轴对称变换4

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轴对称

轴对称1、轴对称图形：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴。

2、成轴对称图形的前提是一个图形，且这个图形满足两个条件：①存在直线（对称轴）②沿着这条直线折叠，折痕两旁的部分能重合．3、一个轴对称图形的对称轴是直线且不一定只有一条，可能有两条或多条．如图所示：4、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。

5、成轴对称：①前提是两个图形②存在一条直线③两个图形沿着这条直线对折能够完全重合．6、轴对称：①成轴对称的两个图形一定全等②它与轴对称图形的区别主要是：它是指两个图形，而轴对称图形前提是一个图形③成轴对称的两个图形除了全等外还有特定的位置关系．如图所示：A BC D1、已知下面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是______________。

2、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为_____________cm 2．3、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）A ．B ．C ．D ．4、仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．_________5、下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）6、下列英文字母属于轴对称图形的是 ( ) A 、N B 、S C 、 H D 、 K7、下列图形中对称轴最多的是 ( ) A 、圆 B 、正方形 C 、等腰三角形 D 、线段8、下列图形： ①角 ②两相交直线 ③圆 ④正方形,其中轴对称图形有 ( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个1、轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．2、若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称。

新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

初中阶段的五种图形变换(精)

初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。

这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。

其中前四种变换还不改变图形的大小。

下面，让我们逐一回顾与归纳。

一、平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。

（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。

）2.平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。

（提示：平移的性质也是平移作图的依据。

）3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a （a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b （b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。

二、轴对称变换1.轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。

）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。

2.轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。

（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

轴对称及轴对称变换

第3讲轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展开后是（）【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选 D.【变式题组】01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使 B 落在点 E 上，点 C 落在点F 上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x 轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【解法指导】在△ABC 中，点 B 的坐标为（－1，1），将△ ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x 轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x 轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.【变式题组】01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x 轴对称，则a、b 的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－302．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q 是点P 关于x 轴的对称点，将点Q 向右平移4 个单位得到点R，则点R 的坐标是___________.03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD 折叠，使点B 落在B1 处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD ＝（）A．30° B．20° C．15° D．10°【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故选D.【变式题组】01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D、C 分别落在点D’、C’的位置. 若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70° B．65° C．50° D．25°02．如图，△ABC 中，∠A＝30°，以BE 为边，将此三角形对折，其次，又以BA 为边，再一次对折，C 点落在BE 上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF （如图②）.小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由. ⑵实践与运用：将矩形纸片ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在BC 边上的点 F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在BE 上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α 的大小.【例4】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，EF 是AD 的垂直平分线，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【解法指导】∵EF 是AD 的中垂线，则可得△AEF ≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．证明：∵EF 是AD 的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF ＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4 ＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4【变式题组】01．如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且BC＝BD＋AD，则点D 在__________的垂直平分线上．02．如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC 于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．03．如图，△ABC 中，∠BAC＝126°，DE、FG 分别为AB、AC 的垂直平分线，则∠EAG ＝___________．04.△ABC 中，AB＝AC，AB 边的垂直平分线交AC 于F，若AB＝12cm，△BCF 的周长为20cm，则△ABC 的周长是___________cm．【例5】（眉山）如图，在3³3 的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF 如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF 如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF 如图⑤⑥所示．【变式题组】01．（泰州）如图，在2³2 的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16 个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形．如图乙是一种涂法，请在图1－3 中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）【例6】如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，若牧童从 A 处出发牵牛到河岸CD 处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？【解法指导】⑴所求问题可转化为CD 上取一点M，使其AM ＋BM 为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．解:先作点A 关于直线CD 的对称点A’，连接A’B 交CD 于点M，则点M 为所求，下面证明此时的AM＋BM 最小．证明：在CD 上任取与M 不重合的点M’，∵AA’关于CD 对称，∴CD 为线段AA’的中垂线，∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B 中，有A’B＜A’M’＋BM’，∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，即AM＋BM 最小．【变式题组】01．（山西）设直线l 是一条河，P、Q 两地相距8 千米，P、Q 两地到l 地距离分别为2 千米、5 千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站向P、Q 两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）02．若点A、B 是锐角∠MON 内两点，请在OM、ON 上确定点C、点D，使四边形ABCD 周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．演练巩固·反馈提高01．（黄冈）如图，△ABC 与△A’B’C’关于直线l 对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B 的度数是（）．A．48° B．54° C．74° D．7802．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠ AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形03．1 是四边形纸片ABCD，图其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2 所示，则∠C＝（）A．80° B．85° C．95° D．110°04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于y 轴成轴对称的图形，若点 A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）05．点P 关于x 轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P 关于y 轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M（1－a，2a＋2）关于y 轴对称的点在第二象限，则a 的取值范围是（）A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－107．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．08．（贵阳）如图，正方形ABCD 的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm .09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x 轴对称，则a＋b＝___________.10．如图，在△ABC 中，OE、OF 分别是AB、AC 中垂线，且∠ABO ＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC 和∠ACB 的度数．11．如图，C、D、E、F 是一个长方形台球桌的4 个顶点，A、B 是桌面上的两个球，怎样击打 A 球，才能使 A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击 B 球？请画出A 球经过的路线，并写出作法．12．如图，P 为∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线的交点，PM⊥BC 于M，PN⊥BA 的延长线于N．求证：AN＝MC．13．（荆州）有如图“”的8 张纸条，用每4 张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为 2 个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）培优升级·奥赛检测01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1 与直线l2 相交，∠α ＝60°，点P 在∠α 内（不在l1l2 上）．小明用下面的方法作P 的对称点：先以l1 为对称轴作点P 关于l1 的对称点P1,再以l2 为对称轴作P1 关于l2 的对称点P2，然后再以l1 为对称轴作P2 关于l1 的对称点P3，以l2 为对称轴作P3 关于l2 的对称点P4，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……Pn 与P 重合，则n 的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．802．在平面直角坐标系中，直线l 过点M（3，0），且平行于y 轴．⑴如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1 关于直线l 的对称图形是△A2B2C2，写出△ A2B2C2 的三个顶点的坐标；⑵如果点P 的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P 关于y 轴的对称点是点P1，点P1 关于直线l 的对称点是P2，求PP2 的长．03．（荆州）某住宅小区拟栽种12 棵风景树，若想栽成6 行，每行4 棵，且6 行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．04．（宜昌）已知：如图，AF 平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF、AF 相交于P、M．⑴求证：AB＝CD；⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．05．在△ABC 中，∠BAC＝90°，点A 关于BC 边的对称点为A’，点B 关于AC 边的对称点为B’，点C 关于AB 边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋” 题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l 两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB 长a 厘米，并关于直线l 对称，在图中P1 处有一粒跳棋子，P1 距A 点b 厘米、与直线l 的距离C 厘米，按以下程序起跳：第1 次，从P1 点以A 为对称中心跳至P2 点；第 2 次，从P2 点以l 为对称轴跳至P3 点；第 3 次，从P3 点以 B 为对称中心跳至P4 点；第4 次，从P4 以l 为对称轴跳至P1 点；⑴画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）⑵棋子按上述程序跳跃2011 次后停下，假设a＝8，b ＝6，c＝3，计算这时它与 A 的距离是多少？07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．⑴若P（p，0）是x 轴上的一个动点，则当p＝___________时，△PAB 的周长最短；⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x 轴上的两个动点，则当a＝___________时，四边形ABCD 的周长最短；⑶设M、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n）使四边形ABMN 的周长最短？若存在，，请求出m＝___________，n＝___________ （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．。

轴对称知识点总结

撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：通过具体实例认识轴对称，探索它的根本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；欣赏生活中的轴对称图形，结合现实生活中的典型实例了解并欣赏物体的镜面对称。

重点：1．轴对称概念及有关性质；2．根本图形〔如线段、角〕的轴对称性3．画和轴对称有关的图形难点：轴对称的性质的探索和掌握。

二、知识要点梳理知识点一：轴对称图形及对称轴1、轴对称图形：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的局部能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴2、要点：前提是一个图形，且这个图形满足两个条件：①存在直线〔对称轴〕；②沿着这条直线折叠，折痕两旁的局部能重合．3、注意：一个轴对称图形的对称轴是直线且不一定只有一条，可能有两条或多条．如下图：知识点二：轴对称及对称点1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称〔或说这两个图形成轴对称〕，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点2、要点：①前提是两个图形；②存在一条直线；③两个图形沿着这条直线对折能够完全重合．3、注意：①成轴对称的两个图形一定全等；②它与轴对称图形的区别主要是：它是指两个图形，而轴对称图形前提是一个图形；③成轴对称的两个图形除了全等外还有特定的位置关知识点三：轴对称与轴对称图形1、相互转化：轴对称图形和轴对称的关系非常密切，假设把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么这个整体就是轴对称图形；反过来，假设把轴对称图形的对称轴两旁的局部看作两个图形，那么这两个图形关于这条直线〔原对称轴〕对称2、轴对称、轴对称图形的性质〔1〕性质1：假设两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质1的证明如下：如下图，△ABC与△关于l对称，其中点A、是对称点，设交对称轴于点P．将△ABC和△沿l折叠后，点A与重合，那么有，∠1=∠2=90°，即对称轴把垂直平分，同样也能把、都垂直平分，于是得出性质1．〔2〕性质2：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．证明类似性质1．〔3〕小结：不管性质1，还是性质2所指的都是只要两个点关于某直线对称，那么这条直线〔对称轴〕就是这两个点连线的垂直平分线．也就是说这两条性质所表达的是对称点与对称轴的关系．也揭示了轴对称〔轴对称图形〕的实质．知识点四：线段的垂直平分线1、性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；证法一：如下图，l是线段AB的垂直平分线，P为l上任意一点．如果把AB沿着l对折，A点和B点一定重合，同时PA、PB也应该重合，如果在l上再取一点，连、，那么、也应该重合，即它们分别对应相等，由此得出性质1．证法二：另外，我们还可以从全等的角度得出性质1，过程如下：如上图，∵l垂直平分AB，∴AO=BO，∠1=∠2．又∵PO=PO〔公共边〕，∴Rt△PAO≌Rt△PBO〔SAS〕∴PA=PB．即性质1成立．2、性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．性质2的探究如下：如下图，作直线PC⊥AB于C，那么在Rt△PAC和Rt△PBC中，P A=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC，∴AC=BC．即PC垂直平分AB，所以点P在线段AB垂直平分线上．3、小结：〔1〕从以上的两个结论可以看出，在线段AB垂直平分线上的点与A、B两点的距离相等；反过来与点A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上．综合以上两点可以得出：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合．〔2〕线段垂直平分线的两个性质具有不同的作用，性质l是线段的垂直、平分线的性质，可用它来证明线段相等的问题；而性质2实质是线段垂直平分线的判定．知识点五：对称轴的作法1、假设两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．2、例如：A、B两点关于某直线对称，连接AB，作线段AB的垂直平分线就是A、B 两点的对称轴，作法如下：〔1〕分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧〔假设两弧半径小于或等于AB，那么两弧没有交点或切于一点〕，两弧交于C、D两点；〔2〕连CD，得直线CD，直线CD即为所求．如下图：3、说明：作对称轴的方法也就是作线段垂直平分线的方法．用此方法可确定线段的中点，即把线段平分．知识点六：轴对称变换1、由一个平面图形得到它关于某直线的对称图形，这一过程叫轴对称变换2、注意：〔1〕将一个图形进行轴对称变换〔作一个图形关于某直线的对称图形〕．关键是作某些点〔关键点〕关于这条直线的对称点．①如：作点A关于直线l的对称点．先作AO⊥l于O；再延长AO至使，那么就是A关于l的对称点，如下列图所示：②主要有两步：第一步，过点作对称轴的垂线，得到一个垂线段；第二步，将这个垂线段延长一倍所到达的点就是点关于这条直线〔对称轴〕的对称点．〔2〕成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作是另一个图形经过轴对称变换得到的．同样，一个轴对称图形也可以看作是以它的一局部为根底，经轴对称变换扩展而成的．〔3〕经过轴对称变换并结合平移变换我们可得到一些美丽的图案，如下图：知识点七：用坐标表示轴对称1、关于x轴对称的两个点的横〔纵〕坐标的关系P点坐标，那么它关于x轴的对称点的坐标为，如下列图所示：即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．2、关于y轴对称的两个点横〔纵〕坐标的关系P点坐标为，那么它关于y轴对称点的坐标为，如上图所示．即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．注意：由此我们可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．3、关于与x轴〔y轴〕平行的直线对称的两个点横〔纵〕坐标的关系〔1〕P点坐标关于直线的对称点的坐标为．证明：如下列图所示，令坐标为，由题意可知，即，故．所以．同样可以推导出下面的结论．〔2〕P点关于直线的对称点的坐标为，如下列图所示．三、规律方法指导1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2．轴对称变换的性质：〔1〕经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样〔2〕经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．〔3〕连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：〔1〕作出一些关键点或特殊点的对称点．〔2〕按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．4．点P〔x，y〕关于x轴对称的点的坐标是〔x，-y〕；点P〔x，y〕关于y轴对称的点的坐标是〔-x，y〕；点P〔x，y〕关于原点对称的点的坐标是〔-x，-y〕．5．点P〔x，y〕关于直线x=m对称的点的坐标是〔2m-x，y〕；点P〔x，y〕关于直线y=n对称的点的坐标是〔x，2n-y〕。

人教版八年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题

⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。

5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。

第四章图形变换之轴对称

第四章图形变换之轴对称下面给出几种常考虑要用或作轴对称的基本图形（1）线段或角度存在2倍关系时，可考虑对称；（2）有互余、互补关系的图形，可考虑对称；（3）角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称；（4）路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间例题精讲例1 如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高AE交于G．求证：EG=EC．例2 （1）如图a，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的B′处，点A落在A′处．若AE=a、AB=b、BF=c，请写出a、b、c之间的一个等量关系．（2）如图b，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）（3）如图c，等边△ABC的边长为1，D，E分别以AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为．（4）如图d，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=（用含有n的式子表示）．a b c d例3如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN，求线段CN长．例4在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40，∠ABD+∠BDC=90°，求四边形ABCD的面积。

例5 如图，在四边形ABCD中，连接AC，BC=CD，∠BCAˉ∠ACD=60°,求证：AD+CD≥AB。

例6问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．例7问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．例8请阅读下列材料：问题：如图，在四边形ABCD 中，M 是BC 边上的中点，且∠AMD=90°,试判断AB+CD 与AD 之间的大小关系。

第十三章轴对称教材分析

第三学段：
图形的性质
平移图形的变化图形与坐标
空间与图形
轴对称
旋转
第三学段：
（二）图形的变化
1．图形的轴对称（1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。（2）能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
1.关于“轴对称图形”的概念
大量丰富实例概括共性形成概念
2.关于“轴对称”的概念
“轴对称”与“轴对称图形”两个概念的区别与联系。
3.轴对称的基本性质
M A C N C’ A’
轴对称的应用
用坐标表示轴对称
B
B’
由两个图形成轴对称的性质可以得到轴对称图形的性质，这也说明二者的本质是一致的。
任意一个平移变换都可以看作是经过两个轴对称变换得到；
任意一个旋转变换也都可以看作是经过两个轴对称变换得到.
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二、课程要求
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位
置和运动。
研究几何图形的基本思路：
• 明确概念 • 探究性质 • 探究定
一个图形的要素之间的关系
几何图形
两个或多个图形之间的关系
“想象”是空间观念的核心
在几何领域内如何分析思考问题
在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于验证结论。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。
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2.轴对称变换
在平面内，给定一条直线l，P与P’是平面内的两个点，如果直线l垂直平分线段PP’，则将P变换成P’的变换，称之为关于直线l的轴对称变换，P与P’称为一组对应点，直线l 称为对称轴.

对称、平移和旋转变换

对称、平移和旋转变换在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。

这一讲我们着重学习三种主要的合同变换——对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。

一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。

将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。

将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。

对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。

一条直线或一个点就确定了一个对称变换。

例1：试证：等腰三角形的底角相等。

已知：如图（1），在△ABC 中，AB=AC ，求：∠B=∠C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作AD ⊥BC 于D ，再证△ABD ≌△ACD 即可。

（2）更妙的是，把△ABC 看作是以AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由△ABC ≌△ACB 换出∠B=∠C 。

例2：如图（2），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且有AB=AC=AD=213cm ，BC=5cm ，求BD 的长。

分析：由于△ACD 是等腰三角形，以底边CD 中垂线NM 为轴补全图形，做出△ABC 关于MN 的对称△AED ，则AB=AD=AE=213，所以∠BDE=Rt ∠，而DE=BC=5，所以BD=12。

例3：如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，EF ⊥A B 于F ，则S ABCD 梯形=AB •EF 。

分析：由于DE=EC ，因此，以E 为定点作A 的对称点G ，则△ADE 与△GCE 关于点E 对称，且B ，C ，G 三点共线，所以S BEG ∆=S ABE ∆=21AB •EF ，故S ABCD 梯形= AB •EF 。

二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。

轴对称知识点汇总

轴对称知识点汇总轴对称知识在数学考试中是一个常考点，那么应该掌握的知识又有什么呢?下面轴对称知识点汇总是小编为大家带来的，希望对大家有所帮助。

一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

轴对称图形知识点归纳

轴对称知识梳理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.。

轴对称知识点汇总

轴对称知识点汇总轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学等领域中起着重要作用。

本文将对轴对称的基本概念、性质和应用进行详细的介绍。

一、轴对称的定义和基本概念轴对称，又称对称轴，是指图形中的一条线，使得图形关于该线对称。

具体来说，如果将图形沿着某条线对折，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。

任何一个图形都可以有多个轴对称线，有些图形可能甚至有无穷多条轴对称线。

而有些图形则没有轴对称线。

对于有轴对称线的图形，它们的轴对称线可以是水平线、垂直线、或者斜线。

二、轴对称的性质1. 轴对称图形的性质：轴对称图形的两侧是完全相同的，对称轴是图形中的一部分，把图形分成了两个完全相同的部分。

2. 轴对称线上的点：对于一个轴对称图形，轴对称线上的点在折叠时会与它们在轴对称线的对称点重合。

3. 轴对称与图形的变换：轴对称是一种图形的变换方式，通过轴对称变换可以将图形变成它自身。

4. 轴对称图形的不变性：轴对称图形具有不变性，即通过轴对称变换后的图形与原来的图形完全相同。

三、轴对称的应用1. 几何学中的应用：轴对称的概念在几何学中有广泛的应用。

例如，我们可以利用轴对称性质判断一个图形是否是轴对称图形，可以利用轴对称线进行图形的构造等。

2. 统计学中的应用：在统计学中，轴对称性质可以用于数据的处理和分析。

通过利用图形的轴对称性，我们可以找到数据的对称特征，进而进行统计推断和预测。

3. 计算机图形学中的应用：轴对称性质在计算机图形学中也有广泛的应用。

通过利用轴对称性质，可以对图像进行压缩、旋转和对称变换等操作。

四、轴对称的例题解析为了更好地理解轴对称的概念和应用，接下来将通过几个例题进行解析。

例题一：判断图形是否具有轴对称性质，并找出它的轴对称线。

解析：首先观察图形，如果把图形沿某条线对折后，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。

如果通过观察发现存在这样的轴对称线，那么该图形具有轴对称性质。

例题二：给定一个轴对称图形和一个点P，求点P关于轴对称线的对称点P'。

初中阶段的五种图形变换

初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。

这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。

其中前四种变换还不改变图形的大小。

下面，让我们逐一回顾与归纳。

【一】平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。

〔提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。

〕2.平移的性质：〔1〕平移前后，对应线段平行〔或共线〕且相等；〔2〕平移前后，对应点所连线段平行〔或共线〕且相等；〔3〕平移前后的图形是全等形。

〔提示：平移的性质也是平移作图的依据。

〕3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点〔x，y〕向右或向左平移a 〔a>0〕个单位，可以得到对应点〔x＋a，y〕或〔x－a，y〕；向上或向下平移b 〔b>0〕个单位，可以得到对应点〔x，y＋b〕或〔x，y－b〕。

【二】轴对称变换1.轴对称图形：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

〔提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。

〕〔2〕性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。

2.轴对称：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线〔成轴〕对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

〔2〕性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点必在对称轴上。

〔3〕判定：①根据定义〔提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称〕；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

3.作轴对称图形知识讲解

作轴对称图形【学习目标】1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.3．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．4．能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】要点一、对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.【作轴对称图形，用坐标表示轴对称】要点二、用坐标表示轴对称1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系已知P点坐标，则它关于x轴的对称点的坐标为，如下图所示：即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系已知P点坐标为，则它关于y轴对称点的坐标为，如上图所示．即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系P点坐标关于直线的对称点的坐标为．P点坐标关于直线的对称点的坐标为．【典型例题】类型一、作轴对称图形【作轴对称图形，例1】1、如图，△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称.（1）画出直线EF ；（2）直线MN 与EF 相交于点O ，试探究∠''BOB 与直线MN 、EF 所夹锐角α之间的数量关系.【答案】（1）如图；（2）∠''BOB ＝2α；【解析】（2）∵△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称.∴∠BOM ＝∠'B OM ，∠'B OE ＝∠''B OE ，∵∠'B OM ＋∠'B OE ＝α∴∠''BOB ＝2α【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.举一反三：【变式】在下图中，画出△ABC 关于直线MN 的对称图形.【答案】△'''A B C 为所求.类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）【作轴对称图形，例4】2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M'P，QN转化为Q N'，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指M'P＋PQ＋Q N'最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点M'，作点N关于OB的对称点N'，连接M N''交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.举一反三：【作轴对称图形，例4练习1】【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．【答案】作点M 关于OA 的对称点M '，过M '作OB 的垂线交OA 于P 、交OB 于Q ，侧M →P→Q 为最短路线．如图：【作轴对称图形，例4练习2】3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a ，沿河OB 排开(从点P 到点Q)；将军从马棚M 出发到达队头P ，从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场N ．请问：在什么位置列队(即选择点P 和Q)，可以使得将军走的总路程MP ＋PQ ＋QN 最短?【答案与解析】见下图作法：作N 关于OB 的对称点N '，再作N N '''∥BO 且N N '''＝a (N ''在N '的左侧)；连接MN ''交OB 于点P ，再在OB 上取点Q 使得PQ ＝a (Q 在P 的右侧)，此时，MP ＋PQ ＋QN 最小．【总结升华】MP ＋PQ ＋QN 最小，其中PQ 是定值a ，问题转化为MP ＋QN 最小.因为将军要沿河走一段线段a ，如果能把这段a 提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从'N 沿平行的方向走a 至''N ，连接''MN 即可.类型三、用坐标表示轴对称4、若点M （2,a ）和点N （a b +，3）关于y 轴对称，则a ＝，b ＝ .【思路点拨】已知P 点坐标，则它关于x 轴的对称点的坐标为，关于y 轴对称点的坐标为. 【答案】 3，－5 ；【解析】点M 和点N 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等.∴20a b ++=, 3a =，解得b ＝－5.【总结升华】要掌握点关于x 轴，y 轴，原点等对称的点的坐标变化规律.举一反三：【变式1】已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 5【答案】B ；提示：2m ＝2，m ＋n ＝3, 解得n ＝2, m ＝1，选B.【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【答案】共3个满足条件的点：1D （4，－1），2D （－1，3），3D （－1，－1）。

关于任意轴的对称变换的5步

关于任意轴的对称变换的5步摘要：1.引言2.对称变换的概念3.任意轴对称变换的5 个步骤3.1 选择一个轴3.2 将物体绕轴旋转180 度3.3 确定旋转后的物体位置3.4 将物体沿着轴翻转3.5 确定翻转后的物体位置4.对称变换在数学和物理中的应用5.总结正文：对称变换是一种重要的几何变换，它在数学和物理中有着广泛的应用。

本文将详细介绍关于任意轴的对称变换的5 个步骤。

首先，我们需要了解对称变换的概念。

对称变换是指将一个物体或图形通过某种变换，使得其与某个轴对称。

在几何学中，轴对称变换是一种保持物体形状不变，但改变其位置的变换。

接下来，我们来介绍任意轴对称变换的5 个步骤。

第一步，选择一个轴。

对称轴可以是任意一条直线，如水平轴、垂直轴或斜轴。

选择对称轴的依据是它能够将物体分为两部分，使得这两部分关于轴对称。

第二步，将物体绕轴旋转180 度。

这意味着物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴旋转180 度。

需要注意的是，旋转的方向和角度要根据所选轴来确定。

第三步，确定旋转后的物体位置。

这一步需要根据物体的初始位置和旋转的角度来确定旋转后的物体位置。

如果物体在轴的左侧，旋转180 度后，它将位于轴的右侧；如果物体在轴的右侧，旋转180 度后，它将位于轴的左侧。

第四步，将物体沿着轴翻转。

翻转的目的是使物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴对称。

翻转后的物体应与旋转后的物体重合。

第五步，确定翻转后的物体位置。

这一步需要根据物体的旋转位置和翻转方向来确定翻转后的物体位置。

翻转后的物体可能与初始位置重合，也可能与初始位置相反。

对称变换在数学和物理中有着广泛的应用。

在数学中，对称变换可以用于解决几何问题，如求解图形的面积、周长等；在物理中，对称变换可以用于分析物体的受力情况，以及研究物体在相互作用过程中的运动规律。

总之，任意轴对称变换是一种在数学和物理中具有重要意义的几何变换。

轴对称知识点概念总结

轴对称知识点概念总结一、轴对称的概念轴对称是指平面上的任意一点到某条直线的距离等于它的对称点到同一条直线的距离。

这条直线就称为轴对称的轴线。

在轴对称的变换中，图形关于轴线对称，即通过某条直线进行对称变换后，两个图形完全重合。

轴对称变换是一种保持图形形状和大小不变的变换，即如果原图形关于轴对称，则对称后的图形大小、形状和位置都不变。

在平面几何中，轴对称是指通过一条直线，将一个图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。

在三维空间中，轴对称是指通过一个平面，将一个立体图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。

而对于更高维度的空间，轴对称的概念也有相应的推广。

二、轴对称的性质1. 图形经过轴对称变换后仍然保持不变，即大小、形状和位置都不变。

2. 轴对称的轴线可取任意直线，轴对称的性质不随轴线的选取而改变。

3. 轴对称是一种对称变换，它保持了图形的对称性质。

4. 轴对称变换是一种保角变换，保持了图形的内角和外角不变。

5. 如果一个图形关于一条直线轴对称，那么它关于这条直线的对称轴线的对称关系也是轴对称的。

6. 如果两个图形分别关于两条无交点的直线轴对称，那么这两个图形的对称关系也是轴对称的。

7. 如果两个图形分别关于同一条直线轴对称，那么它们之间的对称关系也是轴对称的。

轴对称的性质是轴对称变换在数学、物理和工程等领域中应用的基础，是轴对称图形和轴对称函数等概念的重要基础。

三、轴对称的应用1. 在几何学中，轴对称是通过对称折叠和对称变换等方法，研究图形的性质、构造和证明等问题的基本手段。

2. 在物理学中，轴对称是通过对称抽象和对称分析等方法，研究物理系统的对称性、守恒律和相互作用等问题的基本工具。

3. 在工程学中，轴对称是通过对称设计和对称加工等方法，研究零件的制造、组装和检测等问题的基本技术。

4. 在数学分析和代数中，轴对称是通过对称函数和对称方程等方法，研究函数的性质、解的性质和对称结构等问题的基本手段。

轴对称变换4

轴对称

新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习

初中阶段的五种图形变换(精)

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人教版八年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题

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