自动控制原理第三章 线性系统的时域分析(1)

南通大学《自动控制原理》精品课程习题
最小时 K 的最适值。 解 ：（ 1） 无虚线所画的前馈控制时
1
C(s) P11
s 1
s5
N (s) 1 1 2 10 s2 6s25
s1 s5
(2) n(t) 阶越变化 时， C(s) 的稳态变化即为扰动稳态误差的终值 esn
esn lim sEn (s) ， n(t) ， N (s)
标：①当 r(t)= t 时，系统的稳态误差 ess≤0.02；②当 r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标 Mp%≤30%，ts≤0.3s (△=5%)
解：
ess
1 K
0.02
开环增益应取 K≥50 。现取 K=60 。因
南通大学《自动控制原理》精品课程习题
G(s) K /T
2 n
s(s 1/ T ) s(s 2n )
s520K s2 6s25
s1 s5
当扰动稳态误差的终值 esn 最小时， N(s) 对 C(s) 稳态值影响最小
esn
lim
s0
sEn
(s)
lim
s0
s
(s 520K ) s(s2 6s25)
(520 K ) 25
令 esn 0
520K 0 即 K 0.25
例 3-3 控制系统的结构图如图 3-3 所示。假设输入信号为 r(t)=at ( a 为任意常数)。证明：通过适当地调节
1 2
n 2
2 2
0.354 2.828
r(K 2 aK
4
1 ess K 0.25
②
当K
8,
0.7 时 (s)
8
，
s2 (2 8a)s 8
n2 2n
8
2
8a
a
n 4
1
0.7 2 4
2 1 0.245
G(s)
8
s2 2 0.7 2
Ts2
s
KK K
i
s
R(s)
当输入信号为 r(t)=at 时，系统的稳态误差为
ess
lim
s0
Ts2
s
Ts2
s
s
KK i K
s
a s2
lim s0
a(Ts 1 KKi ) Ts2 s K
lim a[Ts (1 KKi )] a(1 KKi )
s0 Ts2 s K
解： G(s)
s(s
1
K j1)(s 1
j1)
s(s2
K 2s
2)
K
2
5
r(t) t
K
lim sG(s) s1
2
ess K 1.2 K 3
G(s)
s(s 1
K j1)(s 1
j1)
s(s2
53 2s
2)
例 3-6 某单位负反馈系统的开环传递函数为
K (s 1) G(s) s3 as2 2s 1 若系统以 2 rad s 的频率作等幅振荡，试利用劳斯判据求 K 和 a 的值。
0.25，因此
1，同时 ess
a K
0.25
K
4a
系统的误差传递函数e (s)
s2
s(s a) (a K)s
K
，由频率特性可知
e ( j)
4
( j)2
j( j a) j(a K) K
4
化简可得
2 a2
2
(K 2)2 2(a K)2
10
4
(K
4(16 a2 ) 16)2 16(a K )2
s0
s
En (s) N (s)n (s)
s
1
1
s 1 12
10
s(s
( s 5) 2 6s2
5)
s1 s5
esn
lim
s0
sEn
(s)
lim
s0
s
(s 5) s(s2 6s25)
5
(3)加一增益等于 K 的前馈控制
2
C(s)
N (s)
Pk k
k 1
11 s1 s1
1 1
2 10K s5 2 10
解：由题意知系统必具有共轭纯虚根 s1,2 j2 ，对应劳斯表中 s1 行各元素均为零。
系统特征方程为 D(s) s3 as2 (2 K )s (1 K ) 0
劳斯表为
s3
1
2K
s2
a
1 K
s1 2 K 1 K a
s0
1 K
令2K
1 K a
0 ，同时由 s2 行构成的辅助方程 as2
画出 K, T 的取值范围。 解：
(s)
C(s) R(s)
Ts2
K sK
s2
KT s T K
T
n2 2n
K
T 1T
2
1 TK
0.5
即TK 1
系统的特征方程为 D(s) Ts2 s K
要使闭环系统所有特征根位于 s 平面上 s 2 的左侧区域，令 s z 2
D(z) T (z 2)2 z 2 K Tz2 (1 4T )z 4T 2 K
K
R(s)
2
s5
++
10
1
C(s)
s 1
图 3-2
（1）无虚线所画的前馈控制时，求传递函数 C(s) N(s) ； （2）设 n(t) 阶越变化 （ 设为定值），求 C(s) 的稳态变化； （3）若加一增益等于 K 的前馈控制，如试图 6 中虚线所示，求 C(s) N(s) ，并求 N(s) 对 C(s) 稳态值影响
的稳态值为 0.25。②在 r(t) 10sin 4t 的作用下，系统稳态输出（ c(t) ）的幅值为 2。求 K,, a 。
r(t) e(t)
c(t)
G(s)
(s 1)
图 3-5
解：闭环传递函数为
(s)
s
(s
K a)
K(s
1)
s 1
K as
Ks
K
闭环系统稳定的条件为
1 2
a0 a0
K 0 K 0 aK K 0 a 1
由劳斯判据可知
T 0 1 4T 0 4T 2 K 0
综上可知：K, T 的取值范围为 0 T 1 4
T K 1 0.5 2
在 T-K 的直角坐标图上画出 K, T 的取值范围略。
TK 1
例 3-5 考虑一个单位负反馈三阶系统，其开环传递函数 G(s) 的分子为常数，要求：①在 r(t) t 作用下的 稳态误差为 1.2；②三阶系统的一对闭环主导极点为 s1,2 1 j1 ；试求同时满足上述条件的系统开环传 递函数 G(s) 。
(1 K )
0 ，将 s1,2
j2 代入上式
4a 1 K 0 ，联立可解得 K 2， a 0.75
例 3-7 设系统如图 3-4 所示，试求：①当 a 0, K 8时，确定系统的阻尼比 ，无阻尼自然振荡频率n 和 r(t) t 作用下系统的稳态误差；②当 K 8, 0.7 时，确定参数 a 值及 r(t) t 作用下系统的稳态误 差；③在保证 0.7, essr 0.25 的条件下，确定参数 a 和 K 。
距离越大，振荡频率越高，距离越小，振荡频率
越 低 ）； 阻 力 系 数 大 小 取 决 于 1,2,3 大 小 ， cos ；衰减速度快慢取决于闭环极点的实数
部大小（离虚轴的距离，距离越大，衰减速度越
快，距离越小，衰减速度越慢）；
j
3
2
4
1 2
1
4
0
4
1
3
2
例 3-2 已知系统结构图如图 3-2 所示，试求 N(s)
K 0
(s)
1
1 G(s)
H
(
s)
R(s)
s
1
s1 as as Ks
K
R(s)
( G(s)
s
K (s
a)
，
H (s)
s
1)
r(t) t 时，由终值定理可得
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ess
lim sE(s) s0
lim s
s0
s 1
s1 as as Ks K
1 s2
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第三章 线性系统的时域分析
例 3-1 已知四个二阶系统的闭环极点分布图如图 3-1 所示，试填写试表 1，并简要说明理由。注：各栏分
别填写 高、低；大、中、小；快、慢。
j
3
2
4
1
0
4
1
表 3-1
系统 组
别 项目
1 Ⅰ
2
振荡频率 （高、低）
低 高
1
低
Ⅱ
3
高
阻尼系数
衰减速度
故有 T
1/ 2
n
，
2 n
K
/T
于是 n 2K 取 M p % 0.2 % ，计算得
(ln M p %)2 2 (ln M p %)2
0.456，n
54.72
此时 ts 3.5 / n 0.14 0.3 (S)
满足指标要求。最后得所选参数为：K=60，T=0.02 (s)
同时 D(s) s3 10s2 10Kbs 10 0 ，两式比较可得
a 5 10 5a b 10Kb 5b 10
a 5 b 5
Kb 2.7
另两个闭环极点可由 s2 as b s2 5s 5 0 解得 s2 4.56 ， s2 0.44
例 3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s) K / s(Ts 1) 。 试选择参数 K 及T 的值以满足下列指