2.4.2-抛物线的简单几何性质 (1)
2.4.2 抛物线的简单几何性质1
2．4.2 抛物线的简单几何性质整体设计教材分析“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图、例3及其他例题；第二课时主要内容为焦半径公式、例4、例5、例6.第1课时教学目标知识与技能1．抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．过程与方法1．使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出的条件求抛物线的标准方程．2．掌握抛物线的画法．情感、态度与价值观1．培养学生数形结合及方程的思想．2．训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用．重点难点教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用．教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用．教学过程复习引入1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称. 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的14，即2p 4＝p2.不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为±2px、左端为y 2；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为±2py，左端为x 2.(2)开口方向为x 轴(或y 轴)正向时，焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口为x 轴(或y 轴)负向时，焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程右端取负号．讲解新课 唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”．提出问题1：如果测得酒杯口宽4 cm ，杯深8 cm ， 试求酒杯轴截面所在曲线的方程．活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导，再由一名学生板演．解：如图建立平面直角坐标系， 则可知A(－2,8)，B(2,8)． 所以设抛物线的方程为： x 2＝2py(p>0)A 、B 点在抛物线上，代入抛物线方程，可得p ＝ 14，则所求的抛物线方程为：x 2＝12y.提出问题2：这一节我们来研究抛物线的标准方程y 2＝2px(p>0)的几何性质．请同学们思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你应从哪几个方面进行研究？学情预测：学生会给出很多方面，此时教师引导学生观察图象给出性质．1．范围2．对称性3．顶点4．离心率5．通径探索研究活动设计：先由学生合作讨论，再由一、两名学生代表发言，教师适时补充．1．范围学情预测：一般情况下，学生会从图像观察到：x≥0，y∈R.此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：因为p＞0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性学情预测：一般情况下，学生会从图象观察到：关于x轴对称．此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线y2＝2px(p>0)的顶点就是坐标原点．4．离心率活动设计：此处可由教师给出定义．抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e＝1.多媒体给出下表的第1、2行和第1列，由学生得出其他几种形式的方程的几何性质：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离．补充说明：1.抛物线只位于半个平面坐标内，虽然它可以无限延伸但它没有渐近线．因此抛物线不是双曲线的一支．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． 3．抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线． 4．抛物线的离心率是确定的且为1.附：抛物线不存在渐近线的证明．(反证法)假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A(x ，y)为抛物线上的一点， A 0(x ，y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点．如图， 则有y ＝±2px 和y 1＝mx ＋n. ∴ |y 1－y|＝|mx ＋n 2px| ＝|x|²|m＋nx2p x|. 当m≠0时，若x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.当m ＝0时，|y 1－y|＝|n 2px|，当x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线．提出问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？下面我们来看一个例题．在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：(1)y 2＝12x ；(2)y 2＝x ；(3)y 2＝2x ；(4)y 2＝4x.活动设计：由学生自己完成，教师可将学生所画的图象投影展示．学情预测：从图象观察到抛物线标准方程中的p 越大，开口越开阔． 探究问题：在抛物线的标准方程中2p 的几何意义是什么？通径的定义：通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫抛物线的通径．提出问题：由学生求出通径的长度．通径的长度：2p.反思应用1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px，因为它过点M(2，－22)，所以(－22)2＝2p²2，即 p＝2.因此，所求的抛物线方程为y2＝4x.将已知方程变形为y＝±2x，根据y＝2x计算抛物线在x≥0的范围内几个点的坐标，得点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．提出问题：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－22)的抛物线有几条？求出它们的标准方程．活动设计：先由学生独立完成或合作讨论，再由一名学生上黑板板演．学情预测：易得到结果：y2＝4x或x2＝－2y.2若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．解：设抛物线方程为y2＝±2px或者x2＝±2py(p>0)，∵通径长2p＝7，所以所求抛物线方程y2＝±7x或者x2＝±7y.3过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD 、EH 、BC ，垂足为D 、H 、C ，则 |AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH⊥l，因而圆E 和准线l 相切．达标检测 1．抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，则其通径的长为( )A ．－12 B.12 C.14D ．12．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为( )A ．3B ．4C ． 5D ．63．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是____________________．4．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．答案：1.B 2.B 3.y 2＝2(x －1) 4.M(54，±22)，M 到y 轴距离的最小值为54.本课小结 1．抛物线的性质；2．灵活运用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及描点法画图. 布置作业 课本习题2.4A 组4. 补充练习1．过抛物线x ＝ay 2的焦点的一条直线和抛物线交于A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝______________.2．下列说法中，错误的是( ) A ．任何抛物线的离心率都是1B ．在抛物线上所有的点中，顶点到焦点的距离最短C ．过一定点的所有直线中，与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条D ．抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2、B 2，则∠A 2FB 2等于________．4．以椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆的右准线所得的弦长．答案：1.116a2 2.C 3.90° 4.4 5设计说明二次曲线是平面解析几何的主要研究对象，在教学时，注意挖掘它们之间的内在联系和区别，不要孤立地和静止地看待抛物线．因此在研究抛物线的几何性质时采用对比的方法进行教学，让学生对照椭圆、双曲线的几何性质，去探求抛物线的几何性质，在进行对比时，要注意横向和纵向两种对比，也就是既要注意每种曲线内部的对比，同时也要注意几种曲线之间的对比．。
课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
课件1：2.4.2 抛物线的简单几何性质
【自主解答】法一 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p＞0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴2p＝5，∴p＝10. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
法二 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴． ∴设抛物线的方程为 y2＝mx(m≠0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴|m4 |＝5，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛
物线的哪些几何性质？ 【提示】范围、对称性、顶点、离心率．
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
y 0, y R y 0, y R
x轴
y轴
(0,0) 1
(2)当 k＜1，且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； (3)当 k＞1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
规律方法 判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程 与抛物线的方程联立，整理成关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，利用判别式解决． Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离． (2)当 a＝0 时，方程只有一解 x＝－bc，这时直线与抛物线的对 称轴平行或重合．
双曲线的渐近线方程为 3x－y＝0 或 3x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离 d1＝
| 3×1－0| 3 2＋ －1
2＝ 23或 d2
＝
|
3×31＋2＋0| 12＝
3 2.
【答案】 B
题型二：直线与抛物线的位置关系的判断
数学课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质
∴y421p·y222＋y1·y2＝0， ∴b2＋2pb＝0， ∴b＋2p＝0，∴b＝－2p. ∴y1·y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2. ∴A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和－4p2. (2)AB 方程为 my＝x－2p，∴AB 过定点(2p,0)．
解决抛物线中定点、定值问题的方法 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问 题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题 的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、 事半功倍的效果．
解析：抛物线的焦点F
p2，0
，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－
p 2
，即
x＝y＋
p 2
，将其代入得：y2＝2px＝2p
y＋p2
＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所
以y1＋2 y2＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：x＝－1
探究一 抛物线性质的应用
[典例1]
直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与 抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件， 利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
2．已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰 被M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．
2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合 重点：抛物线的图形和简
问题．
单几何性质．
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
2.4.2抛物线的简单几何性质(1)
p 2
y0
p y1 y2
关于y轴对称
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
例2.抛物线的顶点在原点，准线与其平行线 x = 2 的距离为3,求抛物线的方程.
引申1：抛物线的顶点是椭圆16x2+9y2=144的 中心,而焦点是椭圆的顶点,求抛物线的方程.
引申2: 以x = - 3 为准线,F(5,0)为焦点的抛 物线的方程.
引申3: 以 y 轴为准线,F(3,3)为焦点的抛物 线的方程.
例3.已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的
直线交抛物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
求证 : (1)x1x2为定值. (2) 1 1 为定值.
|FA | | FB |
(3)若直线AB的倾斜角为
,则
2
2
y
F O
y
OF
x2 = 2py
（p>0）
x l
F (0, p ) y p
2
2
l
x2 = -2py
x（p>0）
F (0, p ) 2
y p 2
范围
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
y≥0 x∈R
y≤0 x∈R
顶点
(0,0)
对称轴 e
x轴 1
y轴
方程 图形 范围
y2 = 2px （p＞0）
y
l
y2 = -2px （p＞0）
2.4.2抛物线的简单几何性质 (一)
问题： 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为 可以讨论抛物线的哪些几何性质？
类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形, 探索其的几何性质:
§2.4.2_抛物线的简单几何性质(1)
1.已知M为抛物线 y2 4x上一动点，F为抛物线的焦点，
定点P(3,1),则 MP MF 的最小值为（B ）(A)3(B)4
(C)5
(D)6
N
M
. .
..
M P
F (1,0)
x3
A A`
OF
解这题,你有什么方法呢?
B` B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
解
由题意可知,
p
2,
p 2
1,
y A
A`
焦点F1,0,准线l : x 1.如
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
（二）归纳：抛物线的几何性质
图形
方程
焦点
准线
范围
顶 点
对称 轴
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≥0 y∈R
由已知得抛物线的焦点为F1,0,所以直线 AB 的 方程为 y x 1. 1
将 1 代入 y2 2x , 得 x 12 4x.
y A
A`
OF
化简得 x2 6x 1 0.
课件5：2.4.2 抛物线的简单几何性质
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点P的坐标为( )
A．(14，±
F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
→ FP
＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
[答案] D
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准
线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交
点为G，因为
→ FP
＝4
→ FQ
，则点Q是PF的三等分点，由于三角形
5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线 上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．
[答案] a≥1 [解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以 及恒成立问题，不妨设A( a，a)，B(－ a，a)，C(x0，x20)，则 C→B＝(－ a－x0，a－x20)，C→A＝( a－x0，a－x20)， ∵∠ACB＝90°. ∴C→A·C→B＝( a－x0，a－x20)·(－ a－x0，a－x20)＝0. ∴x20－a＋(a－x20)2＝0，∵x20－a≠0. ∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0. ∴x20＝a－1，又x20≥0.∴a≥1.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
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课堂讲义
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综上，我们可得
2.4.2
抛物线的简单几何性质
1 当 k＝－1，或 k＝ ，或 k＝0 时，直线 l 与抛物线只有一 2 个公共点； 1 当－1<k< ，且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点； 2 1 当 k<－1，或 k> 时，直线 l 与抛物线没有公共点． 2 规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
3．直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 的解的个数．当k≠0 于x的方程_____________________
时，若Δ >0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
x2 y2 跟踪演练 1 已知双曲线方程是 － ＝1，求以双曲线的右 8 9 顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
x2 y2 解 因为双曲线 － ＝1 的右顶点坐标为(2 2，0)， 8 9 p 所以 ＝2 2，且抛物线的焦点在 x 轴正半轴上，所以， 2 所求抛物线方程为 y2＝8 2x， 其准线方程为 x＝－2 2.
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始 终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点， 抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的 交点和焦点关于抛物线的顶点对称． (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义 的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
y1－ y2 6 ∵ y1＋y2＝2，∴ k＝ ＝ ＝3， x1－ x2 y1＋y2 ∴直线的方程为 y－ 1＝ 3(x－4)，即 3x－ y－11＝0.
2 y ＝ 6x， 由 得 y2－ 2y－ 22＝ 0， y＝ 3x－ 11，
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知 p p |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ 2 2 ＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以 x1＋x2＝6，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3， 3 又准线方程是 x＝－ ， 2 3 9 所以 M 到准线的距离等于 3＋ ＝ . 2 2
2 y ＝ 4 x ， 则 ⇒4x2－4x－m＝0. y＝ 4x＋ m
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[预习导引] 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2 ＝ 2px(p>0)
2.4.2
抛物线的简单几何性质
y2 ＝ x2＝ －2px(p>0) 2py(p>0)
x2＝ －2py(p>0)
图形
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
范 x≥0， ∈R x ≥0 x∈R，y ≤0，∈R x∈R，y ≤0 ________y _____y ____ ____ 围
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦) 长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 ( )
A．y2＝8x
C．y2＝8x或y2＝－8x 答案 解析 C
B．y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.
短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物 线的方程及抛物线的准线方程． x2 y2 解 椭圆的方程可化为 ＋ ＝1， 4 9 其短轴在 x 轴上， ∴抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p>0)． p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 ＝3， 2 ∴p＝6.
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
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跟踪演练2
2.4.2
抛物线的简单几何性质
已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物
线相交于A、B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
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要点二 例2 抛物线的焦点弦问题
2.4.2
抛物线的简单几何性质
已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰
好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设直线上任意一点坐标为(x， y)， 弦两端点 P1(x1， y1)， P2(x2，y2)． ∵ P1，P2 在抛物线上，∴y12＝ 6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋ y2)(y1－ y2)＝ 6(x1－ x2)．
对 称 性 轴 质 顶 点 离 心 率
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Байду номын сангаас
x轴
x轴
(0，0) e＝ 1
y轴
y轴
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
2.焦点弦 直线过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1， p y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋ ，|BF| 2 p x1＋x2＋p ． ＝x2＋ ，故|AB|＝____________ 2
y－1＝k（x＋2）， 由方程组 2 (*) y ＝4x，
可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. (1)当 k＝0 时，由方程①得 y＝1. 1 把 y＝1 代入 y2＝4x，得 x＝ . 4 1 这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点( ，1)． 4
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①
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
yB－yC k（xB－4）＋2－[－k（xC－4）＋2] ∴kBC＝ ＝ xB－xC xB－xC 8k2＋2 k（xB＋xC－8） k（ k2 －8） 1 ＝ ＝ ＝－ . 4 xB－xC －8k k2 所以直线 BC 的斜率为定值.
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预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版
2.4.2
抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
[学习目标] 1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何 性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
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Δ ＝0时，直线与抛物线有___ 一个公共点；当Δ<0时，直线
没有 公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称 与抛物线_____
平行或重合，此时直线与抛物线有___ 轴__________ 一 个公共点．
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
要点一
抛物线的几何性质
例1
抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距 离，则点P的坐标为
1 2 A．( ，± ) 4 4 1 2 C．( ， ) 4 4 答案 B 1 2 B．( ，± ) 8 4 1 2 D．( ， ) 8 4
(
)
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
3．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点
坐标为
A．(1，2) 答案 C B．(0，0) 1 C．( ，1) 2
(
D．(1，4)
)
解析 因为 y＝4x2 与 y＝4x－5 不相交，设与 y＝4x－5 平行的直线方程为 y＝4x＋m.
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2
y＝ k（ x－ 4）＋ 2， 由方程组 2 y ＝ x，
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
消去 y 后，整理得 k2x2＋(－ 8k2＋4k－ 1)x＋ 16k2－ 16k＋4＝ 0. ∵ A(4， 2)， B(xB， yB)是上述方程组的解． 16k2－ 16k＋ 4 4k2－ 4k＋ 1 ∴ 4· xB＝ ，即 xB＝ . k2 k2 以－ k 代换 xB 中的 k， 4k2＋ 4k＋ 1 得 xC＝ ， k2
物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在
和得到的方程二次项系数为0的情况．
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跟踪演练3
2.4.2
抛物线的简单几何性质
如图，过抛物线y2＝x上一点
A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC 交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜 率是定值． 证明 设kAB＝k(k≠0)， ∵直线AB，AC的倾斜角互补， ∴kAC＝－k(k≠0)，