2.4.2-抛物线的简单几何性质 (1)

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2.4.2
抛物线的简单几何性质
类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2
＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程 验证？
答案
(1)范围：x≥0，y∈R；
(2)对称性：抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称； (3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点； (4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距 离的比叫抛物线的离心率．用e表示，由定义可知e＝1.
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抛物线的简单几何性质
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦) 长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 ( )
A．y2＝8x
C．y2＝8x或y2＝－8x 答案 解析 C
B．y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
解析
由题意知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的 1 距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F( ， 0)， 4 1 2 所以 P 点的横坐标为 ， 代入抛物线方程得 y＝± ， 故点 P 8 4 1 2 的坐标为( ，± )，故选 B. 8 4
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2
y＝ k（ x－ 4）＋ 2， 由方程组 2 y ＝ x，
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抛物线的简单几何性质
消去 y 后，整理得 k2x2＋(－ 8k2＋4k－ 1)x＋ 16k2－ 16k＋4＝ 0. ∵ A(4， 2)， B(xB， yB)是上述方程组的解． 16k2－ 16k＋ 4 4k2－ 4k＋ 1 ∴ 4· xB＝ ，即 xB＝ . k2 k2 以－ k 代换 xB 中的 k， 4k2＋ 4k＋ 1 得 xC＝ ， k2
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抛物线的简单几何性质
1 于是，当－ 1<k< ，且 k≠ 0 时，方程①有两个解，从而方 2 程组 (*)有两个解．这时，直线 l 与抛物线有两个公共点． 3°由 Δ<0，即 2k2＋ k－ 1>0， 1 解得 k<－ 1，或 k> . 2 1 于是，当 k<－ 1，或 k> 时，方程①没有实数解，从而方程 2 组 (*)没有解．这时，直线 l 与抛物线没有公共点．
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抛物线的简单几何性质
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知 p p |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ 2 2 ＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以 x1＋x2＝6，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3， 3 又准线方程是 x＝－ ， 2 3 9 所以 M 到准线的距离等于 3＋ ＝ . 2 2
短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物 线的方程及抛物线的准线方程． x2 y2 解 椭圆的方程可化为 ＋ ＝1， 4 9 其短轴在 x 轴上， ∴抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p>0)． p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 ＝3， 2 ∴p＝6.
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22. 1 2 2 230 ∴|P1P2|＝ 1＋ 2 －4×（－22）＝ . 9 3
规律方法
(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定
义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标 问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2.4.2
抛物线的简单几何性质
(2)当 k≠ 0 时，方程① 的判别式为 Δ＝－16(2k2＋ k－ 1)． 1°由 Δ＝ 0，即 2k2＋ k－ 1＝ 0， 1 解得 k＝－ 1，或 k＝ . 2 1 于是，当 k＝－ 1，或 k＝ 时，方程 ①只有一个解，从而方 2 程组 (*)只有一个解．这时，直线 l 与抛物线只有一个公共 点． 2°由 Δ>0，得 2k2＋ k－ 1<0， 1 解得－ 1<k< . 2
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要点二 例2 抛物线的焦点弦问题
2.4.2
抛物线的简单几何性质
已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰
好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设直线上任意一点坐标为(x， y)， 弦两端点 P1(x1， y1)， P2(x2，y2)． ∵ P1，P2 在抛物线上，∴y12＝ 6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋ y2)(y1－ y2)＝ 6(x1－ x2)．
物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在
和得到的方程二次项系数为0的情况．
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跟踪演练3
2.4.2
抛物线的简单几何性质
如图，过抛物线y2＝x上一点
A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC 交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜 率是定值． 证明 设kAB＝k(k≠0)， ∵直线AB，AC的倾斜角互补， ∴kAC＝－k(k≠0)，
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抛物线的简单几何性质
yB－yC k（xB－4）＋2－[－k（xC－4）＋2] ∴kBC＝ ＝ xB－xC xB－xC 8k2＋2 k（xB＋xC－8） k（ k2 －8） 1 ＝ ＝ ＝－ . 4 xB－xC －8k k2 所以直线 BC 的斜率为定值.
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始 终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点， 抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的 交点和焦点关于抛物线的顶点对称． (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义 的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
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综上，我们可得
2.4.2
抛物线的简单几何性质
1 当 k＝－1，或 k＝ ，或 k＝0 时，直线 l 与抛物线只有一 2 个公共点； 1 当－1<k< ，且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点； 2 1 当 k<－1，或 k> 时，直线 l 与抛物线没有公共点． 2 规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛
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抛物线的简单几何性质
3．直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 的解的个数．当k≠0 于x的方程_____________________
时，若Δ >0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当
Δ ＝0时，直线与抛物线有___ 一个公共点；当Δ<0时，直线
没有 公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称 与抛物线_____
平行或重合，此时直线与抛物线有___ 轴__________ 一 个公共点．
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
要点一
抛物线的几何性质
例1
抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36
y1－ y2 6 ∵ y1＋y2＝2，∴ k＝ ＝ ＝3， x1－ x2 y1＋y2 ∴直线的方程为 y－ 1＝ 3(x－4)，即 3x－ y－11＝0.
2 y ＝ 6x， 由 得 y2－ 2y－ 22＝ 0， y＝ 3x－ 11，
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抛物线的简单几何性质
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距 离，则点P的坐标为
1 2 A．( ，± ) 4 4 1 2 C．( ， ) 4 4 答案 B 1 2 B．( ，± ) 8 4 1 2 D．( ， ) 8 4
(
)
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2 y ＝ 4 x ， 则 ⇒4x2－4x－m＝0. y＝ 4x＋ m
对 称 性 轴 质 顶 点 离 心 率
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x轴
x轴
(0，0) e＝ 1
y轴
y轴
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抛物线的简单几何性质
2.焦点弦 直线过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1， p y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋ ，|BF| 2 p x1＋x2＋p ． ＝x2＋ ，故|AB|＝____________ 2
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抛物线的简单几何性质
3．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点
坐标为
A．(1，2) 答案 C B．(0，0) 1 C．( ，1) 2
(
D．(1，4)
)
解析 因为 y＝4x2 与 y＝4x－5 不相交，设与 y＝4x－5 平行的直线方程为 y＝4x＋m.
预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版
2.4.2
抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质
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抛物线的简单几何性质
[学习目标] 1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何 性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
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[预习导引] 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2 ＝ 2px(p>0)
2.4.2
抛物线的简单几何性质
y2 ＝ x2＝ －2px(p>0) 2py(p>0)
x2＝ －2py(p>0)
图形
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抛物线的简单几何性质
范 x≥0， ∈R x ≥0 x∈R，y ≤0，∈R x∈R，y ≤0 ________y _____y ____ ____ 围
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
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跟踪演练2
2.4.2
抛物线的简单几何性质
已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物
线相交于A、B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率 k＝tan 60°＝ 3， 3 又 F( ，0)． 2
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抛物线的简单几何性质
3 所以直线 l 的方程为 y＝ 3(x－ )． 2 2 y ＝ 6x， 联立 3 y＝ 3（ x－2） 9 消去 y 得 x2－ 5x＋ ＝ 0. 4 若设 A(x1， y1)， B(x2， y2)．则 x1＋ x2＝ 5， p p 而 |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ x1＋ ＋ x2＋ ＝ x1＋ x2＋ p. 2 2 ∴ |AB|＝ 5＋ 3＝ 8.
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要点三 例3
2.4.2
抛物线的简单几何性质
直线与抛物线的位置关系
已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，
斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公
共点；有两个公共点；没有公共点？
解 由题意，设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)．
y－1＝k（x＋2）， 由方程组 2 (*) y ＝4x，
可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. (1)当 k＝0 时，由方程①得 y＝1. 1 把 y＝1 代入 y2＝4x，得 x＝ . 4 1 这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点( ，1)． 4
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①
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
x2 y2 跟踪演练 1 已知双曲线方程是 － ＝1，求以双曲线的右 8 9 顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
x2 y2 解 因为双曲线 － ＝1 的右顶点坐标为(2 2，0)， 8 9 p 所以 ＝2 2，且抛物线的焦点在 x 轴正半轴上，所以， 2 所求抛物线方程为 y2＝8 2x， 其准线方程为 x＝－2 2.