山西省2021届高三上学期大联考数学理试卷含答案
T8联考2023届高三第一次学业质量评价数学试题(含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 z 满足1 zi zi2 |1 3i | ，则 z （ ）
A．1 i
B． 1 1 i 22
C． 1 1 i 22
【详解】若 an 0 ，则 Sn Sn1 ，Sn 是递增数列，“ an 0 ”是“Sn 是递增数列”的充分条件；
若Sn 是递增数列，则 Sn Sn1 ，an 0(n 2) ，但是 a1 的符号不确定，“ an 0 ”不是“Sn 是
递增数列”的必要条件.
故选：A
4．C
【分析】举特例可说明 A,B,D 的正误，利用方差的计算公式可判断 C.
充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．某同学掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据 5 次的统计结果，可以判
断一定没有出现点数 6 的是（ ）
A．中位数是 3，众数是 2
B．平均数是 3，中位数是 2
C．方差是 2.4 ，平均数是 2
D．平均数是 3，众数是 2
【详解】选项 A：有可能出现点数 6，例如 2, 2,3, 4, 6 ；
选项 B：有可能出现点数 6，例如 2, 2, 2,3, 6 ；
选项 C：设这 5 次的点数为 x1, x2 ,, x5
，则方差
s2
1 5
[(
x1
2) 2
( x2
2) 2
( x5
2) 2 ]
如果出现点数 6，而 1 (6 2)2 3.2 ，则方差大于或等于 3.2，故不可能出现点数 6； 5
【详解】解 2x 4 得 x 2 ，解 log3x 1 得 0 x 3 ，
2021届山西省高三上学期大联考数学(理)试题(解析版)
（1）证明：如图，连接 ，交 于点 ，连接 ， ，
则 为 的中点.
因为 为 的中点，
所以 ，且 ，
又 ， ，
所以 为平行四边形，
即 .
因为 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：连接 ，令 ，
因为 ， 为 的中点，
所以 .
又三棱柱 是直三棱柱， ，
所以 ， ， 互相垂直，
分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
【答案】
【解析】作 , ,以 为邻边作平行四边形 ,由向量的加法减法的平行四边形法则可得 ， 与 夹角等于 与 夹角,即为 ，得出答案.
【详解】
作 , ,以 为邻边作平行四边形
则 , ,由 ，
所以三角形 为等边三角形，所以 ,即得 ，
则 与 夹角等于 与 夹角,即为
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的夹角问题，考查向量的加法减法的平行四边形法则和三角形法则考查运算求解的能力.属于基础题.
13．已知 为抛物线 上一点，抛物线 的焦点为 ，则 ______.
【答案】
【解析】 代入抛物线方程可得 ，从而可得答案.
【详解】
由 为抛物线 上一点，
得 ，可得 .
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程与定义，考查运算求解能力,属于基础题.
14．已知平面向量 ， 满足 ，则 与 夹角的大小为______.
7．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且 ，则 外接圆的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题先求出 ，再求出 ，接着求 外接圆的半径，最后求 外接圆的面积即可.
百师联盟2021届高三上学期一轮复习联考(三)-全国卷Ⅰ理科数学试卷及参考答案
百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（ ）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（ ） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（ ）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（ ）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（ ） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（ ） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（ ） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（ ）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（ ）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古202届高三数学上学期0月大联考试题理
内蒙古2021届高三数学上学期10月大联考试题 理(试卷总分:150分 考试时间：120分钟)注意事项：1。
答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2。
答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3。
答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5。
考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，A ＝{x ｜x ≤－1｝，B ＝｛x ｜x ≥1｝,C ＝{x|x ≥0}，则集合(U(A ∪B ）)∩C ＝A 。
{x|x ≥－1} B.{x|x ≤1} C.｛x|0≤x ≤1} D.｛x|0≤x 〈1｝2.已知i 为虚数单位，复数z ＝12a i (a ∈R)在复平面内对应点(x,y)，则A.y ＝－2x ＋1 B 。
y ＝2x －1 C.y ＝－2x ＋5 D 。
y ＝3x －13.设向量a ，b 满足|a ＋b|,|a －b 则a ·b ＝A.1B.2 C。
3 D。
54。
函数y＝(x3－x）2|x|的图象大致是5。
我国古代劳动人民在筑城筑堤、挖沟挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一些有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收人我国古代数学名著《九章算术》中。
《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示是一个阳马的三视图，则它的体积为A.12B.1C.2 D。
36.在等比数列｛a n｝中，a3＝6,前三项和S3＝18，则公比q的值为A。
1 B。
－12C.1或－12D。
－1或－127.已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋my＝2上，22m n+A.15B。
2024届海南省高三上学期一轮复习调研联考地理试题
2024届海南省高三年级一轮复习调研考试地理本试卷满分100分，考试用时90分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：必修1、必修2第一章至第二章、选择性必修1。
一、选择题（本卷共15个小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）人口是一切经济、社会活动的基础。
改革开放以来，随着工业化、城镇化的推进，我国流动人口急剧增长，人口流动成为我国一个重要的社会现象。
大规模人口流动，对我国的经济发展和社会进步起到了重要作用，对我国社会生活的各个方面都产生了重大影响。
下图示意2001—2020年我国18个城市群常住人口的年均变化情况。
据此完成1~3题。
1.2001—2020年，我国人口迁入规模最大的目的地是A.京津冀城市群B.长三角城市群C.珠三角城市群D.辽中南城市群2.导致哈长城市群近年来常住人口年均变化的因素是A.气候条件B.政策因素C.经济因素D.环境质量3.应对哈长城市群人口变化合理的措施是A.放宽生育政策，提高生育率B.大幅增加社会福利，放宽生育政策C.调整产业结构，发展新兴产业D.取消户籍管理制度，鼓励人口迁入我国某地区M村落进行新农村规划，根据当地的地理环境特点对防范雨洪风险进行了针对性的设计。
下表示意该村的一些重要规划信息。
据此完成4～6题。
4.该村居民点应选址在A.河流沿岸B.地势较高处C.湿地内部D.农地附近5.该村最可能位于A.沙漠绿洲B.黄土沟谷C.江南水乡D.草原牧区6.该村进行新农村规划的有利影响是A.利于乡村生态保护B.促使产业结构大幅调整C.影响乡村经济发展D.加强村落之间交通联系额尔齐斯河为鄂毕河最大的支流，是一条国际河流，流域内众多的支流均从额尔齐斯河右岸汇入，形成典型的“梳状”水系。
“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题(丙卷)数学(理)(解析版)
2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（理科）（丙）（1月份）一、选择题（每小题5分）.1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为（3，4），则下列等式错误的是（）A．z•i＝﹣4+3i B．（+1）i＝3+4iC．|z|＝5D．2．已知全集为R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|log2（x+3）＜2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3} 3．记（x+y）6＝a0x6+a1x5y+a2x4y2+a3x3y3+a4x2y4+a5xy5+a6y6，则a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最大的数为（）A．15B．20C．25D．304．已知锐角α，β满足sin（α﹣）＝，，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．5．已知2a＝3b＝6，c＝log a b，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．已知正项等差数列{a n}和正项等比数列{b n}，a1＝b1＝1，b3是a2，a6的等差中项，a8是b3，b5的等比中项，则下列关系成立的是（）A．a100＞b100B．a1024＝b11C．a10＞b5D．a99＞b97．如图，二面角α﹣l﹣β为60°，A∈α，B∈β，C，D，E∈l，∠BCD＝45°，∠AED＝30°，AE＝2BC，l⊥平面ABD，则直线AB与β所成的角为（）A．45°B．60°C．90°D．30°8．已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2048B．1024C．2046D．409410．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝，PA＝2，∠PAB＝∠PAC，三棱锥P﹣ABC的体积为+1，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．36πB．32πC．24πD．16π11．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2（如图），过F2的直线交E于P，Q两点，且PF1⊥x轴，|PF2|＝13|F2Q|，则E的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分）.13．已知单位向量，满足|+2|＝2，则与2﹣夹角的余弦值为．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣2，且3S n+a n+1+2＝0，设b n＝（﹣1）n a n，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝．15．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为．16．《九章算术》第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除给出了各种几何体体积公式外，还有工程分配方法，其中题【十八】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？其中“刍甍”（chúméng）是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍AB﹣CDEF如图所示，四边形CDEF为矩形，CD＝4，DE＝2，AB∥CD，AB ＜CD，若该刍甍高（AB到底面CDEF的距离）为1，体积为，则AB＝．三、解答题：共70分。
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学
【解析】
【分析】
根据 在 上投影为 ，以及 ，可得 ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入 即可求得 .
【详解】 在 上投影为 ，即
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑既属于 又属于 的集合，即得.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知复数z满足 ,则 在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 得： ，由复数相等可得 的值，进而求出 ，即可得解.
该几何体的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11.定义 ，已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数 定义得 ， ，则 ,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得 ，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得 ， ，代入得 ，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，即
由余弦定理得 ， ， .
（2）设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，
全国大联考2021届高三第五次联考数学(理)试卷 Word版含答案
全 国 大 联 考2021届高三第五次联考·数学试卷考生留意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可依据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前4次联考内容+计数原理+概率与统计+算法初步+推理与证明+复数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z 满足z=(1+i)(2-i)i(i 为虚数单位),则z −在复平面内对应的点位于A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|1<x+1≤3},N={x|x 2-2x-3>0},则(R M)∩(R N)等于A. (-1,3)B.(-1,0)∪(2,3)C.(-1,0]∪[2,3)D.[-1,0]∪(2,3]3.某市场调查员在同一天对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示:价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量y(件) 11 a 8 6 5由散点图可知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是y ＾=-3.2x+4a,则实数a 等于 A.7 B.8.5 C.9 D.104.已知随机变量X 听从正态分布N(2,σ2),P(X ≤3)=0.72,,则P(1<X<3)等于A.0.28B.0.44C.0.56D.0.845.在(1-x)3(1+x)8的开放式中,含x 2项的系数是A.6B.-6C.7D.-7 6.给出下列三个类比结论.①“(ab)n =a n b n ” 类比推理出“(a+b)n =a n +b n ;②已知直线a,b,c,若a ∥b,b ∥c,则a ∥c.类比推理出:已知向量a,b,c,若a ∥b,b ∥c,则a ∥c;③同一平面内,直线a,b,c,若a ⊥b,b ⊥c,则a ∥c.类比推理出:空间中,已知平面α,β,γ, 若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ.其中结论正确的个数是A.0B.1C.2D.37.要从8名老师中选派4人去参与一个研讨会,其中老师甲是领队必需去,而乙、丙两位老师不能同去,则不同的选派方法有A.18种B.24种C.30种D.48种8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是A.6B.7C.8D.99.将一个质点随机投放在关于x,y 的不等式组{3x +4y ≤19,x ≥1,y ≥1所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是A.π12B.π6C.1-π12D.1-π610.已知2a =3b =6c ,k ∈Z,不等式a+bc>k 恒成立,则整数k 的最大值为A.6B.5C.3D.411.已知A(1,0),点B 在曲线G:y=ln(x+1)上,若线段AB 与曲线M:y=1x 相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a,则A.a=0B.a=1C.a=2D.a>212.设数列a n =sin12+sin222+…+sinn2n ,则对任意正整数m,n(m>n)都成立的是A.|a n -a m |>mn 2B.|a n -a m |>m -n2 C.|a n -a m |<12n D.|a n -a m |>12n第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知i 是虚数单位,则|3-i(1+i)2+1+3i(1-i)2|= ▲ .14.某高校在某年的自主招生考试成果中随机抽取50名同学的笔试成果,绘制成频率分布直方图如图所示,若要从成果在[85,90),[90,95), [95,100]三组内的同学中,用分层抽样的方法抽取12人参与面试,则成果在[90,100]内的同学应抽取的人数为 ▲ .15.某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召,对该市甲、乙两个训练落后地区开展支教活动.经上级争辩打算:向甲地派出3名A 校老师和2名B 校老师,向乙地派出3名A 校老师和3名B 校老师.由于客观缘由,需从拟派往甲、乙两地的老师中各自任选一名互换支教地区,则互换后A 校老师派往甲地区人数不少于3名的概率为 ▲ .16.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1作圆:x 2+y 2=a 24的切线,切点为E,延长F 1E交双曲线的右支于点P,若|OP|=12|F 1F 2|(O 为坐标原点),则双曲线的离心率为 ▲ . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知点P n (a n ,b n )满足a n+1=a n ·b n+1,b n+1=bn 1-4a n2(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1,-1).(1)求过点P 1,P 2的直线l 的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于n ∈N *,点P n 都在(1)中的直线l 上. 18.(本小题满分12分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据,统计结果如下:API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300 空气质量 优 良 稍微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为: S={0,0≤ω≤100,4ω-400,100<ω≤300,2000,ω>300.试估量在本年内随机抽取一天,该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率;(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并推断能否有在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该市本年空气重度污染与供暖有关. 附K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)非重度污染 重度污染 合计供暖季 非供暖季合计10019.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC ⊥BC,AC=BC=CC 1=2,M,N 分别为AC,B 1C 1的中点. (1)求证:MN ∥平面ABB 1A 1;(2)线段CC 1上是否存在点Q,使A 1B ⊥平面MNQ?说明理由. 20.(本小题满分12分)某单位的联欢活动中有一种摸球玩耍,已知甲口袋中有大小相同的3个球,其中2个红球,1个黑球;乙口袋中有大小相同的2个球,其中1个红球,1个白球.每次从一只口袋中摸一个球,确定颜色后再放回.摸球的规章是:先从甲口袋中摸一个球,假如摸到的不是红球,连续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可连续从乙口袋里摸球;从每个口袋里摸球时,假如连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球,则该玩耍者的玩耍停止;玩耍规定,假如玩耍者摸到2个红球,那么玩耍者就中奖,若中奖该玩耍者的玩耍也停止.现假设各次摸球均互不影响.(1)一个玩耍者只摸2次就中奖的概率;(2)在玩耍中,假如某一个玩耍者不放弃全部的摸球机会,记他摸球的次数为X,求X 的数学期望. 21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,c(b>c)为半焦距,若以F 2为圆心,b-c 为半径作圆F 2,过椭圆上一点P 作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于√32(a-c).(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)设椭圆的短半轴长为1,圆F 2与x 轴的右交点为Q,过点Q 作斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,若OA ⊥OB,求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x 2+ax)e x (a ≠0).(1)若f(x)在x=-3处取到极值,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a 使f(x)≥a 2x 恒成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.。
专题03 复数必刷100题(解析版)
专题03 复数必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（文）试题）已知复数2i 1i-=-（ ）A ．3i 22+ B ．13i 22- C ．33i 22- D ．1i 22+ 【答案】A 【分析】根据复数除法运算法则计算即可. 【详解】()()()()2i 1i 2i 3i 3i1i 1i 1i 222-+-+===+--+. 故选：A.2．（广东省清远市博爱学校2022届高三上学期11月月考数学试题）在复平面内，复数3i1iz +=-（其中i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果. 【详解】 因为3i (3i)(1i)24i=12i 1i (1i)(1i)2z ++++===+--+， 所以复数z 对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限. 故选：A.3．（山西省太原市第五中学2022届高三上学期第四次模块诊断数学（文）试题）已知复数z 满足i 2z z +=，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．i -C ．iD ．1-【答案】D【分析】先由i 2z z +=求出复数z ，然后可求出其虚部 【详解】 由i 2z z +=，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-， 所以复数z 的虚部为1-， 故选：D.4．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题）复数43i2iz -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A 【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解. 【详解】 解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+， 所以复数z 的虚部为2-， 故选：A.5．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（四）数学（理）试题）复数i(,)a b a b +∈R 与1i +之积为实数的充要条件是（ ） A ．0a b == B ．0ab = C ．0a b += D ．0a b -=【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算结合复数分类的概念即可得到答案. 【详解】因为(i)(1i)()i a b a b a b ++=-++是实数，所以0a b +=， 故选：C ．6．（四川省南充市2022届高考适应性考试（零诊）理科数学试题）已知2(1i)34i z -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】B 【分析】由2(1i)34i z -=+求出复数z ，即可求得答案． 【详解】由2(1i)34i z -=+，得()234i34i 3i22i 21i z ++===-+--， 则复数z 在复平面内对应的点为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限，故选：B.7．（黑龙江省大庆市东风中学2021-2022学年高三上学期10月质量检测数学（文）试题）设复数1z =（i 是虚数单位），则z z +的值为（ ） A ．B ．C ．1D ．2【答案】D 【分析】根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解. 【详解】由复数1z =，可得1z =，所以112z z +=++=， 所以2z z +=. 故选：D.8．（江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学试题）设4-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．32 B ．3i 2C ．32-D ．3i 2-【答案】C 【分析】先对复数4-化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部【详解】因为()()()()2i1i2i13i13i 1i1i1i222z++++====+--+，所以13i22z=-，所以z的虚部为32-，故选：C.9．（西南四省名校2021-2022学年高三上学期第一次大联考数学（理）试题）已知复数2,2,dq=⎧⎨=⎩，则z的虚部为（）A．1-B．i-C．1D．2i-【答案】A【分析】先利用复数的除法法则化简，再利用共轭复数和虚部的概念进行求解. 【详解】因为22(1i)1i 1i2z+===+-，所以1iz=-，则z的虚部为1-．故选：A．10．（广东省深圳市普通中学2022届高三上学期质量评估（新高考I卷）数学试题）若复数1iiiza+=-+为纯虚数，则实数a的值为（）A．1-B．12-C．0 D．1【答案】A【分析】根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可.【详解】化简原式可得：()()()22212i1i i1ii ii11a a aaza a a++--+-+=-=-=+++z 为纯虚数时，221021a a a a +=--+，≠0即 1a =-，选项A 正确，选项BCD 错误. 故选A ．11．（广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知复数1(2)i z a a=+-（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线y x =上，若a ∈R ，则z =（ ） AB ．2C D ．10【答案】A 【分析】先利用实部等于虚部，求出参数，即可求出模. 【详解】解：由题意得：1(2)a a=-，解得1a =，z 故选：A.12．（全国2022届高三第一次学业质量联合检测文科数学（老高考）试题）复数112i1iz +=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】112433i ii i ⨯+===-，则()()()()112i 1i 2i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 2221i z +++++=====+--++，因此，复数z 对应的点位于第一象限. 故选：A.13．（神州智达省级联测2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题）在复平面内，点A 和C 对应的复数分别为42i -和24i -+，若四边形OABC 为平行四边形，O （为坐标原点），则点B 对应的复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．22i -D ．22i +【分析】由复数的几何意义，可得OA 与OC 的坐标，再根据向量加法的平行四边形法则即可求解OB 的坐标，从而可得点B 对应的复数. 【详解】解：由题意，4,2,2)4(,()OA OC =--=， 又OB OA OC =+， 所以()2,2OB =，所以点B 对应的复数为22i +. 故选：D.14．（广东省广州市西关外国语学校2022届高三上学期8月月考数学试题）已知复数()()1i 12i z =--，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数虚部为（ ） A ．3- B ．3C ．3i -D ．3i【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算化简复数13i --，再根据共轭复数的概念，即可得答案； 【详解】()()1i 12i 13i z =--=--，∴13i z =-+，∴z 的共轭复数虚部为3，故选：B.15．（广东省深圳市龙岗布吉中学2020-2021学年高一下学期中数学试题）已知i 是虚数单位，则复数202120212i 2i z -=+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】利用复数的乘方、除法运算化简z ，进而判断其所在的象限.由4i 1=，则20215054122021505412i 2i 2i (2i)34i2i (2i)(2i)52i 2i z ⨯+⨯+-----=====++-++， ∴z 对应的点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭所在的象限是第四象限.故选：D.16．（湖南省岳阳市岳阳县第一中学2021-2022学年高三上学期入学考试数学试题）已知复数122,i(R)1iz z a a ==+∈+，若12,z z 在复平面内对应的向量分别为12,OZ OZ （O 为直角坐标系的坐标原点），且12||2OZ OZ +=，则a =（ ） A ．1 B ．-3 C ．1或-3 D ．-1或3【答案】C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简1z ，然后求得12OZ OZ +，再由复数模的计算公式求解． 【详解】 122(1i)1i 1+i (1i)(1i)z -===-+-， 2i z a =+，则12|||(1,1)(,1)||(1,0)||1|2OZ OZ a a a +=-+=+=+=，解得1a =或3-． 故选：C.17．（甘肃省天水市秦州区2020-2021学年高二下学期第一阶段检测数学（文）试题）关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】B 【分析】根据复数差的模的几何意义，分析即可得答案. 【详解】由于两个复数差的模表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，所以关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是以（3,0）为圆心，1为半径的圆.18．（江苏省无锡市辅仁高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：i cos isin e θθθ=+，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数i412i 1i z π-=++在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】利用欧拉公式代入直接进行复数的运算即可求解. 【详解】i412i 12i cos isin 1i 1=i 44z e πππ--⎫=++⎪++⎭12i 12ii 11i 1i =⎫--++=++⎪⎪++⎝⎭()()()()12i 1i 13i 11i 1i 1=i 1i 1i 222----=++=++-+-,所以复数z 在复平面对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限，故选：D.19．（福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）数学试题）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）． A ．1 B ．iC ．1-D ．i -【答案】B 【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可.根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故选:B.20．（福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题）复数z 满足21z -=，则z 的最大值为（ ） A ．1 BC ．3D 【答案】C 【分析】由复数模的几何意义可得复数z 对应点Z 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上运动，数形结合可得z 的最大值. 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，21z -=，∴复数z 对应点(,)Z x y 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上运动.由图可知当点Z 位于点(3,0)B 处时，点Z 到原点的距离最大，最大值为3. 故选：C.【点睛】两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离.21．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（三））系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i -D ．12i +【答案】C利用虚数单位的幂的运算规律化简即得12Z i =+,然后利用共轭复数的概念判定. 【详解】 解：()505202041,12,12i i Z i Z i ==∴=+∴=-,故选：C.22．（福建省福州市八县（市、区）一中2022届高三上学期期中联考数学试题）下面是关于复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．Z 的共轭复数为1i --D ．z 的虚部为1-【答案】C 【分析】由复数除法化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项． 【详解】22i 2i(1i)2(i i )1i 1i (1i)(1i)2z ++====-+--+，所以z =A 错；对应点坐标为(1,1)-不在直线y x =上，B 错； 共轭复数为1i --，C 正确； 虚部为1，D 错． 故选：C ．23．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题）已知复数z 满足1i z z -=-，则在复平面上z 对应点的轨迹为（ ） A ．直线 B ．线段C ．圆D ．等腰三角形【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，结合1i z z -=-，得到点P 在线段,A B 的垂直平分线上，即可求解. 【详解】设复数i(,)z x y x y =+∈R ，根据复数的几何意义知：1z -表示复平面内点(,)P x y 与点(1,0)A 的距离，i z -表示复平面内点(,)P x y 与点(0,1)B 的距离，因为1i z z -=-，即点(,)P x y 到,A B 两点间的距离相等，所以点(,)P x y 在线段,A B 的垂直平分线上，所以在复平面上z 对应点的轨迹为直线. 故选：A.24．（北京一零一中学2022届高三9月开学练习数学试题）已知复数z 满足z ＋z ＝0，且z ·z ＝4，则z ＝（ ） A ．±2 B ．2C ．2i ±D ．2i【答案】C 【分析】不妨设i z a b =+，代入0z z +=，4z z ⋅=，运算即得解 【详解】由题意，不妨设i z a b =+，则i z a b =-由0z z +=，可得i i 20a b a b a ++-==，故0,i a z b == 且2i (i)42z z b b b b ⋅=⨯-==∴=±2i z ∴=±故选：C.25．（第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.2复数的几何意义）向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ ＋2OZ 对应的复数是（ ）A ．108i -+B ．108i -C ．0D ．108i +【答案】C 【分析】由复数的代数形式写出对应复平面上的点坐标，应用向量坐标的线性运算求1OZ ＋2OZ ，即可知其对应的复数. 【详解】由题意可知：1(5,4)OZ =-，2(5,4)OZ =-， ∴1OZ ＋2OZ ＝(5,4)-＋(5,4)-=(0,0)． ∴1OZ ＋2OZ 对应的复数是0. 故选：C.26．（广东省肇庆市2022届高三上学期一模考前训练（二）数学试题）已知i 为虚数单位，复数112i z =-，22i z =+，则复数12z z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由已知条件求出12z z ，然后求出12z z ，从而可求出复数12z z 在复平面上对应的点所在的象限 【详解】因为112i z =-，22i z =+，所以212(12i)(2i)2i 4i 2i 43i z z =-+=+--=-， 所以1243i z z =+，所以复数12z z 在复平面上对应的点位于第一象限， 故选：A.27．（福建省泉州科技中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）若1i Z =+，则20202021()()Z Z ZZ --+的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】D 【分析】根据1i Z =+，结合共轭复数，利用复数的除法和乘方运算求解. 【详解】因为1i Z =+，所以()()()()()()()()1i 1i 1i 1i 1i 1i i,i 1i 1i 1i 1i 1i 1i Z Z Z Z--++--+-======---+++-， 所以2020202120202021()()i (i)1i Z Z ZZ --+=+-=-， 故其虚部为-1， 故选：D.28．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期第一次阶段性测试文科数学试题）已知i 为虚数单位，复数z 满足1i 1iz +＝+，则|z |等于（ ） A ．12BCD【答案】C 【分析】结合复数的减法和除法运算求出复数z ，进而利用复数的模长公式即可求出结果. 【详解】 因为11i 13i i i 1i 222z -=-=-=-++，所以z ==故选：C.29．（河南省许昌市2022届高三第一次质量检测（一模）理科数学试题）已知复数z 满足12(1i)iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】设i z a b =+，,a b ∈R ，利用复数乘法化简(1i)z +并求出12i+，根据复数相等判断,a b 的符号，即可知复数z 对应的象限. 【详解】令i z a b =+，,a b ∈R ，则(1i)()(1i)(i )i z a b a a b b +=+=-+++，又122i i+=-，则12i +=∴()i a b a b -++0a b a b ⎧-=>⎪⎨+=⎪⎩，∴0a b >>，则复数z 在复平面内所对应的点在第四象限. 故选：D.30．（广西南宁市2022届高三高中毕业班上学期摸底测试数学（理）试题）已知复数13i z =+和21i z =+，则1122z z z z +=（ ） A ．34i + B ．43i + C ．36i + D ．63i +【答案】B 【分析】利用复数的四则运算法则，求解即可 【详解】 由题意， 11212221z z z z z z z ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 11i 3+i (3i)1i (3i)1i (3i)1i (1i)(1)2i ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3i)(3i)86i 43i 22+++===+ 故选：B二、多选题31．（河北省石家庄市藁城新冀明中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）设()1i 2i z -=+，则下列叙述中正确的是（ ） A ．z 的虚部为32-B ．13i 22z =- C ．∣z ∣D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第四象限【答案】BC 【分析】先根据复数的除法法则求得z值，再根据复数的概念求出复数的虚部、共轭复数、模，再根据复数的几何意义判定选项D错误.【详解】由()1i2iz-=+，得2i(2i)(1i)13i13i 1i(1i)(1i)222z++++====+--+，则：z的虚部为32，即选项A错误；13i22z=-，即选项B正确；z==C正确；复数z对应的点13(,)22位于第一象限，即选项D错误.故选：BC.32．（广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题）若复数35i1iz-=-，则（）A．z=B．z的实部与虚部之差为3C．4iz=+D．z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ACD【分析】由已知复数相等，应用复数的除法化简得4iz=-，即可判断各选项的正误.【详解】∵()()()()35i1i35i4i 1i1i1iz-+-===---+，∴z的实部与虚部分别为4，1-，z A正确；z的实部与虚部之差为5，B错误；4iz=+，C正确；z在复平面内对应的点为()41-,，位于第四象限，D正确．故选：ACD．33．（重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题）已知复数20211i 11iz +=+-（i 为虚数单位）、则下列说法正确的是（ ） A ．z 的实部为1 B ．z 的虚部为1-C ．z =D ．1i z =+【答案】AC 【分析】先对20211i 11i z +=+-化简求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：202145051221i 1i 1i (1i)12i i 111111i 1i 1i 1i (1i)(1i)2z ⨯+++++++=+=+=+=+=+=+----+，所以复数z 的实部为1，虚部为1，所以A 正确，B 错误，z C 正确， 1i z =-，所以D 错误，故选：AC.34．（湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期第一次大练习数学试题）已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．2340i i i i +++= B ．复数3z i =-的虚部为i -C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A 选项，234110i i i i i i +++=--+=，故A 选项正确.B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误.C 选项，214434,34z i i i z i =++=-+=--，对应坐标为()3,4--在第三象限，故C 选项错误.D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到()1,0A 和()1,0B -两点的距离相等，故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确. 故选：AD.35．（2021届新高考同一套题信息原创卷（四））已知,a b ∈R ，()1i 32i a b --=-，()1i a b z -=+，则（ ） A ．z 的虚部是2i B ．2z =C ．2i z =-D ．z 对应的点在第二象限【答案】BC 【分析】由复数相等，求出,a b 的值，然后求出2i z =，根据复数的相关概念判断选项. 【详解】由复数相等可得3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩解得1,3,a b =-⎧⎨=-⎩所以()()21i 1i 2i a b z -=+=+=，z 的虚部是2，所以A 选项错误；2i 2z ==，所以B 选项正确； 2i z =-，所以C 选项正确；z 对应的点在虚轴上，所以D 选项不正确.故选：BC.36．（在线数学135高一下）下面关于复数()1z i i =-+（i 是虚数单位）的叙述中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．z =C ．22z i = D ．z 的共轭复数为1i +【答案】BC 【分析】先求出复数z ，然后根据复数的相关概念及运算法则对各选项逐一分析即可求解. 【详解】解：因为复数()11z i i i =-+=--，所以z 的虚部为1-，故A 选项错误；z B 选项正确；()2212z i i =--=，故C 选项正确；z 的共轭复数为1i -+，故D 选项错误；故选：BC.37．（云南省曲靖市罗平县第二中学2020-2021学年高一下期期末测试数学试题）已知复数21iz =+，则正确的是（ ） A ．z 的实部为﹣1 B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 C ．z 的虚部为﹣i D ．z 的共轭复数为1i +【答案】BD 【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可. 【详解】 因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-， 所以z 的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限， 共轭复数为1i z =+， 故AC 错误，BD 正确. 故选：BD.38．（河北省唐山市英才国际学校2020-2021学年高一下学期期中数学试题）复数1i z =-，则（ ） A ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1- B ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1 C ．2z = D ．z =【答案】AD 【分析】利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为()1,1-，即可得答案； 【详解】1i z =-在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，z =故选：AD.39．（2021·湖北·高三月考）设1z ，2z 是复数，则（ ） A ．1212z z z z -=-B ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若120z z -=，则12z z =D ．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC 【分析】结合共轭复数、复数运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】设1i z a b =+，2i z x y =+，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立； ()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B ，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D ，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC.40．（2021·山东临沂·高三月考）已知m ，n R ∈，复数2i z m =+，()235i i z z n +=+，则（ ） A ．1m =- B ．1n =C ．i m n +=D ．m ni +在复平面内对应的点所在象限是第二象限【答案】ACD 【分析】由题意得()()23225mi mi ni i +++=+，即()2655m mi n i -+=-，由复数相等求出,m n ，然后逐个选项分析判断. 【详解】因为复数2i z m =+，()235i i z z n +=+ 所以()()23225mi mi ni i +++=+()2655m mi n i -+=-所以2655m n m ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，即51n m =⎧⎨=-⎩，所以A 正确，B 错误；m ni +C 正确；m ni +在复平面内对应的点为()1,5-，所在象限是第二象限，故D 正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题41．（山西省新绛中学2022届高三上学期10月月考数学（文）试题）已知1?21z i +=，则z 的最大值为_______.【答案】1 【分析】根据复数的几何含义，求解出z 的实部和虚部满足的关系式，再结合复数模的几何含义即可得出结果. 【详解】设()i ,z x y x y R =+∈， ()12i 12i 1z x y ∴+-=++-=即()()22121x y ++-=，所以点 (),x y 在以()1,2-为圆心，1为半径的圆上z z 表示点(),x y 到原点的距离， 所以原点与圆上的一点距离的最大值即表示z 的最大值所以11MAXz =1.42．（北京市第十三中学2022届高三上学期期中考试数学试题）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=_____________.【答案】2 【分析】由已知求得z ，进一步得到z ，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得． 【详解】解：由题意，1i z =-，∴1i z =+，2(1i)(1i)1i 2z z ∴⋅=-+=-=．故答案为：2．43．（安徽省合肥市庐阳高级中学2020-2021学年高三上学期10月第一次质检理科数学试题）复数z 满足22i z z =++，则1i z -+的最小值为___________.【分析】设复数i z a b =+，代入题干条件后求出a 与b 的关系，再代入到1i z -+的关系式中，求出最小值. 【详解】设复数i z a b =+，则z ，()22i 22i z a b ++=+++，22i z ++，因为22i z z =++2a b =--，则()()1i=11i z a b -+-++，1i z -+①，把2a b =--代入①式中，得：i 1z +-当2b =-1i z -+44．（广东省湛江市第二十一中学2022届高三上学期9月第2次月考数学试题）已知复数3i 1iz +=+，则z =__________．【分析】根据复数除法运算化简求出z ，即可求出模. 【详解】 ()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-，z ∴==.45．（天津市第二中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若复数z 满足ii i1z +=（i 为虚数单位），则z =_____．【分析】根据复数的运算直接求出z 的代入形式，进而可得模. 【详解】 解：由已知21i1i iz +==--，z ∴==.46．（上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题）若复数z 满足3iiz +=（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =___________.【分析】利用复数的除法化简复数z ，可得出z ，再利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】()223i i 3i 3i i 3i 113i i i i 1iz +++-=====-⋅-，所以，13i z =+，因此，z =47．（上海市向明中学2022届高三上学期9月月考数学试题）已知复数()()()13i 1i 12i z +-=-，则z=___________. 【答案】2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数求模公式计算得答案． 【详解】 解：()()()()()()13i 1i 42i 12i 42i 10i2i 12i12i 12i 12i 5z +-+++=====---+， 则2z z ==. 故答案为：2.48．（双师301高一下）若复数()i z a a =+∈R 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a =_______． 【答案】±1 【分析】利用数量积为0列方程，解方程求得a . 【详解】z a i =+对应坐标为(),1a ，z a i =-对应坐标为(),1a -，依题意()()2,1,110a a a ⋅-=-=， 解得1a =±. 故答案为：±1.49．（2021·上海·格致中学高三期中）定义运算()(),,a b c d ad bc =-，则满足()(),1,232i z z =+的复数z =______.【答案】23i 3+【分析】设i z a b =+，然后根据定义直接化简计算即可. 【详解】设i z a b =+，所以i z a b =- 由()(),,a b c d ad bc =-所以()(),1,223i=32i z z z z a b =-=++所以23,3a b ==所以23i 3z =+故答案为：23i 3+.50．（2021·全国·高三月考（理））已知复数z 满足||||z i z i ++-=z 的最小值是_______． 【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，得到||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上，结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义，可得||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上， 而z 表示椭圆上的点到椭圆对称中心()0,0的距离，当且仅当复数z 位于椭圆短轴端点(1,0)±时，z 取得最小值，z 的最小值为1． 故答案为：1．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第三次双基检测数学（理）试题）已知i 为虚数单位，则232021i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．-1【答案】A 【分析】根据虚数的运算性质，得到4414243i i i i 0n n n n ++++++=，得到2320212021i i i i i +++⋅⋅⋅+=，即可求解. 【详解】根据虚数的性质知4414243i i i i 1i 1i 0n n n n ++++++=+--=， 所以2320212021i i i i 5050i i +++⋅⋅⋅+=⨯+=. 故选：A.2．（辽宁省名校联盟2021-2022学年高三上学期10月联合考试数学试题）已知复数202120221111i i i i z -+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】C 【分析】先利用复数的乘方化简复数z ，再求其共轭复数. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，所以20212022=(i)+i =i 1=1i z -----， 则1i z =-+，3．（上海市曹杨第二中学2022届高三上学期10月月考数学试题）设b 、c ∈R ，若2i -（i 为虚数单位）是一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则（ ） A ．4b =，5c = B ．4b =，3c = C ．4b =-，5c = D ．4b =-，3c =【答案】C 【分析】分析可知实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为2i -、2i +，利用韦达定理可求得b 、c 的值，即可得解. 【详解】因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则该方程的另一个虚根为2i +， 由韦达定理可得()()()()2i 2i 2i 2i b c -++=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以45b c =-⎧⎨=⎩.故选：C.4．（第3章本章复习课-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A 版选修2-2））若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-=【答案】D 【分析】把1x =代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解. 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=∴2(1(10b c +++=，即()1i 0b c -+++= ∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩.5．（专题1.3集合与幂指对函数相结合问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破）设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，|1N x =<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1]C ．[0，1）D ．[0，1]【答案】C 【分析】M 集合表示cos2y x =的值域，N 集合表示不等式1<的解集，先分别求出来再求其交集即可【详解】22|cos sin |cos 2y x x x =-=，其值域为[]0,1，所以[]0,1M =.因为1<，所以1x <，解得11x -<<，即()1,1N =-.所以M ∩N=[)0,1 故选：C.6．（考点38复数-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用））若2ii(,,)1ia x y a x y +=+∈+R ，且1xy >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)+∞B ．(,)-∞-⋃+∞C ．()-⋃+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出,x y ，再根据1xy >，得出2414a ->，从而可求出a 的取值范围. 【详解】 解：因为2ii(,,)1ia x y a x y +=+∈+R ， 所以2i ()i a x y x y +=-++， 所以2x y x y a -=⎧⎨+=⎩，解得：22,22a a x y +-==，因为1xy >，所以2414a ->，解得：a <-a >， 则实数a 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞. 故选：B.7．（四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题）已知复数()2231i z a a a =-+-，R a ∈，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义求出a 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】若复数()2231i z a a a =-+-为纯虚数， 则223010a a a ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0a =或3a =，所以由0a =可得出()2231i z a a a =-+-为纯虚数， 但由()2231i z a a a =-+-为纯虚数，得不出0a =， 所以“0a =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件， 故选：A.8．（第25讲数系的扩充与复数的引入（练）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））设复数1i1iz -=+，()202020191f x x x x =++++，则()f z =（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【分析】利用复数的除法化简得出i z =-，然后利用复数的乘方法则可求得结果. 【详解】()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---====-++-， 又因为()4i 1-=，对任意的k 、n Z ∈，()()()()44i i i i n k n k k +-=-⋅-=-， 而()()()()234i i i i i 1i 10-+-+-+-=--++=， 因此，()()()()()20202019i i i i 1505011f z f =-=-+-++-+=⨯+=.故选：C.9．（河北正中实验中学2021届高三上学期第二次月考数学试题）棣莫弗定理：若两个复数111cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，则()()121212cos isin z z θθθθ⋅=+++，已知1i2a +，2021b a =，则a b +的值为（ ）A ．i - B ．i C ．D 【答案】B 【分析】推导出()111cos isin nz n n n N θθ*=+∈，求出b 的值，即可得出a b +的值.【详解】由已知条件可得2111cos 2isin 2z θθ=+，()()32111111111cos 2isin 2cos3isin 3z z z θθθθθθ==+++=+，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，111cos isin n z n n θθ=+，31i cos isin 2266a ππ=+=+， 所以，202120212021cos isin cos 337isin 3376666b a ππππππ⎛⎫⎛⎫==+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cosisini 662ππ=-+=， 因此，i a b +=. 故选：B.10．（第25讲数系的扩充与复数的引入（讲）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））欧拉公式i co sin s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得i312e π=+，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i co sin s i x e x x +=，故i3isin 1cos 332e πππ==+，对应点12⎛ ⎝⎭，在第一象限.故选:A.11．（山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）定义运算a bad bc c d=-，若复数z 满足i 11i 1z z -=-，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．i -D ．i【答案】D 【分析】直接利用新定义，化简求解即可. 【详解】 由a bad bc c d=-， 则i 1i 1i 1z z z z -=+=-， ()()()2i 11i 2ii i 1i 1i 12z ---∴====-++--，则i z =.故选：D.12．（上海市徐汇中学2022届高三上学期期中数学试题）已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（ ） A ．2-或52B ．2-C ．52 D ．52-【答案】C 【分析】由于是,αβ虚根，所以方程判别式小于0，且,αβ是一对共轭复数，因此可以通过设出复数，通过韦达定理代入条件解出参数 【详解】由已知方程有两个虚根,αβ，因此方程判别式小于0，即.1140,4m m -<>, 设=i,i a b a b αβ+=-由韦达定理可知1m αβαβ+=-=， 所以2221,a a b m =-+=, 即214m b =+3αβ-=, 即2i 3b =, 所以239,24b b ==所以915442m =+= 故答案为：C.13．（专题12.3复数的几何意义（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第二册））若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（ ） AB ．C ．2D ．4【答案】D 【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案. 【详解】设z ＝x +y i(x ，y ∈R)，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆， |z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和， 而|CO |＝|CA |易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时， 且最大值为|PA |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝4， 故选：D ．14．（专题07复数-备战2022年高考数学一轮复习核心知识全覆盖（新高考地区专用））如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是（ ） A ．1 B ．12C ．2D【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用数形结合求解即可． 【详解】解：|i ||i |2Z Z ++-=∴点Z 到点(0,1)A -与到点(0,1)B 的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|i 1|Z ++表示为点Z 到点C (1,1)--的距离． 数形结合，得最小距离为1 所以|z ＋i ＋1|min ＝1. 故选：A.15．（百师联盟2021届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 【答案】D 【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证. 【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误； 对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a b b a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误； 对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ==，D 正确故选：D.16．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三第四次模拟数学（理）试题）设z 为复数，则下列命题中错误的是（ ） A ．2z zz = B ．若1z =，则i z +的最大值为2 C ．22z z =D ．若11z -=，则02z ≤≤【答案】C 【分析】根据复数的概念和运算以及几何意义，逐项分析判断即可得解. 【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，222222(i)(i)i z z a b a b a b a b z =+-=-=+=⋅，故A 正确；由1z =，得221(11)a b b +=-≤≤，则i z += 当1b =时，i z +的最大值为2，故B 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，222z a b =+，2z 与2z 不一定相等，故C 错误；满足11z -=的z 的轨迹是以()1,0为圆心，以1为半径的圆，如图所示， 则02z ≤≤，故D 正确． 故选：C ．17．（陕西省汉中市2021-2022学年高三上学期第一次校际联考文科数学试题）设复数1z ，2z 满足121z z ==，1212z z -=-+，则12z z +=（ ）A ．1B ．12CD 【答案】D 【分析】利用性质2||z zz =，结合已知求出2112z z z z +，再由2121212()()z z z z z z ++=+即可求12z z +. 【详解】由题设，121212112122122|()()|1z z z z z z z z z z z z z z -=-+-=--=，又121z z ==，。
学海导航全国卷大联考2021届高三数学(理)试题答案
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１４．２（解析：因为 ｙ＝ｃ１ｅｘ－ｃ２，所以 ｌｎｙ＝ｌｎ（ｃ１ｅｘ－ｃ２） ＝ｌｎｃ１＋ｌｎｅｘ－ｃ２ ＝ｌｎｃ１＋ｘ－ｃ２，即 ｚ＝ｘ＋ｌｎｃ１ －ｃ２，所
以 ｂ＝１，ａ＝ｌｎｃ１ －ｃ２，因为 ａ＝－ｃ２，所以 ｌｎｃ１ ＝０，
径为 Ｒ，由正弦定理得，２Ｒ＝ｓｉｎ槡２π４ ＝２，所以 Ｒ＝１， 故△ＡＢＣ外接圆的面积为 πＲ２＝π．）
１６．槡３１３（解析：如图，延长 ＡＥ
交 ＣＣ１ 的延长线于点 Ｆ，连接
ＤＦ交 Ｂ１Ｃ１ 于 Ｈ，则 ＤＨ为 截
面 ＡＤＥ 与 三 棱 柱 的 侧 面
ＢＣＣ１Ｂ１ 的 交 线，因 为 ＤＢ１∥
所以平面 ＡＣＥ的一个法向量为 ｍ＝（２，０，１），
（１０分）
取圆 Ｏ面的法向量为 ｎ＝（０，０，１），
则 ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝｜ｍｍ·｜｜ｎｎ｜＝槡１５＝槡５５， 结合图形可知，平面 ＡＣＥ与圆 Ｏ面所成的锐二面
角的余弦值为槡５５． （１２分） ２０．解：（１）因为双曲线 ｘ２ －ｍｙ２２ ＝１（ｍ＞０）的左右
又 ＡＤ∩ＤＥ＝Ｄ，所以 ＣＥ⊥平面 ＡＤＥ，
又 ＡＥ平面 ＡＤＥ，所以 ＡＥ⊥ＣＥ； （４分）
（２）解：因为母线 ＨＥ与底
*
面垂直，
&
所以 ＨＥ⊥ＨＢ，ＨＥ⊥ＨＡ， %
!
$
因为 ＡＢ是底面圆的直径，
所以 ＨＡ⊥ ＨＢ，以 Ｈ为 坐
标原 点，ＨＡ，ＨＢ，ＨＥ所 在
直线为 ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间
所以 Ａ→Ｅ＝（－１，０，２），Ａ→Ｃ＝（－１，槡３，２），
设平面 ＡＣＥ的法向量为 ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考丙卷(B) 数学(理)含答案
秘密★启用前“超级全能生”2021高考全国卷地区1月联考丙卷(B)数学(理科)注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x∈Z|x2x2-+≤0}，则A∪B＝A.{0，1}B.{－2，2}C.{－1，0，1}D.{－2，－1，0，1，2}2.若复数z＝35i2i+(i为虚数单位)，则|z|＝A.3 C.5 D.53.已知直线y＝32x的倾斜角为α，则cos2α＝A.17 B.－17 C.12 D.－124.已知函数f(x)＝12cos122xxx-⋅+，则f(x)的图象可能是5.某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满意度，随机抽取了200名师生的评分(满分100分)作为样本，将数据按照[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图，根据直方图估计200名师生的满意度评分的平均数是(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)A.85B.82.8C.80.4D.70.26.已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则A.f(x)cos(x －6π)B.f(x)＋6π)C.f(x)cos(2x －6π)D.f(x)cos(2x ＋6π)7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 为B 1D 1上一动点(含端点)，则下列四个结论：①AM//平面BC 1D ；②CM ⊥B 1D 1；③平面ACM ⊥平面AB 1D 1；④点M 到平面BC 1D 的距离为定值。
山西省2021年高三上学期数学期末联考试卷B卷
山西省2021年高三上学期数学期末联考试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019高二下·集宁月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高二上·拉萨月考) 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A .B .C .D .3. （1分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A . 12万元B . 16万元C . 17万元D . 18万元4. （1分） (2019高二下·江西期中) 如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A .B .C .D .5. （1分） (2020高三上·南漳期中) 函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（）A .B .C .D .6. （1分）设命题p:f(x)=x3+2x2+mx+1在内单调递增，命题q:，则命题p是命题q 的：（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （1分） (2019高二下·吉林期末) 从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（）A . 12种B . 24种C . 48种D . 60种8. （1分） (2016高二下·通榆期中) 已知随机变量X满足D（X）=1，则D（2X+3）=（）A . 2B . 4C . 6D . 89. （1分）(2019·广州模拟) 已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（）A .B .C .D .10. （1分） (2017高二上·绍兴期末) 在空间中，下列命题正确的是（）A . 经过三个点有且只有一个平面B . 经过一个点和一条直线有且只有一个平面C . 经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个D . 经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2019高二下·温州期末) 某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为________cm3 ，则表面积为________cm2.12. （1分） (2019高一下·中山期末) 正方形和内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设，若两正方形面积分别为 =441， =440，则 =________13. （1分）若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于________14. （1分） (2019高二下·嘉兴期中) 已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是________.15. （1分） (2019高三上·徐州月考) 已知的内角所对的边分别为，向量，，且，若，则面积的最大值为________．16. （1分） (2018高二上·南通期中) 已知实数满足则目标函数的最小值为________．17. （1分） (2019高三上·浙江期末) 《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。
山西省2021年高三上学期期末数学试卷(理科)A卷
山西省2021年高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·金华模拟) 已知A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩（∁RB）为（）A . （﹣2，1）B . （﹣∞，1）C . （0，1）D . （﹣2，0]2. （2分）已知是虚数单位，则（）A .B .C .D .3. （2分）如图的程序框图输出结果i=（）A . 6B . 7C . 8D . 94. （2分）(2020·龙岩模拟) 已知A，B，C三点不共线，若点E为线段AD的中点，且，则的值为（）A .B .C . 1D .5. （2分）(2019·晋城模拟) 已知双曲线（，）的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，，若，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·广元模拟) 已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·吉林模拟) F1 ， F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·德州模拟) 已知α终边与单位圆的交点且sinα·cosα>0，则的值等于（）A .B .C .D . 39. （2分） (2017高二下·长春期中) 曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率为（）A . eB . 2eC . 1D . 210. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A .B . 160C .D .11. （2分）任取实数a、，则a、b满足的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·杭州期中) 设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·西城期末) 设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是________．14. （1分）(2018·长宁模拟) 若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于，则该展开式中常数项的值为________.15. （1分） (2020高二上·丰城期中) 已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为________.16. （1分） (2016高二上·菏泽期中) 一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是________．三、解答题 (共8题；共75分)17. （10分） (2020高一下·温州期末) 在公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和 .18. （10分）(2017·内江模拟) 某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系，随机统计了5天的用电量与当天气温，得到如下统计表：曰期8月1曰8月7日8月148月18日8月25日日平均气温（℃）3330323025用电量（万度）3835413630xiyi=5446， xi2=4538， = ， = ﹣（1）请根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象預报9月3日的平均气温是23℃，请预测9月3日的用电量；（结果保留整数）（2）请从表中任选两天，记用电量（万度）超过35的天数为ξ，求ξ的概率分布列，并求其数学期望和方差．19. （15分）如图在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E为PA的中点．（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；（2）求点E到平面PBC的距离；（3）求二面角A﹣EB﹣D的正切值．20. （10分） (2020高二上·建瓯月考) 椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.（1）证明：直线，与直线，斜率之积为定值.（2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.21. （10分） (2017高二下·池州期末) 已知函数f（x）= x3﹣4x+4，（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．22. （10分）(2016·新课标I卷文) [选修4-1：几何证明选讲]如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， OA为半径作圆．（1）证明：直线A与⊙O相切；（2）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．23. （5分）已知直线的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ=3，求点P（2，）到这条直线的距离．24. （5分）已知值域为[﹣1，+∞）的二次函数满足f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），且方程f（x）=0的两个实根x1 ， x2满足|x1﹣x2|=2．（1）求f（x）的表达式；（2）函数g（x）=f（x）﹣kx在区间[﹣1，2]内的最大值为f（2），最小值为f（﹣1），求实数k的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共75分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：。
山西省运城市2021届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
（2）求 的最小值．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【选修4-5：不等式选讲】
23.已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 解集；
（2）若不等式 对于 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
（1）求椭圆 方程；
（2）若M，N，P是椭圆E上不同的三点，且坐标原点O为 的重心，试探究 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【答案】（1） ；（2） 的面积为定值 ．
21.已知函数 与 在公共点 处有共同的切线．
（1）求实数b的值；
（2）设 ，若存在 ，使得当 时， 的值域是 ，求实数a的取值范围．
8.将函数 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位得到函数 的图象，若 在区间 上的最大值为1，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
9.已知圆锥的高为3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知抛物线 的焦点为F，P是抛物线上一点，若 ，则P点的横坐标为_________．
14.在北京召开 第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为 ，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时， ___________.
【答案】
15.已知圆 ，直线 ，若直线l上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得 ，则m的取值范围是____________ ．
重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题(含解析)
重庆市2025届高三9月考试数 学 试 题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）A ．7B ．8C ．31D ．322.若复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知且，则的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．D ．84.已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知α，，且，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7.某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示，下列说法正确的是（ ）年龄人数126542A ．这20人年龄的分位数的估计值是46.5B ．这20人年龄的中位数的估计值是41C ．这20人年龄的极差的估计值是55{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B z 1i 1iz=--+z =22i+22i --2i-2i,0a b >2ab =(1)(2)a b ++,a b2π35,4a b == a b 38b - 58b - 58b 78b- (0,π)β∈3cos 5α=5sin()13αβ-=cos β=5665166533656365()()()227,12:4ln 21,21x ax x p f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨++---<<-⎪⎩(]2,2x ∈-()4:1ax q g x x +=-()1,+∞p q [)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[)45,50[]50,5580%D ．这20人年龄的众数的估计值是358.已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）A ．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人B ．随机变量C ．随机变量的数学期望为D ．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则10.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）A ．开口向上的抛物线的方程为B ．C ．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D ．阴影区域的面积大于411.已知直线，A 是之间的一定点并且点A 到的距离分别为1，2，B 是直线上一动点，作，且使AC 与直线交于点C ，，则（ ）A ．面积的最小值为()()ln 11f x x a x =-++()()21g x a x =+1x ≥()()20f x g x +≥a ()0,1()1,+∞(]0,1[)1,+∞142114775273X 323257,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭X 157A =()27P A =2:2(0)C y px p =>90180270 ､､C ,A B C 1p =212y x =4AB =x y t +=3412l l ∥12,l l 12,l l 1l AC AB ⊥2l 1()3AG AB AC =+ABC V 2B ．点到直线的距离为定值C．当时，D ．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有_______个这样的子集.（要求用数字作答）13.在的展开式中，若的系数为，则_______.14.已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，三棱锥中，，，是的中点.（1）求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.16.（15分）已知的内角所对的边分别是.（1）求角；（2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.17.（15分）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如G 1l GB GC = GAB △GB GC ⋅2-104A 5A ()3nx -2x ()2n a n ≥2323333nna a a +++= ()()()211022420x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩()()()2g x f f x m =--()g x m P ABC -AB BC ==6PA PB PC AC ====O AC POB V PO M BC 13BM BC =PC PAM ABC V ,,A B C sin sin ,,,sin a c A Ba b c a b C--=+B ABC V 12πABC V ABC V 231312此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.18.（17分）已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，其中.①求数列的前2024项和；②求.19.（17分）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.（1）求的方程；（2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.①求；②记，，求.名校方案 重庆市2025届高三9月考试数 学 答 案题号1234567891011答案ACDBAABDACDABDABD1．A 【试题解析】，，三个元素，真子集个数为.n A n n n P n P {}n a n n S 2235n S n n =+{}n b 1330,6,24q b b a >==+{}n a {}n b {}n c 111,221,,2k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩*k ∈N {}n c ()*221ii ni ac n =∈∑N E ()y x =E 12,l l ()(,0n n P p p >)*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2n n p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N211(1)nkk k k k bb a +=⎡⎤--⎣⎦∑{}2290B x x ⎡=-≤=⎢⎣{}2,0,2A B =- 3217-=2．C 【试题解析】因为，所以.3．D 【试题解析】且，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为8.4．B【试题解析】，故在方向上的投影向量为.5．A 【试题解析】由，，则，则.则，由，则，，.6．A 【试题解析】要在上单调递减，则，解得，在为增函数，则，解得，因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件.7．B 【试题解析】因为，故80%分位数落在区间，设其估计值为m ，则，解得，A 错；因为，所以中位数（50%分位数）落在区间，设其估计值为n ，则，解得，B 正确；有表格中数据可知极差不超过，C 错；因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值.8．D 【试题解析】令，则1i 1iz=--+2(1i)2i z =-+=-,0a b >2ab =(1)(2)224248a b ab a b a b ++=+++=++≥+=2a b =1,2a b ==1,2a b ==(1)(2)a b ++12π54cos 523448a b a bb b b b bb b b⎛⎫⨯⨯- ⎪⋅⎝⎭⋅=⨯=⨯=- a b 58b - ()0,παβ∈，3cos 05α=>π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α=ππ,2αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭5sin()13αβ-=π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()12cos 13αβ-=()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-312455651351365=⨯+⨯=()f x (]2,2x ∈-222401127aa a a ⎧-≥⎪⎪+<⎨⎪--≥--⎪⎩54a -≤<-()()1444:111a x a ax aq g x a x x x -++++===+---()1,∞+40a +<4a <-54a -≤<-4a <-p q 2080%16i =⨯=[)45,50()12651450.82020202020m ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭46m =2050%10i =⨯=[)40,45()1261400.520202020n ⎛⎫+++-=⎪⎝⎭41n =552530-=()()()()()222ln 2121h x f x g x x a x ax a x =+=-++++≥.若，则在上恒成立，则在上单调递减，则，不符合题意.若，则当时，，单调递减，则，不符合题意.若，则在上恒成立，则在上单调递增，即，符合题意.9．ACD 【试题解析】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，则，所以，，，所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人，A 正确；随机变量的取值有，，，，，，所以随机变量的分布列为：所以B 错误；由期望公式可得随机变量的数学期望，C 正确；因为，所以D 正确.10．ABD 【试题解析】由题，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；对于B ，根据A 项分析，由可解得，或，即，代入可得，由图象对称性，可得,故，即B 正确；对于C ，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,()()()()2112212x ax h x a ax x x--=-++='0a ≤()0h x '≤[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≤=01a <<11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<()h x ()()10h x h ≤=1a ≥()0h x '≥[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=,,x y z 7142114142114x y z ===++2x =3y =2z =232X 123()125237C C 11C 7P X ===()215237C C 42C 7P X ===()305237C C 23C 7P X ===X X 123P174727X ()142151237777E X =⨯+⨯+⨯=()()237P A P X ===2:2C y x =11(,0)2F 90 21(0,)2F 22x y =212y x =2222y xx y⎧=⎨=⎩0x =2x =2A x =2A y =(2,2),(2,2)A B -4AB =x y t +=,M N由解得解得，,即得,则弦长为：，由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，即在第一象限部分满足，不妨设，且，代入得，，（）由此函数的图象知，当时，，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.如图，在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D 正确.11．ABD 【试题解析】对于A ，过作的垂线，分别交于点，则，设，22y x t y x =-+⎧⎨=⎩11M M x t y ⎧=+-⎪⎨=-⎪⎩22y x t x y =-+⎧⎨=⎩11N N x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(11),1,1M t N t +---+|||2MN t ==+-x y t +=A t O t 04t <≤u =13u <≤212u t -=221|||22|(2)1|2u MN u u -=+-=--13u <≤2u =||MN 1821,(0)2y x x =≥P P OA 1y x '==1(1,2P :0OA l x y -=P OA d ==1122OPA S ==V 121842⨯=A 12,l l 12,l l ,E F 1,2AE AF ==FAC θ∠=则在中，，因为，所以在中，，所以，所以，因为，所以当且仅当时，取到最大值，所以面积的最小值为，所以A 正确，对于B ，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，所以，，所以，所以，所以，所以点到直线的距离为，是定值，所以B 正确，对于C ，因为，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，，Rt ACF △2cos cos AF AC θθ==AC AB ⊥Rt ABE △ABE θ∠=1sin sin AE AB θθ==1121222cos sin sin 2ABC S AB AC θθθ=⋅=⨯⨯=V π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4θ=sin 21θ=ABC V 2A EF y 12tan ,tan FC BE θθ==1(2tan ,2),(,1)tan C B θθ-π0,2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1(2tan ,2),(,1)tan AC AB θθ=-= 111211()(2tan ,1)(tan ,33tan 33tan 3AG AB AC θθθθ=+=+-=+- 211(tan ,)33tan 3G θθ+-G 1l 431(2tan ,2),(,1)tan C B θθ-211(tan ,33tan 3G θθ+-224415(tan ,),(tan ,)3tan 3333tan 3GB GC θθθθ=-=-- GB GC = 2222164125(tan )(tan )3tan 3933tan 9θθθθ-+=-+2241161125(tan )(4tan 9tan 99tan 9θθθθ-+=-+22114(tan )(4tan 9tan tan θθθθ-=-+2222114(2tan )16tan 89tan tan θθθθ-+=-++22224184tan 16tan 89tan tan θθθθ-+=-++2214tan 30tan θθ-+=21tan 4θ=2tan 1θ=-1tan 2θ=(1,2),(2,1)C B -1(1,3G -所以，所以，，因为，所以，所以由正弦定理得所以，即，所以C 错误，对于D ，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，所以D 正确，12．【试题解析】从含有个以字母“”开头的个不同的单词选择个单词，其中至少包含两个“”开头的选法可分为类，第一类：所选个单词中，有且只有两个“”开头的单词，符合要求选法有；第二类：所选个单词中，有且只有三个“”开头的单词，符合要求选法有；第三类：所选个单词中，有且只有四个“”开头的单词，符合要求选法有；由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有个.13．【试题解析】由二项式的展开式的通项公式可得第，令，可得的系数为，所以，14(2,1),(1,(1,)33AB AG GB ==-= cos ,AB AG ==53GB == [],0,πAB AG ∈ π,4AB AG = 2sin GB r BAG ===∠r =GAB △224415(tan ,(tan ,3tan 3333tan 3GB GC θθθθ=-=-- 224120(tan )(tan 3tan 333tan 9GB GC θθθθ⋅=---22828220tan 99tan 999θθ=--+-222810(tan )9tan 99θθ=-+-108102999≤--=--=-2228tan 9tan 9θθ=21tan 2θ=GB GC ⋅2-1864A 105A 45A 2346C C 5A 3246C C 5A 4146C C 233241464646C C C C C C 186++=()181n n-1C 3C ()(1)3r r r r rn r n r r n nT x x -+-=-=-2r =2x 222C (1)3n n --222(1)C 332n n n n n n a ---==⋅则，则.14．【试题解析】如图，作出函数的图象，令，即，由图可知，或，则或，当，函数无解；当或，函数只有一个解；当或，函数有两个解；当，函数有三个解；当恰有3个零点时，或或或或或或或或或，解得.15．（1）（6分）如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，由，，所以，所以，所以，又因为，点是的中点，所以，且，所以， 所以，且，所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，所以.2323181818(1)3(1)1n n n n a n n n n n n-⋅===--⋅--23233331818181818181818(1)182123131n n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=--- (]{}1,34 ()f x ()()()20g x ff x m =--=()()2f f x m -=()2f x m -=-()0f x m -=()2f x m =-()f x m =()0f x <()0f x =()2f x >()01f x <≤()2f x =()12f x <<()g x 2012m m -<⎧⎨<<⎩2001m m -=⎧⎨<≤⎩202m m -=⎧⎨=⎩0212m m <-≤⎧⎨>⎩0210m m <-≤⎧⎨=⎩122m m <-<⎧⎨<⎩220m m -=⎧⎨=⎩222m m -=⎧⎨>⎩2201m m ->⎧⎨<≤⎩222m m ->⎧⎨=⎩(1,3]{4}m ∈ POB V PO OB AB BC ==6PA PB PC AC ====222AB BC AC +=π2ABC ∠=3OB =6PA PC AC ===O AC PO AC ⊥PO ==222PO OB PB +=PO OB ⊥AC OB O = PO ⊥ABC POB V PO 3OB =PO =21π33V =⋅⋅⋅=（2）（7分）如图：可知：平面，又，，所以，所以，为等腰直角三角形，又由点是的中点，所以，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，，，，，所以，又有，设平面的一个法向量为，则即 令，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以.16．（1）（6分）因为，所以由正弦定理得，化简可得，由余弦定理得，因为为三角形内角，，所以.（2）（9分）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为因为，所以由正弦定理可得故，PO ⊥ABC AB BC ==6PA PB PC AC====222AB BC AC +=π2ABC ∠=ABC V O AC OB AC ⊥O ,,OB OC OP ,,x y z O xyz -13BM BC =(P ()0,3,0C ()0,3,0A -()2,1,0M (0,3,PC =- ((),2,4,0AP AM ==MAC (),,n x y z = 00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩30240y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y =1x z =-=-()1n =--PC PAM π,0,2θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭sin PC n PC nθ⋅===⋅arcsin θ=sin sin sin a c A B a b C --=+a c a ba b c--=+222a cb ac +-=2221cos 22a cb B ac +-==B ()0,πB ∈π3B =ABC V 12ππ3B =sin sin sin a b cA B C===2π,6,3a A b B c C A ⎛⎫=====-⎪⎝⎭所以，因为为锐角三角形，则，，即的周长的取值范围为.17．（1）（2分）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；（2）（5分）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，根据题意得，，所以．（3）（8分）设表示第天选择绿豆汤，则，根据题意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，所以..18．（1）（5分）当时，，当时，，所以，显然符合上式，所以，由题意，所以.（2）①（6分）易知，2π6sin sin 3a b c A A ⎡⎤⎛⎫++=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦36sin 2A A ⎫=++⎪⎪⎭π612cos 3A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ABC V 2ππ32π02C A A ⎧=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩(πππππππ,,cos 612cos 66236633A A A A ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎤∴∈⇒-∈-⇒-∈⇒+-∈+⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ABC V (6⎤+⎦212339⨯=1A 2A 1A ()()()()11212121111,,,133322||P A P A P A A P A A ====-=()()()()()212112121117333218||P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=n A n ()(),1n n n n P P A P A P ==-()()11111,1322||n n n n P A A P A A ++==-=()()()()()()111|1113|2n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-1162n P =-+11162n n P P +=-+1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭1350721P -=≠37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭52116-1351=(7216n n P --⨯-1513=()2167n n P -⨯-+1n =1112284S a a ==⇒=2n ≥()()22123523151n n S n nS n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩131n n n a S S n -=-=+1a 31n a n =+()23123314242b b q q =⨯++==⇒=1132n n n b b q -==⋅101121024,220482024==>即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1，故数列的前2024项和；②（6分）由（1）知，而，所以，易知，，所以19．（1）（3分）依题意设双曲线方程为，则渐近线方程为，则，解得，所以的方程为；（2）①（7分）当中有一条的斜率为，另一条直线的斜率不存在时，直线与轴重合，不符题意；所以直线的斜率均存在且不为，设的方程为，，，，，由，得，则，所以，，所以，则，所以，同理可得，因为、、三点共线，所以，{}n c 1021425129102410,,,,c b c b c b c b ==== {}n c ()1012106122024102014815212n G b b b ⨯-=-++++=+=- 2321i ia =⋅+232i ii c b ==⋅()22323219432i i i i i i a c =⋅⋅+=⋅+⋅()11361494341214i nii i +=⨯-⋅==⋅--∑()116123232612i ni i i +=⨯-⋅==⋅--∑12112343218ii i i ni ac +=+=⋅+⋅-∑()22221,0x y a b a b -=>by x a =±222b ac a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩E 2212x y -=12,l l 0MN x 12,l l 01l ()()0n y k x p k =-≠()11,A x y ()22,B x y (),M M M x y (),N N N x y ()2212n y k x p x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222124220n n k x k p x k p -+--=2120k -≠2122412n k p x x k -+=-221222212n k p x x k--=-21222212nM k p x x x k -+==-()22221212n n M M n n k p kp y k x p k p k k ⎛⎫--=-=-= ⎪--⎝⎭2222,1212n n k p kp M k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭222,22n n p kp M k k -⎛⎫⎪--⎝⎭M N Q ()()()N N M N M N n y x x y y x t -=--又，所以，因为，所以；②（7分），故，设，则，所以，所以，所以，所以.0N M y y -≠2222222221222122212n n n nM N N M n n n n N Mk p kp p kp x y x y k k k k t p kp kp y y k k ---⋅-⋅-----===-----2n n p =12n n t +=1222n n n n a PQ +==-={}2212122121212211(1)(1)(1)nnkk kk k k k k k k k kk k bb a b b a b b a -+--+==⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑()()21214143241412nk kk k k k k -=⎡⎤=-+-⨯++-+⨯⎣⎦∑2211124nnk k k k k k ++===⨯=⨯∑∑114nk k n k T +=⨯=∑23411424344n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 345241424344n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ()()22341221614163143444444143n n n n n n n T n n ++++----⨯-=++++-⨯=-⨯=- ()2163149n n n T ++-⨯=211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()2163149n n ++-⨯=。