1.3.1 函数的单调性与导数(讲)

(－∞，－2),(0，+∞) .
5．函数f(x)=cos2x的单调递减区间是π (kπ , kπ + ), k∈Z . 2
题型二
求含参数的函数的单调区间
a 6.已知函数 f ( x) ln x, g ( x) (a 0) x
设F(x)=f(x)+g(x). （1）求函数F(x)的单调区间. （2）若以函数y=F(x)(x∈（0,3］)图象上任意一点 最小值.
1
o
2.在x＝1的左边函数图像上的各点 x 切线的倾斜角为 (锐角/钝角)? 3.由导数的几何意义，你可以得到 什么结论？
探究：函数的单调性与其导函数的关系
图(1)表示高台跳水运动员的高 度 h 随时间 t 变化的函数 h 2 的图 h (t ) 4.9t 6.5t 10 象, 图(2)表示高台跳水运动员
【技法点拨】
1.利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单
调性的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域.
（2）求导数y′=f′(x).
(3)判断导函数y′=f′(x)在区间上的符号.
(4)结论：
①f′(x)＞0⇒f(x)在该区间内为增函数； ②f′(x)＜0⇒f(x)在该区间内为减函数. 注意： f(x)在该区间内为增函数⇒ f′(x)
x 1 a x a F x 2 2 x＞0 ， x x x 当a=0时， F′(x)＞0，所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a＞0时，由F′(x)＞0⇒x∈(a,+≦)，
所以F(x)在(a,+≦)上单调递增. 由F′(x)＜0⇒x∈(0,a)，所以F(x)在(0,a)上单调递减. 所以，当a=0时， F(x)在(0,+∞)上单调递增.
解: (1) 因为 f(x)= x3 + 3x , 所以
y
f x = x 3 + 3x
o
x
f(x)= 3x + 3 = 3(x + 1)> 0.
2 2
因此, 函数 f(x)= x3 + 3x 在 x R 上单调递增.如图(1)所示
图 1
2因为f x = x2 - 2x -3,所以f' x = 2x - 2 = 2 x - 1 .
v t b
的速度 v 随时间 t 变化的函 数 v (t ) 9.8t 6.5 的图象.运
动员从起跳到最高点, 以及从 O 最高点到入水这两段时间的运 动状态有什么区别?
a b
O t
a
(1)
(2)
①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的 增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v (t ) h (t ) 0.
2
1 17 1 17 或x 时, 2 2
单调递增
1 17 1 17 x 2 2
;
时,
单调递减
.
函数f x 2 x 3 3 x 2 24 x 1单调递增区间
-1 - 17 -1+ 17 ,+∞ -∞， 2 2 ， 为
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种 风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.
过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢， 本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用 吧！
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
1.3.2 函数的极值与导数 1.3.1 函数的最大（小）值与导数
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的
h
2
o
3 → D , 4 → C .
A
t
思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
总结提升:2：
一般地,如果一个函 数在 某一范围内导 数 的绝对值较大,那 么函数 在 这个范围 内变 化 得快,这时, 函 数 的图象就比较 “陡 峭” “平缓” 向上或向下 ;反之,函数的图象就 一些.如图所示, 函数y = f x 在 0,a 或 “陡峭” ,在 a,+∞ 或 -∞,-a 内 -a,0 内图象 “平缓” .
变式：
1.函数f(x)=x3+ax(a≥0)的单调递增区间为______.
2.讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性. 【探究】若把题2中的条件a≥0改为a R，结果如何？
分析：1.求出f′(x)的值，然后观察f′(x)≥0的区间即可.
2.当函数的解析式中含有参数时，一般的处理思路是对参数进
y
f x = x 2 - 2x - 3
函数f x = x2 - 2x - 3 的图象如图 (2)所示.
o 1
x
图2
π ,所以 3 因为f x = sinx - x,x ∈ 0, f x = cos x 1 0
因此, 函数f x = sinx - x,x ∈ 0, π 内 单调递减 .
如图 （3）所示.
图3
y
o

x
f x = sinx - x
4 因为f x = 2x3 + 3x 2 - 24x +1,所以f x =
当f x > 0, 即 x 函数f x
当f x < 0, 即 函数f x
6 x 6 x 24 .
f x = 2x3 + 3x 2 - 24x +1 -1 - 17 -1+ 17 y ,
单调递减区间为
2
2
.
f x = 2x 3 + 3x 2 - 24x +1 的图象如图 （4）所示.
O
x
图 （4）
总结提升1： 根据导数确定函数的单调性步骤： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f´(x)>0,得函数单调增区间; 解不等式f´(x)<0,得函数单调减区间.
当a>0, F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+≦).
（2）F x x a 0＜x 3，
x2 x0 a 1 1 2 k F(x 0 ) 2 0＜x 0 3 恒成立 a ( x 0 x 0 ) max， x0 2 2 1 2 1 当x0=1时， x 0 x 0 取得最大值 . 2 2 1 1 所以 a ， 所以 a . min 2 2
（3）函数单调性中分类讨论应遵循的原则
a.找准讨论的位置,并不一定在解决问题的开始就 要讨论,一般在求完导数后,判断导数的正负时讨论. b.准确划分分类讨论的标准,先观察影响导数取值 符号的因素,再来判断分类讨论的标准,比如含参因式 的正负,真数与1的比较,差的正负等. c.正确总结分类讨论的结论,做到“不重不漏”.
行分类讨论，然后在参数的不同情况下，分别求出结果 . 【解析】1.因为f′(x)=3x2+a,a≥0， 所以f′(x)≥0对一切实数R恒成立, 所以函数f(x)的递增区间为（-≦,+≦）. 答案:（-≦,+≦）
2 a 2x a 2.函数f(x)的定义域是（0，+≦）, f x 2x , x x
②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这 个区间内单调递减.
思考：如果在某个区间内恒有f’(x)＝0， 那么函数f(x)有什么特性？
例1
已知导函数 f ( x ) 的下列信息:
当1 < x < 4 时, f ( x ) 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ( x ) 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ( x ) 0.
当f' x > 0,即x > 1时, 函数f x = x2 - 2x - 3单调递增 ;
当f' x < 0,即x < 1时, 函数f x = x2 - 2x - 3单调递减 .
函数f x = x2 - 2x - 3的单调递增区间为 1， +≦， 单调递减区间为 -≦，1 .
试画出函数f（x）图象的大致形状.
y
y= f ( x)
O
1
4
x
例2
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
3
(1) f ( x ) x 3 x;
(2) f ( x) x 2 x 3;
2
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x ) 2 x 3 3 x 2 24 x 1.
f(x)在该区间内为减函数⇒ f′(x)
0； 0。
2.含有参数的函数单调性问题处理方法
(1)在判断含有参数的函数单调性时，不仅要考虑
到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定
f′(x)的符号，否则会产生错误.
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题， 在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了 确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就 解决了.
例 3 如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体 积相同 ) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找 出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
1
h h
2
3
h h
4
o
A
t
o
B
t
o
C
t
o
D
t
分析 以容器 2 为例, 由于容器 上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高 度增加得越来越快.反映在图象 上, A 符合上述变化情况.同理 可知其他三种容器的情况. 解 1 → B , 2 → A ,