2012届高三数学知识方法结论

高三数学知识方法结论集合● 包含关系A B A A B B =⇔= B A ⊂≠⇔●集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.(不要忘记空集及自身是任何集合的子集)● 理解集合的含义,注意集合的元素性质：确定的、无序的、互异的。

点集（向量集）{(x,y)|f(x,y)=0}；数集如{x|y=f(x)}(定义域)，{y|y=f(x)}值域二次函数，二次方程● 方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件● 闭区间上函数的最值 只能在0)(='x f 处及区间的两端点处取得。

二次函数0)(2>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是 ⎩⎨⎧<->0402ac b a (数形结合得结论)简易逻辑● 表且●● P ⌝:否定一个含有量词(∀或∃)的命题,不但要改变量词(∀改为∃)，还要对量词后面的命题加以否定，但作用范围不变。

●注意区分命题的“否命题”与命题的否定的区别：例如： 命题P ：“负数（实数）小于0”，则 P 的“否命题”是：“非负数不小于0”； P 的逆否命题：“不小于0的实数为非负数”； P 的否定是“存在负数不小于0”，记为p ⌝原命题与其“否命题”可同真、但两者真假无关； “逆否命题与原命题同真假”， P 与非P （P 的否定）必定一真一假。

函数● 变量t 与变量s 成正比kt s =⇔（k 为非零常数，称为比例系数）●变量f 与变量r 成反比rk f =⇔（k 为非零常数，称为比例系数）(其中变量也可用为某个式子，如引力F 与物体距离的平方成反比与两物体的质量成正比:221rm Km F =)● 正比例函数为kx y =;反比例函数为xk y = ()0≠k●一次函数)0(≠+=⇔k b kx y● 二次函数)0(2≠++=⇔a c bx ax y● 指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log≠>=a a x y a互为反函数● 指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与幂函数a x y =的系数都是1 ●函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>-- 上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 如果)(x f 为增函数，则0)(≥'x f ; 如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 如果)(x f 为减函数，则0)(≤'x f ; ● 两个函数图象(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(a mx f +与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.(3)函数)(x f y =和其“反函数)(1x f y -=”的图象关于直线y=x 对称.● 将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ● 将函数)(x f y =的图象各点按向量 p =(a ,b )平移，得到函数为b a x f y +-=)(； ● 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. ● 与)(x f y =的图象关于原点O 对称的函数解析式为)(x f y --= ● 奇函数x>0时解析式为y=f(x),则x<0时解析式为)(x f y --= ● 偶函数x>0时解析式为y=f(x),则x<0时解析式为)(x f y -=● 分数指数意义：nmnm nmnmaaa a1,==-● 指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. ●换底公式 log log log m a m N N a= . ( N b alog=⇔N aN ambmbloglog=⇔=)推论 :(1) 1loglog=⋅a b ba(2) log log m na a nb b m=.● 对数的四则运算法则: 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a M N M N =+; (3)log log ()na a M n M n R =∈.(2) log log log aa a M M N N=-; 特别的:nnaaaan loglog==不要记反了：（用特例验证） 100lg 10lg )10010lg(3+=⨯==1+2●(了解)设函数)0)((log)(2≠++=a c bx axx f m,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则)0(0)(2≠>++a c bx ax 恒成立=> 0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆ (t=c bx ax ++2, t 须包含全体正数(定义域自定)对于0=a 的情形,需要单独检验. ● 函数在单调区间[a,b]内到多有一零点； ●●对图象连续的函数f(x),则f(a)f(b)<0是f(x)在区间（a,b ）内有零点的充分非必要条件. f(a)f(b)<0⇒f(x)在区间（a,b ）内至少有一个零点;内没有零点在单调内有且只有一个零点在单调),()(0)()()(;),()(0)()()(b a x f b f a f x f b a x f b f a f x f ⇒⎭⎬⎫>⇒⎭⎬⎫<数列●只能用通项公式证明数列是等比、等差，反之证明数列不等是等比、等差的只需考虑连续三项不成等比、等差即可。

● 两数a ,b 的等差中项是唯一的：2b a +; 两正数a ,b 等比中项不唯一：ab ±●等差数列通项公式11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈=b an +； 其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+=Bn An+2k n k n n a a a a a a -+-+==+=+1121 ，k q k p q p a a a a -++=+●{}n a 前n 项和为n S ,⎩⎨⎧≥-==-)2( )1( 11n S S n S a n n n, 若n S C Bn An ++=2,当且仅当C=0时{}n a 为等差数列●等比数列的通项公式111()n nn a a a q q n N q-==⋅∈0≠；31213,a a q a a ⇔=同号 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩=⎩⎨⎧≠-1)1(na q Aq A n (q a A -=11);1121k n k n n a a a a a a -+-=== ，k q k p q p a a a a -+=● {}n a 为等差数列}{}{}{}{212n n k n n k n n a 、a 、a a 、a a -+++++⇒ 等都为等差数列●{}n a 为等比数列}{},{},{},{},1{2122n n k n n n na a a a a a -+⇒为等比数列}{},{k n n k n n a a a a +++++⇒ 各项非零时为等比数列● {}n a 为等比数列||logn an a b =⇒，{n b }为等差数列.●分期付款(按揭贷款): (向银行贷款a 元,每期还x, 分n 期还清,每期利率为p )， 记第k 期还x 后还久银行本息和为k a 则)1()1()1()1()1(,,)1()1()1()1(,)1()1()1(,)1(21123232121=-+--+-+-+=-+=-+-+-+=-+=-+-+=-+=-+=-+=---x p x p x p x p a x a p a x p x p x p a x p a a x p x p a x p a a x p a x ap a a n n nn n⇔每次还款x=1)1()1()1(1)1(1)1(-++=+-+-⋅+nn nnp p ap p p p a 元● 数列{})(,n f a a n n =为递增数列的一个充分而非必要条件是f(x)在[1，)∞+为增函数. ●数列{})(,n f a a n n =为递增数列的充要条件是0)()1(>-+n f n f 恒成立.● 常见递推关系：①1()n n a a f n +-=的数列用累加法直接求解，得1(1)(2)(1)n a a f f f n =++++- ②1()n na f n a +=的数列用累乘法直接求解，得1(1)(2)(1)n a a f f f n =- ，（2n ≥） ③形如1n n n m a a pa q+=+用取倒数方法转化成为111n nm m a q a p+=+，nn a b 1=令，可先求n b 再求n a ；特例11n n n n a a pa a ---=（p 为常数且0p ≠）数列两边同除于1n n a a -即可.④ 递推关系形如：1n n a pa q +=+（为p ，q 为常数且1p ≠）的数列 （ⅰ）通过待定系数法化为1()11n n q q ap a p p ++=+--，再利用等比数列求出1n q a p +-的表达式，（ⅱ）也可由1n n a pa q +=+得n a =p 1n a -q +两式相减可得：1n n a a +-=1()n n p a a --， （ⅲ）也可利用迭代法得(如分期付款问题)：n a =12321n n n p a p q p q p q pq q ---++++++ ， ⑤（了解）1n n n a pa q +=+的数列（p q 、为常数且0q ≠）（ⅰ）可化为111n n n na a p qq qq++=+三角函数● 函数)sin(ϕω+=x A y (0,0>>ωA )表示物理量（如简谐运动、波、交流量等）时，A 称为振幅，T=ωπ2为最小正周期，Tf 1=为频率，ϕω+x 称为相位，ϕ称为初相此函数图象的对称中心为)(0,Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-ωϕπ，当且仅当ωϕπ-k =0时为奇函数. ())sin()1(1)sin(sin sin ϕωωωϕϕωϕω+=+=+==x A y x A y x A y x A y 得到的即各点横坐标变为原来的周期变为原来的个单位得到函数为向左平移常见三角不等式（1）|sin ||cos |1x x +≥; 若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<且1sin cos x x <+≤.● 同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.● ()()1tan )1(tan cos sin cos sin 2sin 1cos sin 21cos sin 222222+±=+±=±=±=±ααααααααααα●和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. sin cos a b αα+)αϕ+(上面辅助角ϕ的终边过点(,)a b ,2222cos ,sin ba a ba b +=+=ϕϕtan b aϕ=).●二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 22tan tan 21tan ααα=-2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-..应用公式典例：（1）求半角的用倍角公式解方程，如)4cos1(218cos 2ππ+=(逆用倍角公式求半角)（2）8120sin 8160sin 80cos 40cos 20cos 20sin 820sin 8180cos 40cos 20cos =︒︒=︒︒︒︒⋅︒=︒︒︒（3）1)tan(tan tan 1)tan (tan 2)1)(tan 1(tan =+⇔-=+⇔=++βαβαβαβαC B A C B A ABC tan tan tan tan tan tan =++⇒∆非直角（4）（先拆分再合一）A A A A A sin )21(cos 23sin )32sin(sin --+=-+π)6sin(3)cos 21sin 23(3cos 23sin 23π+=+=+=A A A A A ,当A 3π=时取最大值.（5）(角变换)知 53)8sin(=+πx ,20π<<x 求sin2x思路：42)8(228πθπθπθ-=-=⇒+=x x , 即知sin θ求)42sin(πθ-, 而43828πππθπ<+<< ， sinx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2上为减函数,若θ>2π则5343sinsin >>πθ，这与条件不符，所以28πθπ<<,cos 0>θ,…… 此类题要特别 53)8sin(=+πx 中隐藏x 的范围限制，可与特殊角比较.● 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+， cos()y x ωϕ=+的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+的周期T πω=.● 正弦定理2sin sin sin a b c R A BC ===.● 余弦定理 2222cos a b c bc A =+-; ● 面积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===Rabc 4=（R 为外接圆半径）●B A B R A R b a B A ABC sin sin sin 2sin 2,>⇔>⇔>⇔>∆中;B A B A cos cos 0>⇔<<<π;cos cos cos )cos(cos 00>+⇔-=->⇔<-<<⇔<+<B A BB A B A B A ππππ● 则若已知中b a A ABC ,,,∆则当b a ≥时,注意隐条件是B A ≥,B 为锐角,由正弦定理求出sinB 再唯一求cosB 当A 为锐角，且b a A b h <<=sin 时，A 可为锐角或钝角，由sinB 求cosB 有两解.向量. (手写向量全部加箭头)向量可任意平移，向量平行即向量共线，共线可是同向也可反向，零向量方向可任取任定。