第6课时 集合的并集、交集、补集的综合运算

第6课时 集合的并集、交集、补集的综合运算
课时目标
1.深刻理解交集、并集、补集的含义及运算．
2．能进行集合的并交补运算．
识记强化
1．集合的运算性质
(1)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B.
2．下列各式中，表达错误的是()
A．∅⊆{x|x<4} B．2 ∈{x|x<4}
C．∅∈{∅，{0}，{1}} D．{2 }∈{x|x<4}
答案：D
解析：对于B，C，元素与集合之间用“∈”或“∉”符号，且2 是集合{x|x<4}中的元素，所以B表达正确，∅是集合{∅，{0}，{1}}中的一个元素，所以C表达正确；对于A，D，集合与集合之间用“⊆”或“ ”符号，且∅是任何集合的子集，所以A表达正确，D表达错误．
(3)A⊆B⇔A∪B＝B⇔A∩B＝A.
(4)A∪( A)＝U，A∩( A)＝∅.
(5) ( A)＝A， U＝∅， ∅＝U.
2．全集具有相对性，即对于研究某个问题时的全集可能在研究另一个问题时就不是全集；补集是相对于全集而言的，由于全集具有相对性，那么补集也具有相对性，在不同的全集下，一个集合的补集可能不相同．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设全集U＝{1,3,5,7}，若集合M满足 M＝{5,7}，则集合M为()
A．{1,3} B．{1}或{3}
C．{1,3,5,7} D．{1}或{3}或{1,3}
答案：A
解析：由U＝{1,3,5,7}及 M＝{5,7}，得M＝{1,3}，故选A.
11．(13分)已知集合A＝{x|2<x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|5－a<x<a}．
(1)求A∪B，( A)∩B；
(2)若C⊆B，求实数a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|2<x<10}．
∵ A＝{x|x≤2或x≥7}，
∴( A)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)①当C＝∅时，满足C⊆B，此时5－a≥a，得a≤ ；
解得a＝－1或a＝2.
经检验，a＝－1时，A＝{1}，符合题意；a＝2时，A＝{1,4}，与A＝{1}矛盾，舍去．
综上所述，存在实数a＝－1，使得A，B满足条件．
13．(15分)已知集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋a2＝0}，B＝{x|x2－x＝0}，是否存在实数a，使A，B同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③∅ (A∩B)？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数a使A，B满足题设条件，易知B＝{0,1}．
因为A∪B＝B，所以A⊆B，即A＝B或A B.
答案：{x|0≤x≤1}∅
解析：因为M＝{x|x>1，x∈R}，所以 M＝{x|x≤1，x∈R}，又N＝{y|y＝2x2，x∈R}＝{y|y≥0}，所以( M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M＝{x|x>1，x∈R}表达数集，而P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}表示点集，所以M∩P＝∅.
A．M＝N B．M⊆N
C．M⊇N D．M，N无公共元素
答案：D
解析：因为M＝{(x，y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}＝{(－3,1)}是点集，而N＝{－3,1}是数集，所以两个集合没有公共元素，故选D.
6．已知全集U＝R，集合A＝{x|1<x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩( B)等于()
A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x<2}
3．设全集U＝Z，集合A＝{－1,1,2}，B＝{－1,1}，则A∩( B)为()
A．{1,2} B．{1}
C．{2} D．{－1,1}
答案：C
解析：因为U＝Z，B＝{－1,1}，所以 B为除－1,1外的所有整数的集合，而A＝{－1,1,2}，所以A∩( B)＝{2}．
4．已知集合A＝{x∈Z|x2－3x－18<0}，B＝{x|2－x>0}，则A∩B等于()
②当C≠∅时，要C⊆B，则 ，解得 <a≤3.
由①②，得a≤3.
∴a的取值范围是{a|a≤3}．
能力提升
12．(5分)设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)等于()
A．P B．M∩P
C．M∪P D．M
答案：B
解析：解析：由于给出的新定义，以及所需解决的问题中的集合都是抽象的集合，这时若类比于实数运算，则会得出错误结论．而用图示法，则有助于对新定义的理解，如图所示．
由条件①A≠B，知A B.
又因为∅ (A∩B)，所以A≠∅，即A＝{0}或{1}．
当A＝{0}时，将0代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0，得a2＝0，解得a＝0.
经检验，a＝0时，A＝{0,3}，与A＝{0}矛盾，舍去．
当A＝{1}时，将1代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0，得a2－a－2＝0，
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)某班有50名学生，有36名同学参加学校组织的数学竞赛，有23名同学参加物理竞赛，有3名学生两科竞赛均未参加，问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛？
解：全集为U，其中含有50名学生，设集合A表示参加数学竞赛的学生，B表示参加物理竞赛的学生，则U中元素个数为50，A中元素个数为36，B中元素个数为23，全集中A、B之外的学生有3名，设数学、物理均参加的学生为x名，则有(36－x)＋(23－x)＋x＋3＝50，解得x＝12.所以，本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛．
答案：{x|x≤－2或x≥6}
得∁U(A∪B)＝{x|x≤－2或x≥6}．
8．如图所示，阴影部分表示的集合为________．
答案： (A∪B)∪(A∩B)解析：阴影部分有两类：(1) (A∪B)；(2)A∩B.
9．设集合M＝{x|x>1，x∈R}，N＝{y|y＝2x2，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}，则( M)∩N＝________，M∩P＝________.
A．{3,4,5}
B．{－2，－1,0,1}
C．{－5，－4，－3，－2，－1,0,1}
D．{－5，－4，－3}
答案：B
解析：A＝{x∈Z|－3<x<6}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x<2}，∴A∩B＝{－2，－1,0,1}，选B.
5．集合M＝{(x，y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}，N＝{－3,1}，则M与N的关系是()
C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}
答案：A
解析：U＝R，∴ B＝{x|x≤2}，A∩ B＝{x|1<x≤3}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．选A.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知集合U＝R，A＝{x|－2<x≤5}，B＝{x|4≤x<6}，则∁U(A∪B)＝________.