据：）（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时的浓度；（II）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中， .21. （10分） (2016高二上·唐山期中) 已知斜率为1的直线 l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求AB长．22. （10分）求下列各圆的标准方程：（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y﹣1=0切于点M（2，﹣1）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
浙江省丽水市2020年(春秋版)高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
浙江省丽水市2020年（春秋版）高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A . 90B . 100C . 180D . 3002. （2分） (2019高二上·保定月考) 频率分布直方图中每个矩形的面积所对应的数字特征是（）A . 频数B . 众数C . 平均数D . 频率3. （2分） (2018高二下·舒城期末) 已知单位圆有一条长为的弦，动点在圆内，则使得的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）.A . 84，4.84B . 84，1.6C . 85，1.6D . 85，45. （2分） (2016高一下·正阳期中) 如果数据x1 ， x2 ，…，xn的平均数是，方差是S2 ，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数和方差分别是（）A . 和SB . 2 +3和4S2C . 和S2D . 和4S2+12S+96. （2分） (2016高二下·孝感期末) （文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A . 必要但不充分条件B . 充分但不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高三下·漳州开学考) 函数f（x）= ，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，有以下四个结论①m∈[3，4）②abcd∈[0，e4）③a+b+c+d∈④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一．则其中正确的结论是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④8. （2分） (2017高二下·河北开学考) 如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，动点P、Q 分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·浙江模拟) 如图，圆M和圆N与直线l：y=kx分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|=|ON|且 =2 ，则实数k的值为（）A . 1B .C .D .10. （2分） (2019高一下·郑州期末) 某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A . 不全相等B . 均不相等C . 都相等，且为D . 都相等，且为11. （2分） (2016高二上·包头期中) 已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（）A . 若l∥m，m⊂α，则l∥αB . 若l∥α，m⊂α，则l∥mC . 若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD . 若l⊥α，m⊂α，则l⊥m12. （2分）四棱锥中，底面是平行四边形，，，,则直线与底面的关系是（）A . 平行B . 垂直C . 在平面内D . 成60°角二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·海南期中) 命题，则的否定形式是________．14. （1分） (2015高一下·普宁期中) 已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图像关于直线x=1对称，则sin2φ________．15. （1分）在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q落在△ABE 内部的概率是________16. （1分）(2018·北京) 能说明“若f 对任意的x 都成立，则f 在上是增函数”为假命题的一个函数是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·滕州月考) 已知平面向量，．（1）若与垂直，求；（2）若，求．18. （10分） (2016高二上·公安期中) 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n （n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．19. （5分） (2019高二上·齐齐哈尔月考) 已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x ＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.20. （10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2 ，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G；（1）求直线D1E与平面D1DBB1所成角的大小；（2）求点D1到平面B1EF的距离d．21. （10分）综合题。
浙江省丽水市四校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)
浙江省丽水市四校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 圆x 2+y 2−6x +8y =0的半径等于( ) A. 25B. 3C. 4D. 5 2. 已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距是( )A. 2√2B. 2√6C. 4√2D. 4√6 3. 过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135°的直线方程为( ) A. y +4√3=3xB. y =x −√3C. x +y =√3D. x +y +√3=0 4. 圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −2)2+y 2=1的位置关系是( ) A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切 5. 直线x +(m +1)y −1=0与直线mx +2y −1=0平行，则m =( ) A. −2B. 1或−2C. 1D. −1或2 6. 某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是( )A. 23B. 43C. 4D. 2√537. 抛物线y 2=16x 的焦点为F ，点A 在y 轴上，且满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，抛物线的准线与x 轴的交点是B ，则FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −4B. 4C. 0D. −4或4 8. 若直线y =k(x +4)与曲线x =√4−y 2有交点，则k 的取值范围是( ) A. [−12,12]B. (−∞,−12)∪(12,+∞)C. [−√33,√33]D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞) 9. 已知x ，y 满足{y ≥x x +y ≤2x ≥a，且z =2x +y 的最大值是最小值的4倍，则a =( )A. 34B. 14C. 211D. 410. P 为双曲线C ：x 2a 2−y 29=1(a >0)上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1||PF 2|的值为( )A. 6B. 9C. 18D. 36 11. 已知直线l 1：y =kx 和l 2：x +ky −2=0相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A. x 2+y 2=1 B. (x −1)2+y 2=1C. x 2+y 2=1(x ≠0)D. (x −1)2+y 2=1(x ≠0) 12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A. (0,+∞)B. (13,+∞)C. (15,+∞)D. (19,+∞) 二、填空题（本大题共7小题，共34.0分） 13. 双曲线x 22−y 22=1的实轴长为______ ． 14. 若实数x ，y 满足{y ≤x −12x +y ≤2x +y ≥−3，则z =x +2y 的最小值为______．15. 过点(2,1)，且垂直于l 3：x +2y −5=0的直线方程为______ ．16. 圆C ：(x −1)2+(y−2)2=25，被直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0截得的弦长最短时m 的值等于__________．17. 焦距为20，渐近线方程为y =±12x 的双曲线方程为____________________ .18. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,0),B(4,0)，若在圆C:(x −a)2+(y −2a)2=9上存在点P 使得PA =12PB ，则实数a 的取值范围是 ．19. 若过椭圆x 25+y 24=1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．三、解答题（本大题共4小题，共56.0分）20. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y =x +3，求|MF|+|NF|的值；(2)若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|MN|．21.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,32)，离心率为12.过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点．(1)求实数a、b的值；(2)若AB=72，求直线AB的方程．22.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．(1)若|AB|=8，求抛物线的方程；(2)求S△ABM的最大值．23.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴的一个顶点为A，短轴的一个顶点为B，O为坐标原点，且．(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l:y=x+m与椭圆C交于P,Q两点，且直线l不经过点M(4,1).记直线MP,MQ的斜率分别为k1,k2，试探究k1+k2是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：圆x2+y2−6x+8y=0即(x−3)2+(y+4)2=25，故此圆的半径为5，故选D．把圆的方程化为标准形式，即可求得半径．本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．2.答案：C解析：解：椭圆C：y2a2+x216=1(a>4)的离心率是√33，可得√a2−16a =√33，解得a=2√6．可得c=√24−16=2√2．则椭圆C的焦距是：4√2．故选：C．利用椭圆的离心率求出a，然后求解焦距即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.答案：D解析：【分析】由直线的倾斜角为135°，所以可求出直线的斜率，进而根据直线的点斜式方程写出即可．本题考查了直线的方程，理解直线的点斜式是解决此问题的关键．【解答】解：∵直线的倾斜角为135°，∴斜率k=tan135°=−1，又直线过点P(√3,−2√3)，∴直线的点斜式为y+2√3=−(x−√3)即x+y+√3=0．故选：D．4.答案：D解析：解：两圆的圆心和半径分别为C1：(0,0)，半径r=1，圆C2：(2,0)，半径R=1，则|C1C2|=2=R+r，∴两个圆相外切，故选：D．根据圆与圆的位置关系的条件进行判断即可得到结论．本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，比较基础．5.答案：A解析：【分析】本题考查两直线平行，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用两直线平行的条件得到1×2=(m+1)×m，注意检验．【解答】解：由题意，得1×2=(m+1)×m，解得m=1或−2．当m=1时，两直线重合，矛盾，故m=−2，故选A．6.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD，如图所示；则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2，所以该四棱锥的体积是V=13×2×2=43．故选：B．根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．7.答案：C解析：解：抛物线y 2=16x 的焦点为F(4,0)，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得A(0,±4)，又B(−4,0)，即有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−4)或FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4)则有FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−16=0， 故选：C ．求得抛物线的焦点坐标，由条件可得A 的坐标，再由抛物线的准线可得B 的坐标，得到向量FA ，AB 的坐标，由数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查向量的坐标运算，属于基础题．8.答案：A解析：解：直线y =k(x +4)恒过定点(−4,0)，曲线x =√4−y 2即为右半圆x 2+y 2=4，当直线过点(0,−2)可得−2=4k ，解得k =−12，当直线过点(0,2)可得2=4k ，解得k =12．由图象可得当−12≤k ≤12时，直线和曲线有交点．故选：A ．求得直线恒过定点(−4,0)，曲线x =√4−y 2即为右半圆x 2+y 2=4，作出直线和曲线，通过图象观察，即可得到直线和半圆有交点时，k 的范围．本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题． 9.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，结合目标函数z =2x +y 的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =2x +y 得y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由{x +y =2y =x ，解得{x =1y =1即A(1,1)，此时z =2×1+1=3，当直线y =−2x +z 经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最小，由{x =a y =x ，解得{x =a y =a ，即B(a,a)，此时z =2×a +a =3a ，∵目标函数z =2x +y 的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a ，即a =14．故选B ．10.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的简单性质以及余弦定理，属于基础题．根据双曲线的简单性质以及余弦定理即可求出．【解答】解：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，且m >n ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=m 2+n 2−2mncos60°=(m −n)2+mn ，所以mn =4c 2−4a 2=4b 2=36．故选D ．11.答案：D解析：【分析】本题考查点的轨迹方程，属基础题．设P(x,y)，由两条直线垂直，且过定点，转化求出答案．【解答】解：两条直线的斜率之积为−1，且两条直线分别过定点A(0,0)，B(2,0);设点P(x,y)，则有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(−x,−y)·(2−x,−y)=0，即(x −1)2+y 2=1，又x =0时，直线l 1：y =0和l 2：ky −2=0不可能相交于点P ，故x ≠0， 故P 的轨迹方程为(x −1)2+y 2=1(x ≠0)，故选D ．12.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于难题．设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，(m >n)，由条件可得m =10，n =2c ，再由椭圆和双曲线的定义可得a 1=5+c ，a 2=5−c ，(c <5)，运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，(m >n)，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，即有m =10，n =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m −n =2a 2，即有a 1=5+c ，a 2=5−c ，(c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c +2c >10，可得c >52，即有52<c <5．由离心率公式可得e 1⋅e 2=c a 1⋅c a 2=c 225−c 2=125c 2−1，由于1<25c 2<4，则有125c 2−1>13．则e 1⋅e 2 的取值范围为(13,+∞)．故选B ． 13.答案：2√2解析：解：双曲线x 22−y 22=1，所以a =√2， 双曲线x 22−y 22=1的实轴长为：2√2．故答案为：2√2．直接利用双曲线的性质即可．本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力．14.答案：−11解析：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．【解答】解：由实数x ，y 满足{y ≤x −12x +y ≤2x +y ≥−3，作出可行域如图，联立{2x +y =2x +y =−3，解得A(5,−8)， 化目标函数z =x +2y 为y =−12x +12z ，由图可知，当直线y =−12x +12z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为：−11．故答案为−11．15.答案：2x−y−3=0解析：解：设垂直于l3：x+2y−5=0的直线方程为2x−y+c=0，把点(2,1)代入，得：c=−3．∴所求直线方程为：2x−y−3=0．故答案为：2x−y−3=0．设垂直于l3：x+2y−5=0的直线方程为2x−y+c=0，把点(2,1)代入，能得到所求直线方程．本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的位置关系的合理运用．16.答案：−解析：直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0即(x+y−4)+m(2x+y−7)=0，过定点M(3,1)，由于点M在圆C：(x−1)2+(y−2)2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，故它们的斜率之积等于−1，即=−1，解得m=−．17.答案：x280−y220=±1解析：【分析】本题考查双曲线的标准方程，属于基础题．由焦距为20，得c=10，当双曲线焦点在x轴上时，a=2b，当双曲线焦点在y轴上时，b=2a，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵焦距为20，∴2c=20，解得c=10，渐近线方程为y=±12x，∴当焦点在x轴上时ba =12，∴a=2b，∴a2+b2=5b2=100，解得a2=80,b2=20，双曲线方程为x280−y220=1；同理求得当焦点在y轴上时，双曲线方程为y280−x220=1，故所求双曲线的方程为x280−y220=±1．故答案为x 280−y 220=±1．18.答案：[−√5,−√55]∪[√55,√5]解析：【分析】本题考查圆有关的轨迹问题及圆与圆的位置关系及判定，属于中档题，先由PA =12PB ，求出点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4，问题转化为圆与圆相交即可．【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,0),B(4,0)，PA =12PB ，设P(x,y)，则√(x −1)2+y 2=12√(x −4)2+y 2，化简得x 2+y 2=4，又点P 在圆C:(x −a)2+(y −2a)2=9上，则两圆相交，必须3−2≤√a 2+4a 2≤3+2， 解得a ∈[−√5,−√55]∪[√55,√5]． 故答案为[−√5,−√55]∪[√55,√5]． 19.答案：53解析：【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要注意对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主，对于直线与圆锥曲线的位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可．将椭圆与直线方程联立：{4x 2+5y 2−20=0y =2(x −1)，得交点A(0,−2),B(53,43)，进而结合三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：由题意知{4x 2+5y 2−20=0y =2(x −1), 解方程组得交点A(0,−2),B(53,43)，∴S OAB =12⋅OF ⋅|y 1−y 2|=12×1×|43+2|=53．故答案为53． 20.答案：解：(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8y,y =x +3,整理得y 2−14y +9=0， 可得Δ>0，则y 1+y 2=14，因为M ，N 均在抛物线C 上，所以|MF|+|NF|=y 1+y 2+4=18；(2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ，联立{x 2=8y,y =2x +t,整理得x 2−16x −8t =0，可得Δ=162+32t >0，解得t >−8，则x 1+x 2=16，x 1x 2=−8t ，因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点N 为线段MP 的中点，所以x 1=2x 2，因为x 1+x 2=16，所以x 1=323，x 2=163， 此时−8t =5129，则t =−649>−8，故|MN|=√22+1⋅|x 1−x 2|=√5×(323−163)=16√53．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)将抛物线方程与直线方程联立，进行求解即可；(2)根据题意，联立{x 2=8y,y =2x +t,可得x 2−16x −8t =0，进行求解即可． 21.答案：解：(1)因为椭圆离心率为12，且a 2=b 2+c 2，所以a =√3b ，又因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,32)， 所以1a 2+94b 2=1，解得a =2，b =√3． (2)当直线AB 斜率为0时，AB =2a =4，不符合题意．所以可设直线AB 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0，△=36m 2+36(3m 2+4)>0，则y A +y B =−6m 3m 2+4，y A ·y B =−93m 2+4， AB =√1+m 2·|y A −y B |=√1+m 2·√(y A +y B )2−4y A ·y B =12m 2+123m 2+4=72， 所以m 2=43，m =±2√33，故直线AB 的方程为x ±2√33y −1=0．解析：本题考查椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)利用椭圆性质可得a 2=b 2+c 2，所以a =√3b ，然后点带入求出a ，b 值；(2)联立直线和椭圆然后利用韦达定理可得AB =√1+m 2·|y A −y B |=√1+m 2·√(y A +y B )2−4y A ·y B =12m 2+123m 2+4=72，即可求出参数，进而求出直线方程．22.答案：解：(1)由条件知l AB :y =x −p 2，则{y =x −p 2y 2=2px， 消去y 得：x 2−3px +14p 2=0，则x 1+x 2=3p ，由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p =4p ，又因为|AB|=8，即p =2，则抛物线的方程为y 2=4x ．(2)由(1)知|AB|=4p 和l AB :y =x −p 2，设M (y022p ,y 0)， 则M 到AB 的距离为：d =|−12p y 02+y 0+p 2|2， 因点M 在直线AB 的上方，所以−12p y 02+y 0+p 2>0则 d =√22(−12p y 02+y 0+p 2)=√22[−12p (y 0−p )2+p] ， 由x 2−3px +14p 2=0知 A (3−2√22p,(1−√2)p),B (3+2√22p,(1+√2)p) ， 所以(1−√2)p <y 0<(1+√2)p ，则当y 0=p 时，d max =√22p ， 则(S △ABM )max =12·4p ·√22p =√2p 2．解析：本题考查抛物线的定义，及焦点弦公式，关键是点到直线的距离公式的灵活运用和抛物线上点坐标的巧妙设法．(1)先联立直线方程和抛物线方程，得到x 1+x 2的值，再根据抛物线定义，得到焦点弦的弦长公式，代入并解得p ，从而求得抛物线的方程为y 2=4x;(2)设M (y 022p ,y 0)，根据直线AB 的方程得到用y 0和p 表示的点M 到AB 的距离d ，又根据点M 在直线AB 的上方解得y 0的范围，即求出了d 的最大值，再代入面积公式，可求得S △ABM 的最大值． 23.答案：解：(Ⅰ)由题意知，{ 12ab =5a 2−b 2=c 2c a =√32，解得{a 2=20b 2=5c 2=15， 故椭圆C 的方程为x 220+y 25=1．(Ⅱ)结论：k 1+k 2=0，证明如下：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{y=x+mx220+y25=1，得5x2+8mx+4m2−20=0，Δ=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5，∴x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)，=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)(x1−4)(x2−4)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)12=0综上所述，k1+k2为定值，该定值为0．解析：本题考查椭圆的标准方程以及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由已知建立关于a，b，c的方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(Ⅱ)将直线l：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可证得k1+k2=0．。
浙江省丽水市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
浙江省丽水市2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线210x y ++=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）A ．2k =-，12b =-B ．12k =-，1b =-C ．12k =-，12b =-D ．2k =-，1b =- 2．圆221:2C x y +=与圆()()222:118C x y ++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离3．椭圆22123x y +=的焦点坐标是（ ）A ．()0,1±B ．()1,0±C ．(0,D ．() 4．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l m ，l α⊥，m β⊥，则//αβC ．若//l m ，l α⊥，//m β，则//αβD ．若l α⊥，m β⊥，//αβ，则//l m5．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1B ．9C ．1或9D ．7 6．“()()ln 2ln 10a b --->”是“1a b >”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．直线()00ax by a b ab +++=≠和圆22250x y x +--=的交点个数（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．与a ，b 有关 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF △是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（ ）A ．①和②都不成立B ．①成立，但②不成立C ．①不成立，但②成立D ．①和②都成立9．已知()1,0A -，()10B ,，点()(),0P x y y ≠在曲线2=上，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则（ ）A ．1213k k ⋅=- B ．123k k ⋅=- C ．1213k k ⋅= D ．123k k ⋅=10．若实数x ，y 满足方程()cos sin 1x y θθθ+=∈R ，则（ ）A ．x y +≤B ．x y +≥C ．221x y +≤D ．221x y +≥11．如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC a ==，()PA AC b a b ==<，设二面角P AB C 的平面角为α，则（ ）A ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α<∠+∠B ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α<∠+∠C ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α>∠+∠D ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α>∠+∠12．已知直线:l y kx m =+与椭圆22143x y +=交于A ，B 两点，且直线l 与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ．若点C ，D 三等分线段AB ，则（ ）A ．214k =B ．2916k =C ．232m =D ．235m =二、双空题13．双曲线221412x y -=的焦距是______，渐近线方程是______. 14．已知直线1:2380l x y +-=和2:6100l ax y --=．若12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 间的距离是__________．15．已知实数x ，y 满足不等式组,22,0.x y m x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若2z x y =-的最小值为1-，则m =__________，z 的最大值是__________．三、填空题16．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是__________2cm ．17．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 是抛物线C 上的点．若线段PF 被直线2x =平分，则PF =__________．18．如图，在三棱锥A BCD -中，底面是边长为2的正三角形，4AB AC AD ===，且E ，F 分别是BC ，AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__________．19．已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，上顶点为A ，点P 在圆228x y +=上，点Q 在椭圆上，则2PA PQ QF +-的最小值是__________．四、解答题20．已知()222422210x y x my m m m +-++-+=∈R 表示圆C 的方程．（1）求实数m 的取值范围；（2）若直线:20l x y +=被圆C 截得的弦长为4，求实数m 的值．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2PA AD ==．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．22．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为4的正三角形，111A B AA ==12CC =，13BB =，E 是棱11A C 的中点，点F 在棱AB 上，且3AF FB =．（1）求证：//EF 平面11BCC B ；（2）求直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值．23．已知直线:l y x t =+与抛物线2:M y x =交于A ，B 两点，点C ，D 在抛物线M上，且直线AC 与BD 交于点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）写出抛物线M 的焦点坐标和准线方程；（2）记PCD ，PAB △的面积分别为1S ，2S ，若1219S S ，求实数t 的值．参考答案1．C【解析】【分析】根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，据此分析,k b 的值，即可得答案.【详解】解：根据题意，直线210x y ++=，其斜截式方程为1122y x =--， 其斜率12k =-，在y 轴上的截距12b =-， 故选：C.【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化，注意直线斜截式方程的形式，属于基础题. 2．B【分析】分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系.【详解】解：圆221:2C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径1r =， ()()222:118C x y ++-=的圆心2(1,1)C -，半径2r =则两圆的圆心距2121r C r C ==-，即两圆内切.故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系的判断，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题. 3．A【分析】直接利用椭圆方程，求出,a b ，然后求解c 即可.【详解】解：椭圆22123x y +=，可得a b ==，可得1c =，所以椭圆的焦点()0,1±.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.4．C【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】解：对于A ，//l α时，过l 作平面n γα=，则//l n ；由l β⊥知n β⊥，所以αβ⊥，故A 正确；对于B ，当//l m ，l α⊥，m β⊥时，得l β⊥且l α⊥，所以//αβ，故B 正确； 对于C ，当//l m ，l α⊥，//m β时，则αβ⊥，所以C 错误；对于D ，当l α⊥，//αβ时，l β⊥，又m β⊥，所以//l m ，D 正确.故选：C.【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断问题，也考查了符号语言应用问题，是基础题. 5．B【分析】求得双曲线的,,a b c ，判断P 的位置，结合双曲线的定义，可得所求值.【详解】解：双曲线221412x y -=的2,4a b c ====， 点在P 双曲线的右支上，可得16PF a c ≥+=，点在P 双曲线的左支上，可得12PF c a ≥-=， 由15PF =可得P 在双曲线的左支上，可得2124PF PF a -==， 即有2549PF =+=.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法解题，以及分类讨论思想，属于基础题. 6．A【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1a b ∴>； 反之，由1a b>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1a b>”成立的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题. 7．C【分析】圆题意可知直线恒过 圆内的定点(1,1)--，故可得直线与圆相交，即可判断【详解】解：因为直线()00ax by a b ab +++=≠可化为(1)(1)0a x b y +++=，所以直线恒过定点(1,1)--，因为()()()22112150-+----<则点(1,1)--在圆22250x y x +--=内，故直线0ax by a b +++=过圆内的点，与圆相交，即交点个数为2.故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，解题的关键是发现直线恒过定点(1,1)--且定8．B【分析】利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.【详解】解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内，∴//AB 平面CDEF ，又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE平面CDEF EF =， ∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ，不妨设EF ＝1，则BG ===假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立.故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题. 9．D【分析】先根据已知条件得到点P 在以(2,0),(2,0)-为焦点，22a =的双曲线上，且在右支上；再利用整体代换即可求解.【详解】2=，2=；∴点P 在以(2,0),(2,0)-为焦点，22a =的双曲线上，且在右支上， ∴对应的曲线方程为：221,(0)3y x x -=>； 22122231113y y y y k k yx x x ∴⋅=⨯===+--. 故选：D.【点睛】本题主要考查曲线与方程，解决本题的关键点在于根据已知条件得到点P 所在曲线，属于基础题目.10．D【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果.【详解】解：由于1cos sin )x y x θθθ=+=+≤故：221x y +≥.故选：D.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.11．C【分析】解题的关键是通过构造垂面得出PMC α∠=，然后转化到平面中解决即可.【详解】解：如图（1），取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，P A ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ，作PM ⊥AB 于M ，由ABP ABC ≅，可得CM ⊥AB ，∴PMC α∠=，又PM CM h a b ==<<，由图（2）可得2222PMC PBC PAC α∠∠∠=>>， 2PAC PBC α∴>∠+∠，22PBC PAC PCA PCB PCA PCB α∠∠+∠+∠>++∠+∠ 22PBC PAC PCB PCA π∠∠=+∠++∠= 故选：C.【点睛】本题考查空间角的综合问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.12．D【分析】将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出中点坐标及弦长AB ，由题意知CD 的坐标及中点与AB 的中点相同求出2k 的值，再由C ，D 三等分线段AB ，则13CD AB =，求出2m 的值，选出结果.【详解】解：设()(,),,A x y B x y ''，联立直线与椭圆的方程整理得：()2223484120k x kmx m +++-=，()()2222644344120k m k m ∆=-+->，解得2234m k <+，()222284126,,2343434km m m x x xx y y k x x m k k k ''''--+==+=++=+++， 所以中点2243 P ,3434km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由题意得,0,(0,)m C D m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C ，D 三等分线段AB ， 所以CD 的中点也为P ， 所以2243,234234m km m m k k k--==++， 由题意0m ≠，所以可得：234k =； 所以弦长AB ===，由题意得,0,(0,),m C D m CD k ⎛⎫-∴== ⎪⎝⎭ 由题意13CD AB =，143=⋅， 整理得：()2222223341634m k m k k +-=⋅+， 解得235m =， 故选：D.【点睛】考查直线与椭圆的值应用，属于中档题.13．8 y =【分析】由双曲线方程求得a ，b ，c 的值，则其焦距与渐近线方程可求．【详解】由题知，2a ＝4，2b ＝12，故2c ＝22a b +＝16，∴双曲线的焦距为：28c =，渐近线方程为：b y x x a =±==．故答案为8；y =．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．14．4-【分析】由直线1:2380l x y +-=和2:6100l ax y --=.12l l //，利用直线与直线平行的性质能求出a ，把2:6100l ax y --=转化为：2350x y ++=，利用两平行线间的距离公式能求出两直线1l 与2l 间的距离.【详解】解：直线1:2380l x y +-=和2:6100l ax y --=，12l l //，623a -∴=，解得4a =-， ∴2:6100l ax y --=转化为：2350x y ++=，两直线1l 与2l 间的距离是：d == .故答案为：4-【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15．1 4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数2z x y =-的最小值.利用数形结合即可得到结论.【详解】解：先作出实数x ，y 满足约束条件,22,0.x y m x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，∵目标函数2z x y =-的最小值为：−1，由图象知2z x y =-经过平面区域的A 时目标函数取得最小值−1.由2122x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得A （0，1）， 同时A （0，1）也在直线0x y m +-=上，10m ∴-=，则1m =，∵2z x y =-过点C （2，0）时取最大值；所以其最大值为2204z =⨯-=.故答案为：1；4.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.16．35π2+ 【分析】首先画出直观图，再进一步利用公式求出结果.【详解】解：根据几何体的三视图，可得直观图如下：该几何体为一个14圆柱，加一个三棱柱， 底面为一个等腰直角三角形和一个半径为1的14个圆.所以213122254221112S πππ⎛⎫=⨯⨯⨯+⎛⎫+⨯=+⨯⨯ ⎪⎝++ ⎝⎭⎭⎪.故答案为：352π++【点睛】 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.17．4【分析】由题意求出抛物线的焦点坐标及准线方程，由线段PF 被直线2x =平分，则2是中点的横坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出PF 的值.【详解】 解：由题意知焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程：2p x =-，设P 的横坐标0x ， 由题意0222p x ⋅=+，由抛物线的性质知042p PF x =+=， 故答案为：4.【点睛】考查抛物线的性质，属于基础题.18【分析】连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，则PF∥AE，从而∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE和CF所成角的余弦值.【详解】解：因为三棱锥A−BCD中，底面是边长为2的正三角形，AB＝AC＝AD＝4，所以三棱锥A−BCD为正三棱锥；连结DE，取DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A−BCD的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE DE===222161647 cos22448AC AD CDCAFAC AD+-+-∠===⨯⨯⨯⨯，CF==，12PF AE PC====，1576cos PFC+-∴∠==∴异面直线AE 和CF .故答案为：15. 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.19．6-【分析】求得椭圆的,,a b c ，可得焦点坐标和顶点坐标，可,)P θθ，由两点的距离公式可得2||||PA PB =，即点P 与(0,B 的距离，再由椭圆的定义，可得22||||||||||PA PQ QF PB PQ QF +-=++-.【详解】解：椭圆22162x y +=的2a b c ===，右焦点为(2,0)F ，右焦点为2(2,0) F -，上顶点为A ，点P 在圆228x y +=上，可设,)P θθ，2||PA ====表示点P 与(0,B 的距离，由椭圆的定义可得22||2QF QF a QF -=-=-222||||||||||PA PQ QF PB PQ QF BF +-=++-≥-6==-当且仅当2,,,B P Q F 三点共线上式取得等号，故2PA PQ QF +-的最小值是6-故答案为：6-【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查圆的参数方程的运用和两点的距离公式，注意转化思想和数形结合思想，考查化简运算能力，属于难题.20．（1）13m -<<（2）1m =【分析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得2230m m --+>，解可得m 的取值范围；（2）根据题意，分析圆C 的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系分析可得22423m m +=-++，解可得m 的值，即可得答案. 【详解】解：（1）配方得：()()222223x y m m m -++=-++由2230m m --+>，解得：13m -<<；（2）由题意可得：圆心为(2,)C m -，半径r =则22423m m +=-++， 解得1m =.【点睛】本题考查圆的一般方程以及直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题.21．（1）见解析（2）在棱PC 上存在点H ，23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD ． 【分析】（1）由题意，利用勾股定理可得DC AC ==，可得222AC DC AD +=，可得AC DC ⊥，利用线面垂直的性质可得PA CD ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明DC ⊥平面P AC ； （2）过点A 作AH ⊥PC ，垂足为H ，由（1）利用线面垂直的判定定理可证明AH ⊥平面PCD ，在RT △P AC 中，由P A ＝2，AC =23PH PC =，即在棱PC 上存在点H ，且23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD . 【详解】解（1）由题意，可得DC AC ==，∴222AC DC AD +=，即AC DC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥，且PA AC A =，∴DC ⊥平面PAC ；（2）过点A 作AH PC ⊥，垂足为H ，由（1）可得CD AH ⊥，又PC CD C =，∴AH ⊥平面PCD .在Rt PAC △中，∵2PA =，AC =，PH PA PA PC = ∴23PH PC =. 即在棱PC 上存在点H ，且23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查了勾股定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题.22．（1）见解析（2）58【分析】（1）取BC 上一点G ，满足CG ＝3GB ，连接1C G ，FG ，推导出四边形1EFGC 为平行四边形，从而EF //1C G ，由此能证明EF //平面11BCC B .（2）延长111,,AA BB CC 交于一点P ，取AC 的中点为O ，连接PO ，OB ，则PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，过O 作OD ⊥平面ABC ，如图，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值.【详解】解：（1）取BC 上一点G ，满足3CG GB =，连1C G ，FG ， 在ABC 中，由3CG AF GB FB== ∴//FG AC ，113FG AC == 又1//EC AC ，11EC =∴1//EC FG ，1EC FG =∴四边形1EFGC 为平行四边形∴1//EF C G又1C G ⊂平面11BCC B ，EF ⊄平面11BCC B∴//EF 平面11BCC B .（2）延长1AA ，1BB ，1CC 交于一点P ，且111A B C △为边长为2的正三角形， 取AC 的中点为O ，连接PO ，OB ，则PO AC ⊥，BO AC ⊥，且PO =BO =6PB =，120POB ∠=︒，过O 作OD ⊥平面ABC ，如图，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,B ，()0,P ，30,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，13,222F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴11,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设EF 与平面ABC 所成的角为α， ∴358sin cos ,58EF nEF n EF n α⋅===⋅，∴直线EF 和平面ABC .【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.23．（1）1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为14x =-；（2）12t =- 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标和准线方程可得所求；（2）设()211,A y y ，()222,B y y ，()233,C y y ，()244,B y y ，直线方程y x t =+、P A 的方程、PB 的方程与抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，判断AB 与CD 平行，由三角形的面积之比为对应边的平方比，化简计算，解方程可得t .【详解】解：（1）由抛物线方程为2y x =,则抛物线焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为14x =-；（2）设()211,A y y ，()222,B y y ，()233,C y y ，()244,B y y ，由2y x t y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得20y y t -+=， ∴121y y +=，12y y t =，且Δ140t =->即14t <. 将直线121112:2y PA y x y -=+代入2y x =消去x 得：122111202y y y y --+=， ∴211311212y y y y =-，得1311212y y y =-. 同理2421212y y y =- 则()()121212341212121111224411111122244y y y y y y t y y y y y y y y t -+-+=+===---++- 从而2234343411CD AB y y k k y y y y -====-+， 故//CD AB .()()()12222123434341222221212121122141141122149414y y y y CD y y y y y y S S t y y y y t AB y y -⋅---+-======-+---， 解得12t =-或1t =（舍去） ∴12t =-.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查了直线和抛物线的交点坐标的运算，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于中档题.。
浙江省丽水市2020年(春秋版)高二上学期期中数学试卷(I)卷
浙江省丽水市2020年（春秋版）高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设集合M={a，b，c，d}，N={p|p⊆M}，则集合N的元素个数为（）A . 4个B . 8个C . 16个D . 32个2. （2分） (2017高二上·长春期末) 某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（）A . 5B . 6C . 7D . 83. （2分）(2017·成都模拟) 在等差数列{an}中，已知a2与a4是方程x2﹣6x+8=0的两个根，若a4＞a2 ，则a2017+a1=（）A . 2018B . 2017C . 2016D . 20154. （2分）下列命题中，其中不正确的个数是（）①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相互平行②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ④一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β⑤过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，则点O是△ABC 的内心⑥垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）若的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，则k=（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）已知直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值为（）A . -B .C . 2D . -27. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 设变量满足约束条件则的最大值为（）A .B . -12C . 0D . 18. （2分）下面四个说法：①奇函数的图象关于坐标原点对称；②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．其中正确说法的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2017高三下·深圳模拟) 直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为（）A .B .C .D .10. （2分）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·吉林模拟) 已知函数对任意都满足，则函数的最大值为（）A . 5B . 3C .D .12. （2分） (2017高三下·绍兴开学考) 一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（）A . 3或8B . 8或11C . 5或8D . 3或11二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·海林期中) 函数的定义域为________．14. （1分）(2019·浙江模拟) 数列满足，若数列是等比数列，则取值范围是________．15. （1分）(2017·芜湖模拟) 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为________．16. （1分）(2017·广安模拟) 若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a 的值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二上·集宁月考) 等比数列的各项均为正数，且 .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （10分） (2016高一下·北京期中) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC= ．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（C﹣A）的值．19. （5分）为了完成销售任务，甲、乙两家服装店在本月最后一天举行大型优惠促销活动，现将两家服装店该日8个时段的成交量（单位：件）统计如表所示：甲6791222201514乙89112122191516（Ⅰ）根据以上数据，绘制甲、乙两家服装店该日8个时段成交量的茎叶图；（Ⅱ）现从乙店的成交量小于16的数据中随机抽取两个，求至少有一个数据小于10的概率．20. （5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，BC=CC1 ， D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．21. （10分） (2016高一上·双鸭山期中) 已知函数g（x）= 是奇函数，f（x）=log4（4x+1）﹣mx 是偶函数．（1）求m+n的值；（2）设h（x）=f（x）+ x，若g（x）＞h[log4（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高一下·正定期末) 已知圆，点，求：（1）过点的圆的切线方程；（2）点是坐标原点，连接，求的面积 .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省丽水市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
丽水市2020学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷选择题部分（共60分）一，选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线y x = ）A. 45B. 60C.120 D. 135 A设直线的倾斜角为(0180)αα≤<，解方程tan 1α=即得解.设直线的倾斜角为(0180)αα≤<，由题得直线的斜率为tan 1,45k αα==∴=.所以直线的倾斜角为45.故选：A.本题主要直线的方程，考查直线的斜率和倾斜角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 在空间直角坐标系中，(2,3,5)A ，(3,1,4)B ，则A ，B 两点的距离是（ ）A. 6B. 4C. D. 2 C由空间两点间的距离公式直接求解即可由(2,3,5)A ，(3,1,4)B 则AB ==故选：C 3. 若实数x ，y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的取值范围是（ ）A. [0,2]B. [0,3]C. [2,)+∞D. [3,)+∞B根据约束条件作出可行域，然后将3z x y =+变形得3y x z =-+，画出直线3y x =-，平移判断在点(0,0)处取得最小值，在点(1,0)处取得最大值.根据约束条件作出可行域如图所示，将3z x y =+变形得3y x z =-+，画出直线3y x =-，则由图可知，3z x y =+在点(0,0)处取得最小值min 0z =，在点(1,0)处取得最大值max 3z =， 所以取值范围为[0,3].故选：B.4. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ） A. 42πB. 4πC. 22πD. 2π C由轴截面是面积为2的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2l r =， 由题可知()21222r ⨯=， ∴2,2r l ==， 侧面积为22rl ππ=，故选：C.5. “1m =”是“直线(1)30x m y +++=与直线240mx y ++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 A直接利用两直线平行的方法判定.“直线(1)30x m y +++=与直线240mx y ++=平行”的充要条件是：()1210m m ⨯-+⨯=且143m ⨯≠⨯或()4123m +≠⨯，解得：m =1或m =2.因为{}|1m m =是{}|1,2m m m ==的真子集，所以“1m =”是“直线(1)30x m y +++=与直线240mx y ++=平行”的充分不必要条件.故选：A 结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．6. 直线l 过点()1,3P 且与圆()2224x y -+=交于A 、B两点，若||AB =，则直线l 的方程为（ ）A. 43130x y +-=B. 34150x y +-=C. 34150x y +-=或1x =D. 43130x y +-=或1x =D由||AB =可根据垂径定理得圆心到直线l 的距离,再分直线l 斜率不存在与存在两种情况讨论即可. 由垂径定理得,圆心()2,0到直线l的距离1d ==. 当直线l 的斜率不存在时, l ：1x =满足条件.当直线l 的斜率存在时,设l ：3(1)y k x -=-,即30kx y k -+-=.22416913k k k k =⇒++=+⇒=-. 代入得44304313033x y x y --++=⇒+-=.故选：D 本题主要考查了直线与圆的位置关系,需要利用垂径定理求圆心到直线的距离再分情况求解直线的方程即可.属于中等题型.7. 已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ）A. 若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B. 若m α⊂，//αβ，则//m βC. 若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥D. 若l αβ=，//m α，//m β，则//m lC 利用直二面角可判断A 的正误，利用面面平行或线面平行性质定理即判断定理可判断BD 的正误，从而可得正确的选项，利用反例可判断C 是错误的.对于A ，如图，设l αβ=，空间中取一点O （O 不在平面,αβ内，也不在直线,m n 上）， 过O 作直线,a b ，使得,////a m b n ，且,a A b B αβ⋂=⋂=，故a b ⊥.因为m α⊥，故a α⊥，而l α⊂，故a l ⊥，同理b l ⊥,因为a b O ⋂=，故l ⊥平面OAB .设平面OAB 交l 与C ，连接,AC BC ，因为,AC BC ⊂平面OAB ，故,,l AC l BC ⊥⊥所以ACB ∠为l αβ--的平面角.因为a α⊥，AC α⊂，故OA AC ⊥，同理OB BC ⊥，而OA OB ⊥，故在四边形OACB 中，90ACB ∠=︒即αβ⊥，故A 正确.对于B ，由面面平行的性质可得若m α⊂，//αβ，则//m β，故B 正确. 对于D ，如图，过m 作平面γ，使得a γα=，过m 作平面η，使得b ηβ⋂=，因为//m α，m γ⊂，故//a m ，同理//b m ，故//a b ，而a β⊄，b β⊂，故//a β，而a α⊂，l αβ=，故//a l ，所以//m l ，故D 正确.对于C ，在如图所示的正方体中，//AD 平面11A D CB ，1AA ⊥平面ABCD ，1AD AA ⊥，但是平面11A D CB 与平面ABCD 不垂直，故C 错误.故选：C.思路点睛：对于立体几何中与位置有关的命题的真假判断，一般根据性质定理和判定定理来处理，反例一般可得正方体中寻找.8. 如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A. 1 2B.22C.33D.55D取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形ACB与正三角形ACD中，BE⊥AC，DE⊥AC，因为面ACB⊥面ACD，面ACB面=ACD AC，所以BE⊥面ADC,以E为原点，ED为x轴正方向，EC为y轴正方向，EB为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E D C A B-,平面ACD 的一个法向量为(3EB=而()()0,1,3,3,1,0CB CD=-=-，设(),,n x y z=为面BCD的一个法向量，则：·0·0n CBn DC⎧=⎨=⎩即3030y zy x⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x=1，则()1,3,1n=设二面角B CD A--的平面角为θ，则θ为锐角，所以cos |cos ,|||||5||||3EB n EB n EB n θ⋅====.故选：D 向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.9. 已知直线1l ：+10x my +=与直线2l ：320mx y m --+=分别过定点A ，B ，且交于点P ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）B. 5C. 8D. 10D先根据直线方程求出,A B 的坐标，再根据两条直线垂直得到22+=20PA PB ，利用基本不等式可求PA PB ⋅的最大值.因为1l ：+10x my +=，故()1,0A -， 因为2:l 320mx y m --+=，故()3,2B ，因为()110m m ⨯+⨯-=，故12l l ⊥，故222+=20PA PB AB =， 因为22+2PA PB PA PB ≥⋅，故10PA PB ⋅≤，当且仅当PA PB ==故PA PB ⋅的最大值为10，故选：D.方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证.10. 已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ）A. 1B. C. 2 D. 4 B由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =， 故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小，而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=， 故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=， 故1m 的最小值为22即m 2，故选：B. 方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A. 526B. 122C. 62D. 322A 连接1BC ,得出点,,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E 关于直线1BD 到直线11C D 的距离，从而可得结果.图1连接1BC ,则11BC B C E =，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,2BC C D C D BC ⊥==，如图1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2()(11,0,,0,2D B E ⎛ ⎝⎭, 设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ，1BD的方程为1x =，①'2EE k ∴==， ∴直线'EE的方程为22y x =+，②由①②组成方程组，解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线'EE 与1BD的交点13M ⎛ ⎝⎭， ∴对称点2',36E ⎛ ⎝⎭，'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D的距离为6，故选A. 求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.12. 已知1F ，2F 是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ）A. 12S SB. 122S S =C. 1232S S =D. 1243S S =D设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则可得4S r c =，从而可得1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=，再由G 是12MF F △的重心，可得11222213323MOF MF F SS S S ==⨯=，进而可得结果 解：由于椭圆的离心率为13，所以13c a =，即3a c =，设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则121211()(22)422S MF MF F F r a c r cr =++=+=，所以4Sr c =，所以1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=， 因为G 是12MF F △的重心， 所以11222213323MOF MF F S S S S ==⨯=， 所以1234S S =，即1243S S =，故选：D关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，解题的关键是设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，然后求出4Sr c=，进而可表示出1S ，2S ，从而可得结果，属于中档题 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分．13. 双曲线2214x y-=的焦距为__________；渐近线方程为__________．(1). (2). 12y x =±由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =,渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.14. 已知直线l ：20ax y a +-+=，若直线l 过点(2,0)，则a =________；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a =_______． (1).23(2). 1或2 代入点(2,0)，计算a ；然后利用截距相等，分别计算直线的纵截距与横截距，列式求解.由题意，直线l 过点(2,0)，所以220-+=a a ，得23a =；直线l 在两坐标轴上的截距相等，已知0a =不成立，则22aa a -=-，得1a =或2a =； 故答案为：23；1或2. 15. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是______cm 3，最长的棱长是_______cm ．(1). 20 (2). 2根据三视图可得如图所示的空间几何体，利用四棱锥的体积公式可求体积，根据几何体的特征可求最长棱的棱长.三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥11B D C CD -，其中几何体1111ABCD A B C D -为长方体，且1115,4,3CC D C BC ===，故111345203B DC CD V -=⨯⨯⨯=，最长的棱为长方体的体对角线222135452BD =++= 故答案为：216. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC CC ==，E ，F 分别是BC ，11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的余弦值是___．53连结BF ，则异面直线AF 与1C E 所成角为∠AFB ，在直角三角形ABF 中，解三角形即可.连结BF ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，F 分别是BC ，11B C 的中点， 所以BF ∥1C E ,则∠AFB （或其补角）即为异面直线AF 与1C E 所成角. 在三棱柱111ABC A B C -中,因为侧棱垂直于底面，即1BB ABC ⊥,所以1BB AB ⊥.又AB BC ⊥，且1BB BC B =,所以AB ⊥平面11BB C C ，而BF ⊂平面平面11BB C C ，所以AB BF ⊥ 不妨设AB =2,在直角三角形ABF 中，AB =2,3BF AF =====所以异面直线AF 与1C E 所成角的余弦值为：cos θ=.故答案为：3思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形；(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17. 四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形，2SE EC =，若BE x AB y AD z AS =++，则x y z ++= ________．23把AB AD AS ，，看成空间的一组基底向量，利用空间向量的加减法，由平面向量的基本定理用AB AD AS ，，将BE 表示出来，可得出答案.由2SE EC =，则13CE CS =四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形,即ABCD 为平行四边形，则AD AB AC +=则()1133BE BC CE AD CS AD AS AC =+=+=+-()11213333AD AS AB AD AS AD AB =+--=+-又BE x AB y AD z AS =++所以121,,333x y z =-==，故23x y z ++=故答案为：2318. 已知1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆2222:1x y C a b+=的焦点，若椭圆C 上存在点P ，使2122PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______．13[,23设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出2222122PF PF x c y c ⋅=-+=，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a =-，联立两个方程得出()222224c a a x c-=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22234c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.设(,)P x y ，则222212(,)(,)2PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222234c b a c a a x cc--==又220,xa ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222240c a a a c -≤≤22234c a c ∴≤≤1323c e a ⎡∴=∈⎢⎣⎦.故答案为：13,23⎡⎢⎣⎦19. 如图，在ABC ∆中，10AB ，4AC =，32BC =AC 中点M 的动直线l 与线段AB交于点N ，将AMN ∆沿直线l 向上翻折至A MN '∆，使点A '在平面BCMN 内的射影H 落在线段BC 上，则直线l 运动时，点A '的轨迹长度是_____．22π 建立如图所示的平面直角坐标系，在ABC 中过A 作BM 的垂线，垂足为E 且交x 轴于G ，连接MG ，利用坐标法可求,,AE EG GC 的长度.在空间中，可证A '的轨迹为一段圆弧，从而可求轨迹的长度.在平面ABC 中，建立如图（1）所示的空间直角坐标系，过A 作BM 的垂线，垂足为E 且交x 轴于G ，连接MG . 在ABC 中，由余弦定理可得2cos 22432ACB ∠==⨯⨯， 而ACB ∠为三角形内角，故4ACB π∠=，因为4AC =，故(2,22A，而()32,0C ，所以(22,2M ，故直线:20BM x y -=且直线(:2222242AG y x x =--+=-+. 故2423105AE -==.又()G，故AG ==5GE =又GC =2MC =，4ACG π∠=，由余弦定理可得2422222MG =+-⨯=即GM =， 故222GM GC MC +=，故MG GC ⊥. 在空间中，当直线l 运动时，2MA MA '==，故A '在以M 为球心，2为半径的球面上， 又A '在过BC 且与平面BCMN 垂直的平面α上， 故A '在平面α与球面M （半径为2）的截线（圆）上. 因为N 在线段AB 上变化，故A '的轨迹为一段圆弧.如图，在平面A MN '内过A '作A T MN '⊥，且垂足为T ，连接HT ， 因为A H '⊥平面BCMN ，MN ⊂平面BCMN ，故A H MN '⊥， 而A T AH A '''⋂=，故MN ⊥平面A TH '，而TH ⊂平面A TH '，故AT MN⊥且,,A T H 三点共线.当N 与B 重合时点A '为1A ，则T 即为平面直角坐标系中的点E ，H 即为点G ， 且155A E EG ==，故1A G == 当N 与AB 的中点S 重合时，MN 为ABC 的中位线， 故A 关于直线MN 的对称点2A 在BC 上， 设点A '在平面BCMN 内的射影H 就是2A . 下面计算12A A 的长度.由平面直角坐标系中的讨论可知MG BC ⊥，而1A G ⊥平面BCMN ，MG ⊂平面BCMN ，所以1AG MG ⊥， 因1BC AG G ⋂=，故MG ⊥平面12A A G ， 所以G 为12A A 所在的圆的圆心，故12A A 的长度为22π=.故答案为：2π. 思路点睛：空间中动点的轨迹，一般从两个角度来处理：（1）空间中动点的轨迹转化为平面中动点的轨迹，注意根据曲线的定义等来判断，必要时建立平面直角坐标系来处理；（2）考虑空间中动点是否满足一定几何性质，从而直接得到动点的轨迹.三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，5AB =，3AC =，14BC CC ==，M 是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：BC AM ⊥；（Ⅱ）若N 是AB 上的点，且//CN 平面1AB M ，求BN 的长． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）52. （Ⅰ）可证BC ⊥平面11AAC C ，从而可得BC AM ⊥. （Ⅱ）可证N 为AB 的中点，从而可得BN 的长.（Ⅰ）证明：1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面平面ABC ，∴1CC BC ⊥.又5AB =，3AC =，4BC =，∴222AC BC AB +=，即BC AC ⊥.又1AC CC C =，∴BC ⊥平面11AAC C ，又AM ⊂平面11AAC C ，∴BC AM ⊥. （Ⅱ）过点N 作1//NE BB 交1AB 于点E ，连ME ，由三棱柱111ABC A B C -可得11//BB CC ，∴1//NE CC 即四边形NEMC 为平面图形. 又//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面NEMC ，且平面NEMC 平面1AB M ME =，∴//CN ME ，∴四边形NEMC 为平行四边形， ∴NE CM =，且//NE CM ，又点M 为1CC 中点，∴112CM BB =，且1//CM BB ，∴112NE BB =，且1//NE BB ， ∴1522BN AB ==. 思路点睛：线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.由线面平行得到线线平行时，注意构造过线的平面. 21. 设圆C 的半径为r ，圆心C 是直线24y x =-与直线1y x =-的交点． （1）若圆C 过原点O ，求圆C 的方程；（2）已知点()0,3A ，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求r 的取值范围．（1）()()223213x y -+-=；（2）322,322⎡⎤+⎣⎦.（1）联立两直线方程，可求得圆心C 的坐标，求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程； （2）设点(),M x y ，由2=MA MO 可求得点M 轨迹为圆D ，利用圆C 与圆D 有公共点可得出关于r 的不等式，由此可解得r 的取值范围．（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()3,2C .又圆C 过原点O ，13r OC ∴==，∴圆C 的方程为：()()223213x y -+-=；（2）设(),M x y ，由2=MA MO ，得：()222232x y x y +-=+，化简得()2214x y ++=.∴点M 在以()0,1D -为圆心，半径为2的圆上.又点M 在圆()()222:32C x y r -+-=上，22r CD r ∴-≤≤+， 即2322r r -≤≤+，322322r ∴-≤≤+.结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r . （1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.22. 如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，2AB BC CA PB ====，3PA =，PA AC ⊥，E ，F 分别是PC ，AC 的中点，M 是PB 上一点．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）89191. （Ⅰ）由AB BC CA ==可得BF AC ⊥，又,E F 分别是PC ，AC 的中点，且PA AC ⊥可得EF AC ⊥，从而可证.（Ⅱ）先证明BE ⊥平面PAC ，过A 作AH PC ⊥于H ，从而可得AH ⊥平面PBC ，∠AMH 即为AM 与平面PBC 所成的角，然后求解.(Ⅰ)∵AB BC CA ==，F 是AC 中点；所以BF AC ⊥,E F 分别是PC ，AC 的中点,则//EF AC又PA AC ⊥，所以EF AC ⊥又∵⋂=BF EF F ，∴AC ⊥ 平面BEF(Ⅱ)过A 作AH PC ⊥于H∵AC ⊥平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，∴AC BE ⊥∵PB = BC ，E 为PC 中点，∴BE PC ⊥又∵AC PC C = ∴BE ⊥平面PAC ，且AH ⊂平面PAC∴BE AH ⊥，又AH PC ⊥，且PC BE E ⋂=∴AH ⊥平面PBC∴AM 在平面PBC 上的射影是HM∴∠AMH 即为AM 与平面PBC 所成的角在直角AMH 中，sin AH AMH AM∠=， PAC △中，AH =，所以要使得sin AMH ∠的值最大，即要AM 最小. 设N 为AP 的中点，由2AB PB ==，则AN PA ⊥所以2AN ===当AM PB ⊥时，AM最小，此时22AP BN AM PB ⨯===所以sin AH AMH AM ∠=≤=思路点睛：求线面角的常见方法有（1）定义法；（2）向量法 .其中定义法的关键是找出直线在平面内的射影，具体步骤如下：（1）作（找）垂线：过直线上一点作出（找出）平面的垂线；（2）连射影：将斜足和垂足连接起来得到斜线在平面上的射影；（3）计算：求该角的值，常利用解直角三角形；23. 已知抛物线:C 22y px =的焦点为(1,0)F ，且点()()000,1M x y y >是抛物线C 上的动点，过M 作圆:Q 22()1x a y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当直线MQ 垂直于直线AB 时，求实数a 的取值范围．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）9(,)4+∞.（Ⅰ）由抛物线C 的焦点为:(1,0)F ，得12p =，求得p ，则抛物线方程可求； （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意可知，,MA MB 不与y 轴垂直，设010:()MA x x m y y -=-，020:()MB x x m y y -=-，分别与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求得,A B 的纵坐标，得到AB 的斜率，再由直线MA 与圆相切，可得2220000(1)2()()10y m y a x a x -+-+--=，得到0012202()1y x a m m y -+=-，写出MQ 的斜率，再由MQ AB ⊥，结合点M 在抛物线上，求得20421494a a x a --=>-，由此求解实数a 的取值范围. （Ⅰ）因为抛物线22C y px =：的焦点为:(1,0)F ，所以12p =，则2p =， 所以抛物线方程为：24y x =；（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意可知，,MA MB 不与y 轴垂直，设010:()MA x x m y y -=-，020:()MB x x m y y -=-， 由20104()y x x x m y y ⎧=⎨-=-⎩，得21004440y m y y x -+-=， 则1014y y m +=，得1104y m y =-，同理可得2204y m y =-， 所以121222121212120422()44AB y y y y k y y x x y y m m y --====-++--， 若过M1=，化简得2220000(1)2()()10y m y a x a x -+-+--=， 则0012202()1y x a m m y -+=-， 又00MQ y k x a=-，MQ AB ⊥， 所以01200212()AB MQ y k k m m y x a ⋅=⋅=-+--， 所以012002()2y m m y x a -+=-，即00002002()21y y x a y x x a--=--， 将2004y x =代入，化简得20(49)42a x a a -=--，即24249a axa--=-，因为1y>，所以2421494a axa--=>-，即2(41)4(49)aa->-，得94a>，所以实数a的取值范围是9(,)4+∞.该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下：（1）结合抛物线的焦点坐标求得p的值，得到抛物线的方程；（2）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得点的纵坐标，利用斜率坐标公式求得其斜率；（3）根据直线与圆相切，得到等量关系式；（4）根据两直线垂直得到其斜率乘积等于1-；（5）根据坐标的范围得到不等关系，求得参数的取值范围.。
2020学年丽水五校联盟高二上期中
2020学年丽水五校联盟高二上期中一、选择题：每小题4分，共40分 1.10y +-=的倾斜角是（ ）A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 2. 双曲线22149y x -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =±B ．32y x =±C ．94y x =±D ．49y x =±3. 已知实数x ，y 满足1003x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值是（ ）A ．3-B ．1-C ．32D ．94. 直线20ax y a --=（a ∈R ）与圆229x y +=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定5. 已知点()0,4A ，()1,0B ，动点P 在直线1x =-上，则PA PB +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66. 已知双曲线C 与椭圆2215y x +=有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2215y x -=D ．2215x y -=7. 已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A ．1,1⎡-+⎣ B．(1-+ C．(1⎤-⎦D ．(11⎤--⎦ 8. 已知点P 为椭圆2211615x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的一条切线，切点为A ，则PA 的取值范围是（ ）A ．[]2,6 B．⎡⎣ C．⎡⎤⎣⎦ D．⎡⎣9. 直线:1l mx ny +=与曲线22:1C mx ny +=（m ，n 为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（ ）10. 已知1F ，2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，则12AF F △的内切圆的半径的最大值是（ ）D ．C ．B ．A ．xxx xA ．1B ．12 C ．13D11. 若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上存在四个点A ，B ，C ，D 满足ABCD 是正方形，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A．( B．)+∞C．(D．)+∞12. “2x >”是“112x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件已知直线l ，两个不同的平面α，β下列命题正确的是（ ） A ．若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ B ．若l α∥，l β∥，则αβ∥ C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β∥D ．若αβ⊥，l α∥，则l β⊥二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分13. 双曲线221916y x -=的实轴长是 ，焦点坐标是 ．14. 已知圆C 的方程是22240x y x y m ++-+=（m ∈R ），则该圆的圆心坐标是 ，m 的取值范围是 ．15. 已知圆221:1C x y +=和()()2222:43C x y r -+-=（0r >）内切，则实数r 的值是 ，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最小值是 ． 16. 若实数x ，y 满足的不等式组0220210y x y ax y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩（a ∈R ）表示的平面区域是直角三角形区域，则3y x +的取值范围是 ．17. 已知()4,0F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个焦点，过F 的直线l 交该椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为()3,1-，则该椭圆的离心率是 ．18. 已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度是 ．三、解答题：5小题，共74分 19. 计算：（1）)21132330.0021028---⎛⎫-+-⋅- ⎪⎝⎭（2）()21lg5lg8lg10003lg 2lg lg0.066⋅++++．20. 设常数a ∈R ，集合10x A xx a ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =≤-． （1）若2a =，求A B ，()AB R；（2）若A B =R ，求a 的取值范围．21. 2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当(]14,40t ∈时，曲线是函数()83log 5a y t =+-，0a >且1a ≠图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由．22. 已知函数()()10,1=->≠x x f x a a a a． （1）若1>a ，不等式()()240++->f x bx f x 在R ∈x 上恒成立，求实数b 的取值范围；（2）若()312=f 且()()2212=+-x x h x a mf x a在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23. 已知函数()1ln1-=+kx f x x 为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在α，()1,β∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m m m m ，求实数m 的取值范围．24. 设函数()2=+-+f x ax x a b ，,R ∈a b ．（1）若函数()f x 在[]0,2上单调递增，在()2,+∞单调递减，求实数a 的值；（2）若对任意的实数[]0,1∈b 及任意的[]3,3∈-x ，不等式()2≤f x 恒成立，求实数a 的取值范围．。
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浙江省丽水市2020年（春秋版）高二上学期期中数学试卷B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分）在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是________
2. （1分） (2017高二上·嘉兴月考) 是两个平面, 是两条直线, 有下列四个命题:
①如果 ,那么；
②如果m⊥α，α∥α,那么；
③如果 ,那么；
④如果 ,那么与所成的角和与所成的角相等,其中正确的命题为________．
3. （1分）(2017·青浦模拟) 若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为________cm3（结果精确到0.1cm3）
4. （1分） (2017高一上·咸阳期末) 圆x2+y2=2的圆心到直线的距离为________．
5. （1分）已知过点P（4，3）的光线，经x轴上一点A反射后的光线过点Q（0，5）．则点A的坐标为________．
6. （1分） (2017高二下·沈阳期末) 若直线：经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是________．
7. （1分） (2018高二上·遂宁期末) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且，则线段BQ的长度的最大值为________.
8. （1分）(2018·河北模拟) 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为________．
9. （1分） (2018高二下·上海月考) 已知直线、与平面、，下列命题：
①若平行内的一条直线，则；②若垂直内的两条直线，则；③若，，且，，则；④若，，且，则；⑤若，且，则；⑥若，，，则．
其中正确的命题为________（填写所有正确命题的编号）．
10. （1分） (2016高二上·平原期中) 已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C﹣ABD的体积为________．
11. （1分） (2017高一下·邯郸期末) 若圆C：x2+（y﹣2）2=5与恒过点P（0，1）的直线交于A，B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为________．
12. （1分） (2016高二上·仙桃期中) 在正三棱锥S﹣ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC= ，则此正三棱锥的外接球的表面积为________．
13. （1分） (2017高一下·定州期末) 若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．
14. （1分）由直线y=x+1上一点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为________
二、解答题 (共6题；共50分)
15. （10分） (2017高二上·泰州开学考) 已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．
（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；
（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．
16. （5分）如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，且FG⊥GH，试问截面在什么位置时其截面面积最大．
17. （5分） (2016高二上·重庆期中) 直线过点P（﹣3，1），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（Ⅰ）若点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）若 = ，求直线l的方程．
18. （10分） (2017高二上·江苏月考) 如图，在四棱锥中，，，
， .
（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
（2）证明：平面平面 .
19. （10分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知圆 .
（1）已知直线经过点，若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若圆与圆相切，求的值.
20. （10分） (2018高二上·鹤岗期中) 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A ， B.
（1）求直线PA，PB的方程；
（2）求过P点的圆C的切线长．
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共50分)
15-1、15-2、
16-1、
17-1、18-1、
18-2、19-1、19-2、
20-1、20-2、。