高中数学选修4-1知识点
高中数学选修4-1
∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90°.
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°.
∴∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°.
在 Rt△ABC 中,ta1n������ = ������������������������,即tan310° = ������������������������,∴������������������������ =
=
14.
因为 BG=GE,所以������������������������ = 32.
考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 思想方法
答案
选修4
选修4-1 几何证明选讲
考纲要求 梳理自测 探究突破 巩固提升
-14-
方法提炼
1.在解答与比例问题有关的题目时,可通过构造平行线,结合平行线分 线段成比例定理去证明.
选修4 系列
选修4-1 几何证明选讲
选修4
选修4-1 几何证明选讲
考纲要求 梳理自测 探究突破 巩固提升
-3-
考纲要求 1.了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理. 2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. 3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切 割线定理.
考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 思想方法
关闭
答案
选修4
选修4-1 几何证明选讲
考纲要求 梳理自测 探究突破 巩固提升
-16-
考点二 相似三角形的性质与判定定理的应用
【例 2】(2013 辽宁高考)如图,AB 为☉O 的直径,直线 CD 与☉O 相切于 关闭 E,AD(1垂)由直直线CDCD于与D☉,BOC相垂切直,得∠CDCE于B=C∠,EEAFB垂. 直 AB 于 F,连接 AE,BE.
高中数学 1.4直角三角形的射影定理 新人教A版选修4-1
再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·BD，∴CD4＝AD2·BD2.
栏 目
又∵在 Rt△ADC 中，DE⊥AC，在 Rt△BDC 中，DF⊥BC，
链 接
∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.∴CD4＝AE·BF·AC·BC.
链 接
影定理可知，AD2＝BD·CD，
∴62＝8×CD，∴CD＝.
点评：充分利用线段间的长度关系，得出AD⊥BC， 从而推出∠BAC＝90°，于是为使用射影定理创造 了条件．
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►变式训练
1．在一直角三角形中，斜边上的高为6 cm，且把 斜 ___边__分__成_．3∶2两段，则斜边上中线的52 6长cm是
2．如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，
栏 目
且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.
链
接
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解析：在△ABC 中，设 AC 为 x，
∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1，根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，
即 BC＝x2.再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，
1．4 直角三角形的射影定理
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栏 目 链 接
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理解射影定理，能应用射影定理解决简单几何问 题．
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栏 目 链 接
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题型一 线段长度的计算 例1 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝ ∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．
栏 目 链 接
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分析：由勾股定理知∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 进一步可得∠BAC＝90°，由射影定理求CD.
最新人教版高中数学选修4-1《弦切角的性质》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O 的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，的度数典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC . ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华 本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。
高中数学选修4-1知识点总结
高中数学选修4-1知识点总结高中数学选修4-1知识点总结第一讲相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2.平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
最新人教版高中数学选修4-1《圆周角定理》知识讲解
一圆周角定理1．了解圆心角定理，并能解决问题．2．理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题．1所对的圆周角和圆心角分别是∠＝______∠BOC确定圆中两个角的大小关系定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系．【做一做1】如图所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，则∠BOC等于( )A．25° B．50°C．30° D．12.5°2上两点，则弧 AB的度数等于确定圆弧或圆心角的度数【做一做2】如图所示，两个同心圆中， CmD的度数是30°，且大圆的半径R＝4，小圆的半径r＝2，则 AnB的度数是__________．3．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角______；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______．(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”； (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”；(3)由弦相等推出弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．(4)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系简单地说，就是圆心角相等能推出弧相等，进而能推出弦相等．【做一做3－1】如图所示，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【做一做3－2】如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 上的一点，且AC ＝4，BC ＝3，则⊙O 的半径r 等于( )A ．52B ．5C ．10D ．不确定 答案：基础知识·梳理 1．12【做一做1】B 根据圆周角定理，得 ∠BOC ＝2∠BAC ＝50°. 2．弧 ∠AOB【做一做2】30° AnB 的度数等于∠AOB ，又 CmD 的度数等于∠AOB ，则 AnB 的度数是30°.3．(1)相等 相等 (2)90° 直径【做一做3－1】C ∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【做一做3－2】A ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5.∴2r ＝AB ＝5.∴r ＝52.相等的圆周角所对的弧不一定相等 剖析：“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但 BC≠ EF .题型一 求线段的长【例题1】如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线与BC 边和⊙O 分别交于点D ，E .(1)指出图中相似的三角形，并说明理由； (2)若EC ＝4，DE ＝2，求AD 的长．分析：(1)本题证三角形相似要用三角形相似的判定定理，而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出；(2)要求线段长度，先由三角形相似得线段成比例，然后再求其长度．反思：求圆中线段长时，常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形，从而得到成比例线段，再列方程求得线段长．题型二 证明线段相等【例题2】如图，BC 为圆O 的直径，AD ⊥BC ， AF ＝AB ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .分析：要证AE ＝BE ，只需在△ABE 中证明∠ABE ＝∠EAB ，而要证这两个角相等，只需借助∠ACB 即可．反思：(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题． 题型三 易错辨析易错点 误认为同弦或等弦所对圆周角相等【例题3】如图所示，∠BAD ＝75°，则∠BCD ＝__________.错解：∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是BD ，∴∠BAD ＝∠BC D ． ∴∠BCD ＝75°.错因分析：错解中，没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等，导致得到错误的结论∠BAD ＝∠BC D ．反思：同弦或等弦所对的圆周角不一定相等．当弦是直径时，同弦或等弦所对的圆周角相等，都等于90°；当弦不是直径时，该弦将圆周分成两条弧：优弧和劣弧，若圆周角的顶点同在优弧上，或同在劣弧上，同弦或等弦所对的圆周角相等；若一个圆周角的顶点在优弧上，另一个圆周角的顶点在劣弧上，则同弦或等弦所对的圆周角不相等，它们互补(如本题)．答案：【例题1】解：(1)∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠EAC . 又∵∠B ＝∠E ，∴△ABD ∽△AEC . ∵∠B ＝∠E ，∠BAE ＝∠BCE ， ∴△ABD ∽△CED ，△AEC ∽△CED .(2)∵△CED ∽△AEC ，∴CE AE ＝ED EC. ∴CE 2＝ED ·AE ，∴16＝2×AE ，∴AE ＝8. ∴AD ＝AE －DE ＝6.【例题2】证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC 为直角． 又AD ⊥BC ，∴Rt△BDA ∽Rt△BAC . ∴∠BAD ＝∠ACB .∵ AB ＝ AF ，∴∠FBA ＝∠ACB ， ∴∠BAD ＝∠FBA .∴△ABE 为等腰三角形．∴AE ＝BE .【例题3】正解：∠BAD 是 BCD所对的圆周角，∠BCD 是 BAD 所对的圆周角，则 BCD 所对的圆心角为2×75°＝150°，又 BCD和 BAD 所对圆心角的和是周角360°， ∴ BAD所对圆心角是360°－150°＝210°， ∴ BAD所对圆周角∠BCD ＝12×210°＝105°.1如图所示，弦AC 与BD 相交于圆内一点P ，且AB ＝10，CD ＝5，BP ＝8，则PC ＝__________.2(2011·湖南高三十二校联考)如图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于点D，已知BC＝1，AB＝3，则AD＝__________.3如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AC＝AB，求证：BD＝D C．4已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，AD的延长线交外接圆于F，求证： BE＝ FC.5如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．答案：1．4 ∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠B ，∴△ABP ∽△DCP . ∴AB CD ＝BP PC .∴105＝8PC ，解得PC ＝4.2如图所示，连接OD ，由于AC 是⊙O 的直径，则∠ABC ＝90°.又BC ＝1，AB ＝3，则AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋(3)2＝2，所以OA ＝OD ＝12AC ＝1.又∠AOD ＝2∠ABD ＝∠ABC ＝90°，故△AOD 是等腰直角三角形，则AD ＝2OA ＝2×1＝ 2. 3．证明：如图，连接AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC . 又∵AC ＝AB ，∴BD ＝CD .4．分析：转化为证明∠BAE ＝∠FAC ，再转化为证明△ABE ∽△ADC . 证明：∵AE 是直径，∴∠ABE ＝90°. 又∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ABE . 又∠AEB ＝∠DCA ，∴△ABE ∽△ADC .∴∠BAE ＝∠FAC ，∴ BE＝ FC . 5．分析：(1)证明这两个三角形的两个角对应相等；(2)利用(1)的结论，和三角形面积公式的正弦形式，转化为求sin∠BAC .(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAD . 又∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， ∴∠AEB ＝∠ACD .∴△ABE ∽△ADC .(2)解：∵△ABE ∽△ADC ，∴AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，∴AB ·AC sin∠BAC ＝AD ·AE . ∴sin∠BAC ＝1.又∠BAC 为三角形的内角，∴∠BAC ＝90°.。
高中数学选修4-1(高考全部内容)课件
参数方程的形式
参数方程的一般形式为{ x=x(t), y=y(t) }，其中t是 参数。
参数方程的应用
参数方程在解决几何问题 、物理问题等领域有广泛 应用。
极坐标与直角坐标的互化
极坐标转换为直角坐标
通过公式x = r cosθ, y = r sinθ可以 将极坐标转换为直角坐标。
直角坐标转换为极坐标
定义
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、 乘法等。加法和数乘是矩阵的基本运 算，而乘法是矩阵运算中的重点和难 点。
性质
实例
矩阵的运算可以用来解决一些实际问 题，如线性方程组的求解、向量的线 性变换等。
矩阵的运算满足一些基本的数学性质 ，如结合律、交换律、分配律等。这 些性质在解决实际问题时非常重要。
逆矩阵与行列式
参数方程的应用
03
解决与参数方程相关的实际问题，如轨迹问题、最值问题等。
复数及其应用习题及答案
复数的基本概念
复数的定义、表示方法、四则 运算等。
复数的几何意义
理解复数在平面上的表示方法 ，掌握复数的模的概念和性质 。
复数的三角形式
掌握复数的三角形式的表示方 法，理解其几何意义。
复数的应用
解决与复数相关的实际问题， 如求复数方程的根、解决几何
抛物线的标准方程为 $y^2 = 4px$ 或 $x^2 = 4py$，其中 $p$ 是抛物线的准线到焦点的距
离。
抛物线的性质
抛物线具有对称性，即关于x轴 或y轴都是对称的。此外，抛物 线还有焦点，这些焦点到抛物线 上任一点的距离等于该点到准线
的距离。
抛物线的面积
由于抛物线是一条射线，所以它 的面积是无穷大。但是，在实际 应用中，我们通常只考虑抛物线 与坐标轴或某个平面的交点所围
人教A版高中数学选修4-1课件高二：2.1圆周角定理
此题必须先证 AD,AB 所在△ABD 为直角三角形,此时连接 BD,可由直 径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
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随堂练习
UITANG LIANXI
1 2345
1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )
A.25°
B.50°
C.30°
D.12.5°
解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如
图(2),AD 平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1 对������������,∠2 对������������,∠3 也对������������,故∠1=
∠2=∠3.如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.
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图(1)
图(2)
12
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温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并
不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”; (3)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选
������������������所对的圆心角为 2×75°=150°.又������������������ 和 ������������������所对圆心角的和是周角 360°, ∴������������������所对圆心角是 360°-150°=210°,
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
人教版高中数学选修四目录
人教版高中数学选修四目录相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。
人教版高中数学选修目录人教版数学选修4-1第一讲、相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲、直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲、圆锥曲线性质的探讨一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线人教版选修4-4目录第一讲、坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲、参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高中数学选修4-5目录第一讲、不等式和绝对值不等式一、不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲、讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲、柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲、数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式必修、选修什么意思人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修，不分文理，将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。
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考三四系列是选修系列，要根据各省情况选择学习。
高考的时候，你选的每一本书都会有一个问题，你可以从中选择一本。
必修系列和选修系列的区别在于，只有学业水平考试是必修的，而高考是全部。
高中数学选修4-1
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
思想方法
选修4
选修4-1
考纲要求
几何证明选讲
梳理自测 探究突破 巩固提升
-18-
举一反三 2 如图,☉O 和☉O'相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别
交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交☉O 于点 E.证明: (1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE.
选修4
系列
选修4-1
几何证明选讲
选修4
选修4-1
考纲要求
几何证明选讲
梳理自测 探究突破 巩固提升
-3-
考纲要求 1.了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理. 2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. 3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切 割线定理.
������������ ������������ ������������ ∴ ������������
∴
= =
������������ . ������������ ������������ ,即 ������������
AB·CE=AC·DE.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 思想方法
选修4
选修4-1
考纲要求
几何证明选讲
梳理自测 探究突破 巩固提升
-4-
1.相似三角形的判定定理 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角 形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 判定定理 1:两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理 2:三边对应成比例的两个三角形相似. 判定定理 3:两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质定理 性质定理 1:相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于
高中数学选修4-1(高考全部内容)
导数的几何意义
切线斜率
导数在几何上表示了函数图像在某一点处的切线斜率， 即切线的倾斜程度。
切线方程
通过导数可以求出函数在某一点处的切线方程，进而研 究函数的局部性质。
函数的单调性与导数
单调性的判断
通过导数的正负可以判断函数在某个区间内的单调性，导数大于0时函数单调递增，导 数小于0时函数单调递减。
解决方法
解决圆锥曲线中的最值问题，通常需要先设 定目标函数，然后通过求导或基本不等式等 方法求出最值。在求解过程中，需要注意变 量的取值范围和约束条件。
04
导数及其应用
导数的概念及运算
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反 映了函数值随自变量变化的快慢程度。
导数的运算
包括基本初等函数的导数公式、导数的四则 运算法则、复合函数的求导法则等。
பைடு நூலகம்
sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线及其标准方程
01
02
03
抛物线定义
平面内与一个定点$F$和 一条定直线$l$（$F notin l$）距离相等的点的轨迹 叫做抛物线。
标准方程
$y^2 = 2px$（$p > 0$ ），其中$p$为抛物线的 准线到焦点的距离。
焦点和准线
对于抛物线，定点$F$叫 做抛物线的焦点，定直线 $l$叫做抛物线的准线。
02
标准方程
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（$a, b > 0$），其中$a, b$
分别为双曲线的实半轴和虚半轴。
03
焦点和焦距
对于双曲线，两个定点$F_1, F_2$叫做双曲线的焦点，焦点到双曲线上
高中数学选修4-1(高考全部内容)课件
收敛性与发散性
讨论数列或函数的收敛性和发散 性的判断条件。
导数与微分
研究导数的定义、性质以及与函数的变化率和图像特征的关系。
1 导数的定义
介绍导数的几何和物理意义，以及求导的基本方法。
2 导数的性质
探索导数的四则运算法则，以及函数特性与导数的关系。
3 导数的应用
讨论导数在最值问题、曲线绘制与切线斜率等方面的应用。
物理应用
讨论定积分在物理问题中的应用， 如质量、重心、物体受力等。
导数应用
应用导数的概念和性质解决相关问题，包括弧长、曲率、变化率与极值等。
弧长
通过导数求解曲线弧长及相关 问题。
曲率
研究导数与曲线曲率的关系， 解决曲率相关问题。
变化率
利用导数分析函数的变化速率 及相应应用。
不定积分
研究不定积分的定义、计算方法以及与原函数的关系，以及简单的应用。
1
不定积分的定义
讨论三角函数的周期性、奇 偶性以及其他重要性质。
三角函数的应用
探索三角函数在几何学中的 应用以及在实际问题中的意 义。
数列和函数的极限
研究数列和函数的极限概念，以及与收敛性、发散性以及无穷大、无穷小的关系。
数列的极限
介绍数列极限的定义与性质，以 及计算极限的方法。
函数的极限
探索函数极限的定义与性质，以 及极限存在性的判断。
介绍不定积分的定义与基本性质。
2
计算不定积分
探讨常见函数的不定积分计算方法，包括换元法、分部积分法等。
3
不定积分与原函数
讨论不定积分与原函数的关系及其应用。
定积分
研究定积分的定义、性质以及与面积、曲线长度、物理量等的关系。
定积分的定义
人教版高中数学选修4-1《1.4直角三角形的射影定理》
【做一做2】 如图,在Rt△ABC中,∠C是直角,CD⊥AB于点D.若 AD=4,BD=2,则CD= ,AC= ,BC= .
解析:由直角三角形的射影定理,得 CD2=AD· BD=8,所以 CD=2 2.同理 AC2=AD· AB=24,所以 AC=2 6,BC2=BD· AB=12, 所以 BC=2 3.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点 A,B,C,D,E,F,G和线段AB,AC,AF,FG在直线BC上的射影.
解:由AD⊥BC,EF⊥BC可知,点A在直线BC上的射影是点D;点B在 直线BC上的射影是点B,点C在直线BC上的射影是点C,点D在直线 BC上的射影是点D,点E,F,G在直线BC上的射影都是点E;线段AB 在直线BC上的射影是DB,线段AC在直线BC上的射影是DC,线段 AF在直线BC上的射影是DE,线段FG在直线BC上的射影是点E.
������������
A.2
2
3
B.4
2
9
C.3
������������2
2
4
D.9
=
9 ������������ ,故������������ 4
4
解析:由题意,得 CD2=AD· BD,故 BD=3. 又 AC =AD· AB,BC =BD· AB,则
答案:A
������������2
=
������������ ������������
2.直角三角形的射影定理 (1)直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边 在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与 斜边的比例中项. (2)符号表示:如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,则 ①AC2=AD· AB;②BC2=BD· AB;③CD2=AD· DB.
【优化方案】2022高考总复习(人教A版)高中数学 选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系
第2讲直线与圆的位置关系1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)P A·PB＝PC·PD(2)△CAP∽△BDP(1)在P A、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD切割线定理P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)P A、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理P A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P A，求PB(2)求角F考点一__圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题__(1)(2022·高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.(2)(2021·唐山市统考)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D 在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：BF是⊙O的切线．[证明](1)由于B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.(2)连接BD.由于AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．由于AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又由于AB＝AC，所以∠FBA＝∠C.又由于∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切线．[规律方法](1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．1. 如图，已知圆上的弧AC︵＝BD︵，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)由于AC︵＝BD︵，所以∠BCD＝∠ABC.又由于EC与圆相切于点C，依据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)由于∠ECA等于AC︵所对的圆周角，∠ACB等于AB︵所对的圆周角，所以∠ECB等于CAB︵所对的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.考点二__圆内接四边形的判定及性质____________(2022·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[证明](1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．2.(2021·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是圆O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF，又GH＝8，GE＝4，∴GF＝16，∴EF＝GF－GE＝12.考点三__与圆有关的比例线段__________________(2022·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[证明](1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE︵＝EC︵.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.由于P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[规律方法]相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．3.(2021·辽宁省五校联考) 如图，A 、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB(图略)，由于CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE ＝6 3.1. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，连接CF并延长交AB于点E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长．解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，∴EA＝EB，即E为AB的中点．(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，∴S△BEC＝12BF·CE＝12CB·BE，∴BFBE＝CBCE，∴BF＝55a.2．(2021·郑州市质量猜想) 如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．解：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4，知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝ 5.3．(2021·山西省四校联考) 如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O 于B，C两点，P A＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：ABAC＝P APC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴ABAC＝P APC.(2)∵P A为圆O的切线，PC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225， 又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12， ∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.4. (2021·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径． 解：(1)证明：由于AB 为圆O 的一条直径， 所以BF ⊥FH .又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上． 所以，B ，D ，F ，H 四点共圆． (2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ， 由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ， 即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1.又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝ADAF，得DH ＝ 2.连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32. 5．(2022·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)由于PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°， 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又由于∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .6. (2021·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BDBC ，BC 2＝BD ·BE .∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12， 设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.1. (2021·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ， 又OE ＝OB ，OD ＝OD ， 所以△ODE ≌△ODB . 所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．由于DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ， 所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .2．(2021·云南省第一次统一检测)已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .(1)求证：P A ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长． 解：(1)证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上，∴∠DOA ＝∠DCF ， ∴∠POD ＝∠PCE . 又∵∠DPO ＝∠EPC ， ∴△PDO ∽△PEC ，∴PD PE ＝POPC，即PD ·PC ＝PO ·PE . 由割线定理得P A ·PB ＝PD ·PC ，∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直线AB 是弦DF 的垂直平分线， ∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH . ∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°，得∠DCF ＝60°. 由∠DOA ＝∠DCF ，得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3， ∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6，CE ＝DEtan ∠DCE ＝2，∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.3. (2021·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A 、B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D .(1)求证：C 、P 、B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，P A ，PB ，BO 2，∵AC 是圆O 1的直径，∴∠APC ＝90°.连接O 1O 2必过点P ，∵AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，∴∠BAP ＝∠ACP ＝α，∴∠AO 1P ＝2α.由于O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB ，∴∠BO 2P ＝π－2α，∴∠O 2BP ＝α. 又∠ABP ＋∠O 2BP ＝90°，∴∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∴C 、P 、B 三点共线． (2)∵CD 切圆O 2于点D ，∴CD 2＝CP ·CB . 在△ABC 中，∠CAB ＝90°， 又∵AP ⊥BC ，∴CA 2＝CP ·CB ， 故CD ＝CA .4. 如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点P .(1)求证：BF ＝EF ；(2)求证：P A 是⊙O 的切线．证明：(1)∵BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC . 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE .可以得知△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ，∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ， 又∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG .∴BF ＝EF .(2)如图，连接AO ，AB .∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在Rt △BAE 中，由(1)得知F 是斜边BE 的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。
人教版A版高中数学选修4-1：选修4-1 第一讲(四)直角三角形的射影定理
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007·Leabharlann 王新敞奎屯新疆
N
一条 线段在直 线上的正射影 , 是指线段的两个 端点在这条直线上的正射影间的线段. 图1 33 中, 线段 AB 的两个端点 A和B在直线 MN 上的正射影 分别是 A和 B, 线段 AB是线段AB在直线MN 上 的正射影 .
A
M A`
图1 33
B
B` N
点和线段的正射影简称为射影.
C
A
D
B
图1 36
思考1：本题还有其它证法吗？ 小结：这说明射影定理的逆定理也成立. 思考2：我们能否用射影定理来证明勾股定理呢？
课堂演练2： 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE 是Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2, 求AD的长．
课外延伸
阅读教材P20-22 优化设计 P18例1及变式训练1， P20 8，P21 6.
探究新知
在太阳光的照射下, 物体总会在地面上留下阴影, 这就是射影的概念. 从一点向一直线所引垂线的垂足, 叫做这个点在这
条直线上的正射影.在图1 32中, AA` MN , 垂足A是点A 在直线MN 上的正射影. 如果点A是MN 上的点, 那么A在MN 上的正射影就是 它本身.
A
M
A`
图1 32
如图1 34 , ABC 是直角三角形 , CD为斜边 AB 上的高 .在这个图形中,由于线段AD与CD、 BD与CD、BC与AC等互相垂直, 因此可以从射影 的角度来考察它们的关系 .你能发现这些线段之 间的某些关系吗 ?
C
A
D 图1 34
高中数学选修44-1考点2-极坐标与直角坐标的互化
高考真题（2019•全国II 卷（文））[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P .（1）当时，求及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.【解析】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以因为直线l 过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即； 因此，其极坐标方程为，即l 的极坐标方程为；（2）设，则， ， 由题意，，所以，故，整理得， 因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以，所以，P 点轨迹的极坐标方程为，即.【答案】（1）l 的极坐标方程为；（2）000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3πθ0ρ000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=004sin 4sin 3πρθ===)3M πtan 3OM k π==(4,0)A OM l 4)y x =-40x -=cos sin 4ρθθ+=sin()26πρθ+=(,)P x y OP y k x =4AP y k x =-OP AP ⊥1OP AP k k =-2214y x x=--2240x y x +-=02,24x y ≤≤≤≤24cos 0ρρθ-=4cos ()42ππρθθ=≤≤0ρ=sin()26πρθ+=4cos ()42ππρθθ=≤≤高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。
2.先熟后生。
3.先同后异。
先做同科同类型的题目。
4.先小后大。
先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。
5.先点后面。
高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。
6.先高后低。
即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。
人教版B版高中数学选修4-1(B版)圆锥曲线的统一定义
解：设动圆的圆心为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，P到直线x=1的距离为d，
则由题意可知动圆的半径为r=d，PC=d+2
当P在直线x=1右侧时，d+2表示P到直线x=－1的距离，
∴P的轨迹是以C为焦点，直线x=－1为准线的抛物线.
其顶点为 ( 1 , 0) ，C到直线x=－1的距离为p=3
2
∴P的轨迹方程为
y
2
=
6(x
-
1)
2
4
为左、右焦点，点A(3,－1)，在双曲线上
的动P，求：
（1） PA PF2 的最小值;
（2）5 PA 2
5
PF2
的最小值.
y
P
(1) 15 6 5 4
(2)15 4 5
F1
o
P
F2
x
A P
变2、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛
物线 y2 4x 的焦点，点M 在抛物线上
一、圆锥曲线的定义
1、椭圆的第一定义与第二定义 2、双曲线的第一定义与第二定义 3、抛物线的定义
圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点的距离与到一 条定直线的距离的比等于常数 e(e>0)的点的轨迹叫做圆锥曲线
当e>1时为双曲线； 当0<e<1时为椭圆； 当e=1时为抛物线
探究
在推导椭圆的标准方程时,我们曾经 得到这样一个式子
都相切的动圆圆心P 的
轨迹方程.
o1 -1 C x y
o 1C3
x
思路拓展：利用定义求轨迹方程
y
求与直线x=1和圆 C : x 22 y2 4 o 1
都相切的动圆圆心P 的轨迹方程.
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高中数学选修4-1知识点
第一讲相似三角形的判定及有关性质
1.平行线等分线段定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也
相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2.平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比
（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边
是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相
似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于
三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两
个直角三角形相似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
4.直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上
射影与斜边的比例中项。
第二讲直线与圆的位置关系
1.圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
2.圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3.圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4.弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
5.与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角。
6.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
7.三角形的五心
(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
(3)重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
(4)垂心：三条高所在直线的交点。
(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
性质：到三边的距离相等。
第三讲圆锥曲线性质的探究
1.平面与圆柱面的截线：
当平面与圆柱的两底面平行时，截面是个圆；当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是个椭圆；
定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆。
定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l’与l相交于O点，夹角为α，l’围绕l旋转得到以O为顶点，l’为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的夹角为β(当π与l平行时，记β=0)，
则截面不过顶点时：
(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线；
截面过顶点时：
(1)截面和圆锥面只相交于顶点，交线为一个点。
(2)截面和圆锥面相交于两条母线，交线为两条相交曲线。
(3)截面和圆锥面相切，交线为两条重合直线。