【精品】2020年中考数学总复习专题讲义★☆第九讲 因式分解 (添拆项与最值)
初三数学讲义 因式分解
初三数学讲义——因式分解【提公因式法】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的；（4）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a 2+1/2变成2(a 2+1/4)不叫提公因式例1、把下列格式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2、已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
变式1、分解因式：（1）mn n m n m 21242332-+-（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222变式2、证明：812797913--能被45整除。
【公式法】平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a 2±2ab＋b 2＝(a±b) 2；【注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
】立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)；完全立方公式：a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3=(a±b) 3．欧拉公式：a 3+b 3+c 3+3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=例如：a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
中考数学专题讲义第九讲 因式分解 (添拆项与最值)
2
（3）十字相乘法;对于二次三项式
x2
Px
q
，若能找到两个数
a
、
b
，使
a a
b p, b q,
则就有 x2 Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
注;若 q 为正，则 a，b 同号；若 q 为负，则 a，b 异号；
立方和差公式;
典型例题;
例 1（1）计算 29982+2998×4+4=
（3）x5+x+1；
（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4； （4）x3+5x2+3x﹣9；
（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2；
（6）﹣2x5n﹣1yn+4x3n﹣1yn+2﹣2xn﹣1yn+4；
（7）x3﹣8y3﹣z3﹣6xyz；
（8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣2ab；
值，是
；﹣x2+3x 有最
值，是
例 5 题目;分解因式;x2﹣120x+3456． 分析;由于常数项数值较大，则常采用将 x2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样 简便易行．
（1）x2﹣140x+4875
（2）4x2﹣4x﹣575．
三、强化训练;
1、已知 x+y=6，xy=4，则 x2y+xy2 的值为
.
2、分解因式; (2a-b)2-(a +b)2
-3ma3+6ma2-3ma
a2(m-n)+b2(n-m)
m 4 16n 4
（8）16a 4 72a 2b 2 81b 4
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
中考数学常考的知识点：因式分解
中考数学常考的知识点：因式分解（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
2020版中考数学一轮复习人教版 课件：因式分解
【解析】 原式＝－12(a2－4a＋4)＝－12(a－2)2.
11．(2019·淄博)分解因式：x3＋5x2＋6x＝ x(x＋3)(x＋2) ． 【解析】 x3＋5x2＋6x＝x(x2＋5x＋6)＝x(x＋3)(x＋2)． 12．分解因式：x2－2x＋(x－2)＝ (x＋1)(x－2) ． 【解析】 原式＝x(x－2)＋(x－2)＝(x＋1)(x－2)． 13．(2018·齐齐哈尔)分解因式：6(a－b)2＋3(a－b)． 解：6(a－b)2＋3(a－b) ＝3(a－b)[2(a－b)＋1] ＝3(a－b)(2a－2b＋1)．
【解析】 am2－9a＝a(m2－9)＝a(m＋3)(m－3)． 7．(2019·安徽芜湖二模)分解因式a3－6a2＋9a＝ a(a－3)2 . 【解析】 a3－6a2＋9a＝a(a2－6a＋9)＝a(a－3)2. 8．(2018·杭州)分解因式：(a－b)2－(b－a)＝ (a－b)(a－b＋1) ．
＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4 ＝5n2＋10 ＝5(n2＋2)． ∵n是整数， ∴n2＋2是整数， ∴五个连续整数的平方和是5的倍数．
18．(2018·临安区)阅读下列题目的解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形 状． 解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，( ① ) ∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，( ② ) ∴c2＝a2＋b2，( ③ ) ∴△ABC是直角三角形．
【解析】 先利用因式分解得到原式＝(4x2－y2)(x2－y2＋3x2)＝(4x2－y2)2，再把y ＝kx代入得到原式＝(4x2－k2x2)2＝(4－k2)2x4，所以当4－k2＝±1时满足条件，然 后解关于k的方程即可．
2020年中考数学复习课件：因式分解(共19张PPT)
二 3.要将多项式分解到不能再分解为止
考点训练 考点4 因式分解的应用
1.计算：29×20.2＋72×20.2＋13×20.2－20.2×14.
(1) 29×20.2＋72×20.2＋13×20.2－20.2×14
＝ 20.2×(29＋72＋13－14)
3x(x 4) 3x2 12x
因式分解： x2 9= (x 3)(x 3)
3x2 12x 3x(x 4)
考点训练 考点1 认识因式分解
1.判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：
(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a
不是
(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10 (3)x2-6x+9=(x-3)2 (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2
知识梳理 考点3 公式法因式分解
完全平方公式：a2+2ab+b2=( a+b )2 a2 -2ab+b2=( a-b )2
★多项式的特征：(1)三项；(2)有两项符号相__同___,能写成整式的
_平__方__和___的形式；(3)另一项是这两整式的乘__积____的__2__倍.
平方差公式 ：a2－b2＝ (a＋b)(a－b) ；
考点训练 考点4 因式分解的应用
3. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值．
2
2
1
1
1
解：2 a3b＋a2b2＋ 2 ab3＝ 2 ab(a2＋2ab＋b2)
＝ 1 ab(a＋b)2. 2
当a＋b＝5，ab＝10时，
原式＝ 1×10×52＝125. 2
因式分解经典讲义(精)
第二章 分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。
3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。
（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。
（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。
4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用 【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--解析：（1）题先提一个“-”号，再提公因式2m ；（2）题的公因式为y z +；（3）题的公因式为()x x y +； （4）题的公因式为78a b -。
答案：（1）22(2813)m m m --+； （2）()(23)y z x +-；（3）2()xy x y -+； （4）22(78)a b -。
因式分解技巧——拆项与添项
因式分解技巧——拆项与添项拆开中项前⾯说过，在分组分解时，常常将项数平均分配。
但是如果式⼦只有三项怎么办？⽅法是将⼀项拆为两项。
如果这个整式是按某⼀字母的升幂或降幂排列的，那么以拆开中项为宜。
分解因式x4−4x+3.拆项x4−x−3x+3分组(x4−x)−(3x−3)分解x(x−1)(x2+x+1)−3(x−1)提项 $$(x-1)(x3+x2+x-3)$$皆⼤欢喜拆项是为了在适当分组后可以进⾏“提”或“代”，⽽拆开中项只是⼀种途径，不必⾮得如此。
对于因式a3+3a2+3a+b3+3b2+3b+2，我们可以看到前⾯三项很接近完全⽴⽅，四五六项也很接近完全⽴⽅。
如果把 2 拆成1+1，那就皆⼤欢喜了。
拆项：$$(a3+3a2+3a+1)+(b3+3b2+3b+1)完全⽴⽅公式(a+1)3+(b+1)3⽴⽅之和(a+b+2)(a2-ab+b2+a+b+1)$$旧事重提对于⾥的 (1) 式我们还可以证明如下：分解因式：a4+a2b2+b4⾸先，注意到式⼦与完全平⽅很像，因此会想到如下的拆项： $$(a4+2a2b2+b4)-a2b2接下来再利⽤平⽅差：(a2+b2)2-(ab)2=(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)$$我们可以看到，这个⽅法⽐之前的要简单⾃然⼀些。
⽆中⽣有——⼀个数论应⽤在m, n都是⼤于 1 的整数时，m4+4n4是合数。
与这两项最接近的就是完全平⽅了，因此不妨添项，即“⽆中⽣有”（0=4m2n2−4m2n2）：(m4+4m2n2+4n4)−4m2n2=(m2+2n2)2−(2mn)2再来平⽅差 $$(m2+2n2+2mn)(m2+2n2-2mn).$$此时，两因数中较⼩的那个m2+2n2−2mn=(m−n)2+n2≥n2>1,因此两数都是真因数。
Processing math: 100%。
2020年中考数学复习专题02 整式及因式分解全面复习系列讲座
1.写答案前,需先写“解:”; 2.按“先化简,再求值”的要求解题, 千万不要把字母的值直接代入原式中 ; 3.化简结果应为最简形式; 4.按整式化简的顺序一步一步化简, 抓住能得分的解题步骤,切勿因跳步 而失分.
中考真题汇编
1．(2019·安徽)计算a3·(－a)的结果是
A．a2
B．－a2
( D)
(2)多项式为四项及以上时,通常需先分组,分组后再利用提公因式法或公式 法进行分解.
考点
因式分解
考点1 考点2 考点3 考点4
因式分解未分解到底 例:a4-1=(a2+1)(a2-1). 错因分析:(a2-1)没有分解! 正解:原式=(a2+1)(a2-1)=(a2+1)(a+1)(a-1).
方法
( C)
)
B
7.[2019·株洲]下列各式中，与 3x2y3 是同类项的是( C )
A．2x5
B．3x3y2
C．－12x2y3
D．－13y5
8．[2019·绵阳]单项式 x－|a－1|y 与 2x b－1y 是同类项，则 ab＝_1_________．
【解析】 由题意知－|a－1|＝ b－1≥0，∴a＝1，b＝1，则 ab＝11＝1. 思维升华 (1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二，相同字母 的指数也相同；(2)根据同类项的概念列方程(组)是解此类题的一般方法．
方法
命题角度 4 数式规律
按照以上规律,解决下列问题.
(1)写出第5个等式:
.
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示
,n为正整数),并证明.
方法
命题角度 4 数式规律
规律探索题的解题方法 规律探索题通常给出一组数字、代数式、等式、不等式或图形, 要求学生通过观察、分析、猜想来探索规律,体现了从特殊到一 般的数学思想. 解题方法: (1)标序号; (2)分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样 变”,应结合各式或图形的序号进行前后对比分析; (3)根据各式或图形中的“变”与“不变”写出符合规律的式子. 注意:发现各式或图形与对应序号之间的关系是找出规律的关键.
2020年中考数学专题复习讲义(第一章第三讲因式分解)
第一章数与式第三讲因式分解【基础知识回顾】1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(cbaacab+=+（2）运用公式法：))((22bababa-+=-222)(2bababa+=++222)(2bababa-=+-（3）分组分解法：))(()()(dcbadcbdcabdbcadac++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2qapapqaqpa++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【重点考点例析】例2 （2019•无锡）分解因式：2x2-4x= ．例3 （2019•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）例4 （2019•湖州）因式分解：mx2-my2．考点三：因式分解的应用例5 （2019•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．。
2020年中考数学考点梳理：因式分解和统计初步
整式和因式分解[知识要点]1.代数式2.整式（1）同类项：所含字母相同，且相同字母的次数也相同的项叫同类项。
（2）添括号，去括号法则（3）指数运算3.因式分解（1）定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解。
（2）因式分解方法：1）提公因式法 2）公式法 3）十字相乘法 4）分组分解法分式[知识要点]1.分式（1）定义：分母中含有字母的式子。
（2）分式有意义的条件：分母≠0（3）分式值=0的条件：分子=0且分母≠02.分式的性质（1）基本性质：（2）变号法则：分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
3.分式运算：加、减、乘、除、乘方、开方统计初步知识点：一、总体和样本：在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。
从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。
二、反映数据集中趋势的特征数1、平均数（1）n x x x x ,,,,321 的平均数，)(121n x x x nx （2）加权平均数：如果n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，……，k x 出现k f 次（这里n f f f k 21），则)(12211k k f x f x f x nx（3）平均数的简化计算：当一组数据n x x x x ,,,,321 中各数据的数值较大，并且都与常数a 接近时，设a x a x a x a x n ,,,,321 的平均数为'x 则：a x x '。
2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。
3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
一组数据的众数可能不止一个。
三、反映数据波动大小的特征数：1、方差：（l ）n x x x x ,,,,321 的方差， n x x x x x x S n 222212)()()( （2）简化计算公式：2222212x n x x x S n （n x x x x ,,,,321 为较小的整数时用这个公式要比较方便）（3）记n x x x x ,,,,321 的方差为2S ，设a 为常数，a x a x a x a x n ,,,,321 的方差为2`S ，则2S =2`S 。
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【精品】2020年中考数学总复习专题讲义★☆
第八讲 因式分解（添拆项与最值）
知识点回顾：
1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。
2、因式分解的方法：
（1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式：
()()b a b a b a -+=-2
2
；
完全平方公式：2
2
2b ab a ++=()2
b a +和)(b a b ab a -=
+-2
2
2
2
（3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,
,a b p a b q +=⎧⎨⋅=⎩
则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题：
例1（1）计算 29982
+2998×4+4= 。
（2）若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。
例2：分解因式：
2
2
288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x )
例3：已知a –b = 1 ，2522=+b a 求ab 和a+b 的值。
例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2
+3x 有最 值，是
例5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456．
分析：由于常数项数值较大，则常采用将x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．
（1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575．
三、强化训练：
1、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2
的值为 .
2、分解因式：
(2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2
(n -m )
4416n m - （8）4224817216b b a a +-
4、已知：a=2999，b=2995，求655222-+-+-b a b ab a 的值。
5、利用因式分解计算
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-2222211......511411311211n
6、已知a 为任意整数，且()2
2
13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。
7、已知x(x-1)-(y x -2
)=-2,
xy y x -+2
2
2的值。
8、把下列各式分解因式：
（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；
（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2；（6）﹣2x5n﹣1y n+4x3n﹣1y n+2﹣2x n﹣1y n+4；（7）x3﹣8y3﹣z3﹣6xyz；（8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣2ab；（9）a5﹣a3b2+a2b3﹣b5；（10）6x4+7x3﹣36x2﹣7x+6．
9、计算
．
10、已知整数a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值．
11、已知2008=，其中x，y为正整数，求x+y的最大值和最小值．
12、阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2
=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请用上述方法求出x2﹣4xy+3y2=0（满足xy≠0，且x≠y）中y与x的关系式．
（2）利用上述关系式求的值．
13、对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．
小红是这样想的：在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
参考小红思考问题的方法，完成下列问题．
（1）利用“配方法”对整式a2﹣6a+8进行因式分解；
（2）利用“配方法”求出x2﹣2x﹣3的最小值．。