第三章 应变状态理论

ε x ε y ε z ε xy ε yz ε zx
则相对位移张量（非对称） 则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转 动张量。 动张量。
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3.3 转轴时应变分量的变换
设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的 个应 下 物体内某一点的6个应 设在坐标轴 变分量为 εx ,ε y ,εz ,γ xy,γ yz,γ zx 。现使坐标轴旋 转一个角度，新老坐标的关系为： 转一个角度，新老坐标的关系为： x y z
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
v z w x u y

ω ω 称为转动分量。 称为转动矢量， 这里的ω 称为转动矢量，而ω x， y ， z 称为转动分量。 由此，可将相对位移张量分解为两个张量： 由此，可将相对位移张量分解为两个张量：
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
x
+ε
y
+εz)
则体应变为
V * −V θ = = εx +εy +εz V
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又可表示为： 又可表示为：
∂u ∂v ∂w θ = + + ∂ x ∂ y ∂z
对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形 后必须保持其整体性和连续性，即物体既不开裂，又 不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不 协调的。
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εij应变张量各分量满足的应变协调条件： 应变张量各分量满足的应变协调条件：
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
∂ 2ε y ∂z 2
+
∂ εz = 2 ∂y ∂y∂z
2
∂ 2γ yz
∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2γ zx + 2 = 2 ∂x ∂z ∂z∂x ∂ 2ε x ∂ ∂γ zx ∂γ xy ∂γ yz 2 = + − ∂y∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ 2ε y ∂ ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx 2 = + − ∂z∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂ 2ε z ∂ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 2 = + − ∂x∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
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如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
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dx dx
我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后 为P'A'，P'点的位移为(u,v)，A'点x方向的位移为
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我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 P'B'，B'点y方向的位移为 ∂v v+ d y ∂y x方向上的位移为
∂u u+ d y ∂y
PB的正应变在小变形时是由y方向的 位移所引起的，因此PB正应变为： ∂v εy = PB的转角为： ∂u ∂y β=
∂y
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3.2 一点的形变状态，形变张量 一点的形变状态，
相对位移张量 6个应变分量是通过位移分量的 个一阶偏导，即： 个应变分量是通过位移分量的9个一阶偏导 个应变分量是通过位移分量的 个一阶偏导，
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
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A
∂v 线段PA的转角是 α = ∂x
∂u 线段PB的转角是 β = ∂y
于是，直角APB的改变量为
有时用张量分量
P B
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∂v ∂u γ xy = α + β = + ∂x ∂y
∂v ∂u ∂x + ∂y
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A
ε xy
1 = 2
这样，平面上一点的 变形我们用该点x方向上 的正应变、y方向上的正 应变和xy方向构成的直角 的变化来描述，称为应变 分量，也就是所说的几何 方程。 从几何方程可见，当物体 的位移分量完全确定时， 形变分量即完全确定。 能完全确定。
1 ∂ui ∂u j ε ij = ∂x + ∂x 2 j i
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空间的应变分量共九 个分量，是一个对称张量， 和应力张量一样，它们遵 从坐标变换规则，同样存 在着三个互相垂直的主方 向，对应的主应变值是该 张量的特征值。这些互相 垂直的主方向构成的直角 在该应变张量的变形时， 角度不变，由主平面组成 的单元体，由正方体变为 直角长方体。在主方向构 成的坐标系中，张量分量 构成对角阵，切应变分量 为零。
=
εy
1 γ yz 2
+
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上式，等号右边第一项为对称张量， 上式，等号右边第一项为对称张量，表示微 元体的纯变形，称为应变张量， 元体的纯变形，称为应变张量，第二项为反对称 张量，它表示微元体的刚体转动，即表示物体变 张量，它表示微元体的刚体转动， 形后微元体的方位变化。 形后微元体的方位变化。 如物体中一点M 如物体中一点M的形变分量为
ε − J 1ε + J 2ε − J 3 = 0
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3.4 体应变 应变协调方程
体应变：物体变形后单位体积的改变。 如给定的六面体，其微分体积为
V = d xd yd z
其变形后的体积为：
V
*
= d x (1 + ε x ) d y (1 + ε y ) d z (1 + ε z ) ≈ d x d y d z (1 + ε
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∂u εx = ∂x ∂v εy = ∂y
ε xy
1 = 2
∂v ∂u ∂x + ∂y
思考题：当形变分量完全确定时，位移分量是否
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同样，空间一 点的变形我们用该 点x、y、z方向上 的正应变和xy、yz、 zx方向构成的直角 的变化－切应变来 描述。 张量形式为
同理， 同理，可以给出某一点沿任意方向微分线段的伸 长率
ε r = ε x l 2 + ε y m 2 + ε z n2 + γ yz m n + γ xz l n + γ xy l m
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3.4 主形变，形变张量不变量 主形变，
与应力状态相类似，把切应变等于零的面称为 主平面。主平面的法线方向称为主应变方向，主平 面上的正应变就是主应变。同样存在第一、第二和 第三应变不变量。
∂u u+ dx ∂x
y方向上的位移为
∂v v+ dx ∂x
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dx
α
dx
PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所 引起的，因此PA正应变为
εx
∂u u+ dx − u ∂u ∂x = = dx ∂x
PA的转角为
∂v v+ dx − v ∂v ∂x α = = dx ∂x
引入
ω = ∇ ×U
∂ ∂ ∂ + e2 + e3 ∂y ∂x ∂z
其中 ∇ = e1
U 为那勃勒算子， 是位移矢量， 为那勃勒算子， 是位移矢量，不难
个分量为: 算得ω 的3个分量为 个分量为
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ω ω ω
x
= = =
y
z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
w y u z v x
− − −
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从数学的观点说，要求位移函数u i 在其定义 域内为单值连续函数。如出现了开裂，位移函数 就会出现间断；出现了重叠，位移函数就不可能 为单值。因此，为保持物体变形后的连续性，各 应变分量之间，必须有一定的关系。
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由前面的讨论可知， 由前面的讨论可知，在小变形情况下的六个应变 分量是通过六个几何方程与三个位移函数相联系 的。如已知位移分量 u i ，极易通过几何方程求得 各个应变分量。 各个应变分量。 但反过来，如给定一组应变ε ij ，几何方程是关于 但反过来， 的微分方程组， 未知位移函数 u i 的微分方程组，其中包含了六个 方程，但仅三个未知函数。 方程，但仅三个未知函数。由于方程的个数超过 了未知数的个数，如任意给定ε ij ，则几何方程不 了未知数的个数， 一定有解， 满足某种可积条件， 一定有解，仅当ε ij ，满足某种可积条件，或称为 应变协调关系时， 应变协调关系时，才能由几何几何方程积分得到 单值连续的位移场。 单值连续的位移场。
第三章
应变状态理论
外力(或温度变化)作用下，物体内部各部 分之间要产生相对运动。物体的这种运动形态， 称为变形。 本章任务有两个： 1、分析一点的应变状态； 2、建立几何方程和应变协调方程。
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3.1 位移分量与应变分量－几何方程 位移分量与应变分量－ 3.2 一点的形变状态 形变张量 3.3 转轴时应变分量的变换 3.4 主形变 形变张量不变量 3.5 体应变 应变协调方程
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3.1
位移分量与应变分量 －几何方程
在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。