2019届中考数学一轮复习讲义第26讲《三角形》

2019届中考数学一轮复习讲义考点二十六：三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有H L定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

学+科网推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

名师点睛☆典例分类考点典例一、三角形的性质【例1】泰安市2018年如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．【例2】淄博市2018年已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．【答案】证明见解析【解析】分析：过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．详解：证明：过点A作EF∥BC，点睛：本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．【举一反三】1.如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45°，∠1=65°，则∠2的度数为（）A. 45°B. 65°C. 70°D. 110°【答案】C∵∠A=45°，∴∠3=180°-∠4-∠A=180°-65°-45°=70°，∴∠2=∠3=70°.故选C.2.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】试题解析：△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，E ∴是AC 的中点，6,AE CE ∴==210,BC DE ==∠BEC =90°，8.BE ∴==△BCE 的周长106824.BC CE BE =++=++=故选B.点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.考点典例二、等腰三角形【例3】（2018湖北黄冈）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．7【答案】C【解析】试题解析：①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，△BCD 就是等腰三角形；②以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，△ACE 就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．故选C.学科#网考点：等腰三角形.【点睛】本题考查了画等腰三角形；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】1.（2018江西中考）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B.考点：等腰三角形的性质.2.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）．A. 10B. 8C. 8或10D. 6或12【答案】A【解析】解：当2是腰时，三边长为2，2，4．+=，∴不合题意，故舍去．∵224++=．当4是腰时，三边长为4，4，2，∴周长为44210故选A．考点典例三、全等三角形【例4】安顺市2018年如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下哪个条件仍不能判定．．．．．（）A. B. C. D.【答案】D点睛：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．【举一反三】陕西省2018年如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用AAS 先证明∆ABH ≌∆DCG ，根据全等三角形的性质可得AH=DG ，再根据AH ＝AG ＋GH ，DG ＝DH ＋GH 即可证得AG ＝HD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 考点典例四、相似三角形【例5】（2018黑龙江）如图，在ABC △中，,D E 分别为,AB AC 边上的点，DE BC ∥，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点E ，则下列结论中一定正确的是( )A.AD AE AB EC =B.AC AE GF BD =C.BD CE AD AE =D.AG AC AF EC= 【答案】C【解析】试题分析：A 、∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AE AB AC =，故A 错误； B 、∵DE ∥BC ，∴AG AE GF EC=，故B 错误；C、∵DE∥BC，∴BD CEAD AE=，故C正确；D、∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴AG AEAF AC=，故D错误；故选C考点：相似三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．【举一反三】(浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)如图，矩形ABCD中，tan∠BAC=12，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG∶GH∶HC=_______．【答案】3∶2∶3．∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°,AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，{ FCO OABFOC AOE OF OE∠=∠∠=∠=∴△CFO ≌△AOE ，∴AO=CO ，∴AG=CH ，∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°，∴△AOE ∽△ABC ， ∴OE AO =BC AB =tan ∠BAC=12，∴AG:GH:HC=3:2:3，故答案为：3:2:3.点睛：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键考点典例五、位似三角形【例6】（2018黑龙江哈尔滨）如图， A B C '''∆是ABC ∆在点O 为位似中心经过位似变换得到的，若A B C '''∆的面积与ABC ∆的面积比是4:9，则:OB OB '为（ ）A ．2:3B ．3:2C ． 4:5D ．4:9【答案】A【解析】考点：位似变换．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．【举一反三】（2018甘肃兰州）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，位似中心点是O，35OEOA=，则FGBC=.【答案】3 5【解析】试题解析：如图所示：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴35 OE OFOA OB==，∴35 FG OFBC OB==．考点：位似变换．考点典例六：直角三角形【例7】一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子．A. 13cmB. 4cmC. 12cmD. cm【答案】C设则在中，故选C．【例8】.(2018甘肃模拟) 如图，在三角形ABC中，AB=AC，BC=6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF=（）A B C D．7【答案】B∴EF=12BC=3，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=7，∴AB=4，由勾股定理知故选B．【举一反三】1.深圳市2018年在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．【答案】【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1，在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H，FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2，在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，即+2-a2=16，∴a=，∴CH=FH=，∴AC=AE+EH+HC=，故答案为：.【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.2. 天津市2018年如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.课时作业☆能力提升一、选择题1.（2018贵州黔东南中考模拟）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（）A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0【答案】D【解析】试题解析：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b）=0．故选D．考点：三角形三边关系．2.（2018甘肃中考模拟）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120°B．90°C．100°D．30°【答案】C．【解析】试题解析：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故选：C．考点：三角形的外角性质．3.（2018年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一））如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为（）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】试题解析：∵DE是AB的垂直平分线，∵的周长的周长∴的周长﹣的周长=AB，故选C．点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.学%科网4.如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A. AE=EFB. AB=2DEC. △ADF和△ADE的面积相等D. △ADE和△FDE的面积相等【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】C【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．详解：如图，连接CF，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE=S△FDE，∴S△ADE=S△FDE，故D正确，∴C选项不正确，故选：C．点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．5.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A. 20B. 24C.D.【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷【答案】B点睛: 本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键. 6.如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：（1）作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为；（2）以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点；（3）连接下列说法不正确的是( )A. B.C. 点是的外心D.【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；详解：由作图可知：AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，由作图可知：CB=CA=CD，∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，BD=AB，∴S△ABD=AB2，∵AC=CD，∴S△BDC=AB2，故A、B、C正确，故选D．点睛：本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．．二、填空题∆中，BC=6，AC=，∠A=30°，则AB的长是________________.7.已知在ABC【答案】12或6【解析】根据题意画出图形如下图所示，则由题意可知：图中，AC=CB1=CB2=6，∠A=30°，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠CDA=∠CDB2=90°，∵AC=，∠A=30°，CB1=CB2，=，DB1=DB2，∴CD=，9∴AB=AD-DB1=9-3=6或AB=AD+DB2=9+3=12.故答案为：6或12.点睛：本题的解题要点是：根据题意画出图形时，需注意∠ABC可能是钝角，也可能是锐角，因此需分这两种情况分别进行讨论解答，解题时不能忽略了其中任何一种情况.8.．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题【答案】AC=BC．【解析】分析：添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．点睛：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角9.2018年浙江省绍兴等腰三角形中，顶角为，点在以为圆心，长为半径的圆上，且，则的度数为__________．【答案】或【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即可.【解答】如图：分两种情况进行讨论.【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用.10.如图，矩形ABCD中，tan∠BAC=12，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG∶GH∶HC=_______．【答案】3∶2∶3．∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°,AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，{FCO OAB FOC AOEOF OE∠=∠∠=∠=∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∴AG=CH，∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴OEAO=BCAB=tan∠BAC=12，∴AG:GH:HC=3:2:3，故答案为：3:2:3.点睛：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键.11.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：①∠BOC=90°+∠A；②设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn；③EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是________．【答案】①连接AO，过点O作OH⊥AB于H，∴AO是△ABC的角平分线，∵OD⊥AC，∴OH=OD=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OH+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故②错误；若△ABC是等边三角形，则三线合一，此时EF是△ABC的中位线；故③错误.故答案为：①.点睛：此题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及圆与圆的位置关系等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．三．解答题12.如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连结AC、DF，且AC＝DF，BF＝CE，求证AB＝DE.【答案】详见解析.∴∠B=∠E=90°，AC=DF,∴△ABC≅△DEF,∴AB=DE.（201860，得到线段（1）线段DC=；（2）求线段DB的长度.【答案】（1）4；（2.【解析】试题分析：（1）证明△ACD是等边三角形，据此求解；（2）作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．试题解析：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC=AC=4．（2）作DE⊥BC于点E．∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，∴Rt△CDE中，DE=12DC=2，CE∴∴Rt△BDE中，=．考点：旋转的性质.14.如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．（1）求证：△ABP≌△ACQ.（2）判断△APQ的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△APQ为等边三角形．证明见解析.∴AB=AC．∵∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．（2）解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABP≌△ACQ．∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°．∴△APQ是等边三角形．15．（1）操究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD.①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由（2）类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：①∠EAF的度数②线段AE，ED，DB之间的数量关系【答案】（1）①∠EAF=120°；②DE=EF；（2）①∠EAF=90°；②AE2+DB2=DE2．试题解析：（1）①∵ABC 是等边三角形，60AC BC BAC B ∴=∠=∠=︒，，60DCF ∠=︒，ACF BCD ∴∠=∠，在ACF 和BCD 中，{ ,AC BCACF BCD CF CD =∠=∠=∴ACF ≌BCD （SAS ），60CAF B ∴∠=∠=︒，120EAF BAC CAF ∴∠=∠+∠=︒；②DE EF =； 理由如下：6030DCF DCE ∠=︒∠=︒，，603030FCE ∴∠=︒-︒=︒，DCE FCE ∴∠=∠，在DCE 和FCE 中，{ ,CD CFDCF FCE CE CE =∠=∠=∴DCE ≌FCE （SAS ），DE EF ∴=；∴ACF ≌BCD （SAS ），45CAF B AF DB ∴∠=∠=︒=，，90EAF BAC CAF ∴∠=∠+∠=︒；②222AE DB DE +=， 理由如下：9045DCF DCE ∠=︒∠=︒，，904545FCE ∴∠=︒︒=︒﹣，DCE FCE ∴∠=∠，在DCE 和FCE 中，{ ,CD CFDCF FCE CE CE =∠=∠=∴DCE ≌FCE （SAS ），DE EF ∴=；在Rt AEF 中， 222AE AF EF +=，又AF DB =，222AE DB DE ∴+=．16. 山东省淄博市2018年（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB =AC ，在△ABC 的外侧分别以AB ，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ，ACE ，分别取BD ，CE ，BC 的中点M ，N ，G ，连接GM ，GN ．小明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是__________；位置关系是__________．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB ＞AC ，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC 的内侧分别作等腰直角三角形ABD ，ACE ，其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证明．【答案】（1）MG=NG；MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析【解析】分析：（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．详解：（1）连接BE，CD相较于H，如图1，（2）连接CD，BE，相较于H，如图2，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，如图3.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．17. 安徽省2018年如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD 中点，CM的延长线交AB于点F.（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析.【详解】（1）∵M为BD中点，Rt△DCB中，MC=BD，Rt△DEB中，EM=BD，∴MC=ME；（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°，∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，∴∠EMF=180°-80°=100°；（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，又∵CM=ME=BD=DM，∴DE=EM=DM，∴△DEM是等边三角形，∴∠EDM=60°，∴∠MBE=30°，∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，∵∠MCB+∠ACE=45°，∠CBM+∠MBE=45°，∴∠ACE=∠MBE=30°，∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，∵CM⊥EM，∴AN∥CM.【点睛】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.。