9.3拱桥的计算

2、悬链线
空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如
下图），其恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函 数来表达。目前最普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴 线，仅需拱轴线在拱顶、跨径的四分之一点和拱脚与压力线 重合。
3、抛物线（三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴线为抛物线） 在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。 对于恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢 筋混凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥）， 往往可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：
g d 拱顶处恒载集度；
拱上材料的容重。 由上式，取y1=f，可得拱脚 处恒载集度 gj 为：
g j g d f mg d
其中：
（9-3-5）
m
gj gd
称为拱轴系数。
（9-3-6）
( m 1) g d / f
（9-3-8）
y1 这样gx可变换为： g x g d y1 g d 1 ( m 1) f
(9-3-2）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； Mx任意截面以右的全部恒载对该截面的
弯矩值。 对式（9-3-2）两边对x取两次导数，可得： 恒载集度 g d2y 1 d 2M
dx
1 2

Hg

dx
2

x
Hg
（9-3-3）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程， 需首先知道恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的 恒载可以用下式表示： g x g d y1 （9-3-4）
可以证明当
y1ds s EI ys 时， 12 21＝0 ds s EI
设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI就代表此图的 微面积，而上式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为 弹性中心。 对于悬链线无铰拱 l 有： f x l1
y1 m 1 (chk 1)
ds
s

1
0
1 2 sh 2 k d
1 f
（4）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力 对于静定三铰拱，各截面的偏 离弯矩值Mp可以按下式计算：
M p H g y
其中：y为三铰拱压力线在 该截面的偏离值 对于无铰拱，由于其是超静定 结构，偏离弯矩将引起次内力， 其计算过程如下： 取C图所示的基本结构，赘余力 X1，X2作用在弹性中心，则有：
a) 先假设m值
b) 查表得拱脚处的 cos j ； c)根据计算出的 cos j ，代入（9-3-14） 计算出gj，连同（9-3-13） 计算出m值。 d)比较假设值m，如两者相符，即假定的m为真实值； 如两者相差较大,则以计算出的m作为假设值，重新计 算，直到两者相等。
g d 1hd d
g j 1hd 2 h d cos j
由 m
gj gd
拱轴线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示： 当
1 2
时，y1 y1 / 4 ；代

1 2
到悬链线方程
y1
f m 1
(chk 1)
半圆公式
y1/ 4 f ch k 2 1 m 1 ( ch k 2 1)
（1）实腹式拱m值的确定
m gj gd
拱顶恒载分布集度 gd
g d 1hd d （9-3-13）
拱脚恒载分布集度 gj
g j 1hd 2 h d cos j
（9-3-14）
h f
d 2

2 cos j （9-3-15）
d
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用逐次逼近法，具体做法如下：
1、不考虑弹性压缩的恒载内力 1）实腹拱 实腹式悬链线的拱轴线与压力线重和，恒载作用拱的 任意截面存在轴力，而无弯矩，此时拱中轴力可按以 下公式计算。 在进行悬链线方程推导时有：
k
2
l12 g d Hg f
( m 1)
（9－3－9）
恒载水平推力Hg ：利用上式有
l1 l / 2
y1 / 4 f
1/ 4
和 M j ，根据
2) 2 1
M M
1/ 4 j
求出
y1 / 4 f
，然后利用式
m
1
2 y1 / 4
(
f
算出m值，
如与假定的m值不符，则应以求得的m值作为新假定值，重新计
算，直至两者接近为止。
（3）悬链线无铰拱的弹性中心 无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱若从拱顶切开取 基本结构
( m 1)
则
d 2 y1 d 2

l12 g d Hg
k 2 y1
（9-3-10）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力 线）方程为：
y1 f m 1 (chk 1)
为悬链线方程。
（9-3-11）
双曲余弦函数
chk
e k e k 2
f
对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（9-3-11） y1 (chk 1) m 1 得：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 p
赘余力X1（弯矩），X2 （轴力）为对称，而X3 （剪力）是反对称的，故 有副系数
9.3 拱桥的计算
9.3.1概述
联合作用与横向分布： 活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与主拱圈共同承受活 载的作用，称为“拱上建筑与主拱的联合作用”或简称“联 合作用”。 在横桥方向，活载引起桥梁横断面上不均匀应力分布的出 现，称为“活载的横向分布”。 联合作用：偏于安全可不考虑。 横向分布：板、双曲、箱可不考虑，刚架拱、桁架拱要考 虑。 拱桥计算包括成桥状态受力分析和强度、刚度、稳定验 算以及必要的动力分析，施工阶段结构受力分析和验算。
M1 1 M p H g y
X 1
1 p 11


M 1 M p ds EI M 12 ds s EI
s

M
p
s
I ds s I
ds
H g

y
s
I ds s I
ds
（9－3－20）
M2 y
X 2 2p
22


M 2 M p ds EI M 22 ds s EI
y1
4f l2
x2
1）拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 Md=0 剪力Qd=0 恒载推力为Hg
实腹式悬链线拱轴计算图示
对拱脚截面取矩， 有:
Hg
M
f
（9-3-1）
M
半拱恒载对拱脚的弯矩。
Mx Hg
对任意截面取矩，有：
y1
0 0
13 31 0 23 32 0
但副系数仍有 12 21 0 为了使 12 21＝0 ，可以按下图引用 “刚臂”的办法达到。
作用于弹性中心的三个多余未知力以单位力分别作用时 引起的内力为： M 1 1, Q1 0, N1 0 M 2 y , Q2 sin , N 2 cos M 3 x , Q3 cos , N 3 sin
j
（9-3-18）
M
1/ 4
自拱顶至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力 矩。
求得
y1 / 4 f
后，即可求得m值：
m 1 f 2) 2 1
y1/ 4 f

1 2( m 1) 2
2 y1 / 4
(
（9-3-19）
空腹式拱桥的m值，仍按逐次渐近法确定。即先假定一个m
值，定出拱轴线，作图布置拱上建筑，然后计算拱圈和拱上建 筑的结构自重对l／4和拱脚截面的力矩 M 式
拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。 对拱脚取矩，由 M
Hg
A
0
有：
（9-3-17）
j
M
f
对l/4截面取矩，由 M B 0 有：
Hg
H g y1 / 4 M 1 / 4 0
M
1/ 4
y1 / 4
代上式到式（9-3-17），可得：
y1 / 4 f
M 1/ 4 M
chk m
chk 1 2

m 1 2 1 2( m 1) 2
y1/ 4 f
y1 / 4

m 1 1 2 m 1
随m的增大而减小（拱轴线抬高)，随m减小而增大（拱轴 线降低）。
（2）空腹式拱拱轴系数的确定 空腹式拱桥中，桥跨结构的 恒载由两部分组成，即主拱圈承 受由实腹段自重的分布力和空腹 部分通过腹孔墩传下的集中力 （如左图）。由于集中力的存在， 拱的压力线为在集中力作用点处 有转折的曲线。但实际设计拱桥 时，由于悬链线的受力情况较好， 故多用悬链线作为拱轴线。 为了使悬链线与其恒载压力 线重和，一般采用“五点重和法” 确定悬链线的m值。即要求拱轴线 在全拱（拱顶、两1/4l点和两拱 脚）与其三铰拱的压力线重和。 其相应的拱轴系数确定如下
将上式代入式（9-3-3） 参数:
x l1
d 2 y1 dx
2

1 Hg

d 2M dx
2

gx Hg
，并引
则：dx l1d
可得：
d 2 y1 d 2 k
2
l12 g d y 1 ( m 1) 1 Hg f