2.4.2-抛物线的简单几何性质 (1)

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2.4.2 抛物线的简单几何性质1

2．4.2 抛物线的简单几何性质整体设计教材分析“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图、例3及其他例题；第二课时主要内容为焦半径公式、例4、例5、例6.第1课时教学目标知识与技能1．抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．过程与方法1．使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出的条件求抛物线的标准方程．2．掌握抛物线的画法．情感、态度与价值观1．培养学生数形结合及方程的思想．2．训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用．重点难点教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用．教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用．教学过程复习引入1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称. 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的14，即2p 4＝p2.不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为±2px、左端为y 2；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为±2py，左端为x 2.(2)开口方向为x 轴(或y 轴)正向时，焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口为x 轴(或y 轴)负向时，焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程右端取负号．讲解新课唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”．提出问题1：如果测得酒杯口宽4 cm ，杯深8 cm ，试求酒杯轴截面所在曲线的方程．活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导，再由一名学生板演．解：如图建立平面直角坐标系，则可知A(－2,8)，B(2,8)．所以设抛物线的方程为： x 2＝2py(p>0)A 、B 点在抛物线上，代入抛物线方程，可得p ＝ 14，则所求的抛物线方程为：x 2＝12y.提出问题2：这一节我们来研究抛物线的标准方程y 2＝2px(p>0)的几何性质．请同学们思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你应从哪几个方面进行研究？学情预测：学生会给出很多方面，此时教师引导学生观察图象给出性质．1．范围2．对称性3．顶点4．离心率5．通径探索研究活动设计：先由学生合作讨论，再由一、两名学生代表发言，教师适时补充．1．范围学情预测：一般情况下，学生会从图像观察到：x≥0，y∈R.此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：因为p＞0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性学情预测：一般情况下，学生会从图象观察到：关于x轴对称．此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线y2＝2px(p>0)的顶点就是坐标原点．4．离心率活动设计：此处可由教师给出定义．抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e＝1.多媒体给出下表的第1、2行和第1列，由学生得出其他几种形式的方程的几何性质：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离．补充说明：1.抛物线只位于半个平面坐标内，虽然它可以无限延伸但它没有渐近线．因此抛物线不是双曲线的一支．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． 3．抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线． 4．抛物线的离心率是确定的且为1.附：抛物线不存在渐近线的证明．(反证法)假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A(x ，y)为抛物线上的一点， A 0(x ，y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点．如图，则有y ＝±2px 和y 1＝mx ＋n. ∴ |y 1－y|＝|mx ＋n 2px| ＝|x|²|m＋nx2p x|. 当m≠0时，若x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.当m ＝0时，|y 1－y|＝|n 2px|，当x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线．提出问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？下面我们来看一个例题．在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：(1)y 2＝12x ；(2)y 2＝x ；(3)y 2＝2x ；(4)y 2＝4x.活动设计：由学生自己完成，教师可将学生所画的图象投影展示．学情预测：从图象观察到抛物线标准方程中的p 越大，开口越开阔．探究问题：在抛物线的标准方程中2p 的几何意义是什么？通径的定义：通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫抛物线的通径．提出问题：由学生求出通径的长度．通径的长度：2p.反思应用1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px，因为它过点M(2，－22)，所以(－22)2＝2p²2，即 p＝2.因此，所求的抛物线方程为y2＝4x.将已知方程变形为y＝±2x，根据y＝2x计算抛物线在x≥0的范围内几个点的坐标，得点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．提出问题：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－22)的抛物线有几条？求出它们的标准方程．活动设计：先由学生独立完成或合作讨论，再由一名学生上黑板板演．学情预测：易得到结果：y2＝4x或x2＝－2y.2若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．解：设抛物线方程为y2＝±2px或者x2＝±2py(p>0)，∵通径长2p＝7，所以所求抛物线方程y2＝±7x或者x2＝±7y.3过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD 、EH 、BC ，垂足为D 、H 、C ，则 |AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH⊥l，因而圆E 和准线l 相切．达标检测 1．抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，则其通径的长为( )A ．－12 B.12 C.14D ．12．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为( )A ．3B ．4C ． 5D ．63．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是____________________．4．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．答案：1.B 2.B 3.y 2＝2(x －1) 4.M(54，±22)，M 到y 轴距离的最小值为54.本课小结 1．抛物线的性质；2．灵活运用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及描点法画图. 布置作业课本习题2.4A 组4. 补充练习1．过抛物线x ＝ay 2的焦点的一条直线和抛物线交于A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝______________.2．下列说法中，错误的是( ) A ．任何抛物线的离心率都是1B ．在抛物线上所有的点中，顶点到焦点的距离最短C ．过一定点的所有直线中，与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条D ．抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2、B 2，则∠A 2FB 2等于________．4．以椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆的右准线所得的弦长．答案：1.116a2 2.C 3.90° 4.4 5设计说明二次曲线是平面解析几何的主要研究对象，在教学时，注意挖掘它们之间的内在联系和区别，不要孤立地和静止地看待抛物线．因此在研究抛物线的几何性质时采用对比的方法进行教学，让学生对照椭圆、双曲线的几何性质，去探求抛物线的几何性质，在进行对比时，要注意横向和纵向两种对比，也就是既要注意每种曲线内部的对比，同时也要注意几种曲线之间的对比．。

课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质

解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程

课件1：2.4.2 抛物线的简单几何性质

【自主解答】法一由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p＞0)．又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴2p＝5，∴p＝10. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
法二由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴． ∴设抛物线的方程为 y2＝mx(m≠0)．又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴|m4 |＝5，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛
物线的哪些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率．
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
y 0, y R y 0, y R
x轴
y轴
(0,0) 1
(2)当 k＜1，且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； (3)当 k＞1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
规律方法判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，利用判别式解决． Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离． (2)当 a＝0 时，方程只有一解 x＝－bc，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．
双曲线的渐近线方程为 3x－y＝0 或 3x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离 d1＝
| 3×1－0| 3 2＋－1
2＝ 23或 d2
＝
|
3×31＋2＋0| 12＝
3 2.
【答案】 B
题型二：直线与抛物线的位置关系的判断

数学课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质

∴y421p·y222＋y1·y2＝0， ∴b2＋2pb＝0， ∴b＋2p＝0，∴b＝－2p. ∴y1·y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2. ∴A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和－4p2. (2)AB 方程为 my＝x－2p，∴AB 过定点(2p,0)．
解决抛物线中定点、定值问题的方法在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果．
解析：抛物线的焦点F
p2，0
，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－
p 2
，即
x＝y＋
p 2
，将其代入得：y2＝2px＝2p
y＋p2
＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所
以y1＋2 y2＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：x＝－1
探究一抛物线性质的应用
[典例1]
直线与抛物线的位置关系将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
2．已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．
2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合重点：抛物线的图形和简
问题．
单几何性质．

抛物线课件及练习题含详解

2
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2

2.4.2抛物线的简单几何性质(1)

p 2
y0
p y1 y2
关于y轴对称
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
例2.抛物线的顶点在原点，准线与其平行线 x = 2 的距离为3,求抛物线的方程.
引申1：抛物线的顶点是椭圆16x2+9y2=144的中心,而焦点是椭圆的顶点,求抛物线的方程.
引申2: 以x = - 3 为准线,F(5,0)为焦点的抛物线的方程.
引申3: 以 y 轴为准线,F(3,3)为焦点的抛物线的方程.
例3.已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的
直线交抛物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
求证 : (1)x1x2为定值. (2) 1 1 为定值.
|FA | | FB |
(3)若直线AB的倾斜角为
,则
2
2
y
F O
y
OF
x2 = 2py
（p>0）
x l
F (0, p ) y p
2
2
l
x2 = -2py
x（p>0）
F (0, p ) 2
y p 2
范围
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
y≥0 x∈R
y≤0 x∈R
顶点
(0,0)
对称轴 e
x轴 1
y轴
方程图形范围
y2 = 2px （p＞0）
y
l
y2 = -2px （p＞0）
2.4.2抛物线的简单几何性质 (一)
问题：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形, 探索其的几何性质:

§2.4.2_抛物线的简单几何性质(1)

越大.
1.已知M为抛物线 y2 4x上一动点，F为抛物线的焦点，
定点P(3,1),则 MP MF 的最小值为（B ）(A)3(B)4
(C)5
(D)6
N
M
. .
..
M P
F (1,0)
x3
A A`
OF
解这题,你有什么方法呢?
B` B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
解
由题意可知,
p

2,
p 2
1,
y A
A`
焦点F1,0,准线l : x 1.如
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
（二）归纳：抛物线的几何性质
图形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x

p 2
x≥0 y∈R
由已知得抛物线的焦点为F1,0,所以直线 AB 的方程为 y x 1. 1
将 1 代入 y2 2x , 得 x 12 4x.
y A
A`
OF
化简得 x2 6x 1 0.

课件5：2.4.2 抛物线的简单几何性质

(2)|AB|＝2(x0＋p2)＝x1＋x2＋____p______；＝__(_3_)_Ap_4、2__B_两__点_，的y横1·y坐2＝标__之__积－__、p_2_纵__坐. 标之积为定值，即x1·x2
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点P的坐标为( )
A．(14，±
F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
→ FP
＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
[答案] D
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准
线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交
点为G，因为
→ FP
＝4
→ FQ
，则点Q是PF的三等分点，由于三角形
5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．
[答案] a≥1 [解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A( a，a)，B(－ a，a)，C(x0，x20)，则 C→B＝(－ a－x0，a－x20)，C→A＝( a－x0，a－x20)， ∵∠ACB＝90°. ∴C→A·C→B＝( a－x0，a－x20)·(－ a－x0，a－x20)＝0. ∴x20－a＋(a－x20)2＝0，∵x20－a≠0. ∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0. ∴x20＝a－1，又x20≥0.∴a≥1.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业

高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质

②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴

第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质

13．已知倾斜角为π的直线 l 过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F，抛物线 C 上存在点 P 与 x 轴上一点 Q(5,0)关 6
于直线 l 对称，则 p 等于( )
A.1
B．1
C．2
D．3
2
14.如图，已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线 AF， BF 分别与抛物线交于点 M，N. (1)求 y1y2 的值； (2)连接 MN，记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：kk12为定值．
反思感悟把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.
5．抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，
其面积为( )
A．2 3
B．4
C．6
D．4 3
6．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标
为 2，则该抛物线的准线方程为( )
2 所在的直线方程．
引申探究本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离．
反思感悟求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. (2)焦点弦长
设过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1＋x2 即可．跟踪训练 3 已知 y＝x＋m 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点． (1)若|AB|＝10，求实数 m 的值；(2)若 OA⊥OB，求实数 m 的值．

2.4.2 抛物线的简单几何性质

2.4.2 抛物线的简单几何性质1.设AB为过抛物线y2=2px (p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( C )(A)(B)p(C)2p (D)无法确定解析:当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB为抛物线的通径,长度等于2p.故选C.2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( B )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.3.抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点(-5,2)到焦点的距离为6,则抛物线方程为( D )(A)y2=-2x (B)y2=-4x(C)y2=2x (D)y2=-4x或y2=-36x解析:因为抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,设y2=2px,则焦点坐标为(,0),因为点(-5,2)到焦点的距离为6,所以(-5-)2+(2-0)2=62,即(5+)2=16,所以5+=4或5+=-4,解得p=-2或p=-18,所以y2=-4x或y2=-36x,故选D.4.设经过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线在第一象限的交点为A,过A作x轴的垂线,垂足为B,若△ABF的面积为,则实数a的值为( D )(A)4 (B)2 (C)1 (D)解析:设抛物线方程为x2=2py(p>0),由题意知∠FAB=,延长AB交准线于C,故△AFC是正三角形,又点F到准线的距离为p,知|FC|=2p,△ABF的面积为,即×2p×p×sin =,得p=1,所以a=.故选D.5.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于( B )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线l的方程为x=-2①,设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为,所以a=4,b=2,椭圆E的方程为+=1②,联立①②,解得A(-2,3),B(-2,-3)或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.6.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n 的关系是( A )(A)m+n=mn (B)m+n=4(C)mn=4 (D)无法确定解析:设抛物线焦点弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线y2=4x的焦点为(1,0),当焦点弦与抛物线的对称轴垂直时,m=2,n=2,所以m+n=mn.当焦点弦与抛物线的对称轴不垂直时,设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0).把y=k(x-1)代入y2=4x并整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,所以x1x2=1.因为m=x1+1,n=x2+1,所以x1=m-1,x2=n-1,代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,即m+n=mn.故选A.7.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( C )(A)(0,2) (B)[0,2](C)(2,+∞) (D)[2,+∞)解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相交知4<r.因为点M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,所以=8y0,又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上,所以+(y0-2)2=r2>16,所以8y0+(y0-2)2>16,即有+4y0-12>0,解得y0>2或y0<-6,又因为y0≥0,所以y0>2,故选C.8.已知抛物线y=x2-1上的一定点B(-1,0)和两个动点P,Q,当BP⊥PQ 时,点Q的横坐标的取值范围是( C )(A)(-∞,-3]∪[1,+∞)(B)[-3,1](C)(-∞,-3]∪[1,)∪(,+∞)(D)[1,+∞)解析:设P(t,t2-1),Q(s,s2-1),因为BP⊥PQ,所以·=-1,即t2+(s-1)t-s+1=0,因为t∈R,P,Q是抛物线上两个不同的点,所以必须有Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0.即s2+2s-3≥0,解得s≤-3或s≥1.由t=-1,代入t2+(s-1)t-s+1=0,可得s=,此时P,B重合,故s≠.所以Q点的横坐标的取值范围是(-∞,-3]∪[1,)∪(,+∞).故选C.9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为.解析:抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,圆x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,则圆心为(3,0),半径为 4.又因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,所以3+=4,解得p=2.答案:210. 已知抛物线y=x2的焦点为F,过点F的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到x轴的距离等于.解析:由题意,抛物线y=x2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=-,根据抛物线的定义,因为|AB|=4,所以A,B到准线的距离和为4,所以弦AB的中点到准线的距离为2,所以弦AB的中点到x轴的距离为2-=.答案:11.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.解析:设AB的方程为x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,当m=0时,+最小为32.答案:3212.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k≠0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+k=0,即Δ=1-k2<0,解得k>1或k<-1.答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)13.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.解:如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.又|OA|=|OB|,所以+=+,即-+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即点A,B关于x 轴对称.由此得∠AOx=30°,所以y1=x1,与=2px1联立,得y1=2p.所以|AB|=2y1=4p.14.已知A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上不同的两点,点D在抛物线C 的准线l上,且焦点F到直线x-y+2=0的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线AB过焦点F,且直线AD过原点O,求证:直线BD平行x轴.(1)解:抛物线C:y2=2px的焦点F(,0),由题意可得d==,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)证明:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.设直线AB:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线方程,可得y2-4ty-4=0,即有y1y2=-4,直线AD:y=x,则有D(-1,-),由于-=-=-=y2,故直线BD平行x轴.15.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则消去y,得4x2-(2a-4)x+1=0,设直线y=2x+1与抛物线交于A,B两点,其坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2 =,x1x2=.|AB|=|x1-x2|===.则=,a2-4a-12=0,解得a=-2或a=6.所以y2=-4x或y2=12x.16.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( D )(A)(B) (C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.①因为|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,且|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2. ②由①②得x2=1,所以B(1,2),代入y=k(x+2),得k=.故选D.17.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是( C )(A) (B) (C) (D)名师点拨:设|AF|=a,|BF|=b,由梯形中位线定理知|MN|=,欲求的最大值,只需求出|AB|的最小值.在△ABF中,运用余弦定理和基本不等式即可.解析:设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在△ABF中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos =a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,又因为ab≤()2,所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2,得到|AB|≥(a+b),所以≤=,即的最大值为.故选C.18.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= . 解析:如图, 由AB的斜率为,知∠α=60°,又=,所以M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l 于点P,则∠ABP=60°,所以∠BAP=30°,所以|BP|=|AB|=|BM|.所以M为抛物线C的焦点,即=1,所以p=2.答案:219.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是.解析:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条.当k存在时,x1≠x2,则有·=2,又y1+y2=2y0,所以y0k=2.由CM⊥AB,得k·=-1,即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3,即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x,得y2=12,则有-2<y0<2. 因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,故r2=+4<12+4=16.又+4>4(为保证有4条,在k存在时,y0≠0),所以4<r2<16,即2<r<4. 答案:(2,4)20.已知抛物线C的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,抛物线上的点N到F的距离为2,且N的横坐标为1,过焦点F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线于A,B两点,且与其准线交于点D.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若线段AB的长为8,求直线l的方程;(3)在C上是否存在点M,使得对任意直线l,直线MA,MD,MB的斜率始终满足2k MD=k MA+k MB?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.解:(1)由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),由1+=|NF|=2,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)F(1,0),设直线l方程为y=k(x-1)(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1+x2=.因为|AB|=8,所以+2=8,化为k2=1,又k>0,解得k=1.所以直线l的方程为y=x-1.(3)假设存在M(,t),A(,y1),B(,y2),直线l方程my=x-1(m>0).D(-1,).联立消去x得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.k MD==,k MA==,k MB=.因为满足2k MD=k MA+k MB,所以=+.因为+==,所以=,整理得(t2-4)(m2+1)=0,因为m2+1>0,所以可得t2-4=0,解得t=±2.因此存在M(1,±2)满足2k MD=k MA+k MB.。

第2章2.4.2-1 抛物线简单几何性质(一)

第12页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
思考题 1 (1)抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物
线上的点(－5，2 5)到焦点的距离是 6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－4x
B．y2＝－2x
C．y2＝2x
D．y2＝－4x 或 y2＝36x
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 ∵对称轴是 x 轴，又经过点(－5，2 5)， ∴可设抛物线方程为 y2＝－2px(p＞0)．由题意，得p2－x0＝2p－(－5)＝6，∴p＝2. ∴抛物线方程为 y2＝－4x. 【答案】 A
题型三抛物线定义的运用例 3 如图，已知抛物线方程 y2＝2px(p＞0)， AB 是过焦点 F 的一条弦，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：(1)y1y2＝－p2, x1x2＝p42；
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p (θ 为直线 AB 的倾斜角)； sin2θ
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3.求这个抛物线的方程．
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【思路分析】已知抛物线关于 x 轴对称，同时圆 x2＋y2＝ 4 也关于 x 轴对称，则抛物线与圆的交点关于 x 轴对称，从而易求抛物线上的点，也就可以确定抛物线的方程．
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (4)A，B 在准线上的射影为 C，D，则∠CFD＝90°.
第25页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【思路分析】首先利用韦达定理，然后利用焦半径公式．

2.4.2抛物线的简单几何性质

另解：设直线4 x 3 y m 0与抛物线相切
O
.
F
x
y 2 64x y2 3y m 0 4 x 3 y m 0 16
由 0得 : m 36
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值. 解：设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
从点A、B、P分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1、B1、P，依据 1 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP是梯形AA1BB1的中位线， 1 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
e
c , (0 e 1) a
e
c , (e 1) a
一、抛物线的几何性质
1、范围
y
P(x,y)
由抛物线y2 =2px（p>0）
而
o
F(
2 px y 0 p0
2
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
方程图形
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
范围
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0

2.4.2抛物线的简单几何性质

2.4.2抛物线的简单几何性质
一、学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质；
2.会用抛物线的几何性质解决相关问题；
3.掌握直线与抛物线的位置关系.
学习重点：抛物线的简单几何性质的应用；
学习难点：抛物线的简单几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系；二、导学指导与检测
导学指导
导学检测及课堂展示
阅读教材
7068P P 完成右框内容
一、抛物线的简单几何性质
标准方程
y 2=2px
(p >o)
y 2=−2px (p >o)
x 2=2py (p >o)
x 2=−2py (p >o)
图形
性质
范围对称轴
焦半径 |P 1F |=p
2
+x 1
焦点弦
|P 1P 2|=
p +(x 1+x 2)
顶点
离心率
【即时训练1】课本P72练习第1题.
【即时训练2】已知直线l 的倾斜角为60°，且经过抛物线y 2=6x 的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，求|AB |的值.
1、已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1,−2).求抛物线的标准方程和准线方程.
2、过点M（2,0）作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于A，B两点，求AB.
闯关题：已知抛物线y2=−8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点.。

课件9：2.4.2 抛物线的简单几何性质

1
C.y=2
答案:A
INZHIDAOXUE
y轴
向上
做一做 1
A.y=-
X 新知导学 Z重难探究
1
4
B.y=-
D.y=-1
)
向下
HONGNANTANJIU
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.2.2 抛物线的简单几何性质
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
D当堂检测
得抛物线的标准方程,但注意抛物线的开口方向不确定,需分两种情况考虑.
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
探究四
解:当焦点在 x 轴的正半轴上时,

设方程为 y2=2px(p>0),当 x= 时,y=±p,由 2p=8,得 p=4.
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.2.2 抛物线的简单几何性质
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
1.抛物线的几何性质
y2=2px
类型
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图象
焦 p
p
p
p
F 2 ,0
F - 2 ,0
答案:B
2
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一

2.4.2抛物线的简单几何性质

（4）x2 +8y =0 准线方程
焦点坐标
（ 1）（ 2）（ 3）
（ 5， 0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（ 4）
（0，-2）
y=2
前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有什么区别吗？
分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭
四.离心率：
同样，抛物线上的点M到其焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由定义可知,抛物线的离心率为e=1.
例1：
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M（2，-2 2 ）, 求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点,并且经过点M（2,-2 2）,所以,可以设它的标准方程为 y2=2px（p>0）因为点M在抛物线上，所以（-2 2）2=2p· 2，即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x
3x2-10x+3=0，
M
例3：
如图,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,求证:OA⊥OB.
O
y
●
B
F
x
A
（x-2）2=2x. 证明：将y=x-2代入y2=2x中，得则 y=3± 5 -2=1± 化简得 x2-6x+4=0，解得x=3± 5 ， 5
1+ 5 1因为k OB= ，k OA= 3+ 5 31 + 5 1所以k OB ·k OA= × 3+ 5 3所以OA⊥OB.

高中数学2-4-2抛物线的简单几何性质

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16k2－16k＋4 4k2－4k＋1 ∴4·xB＝，即 xB＝ . k2 k2 4k2＋4k＋1 以－k 代换 xB 中的 k，得 xC＝， 2 k yB－yC ∴kBC＝ xB－xC k（xB－4）＋2－[－k（xC－4）＋2] ＝ xB－xC 8k2＋2 k（xB＋xC－8） k（ k2 －8）＝＝ xB－xC －8k k2 1 ＝－ . 4 所以直线 BC 的斜率为定值．
类型
图象
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续表焦点准线
p F ，0 2 _______ p F－，0 2 ________ p F0， 2 _______
p F0，－ 2 ________
p x＝－ 2 ______
p x＝ 2 ______
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y2＝4x，由得 y2＋2y－2t＝0， y＝－2x＋t
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 Δ＝4＋8t≥0， 1 解得 t≥－ . 2 另一方面，由直线 OA 与直线 l 的距离等于 ∴t＝± 1， 1 1 由于－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)， 2 2 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 y＝－2x＋1. 5 |t| 5 可得＝， 5 5 5
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是定值．
证明设kAB＝k(k≠0)， ∵直线AB，AC的倾斜角互补， ∴kAC＝－k(k≠0)， ∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
y＝k（x－4）＋2，由方程组 2 y ＝x，
消去 y 后，整理得 k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．

2.4.2__抛物线的简单几何性质.ppt

2
探究5 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，O为坐标原点， OA⊥OB，则直线AB是否过定点？求AB中点P的轨迹方程.
2
探究6 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )，M为该抛物线上一定点，且MA⊥MB，则直线AB 是否过定点？
O
N
B1
F B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠, ∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点呢。
提出问题过抛物线 y 2 px 的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为 y1 , y 2 ， 2 求证：y1 y 2 p .（焦点弦的其中一条性质）
y A1 M1 A(x1,y1)
M
O F B(x2,y2) X
B p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 4 1 1 2 ( 3) | AF | | BF | P
2
1
(4) A, O , B1三点共线, B , O , A1三点共线
y
A1 A(x1,y1)
y2=2px(p>0)
M1
M
率为非零常数.
y0
变式1过抛物线 y 2 px ( p 0) 上一定点 P ( x 0 , y0 )( y0 0) ，作两条直线分别交抛物线于 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，若直 p 线AB的斜率为定值，证明直线 y0 PA与PB的倾斜角互补.

2.4.2抛物线的简单几何性质1

其它三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得:
抛物线的几何性质
图形
方程范围对称性顶点离心率
y2 2 px x 0
p 0
x 轴 (0 , 0) e 1
y2 2 px x 0
p 0
x2 2 py
p 0
y0
x 轴 (0 , 0) e 1 y 轴 (0 , 0) e 1
焦点弦
过抛物线的焦点且与抛物线相交的直线，
被抛物线截取的线段叫抛物线的焦点弦.
抛物线 y2 2 px p 0 的焦点弦长公式：
y
设 A x1, y1 , B x2, y2 则
AB AF BF

x1

p 2

x2

p 2
A’
A
O
F
(
p 2
, 0)
B’
B
x
| AB | x1 x2 p
x1 x2 4 2b x1 x2 b2
AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1 x2 2 (4 2b)2 4b2 4
b 1 2
变式2：经过焦点且斜率为1的直线被抛物线y2 2 px( p 0)
所截得的弦长为8，求抛物线方程
解:

（4）抛物线的离心率是确定的，为1．
例1. 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点，
与抛物线交于两点 A、B，求线段 AB的长.
解：由 y2 4x 知：2 p 4， p 2
y
此抛物线的焦点坐标是 F (1，0) . A’
A
直线 AB的方程为：y x 1 .
OF
y2 4x