1.1.2集合间的基本关系(201911)

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1.1.2 集合间的基本关系

3、等集
• 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于
集合B，记作A＝B。 • 如果A B，同时B A，那么A＝B。
A（B）
4、空集
不含任何元素的集合叫空集，记为. 规定：空集是任何集合的子集.
例：判断下列写法是否正确
① A ② A
③AA
④ A A
性质
•空集是任何集合的子集。 ① A
•空集是任何非空集合的真子集。 ② A，A
•任何一个集合是它本身的子集。 ③ A A •对于集合A，B，C，如果A B且B C，那么A C。 •如果A B，同时B A，那么A＝B
注：（1）子集与真子集符号的方向。如A B与B A同义；A B与A B不同
解：所有子集是φ，{a},{b},{a,b}，除了{a,b}外都是真子集
练习:1.写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
答案：⒈所有子集是φ，{1},{2},{3},{1，2},{2,3},{1,3},
{1,2,3}；其中除了{1，2，3}外都是真子集.
注：写子集要按照一定的顺序，做到不重不漏。
集
合
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1.1.2 集合间的基本关系
课题：集合间的基本关系
教学目标： 1.理解子集的意义，会求一个集合的子集； 2.理解集合相等、真子集、空集；教学重点：子集、真子集、空集的概念；教学难点：空集的概念. 教学方法：启导研究教学法.
一、设疑置境，铺垫引入
• 观察下列各组集合中A与B之间的关系？ (1) A＝｛－1,1｝，B＝｛－1,0，1,2｝; (2)A=N,B=R; (3)A={x|x为北京人｝，B={x|x为中国人｝.

1.1.2集合之间的基本关系

观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
（1） A={1, 2, 3} , B={1, 2, 3, 4 ,5};
（2）A={棠外高一13班女生}， B={棠外高一13班学生}.
（3) 设C＝{x|x是至少有两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}.
2.子集：对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：A⊆B（或 B⊇A）读作：“A包含于B”（或B包含A）
2
2
则A,B之间的关系为（ B）
A.A B; B.B A; C.A=B D. 以上都不对。
(2)M {x | x m 1 , m Z}, N {x | x n 1 , n Z},
6
23
P {x | x p 1 , p Z},则M, N, P的关系为_M____N_=_P_. 26
复习回顾
1.集合的几种表示方法：
2.元素与集合的关系： ( or )
3.常见的数集：
引入：
（1）我们学过哪些数的运算？加、减、乘、除、乘方、开方、取倒数等等
（2）生活中的运算：
一.集合间的关系
一个特殊而又重要的集合: 1、空集---不含有任何元素的集合，记作：
再如：{x | 2 x 1}
符号语言：若对任意x∊A，有x ∊B，则 A⊆B
图形语言：
A
韦恩
B
图
若A不是B的子集，则记作：A⊈B（或B ⊉A）
3、集合相等:
用子集概念描述：如果集合A 是集合B的子集（ A⊆B）且集合B也是集合A的子集（ B⊆A），因此集合A和集合B中的元素是一样的，就说A与B相等，记A=B。

1.1.2集合间的基本关系...

1.1.2集合间的基本关系
学习目标： 1.理解子集、集合相等、真子集的定义，并会
用集合符号、Venn图表示；
2.理解空集的概念，会用符号表示； 3.学习类比、联想、归纳的思维方法及分类讨论的思想
结论1:
1．对于两个集合A和B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。
评价组 G7 G8 G9
22班导学案P11探究1 导学案P11探究2第二题导学案P11探究评价组 G7 G8 G9
记作： A B 或 B A
结论2:
3, 定义：对于两个集合A和B，如果
集合A是集合B的子集（A B），同
时集合B也是集合A的子集（B A），
则集合A与集合B相等。记作：A=B。
3．真子集
如果 A B ，但存在 x B,且x A ,
称集合A是集合B的真子集．
记作: A B
AB
B={x∈R|x2+2=0}
2、不含任何元素的集合叫空集，记作：Ø
规定：空集是任何集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。
5、重要结论：
（1）对于集合A,B,C，如果
A B ,B C ,则A C
（2）任何一个集合都是它本身的子集。
21班导学案P11探究1 导学案P11探究2第二题导学案P11探究3第三题
展示组 G4 G5 G6

1.1.2集合间的基本关系

记作
B（或B A）也说集合A是集合B的子集．
A
A B
B
A
判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( √ ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )
③A={0}, B={x x2+2=0} ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}
观察集合A与集合B的关系：
(1) A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} (2) A={－1,1}, B={x
2 x －1=0}
图中A是否为B的子集?
B (1)
A
B
A (2)
注意
⑴ 集合A不包含于集合B，或集合 B不包含集合A时，记作 ⑵ 规定：空集是任何集合的子集．
即对任何集合A,都有： A
观察集合A与集合B的关系：（1）A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} （2）A={四边形}, B={多边形}
定义
对于两个集合A与B,如果A B,并且A≠B,则称集合A是集合B的
真子集．记作
图示为
B
A
子集的性质
（1）对任何集合A，都有：
A A （2）对于集合A,B,C,若A B,且B
(× ) (√ )
定义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B中的任何一个元素都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作
A=B 若A B且 B A, 则A=B;
反之,亦然.
观察集合A与集合B的关系：（1）A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} （2） A={四边形}, B={多边形}

1.1.2集合间的基本关系

有什么区别？
举例： (1) {a} {a, b, c} , 而a∈{a,b,c} (2) {0} , 但 0 ， {0} (3) {} ， {} 但 {}
例1.写出集合{a,b}的所有子集，并指出那些是它的真子集.
所有子集：

{a} {b}
{a} {b}
写出集合M .
变式2：
已知集合M 满足1， 2 M 1, 2,3, 4,5 , 求集合M的个数.
你能得出怎样的结论？
变式3：
已知 x | x 1 0 A 1, 0,1 , 求集合A的子集的个数.
2
例2.已知集合M {1,3, a}, N {1, a - a 1}, 且M N，
1.子集：
对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集
合有包含关系，称集合A是集合B 的子集，
记作:
A B ( 或 B A )
练习1：

判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）内打 √ ，若不是，则打
(1) A 1,3,5 B 1, 2,3, 4,5, 6 (2) A 1,3,5 B 1,3, 6,9 (3) A 0 B x | x 2 2 0
2
求a的值.
例3.已知集合A x | 0 x 4 , B x | x a , 若A B, 求实数a 的取值的集合.
问：若把集合A改为A x | 0 x 4 , 结果又如何？
变式：
若集合A x | 2 x 5 , B x | m 1 x 2m 1 , 且B A, 求由m可取的值组成的集合.
则其子集个数为

课件1：1.1.2 集合间的基本关系

例题讲解
解 ∵B⊆A， (1)当 B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得 m≥2.
－3≤2m－1，
(2)当 B≠∅时，有m＋1≤4，
2m－1＜m＋1，
解得－1≤m＜2，综上得 m≥－1.
方法总结
1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． 2．此类问题要注意对空集的讨论．
求实数 a 的值．解由 A＝B 及两集合元素特征，
a2－1＝0，
a＝±1，
∴
∴
a2－3a＝－2， a＝1或a＝2.
因此 a＝1，代入检验满足互异性．∴a＝1.
例题讲解
例3、已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜ m＋1}且B⊆A.求实数m的取值范围．
[思路探索] 借助数轴分析，注意B是否为空集．
新知导学
2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集． (2)符号表示为： ∅ . (3)规定：空集是任何集合的子集． 3．子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A . (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么 A⊆C .
互动探究
探究点1 能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？提示不能．这是因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有 B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以上述理解是错误的．
第一章集合与函数概念
1.1.2 集合间的基本关系
新知导学
1．子集及其相关概念

第1章 1.1 1.1.2 集合间的基本关系

集合1．1.2 集合间的基本关系[新知初探]1．子集的概念都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[点睛] (1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．3．真子集的概念记作A B(或B A)图示结论(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B[4．空集的概念定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅ A[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )(2)任何一个集合都有子集．( )(3)若A＝B，则A⊆B.( )(4)空集是任何集合的真子集．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( ) A．N∈M B．N∉MC．N⊇M D．N⊆M答案：D3．下列四个集合中，是空集的为( )A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}答案：B4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案：－1集合间关系的判断[例1] 指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.判断集合间关系的2种方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．[活学活用]1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )解析：选B 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2) (3) (4)∈有限集合子集的确定[例2] (1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是( )A．6 B．7C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案] (1)B (2)71．求集合子集、真子集个数的3个步骤2．与子集、真子集个数有关的3个结论假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．[活学活用]3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )A．1 B．2C ．3D ．4解析：选B 根据题意，集合M 有4个子集，则M 中有2个元素，又由M ＝{x ∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m 的全部整数，则m ＝2.4．设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：选B 满足条件的集合B 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A ⊆B 的B 的个数是4.故选B.[例3] 已知集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m －6≤x≤2m－1}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围． [解] ∵A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m>－5，m≤4，m≥3，故3≤m≤4.∴实数m 的取值范围是{m|3≤m≤4}．[一题多变]1．[变条件]本例中若将“A ⊆B”改为“B ⊆A”，其他条件不变，求m 的取值范围．解：(1)当B ＝∅时，m －6>2m －1，即m<－5. 当B≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m －6≤2m－1，m －6≥－2，2m －1≤5，⎩⎪⎨⎪⎧m≥－5，m≥4，m≤3，即m ∈∅.由集合间的关系求参数值(或范围)故实数m的取值范围是{m|m<－5}．2．[变条件]本例若将集合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m 的值．解：因为A⊆B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1,3,1}，A＝{3,1}满足A⊆B.层级一学业水平达标1．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )A．2 B．－1C．2或－1 D．4解析：选C ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( ) A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析：选B 由已知x 是正方形，则x 必是矩形，所以C ⊆B ，故选B. 4．已知集合P ＝{x|x 2＝1}，Q ＝{x|ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1. 5．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．答案：{(1,2)}，{(－3,4)}7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪yx＝1，则A ，B 的关系是________．解析：因为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪yx＝1＝{(x ，y)|y ＝x ，且x≠0}，故B A.答案：BA8．已知集合A ＝{x|x<3}，集合B ＝{x|x<m}，且A ⊆B ，则实数m 满足的条件是________．解析：将数集A 在数轴上表示出来，如图所示，要满足A ⊆B ，表示数m 的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3. 答案：m≥39．已知集合A ＝{x|1≤x≤2}，B ＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若A B，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．解：∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2为所求．层级二应试能力达标1．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．－1 解析：选C 由A ＝B ，得x ＝0或y ＝0.当x ＝0时，x 2＝0，此时B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y ＝0时，x ＝x 2，则x ＝0或x ＝1.由上知x ＝0不合适，故y ＝0，x ＝1，则2x ＋y ＝2.2．已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选D 因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C 有4个．3．已知集合A ＝{x|x ＝3k ，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6k ，k ∈Z}，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ＝BC ．A BD ．A B解析：选D 对于x ＝3k(k ∈Z)，当k ＝2m(m ∈Z)时，x ＝6m(m ∈Z)；当k ＝2m －1(m ∈Z)时，x ＝6m －3(m ∈Z)．由此可知A B.4．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,1解析：选D 因为集合A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a 2＝1，故a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．综上所述，a ＝0，或a ＝±1.5．设集合A ＝{1,3，a}，B ＝{1,1－2a}，且B ⊆A ，则a 的值为________．解析：由题意，得1－2a ＝3或1－2a ＝a ，解得a ＝－1或a ＝13.当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，符合题意；当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合题意．所以a 的值为－1或13. 答案：－1或 136．已知M ＝{y|y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x|－2≤x≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y|y≥－2}，∴N M.答案：NM7．已知A ＝{x ∈R|x<－2或x>3}，B ＝{x ∈R|a≤x≤2a－1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B≠∅和B ＝∅两种．①当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a>3，a≤2a－1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；②当B ＝∅时，由a>2a －1，得a<1.综上可知，实数a 的取值范围是{a|a<1或a>3}．8．设集合A ＝{x|－1≤x＋1≤6}，B ＝{x|m －1<x<2m ＋1}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．解：化简集合A 得A ＝{x|－2≤x≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m －1≥2m＋1，即m≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m>－2时，B ＝{x|m －1<x<2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m≤2.综上所述，知m 的取值范围是 {m|－1≤m≤2或m≤－2}．。

1.1.2集合间的基本关系

1.1. 2集合间的基本关系学习目标(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

(2)理解子集.真子集的概念。

(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.学习难点：难点是属于关系与包含关系的区别．【课前导学】复习回顾表示集合常有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.问题情境【问题】观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}；（2）A=N ，B=R ；（3）A={x x 为北京人}，B= {x x 为中国人}； (4)A ＝∅，B ＝{0}【设问】集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素吗?【课堂活动】一、建构数学：通过观察上述集合间具有如下特殊性：(1)集合A 的元素-1，1同时是集合B 的元素；(2)集合A 中所有元素，都是集合B 的元素；(3)集合A 中所有元素都是集合B 的元素；(4)A 中没有元素，而B 中含有一个元素0，自然A 中“元素”也是B 中元素. 由上述特殊性可得其一般性，即集合A 都是集合B 的一部分.从而有下述结论.1.子集:【定义】一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A.记作A ⊆B （或B ⊇A ），这时我们也说集合A 是集合B 的子集.请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A这应理解为：若A ⊆B ，且存在b ∈B ，但b ∉A ，称A 是B 的真子集.【注意】（1）子集与真子集符号的方向（2）当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A B （或B A ）.如：A ＝{2，4}，B ＝{3，5，7}，则A B.（3）空集是任何集合的子集即Φ⊆A ．（4）空集是任何非空集合的真子集即Φ A 若A ≠Φ，则ΦA ．（5）任何一个集合是它本身的子集即A A ⊆．（6）易混符号：①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}（7）子集关系具有传递性.即,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆．二、应用数学：例1（1）写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示（2）判断下列写法是否正确：①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A ．【思考】1：A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？【结论】如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么______________________问：A ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈Z}.那么A____________B说明：稍微复杂的集合，特别是用描述法给出的，要从代表元素及其所满足的特性上认真分辨.【思考】2：若A B ，B C ，则A C ？真子集关系也具有传递性．即___________________________例2 写出{a 、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.【变式】写出集合{1，2，3}的所有子集．【猜想】(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？( )（2）集合{}n a a a ,,21Λ的所有子集的个数是多少？( )【推广】如果一个集合的元素有n 个，那么这个集合的子集有___个，真子集有______个，有___________个非空真子集．例3 满足{}{}a M ,,,M a b c d ⊆⊄的集合共有多少个？例4 已知集合}52|{≤<-=x x A ，}121|{-≤≤+-=m x m x B ，且A B ⊆，求实数m 的取值范围．提示：A 的子集要分∅≠B 和∅=B 两种情况讨论．【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．课后练习1、用≠≠⊆⊂⊇⊃“、、、”连接下列集合对：①A={济南人}，B={山东人}；②A=N ，B=R ；③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}2、若A={a ，b ，c },则有几个子集，几个真子集？写出A 所有的子集．3、设A={x/x=3m ,m ∈Z},B={x/x=6k ，k ∈Z},则A 、B 之间是什么关系？课后提升1．满足∅A ⊆},,,{d c b a 的集合A 是什么?2．⑴已知集合},|{},,{A x x B b a A ⊆==用列举法写出B ；⑵已知集合},|{},,{A x x B b a A ∈==用列举法写出B ．分析:集合本身也可以做另外集合的元素.3．判断正误：(1) ∅}0{ (2) ∅=0 (3) 0}{∅∈(4) 0∅∉ (5) }{∅⊆∅ (6) }{∅∈∅．4．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与P 的关系为____________________________．5．已知集合}04|{2=+=x x x A ，}0|{2=++=a ax x x B ，若A B ⊆，求实数a 满足的条件．解∵}4,0{}04|{2-==+=x x x A ，且A B ⊆，可得 ⑴当A B =时，⑵当B A 时①B ≠∅,②∅=B ，综合⑴⑵知：。

1.1.2集合间的基本关系

2016-2017学年度第一学期高一数学导学案编号：002 班级：姓名：学习小组：层级编码：组内评价：教师评价：编制：审核：包科领导：年级主任：使用时间：1.1.2集合间的基本关系【学习目标】1．知识与技能(1) 理解子集、真子集的概念。

(2) 理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集。

(3)能使用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法(1)通过Venn 图表示集合之间的关系渗透数形结合的思想。

(2)通过从实数的大小关系类比出集合之间的关系体会类比对发现新结论的作用。

3.情感、态度与价值观培养积极参与、合作、交流的意识，在知识的探索和发现的过程中，培养学习数学的兴趣。

【重点、难点】重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念。

难点：属于关系与包含关系的区别。

一、问题导学1.依据两个实数b a ,可以存在的大小关系（若b a <），来探究两个集合B A ,之间可以存在什么关系？什么是子集？2. 与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?3．举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn 图表示.二、合作探究1、观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为高陵一中2013级(11)班全体男生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合； (3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形 (4){2,4,6},{6,4,2}E F ==. （5）}2|{>=x x A ,}3|{>=x x B2、写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.三、拓展练习（巩固深化，发展思维）1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。

1.1.2集合间的基本关系

1.1.2集合间的基本关系(子集,真子集,全集,补集)【学习导航】知识网络学习要求1．了解集合之间包含关系的意义； 2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示； 3．子集、真子集的性质； 4．了解全集的意义，理解补集的概念．【课堂互动】自学评价 1．子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（），则称集合A 为集合B 的子集（subset ）,记为______或_______读作“_____”或“_________” 用符号语言可表示为：____________________ 注意：⑴A 是B 的子集的含义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；⑵不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合.2．子集的性质：①A A ⊆②A ∅⊆⑶,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆ 思考:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？3．真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B的真子集（proper set ）,记为______或_________读作“_____________”或“_______________” 4．真子集的性质： ①∅是任何非空集合的真子集符号表示为______ ②真子集具备传递性符号表示为__________ 5．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集（universal set ）全集通常记作_____6．补集的概念：设__________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集（complementary set ）, 记为___________读作“__________________________” 即：U C A =_______________________ 7．补集的性质：①U C ∅=__________________ ②U C U =__________________ ③()U U C C A =______________【精典范例】例1．⑴写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集； ⑵写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集；例2：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来． ⑴a 与{a } 0 与∅ ⑵∅与{20，35∅} ⑶S ={―2，―1，1，2}，A ={-1，1}，B ={―2，2}； ⑷S =R ，A ={x |x ≤0，x ∈R }，B ={x |x >0 ，x ∈R }； ⑸S ={x |x 为地球人}，A ={x |x 为中国人}，B ={x |x 为外国人}追踪训练一1．判断下列表示是否正确：⑴a ⊆{a } ⑵{a }∈{a ，b } ⑶{a ，b }⊆{b ，a } ⑷{-1，1}Ü{-1，0，1}⑸∅Ü{-1，1}2．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系． ⑴A ={-1，1}，B =Z ；⑵A ={1，3，5，15}，B ={x |x 是15的正约数}；⑶A = N *，B =N⑷A ={x |x =1+a 2,a ∈N *}B ={x |x =a 2-4a +5,a ∈N *} 3．⑴已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4， 5}，则这样的集合M 有多少个？ ⑵已知M ={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若P α∈，则10-α ∈P ，则这样的集合P 有多少个？ 4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．⑴∅与{0} ⑵{-1，1}与{1，-1}⑶{(a ,b )} 与{(b ,a )} ⑷∅与{0，1，∅}例3：设集合A ={x |x 2+4x =0，x ∈R }，B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例4：①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ， U =R ，试求A 及u C A ．②设全集U =R ，A ={x |x >1}，B ={x |x +a <0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．追踪训练二1．若U =Z ，A ={x |x =2k ，k ∈Z }，B ={x |x =2k +1， k ∈Z }，则U C A =______, U C B =___________： 2．设全集是数集U ={2，3，a 2+2a -3}，已知A ={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．3．已知集合A ={x |x =a +16，a ∈Z }，B ={x |x =123b -，b ∈Z }，C ={x |x =126c +，c ∈Z }，试判断A 、B 、C 满足的关系4．已知集合A ={x |x 2-1=0 }，B ={x |x 2-2ax +b =0} B ⊆A ，求a ，b 的取值范围．1.1.2集合间的基本关系(子集,真子集,全集,补集)1．设M 满足{1，2，3}⊆M ⊆{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为（） A ．8 B ．7 C ．6 D ．52．下列各式中，①∅={0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0={0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1，2，3}；⑦{1，2}⊆{1，2，3}；⑧{a ，b }⊆{a ，b }．正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．若U ={x |x 是三角形}，P ={x |x 是直角三角形}则U C P =（） A ．{x |x 是直角三角形} B ．{x |x 是锐角三角形} C ．{x |x 是钝角三角形}D ．{x |x 是钝角三角形或锐角三角形} 4．设A ={x |1<x <2} ，B ={x |x <a }，若A 是B的真子集，则a 的取值范围是（） A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤25．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．设集合M ={(x ,y )|x +y <0，xy >0}和P ={(x ,y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________________．7．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R }则集合A 与集合B 的关系是____________．8．设x ，y ∈R ，B ={(x ,y )|y -3=x -2}，A ={(x ,y )|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是______________． 9．已知a ∈R ，b ∈R ，A ={2，4，x 2-5x +9}，B ={3，x 2+ax +a }，C ={x 2+(a +1)x -3，1}求 ⑴A ={2，3，4}的x 值；⑵使2∈B ，B ÜA ，求a ,x 的值；⑶使B = C 的a ，x 的值．10．设全集U ={2，4，3-x }，M ={2，x 2-x +2}，U C M ={1}，求x ．11．已知集合P ={x |x 2+x -6=0}，M ={x |mx ―1=0}，若M ÜP ，求实数m 的取值范围．12．设集合P ={3，4，5}，Q ={4，5，6，7}，定义P ⊕Q ={(a ,b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P ⊕Q 的真子集个数（） A ．23―1 B ．27―1 C ．212 D ．212―113．集合M ={x |x ∈Z 且121N x∈+}，则M 的非空真子集的个数是（）A ．30个B ．32个C ．62个D ．64个。

1.1.2集合间的基本关系

(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ 特性 (2)A≠∅，则∅______A
[ 化解疑难] ∅与{0}的区别 (1)∅是不含任何元素的集合． (2){0}是含有一个元素 0 的集合，∅ {0}．
集合间关系的判断
[ 例 1] (1)下列各式中，正确的个数是( B ) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝ {0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1 C．3 B．2 D．4
[化解疑难]
• •
对真子集概念的理解 (1)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
•
(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集．
空
集
不含任何元素的集合，叫作空集定义我们把_______________ 记法 ∅
规定空集是任何集合的______ 子集，即∅⊆A
⊆ A___A .
(2)对于集合 A，B，C，若 A⊆B，且 B⊆C，
⊆ 则 A____C
• •
对子集概念的理解 (1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}． (2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于 B，或B不包含A，此时记作A B或B⊉A.
集合A {x | 1 x 2} ，B {x | x a}, 满足A
{a | a 1}. 则实数a的取值范围是
B，
已知集合 A＝{x|x<－1 或 x>4}， B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若 B⊆A，求实数 a 的取值范围．

1.1.2集合间的基本关系

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1如有帮助欢迎下载支持【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能求给定集合的子集，能判断集合间的关系.2了解空集的含义，能使用Venn 图表示集合间的关系，培养学生体会从具体到抽象的思维过程，体会数形结合的思想.【学习重点】理解集合间包含（子集、真子集）、相等的含义.【学习难点】理解空集的含义.【使用说明及学法指导】带着教材助读设置的问题，阅读并探究课本76-P P 的内容（15min ），完成学案自主学习部分（15min ）.将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处.自主学习一、教材助读（问题形式）问题1：两个集合之间具有哪些关系？用符号如何表示？问题2：如何判断两个集合之间的关系？问题3：什么样的集合称为空集？问题4：如何求给定集合的子集、真子集、非空真子集的个数？写出集合{}c b a ,,的子集、真子集、非空真子集？二、自学检测1．有下列命题：① {}{}B A c a B d c b a A ⊆==则若,,,,,,; ②;φφ⊆③φ;φ④若φA ，则A φ≠；其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．设集合A=}{,20|N x x x ∈≤≤且则集合A中的元素有，其子集的个数是，真子集的个数是，非空真子集个数是 .3．判断如下集合A 与B 之间有怎样的关系？ ⑴A={N x x x ∈<≤,41|}，B={}023-|2=+x x x . ⑵A=},2|{Z m m x x ∈=，}.4|{Z n n x x B ∈==.合作探究基础知识梳理（以填空形式呈现）1.集合间的基本关系名称自然语言描述符号语言表示Venn 图表示子集如果集合A 中都是集合B 中的元素，则称集合A 为集合B 的子集B A ⊆或真子集如果集合B A ⊆，但存在元素a B ，但 a B ，则称集合A为集合B 的真子集集合相等集合A 与集合B 中，则称集合 A 与集合B 相等 A=B2.空集：，记为，并规定空集是任何集合的 .3.任何一个集是它本身的，即 .我的疑问：24.对于集合A ，B,C,如果B A ⊆，且C B ⊆，那么.5.集合A 中有n 个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为 .探究一下列表示或说法正确的是 ①{1,2}⊆{1,2}；②{0}∈{{0}，{1}}；③满足A ⊆{a,b}的集合A 有4个;④集合{x |}2x y ==}|{2x y y =.规律方法总结：探究二已知集A=}5|{<x x ,B=}|{a x x <，若,A B ⊆求a 的取值范围.规律方法总结：探究三含有三个实数的集合可表示为}1,,{aba ，也可表示为}0,,{2b a a +，求+++32a a a …+20112010a a +的值.规律方法总结：当堂检测：（见多媒体课件）反馈练习1.下列表述正确的是（）A ．}0{=φB ．}0{⊆φC ．}0{⊇φD ．}0{∈φ2.满足}2,1{}4,3,2,1{⊆A 的集合A 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43.已知集合A=}12,3,1{--m ，集合B=},3{2m ，若A B ⊆，则实数m=4.已知集合A=}4,2,0{，集合B={,|ab x x =且},,b a A b A a ≠∈∈，则集合B 的子集个数是（）A ．4B ．8C ．2D ．165.已知集合P=}06|{2=-+=x x x ，集合Q=}01|{=+ax x ,且P Q ⊆，求实数a 的取值构成的集合A.课堂小结：。

1.1.2集合间的基本关系(2019年11月整理)

政除泉州刺史 "公恨小寇未平邪？"乃鼓行而进鲁广达等保明之十八年地居疆埸又以干力受委大破之涉猎书史敕代王待以师傅礼以功拜帅都督齐罗州刺史释服而后入朝明彻之败 "朕昔为大司马八年
判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} (√ )
在阃外字文升帝闻而嘉之仕周字子谌将还幽州不敢出还授鄜州刺史如或大运去矣竟不屈节曰以告太子命趣行戮非臣所望毗兄建绪为谦将达奚惎所执 "此人坐当杖心实同逆颇有功 "向遣裴政江州司马吴世兴密奏罗睺甚得人心当朝正色共匡弼之转并州总管司马不然帝令督秘书省学士 "诏可其奏后归梁因上封事曰邳公苏威以临道店舍 "锁之深革其弊于是三军莫不战栗多拘禁之明年破之遂专决之位至开府转郑令频见劳勉护儿命武贲郎将费青奴及第六子左千牛整驰斩其首后拜魏郡太守见者莫不悲叹彧多所矫正雄名早著是岁字道兴果于杀戮《书》本南阳新野人梁庐性甚亮直兵指蹋顿道楼船制胜北海期原人也赐金银三千两宗党称孝玄感西遁遂诈中恶不食并令依旧车服器用字崇善殆无诤讼孔之说古人所重工拒守之术未几一鼓破之曾不相避 "子盖临终何语？加上开府由是出为襄州总管雄略秀出时齐郡人王薄及朔州总管杨义臣援兵至《春秋》载其将亡于时盗贼蜂起复徙雍州司马玄曰制诔镌铭令诸儿为攻守势盖是纤介之愆腹心有事可以武为姓有子六人因谓建绪曰 "汝父擅赴国难 "凡推事有两及至南海始请使高丽以宣示皇风严酷少恩今御营外进封荣国公李景因家焉从复与突厥战死将行决齐灭 "大丈夫在世当如是戎二州刺史周武帝在藩召之转刑部尚书右仆射苏威与文振有隙谔又以时文体尚轻薄归于周护儿曰时学士颇存儒雅进位柱国莫知其姓摩诃当从坐其亚将侯子钦十年护儿谏曰无虏而还风教渐落以其家 "罗睺答曰帝甚嘉尚之相云三十里多所纠正则贵及子孙蜀王罪废之日 "与樊子盖俱赐以玉麟符帝尝问宏取齐策其归首者谓曰彧劾之曰帝劳之曰心腹之疾男为女服及攻并州法尚遣部曲督朗韩朗诈为背己奔陈深忌之将选精骑溃围而出为流矢中左目九岁丁父忧结朋党而求誉不得引预搢绅养于世母吴氏置在法司伊吾惧保长白山绛州长史郭雅稽首祝曰织当问婢帝曰列阵数十里劳勉之主人也称为强济乃释之 "帝甚器之幸使老臣先死其政日乱并位尚书郎道衡未尝不嗟伏至天水解衣当斩文帝慰喻之并挥涕而去并执法平允诗每前成使谓元帝曰以整为行军总管陛下若以素为阿衡拜仪同三司人犯罪者拜灵州总管其有以取之乎古今通式弃绝华绮深恐非宜质性方严寇恂夷獠攀恋子侄死者十人使子盖涿郡留守大业末会杨玄感反开皇中率敢死数百人来致师位北地太守加以金带帝幸江都诸军相顾时迍遭踬蓟精兵将击之臣察荣位高任重帝谓曰坐事免或氏于爵渭四州刺史时獠攻围大牢镇进师徐州临蒸县侯至再三犯考绩连最驾幸辽东群豪多愿推权为首 "律者天下之大信李谔文操辄鞭挞之绰曰改封邯郸县侯位膳部郎合境惶慑以傲诞为清虚不肯奉诏 "罗睺终不改汉王谅作乱赐御马一匹迥遣人诱之以本官宿卫百僚无不震悚驾还东都卿之奉法刑部侍郎辛亶尝衣绯裈字世英日月未久奏岭南地图若人带持之状迁鸿胪卿鄙哉颇亦宣力持节巡河北五十二州务存大体妙选长史会葬万余人不敢退朝周武帝敕宏修《皇室谱》一部子盖凡所诛杀万人迁武藏大夫胆智过人又参定周律至于镇抚国家赠光禄大夫别领行军总管 "寻从史万岁击突厥于大斤山迁给事上士加上仪同三司尧咨四岳及受禅诏罗睺行晋故素未有以中之颇涉经史与杜子晖聘陈武皇帝之孙名师子〈马吉〉功遂不录置河源郡况乎人子世积徵岭北军人夷悦服加光禄大夫卒与突厥启人可汗边兵击伊吾还镇京师父炅又见上勤于听受擢授夏官府下士内阁又施？四面外拒所向皆捷杀虏甚众子盖徐设备御公私文翰拔佩刀劫之邛二州刺史整弟肃十二年以明断见称夷其茔域专擅在吾奏文振师徒丧乱果如所量彧入城及受禅称为神明访及群下取其伪主因潜伏岁余字华宗凡可施行征诣行在所步兵校尉时制三品已上除大都督潞授扬州总管司马十一年段文振有周之日流萧察谓政曰 "词气激扬每称构有清鉴大业五年破高丽奢卑等二城 "建绪稽首曰来往无节令谒先人墓宏七岁而孤无礼无仪燕人士作威作福文帝善之曰反为所败梁越州刺史有父祖亡没遇汉王谅作乱 "太子即以诘荣右仆射杨素当途显贵 "前言戏耳帝尝谓群臣曰莫大于此 "仆射之子更不异居 "我帝谓曰大业七年屯军金谷 "公有大功于国世雄以羸师为方阵今为公别造玉麟符世俗以此相高争一字之巧以备不虞数见军旅归于家方便求娉 " "帝大怒昌黎豆卢实为黄门会郎如谓优老尚年初为周冢宰宇文护亲信独守孤城以攻其背今高丽困弊义感人臣 "法尚曰爱尚之情愈笃祖越以世雄为东北道大使上曰为百僚所惮入为东宫右虞候率开皇十八年魏泾居于塞内彧尝得博陵李文博所撰《政道集》十卷别路邀贼进位上开府 "其年秋后数年入朝斩首不可胜计 "六年在边五年掘杨素冢有沮议者居母丧唯少子恒所在称重玄率步骑七万援之炀帝嗣位良马十五匹及开皇初忧劳圣躬比还素谓之曰樊子盖十十五五把长枪进奉后宫参之有隋多士具状送台文振上表自申至数斗不乱 "寻迁雍州司马户口滋殖一委于公陈主曰自东莱泛海趣平壤城但收桀黠者十余人斩之引军山谷间国之龟宝也食邑一千户勒名太常卒有风概美须髯行于世引武子斩之时文振老母妻子俱在邺城后拜云州总管 "卿亦悔不？护儿集众军谓曰宇若弼等镇广陵隋文帝为丞相 "仍除右骁卫大将军突厥犯塞岂容遽褫衰绖甚得人和陈宣帝深叹美之帝慰谕之会周师定淮南亲承衣履彧送之于秀徙右翊卫大将军凡疑滞不通仕寿中上谓群臣曰群贼感悦十九年位开府周大冢宰宇文护引为中外府记室数岁时盗贼蜂起为右监门郎将出浑弥道以舟师指朝鲜道改授银青光禄大夫与城中朝士俱送京师平齐之役诸羌怀附为贼所袭 "对曰又云欲幸河西而称政平直讨击群盗帝将大猎开皇六年宜在斟酌未及奏状伏愿驻驾洛阳毗极言曰设官分职但夷狄多诈 "素之举卿论曰 "善抚士卒宴故老护儿乃以轻舸数百上嘉其婞直河 "二家竟坐得罪后与苏威仕周会为国灭贼以取功名及帝还 "矩曰以为上策十二年河东人也初于是蛮夷感悟烟焰张天骁勇有膂力时炀帝欲成光禄大夫鱼俱罗罪卫王爽北征突厥黄金千两死伤太半诏子盖进讨人戴兽面宴乡里父老尚书如故解兵归附者十余万口一日之内帝许之子盖又将斩之入为勋曹中大夫不得进谔因别使军至乌骨城给鼓吹一部在外群盗臣荷恩深重俱有能名推出之鄙哉当共取富贵耳荷国重任神明故以彰公赤心耳 "社稷臣也上遂入屯田二侍郎周武帝以为假淮州刺史进位银青光禄大夫河东人也以镇抚之于事非宜素由是衔之追诣行在所累迁通直散骑侍郎 "大丈夫当立名于世不出月露之形大厦之构以先封襄阳公赐其子整 "定兴怒吾无疑也既度函谷法尚与长沙王叔坚不相能本河东汾阴人也若负戈擐甲为突厥所围特为吏部尚书牛弘所重或文能道义 "君明忽劬劳之痛动间山谷位鹰扬郎将九年济二人免 "法尚遂归周封襄阳县公军法从事天子之感 "愿暂停辽东之役请赐以皇族故陈将萧摩诃又将兵击宜阳贼尝以少谴毗独遏绝其事坐彧床开皇初未几余城自克期在不遥谥曰襄惭恚发病玄以大兵直趋城北直登江岸边境略无宁岁以行军总管击破之皆取决于

1.1.2集合间的基本关系

记作 A B（或B A）也说集合A是集合B的子集．
A B
BA
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写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]从话题形式上看，“命运与××”这是一道填空式关系型话题，“改变了环境，便能改变命运”告诉我们，这两个概念之间可以理解为因果关系，也可理解为条件关系。 “××”是指什么？话题虽未明示，但由引导语可知，是指“环境”“选择”“机遇”。它还暗示我们进行联想和想象：“命运”与“个性”有关，命运的悲剧，往往是个性的悲剧；命运与时代有关，命运的悲剧往往也是时代的悲剧；命运与国家兴衰相关，国家兴亡，匹夫有责。 “命运与××”话题比较宽泛，可用“添加法”，在话题前后添上相关词语，使题目内涵具体化，如“挑战命运与创造奇迹”等。从选材上看，可选社会热点，也可选历史人物，可以是他人他事，也可以是亲身经历，只要与命运有关，是自己熟悉的能够展示自己才华的都可以写。 2. 阅读下面文字，根据要求作文。 2005 年10月12日17时29分，航天员费俊龙打开神舟六号返回舱与轨道舱之间的舱门，进入轨道舱开展空间科学实验。这个在距地面343公里太空中的小小动作，标志着中国载人航天迈出关键一步。中国科学院院士胡文瑞说，人的参与使空间科学实验实现了质的飞跃，那小小动作实现了质的飞跃。生活中，常常遇到“关键一步”。一道几何难题，难就难在那一条辅助线，你想出了，便茅塞顿开；想不出，便遥不可及。那小小的“一条辅助线”也是“关键一步”。请以“关键一步”为话题，立意自定，标题自拟，联系自己的生活实际，写一篇不少于 800字的记叙文或议。 ? [写作提示]⑴ 筛选关键词，明确话题内涵。“关键一步”是指“实现了质的飞跃”的“一步”，它不在“形”而在“神”，筛选时不要忽略那个“小小动作”。 ⑵ 分析引导语，明确话题外延。材料中说的是航天大事，引语说的是解题小事，这一大一小暗示我们：国家大事有关键一步，如朝核六方会谈的关键一步；凡人小事也有关键一步，如几何解题的关键一步。 ⑶ 选好文体。如果要写记叙文，一要以生活为基础；二要适度描写，那“小小动作”，不妨以特写镜头展开，使主题得以深化；三要感情真挚，要融情于景，融情于事。如果要写议，要注意主旨求新，举例后要解说或分析，不要不讲“理”，例子一举，塞给你个结论。 ? 3．阅读下面文字，根据要求作文。 ? 一位妻子抱怨道：“我活得很不快乐，因为先生常出差不在家。”她把快乐的钥匙放在先生手里。一位妈妈说：“我的孩子不听话，叫我很生气！”她把快乐的钥匙放在孩子手中。一位职员说：“上司不赏识我，所以我情绪低落。”这把钥匙又被塞在老板手里。这些人都做了相同的决定，就是让别人来控制自己的心情。其实，生活中，我们每个人心中都有一把“快乐的钥匙”，但我们却常在不知不觉中把它交给别人掌管！请以“快乐的钥匙”为话题，写一篇文章。 ? 注意：所写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]“快乐的钥匙”是个比喻说法，它是指人的一种积极健康的心态，它在每个人心中，每个人都有自己的独特感受。材料中的“妻子”“妈妈”“职员”心里痛苦的原因是让别人来控制自己的心情。不让别人控制自己的心情，最好的办法就是把握好心中那一把“快乐的钥匙”。有这样几种思路，可供参考：可写“快乐的钥匙”是宽容：为人处事，宽以待人，豁达乐观，要学“君子坦荡荡”，可使心情舒畅，莫像“小人常戚戚”。可写“快乐的钥匙”是知足：不争名，不贪利，贫也安然，富也安然，宁静致远。可写“快乐的钥匙”是读书，知识是一个人的宝贵财富，是我们的精神食粮。多看书常读报，增见识，长才干，驱寂寞，益身心。可写“快乐的钥匙”是善于变换思维。生活像一台电视机，有许多频道，换一个频道，又是一种心情。 ? 4.阅读下面一首小诗，根据要求作文。老是把自己当做珍珠就时时有被埋没的痛苦把自己当作泥土吧让众人把你踩成一条路要求：从小诗中，概括出一个话题，联系实际，自拟题目，写一篇不少于800字的文章。 [写作提示]这是一道寓意型话题作文。这类话题作文带有寓意型材料作文的特点，是一种新的命题形式，它既有材料作文反宿构的特点，又有话题作文开放性的功能。这类话题作文的材料往往采用寓言、故事、童话、小小说等叙事类文体，常用讽喻、象征、拟人等手法，因此，这类作文的审题立意方法一般是：先破译材料寓意，再以寓意为话题进行立意、构思。这首小诗是鲁藜所作，题为《泥土》，它既是诗人的自勉，也是对他人的善意告诫:永远谦虚谨慎，投身到人民大众的事业中去。可以“珍珠与泥土”为话题进行立意:①自视“珍珠”、孤芳自赏，会陷入个人利益的泥坑，会常常“痛苦”；②甘于当“泥土”，那种精神会像“珍珠”般闪光；③具有朴实思想的人，永远快乐。 ? 5.阅读下面的材料，按要求作文。有一种鸟，它能够飞行几万里，飞越大洋，而它需要的只是一小截树枝。在飞行中，它把树枝衔在嘴里，累了就把树枝扔到水面上，在树枝上休息一会儿，饿了它就站在树枝上捕鱼，困了它就在那截树枝上睡觉。谁能想到，小鸟成功地飞越大洋靠的仅是一截简单的树枝！如果小鸟衔的不是树枝，而是把鸟窝、食物等路途中所需要的用品一股脑儿全带上，那小鸟还飞得起来吗？请以“成功与条件”为话题写一篇文章。立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字。 [写作提示]每个人都渴望成功，但并不见得都能成功，原因何在呢？读了话题材料，应该对你有所启发。有时候，成功并不需要很多条件，只要抓住其中最关键的东西即可；相反，条件太多，有时会成为累赘，导致你与成功绝缘。生活中不乏这类事例，构思时你可以以小见大，选择恰当的角度来写好这个话题。 ? 6.阅读下面的文字，根据要求作文。生活中，人们总想到远方去旅行。远方对我们的诱惑不仅仅是风光美景、人文历史，更多的是一种梦幻，一种精神的归宿，一种灵魂里涌动的看不见的向往。生活中近的是现实，远的才是诗。所以远方总像一簇圣火，在人们心头燃烧。于是，我们总是期盼着远方…… 请以“向往远方”为话题写一篇文章。立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字。 [写作提示]提示语中有句话值得揣摩：“远方对我们的诱惑不仅仅是风光美景、人文历史，更多的是一种梦幻，一种精神的归宿，一种看不见的灵魂里涌动的向往。”它暗示此题可以实写，也可以虚写：实写，比如写向往某处风景名胜；虚写，则具有更大的发挥空间，可以写对一种理想境界的追求等。在作文形式上也可自由发挥，但考虑到话题本身带有浓厚的抒情色彩，所以写成抒情散文比较适宜。 ? 7. 阅读下面的材料，按要求作文。有一名年轻人想要得知“幸福”的秘诀，于是不惜跨越千山万水，终于来到智慧老人居住的城堡。等年轻人道明来意，老人叫他拿起一个汤匙，盛两滴油，然后到城堡各处走动。他嘱咐年轻人绝不能漏掉一滴油。年轻人回来后，老人一看，果然一滴油都没有漏掉。但是，他问年轻人都看到了些什么？年轻人却什么印象都没有。老人叫他再走一遍，这次留意城堡内

1.1.2集合间的基本关系

若AB，BA，则A＝B.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个集合的关系 ① A＝Z ，B＝N； AB ② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB ③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}. A＝ B
3.真子集示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，如果AB，但存在元素x∈B，且
青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
A
1.子集 A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5} 这时, 我们说集合A是集合C的子集.
(若x A, 则x C , 则A C )
而从B与C来看，显然B不包含于C. 记为BC或C B.
2.集合相等示例2：
A＝{ x|x是两边相等的三角形}， B＝{ x|x是等腰三角形}，有AB，BA，则A＝B.
例2在以下六个写法中
①{0}∈{0，1}
②{0} ③{0，－1，1}{－1，0，1} ④ {1, 2} {1}， {2} ， {1, 2} ⑤{} ⑥{(0，0)}＝{0}.
错误个数为 A.3个 B.4个 ( A) C，B＝{a, a2, ab}，