高中数学-复数专题

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第12章复数章末题型归纳总结高考数学

又∠ ∈ , ，所以∠ = .

故答案为：

−

，

= ，
试卷讲评课件
例11.(2024 ⋅高一·江苏·专题练习)在复平面内，O是原点，向量OZ对应
的复数是−1 +
− 2
复数为_____.
π
i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转，则所得向量对应的
4
【解析】如图，由题意可知 = −, ，与
经典题型六：复数的三角表示
模块三：数学思想与方法
①分类与整合思想②等价转换思想③
数形结合的思想
试卷讲评课件
模块一：本章知识思维导图
试卷讲评课件
模块二：典型例题
经典题型一：复数的概念
例1.(2024
z
⋅高三·河南商丘·阶段练习)若复数z满足为纯虚数，且
2+i
z = 1，则z的虚部为(
√
2 5
A.±
若 = ，则有 = , = , ∴ = ，反之由 = ，
推不出 = ，如 = ＋, = − 时， = ，故C正确；
D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴
错.
选.
试卷讲评课件
【解析】复数 = + ，则 = +

= − + = −，
−=

又是实数，因此
，解得 = −，
= −
所以实数的值是−.
试卷讲评课件
z1
z1
(2)若是纯虚数，求
z2
z2
+
z1 2
z2
+
z1 3

高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档

高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。

复数试题及答案高中数学

复数试题及答案高中数学一、选择题1. 复数z = 3 + 4i的模是（）A. 5B. √5C. √(3² + 4²)D. 42. 已知z₁ = 2 - i，z₂ = 1 + 3i，求z₁z₂的值是（）A. 5 - iB. 5 + iC. 2 + 5iD. 2 - 5i3. 复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是（）A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i二、填空题4. 复数3 - 4i的实部是______，虚部是______。

5. 若复数z满足|z| = 5，且z的实部为3，则z的虚部可以是______。

三、解答题6. 求复数z = 2 + 3i的共轭复数，并计算|z|。

7. 已知复数z₁ = 2 + i，z₂ = 1 - 2i，求z₁ + z₂，z₁ - z₂，z₁z₂。

8. 证明：对于任意复数z，都有|z|² = z * z的共轭复数。

答案一、选择题1. C. √(3² + 4²) = 52. A. 5 - i （(2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i - 3 = 5 - i）3. D. 1 + i （1/(1 - i) = (1 + i)/2）二、填空题4. 3，-45. ±4 （因为|z|² = 3² + 虚部²，所以虚部² = 25 - 9 = 16，虚部= ±4）三、解答题6. z的共轭复数是2 - 3i，|z| = √(2² + 3²) = √13。

7. z₁ + z₂ = (2 + i) + (1 - 2i) = 3 - iz₁ - z₂ = (2 + i) - (1 - 2i) = 1 + 3iz₁z₂ = (2 + i)(1 - 2i) = 2 - 4i + i - 2i² = 4 - i8. 证明：设z = a + bi，其中a和b是实数，i是虚数单位。

高考数学专题02 复数(解析版)

专题02 复数一、单选题1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数()()2i 1i z a =++（其中i 为虚数单位，a R ∈）在复平面内对应的点为()1,3，则实数a 的值为（） A ．1 B ．2C ．1-D ．0【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为()()()2i 1i 22i z a a a =++=-++，又因为复数在复平面内对应的点为()1,3，所以2123a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a = 故选：A2．（2022·河北保定·高三期末）()()2212i 1i --+=（） A ．32i -- B ．36i -- C ．32i - D ．36i -【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】22(12i)(1i)34i 2i 36i --+=---=--.故选：B3．（2022·河北张家口·高三期末）已知12z i =-，则5iz=（） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i -D ．105i -+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()5i 12i 5i 5i2i 12i 12i 12i z +===-+--+，故选：A.4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（）个. A ．9 B ．10C ．11D ．无数【答案】C 【解析】【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4kZ ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数z 满足()23i 32i z -=+，则z =（）A．12 B C ．1 D 【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件结合复数除法计算复数z ，进而计算z 的模作答. 【详解】因复数z 满足()23i 32i z -=+，则32i (32i)(23i)13ii 23i (23i)(23i)13z +++====--+，所以1z =. 故选：C6．（2022·山东枣庄·高三期末）已知i 为虚数单位，则2022i =（）． A ．1 B ．1- C ．I D ．i -【答案】B 【解析】【分析】由于41i =，故2022i 可以化简为2i ，即可得到答案. 【详解】20224505+22i i ==i ⨯=1-.故选：B.7．（2022·山东德州·高三期末）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】21i 22|2i |i i +=+=-=z =则复数z 在复平面内所对应的点坐标为⎝⎭，在第一象限.故选：A8．（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z 是纯虚数，11iz+-是实数，则z =（） A ．－i B ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【解析】【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数【详解】由题意设i()z b b R =∈，则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+，因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-，所以i z =-，所以i z =，故选：B9．（2022·山东临沂·高三期末）已知复数26i1iz +=-，i 为虚数单位，则z =（）A．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】利用复数除法运算求得z ，然后求得z . 【详解】 ()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+，z =故选：C10．（2022·湖北武昌·高三期末）已知复数1i z =-，则2iz=-（） A ．13i 55-B ．13i 55--C ．13i 55-+D ．1355i +【答案】D 【解析】【分析】先得出z ，由复数的乘法运算可得答案. 【详解】复数1i z =-，则1i z =+则()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 2i 5z ++++===---+ 故选：D11．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（） A ．2i B ．2i - C ．1i + D ．1i -+【答案】D 【解析】【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D.12．（2022·湖北江岸·高三期末）已知()12i 43i z -=-，则z =（） A ．10i +B ．2i +C ．2i -D ．25i +【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】由已知可得()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，因此，2i z =-. 故选：C.13．（2022·湖北襄阳·高三期末）下面是关于复数22i 1i z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．z 的共轭复数为11i 22-D ．z 的虚部为1i 2-【答案】B 【解析】【分析】化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项即得．【详解】∵22i 11i 1i 1i 2z ---===--，所以z =A 错误；所以复数z 在复平面内对应点坐标为11(,)22--，在直线y x =上，B 正确；所以z 的共轭复数为11i 22-+，C 错误；所以z 的虚部为12-，D 错误．故选：B ．14．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）复数4i1iz =+，则z =（） A ．22i -- B ．22i -+C ．22i +D ．22i -【答案】D 【解析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+ ，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知复数121i,i z z =-=，则复数12z z 的共轭复数的模为（） A ．12 B2C ．2 D【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算得121i z z =--，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可. 【详解】解：因为121i,i z z =-=，所以()121iii 1i 1i z z -==--=--，所以复数12z z 的共轭复数为1i -+.故选：D16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B 【解析】【分析】根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B17．（2022·湖南常德·高三期末）已知复数z 满足：()1i i z +=，则z z ⋅=（）A ．12 B C ．1D ．i 2【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数的除法运算求出z ，然后根据复数的乘法运算即可求出结果. 【详解】因为(1)z i i +=，所以()()i 1i i 1i 11i 1i (1i)1i 222z -+====+++-，因此11111i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=.故选：A.18．（2022·湖南娄底·高三期末）复数()i 3i z =-⋅在复平面内对应的点位于（）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数乘法法则计算出z ，然后可得其对应点的坐标，得所在象限．【详解】∵()3i i 13i z =-=+⋅，∴z 在复平面内对应的点为()1,3，位于第一象限．故选：A ．19．（2022·湖南郴州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 123i 4z +=+，则z 的共轭复数z =（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B 【解析】根据复数的模和除法运算，即可得到答案；【详解】 |43i |55(12i)12i 12i 12i 5z +-====-++ ∴12i z =+，故选：B20．（2022·广东揭阳·高三期末）复数z 满足()1i 1i(i z +=-为虚数单位)，则z 的模为（） A．12-B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】【分析】先做除法运算求出复数z ，再根据复数模的计算公式求其模. 【详解】由()1i 1i z +=-得1ii 1iz -==-+，从而i 1z =-= 21．（2022·广东潮州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数21i 1i -=+z ，则z 的虚部为（）A ．0B ．－1C ．－iD ．1【答案】B 【解析】【分析】化简复数z 1i =-， z 的虚部为i 前面的系数，即可得到答案. 【详解】21i 22(1-i)1i 1i 1i (1i)(1-i)z -====-+++.则z 的虚部为－1.故选：B.22．（2022·广东罗湖·高三期末）已知复数()1i i =+⋅z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】求出复数z，进而可得其共轭复数.【详解】()1i i=1+iz=+⋅-，则1iz=--故选：D.23．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数z满足(1i)|1|+=z，则z=（）A．1i-B．1i+C．22i-D．22i+【答案】B【解析】【分析】结合复数除法运算求出z，进而得出z.【详解】因为21i1i===-+z，所以1iz=+．故选：B24．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足1i12iz+=+其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．3i5--B．3i5-+C．3i5-D．3i5+【答案】D 【解析】【分析】化简可得3i5z-=，根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】因为1i(1i)(12i)3i12i(12i)(12i)5z++--===++-，所以3i5z+ =，故选：D．25．（2022·江苏通州·高三期末）20221i1i-⎛⎫=⎪+⎝⎭（）A ．1B ．iC ．－1D ．－i【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法和复数的乘方运算计算．【详解】21i (1i)i 1i (1i)(1i)--==-+-+，所以2022202221i (i)i 11i -⎛⎫=-==- ⎪+⎝⎭．故选：C ．26．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知复数z 满足()1i 4i z +=，则z =（） A．2 B C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()()()()4i 1i 4i2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，因此，z = 故选：C.27．（2022·江苏扬州·高三期末）若复数z ＝202112i +（i 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】化简复数z ＝202112i +，得到其对应点的坐标即可解决.【详解】z 202112i ==+12i =+2i 21i 555-=-，则z 在复平面上对应的点为21(,)55Z -，Z 位于第四象限.故选：D28．（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i （i 为虚数单位），则z ＝（） A ．－12＋52iB ．12＋52iC ．12－52iD ．－12－52i 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】 ∵(1－i)z ＝2＋3i, ∴()()()()23i 1i 23i 15i 15i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+-+-. 故选：A.29．（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z 满足202120222023i 4i 3i z =-，则z ＝（） A ．4＋3i B ．4－3iC ．3＋4iD ．3－4i【答案】C 【解析】【分析】将202120222023i 4i 3i z =-中的202120222023i ,i ,i ，根据41i = 化简，即可得答案. 【详解】因为41i =，故由202120222023i 4i 3i z =-可得：23i 4i 3i z =-，即4i 334i z =+=+，故选：C.30．（2022·江苏苏州·高三期末）设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】【分析】用复数的乘法法则及纯虚数的定义即可. 【详解】(1i)(1i)1i i 1(1)i a a a a a -+=+-+=++-为纯虚数，10a ∴+=，1a ∴=-，故选:A ．31．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【解析】【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C. 二、多选题32．（2022·河北唐山·高三期末）已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（） A ．z z +∈R B ．z z -∈RC ．z z ⋅∈RD ．zz∈R【答案】AC 【解析】【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确；对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误；对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+，所以当0a =时，z z ∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC33．（2022·山东莱西·高三期末）已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上C ．zD ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC 【解析】【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D. 【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得z ===判断正确；选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误. 故选：BC34．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【解析】【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，z z ==，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=，所以A 正确；对于B ：若21z z =，则12=z z ，所以B 正确；对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ，所以C 正确；对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ，所以D 错误.故选：ABC35．（2022·江苏如皋·高三期末）关于复数12z =- (i 为虚数单位)，下列说法正确的是（）A ．|z |＝1B ．z ＋z 2＝－1C ．z 3＝－1D ．(z ＋1)3＝i【答案】AB 【解析】【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D. 【详解】由复数12z =-,可得||1z == ，故A 正确；2211112222z z +=--=-- ，故B 正确；3222111()1222z z z =⋅=--+--=，故C 错误；3221111(1)(1)(1)(((12222z z z ⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选：AB.36．（2022·江苏苏州·高三期末）下列命题正确的是（） A ．若12,z z 为复数，则1212z z z z =⋅ B ．若,a b 为向量，则a b a b ⋅=⋅C ．若12,z z 为复数，且1212z z z z +=-，则120z z =D ．若,a b 为向量，且a b a b +=-，则0a b ⋅= 【答案】AD 【解析】【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令1i z a b =+，()2i ,,,R z c d a b c d =+∈，，12()i z z ac bd ad bc =-++，12z z ===1z =2z =1212z z z z ∴=⋅，A 对；cos a b a b θ⋅=⋅⋅，cos a b a b a b θ∴⋅=⋅⋅=⋅不一定成立，B 错； 12()()i z z a c b d +=+++，12()()i z z a c b d -=-+-，1212z z z z -=+，0ac bd ∴+=，12(i)(i)()i 0z z a b c d ac bd ad bc =++=-++≠，C 错．将a b a b +=-两边平方并化简得0a b ⋅=，D 对. 故选：AD 三、填空题37．（2021·福建·莆田二中高三期末）设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______ 【答案】5π 【解析】【分析】依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解；【详解】解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π38．（2022·广东佛山·高三期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________. 【答案】28i -- 【解析】【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--. 故答案为：28i --39．（2022·江苏常州·高三期末）i 是虚数单位，已知复数z 满足等式2i0i z z+=，则z 的模z =________．【解析】【分析】以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法. 【详解】由2i 0i z z +=，可得2i i z z =- 则有2ii z z-=，即i 2i 2z z ⨯=⨯-=，故有z =。

完整版)高中数学复数练习题

完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。

2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。

3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。

特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。

特别z·z=a²+b²。

4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。

三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。

-1 B。

1 C。

0 D。

-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。

高中数学集合、复数必做题型(含解析)

集合，复数---高考题型一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或15．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2} 6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]10．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2B．﹣1C．D．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}14．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）A．3B．4C．8D．16 15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4] 16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3] 18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1 25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．127．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．528．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣129．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．230．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．431．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．332．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．137．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i集合，复数---高考题型参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}【解答】解：集合M＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则∁R M＝{x|﹣1＜x＜3}，又N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝{0，1，2}．故选：A．2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，根据集合补集的概念和运算得：S∪T＝{0，2，3}，∁U（S∪T）＝{1}．故选：A．3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，＝{x|1≤x＜3}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或1【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．5．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2}【解答】解：集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，集合＝{x|﹣4＜x＜1}，则M∪N＝{x|﹣4＜x＜2}．故选：C．6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，0，1}，（∁U A）∩B＝{0，1}．故选：C．7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]【解答】解：因为A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），所以A∪B＝[0，2]∪（0，3）＝[0，3）．故选：C．8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：x2﹣2x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，B＝[0，2]，又A＝（0，1]，则A∩B＝（0，1]．故选：C．9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]【解答】解：由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤2}∪{x|x＞0}＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：C．A．﹣2B．﹣1C．D．【解答】解：由题意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因为a∈A，所以﹣＜a＜，故选项B正确，ACD错误．故选：B．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）【解答】解：因为1＜2x＜8⇒20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），且|x+1|≥3⇒x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），所以A∩B＝[2，3）．故选：B．12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]【解答】解：∵，N＝{x|﹣1≤x≤3}，∴M∩N＝（2，3]．故选：D．13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：由2x2+3x﹣9≤0解得，所以，因为B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，所以，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：C．A．3B．4C．8D．16【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4]【解答】解：∵M＝{x|﹣1≤x≤4}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，∴M∪N＝[﹣2，4]．故选：D．16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}【解答】解：∵B＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：B．17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3]【解答】解：∵，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（2，3）．故选：C．18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∪B＝（﹣5，3）．故选：D．19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：B．20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：A＝{x|≥1}＝{x|x＜﹣1或x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁R B＝{x|x≥1或x≤﹣2}，故A∩（∁R B）＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝，故在复平面内z所对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：B．22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，故．故选：B．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1【解答】解：z•（2+3i）＝3﹣2i，则z＝，故|z|＝＝．故选：D．25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i【解答】解：∵复数＝＝﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选：B．26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．1【解答】解：z＝2﹣i，则iz＝i（2﹣i）＝1+2i，其虚部为2．故选：C．27．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．5【解答】解：z＝i（i﹣1）＝﹣1﹣i，则z﹣1＝﹣2﹣i，故|z﹣1|＝|2﹣i|＝．故选：C．28．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣1【解答】解：因为z＝（2+i）（1+3i）＝﹣1+7i，所以，所以复数z的共轭复数的虚部为﹣7．故选：C．29．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．2【解答】解：若，则a+bi＝（2+i）（1﹣2i）＝4﹣3i，故|a+bi|＝＝5．故选：B．30．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．4【解答】解：∵a+i与3+bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝﹣1，∴|a﹣bi|＝|3+i|＝＝．故选：C．31．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：（2﹣3i）i＝3+2i，其实部为3．故选：D．32．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（2，5），则z＝2+5i，故1+z＝1+2+5i＝3+5i，其在复平面内对应的点为（3，5）．故选：B．33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．【解答】解：，则＝．故选：D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵，∴a﹣bi﹣3i＝a+bi，即﹣b﹣3＝b，解得b＝．故选：B．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝﹣1﹣i，则z在复平面对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限．故选：C．36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．1【解答】解：z+i＝zi，则z（1﹣i）＝﹣i，故z＝，所以|z|＝．故选：A．37．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i 【解答】解：，则z＝（1﹣2i）i＝2+i．故选：C．38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，则．故选：D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（z+1）i＝z得：（1﹣i）z＝i，即，所以．故选：D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i【解答】解：因为，所以z的虚部为﹣3．故选：A．。

复数及其运算-高中数学专题复习

复数及其运算知识精要复数的有关概念（一）规定：（1）1i 2-=,其中i 是一个新数．，叫做虚数单位；（2）0i 0=•，i 能与实数进行四则运算，如)R b (bi i b ∈=•，)R b (bi bi 0∈=+等.（二）复数的概念复数),(R b a bi a z ∈+=⎩⎨⎧mzb z a I —虚部——实部—Re 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数的充要条件是0≠b ；复数)R b ,a (bi a z ∈+=为纯虚数的充要条件是00a b =≠且；复数)R b ,a (bi a z ∈+=为实数的充要条件是0＝b .（三）复数的分类⎩⎨⎧=≠=∈+时为纯虚数）（虚数实数复数0)0()0(),(a b b R b a bi a （四）例题选讲例、m 是什么实数时，复数i m m m m m z )2410(41222+-++--=分别是（1）实数，(2)虚数，（3）纯虚数，（４）0. 解：)6)(4(Im ,4)3)(4(Re --=++-=m m z m m m z 64040)6)(4(0I )1(或实数：=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒=m m m m mz 464040)6)(4(0Im )2(-≠≠≠⇒⎩⎨⎧≠+≠--⇒≠m m m m m m z 且且虚数： 304)3)(4(0)6)(4(0Re 0Im )3(-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-≠--⇒⎩⎨⎧=≠m m m m m m z z 纯虚数：404)3)(4(0)6)(4(0Re 0Im 0)4(=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--⇒⎩⎨⎧==m m m m m m z z ：（五）两个复数相等定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.例、已知i y i y x )3(2)2(--=+-，其中R y x ∈,，求x,y 的值.例、当x 、y 为何实数时，复数i y y x x z )32()23(22--++-=等于2？问题：两个复数能比较大小吗？组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.概念巩固：判断下列说法是否正确：（1）i i 5253++大于（2）若复数21z z >，则21z z 、一定都是实数（3）若复数z 满足12<z ，则11<<-z复数的坐标表示一．复平面的概念（一）概念：复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。

高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)

高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。

只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。

4、共轭复数：z a bi =−，对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。

横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。

高中数学期末专题：复数综合学生版

期末专题06复数综合一、单选题1.(2022春·江苏南京·高一统考期末)i 2022的值为()A.1B.-1C.iD.-i2.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z =1+2i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )．A.2B.-2C.2iD.-2i3.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知i 为虚数单位，若复数z 满足1-i z =2，则z 的虚部为()A.-1B.-iC.1D.i4.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)已知复数z 满足z =1+i ，则在复平面内z 对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2022春·江苏南通·高一统考期末)若(-1+i )z =3+i ，则|z |=()A.22B.8C.5D.56.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z 满足z =3-i2+i，则z 的虚部是()A.-iB.iC.-1D.17.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知zi =1-2i ，则在复平面内，复数z 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)设i 为虚数单位，若复数1-i 1+ai 是实数，则实数a 的值为()A.-1B.0C.1D.29.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设复数z 满足z ⋅i =1+2i (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是()A.2B.-2C.1D.-110.(2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末)已知i 是虚数单位，z (1+i )=2i ，则复数z 所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知复数z 1=-2i ,z 2=cos θ+i sin θ，则z 1+z 2 的最大值为()A.1B.2C.3D.312.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设z 是复数z 的共轭复数，若z ⋅z +10i =5z ，则z2+i=()A.2 B.35+45i C.2或45+35i D.2或35+45i13.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知i 是虚数单位，a ∈R ，若复数a -i1-2i为纯虚数，则a =()A.-2B.2C.-12D.1214.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)计算21-i2的结果是()A.2iB.-2iC.iD.-i15.(2022春·江苏扬州·高一期末)设i 是虚数单位，复数z 1=i 2022，复数z 2=54+3i，则z 1⋅z 2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z=1-2i ，其中i 为虚数单位，则z =()A.3B.5C.3D.517.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)若复数z 满足2-i z =i 2022，则z 的虚部为()A.15i B.15C.23i D.2318.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=i1-i (i 是虚数单位)，若复数z 与z 1在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z 为( ).A.1-i2B.1+i 2C.-1-i 2D.-1+i 219.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数满足i ⋅z =4-3i ，其中i 为虚数单位，则z ⋅z=()A.1B.5C.7D.2520.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)复数z 满足i ⋅z =-1+i ，则|z |=()A.5B.2C.1D.221.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)下列命题为真命题的是()A.若z 1，z 2为共扼复数，则z 1⋅z 2为实数B.若i 为虚数单位，n 为正整数，则i 4n +3=iC.复数-2-i 在复平面内对应的点在第三象限D.复数5i -2的共轭复数为-2-i22.(2022春·江苏南京·高一统考期末)下列有关复数的说法正确的是()A.若复数z =z，则z ∈R B.若z +z=0，则z 是纯虚数C.若z 是复数，则一定有z 2=z 2D.若z 1,z 2∈C ，则z 1⋅z 2 =z 1 ⋅z 223.(2022春·江苏常州·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式e iθ=cos θ+i sin θ(i 为虚数单位，e 为自然对数的底数)，这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是()A.e 3i 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.e i π+1=0C.12+32i3=-1 D.cos θ=e iθ+e -iθ224.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)关于复数z =cos2π3+i sin 2π3(i 为虚数单位)，下列说法正确的是()A.z =1B.z在复平面上对应的点位于第二象限C.z 3=1D.z 2+z +1=025.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z =a +bi (其中i 为虚数单位，a ∈R ,b ∈R )则下列说法正确的有()A.若z =z，z ∈R B.若zz∈R ，则z ∈RC.若z =1z，则z =1D.若z 2=z2，则z =026.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix =cos x +i sin x (e 是自然对数的底，i 是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数z 1=e ix 1，z 2=e ix 2，z 3=e ix 3在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，且e ix 的共轭复数为e ix=e -ix ，则下列说法正确的是()A.cos x =e ix +e -ix 2B.e 2i 表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限C.e ix 1+e ix 2+e ix 3=e ix 1+e ix 2+eix 3D.若Z 1，Z 2为两个不同的定点，Z 3为线段Z 1Z 2的垂直平分线上的动点，则z 1-z 3 =z 2-z 327.(2022春·江苏苏州·高一统考期末)设i是虚数单位，复数z1=a+bi a,b∈R，z2=1+2i，请写出一个满足z1z2是纯虚数的复数z1=.28.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知i为虚数单位，且复数z满足：z⋅i=1-2i，则复数z的模为．29.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知复数z满足z =2，z2的虚部为-2，z所对应的点A在第二象限，则z=．30.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数z=-1-2i，其中i为虚数单位，若z，z2在复平面上对应的点分别为M，N，O为坐标原点，则线段MN长度为.31.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设i为虚数单位，复数z=cosθ+i sinθθ∈R的最大值为，则z-1．32.(2022春·江苏扬州·高一期末)如果复数z满足z+i=2，那么z+i+1的最小值是．+z-i33.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z=m2+5m-6+(m-1)i,m∈R．(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．34.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z1=1+2i，z2=3-4i.(1)若复数z1+λz2在复平面内对应的点在第二象限，求实数λ的取值范围；(2)若复数z=z1⋅μ+z2(μ∈R)为纯虚数，求z的虚部.35.(2022春·江苏南京·高一统考期末)已知复数z1=1-3i，z2=a+i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知z1⋅z2为“理想复数”．(1)求实数a；(2)定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2=z1+z2z2,z1 ≥z2z1+z2z1,z1 <z2，求z1⊗z2．36.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)已知复数z 1=1+i ，z 2=x +yi ，其中x ，y 为非零实数．(1)若z 1⋅z 2是实数，求xy的值；(2)若z 2=z 1 ，复数z =z 1z 22022+m 2-m -1 -m +1 i 为纯虚数，求实数m 的值；(3)复平面内，定点M 与z 1对应，记满足z 2-z 1 =z 2 的z 2对应的点的轨迹为曲线L ，求点M 到L 的最小值．37.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=1+2i ，z 2=3-4i .(1)在复平面内，设复数z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，求点Z 1，Z 2之间的距离；(2)若复数z 满足1z =1z 1+1z 2，求z .38.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)已知复数z1满足2z1=1+3i+z1(1)求z1 ；(2)若复数z2的虚部为2，且z2z1在复平面内对应的点位于第四象限，求复数z2实部a的取值范围．39.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z同时满足下列两个条件：①z的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；②1<z+2z≤4．(1)求出复数z；(2)求z +2-i2+i.40.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z满足z-1为纯虚数，(1-2i)⋅z为实数，其中i为虚数单位．(1)求复数z；(2)若x⋅z+y⋅z =z⋅z ，求实数x，y的值．。

高中数学第七章复数典型例题(带答案)

高中数学第七章复数典型例题单选题1、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.2、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D3、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C4、已知a,b ∈R ，a 1+i +b 1−i =1，则a +2b =（）A ．3B ．√3C ．√2D ．1答案：A分析：等式两边同乘(1+i)(1−i)，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a 1+i +b 1−i =1 ，所以a(1−i)+b(1+i)=(1+i)(1−i)=1−i 2=2即(a +b)+(b −a)i =2所以{a +b =2b −a =0 解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A5、设π<θ<5π4，则复数cos2θ+isin2θcosθ−isinθ的辐角主值为（）A ．2π−3θB ．3θ−2πC ．3θD ．3θ−π答案：B分析：根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．解：cos2θ+isin2θcosθ−isinθ=cos2θ+isin2θcos(−θ)+isin(−θ)=cos3θ+isin3θ，因为π<θ<5π4，所以3π<3θ<15π4，所以π<3θ−2π<7π4，所以该复数的辐角主值为3θ−2π．故选：B.6、复数z =−2+i 2049的共轭复数z =（）A ．12+i 2B ．12−i 2C ．−2−iD ．−2+i答案：C分析：先由复数的运算可得z =−2+i ，然后求其共轭复数即可.解：因为z =−2+i 2049=−2+(i 4)512⋅i =−2+i ，则z =−2−i ，故选：C.7、设(1+i)x =1+yi ，其中i 为虚数单位，x,y 是实数，则|x +yi |=（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2答案：B分析：先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解.因为(1+i)x =1+yi ，所以{x =1y =x ，解得{x =1y =1，所以|x+yi|=√x2+y2=√2.故选：B.8、已知i是虚数单位，则复数z=2−i20202+i2021对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D分析：先化简i2020,i2021，再利用复数的除法化简得解.z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.多选题9、下列说法中正确的有（）A．若a∈R，则(a+1)i是纯虚数B．若x2−1+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1C．若a≤0，则z=a2−b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数D．若a,b∈R，且a>b，则bi2>ai2答案：CD分析：根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.对于A中，当a=−1，可得的(a+1)i=0不是纯虚数，故A错误；对于B中，当x=−1，可得x2+3x+2=0，此时x2−1+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数，所以B错误；对于C中，当a≤0时，可得|a|+a=0，所以z=a2−b2为实数，所以C正确；对于D中，由i2=−1，且a>b，所以bi2>ai2，所以D正确．故选：CD10、设复数z=1a+2i(a∈R)，当a变化时，下列结论正确的是（）A ．|z |=|z |恒成立B ．z 可能是纯虚数C ．z +1z 可能是实数D ．|z |的最大值为12 答案：ABD分析：首先根据题意得到z =a a 2+4−2a 2+4i ，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.z =1a+2i =a−2i (a+2i )(a−2i )=a a 2+4−2a 2+4i ，对选项A ，z =a a 2+4+2a 2+4i ，|z |=|z |=√a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2，故A 正确.对选项B ，z =aa 2+4−2a 2+4i ，当a =0时，z =−12i 为纯虚数，故B 正确.对选项C ，z +1z =a a 2+4−2a 2+4i +a +2i =(a a 2+4+a)+(2−2a 2+4)i令2−2a 2+4=0，即a 2+3=0无解，故C 错误.对选项D ，|z |2=a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2=1a 2+4≤14，当且仅当a =0时取等号.所以|z |的最大值为12，故D 正确.故选：ABD11、下列命题中正确的有（）A ．若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；C ．若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2；D ．若复数z ∈R ，则z ∈R ．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A 正确；取z =i ，可判定B 不正确；取z 1=1+i,z 2=2−2i ，可判断C 不正确；根据复数的运算法则，可判定D 正确.对于A 中，设复数z =a +bi,(a,b ∈R)，可得1z=a−bi (a+bi )(a−bi )=a a 2+b 2−b a 2+b 2i ，因为1z ∈R ，可得b =0，所以z =a ∈R ，所以A 正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD12、已知复数z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，若z1+z2为实数，则（）A．a=1B．z1z1=√5C．z26为纯虚数D．z1z2对应的点位于第二象限答案：AC分析：先求出z1+z2，再由其为实数可求出a的值，然后逐个分析判断即可因为z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，所以z1+z2=6a+2+(a2−2)i+1+ai=a+8a+2+(a2+a−2)i，因为z1+z2为实数，所以{a 2+a−2=0a+2≠0，解得a=1，所以A正确，z1=2−i,z2=1−i，所以z1z1=(2−i)(2+i)=5，所以B错误，z26=(1−i)6=[(1−i)2]3=(−2i)3=8i为纯虚数，所以C正确，z1 z2=2−i1−i=(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i−i−i22=32+12i，其在复平面内对应的点在第一象限，所以D错误，故选：AC13、若z−z=−14i,|z|=5√2，则z可能为（）A．1−7i B．1+7i C．−1−7i D．−1+7i答案：AC分析：待定系数法设复数，列方程组后求解设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，由题意可得{z−z=2bi=−14i, |z|=√a2+b2=5√2,解得{b =−7,a =1或{b =−7,a =−1,所以z =1−7i 或−1−7i ．故选：AC填空题14、已知|z −1−i |=1，则|z +i |的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z +i |表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z +i |表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z +i |的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z =x +yi ，则|z −a −bi |表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z −a −bi |=r 表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点.15、复数z 1,z 2满足：|z 1|=3，|z 2|=4，|z 1+z 2|=5，则|z 1−z 2|=______．答案：5分析：根据给定条件，结合复数模公式计算作答.设复数z 1=a +bi,z 2=c +di,a,b,c,d ∈R ，z 1+z 2=(a +c)+(b +d)i ，z 1−z 2=(a −c)+(b −d)i ，由|z 1|=3得a 2+b 2=9，由|z 2|=4得c 2+d 2=16，由|z 1+z 2|=5得(a +c)2+(b +d)2=25，因此ac +bd =0，所以|z 1−z 2|=√(a −c)2+(b −d)2=√a 2+b 2−2(ac +bd)+c 2+d 2=5所以答案是：516、已知a 为实数，若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 为纯虚数，则a =________．答案：−1分析：根据纯虚数的定义列出方程，解得，即可得出答案.解：若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 是纯虚数，则{a 2−3a −4=0a −4≠0，解得a =−1. 所以答案是：−1.解答题17、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)，所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.18、对任意的复数z =x +yi(x 、y ∈R)，定义运算P (z )=x 2[cos (yπ)+isin (yπ)]．则直线l ：x −y −9=0上是否存在整点(x,y )（x 、y 均为整数的点），使得复数z =x +yi(x 、y ∈R)经运算P 后，P (z )对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．答案：存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．分析：写出P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．解：P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))由题意{y=x−9x2sinyπ=x2cosyπ−9x,y∈Z，得x2sin(xπ−9π)=x2cos(xπ−9π)−9∴x2sinxπ=x2cosxπ+9，∵x∈Z，∴①当x=2k，k∈Z时，得x2+9=0不成立；②当x=2k+1，k∈Z时，得x2−9=0，∴x=±3成立，此时{x=3y=−6或{x=−3y=−12，故存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．。

2023年人教版高中数学第七章复数经典大题例题

(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知复数z 满足z −z =2i ，则z 的虚部是（）A ．−1B ．1C ．−iD ．i答案：A分析：设z =a +bi (a,b ∈R )，根据z −z =2i ，求得b =−1，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z −z =2i ，可得z −z =a −bi −(a +bi )=−2bi =2i ，则−2b =2，可得b =−1，所以复数z 的虚部是−1.故选：A小提示：关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.2、复数z =|√3+i |的虚部是（） A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i 答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定.∵z =|√3+i |=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ， ∴z 的虚部为−12，故选：A.3、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（）A ．−23B ．23C ．−32D ．32 答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.4、2−i1+2i =（）A ．1B ．−1C ．iD ．−i答案：D分析：根据复数除法法则进行计算.2−i 1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i 故选：D小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5、已知z(1−2i)=i ，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的虚部为i 5B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限C ．复数z 的共轭复数z =25−i 5D ．|z |=15 答案：B分析：由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．由已知得z =i 1−2i =1(1+21)(1−2i)(1+2i)=−25+i 5，所以复数z 的虚部为15，而不是i 5，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为(−25,15)，在第二象限，B 正确.z =−25−i 5，C 错误； |z|=√(−25)2+(15)2=√55，D 错误；故选：B ．小提示：本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．6、下列命题正确的是（）A ．复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，则实数m =1B ．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，则OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 重合C ．若|z −1|=|z +1|，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃑⃑⃑⃑⃑ =xOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑ （i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y ∈R ），则x +y =1答案：C分析：结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A ：复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，所以：(1+i )2−m (1+i )+2=0，2i −m −m i +2=2−m +(2−m )i =0,2−m =0,m =2，故A 错误；对于B ：设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，即这两个向量的模长相等，但是OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 不一定重合，故B 错误；对于C ：若|z −1|=|z +1|，设z =x +y i (x,y ∈R )，故：√(x −1)2+y 2=√(x +1)2+y 2，整理得：x =0，故z =y i ，故C 正确；对于D ：已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃑⃑⃑⃑⃑ =xOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(3,−2)=x (−1,2)+y (1,−1)， (3,−2)=(−x,2x )+(y,−y )=(y −x,2x −y )，{y −x =32x −y =−2，解得：x =1，y =4，故x +y =5，故D 错误．故选：C ．7、已知复数z =(a −2i )(1+3i )(a ∈R)的实部与虚部的和为12，则|z −5|=（）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C分析：先把已知z =(a −2i )(1+3i )(a ∈R)化简，整理出复数z 的实部与虚部，接下来去求|z −5|即可解决. z =(a −2i )(1+3i )=(a +6)+(3a −2)i ，则有，a +6+3a −2=12，解得a =2，则z =8+4i ，z −5=3+4i ，故|z −5|=√32+42=5．故选：C8、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为（） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃑⃑⃑⃑⃑ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃑⃑⃑⃑⃑ =BP ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =BP ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−2|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D9、复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）A．1或-1B．1C．-1D．0或-1答案：C分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.因复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0a2−1=0，解得a=−1，所以实数a的值为-1.故选：C10、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．11、设m∈R，则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z=(m+2i)(1+i)为纯虚数时m的值，与m=2比较，判断出结果z=(m+2i)(1+i)=m−2+(m+2)i，复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数，则m−2=0，解得：m=2，所以则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件故选：C12、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=（）A．i B．−i C．1D．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021，即可求解. 根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0，所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选：A.双空题13、已知a,b∈R,i是虚数单位.若z=(a−2i)(1+bi)为实数，则ab=___________，|z|的最小值为___________.答案： 2 4分析：由题设条件计算出复数z,再由复数是实数的条件即可得ab值；计算出|z|，配方即可得解.a,b∈R，则z=(a+2b)+(ab−2)i，而z∈R，所以ab−2=0，即ab=2；z=a+2b，|z|=|a+2b|=√(a+2b)2=√(a−2b)2+8ab=√(a−2b)2+16≥4，当且仅当a=2b，即a=2，b=1时取“=”，所以|z|的最小值为4.所以答案是：2；414、已知x,y∈R，i是虚数单位，x−i+y+x i=3+y i，则x=_______；y=______.答案： 2 1 .分析：利用复数相等的知识列方程组，解方程组求得x,y 的值.依题意x +y +(x −1)i =3+y i ，所以{x +y =3x −1=y⇒{x =2y =1 . 所以答案是：2；115、复数z =2+i （i 为虚数单位），则复数z̅对应的点在第_______象限，|z|=_______.答案：四 √5分析：由复数模的概念可求|z|，再由共轭复数的概念及复数的坐标表示可得复数z̅对应的点所在的象限. 因为z =2+i ，所以|z|=√22+1=√5，所以z̅=2−i ，在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，在第四象限.所以答案是：四；√5.16、已知复数z =lg (m 2−2m )+(m 2+2m −3)i 若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.答案： −3 2<m <1+√2解析：根据复数的定义和复数的几何意义解答．z 为实数，则m 2+2m −3=0，解得m =1或−3，又m 2−2m >0，所以m =−3．z 对应点在第二象限，则{lg(m 2−2m)<0m 2+2m −3>0，解得2<m <1+√2．所以答案是：−3；2<m <1+√2．小提示：易错点睛：本题在利用复数的定义求出m 的值时：m 2+2m −3=0，必须注意实部的表示法，它是由对数给出的，因此求出的结论必须使对数式有意义，即通常所说的定义域．否则易出错．17、瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用i 来表示-1的平方根，首创了用符号i 作为虚数的单位．若复数z =5−i 1+i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为________；|z |=_____．答案： −3 √13分析：利用复数的除法可计算z ，从而可求其虚部和模.z =5−i 1+i =(5−i )(1−i )(1+i )(1−i )=4−6i 2=2−3i ，故z 的虚部为−3，模为√4+9=13，故分别填−3,√13.小提示：本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.解答题18、计算：（1）(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2；（2）i 2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i (1−√3i)8．答案：（1）513；（2）247+8√3i ．分析：（1）借助(12−√32i )3=−1，(1−i )2=−2i 以及复数的四则运算，即得解；（2）借助(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1以及复数的四则运算，即得解. （1）由于(12−√32i )3=(12−√32i )2×(12−√32i )=(−12−√32i )×(12−√32i )=−1(1−i )2=−2i故(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2=26×(−1)2−215×(−1)52i ×(−2i )6×12i =26+21526=1+29=513（2）由于(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1 故i 2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i +(1−√3i )8 =i 500×4+2+24(1+i )8−225(1−i )50+(−2√3+i )(1−2√3i )(1+2√3i )(1−2√3i )28(1+i )828(12−√32i )8 =−1+24(2i )4−225(−2i )25+i 28(2i )428×(−1)2×(12−√32i )2=−1+24×2−4i +i +24(−12+√32i )=247+8√3i 19、计算：（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)；（2）已知z1=2+3i，z2=−1+2i，求z1+z2，z1−z2．答案：（1）1+i（2）1+5i,3+i分析：（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)=(13+2−43)+(12−1+32)i=1+i；（2）∵z1=2+3i，z2=−1+2i，∴z1+z2=2+3i+(−1+2i)=1+5i，z1−z2=2+3i−(−1+2i)=3+i 20、化简：(1)16(cosπ4+i sinπ4)⋅2(cosπ12+i sinπ12)；(2)8(cos240°+i sin240°)÷2(cos210°−i sin210°)．答案：(1)8+8√3i；(2)4i.分析：(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.（1）8(cosπ4+i sinπ4)⋅2(cosπ12+i sinπ12)=16(cosπ3+i sinπ3)=16(12+√32i)=8+8√3i.（2）8(cos240°+i sin240°)÷2(cos150°−i sin150°)=4(cos240°+i sin240°) cos(−210°)+i sin(−210°)=4(cos450°+i sin450°)=4(cos90°+i sin90°)=4i.。

高中数学复数运算题解析

高中数学复数运算题解析一、引言复数运算是高中数学中的重要内容，掌握复数的运算规则和技巧对于解决各类数学问题至关重要。

本文将通过具体的例题，对高中数学中常见的复数运算题进行解析和说明，帮助读者掌握复数运算的方法和技巧。

二、复数的定义和基本运算规则复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数的加减乘除运算与实数的运算类似，具体规则如下：1. 复数的加法和减法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 复数的乘法：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i3. 复数的除法：(a+bi) ÷ (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i三、复数运算题解析下面通过具体的例题，对不同类型的复数运算题进行解析和说明。

例题1：计算复数的乘法已知复数z₁=3+2i，z₂=1-4i，求z₁×z₂。

解析：根据复数乘法的运算规则，我们可以将z₁×z₂展开计算：z₁×z₂ = (3+2i) × (1-4i)= 3×1 - 3×4i + 2i×1 - 2i×4i= 3 - 12i + 2i - 8i²= 3 - 12i + 2i + 8= 11 - 10i所以，z₁×z₂ = 11 - 10i。

考点：复数的乘法运算规则。

例题2：计算复数的除法已知复数z₁=5+3i，z₂=2-6i，求z₁÷z₂。

解析：根据复数除法的运算规则，我们可以将z₁÷z₂展开计算：z₁÷z₂ = (5+3i) ÷ (2-6i)= [(5×2)+(3×6)i] ÷ [(2×2)+(-6×(-6))]= (10+18i) ÷ (4+36)= (10+18i) ÷ 40= (10/40) + (18/40)i= 1/4 + 9/20i所以，z₁÷z₂ = 1/4 + 9/20i。

高中数学复数题型归纳总结

高中数学复数题型归纳总结一、复数概念复数是由实部和虚部构成的数，可以用形如a+bi的形式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，且i^2=-1。

二、常见运算法则1.加法和减法：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2.乘法：使用分配律展开，i^2=-1，进一步简化计算。

3.除法：用有理化的方法进行分子分母的有理化，并利用i^2=-1进行简化。

三、复数的表示形式1.代数形式：a+bi，a、b为实数。

2.三角形式：r(cosθ+isinθ)，r为复数的模，θ为辐角或幅角。

3.指数形式：re^(iθ)，r为复数的模，θ为辐角或幅角。

四、复数共轭对于复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，即共轭复数与原复数的虚部符号相反，即z*=a-bi。

五、复数的模对于复数z=a+bi，其模记为|z|，即模等于复数的实部与虚部构成的向量的长度，即|z|=√(a^2+b^2)。

六、复数的辐角或幅角对于复数z=a+bi，其辐角或幅角记为arg(z)，即辐角或幅角等于复数与实轴正方向形成的夹角。

七、复数的乘方对于复数z=a+bi，其乘方可以使用三角形式来计算，即z^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，这里r为模，θ为辐角或幅角。

八、复数的根式对于复数z=a+bi，其根式可以使用三角形式来计算，即z^(1/n)=r^(1/n)(cos(θ/n)+isin(θ/n))，这里r为模，θ为辐角或幅角。

九、复数的应用领域1.电学领域：交流电的分析与计算可以使用复数来表示。

2.物理领域：波函数等的计算与分析可以使用复数来表示。

3.工程领域：信号处理、图像处理等需要对信号进行计算与分析的领域中，复数也有着广泛的应用。

综上所述，复数是由实部和虚部构成的数，具有加法、减法、乘法、除法等运算法则。

复数可以用代数形式、三角形式和指数形式来表示，其中三角形式和指数形式可以方便地进行复数的乘法、除法、乘方和根式运算。

复数在电学、物理和工程等领域有着广泛的应用，是高中数学中重要的内容之一。

高中数学第七章复数考点专题训练(带答案)

高中数学第七章复数考点专题训练单选题1、若复数z =21+i ，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i答案：B分析：复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i 故选：B.2、设i 为虚数单位，a ∈R ，“复数z =a 22−i 20201−i 不是纯虚数“是“a ≠1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：先化简z ，求出a ，再判断即可.z =a 22−i 20201−i =a 22−11−i =a 22−1+i (1−i )(1+i )=a 22−12−12i ， z 不是纯虚数，则a 22−12≠0，所以a 2≠1，即a ≠±1，所以a ≠±1是a ≠1的充分而不必要条件.故选：A .小提示：本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.3、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，11z(a,b∈R)，分别计算|z12|、|z1|2即可判断选项D，进而可得正确选项.对于选项A：取z1=2+i，z2=2−i，z12=(2+i)2=3+2i，z22=(2−i)2=3−2i，满足z12+z22=6>0，但z12与z22是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；对于选项B：取z1=2+i，z2=2−i，|z1−z2|=|2i|=2，而√(z1+z2)2−4z1⋅z2=√42−4(2+i)(2−i)=√16−20无意义，故选项B不正确；对于选项C：取，z2=i，则z12+z22=0，但是z1≠0，z2≠0，故选项C不正确；对于选项D：设z1=a+bi，(a,b∈R)，则z12=(a+bi)2=a2−b2+2abi|z12|=√(a2−b2)2+4a2b2=√(a2+b2)2=a2+b2，z1=a−bi，|z1|=√a2+b2，所以|z1|2=a2+b2，所以|z12|=|z1|2，故选项D正确.故选：D.4、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=（）A．i B．−i C．1D．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021，即可求解.根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0，所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选：A.5、已知复数z=1+i，z是z的共轭复数，若z·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A．-2B．-1C．1D．2答案：A分析：根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为z=1+i，所以z=1−i，因此z=2+bia =2a+bai=1−i，所以2a =1且ba=−1,则a=2,b=−2.11z故选：A6、在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,−2)，则zi的共轭复数为（）A．1−2i B．1+2i C．2+i D．2−i答案：D分析：依题意根据复数的几何意义得到z=1−2i，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.解：由题知，z=1−2i，则zi=(1−2i)i=2+i，所以zi=2−i，故选：D．7、若i(1−z)=1，则z+z=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1−i)=2，故选：D8、若z=1+i．则|iz+3z|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2答案：D分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．因为z=1+i，所以iz+3z=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|iz+3z|=√4+4=2√2．故选：D.多选题9、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.10、欧拉公式e xi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数e2i对应的点位于第三象限B．eπ2i为纯虚数C．复数xi√3+i 的模等于12D．eπ6i的共轭复数为12−√32i答案：BC分析：根据欧拉公式写出e2i=cos2+isin2、eπ2i=cosπ2+isinπ2、eπ6i=cosπ6+isinπ6，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.由题知e2i=cos2+isin2，而cos2<0，sin2>0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；eπ2i=cosπ2+isinπ2=i，则eπ2i为纯虚数，故B正确；xi √3+i =√3+i=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√3cosx+sinx4+√3sinx−cosx4i，则xi√3+i的模为√(√3cosx+sinx4)2+(√3sinx−cosx4)2=√3cos2x+sin2x+3sin2x+cos2x16=12，故C正确；eπ6i=cosπ6+isinπ6=√32+12i，其共轭复数为√32−12i，故D错误．故选：BC11、设复数z1，z2满足z1+z2=0，则（）A．z1=z2B．|z1|=|z2|C．若z1(2−i)=3+i，则z1z2=−2i D．若|z1−(1+√3i)|=1，则1≤|z2|≤3答案：BCD分析：由待定系数法先假设z1=a+bi，则z2=−a−bi，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.设复数z1=a+bi，由z1+z2=0，所以z2=−a−bi，因此：z1=a−bi≠z2，故A选项错误；因为|z1|=√a2+b2,|z2|=√(−a)2+(−b)2=√a2+b2，所以B选项正确；因为z1(2−i)=3+i，所以z1=3+i2−i=1+i，则z2=−1−i所以z1z2=(1+i)(−1−i)=−2i，所以C选项正确；因为|z1−(1+√3i)|=1，根据复数的几何意义可知，复数z1=a+bi所表示的点(a,b)的轨迹是以(1,√3)为圆心，1为半径的圆，则由对称性可知，复数z2=−a−bi所表示的点(−a,−b)的轨迹是以(−1,−√3)为圆心，1为半径的圆，由|z2|的几何意义表示点(−a,−b)与(0,0)间的距离，由图可知：1≤|z2|≤3，故D选项正确；故选：BCD.小提示：本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用i2=−1对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.12、对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位，则下列结论中正确的是（）A．z−z=2a B．|z|=|z|C．z+z=2a D．z+z=2bi答案：BC分析：写出共轭复数，然后计算判断各选项．由已知z=a−bi，因此z−z=2bi，z+z=2a，|z|=√a2+b2=|z|．故选：BC．13、欧拉公式e xi=cosx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项能确的是（）A．复数e2i对应的点位于第三象限B．eπi2为纯虚数C．eπi3的共轭复数为12−√32i；D．复数xi√3+i的模长等于12答案：BCD分析：对于A，e2i=cos2+isin2，根据2∈(π2，π)，即可判断出；对于BCD，根据欧拉公式e xi=cosx+ isinx逐项计算，然后判断正误即可．解：对于A，由于e2i=cos2+isin2，∵2∈(π2，π)，∴cos2∈(−1,0)，sin2∈(0,1)，∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误；对于B，e π2i=cosπ2+isinπ2=i，可得eπ2i为纯虚数，故B正确；对于C，e π3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i，∴eπ3i的共轭复数为12−√32i，故C正确．对于D，xi√3+i =√3+i=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√3cosx+sinx4+√3sinx−cosx4i，可得其模的长为√(√3cosx+sinx4)2+(√3sinx−cosx4)2=√3cos2x+2√3sinxcosx+sin2x16+3sin2x−2√3sinxcosx+cos2x16=12，故D正确；故选：BCD．填空题14、已知复数z＝√3+i(1−√3i)2，则z·z＝________.答案：14分析：化简z,计算z·z即可.z＝√3+i(1−√3i)2＝√3i2(1−√3i)2＝√3i)(1−√3i)2＝1−√3i＝√3i)(1−√3i)(1+√3i)＝−√34+i4z=−√34−i4z⋅z=316+116=14所以答案是：1415、若非零复数x,y满足x2+xy+y2=0，则(xx+y )2020+(yx+y)2020的值是___________.答案：−1分析：由题设有xy =−1±√3i2、xy+1=−(xy)2易得(xy)3n=1，同理(yx)3n=1，n∈N∗，而xx+y=−yx，yx+y=−xy，由此可知(xx+y )2020+(yx+y)2020=yx+xy，即可求值.由题设有：(xy )2+xy+1=0，解得xy=−1±√3i2，且xy+1=−(xy)2，∴(xy )3=1，即(xy)3n=1，同理有(yx)3n=1，n∈N∗，x x+y =x(x+y)(x+y)2=x2+xyx2+2xy+y2，yx+y=y(x+y)(x+y)2=y2+xyx2+2xy+y2，又x2+xy+y2=0，∴xx+y =−y2xy=−yx，yx+y=−x2xy=−xy，∴(xx+y )2020+(yx+y)2020=(yx)2020+(xy)2020=(yx)3×673+1+(xy)3×673+1=yx+xy=−1，所以答案是：−1.16、若复数z1=sinπ3−icosπ6，z2=2+3i，则|z1|________|z2|（填“>”“<”或“=”）．答案：<分析：由复数模的计算公式，分别计算出|z1|和|z2|，即可比较大小.|z1|=√sin2π3+cos2π6=√34+34=√62，|z2|=√22+32=√13．因为√62=√32<√13，所以|z1|<|z2|.所以答案是：<解答题17、已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m<0，解得m>1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m−4i|，解得m=3．综上可得：m=−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。

复数试题及答案高中数学

复数试题及答案高中数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项表示复数的实部和虚部都是正数？A. 3+4iB. 3-4iC. -3+4iD. -3-4i答案：A2. 复数z=2+3i的共轭复数是？A. 2-3iB. -2-3iC. -2+3iD. 2+3i答案：A3. 复数的模长定义为？A. 复数的实部B. 复数的虚部C. 复数的实部和虚部的平方和的平方根D. 复数的实部和虚部的和答案：C4. 复数z=a+bi（a,b∈R）的虚部是？A. aB. bC. a+biD. a-bi5. 复数的乘法满足分配律，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，其中a、b、c、d均为实数。

下列哪个选项是正确的？A. 正确B. 错误答案：A6. 复数的加法满足交换律，即a+bi+c+di=c+di+a+bi，其中a、b、c、d均为实数。

下列哪个选项是正确的？A. 正确B. 错误答案：A7. 复数的乘法不满足交换律，即(a+bi)(c+di)≠(c+di)(a+bi)，其中a、b、c、d均为实数。

下列哪个选项是正确的？A. 正确B. 错误答案：B8. 复数的除法可以通过乘以共轭复数来简化，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c^2+d^2)，其中a、b、c、d均为实数。

下列哪个选项是正确的？A. 正确B. 错误答案：A9. 复数的幂运算可以通过欧拉公式来简化，即(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r和θ是复数a+bi的模长和幅角，n为正整数。

下列哪个选项是正确的？A. 正确答案：A10. 复数的根可以通过复数的幂运算来求解，即(a+bi)^(1/n)=r^(1/n)(cos(θ/n)+isin(θ/n))，其中r和θ是复数a+bi的模长和幅角，n为正整数。

下列哪个选项是正确的？A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 复数3-4i的模长是_________。

全国通用2023高中数学必修二第七章复数必须掌握的典型题

全国通用2023高中数学必修二第七章复数必须掌握的典型题单选题1、复数z =|√3+i |的虚部是（） A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定. ∵z =|√3+i |=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ， ∴z 的虚部为−12，故选：A.2、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i 2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．3、若z(1−2i )=2+i ，则复数z̅=（）A ．-1B ．−iC ．1D ．i答案：B分析：由复数的除法运算和共轭复数的概念，即可求出结果.由z(1−2i )=2+i ，得z =2+i 1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−2+i +4i 5=i ，则z̅=−i .故选：B.4、设复数z满足z⋅i=−1+i，则|z|=（）A．1B．√2C．√5D．√10答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.解析因为z=−1+ii =(−1+i)⋅ii⋅i=−i−1−1=1+i，所以z=1−i，|z|=√2.故选：B5、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（）A．2sinθ2(cosθ+π2+i sinθ+π2)B．2sinθ2(cosπ−θ2+isinπ−θ2)C．2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)D．2cosθ2(cosπ−θ2+i sinπ−θ2)答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin2θ2−2i sinθ2cosθ2=2sinθ2(sinθ2−i cosθ2)=2sinθ2(cosπ−θ2−i sinπ−θ2)=2sinθ2[cosπ−θ2+i sin(−π−θ2)]=2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)，故选：C.6、若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z̅.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D7、设(1+i)x=1+y i，其中i为虚数单位，x,y是实数，则|x+yi|=（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2答案：B分析：先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解.因为(1+i )x =1+y i ，所以{x =1y =x ，解得{x =1y =1 ，所以|x +y i |=√x 2+y 2=√2.故选：B.8、在复平面内，复数z =5i 3−4i （i 为虚数单位），则z 对应的点的坐标为（）A ．(3,4)B ．(−4,3)C ．(45,−35)D ．(−45,−35)答案：D分析：根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.因为z =5i 3−4i =5i (3+4i )(3−4i )(3+4i )=3i−45=−45+35i ，所以z =−45−35i ，所以复数z 所对应的点的坐标为(−45,−35).故选:D .9、复数2i1−i （i 是虚数单位）的虚部是（）A ．1B ．−iC ．2D ．−2i答案：A分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.由题意可知，2i 1−i =2i ×(1+i )(1−i )(1+i )=−2+2i 2=−1+i ，所以复数2i1−i 的虚部为1.故选：A.10、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（）A ．−32B ．−1C ．−12D ．1答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b )，解得a =1，b =−23，故选：D.填空题11、已知(−1+√3i )3(1+i )6=a +b i (a,b ∈R )，则a +b =____________．答案：1分析：利用复数四则运算法则，计算(−1+√3i )3(1+i )6=i ，然后利用复数相等，得a =0,b =1，得答案. (−1+√3i )3(1+i )6=[2(−12+√32i )]3[(1+i )2]3=88i 3=1−i =i ，所以a =0,b =1，从而a +b =1．所以答案是：1.12、已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R)的一个根，则m ＋n ＝____.答案：92分析：将x =1+2i 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；解：将x =1+2i 代入方程x 2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i )2－m (1＋2i )＋2n ＝0，即1+4i −4−m −2mi +2n =0，即(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，由复数相等的充要条件，得{−3−m +2n =04−2m =0 解得{n =52m =2故m +n =2+52=92. 所以答案是：9213、已知复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z1z 2是实数，则实数b ＝________. 答案：6分析：化简z1z 2，利用虚部为零，计算出b 即可.z 1z 2＝3−bi 1−2i ＝(3−bi)(1+2i)(1−2i)(1+2i)＝3+2b+(6−b)i 5， ∵z 1z 2是实数，∴6－b ＝0，即b ＝6. 所以答案是：6解答题14、已知z 为复数，z +2i 和z 2−i 均为实数，其中i 是虚数单位． (1)求复数|z | ；(2)若复数z 1=z̅+1m−1−7m+2i 对应的点在第四象限，求m 的取值范围．答案：(1)|z | =2√5；(2)−2<m <34或1<m <32 分析：（1）设z =a +b i ，得出z +2i 和z 2−i ，根据题意即可求出；（2）表示出z 1，根据z 1对应的点在第四象限可得不等关系求解.(1)设z =a +b i ，则z +2i =a +(b +2)i ，z 2−i =a+b i 2−i =(a+b i )(2+i )(2−i )(2+i )=a−b 5+a+2b 5i ，因为z +2i 和z2−i 均为实数，所以{b +2=0a+2b 5=0 ，解得{a =4b =−2 ，所以z =4−2i ，则|z | =√42+(−2)2=2√5；(2)z 1=4+2i +1m−1−7m+2i =4m−3m−1+2m−3m+2i ，因为z 1对应的点在第四象限，所以{4m−3m−1>02m−3m+2<0 ，解得−2<m <34或1<m <32. 15、设复数z 1=1−a i (a ∈R ),z 2=3−4i .(1)若z 1+z 2是实数，求z 1⋅z 2；(2)若z1z 2是纯虚数，求z 1的共轭复数. 答案：(1)19+8i(2)1−34i 分析：(1)根据z 1+z 2是实数，求得a =−4，再由复数的乘法运算即可求得z 1⋅z 2；(2)由z 1z 2是纯虚数，可得a =−34，即有z 1=1+34i ，即可得z 1的共轭复数. （1）解：∵z 1+z 2=4−(4+a )i 是实数，∴4+a =0,a =−4,z 1=1+4i ，∴z 1⋅z 2=(1+4i )(3−4i )=19+8i（2）解：∵z 1z 2=1−a i 3−4i =(1−a i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=(3+4a )+(4−3a )i 25是纯虚数，所以{3+4a =04−3a ≠0，解得a =−34，所以z 1=1+34i ，故z 1的共轭复数为1−34i .。

高中数学第七章复数易错知识点总结(带答案)

高中数学第七章复数易错知识点总结单选题1、已知复数z =(1−i )−m (1+i )是纯虚数，则实数m =（） A ．-2B ．-1C ．0D ．1 答案：D解析：利用纯虚数的性质可得m 的值.z =(1−i )−m (1+i )=1−m −(m +1)i ，因为z 为纯虚数且m 为实数，故{1−m =01+m ≠0，故m =1，故选：D2、在复平面内，复数1+i 的共轭复数所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. ∵复数1+i 的共轭复数为1−i ， ∴其对应的点(1,−1)位于第四象限. 故选：D.小提示：本题考查复数的几何意义，属于基础题.3、已知z =a −2+(1+2a)i 的实部与虚部相等，则实数a =（） A ．2B ．−2C ．3D ．−3 答案：D分析：由题可得a −2=1+2a ，即得. 由题可知a −2=1+2a ，解得a =−3. 故选：D ． 4、2−i1+2i =（）A．1B．−1C．iD．−i答案：D分析：根据复数除法法则进行计算.2−i 1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故选：D小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5、若a,b∈R，i是虚数单位，a+2021i=2−bi，则a2+bi等于（）A．2021+2i B．2021+4i C．2+2021i D．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a=2，−b=2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．6、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2,sin2即可确定e2i对应点所在象限.由题意知：e2i=cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0,sin2>0，故e2i对应点在第二象限.故选：B7、已知复数z=2−i20171+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．复数z =2−i 20171+i =2−i 1+i =(2−i )(1−i )(1−i )(1+i )=1−3i 2=12−32i ，则z =12+32i所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限.故选：A8、下列命题正确的是（）A ．复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，则实数m =1B ．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 重合C ．若|z −1|=|z +1|，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y ∈R ），则x +y =1 答案：C分析：结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A ：复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，所以：(1+i )2−m (1+i )+2=0， 2i −m −mi +2=2−m +(2−m )i =0,2−m =0,m =2，故A 错误；对于B ：设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，即这两个向量的模长相等，但是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定重合，故B 错误；对于C ：若|z −1|=|z +1|，设z =x +yi (x,y ∈R )，故：√(x −1)2+y 2=√(x +1)2+y 2，整理得：x =0，故z =yi ，故C 正确；对于D ：已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(3,−2)=x (−1,2)+y (1,−1)， (3,−2)=(−x,2x )+(y,−y )=(y −x,2x −y )，{y−x=32x−y=−2，解得：x=1，y=4，故x+y=5，故D错误．故选：C．多选题9、设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．|z|2=zzB．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2答案：ACD分析：根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 设z=x+yi(x,y∈R)，则z=x−yi，对A：|z|2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz，故A正确；对B：z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi≠x2+y2=|z|2，故B错误；对C：若|z|=1，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而|z+i|表示复数z对应点到(0,−1)的距离，故当且仅当z对应点为(0,1)时，取得最大值2，故C正确；对D：若|z−1|=1，其表示复数z对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点，又|z|表示复数z对应点到原点的距离，显然|z|∈[0,2]，故D正确.故选：ACD.10、已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．i+i2+i3+i4=0B．复数z=3−i的虚部为−iC．若z=(1+2i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z−1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线分析：根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.A选项，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A选项正确.B选项，z的虚部为−1，故B选项错误.C选项，z=1+4i+4i2=−3+4i,z=−3−4i，对应坐标为(−3,−4)在第三象限，故C选项错误.D选项，|z−1|=|z+1|=|z−(−1)|表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，故z的轨迹是线段AB的垂直平分线，故D选项正确.故选：AD11、已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若复数z=1+i1−i，则z30=−1B．若复数z满足|z−1|=|z−i|，则复平面内z对应的点Z在一条直线上C．若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1D．复数z=2−i的虚部为−i答案：AB分析：根据复数的运算直接计算可知A；由复数的模的公式化简可判断B；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C；由虚部概念可判断D.对于A：因为z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，所以z30=i30=i4×7+2=i2=−1，故A正确；对于B：设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z−1|=|z−i|，得√(x−1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得y=x，即点Z在直线y=x上，故B正确；对于C：(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则{x 2−1=0,x2+3x+2≠0，即x=1，故C错误；对于D：复数z=2−i的虚部为−1，故D错误.故选：AB.12、已知复数ω=−12+√32i（i是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A．ω2=ω B．ω3=−1 C．ω2+ω+1=0 D．ω>ω分析：计算ω2可判断A ；计算ω3可判断B ；计算ω2+ω+1可判断C ；根据虚数不能比较大小可判断D. ∵ω=−12−√32i ， ∴ω2=14−√32i −34=−12−√32i =ω，故A 正确，ω3＝ω2ω＝(−12−√32i)(−12+√32i)=14−(−34)＝1，故B 错误，ω2+ω+1=−12−√32i −12+√32i +1＝0，故C 正确；虚数不能比较大小，故D 错误. 故选：AC ．小提示：本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．难度中等． 13、已知a ，b ∈R ，(a −1)i −b =3−2i ，z =(1+i )a−b ，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部是2i B ．|z |=2C ．z =−2iD ．z 对应的点在第二象限答案：BC分析：根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.由复数相等可得{−b =3,a −1=−2,解得{a =−1,b =−3,所以z =(1+i)a−b =(1+i)2=2i ，对于A ，z 的虚部是2，故A 错误；对于B ，|z|=|2i|=2，故B 正确；对于C ，z =−2i ，故C 正确；对于D ，z 对应的点在虚轴上，故D 错误. 故选：BC 填空题14、已知复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z1z 2是实数，则实数b ＝________.答案：6分析：化简z1z 2，利用虚部为零，计算出b 即可.z 1z 2＝3−bi 1−2i ＝(3−bi)(1+2i)(1−2i)(1+2i)＝3+2b+(6−b)i5，∵z 1z 2是实数，∴6－b ＝0，即b ＝6.所以答案是：615、若z ∈C ，且2z−5=i ，则Re(z)=________. 答案：5分析：推导出(z −5)i =2，从而z =2i +5=5−2i ，由此能求出Re (z ).解：∵z ∈C ，且2z−5=i ， ∴(z −5)i =2，∴z =2i +5=5+2ii 2=5−2i ， ∴Re (z )=5. 所以答案是：5.小提示：本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.16、已知复数z 1=1+3i ，z 2=t +i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2是实数，则实数t =___________. 答案：13分析：由共轭复数定义和复数乘法运算可求得z 1⋅z 2，利用实数定义可构造方程求得t . ∵z 1⋅z 2=(1+3i )⋅(t −i )=(t +3)+(3t −1)i 为实数，∴3t −1=0，解得：t =13. 所以答案是：13.解答题17、已知点P(√3,1),Q (cosx,sinx ),O 为坐标原点，函数f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )=4,BC =3，求△ABC 周长的最大值. 答案：(1)2π(2)3+2√3分析：（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到f (x )=4−2sin (x +π3)，进而求出最小正周期；（2）利用余弦定理求出(b +c )2−9=bc ，使用基本不等式求出b +c ≤2√3，进而得到△ABC 周长的最大值. (1)f (x )=OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)⋅(√3−cosx,1−sinx)=3−√3cosx +1−sinx =4−2sin (x +π3)故f (x )的最小正周期T =2π， (2)f (A )=4−2sin (A +π3)=4，解得：sin (A +π3)=0，而A ∈(0,π)，故A +π3∈(π3,4π3)，故A +π3=π，所以A =2π3；又BC =3，设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−92bc=−12，所以(b +c )2−9=bc ，又bc ≤(b+c )24，故(b +c )2−9≤(b+c )24，解得：b +c ≤2√3，当且仅当b =c =√3时等号成立，故a +b +c ≤3+2√3，即△ABC 周长的最大值为3+2√3. 18、已知O 为坐标原点，向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ､OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1，z 2，且z 1=3a+5+(10−a 2)i ，z 2=21−a+(2a −5)i(a ∈R)，若z 1+z 2是实数. (1)求实数a 的值；(2)求以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积. 答案：(1)a =3 (2)118分析：（1）由已知结合z 1+z 2为实数求得a 的值，（2）求得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的点的坐标，再由OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值计算夹角的正余弦，则可求面积．（1）由z 1=3a+5+(10−a 2)i ，得z 1=3a+5−(10−a 2)i ，则z 1+z 2=3a+5+21−a +[(a 2−10)+(2a −5)]i 的虚部为0，∴a 2+2a −15=0．解得：a =−5或a =3．又∵a +5≠0，∴a =3．（2）由（1）可知z 1=38+i ，z 2=−1+i ．OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(38，1)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)．∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58．所以cos 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=58√64⋅√2=√146，所以sin 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=√146，所以以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积S =|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=118。

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