勾股定理的应用举例

关于勾股定理的八大应用

关于勾股定理的八大应用
对于勾股定理的八大应用，具体如下：
1)判断是否超速：利用勾股定理可以判断司机是否超速。

2)求旗杆高度：利用勾股定理可以求旗杆高度。

3)折叠问题：利用勾股定理可以解决折叠问题，例如折叠矩形
纸张的问题。

4)求树高：利用勾股定理可以求树的高度。

5)求梯子最省力的位置：利用勾股定理可以求梯子最省力的位
置。

6)求面积问题：利用勾股定理可以解决一些求面积的问题。

7)求台风问题：利用勾股定理可以解决台风问题，例如台风眼
里是否有平地的问题。

8)九章算术问题：利用勾股定理可以解决九章算术中的一些问
题。

勾股定理的应用

勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。

它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。

本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。

一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。

举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。

此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。

二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。

通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。

三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。

通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。

四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。

天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。

五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。

图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。

综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。

它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。

通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。

因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。

勾股定理的应用举例解析

勾股定理的应用举例解析勾股定理是数学中的重要理论之一，在几何学和三角学中被广泛应用。

它描述了直角三角形中三条边之间的关系，为解决实际问题提供了极大的便利。

本文将通过几个实际应用的举例，解析勾股定理的实际运用。

1. 建筑工程中的勾股定理应用在建筑工程中，勾股定理被广泛应用于测量和规划。

例如，在测量建筑物的高度时，可以利用勾股定理计算出斜线的长度。

假设一个建筑物的高度为H，倾斜角度为α，底边长度为B，利用勾股定理可以得到H = B*sin(α)。

这样，只需知道倾斜角度和底边长度，就可以准确计算出建筑物的高度。

2. 航海中的勾股定理应用勾股定理在航海中也有重要的应用。

船只在海上航行时，需要准确计算自身位置与目标位置之间的距离和角度。

利用勾股定理，可以计算出船只与目标位置之间的直线距离。

假设目标位置的经度差为ΔX，纬度差为ΔY，利用勾股定理得到直线距离D = sqrt(ΔX^2 + ΔY^2)。

这样，船只就能够通过测量经度和纬度差值，准确计算目标位置与自身位置之间的距离。

3. 三角测量中的勾股定理应用勾股定理在测绘和地质勘探中也被广泛应用。

利用勾股定理，测量人员可以测量出无法直接测量的距离或高度。

例如，在地质勘探中，地质学家需要计算地底下某一点的深度。

利用勾股定理，可以通过测量该点到地表的水平距离和相应的倾斜角度，推导出该点的深度。

这种方法在勘探油田或挖掘矿产时尤为重要。

4. 制作家具中的勾股定理应用在制作家具时，尤其是角柜、书架等有直角的家具中，勾股定理被用于角度的计算和木材的裁剪。

制作家具时，木材需按指定的尺寸剪切，而角度的计算是关键。

利用勾股定理，木匠可以准确计算出所需的角度，从而在裁剪木材时确保精确度和质量。

综上所述，勾股定理在实际应用中发挥了重要的作用。

无论是建筑工程、航海、测绘还是制作家具，勾股定理都为解决问题提供了可靠的数学基础。

通过理解和运用勾股定理，我们能够更好地解决生活和工作中的实际问题，提高我们的实践能力和数学素质。

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量矢系，可以解决许多与直角三角形有矢的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计）,要求木条不能露出木箱,请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A、41cmB、34cmC、50cmD、75cm分析：图中BD为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD是RtABCD的斜边，BD是RtA BCD的斜边，根据已知条件可以求出BC的长，从而可求出BD的长。

解：在RtAABC中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC= AB2 AC2 = 41，在Rt/\BCD 中，CD=3 , BC= 41 、22BD= BC2 CD2 = 50。

所以选C。

说明：本题的矢键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口咫1cm的点F出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？图2 图3分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S、F两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：IB1出圆柱体的侧面展开图?如图3，由题意、得SB=60m2=30 (cm )，FB=18—1—1=16 ( cm)，在Rt/\SBF 中，ZSBF=90°，由勾股定理得，SF= SB2 FB 2 = 302 162 =34 ( cm)，所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。

勾股定理在生活中的应用

勾股定理在生活中的应用
勾股定理又称勾股论，即毕达哥拉斯设计的一个无理定理：“任意三角形的两边之积等于另外一边的平方之和”。

这个定理具有广泛的应用：
1、勾股定理在日常生活中可以用来确定三角形各边之间的关系：例如可以判断其中一边是不是一个倍数关系或者一个反比例关系。

通过建立对应方程，容易得到三角形三边的数值，作为三角形的参数。

2、也可以依据勾股定理来测量距离。

例如，构建一个直角三角形，让其一条边固定为一个值，我们使用两个斜边长度表示其他边的长度。

可以用i中国的三角测量法来求得某个距离的长度。

3、另外可以用勾股定理判断特殊的三角形。

例如可以判断一个三角形是不是等腰三角形、等边三角形或是直角三角形，只需要判断两边之积是否等于另外一边的平方之和。

4、勾股定理在空间中也有极大的作用，尤其是研究四面体或是更高维度的几何图形时。

例如可以用它来判断四面体的面面角是否都相等，以及求出该四面体的各个角。

另外还可以用它来求棱锥的体积、双曲线的起始点和极点等。

5 、另外勾股定理在物理学中也有广泛的应用，比如可以分析绳子长度或梯形长宽间的关系等。

总之，勾股定理由其卓越的简洁得到广泛应用，从日常生活到飞空实验都能发挥着无穷的作用，它被越来越多的人向科学家们赞美。

勾股定理的应用的例子

勾股定理的应用的例子：
一、圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个矩形，圆柱上两点之间最短距离的求法，是把圆柱展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为构造直角三角形，利用勾股定理求解.
二、长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离长方体每个面都是平面图形，所以计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同平面上的两点之间的距离，就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一平面内，即把四棱柱设法展开成一个平面图形，再构造直角三角形利用勾股定理解决，正方体的展开图从哪一面上展开都一样，而长方体的展开图一定要注意打开哪一个侧面，并且向上、下与向左、右展开会出现长度不的路线，应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
三、折叠问题关于折叠问题的解题步骤：(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算)；(2)选择或构造直角三角形，这个直角三角形一般一边已知，另两边可通过重叠图形找到数量关系，从而利用勾股定理列方程求解.。

勾股定理与生活

勾股定理与生活
勾股定理是数学中一个基本的定理，主要描述了在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在生活中有非常广泛的应用：
1. 建筑和工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用来确保结构的准确性和稳定性。

例如，工人会用它来检查墙壁、地板是否垂直或水平，或者在测量电线杆、塔等的高度时。

2. 装修设计：在室内设计中，比如确定家具的位置，计算最佳视角等，都会用到勾股定理。

3. 体育运动：在篮球、足球、田径等运动中，运动员利用勾股定理来判断投篮角度、传球距离等。

4. 导航和地理：在地图制作和导航系统中，勾股定理用于计算两点之间的最短距离。

5. 电子设备：手机、电脑等电子设备的屏幕尺寸，往往通过勾股定理来计算对角线长度。

6. 日常生活：比如测量窗户、门的尺寸，计算梯子的安全角度等，都会用到勾股定理。

7. 交通：驾驶员在倒车入库时，可以通过勾股定理判断车尾与障碍物的距离。

这些都是勾股定理在我们日常生活中的实际应用，体现了数学的实用性和普遍性。

勾股定理的应用举例

G
左（右）
D
4
G
2
F 4
前（后）
（后）右（左）
A
A 1 B
2
B A 2 A 1 （3 （1 （2 解：长方体侧面展开图一共有三种情况，如上图，其））） D
1
B
距离分别是：
第一种：
第二种：
第三种：
小试牛刀
如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
3 2 20 B
H
么确定呢？
G
E D
F C
A
B
例题变式：
（1）、如把正方体变成如左图的长方体，长方体底面长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有多少种爬行可能？那种爬行路径的距离最短？是多少？
H
GEF源自4CD2
A
1
B
例题变式：
H
G
E E F
F
上（下） 1
H
E
上（下） 2
G
F
前
E 4 C
4
C
H
1尺 x尺
x2 + 52 = (x+1)2
x = 12
水池
5尺
在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？
D B.
C
A
小结
你
能说说运用勾股定理的知识可以解决实际生活中哪些问题吗?
3.3 勾股定理的应用举例
思考
有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)

勾股定理的实际测量应用

勾股定理的实际测量应用勾股定理是一条数学定理，描述了直角三角形中边长之间的关系。

在实际测量中，勾股定理被广泛应用于各种领域，包括建筑、地理测量、导航和天文学等。

本文将探讨勾股定理在实际测量中的应用，并介绍一些相关案例。

1. 地理测量在地理测量中，勾股定理被用于测量地面的距离和高度。

例如，当我们需要测量一个山峰的高度时，可以利用勾股定理计算斜边和水平距离之间的关系。

通过测量斜边和水平距离，我们可以确定山峰的高度。

类似地，在航空测量中，通过测量飞机和地面上两个点的距离和角度，可以使用勾股定理计算出高度差。

2. 建筑在建筑领域，勾股定理常用于测量建筑物的水平和垂直距离。

例如，在建造一座大楼时，工程师可以利用勾股定理计算建筑的高度和斜边之间的关系。

通过这些测量，工程师可以确保建筑物的各个方面都符合设计要求。

3. 导航勾股定理在导航中也有广泛应用。

当我们使用地图和指南针导航时，可以利用勾股定理计算出两个点之间的直线距离。

这在航海、飞行和汽车导航等领域都非常有用。

此外，当我们需要确定一个目标的方位角时，也可以利用勾股定理计算出相对方位的关系。

4. 天文学在天文学中，勾股定理被用于测量星体之间的距离和角度。

通过测量星体的视差和角度，可以使用勾股定理计算它们的真实距离。

这对于研究星系和宇宙的结构非常重要。

总结：勾股定理作为一条基本的数学定理，被广泛应用于实际测量中。

无论是地理测量、建筑、导航还是天文学，勾股定理都发挥着重要的作用。

它不仅帮助我们测量距离、高度和角度，还为各个领域的科学研究提供了重要的数学工具。

在未来，勾股定理的应用将继续推动科学技术的发展，帮助我们更好地理解和利用世界的各个方面。

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

勾股定理应用实例

勾股定理应用实例
1. 建筑工程中：勾股定理可以用于测量和计算建筑物中的角度和边长。

例如，可以使用勾股定理来计算屋顶的倾斜角度或墙壁之间的角度。

2. 地理测量学中：勾股定理可以用于计算地面上两个点之间的直线距离。

例如，可以使用勾股定理来计算一个城市中两个建筑物之间的距离。

3. 飞行导航中：勾股定理可以用于计算飞机的航向和距离。

例如，可以使用勾股定理来计算两个导航点之间的航向和距离，以帮助导航员正确引导飞机。

4. 游戏开发中：勾股定理可以用于计算游戏中角色之间的距离或检测游戏中的碰撞。

例如，可以使用勾股定理来判断玩家角色是否与敌人角色发生碰撞。

5. 三角形解析几何中：勾股定理被广泛应用于解决三角形的各种问题，例如计算三角形的面积、边长或未知角度。

通过应用勾股定理，可以解决和证明许多三角形的性质和关系。

勾股定理在解决实际问题中的应用

勾股定理在解决实际问题中的应用勾股定理是解决数学问题中最基础的定理之一。

不过，它的应用远不止数学领域。

在现实世界中，勾股定理可以被广泛应用于建筑、制造、科学及其他领域。

本文将介绍一些勾股定理在实际问题中的应用。

一、建筑领域1.房屋布局在建造住宅或其他建筑物时，勾股定理可以帮助工程师确定布局和边角的角度。

例如，在设计一个房间时，可以使用勾股定理确保其拐角处形成一个精确的90度角，使得角落更符合设计标准。

2.斜坡建造斜坡的建造也需要使用勾股定理。

在建设跑道或楼梯时，勾股定理可以帮助工程师确定斜坡的正确角度，以确保它们安全合适。

二、科学领域1.热力学热力学是一门研究热量、压力和温度的学科，在这个学科中，勾股定理被用来计算三角形的斜边长度，并在计算气体和流体的压力和体积方面得到了应用。

2.物理学在物理学中，勾股定理被广泛应用于计算运动物体的速度、加速度和其他参数。

它常常被用于确定投掷物体的轨迹和速度，以及计算两个运动物体之间的距离。

三、万能应用1.测量距离在现实应用中，我们经常需要测量一些难以到达的地方的距离。

勾股定理可以帮助我们测量这些距离。

例如，当我们测量建筑物高度时，可以使用勾股定理计算出梯子爬升的高度，以确定建筑物的高度。

2.导航勾股定理还可以帮助我们在导航时定位。

例如，在导航仪上输入两个坐标，勾股定理可以计算出两个坐标之间的距离，帮助我们确定正确的方向并找到目的地。

以结束语的形式，无论是建筑、制造还是科学领域，勾股定理都有着广泛的应用。

它是解决实际问题的基础，也是进一步发展的基石。

通过这些应用，我们可以更好地理解这个基本的数学原理的真正意义。

勾股定理在实际问题中的应用

勾股定理在实际问题中的应用勾股定理是数学中的重要定理．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一起来．勾股定理不仅在数学的发展中起着重要的作用，而且在现实世界中有着广泛的应用．下面举例说明勾股定理在实际生活中的应用．一、少走几步路例1.如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人从A 走到B ，为了避开拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．分析：由图可见，走出来的“路”是直角边分别为3ｍ和4ｍ的直角三角形的斜边，由勾股定理，得该“路”的长为5ｍ，因此，行人仅仅少走了2米（即10步）路．点评：爱护花草人人有责，仅仅因为少走10步而不惜踩伤花草，破坏环境的确是大不应该的。

由此可见，只有懂得“三角形两边之和大于第三边”的人才知道走“捷径”的比经过拐角处的路程近些，但掌握的数学知识如果不能用正当的行为上，那将是数学的悲哀。

二、票价为多少元呢？例2.如图2，A 、B 、C 、D 是四个小镇，它们之间（除B 、C 外）都有笔直的公路相连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A ↔B ：10元；A ↔C ：12.5元；A ↔D ：8元；B ↔D ：6元；C ↔D ：4.5元．为了B 、C 之间的交通方便，要在B 、C 之间建成笔直公路，请按上述标准计算出B 、C 之间的公路的票价为多少元．分析：因为票价与路程成正比，故可将票价视为路程来处理，即AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5，利用勾股定理求解．解：因为票价与路程成正比，故可把票价视为路程来处理．已知：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5．因为AD 2+BD 2=82+62=64+36=100=102=AB 2，所以△ABD 为直角三角形，且∠ADB=90°．连接BC ，在Rt △BDC 中，CD=4.5，BD=6，所以224.567.5BC =+=．故B 、C 之间公共汽车票价为7.5元．点评：本题是利用勾股定理来解决生活中的实际问题．本题的技巧是将票价视为路程来处理，这一点与代数中的换元法极为相似．三、最短路程是多少例3如图3，一圆柱的底面周长为24cm ，高AB 为4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程大约是（）A ．6cmB ．12cmC ．13cmD ．16cm分析：把圆柱沿直径BC 剪开成两半，展开成平面后可得如图4，则蚂蚁从点A 爬行到“路”4m 3m 图1 AB C 图2 ＡＢ图3ＡＣ图4 Ｂ点C 的最短路程是矩形的对角线AC 的长，由已知，AB=4，BC=12，故AC=22412+≈12.6≈13（cm ），故选C ．点评：解立体图形问题的基本思想是把立体图形平面化，因此，圆柱问题通常要把它沿一条母线剪开，然后铺展为矩形，这里要注意到蚂蚁从点A 出发到点C ，当圆柱沿母线AB 展开成矩形时，点C 对应的是矩形一边的中点。

勾股定理的应用题典型

勾股定理的应用题典型
应用题1：建筑斜坡
一座高楼的斜坡长5米，高3米。

如果斜坡的底边与地面呈直角，问斜坡的斜边长度是多少？
答案：
设斜边长度为(c)米，根据勾股定理，可以得到：
应用题2：田径场内外跑道
一个标准田径场内外各有一个跑道，内跑道的周长为400米，外跑道的周长为600米。

问内外跑道的宽度分别是多少？
答案：
设内跑道的宽度为(x)米，那么外跑道的宽度为(x+2)米。

根据题意，可以列出方程：解这个方程组，得到内外跑道的宽度分别为：
应用题3：三角形边长关系
已知一个直角三角形，两条直角边长分别为(a = 3)，(b = 4)，求斜边的长度(c)。

答案：
根据勾股定理，可以得到：
c^2 = 3^2 + 4^2
c^2 = 9 + 16
c^2 = 25
c = 5。

勾股定理的典型应用举例

勾股定理的典型应用举例勾股定理，在数学中有着非常重要的应用。

下面就举例说明。

1、拼图中用勾股定理例1、(温州市)在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。

解析：设面积为S 1的正方形的边长AB=x ，面积为S 2的正方形的边长DE=y ，面积为S 3的正方形的边长PQ=m ，面积为S 4的正方形的边长ST=n ，我们易证△BAC ≌△CDE ，△GFH ≌△HMO ，△QPR ≌△RTS ，所以，根据勾股定理，得：x 2+y 2=BC 2=1，y 2+z 2=GH 2=2，z 2+m 2=QR 2=3，x 2+y 2+y 2+z 2+z 2+m 2=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2=4，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4。

2、正方形网格上用勾股定理例2、在5×5的正方形网格上，如图2，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则a 、b 、c 的大小的关系是：A a ＜b ＜cB c ＜a ＜bC c ＜b ＜aD b ＜a ＜c （04广州）分析：假设每个正方形的边长为1，分别在三个阴影三角形中，根据勾股定理，得：AC=b=，=+2215AB=c==，2232+13BC=a==231+10所以，b ＜a ＜c ，因此，D 是正确的。

解：选D 。

例3、在5×5的正方形网格上，如图3，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则点B 到AC 的距离是。

分析：直接求这个距离，比较不容易，如果通过求三角形ABC 的面积，后利用面积公式求就容易多了。

生活中的勾股定理

生活中的勾股定理数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践，从数学应用的角度来处理数学，阐释数学，呈现数学，使学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边．利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题．下面举例分析如下：一．地基挖的合格吗?例1 如图2，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m ，AD=BC=6m ，AC=9m ，请你帮他看一下挖的是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，来验证它是否为直角三角形． ∵,819,10086222222===+=+AC DC AD∴222AC DC AD ≠+,所以△ADC 不是直角三角形，∴,900≠∠ADC 而标准为长方形，所以四个角应为直角．所以该农民挖的不合格．评注：勾股定理的逆定理，在解决实际问题中、有着广泛的应用，可以用它来判定直角，家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的一起的情况下，工人是如常利用勾股定理的逆定理得到直角．二．木棒能放进木箱吗?例1 有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ，30cm ，40cm 的木箱中，能放进去吗？分析：由于木棒长为70cm ，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．如图4，连接111,AC C A ,在Rt △111C B A 中,3400305022211211211=+=+=C B B A C A ．在Rt △11C AA 中,500034004022112121=+=+=C A AA AC ,∵5000＞270,∴170AC > (cm)∴70cm 长的木棒，能放进这只木箱中．评注：解决此题的关键在于明确1AC 即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养学生的空间想象力．。

勾股定理的纯数学应用

勾股定理的纯数学应用
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际生活中，勾股定理有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.计算面积：通过使用勾股定理，可以计算出不规则图形的面积。

例如，在
计算梯形、三角形和圆形的面积时，可以使用勾股定理来确定某些边长或
半径的长度。

2.确定高度：在建筑和工程领域，勾股定理可以用于确定建筑物或构筑物的
高度。

例如，如果已知一个建筑物的底部长度和宽度，以及其高度与底部
长度的比值，可以使用勾股定理来计算其高度。

3.设计图形：在设计和艺术领域，勾股定理可以用于设计各种形状和图案。

例如，可以使用勾股定理来设计具有特定比例和对称性的图形，如等边三
角形、正方形和圆形。

4.测量距离：在测量和测绘领域，勾股定理可以用于测量距离。

例如，可以
使用勾股定理来测量两点之间的距离，或者计算某一点到某一直线的距离。

5.确定时间：在天文学领域，勾股定理可以用于确定天体的位置和时间。

例
如，可以使用勾股定理来计算太阳系中的行星和卫星的位置，以及计算地
球的自转和公转周期。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要工具，它在实际生活中的应用非常广泛，包括建筑、工程、设计、艺术、测量、天文学等领域。

勾股定理的应用举例

例：如图，壁虎在一座底面半径为１米，高为２
米的油桶的下底边沿Ａ处，发现油桶的另一侧的中点处有一只萤火虫，便决定捕捉它，于是它小心翼翼地向萤火虫爬去，若壁虎要在最短时间里获得一顿美餐，问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到萤火虫？
ＣＢ
Ａ
例：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张
村Ａ和李庄Ｂ送水，已知张村Ａ、李庄Ｂ到河边的距离分别为２km和７km，且张、李二村庄距13km。
.Ｂ
Ａ.
河边
L
1、水泵站应建在什么地方，可使所用的水管最
短？请在图中设计出水泵站的位置；
２、如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为
使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
例：如图：公路AB和公路CD在点P处交会，且 ∠APC=45°，点Ｑ处有一所小学，PQ＝ 120 2 m，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
A
E
∟
B
C D
二、勾股定理与辅助线的应用例３、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ １＝ ∠ ２，ＣＤ＝１.５，ＢＤ＝２.５，求ＡＣ的长。
C D A
1 2
B
练习：如图，在△ABC中，∠Ａ＝90°， DE垂直平分BC，求证：
2 2 － AC AE BE ＝
2
A
E B
C
D
三、勾股定理与最值问题：
一、勾股定理与方程相结合
例 1 、如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB＝ 12， BC
＝ 5 ，点 E 在 AB 上，将 △ DAE 沿 DE 折叠，使点