北师大版高中数学必修四半角的三角函数教案(精品教学设计)

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三角函数教学设计

三角函数教学设计教学设计思路：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式把学习的主动权还给学生。

以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点（1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者”本节课正是抓住学生的这心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学。

（2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。

当学生接触新知一周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，伸知识深化。

本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正余弦函数性质的'基础：对函数图像清晰而谁确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具，本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点。

有看求前启后的作用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了我看见了，就记我做过了，就理解了”要想让学生深刻理解三角函数性质和图像，就生主动去探素，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程学生情况分析：知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质，心具备了一定的分语言表达能力，初步形成了辩证的思想。

一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。

（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。

2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。

（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)

三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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半角公式教案

例题讲解，深化认识例1. 已知 sin 2 解析：
12 3 , 2 ，求 tan 13 2
点评：例 2. 已知 cos 解析：
7 ，求 sin , cos , tan 的值 25 2 2 2
点评：
-1-
北师大版数学必修 4
第三章《三角恒等变形》
作业：优化设计大小本板书设计：板书设计一，复习引入二，新课学习证明半角公式三，例题 1. 2. 3．四，小结归纳五，作业
课后反思：
-2-
课后回忆
例 3 求证； tan
解析：

2

sin 1 cos , tan 1 cos 2 sin
点评：
例 4 化简： sin50(1 3 tan10)
解析：
点评：课堂练习，反馈提高总结归纳，加深理解
教材练习
Hale Waihona Puke 1. 知识上学习了半倍角公式，使用时要注意角的范围； 2. 方法上学习了代换的方法。
主备教师：汪梅北师大版数学必修 4
审核：高一备课组
授课时间：
年
月
日
星期课后回忆
第三章《三角恒等变形》
课题：§3.2 半角公式课时： 1
教学目标
1、知识与技能掌握三个公式的推导方法，要求学生能熟练的运用倍角公式推出半角公式 2、过程与方法提高学生公式变换能力，培养学生运用方程思想换元思想解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观通过一题多解、一题多变激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。重点与难点重点：半角公式的应用难点：半角公式的活用以及转化，化归等数学思想的渗透教学方法采用阅读自学与启发引导相结合. 教学过程一、创设情境，引入新课 1. 先让学生写出上节课学习的二倍角公式，接着课本例 5 让学生探究，由此展开课题。二、提出问题，讨论交流 1 与 2 有什么关系？ 2 如何建立 cos 与 sin 2 2 之间的关系？三、师生互动，共探新知 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 sin 2 ， cos ， tan 2 2 2 2 2 1 cos

高中数学北师大版精品教案《半角公式》

半角公式【教学目标】1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．【教学重难点】掌握半角的正弦、余弦和正切公式【教学过程】一、直接导入前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及它们的一些应用，初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的重要性这里我们将继续学习前面所学公式的应用二、新知探究1．化简问题【例1】已知π0∴原式＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＝－错误!co 错误!【教师小结】要熟记一些可用公式的形式，如：1＋co α＝2in2错误!，1－co α＝2co2错误!，1±in α＝错误!错误!等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．2．求值问题【例2】已知|co θ|＝错误!，且错误!0”1”n 错误!＝错误!＝错误!]2．已知in α－co α＝－错误!，则in 2α的值等于A．错误!B．－错误!C．－错误!D．错误!C[由in α－co α＝－错误!，in α－co α2＝1－2in α·co α＝1－in 2α＝错误!，所以in 2α＝－错误!] 3．函数＝错误!in 2＋co2的最小正周期为________．π[∵＝错误!in 2＋co2＝错误!in 2＋错误!co 2＋错误!＝in错误!＋错误!，∴函数的最小正周期T ＝错误!＝π]4．求证：错误!＝错误![证明]原式可变形为1＋in 4θ－co 4θ＝tan 2θ1＋in 4θ＋co 4θ，①①式右边＝错误!1＋2co22θ－1＋2in 2θco 2θ＝错误!2co22θ＋2in 2θco 2θ＝2in 2θco2θ＋in2θ＝2in 2θco2θ＋2in22θ＝in4θ＋1－co4θ＝左边．∴①式成立，即原式得证．。

北师大版高中必修4第一章三角函数教学设计

北师大版高中必修4第一章三角函数教学设计一、教学目标1.理解三角函数的概念及基本性质。

2.掌握常用三角函数的定义、图像、性质及互相之间的关系。

3.学会求解三角函数在特定角度下的取值及应用实例。

二、教学内容1.三角函数的定义及基本性质。

2.正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的定义、图像、性质及互相之间的关系。

3.三角函数的特殊角度取值及运用。

三、教学方法1.讲授法。

2.实验法。

3.互动探究法。

4.小组讨论法。

四、教学步骤第一步：导入简单介绍三角函数的概念及基本性质，引导学生思考三角函数与直角三角形的关系，培养学生良好的学习态度。

第二步：概念及性质学习1.通过讲解，帮助学生了解三角函数的定义及基本性质。

2.分别讲授正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的定义、图像、性质及互相之间的关系，激发学生兴趣，加深对概念及性质的理解。

第三步：实验探究1.通过实验，深入探究正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像及特点。

2.鼓励学生动手实验，培养实验探究能力，提高学生自主学习的能力。

第四步：小组讨论1.分组讨论，积极思考三角函数的实际应用。

2.引导学生探讨三角函数在实际问题中的应用方法，培养学生解决实际问题的能力。

第五步：课堂练习1.给学生提供相关的练习题，让学生进行自主练习。

2.老师及时进行检查，及时纠正学生的错误。

五、教学评价1.通过小组讨论、课堂展示等方式对学生进行评价，检验学生掌握的知识及运用能力。

2.多角度评价学生的能力，既包括基础知识掌握的程度，也包括后续实际应用的能力。

六、教学总结三角函数是数学的重要分支，基础理论牢固、实际应用广泛。

因此，在教学设计中应注重理论与实践的结合，采用多种教学方法，培养学生探究、实践和创新能力，让学生在掌握知识的同时，能够应用到实际生活中。

北师大版高中数学必修4教案备课半角的正弦、余弦和正切

第2课时半角的正弦、余弦和正切学习目标核心素养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点) 1.通过用二倍角公式推导出半角公式，体会逻辑推理素养．2.通过利用三角恒等变换对三角函数式化简求值，体会数学运算素养．半角公式(1)sin α2＝±_1－cos α2；(2)cos α2＝±_1＋cos α2；(3)tan α2＝±_1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α．思考：利用tan α＝sin αcos α和倍角公式能得到tanα2与sin α，cos α有怎样的关系？[提示]tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cos αsin α.1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sinα2的值为()A．－33B．33C．63D．－63[答案]B2．已知cos α＝23，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cosα2的值为()A．66B．306C．－66D．－306[答案]B3．tan 15°等于()A．2＋ 3 B．2－ 3 C．3＋1 D．3－1B[由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.]4．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________(用a表示).1－a 21＋a2[sin 11°＞0，cos 11°＞0，所以sin 11°＝1－a2，cos 11°＝1＋a2.]应用半角公式求值【例1】已知cos α＝13，α为第四象限角，求sinα2、cosα2、tanα2.[解]sin α2＝±1－cos α2＝±1－132＝±33，cos α2＝±1＋cos α2＝±1＋132＝±63，tanα2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22.∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时，sinα2＝33，cosα2＝－63，tanα2＝－22；当α2为第四象限角时，sinα2＝－33，cosα2＝63，tanα2＝－22.在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tanθ2，还要注意运用公式tanθ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ来求值．1．已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cosθ2和tanθ2.[解]∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin2θ＝－35.由cosθ＝2cos2θ2－1得cos2θ2＝1＋cosθ2＝15.∵5π4<θ2<32π.∴cosθ2＝－1＋cos θ2＝－55.tanθ2＝sin θ1＋cos θ＝2.利用半角公式化简求值【例2】化简：⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα2（1＋cos α＋sin α）2＋2cos α⎝⎛⎭⎪⎫3π2<α<2π.[思路探究]利用半角公式将角进一步统一为α2，注意角的取值范围．[解]∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα2⎝⎛⎭⎪⎫2cos2α2＋2sinα2cosα24cos2α2＝2cosα2⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα2⎝⎛⎭⎪⎫cosα2＋sinα2－2cosα2＝cos2α2－sin2α2＝cosα.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简：（1＋sin x＋cos x）⎝⎛⎭⎪⎫sinx2－cosx22＋2cos x(180°<x<360°).[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 24cos 2x 2＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 2－cos 2x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2＝－cos x2cos x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2.因为180°<x <360°，所以cos x2<0，所以原式＝－cos x2cos x－cos x 2＝cos x ．三角恒等变换的综合应用 [探究问题]1．半角公式适用的条件是什么？ [提示] cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝±1－cos α2， α∈R . tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .2．如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？ [提示] 例如α可以看成α2的倍角，也可以看成2α的半角． 3．怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin (ωx ＋φ)形式？ [提示] a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 【例3】已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值.[思路探究] 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质． [解] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值，最大值为2.将例3中的函数变为“f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R ”，试求：(1)f (x )的最小正周期；(2)f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最值．[解] (1)由已知，得f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f (x )转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a ⎝⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( ) (2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2k π＋π(k ∈Z ).( ) (3)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.( )(4)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．函数f (x )＝2sin x 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A ．12B ．32 C ．1 D ．2 A [∵f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12.∴f (x )max ＝12.]3．设5π<θ<6π，cos θ2＝13，则sin θ4＝________．－33 [∵5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. ∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－132＝－33.]4．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sinα2＋cosα22－2⎝⎛⎭⎪⎫sinα2＋cosα2＋⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα222⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cos α2.。

数学北师大版高中必修4《三角函数的简单应用》教案

3.3三角函数的简单应用（两课时）一.教学目标：1.知识与技能（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解. （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点:三角恒等变形.难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导.三.学法与教学用具学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情景】请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin )(βα+与sin )(βα-表示sin α·cos β和cos α·sin β？类似地能否用cos )(βα+与cos )(βα-来表示cos α·cos β和sin α·sin β？【探究新知】[展示投影]（在学生已完成的基础上进行评价）积化和差公式的推导sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β ⇒ sin αcos β =21[sin(α + β) + sin(α - β)]sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =21[sin(α + β) - sin(α - β)]cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =21[cos(α + β) + cos(α - β)]cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β ⇒ sin αsin β = -21[cos(α + β) - cos(α - β)][展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。

半角的三角函数教案北师大版必修4

3.2二倍角的正、余弦和正切 3.3半角的三角函数一.教学目标：1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【探究新知】1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？3、让学生板演得下述二倍角公式：α-=-α=α-α=ααα=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sinααα2tan 1tan 22tan -=[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.（公式巩固性练习）求值：] ①．sin22︒30’cos22︒30’=4245sin 21=②．=-π18cos22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin22224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 22④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+例3、已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

高中数学半角公式教案

高中数学半角公式教案
一、教学目标：
1. 了解半角公式的概念及应用场景；
2. 能够熟练应用半角公式解决相关数学问题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

二、教学重点：
1. 半角公式的定义及推导过程；
2. 半角公式在实际问题中的应用。

三、教学内容：
1. 半角公式的定义：tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x))；
2. 半角公式的推导过程；
3. 半角公式的应用举例。

四、教学过程：
1. 引入：通过实际问题引入半角公式的概念和应用场景；
2. 讲解：详细介绍半角公式的定义和推导过程；
3. 练习：让学生进行练习，熟练掌握半角公式的应用方法；
4. 拓展：引导学生思考半角公式在其他数学问题中的应用；
5. 总结：总结本节课的内容，并提出问题让学生思考。

五、作业布置：
1. 完成相关练习题目；
2. 思考半角公式在解决其他数学问题中的应用。

六、教学反馈：
1. 收集学生作业，检查答题情况；
2. 总结学生表现，及时给予反馈；
3. 鼓励学生继续学习，拓展数学知识。

七、教学资源：
1. 课本资料；
2. 练习题目和解答。

八、教学评价：
1. 学生掌握半角公式的程度；
2. 学生对半角公式的应用能力。

希望以上教案能够帮助您顺利开展高中数学半角公式的教学工作。

祝您教学顺利！。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 三角函数的简单应用》

三角函数的简单应用教学设计一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习本节教材通过3个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质特别是周期性的应用通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:1根据图象建立解析式; 2根据解析式作出图象; 3将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题四、教学过程：三角函数的简单应用一、导入新课思路问题导入三角函数具有周期性，生活中也存在一些具有周期性的事物，通过视频短片引入新课那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么③上述的数学模型是怎样建立的④怎样处理搜集到的数据活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=inωφb图11求这一天的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式活动:这道例题是2021年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型其中第1小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用第2小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式其中求ω是利用半周期14-6,通过建立方程得解解:1由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃2从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=Ain ωφb 的半个周期的图象,∴A=2130-10=10,b=21 3010=202121·ωπ2=14-6, ∴ω=8π•将=6,=10代入上式,解得φ=43π综上,所求解析式为=10in 8π•43π2021[6,14]点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉例2；如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系图2I=Ain ωφ 在一个周期内的图象1根据图象写出I=Ain ωφ的解析式;2为了使I=Ain ωφ中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少解:1由图知A=300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴ω·－3001φ=0,ω·1501φ=π解得ω=100π,φ=3π,∴I=300in100πt 3π 2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥=629例 3 受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度m 是时间t0≤t≤24,单位:h 的函数,记作=ft,下面是该港口在某季节每天水深的数据:1根据以上数据,求出函数=ft 的近似表达式;2一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5 m 或5 m 以上认为是安全的船舶停靠时,船底只需不碰海底即可,某船吃水深度船底离水面距离为 m 如果该船在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间忽略进出港所需的时间活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律比如重复出现的几个数据并进一步引导学生作出散点图让学生自己完成散点图,提醒π<ϕ<π->ω>,0,0A学生注意仔细准确观察散点图。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 9 三角函数的简单应用》1

三角函数的简单应用教材分析：教材在第一节列举了潮汐、波浪、单摆、四季变化、简谐振动等实例，使学生感受到周期现象的广泛存在。

本节通过一个具体的实例------水车问题的数学建模过程，突出三角函数在解决周期变化问题中的重要作用，从而强化函数的应用价值。

学情分析：通过对三角函数的学习，学生已经了解到三角函数具有周期性。

结合三角函数的图像与性质，能够解决sin()y A x ωϕ=+类型的图像和性质。

但是，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题学生还是首次接触，学生感觉较难入手。

数学建模的思想在学生脑中还是比较抽象，难度较大。

教学目标： 1、知识与技能能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型． 2、过程与方法通过解决周期现象的数学应用过程，进一步掌握数学建模方法，提高数学建模能力。

培养学生的数学应用意识。

3、情感、态度与价值观通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系．重点难点学习重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．学习难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题．学习过程导入新课：生活中的周期现象：总结：三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用新课讲解：水车问题：例1水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，上图是一个水车工作的示意图，它的直径为3m,其中心（即圆心）O 距水面,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是，点1求h 与时间t 的函数解析式，并作出这个函数的简图2 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？教师活动：解：不妨设水面的高度为P,当P 旋转到水面以下时，P 点距水面的高度为负值。

北师大版数学高一必修4课前引导1.9半角的三角函数

§3 半角的三角函数课前导引问题导入【问题1】如何确定半角的正弦、余弦、正切的无理式前的符号?α2α sin 2α cos 2α tan 2α 第一象限第一、三象限 +、- +、- + 第二象限第一、三象限 +、- +、- + 第三象限第二、四象限 +、- -、+ - 第四象限第二、四象限 +、- -、+ -(2)当给出α的范围时，可先求出2的范围，再根据2的范围确定符号. (3)当没有给出决定符号的条件时，则要保留正负两个符号.【问题2】对于三角函数的求值，应注意哪些问题?思路分析：三角函数的求值问题可归纳为三种类型：(1)给角求值，一般所给的角都是非特殊角，需仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角的三角函数求解.如常见的75°=45°+30°，15°=45°-30°=60°-45°=21×30°等. (2)给值求值，实质上也是“给角求值”，关键也是把所求角用已知角或特殊角的形式表示.如常见的2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α)=2×α=21×4α, α=(α+β)-β=(α-β)+β=21［(α+β)+(α-β)］ =21［(α+β)-(β-α)］, α+4π=(α+β)-(β-4π)=21(2α+2π),4π-α=21(2π-2α). (3)给值求角，实质上也是“给值求值”，关键是根据条件求出所求角的某种三角函数值，再结合所求角的范围求出角.需要注意的是以上无论哪种计算每一步都要注意所给条件，特别是隐含条件对角的范围的限制而引起的值的范围.知识预览1.半角公式的推导过程（如下表）2.对于上述半角公式，虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，特别是sin 22α=2cos 1α-与cos 22α=2cos 1α+.应用它们可以起到降幂或升幂的重要作用，在三角函数的化简、求值、证明过程中有着举足轻重的地位.3.课本中半角公式给出了无理表达式： sin 2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-. 其中tan2α还可以用sinα、cosα的有理表达式给出： tan 2α=ααααsin cos 1cos 1sin -=+，可推导如下： tan 2α=αααααααcos 1sin 2cos 22cos 22sin 2cos 2sin 2+=•=, 或tan 2α=αααααααsin cos 12sin 22cos 2sin 22cos 2sin 2-=•=, 即tan 2α=ααααsin cos 1cos 1sin -=+. 这两个公式将tan 2α表示为sinα、cosα的有理表达式.使用它们在一些计算或化简过程中可避免开方和对根号前符号的判断，非常方便.如计算tan 8π可直接化为2222222214sin 4cos1=-=-=-ππ-1，但应注意到tan 2α=ααsin cos 1-的适用范围是α≠kπ(k ∈Z ),而tan2α=a cos 1sin +α与tan 2α=±ααcos 1cos 1+-的适用范围是α≠(2k+1)π(k ∈Z ).。

数学北师大版高中必修4三角函数考前精讲教案

三角函数考前精讲教案1.已知P 为圆O 外一点（O 为圆心）,线段PO 交圆O 于点A,过点P 作圆O 的切线PB,切点为B,若劣弧AB 等分△POB 的面积,且∠AOB=α弧度,则 ( B )A.tan α= αB.tan α=2αC.sin α=2cos αD.2 sin α= cos α2.已知21(0,)cos tan(),sin sin cos 3βπβαβααα∈=+=+=且则 785 3.下列条件中，ABC c b a ∆分别为,,的三个内角A ，B ，C 的对边△ABC 是锐角三角形的是 ③④⑦ ①1sin cos 2A A +=；②0AB BC ∙<；③tan tan tan 0A B C ++>；④35sin ,cos 513A B ==；⑤03,30b c B ===；⑥sin cos A B =； ⑦cos cos cos a A b B c C ==； ⑧h 是AB 边上的高，222a cb +<，22221h h b a +=； 4.在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()()100cos 2f n A n k ω=⋅++来刻画. 其中：正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =时表示1月份；A 和k 是正整数；0ω>.统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.【解析】⑴()200cos 23006f n n π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；⑵ 7，8，9，10。

高中数学下学期 3.3.1半角的三角函数课件北师大版必修4

法二：cos(π4＋x)＝
2 2 (cos
x－sin
x)＝45，
平方后得到：12(cos2x＋sin2x－sin 2x)＝1265⇒sin 2x
＝－275.
[题后感悟] 从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
6－ 2 2．求值：sin 15°＝_____4_____.
倍角公式
1．sin15°·cos15°的值为( A.21
1 C.4
答案： C
) B.31
D．1
2．sin41π2－cos41π2等于( A．－21
1 C.2
答案： B
)
B．－
3 2
3 D. 2
3．若tanα＝2，则tan2α＝________.
【错因】开平方时，要注意考察被开方数的符
号．本题误认为 sin 4＋cos 42＝sin 4＋cos 4； 4cos 24＝2cos 4.
对 sin 4＋cos 4 及 cos 4 的正负未作考察．
【正解】原式＝2 1＋2sin 4cos 4＋ 4cos24 ＝2 sin24＋cos24＋2sin 4cos 4＋2|cos 4| ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4| ∵π<4<32π，∴sin 4＋cos 4<0，cos 4<0， ∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4 ＝－2sin 4－4cos 4.
＝cos21π2－sin21π2＝cos
π6＝
3 2.
(2)12－cos2π8＝－12(2cos2π8－1)

高中数学第一章三角函数 1.9 半角的三角函数课堂导学案北师大版必修4

1.9 半角的三角函数课堂导学三点剖析1.半角公式【例1】 ︒︒-︒︒︒+︒9sin 15sin 6cos 9sin 15cos 6sin 的值等于（） A.3-2 B.2-3 C.2+3 D.-(2+3)思路分析:题目中所出现的三个解之间的关系是解题的突破口.解析:6°=15°-9°原式=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒9sin 15sin )915cos(9sin 15cos )915sin( ︒︒︒︒=︒︒-︒︒+︒︒︒︒+︒︒-︒︒=9cos 15cos 9cos 15sin 9sin 15sin 9sin 15sin 9cos 15cos 9sin 15cos 9sin 15cos 9cos 15sin =tan15° =︒︒-30sin 30cos 1=2-3 答案:B友情提示本小题考查角的变化技巧和两角和、差的正、余弦公式，半角的正切公式等基础知识，以及基本的运算能力.各个击破类题演练 1已知tan α=a,求αααα2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+的值. 解析: tan α=αααα2sin 2cos 12cos 12sin -=+， ∴αααα2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tan α. 即αααα2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=a. 变式提升 1函数f(x)=xx x x sin cos 1cos sin 1++-+是（） A.奇函数 B.偶函数C.即奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：∵cosx+sinx≠-1,即2sin(x+4π)≠-1，即sin(x+4π)≠22-,∴x+4π≠2k π-43π且x+4π≠2k π-4π(k∈Z ), 即x≠2k π-π且x≠2k π-2π(k∈Z ).显然函数定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.答案：D2.半角公式符号的选择【例2】已知π＜α＜23π,则ααcos 1cos 1--+的值是（） A.-2sin(4π+2α) B.2sin(4π-2α) C.2cos(4π+2α) D.-2sin(2α-4π) 思路分析:把根号下的代数式化为平方形式，达到去根号的目的.解析:π＜α＜23π,2π<2α<43π,cos 2α<0,sin 2α>0. 原式=2-cos 2α2-sin 2α=-2sin(4π+2α). 答案：A友情提示利用半角公式时，要先明确2α所在象限，再来确定2α的三角函数值的符号. 类题演练 2 若23π<α<2π，且cos α=41,求α2cos 21212121++的值. 解析：∵23π<α<2π,∴43π<2α<π,又cos α=41, ∴cos 2α41024112cos 1-=+-=+-α, ∴原式=2cos 1cos 212122cos 12121ααα+=+=++=|cos 2α|=-cos 2α=410. 变式提升 2 设5π<θ<6π,cos2θ=a,那么sin 4θ等于（） A.21α+- B.21α-- C.21α+- D.21α-- 解析:由5π<θ<6π,则25π<2θ<3π,45π<4θ<23π,则sin 4θ=2122cos 1a --=--θ. 答案：D3.半角公式与降幂公式综合应用【例3】已知cos(α+4π)=54,2π≤α<23π，求cos(2α+4π)的值. 思路分析：先将cos(2α+4π)变形为用已知角或有关的角来表示. 解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π =22(cos2α-sin2α). ∵2π≤α<23π,∴43π≤α+4π<47π. 又∵cos(α+4π)>0,∴23π<α+4π<47π. ∴sin(α+4π)=53)4(cos 12-=+--πα. ∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π)=2524-, sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2(α+4π)=257-. ∴原式=22×(2524-+257)=50217-. 友情提示本题若不注意cos(α+4π)=54对α+4π的限制，在求sin(α+4π)时，会出现两种情况. 类题演练 3若α∈（2π,π），则ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-=______________--. 解析：2π<α<π,4π<2α<2π,2cos 22sin 2cos 1cos 122αααα=+-.原式=αααsin 22cos 2sin 12sin 2cos 2cos 2sin=∙=+.答案：αsin 2 变式提升 3已知sin φ·cos φ=16960,且4π<φ<2π,求sin φ,cos φ的值. 解析：∵sin φcos φ=16960,∴sin2φ=169120. 又∵4π<φ<2π,2π<2φ<π,cos2φ<0, ∴cos2φ=169119169717)169120(12sin 122-=⨯-=--=--ϕ. sin φ>0,cos φ>0, ∴sin φ=1312216911912cos 12=+=-ϕ, cos φ=1352169119122cos 1=-=+ϕ.。

高中数学第三章三角恒等变形 3 第2课时半角公式及其应用教学案北师大版必修4-北师大版高一必

第2课时半角公式及其应用[核心必知]正弦、余弦和正切的半角公式半角的正弦公式 sin α2＝±_1－cos α2 半角的余弦公式 cos α2＝±_1＋cos α2半角的正切公式 tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α[问题思考]1．半角公式适用条件是什么？提示：cosα2＝±1＋cos α2，sin α2＝± 1－cos α2中，α∈R ，tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .2．半角正切公式中的三个公式各有什么优缺点？提示：无理式公式的优点是只含一个函数cos α，缺点是含有“±〞号，需判断α2所在的象限来确定tan α2的正负；有理式公式的优点是不用判断α2所在的象限，缺点是需知道sin α，cos α两个函数的值才能计算．讲一讲1．cos α＝33，α为第四象限的角，求tan α2的值． [尝试解答] 法一：(用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理)．∵α为第四象限的角，∴α2是第二或第四象限的角．∴tan α2<0.∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33＝－ 2－ 3＝－128－4 3＝－12〔6－2〕2＝2－62. 法二：(用tan α2＝1－cos αsin α来处理)∵α为第四象限的角， ∴sin α<0.∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.法三：(用tan α2＝sin α1＋cos α来处理)∵α为第四象限的角， ∴sin α<0.∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tanα2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题．尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值．练一练1．sin α＝－45，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2的值．解：∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°.又∵sin α＝－45，∴cos α＝－35.∴sin α2＝1－cos α2＝ 1－〔－35〕2＝255. cos α2＝－1＋cos α2＝ 1＋〔－35〕2＝－55. tan α2＝sinα2cosα2＝－2.讲一讲2．设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos 2α. [尝试解答] ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0.故原式＝ 12＋12cos 2α ＝12＋12cos α ＝cos2α2＝|cos α2| ＝－cos α2.利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1)去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2)降低次数以减少运算量，注意隐含条件中角的X 围．练一练2．化简：sin 2x 2cos x (1＋tan x tan x2)．解：原式＝2sin x cos x 2cos x (1＋sin x cos x ·1－cos xsin x )＝sin x (1＋1－cos xcos x )＝sin x 1cos x＝tan x .讲一讲 3．求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.[尝试解答] 左边＝cos 2αcos α2sinα2－sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cosα2cos 2α2－sin2α2＝12cos 2αsin αcos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．2．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1〞的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．3．证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法．练一练3．求证：sin 2α4－1＝－cos α2＋12.证明：由sin α2＝± 1－cos α2，知sin α4＝±1－cosα22，∴sin 2α4＝1－cosα22，∴sin 2α4－1＝1－cosα22－1＝－cos α2＋12，原等式得证．化简：〔1＋sin α＋cos α〕〔sin α2－cos α2〕2＋2cos α(90°<α<180°)．[错解] ∴α是第二象限角，∴原式＝〔2cos 2α2＋2sin α2cos α2〕〔sin α2－cos α2〕2×2cos2α2＝2cos α2〔cos α2＋sin α2〕〔sin α2－cos α2〕－2cosα2＝cos α2〔－cos α〕－cosα2＝cos α.[错因] 错解中把α的X 围错误地当作α2的X 围，从而判断cos α2的符号时出现错误．[正解] 原式＝〔2cos2α2＋2sin α2cos α2〕〔sin α2－cos α2〕2×2cos2α2＝2cos α2〔cos α2＋sin α2〕〔sin α2－cos α2〕2|cos α2|＝cos α2〔－cos α〕|cos α2|.又∵90°<α<180°， ∴45°<α2<90°，∴cos α2>0，∴原式＝cos α2×〔－cos α〕cosα2＝－cos α.1．tan 15°等于( ) A ．2＋3B ．2－ 3C.3＋1D.3－1解析：选Btan 15°＝tan 30°2＝1－cos 30°sin 30°＝2－ 3.2．设α∈(π，2π)，那么 1－cos 〔π＋α〕2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D ∵α∈(π，2π)，∴π2<α2<π.∴cos α2<0.∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 3．sin 2θ＝1213，θ∈(0，π4)，那么tan θ等于()A.32B.23或32 C.23D.12解析：选C ∵0<θ<π4∴0<2θ<π2.∴cos 2θ＝ 1－sin 22θ＝1－〔1213〕2＝513.∴tan θ＝1－cos 2θsin 2θ＝1－5131213＝23.4．cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为________．解析：∵270°<α<360°，∴135°<α2<180°，∴cos α2<0.∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋232＝－306. 答案：－3065．sin θ＝45且52π<θ<3π，那么tan θ2＝________．解析：∵5π2<θ<3π，∴cos θ＝－35，又∵5π4<θ2<32π，∴tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1＋351－35＝2. 答案：26．计算：tan π8＋1tanπ12.解：tan π8＋1tan π12＝1－cos π4sin π4＋1＋cosπ6sinπ6＝1－2222＋1＋3212＝2－22＋2＋ 3＝1＋2＋ 3.一、选择题1．tan α2＝3，那么cos α为( )A.45B ．－45 C.415 D ．－35解析：选B 法一：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.法二：∵tan α2＝3，∴1－cos α1＋cos α＝9，即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－45.2．α为第三象限角，且sin α＝－2425，那么tan α2等于( )A.43B.34 C ．－43D ．－34解析：选C ∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－〔－2425〕2＝－725，tan α2＝1－cos αsin α＝1－〔－725〕－2425＝－43.3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝ 1－cos 50°2那么有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°cos 213°cos 213°＋tan 213°cos 213°＝2sin 13°cos 13°cos 213°＋sin 213° ＝sin 26°，c ＝sin 25°.由24°<25°<26°可得a <c <b .4．化简4cos 2α÷(1tanα2－tan α2)的结果为( )A ．－12cos αsin αB ．sin 2αC ．－sin 2αD ．2sin 2α 解析：选B 原式＝4cos 2αtanα21－tan2α2＝2cos 2αtan α＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin 2α. 二、填空题5．计算：sin π8＝________．解析：sin π8＝1－cosπ42＝ 1－222＝2－22. 答案：2－226．在△ABC 中，假设cos A ＝13，那么sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值为________．解析：∵cos A ＝13，∴原式＝cos 2A2＋cos 2A＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝1＋132＋2×(13)2－1＝－19.答案：－197．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________．解析：原式＝cos 2α1＋cos 2α·2sin 2αcos 2α＝1＋cos 2α21＋cos 2α·2tan 2α ＝12×2tan 2α ＝tan 2α.答案：tan 2α8．sin α2－cos α2＝－55，假设450°<α<540°，那么tan α2＝________．解析：由条件知1－2sin α2cos α2＝15， ∴2sin α2cos α2＝45，即sin α＝45又450°<α<540°，cos α<0，∴cos α＝－35. tan α2＝1－cos αsin α＝1＋3545＝2. 答案：2三、解答题9．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．解：原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°) ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin 〔30°－10°〕2sin 10° ＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝cos 30°＝32. 10．函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1(x ∈R )，求函数的最大值及对应自变量x 的集合．解：y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54＝12sin(2x ＋π6)＋54， y 取最大值，只需2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )． ∴y max ＝74. ∴当函数y 取最大值74时，自变量x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z .。